北师大版高中数学必修4全套教案 全册)
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 平面向量数量积的坐标表示》1
§6平面向量数量积的坐标表示授课人：韦慧一、教学课题：北京师范大学出版社出版的普通高中课程标准实验教科书数学必修4第二章第六节“平面向量数量积的坐标表示”.二、设计要点：学生在前面已学过向量的坐标表示，研究过向量线性运算中坐标运算的推理过程，在引进平面向量数量积后，自然要考虑它的坐标表示问题.同时，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.因此，本节课主要以问题为载体，通过几个思考题的设置，让学生利用已学知识，思考探究有关向量的坐标表示.通过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验向量的数量积是向量关系和数量关系之间相互转化的一种重要渠道和方法.三、教学目标：1．知识与技能①理解掌握平面向量数量积的坐标表达式及相关运算.②理解掌握向量的模、夹角等公式，能根据公式解决夹角、垂直等问题.2．过程与方法①培养学生转化能力，以及利用代数方法研究几何问题的思想方法.②体会数形结合的思想方法.3．情感与态度经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验向量这一数学工具在几何问题代数化中的重要应用.四、教学重点、难点：1.重点：探究发现平面向量数量积的坐标表示及相关表示.2.难点：应用平面向量数量积的坐标表示及相关表示解决几何问题。
五、教学方法与手段：1．教学方法：导学探究，教师引导学生探究新知，学生通过思考计算等方式得出一些重要结论，然后运用得到的结论解决简单的问题。
2.教学手段：多媒体辅助教学.六、核心素养：一方面应用向量数量积的坐标运算解决几何问题中的向量长度，两向量的夹角等问题，使得几何问题代数化，培养学生从直观想象到数学抽象的核心素养，另一方面在解决问题的过程中，培养学生数学运算的核心素养。
七、学法指导：1、根据本节课特点及学生的认知心理，把重点放在如何让学生“会学习”这一方面，学生在教师营造的“可探索”环境里，积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索质疑，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力；2、紧紧围绕数形结合这条主线；3、注意前后知识的联系与区别,不断反思建构形成知识网络.八．教学基本流程：九．教学过程分析：第一种:选择恰当的实例；(一) 第二种:从复习向量加减法的坐标运算开始；第三种:开门见山直奔主题;第四种:种提供材料,让学生发现问题;(二)导学诱思、探索研究；教师通过学生已有经验，启发其思、疑、探，在讨论、设计中得到问提供材料 导学诱思 设置情景 复习思考 提出问题 类比化归 探索研究 建模应用 学法指导反思建构新课引入设置情景题的解答，培养其求异思维、创新能力的形成；(三) 建模应用；数学作为科学独立分支，其重要工具作用无处不在；关键是否体会数学本质，构建数学模型使问题得到解决；(四) 反思建构；学生在反思建构中，寻找知识、方法、能力、情感等方面的收获规律，有利于纳入知识系统，形成知识网络；(五)分层评价.充分发挥课堂教学评价的针对性、激励性、导向性、创新性；使评价更有利于学生的身心健康发展，更符合新课程改革理念.十、教学过程（一）、预习反馈（课前学生完成，课堂反馈）[基础·初探]一、教材整理平面向量数量积的坐标表示阅读教材P98～P99，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)a·b＝；(2)a2＝，即|a|＝；(3)设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝；(4)a⊥b⇔.2．直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的．二、预习检测1、已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，1)，若a·b＝2、判断下列各对向量是否垂直：(1)(3,2),(4,6) (2)(7,1),(2,14)112(3)(,),(2,) (4)(3,5),(5,3)323a b a b a b a b =-===-====- 3、已知(1,2),a a ==4、已知(3,2),(1,1),a b ==-则向量a 和b 的夹角的余弦值5、直线l 1：3x ＋4y －12＝0的方向向量6、直线l 2：7x +y -28＝0的方向向量（二）、课堂测试（公式运用巩固）1、（14年学考13）已知向量(26)(3)a b a b λ=-=⊥，，，，且，则实数λ的值为 A .－9 B .－1 C .1 D .92、已知AB →＝(4,2)，AC →＝(k ，－2)，在△ABC 中A ∠为直角，则k 等于( ) A ．1 B ． 6 C ．1或6 D ．1或2或63、若向量(12)(11)-a b a b a b ==-+，，，，且2与的夹角等于 。
北师大版高中数学必修4全套教案全册
(北师大版)数学必修4全套教案§1 周期现象与周期函数（1课时）教学目标：知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。
在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。
并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。
教学用具:实物、图片、投影仪四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
2017-2018学年北师大版高中数学必修4全册学案
2017-2018学年高中数学北师大版必修4全册同步学案目录第一章 1 周期现象-§2 角的概念的推广第一章 3 弧度制第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性第一章 4.1 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（二）第一章 5.1 正弦函数的图像第一章 5.2 正弦函数的性质第一章 6 余弦函数的图像与性质第一章7 正切函数第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（二）第一章9 三角函数的简单应用第一章章末复习课第二章 1 从位移、速度、力到向量第二章 2.1 向量的加法第二章 2.2 向量的减法第二章 3.1 数乘向量第二章 3.2 平面向量基本定理第二章 4.1 平面向量的坐标表示-4.2 平面向量线性运算的坐标表示第二章 4.3 向量平行的坐标表示第二章 5 从力做的功到向量的数量积（一）第二章 5 从力做的功到向量的数量积（二）第二章 6 平面向量数量积的坐标表示第二章向量应用举例第二章章末复习课第三章 1 同角三角函数的基本关系第三章 2.1 两角差的余弦函数第三章 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第三章 2.3 两角和与差的正切函数第三章 3 二倍角的三角函数（一）第三章 3 二倍角的三角函数（二）第三章疑难规律方法第三章章末复习课学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．知识点二角的相关概念思考1将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考2如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：________在第几象限就是第几象限角；轴线角：________落在坐标轴上的角．知识点四终边相同的角思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．类型一周期现象的应用例1水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？类型二 象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.反思与感悟 判断象限角的步骤 (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角． ①549°；②－60°；③－503°36′.(2)若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角．类型三 终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4写出终边在直线y＝33x上的角的集合．1．下列是周期现象的为()①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④B．②④C．①②D．①②③2．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3．2 017°是第________象限角．4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.5．已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．答案精析问题导学知识点一思考周而复始，重复出现．梳理(2)重复知识点二思考1有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考2不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理(1)一条射线端点旋转(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转知识点三思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理终边终边知识点四思考1它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．思考260°＋k·360°(k∈Z)．梳理周角题型探究例1解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．跟踪训练1解设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5·160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．例2解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．跟踪训练2 解 (1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同． ②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同． ③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同． (2)由题意得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，① 所以180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角． 由①得45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2是第一象限角．当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得45°＋180°＋n ·360°<α2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )，即225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2为第三象限角． 综上可知，α2为第一或第三象限角．例3 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )．(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°. (2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°， 得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°， 解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°. (3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°， 得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°， 解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练3 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴31136≤k＜61136(k∈Z)，故取k＝4,5,6.当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4解终边在y＝－3x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝－3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．跟踪训练4解终边在y＝33x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝33x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．当堂训练1．C 2.C 3.三 4.1.45．解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？梳理(1)角度制和弧度制(2)角的弧度数的计算设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝lr.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？梳理(1)角度与弧度的互化(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ 梳理类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可． 跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D.4sin 1反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算． 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 2．时针经过一小时，转过了( )A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad3．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或45．已知⊙O 的一条弧AE 的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是________．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．答案精析问题导学 知识点一思考1 周角的1360等于1度．思考2 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．思考3 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关． 梳理 (1)度 弧度 弧度 知识点二思考 利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝180°π进行弧度与角度的换算．梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57．30° (2)45° 90° 135° 270° 0 π6 π3 2π35π6 知识点三思考 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则S ＝12lr ，l ＝αr .题型探究例1 解 (1)20°＝20π180＝π9. (2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.跟踪训练1 解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 例2 解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－29π6；当k ＝－2时，γ＝－17π6；当k ＝－1时，γ＝－5π6.跟踪训练2 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×(180π)°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.例3 (1)A (2)D跟踪训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ， 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad. 当堂训练1．D 2.B 3.D 4.C 5.－34．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性学习目标 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义．知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦分别等于什么？思考2对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？梳理(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的____________定义为角α的正弦函数，记作________；点P的____________定义为角α的余弦函数，记作________．(2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．知识点二正弦、余弦函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？梳理正弦函数、余弦函数的定义域知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？梳理正弦、余弦函数在各象限的符号知识点四周期函数思考由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在____________，对定义域内的____________x值，都有____________，我们就把f(x)称为周期函数，____称为这个函数的周期．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中________的一个，称为____________，简称为周期．类型一 正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ的值．反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b 2，cos α＝aa 2＋b 2. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α的值．类型二 正弦、余弦函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4.反思与感悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键．跟踪训练3若三角形的两内角A，B，满足sin A cos B＜0，则此三角形必为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都有可能类型三周期性例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－1f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数．反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(x＋T)＝f(x)．(2)一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)＝1f(x)，那么f(x)的周期也为2a(a≠0)．跟踪训练4若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，求f(14a)的值．1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于()A.45B.35 C ．－35D ．－452．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－23．设f (x )是以1为一个周期的函数，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，则f (72)的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－34．点P (sin 2 016°，cos 2 016°)位于第________象限． 5．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值．1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点． 2．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．答案精析问题导学 知识点一思考1 sin α＝y r ，cos α＝xr .思考2 不会．思考3 sin α＝y ，cos α＝x .梳理 (1)纵坐标v v ＝sin α 横坐标u u ＝cos α 知识点二思考 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义． 知识点三思考 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (u ，v )，则sin α＝v ，cos α＝u .当α为第一象限角时，v >0，u >0，故sin α>0，cos α>0，同理可得α在其他象限时三角函数值的符号． 知识点四思考 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．梳理 非零实数T 任意一个 f (x ＋T )＝f (x ) T 最小 最小正周期 题型探究例1 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010. 跟踪训练1 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |. ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.例2 解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ， r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.跟踪训练2 解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)． 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12.若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12.例3 (1)D(2)解 ①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0， ∴sin 3·cos 4<0. 跟踪训练3 B例4 证明 (1)∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2) ＝－[－f (x )]＝f (x )，∴由周期函数定义知，函数f (x )是以4为周期的周期函数． (2)∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴由周期函数定义知，函数f (x )是以4为周期的周期函数． 跟踪训练4 解 由f (x )＝f (x －a )＋f (x ＋a )，① 得f (x ＋a )＝f (x )＋f (x ＋2a )．② ①＋②，得f (x －a )＋f (x ＋2a )＝0， 即f (x －a )＝－f (x ＋2a )， ∴f (x )＝－f (x ＋3a )， 即f (x ＋3a )＝－f (x )，∴f (x ＋6a )＝－f (x ＋3a )＝f (x )． ∴T ＝6a 为函数y ＝f (x )的一个周期， ∴f (14a )＝f (6a ×2＋2a )＝f (2a )＝1. 当堂训练1．D 2.C 3.B 4.三5．解 在直线y ＝2x 上任取一点P (x,2x )(x ≠0)， 则r ＝x 2＋(2x )2＝5|x |. ①若x >0，则r ＝5x ， 从而sin α＝2x 5x＝255，cos α＝x 5x ＝55， ∴cos α＋sin α＝355.②若x <0，则r ＝－5x ， 从而sin α＝2x－5x＝－255，cos α＝x －5x ＝－55，∴cos α＋sin α＝－355.4．3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题．知识点 正弦、余弦函数的性质思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的？梳理正弦、余弦函数的性质类型一 正弦余数、余弦函数的定义域 例1 求下列函数的定义域． (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg(sin x －22)＋1－2cos x .反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．跟踪训练1 函数y ＝2sin x ＋1的定义域为_________________________________________． 类型二 正、余弦函数的值域与最值例2 (1)求函数y ＝cos x (－π3≤x ≤5π6)的值域．(2)已知函数y ＝a sin x ＋1的最大值为3，求它的最小值．反思与感悟 (1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析．(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数讨论．跟踪训练2 函数y ＝2＋cos x ，x ∈(－π3，2π3]的值域为________．类型三 正、余弦函数的单调性例3 函数y ＝cos x 的一个递增区间为( ) A ．(－π2，π2)B ．(0，π)C ．(π2，3π2)D ．(π，2π)反思与感悟 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并．跟踪训练3 求下列函数的单调区间．(1)y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．1．函数y ＝sin x ，x ∈[－π4，π4]的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，22 C.22，－22D ．1，－222．不等式2sin x －1≥0的解集为____________________________________________． 3．函数y ＝2cos x －1的定义域为_____________________________________________． 4．求y ＝－2sin x ，x ∈[－π6，π]的值域．利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识．答案精析问题导学 知识点思考1 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.思考2 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是增加的． 梳理 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π]题型探究例1 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0，即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴{x |2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z }．跟踪训练1 [－π6＋2k π，7π6＋2k π]，k ∈Z例2 解 (1)∵y ＝cos x 在区间[－π3，0]上是增加的，在区间[0，5π6]上是减少的，∴当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝5π6时，y min ＝cos 5π6＝－32，∴y ＝cos x (－π3≤x ≤5π6)的值域是[－32，1]．(2)当a >0时，y max ＝a ×1＋1＝3，得a ＝2， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝2×(－1)＋1＝－1； 当a <0时，y max ＝a ×(－1)＋1＝3，得a ＝－2， ∴当sin x ＝1时，y min ＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1. 跟踪训练2 [32，3]例3 D跟踪训练3 解 (1)y ＝sin x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π2，π2]，递减区间为[－π，－π2]，[π2，π]． (2)y ＝cos x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，递减区间为[0，π]． 当堂训练1．C 2.{x |π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z }3.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，π3＋2k π ，k ∈Z 4．解 由x ∈[－π6，π]，得sin x ∈[－12，1]，∴y ＝[－2,1]，∴y ＝－2sin x ，x ∈[－π6，π]的值域为[－2,1]．4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？思考22kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系．梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α(1.8)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α(1.9)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α(1.10)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α(1.11)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α(1.12)公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式．这五组诱导公式的记忆口诀是“____________________________”．其含义是诱导公式两边的函数名称________，符号则是将α看成________时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．类型一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值．(1)cos 210°；(2)sin 11π4；(3)sin(－43π6)；(4)cos(－1 920°)．反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．跟踪训练1求下列各三角函数式的值．(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6.类型二 给值(式)求值问题例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________. (2)已知cos(π6－α)＝22，则cos(5π6＋α)＝________.反思与感悟 解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用． 跟踪训练2 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝________. 类型三 利用诱导公式化简 例3 化简下列各式． (1)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.引申探究若本例(1)改为：sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简．反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪训练3 化简：cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α).1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )。
高中数学北师大版必修4导学案全册共23套北师大版10教案
第课时单位圆与引诱公式. 借助单位圆,利用点的对称性推导出“α,π α,πα,α ”的引诱公式,并会应用公式求任意角的三角函数值 .. 会应用公式进行简单的三角函数的化简与求值.. 经过公式的运用, 学会从未知到已知, 复杂到简单的转变方法.我们已经学习了任意角的正弦、余弦函数的定义 , 以及终边同样的角的正弦、余弦函数值也相等 , 即 ( π α ) α ( ∈) 与 ( π α) α ( ∈), 公式表现了求任意角的正弦、余弦函数值转变为求°°的角的正弦、余弦函数值 , 那么我们能否将°°间的角的正弦、余弦函数值转变为锐角的正弦、余弦函数值呢 ?问题 : 将任意角转变为°°间的角的几种状况由于任意角都可以经过终边同样的角转变为°°间的角 , 关于任意°°的角β , 只有四种可能( 此中α为锐角 ), 则有β问题 :() 角α与α的正弦函数、余弦函数关系如图 , 在单位圆中对任意角∠α , 作∠'α , 这两个角的终边与单位圆的交点分别为和' , 可知与' 关于轴对称,设点的坐标为(),则点 ' 的坐标为(),所以(α)α . 即(α)(α) .() 角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系如图 , 在直角坐标系的单位圆中 , 对任意角∠α , 其终边与单位圆的交点为 , 当点按逆 ( 顺 ) 时针方向旋转π至点 ' 时,点' 的坐标为:((α π)(α π))或((α π)(α π)),此时点与点 ' 关于原点对称 , 横、纵坐标都互为 , 故 ( απ )( α π)( α π )( α π ) .() 角α与π α的正弦函数、余弦函数关系如图 , 在单位圆中 , 当∠α是锐角时,作∠ 'π α,不难看出,点和点'关于轴对称, 则有( π α ),( π α ) .() 角α与α的正弦函数、余弦函数关系在单位圆中 , 模拟上边的方法, 可以得出 ( α )( α ) .问题 : 任意角的正弦函数与余弦函数的引诱公式()( πα )( π α );()( α )( α );()( πα )( π α );()( πα )( π α );()( πα )( π α );()( α )( α);()( α)(α ).问题 : 谈论几组引诱公式的共同点与规律() π±α α , π±α的三角函数值等于α的三角函数值 , 前方加上一个把α看作角时原三角函数值的符号 ;() ±α的正弦 ( 余弦 ) 函数值分别等于α的 () 函数值 , 前方加上一个把α看作角时原三角函数值的符号 .. 以下等式不正确的选项是() .( α °)α( α β )( αβ )( α °)α( α β )( αβ ).函数()(∈)的值域为 () ..{}.{}.{}.{}. 若(θ ), 则(θ ).. 已知(π α)(α),求(π α)(π α)的值 .利用引诱公式化简求特别角的三角函数值.()°;()(π ) .引诱公式在三角函数中的综合运用已知 ( θ ).() 化简 ( θ );() 若 ( θ ), 求( θ ) 的值.利用引诱公式对三角函数式化简、求值或证明恒等式化简 (π α )(πα )(∈).求 (π )π (π )·(π )的值.已知()·,求()的值.已知 ( π α ) , 且α是第四象限角, 计算( ∈) 的值.( π ) 的值等于 () .... 已知(α) ,则(α )的值为()...°°°°..化简.( 年·全国Ⅰ卷 ) °的值为() ...考题变式 ( 我来改编 ):第位与公式知系统梳理: 一二三四:() αα() 相反数αααα()αα()αα:()αα()αα()αα()αα()αα()αα()αα:() 同名 () 余弦正弦基学交流由公式可知正确; 于 ( α β)[( α β)]( α β ), 故不正确 ; 于 ( α °)( α )α,故正确;于 ( α β )[( α β )]( α β ), 故正确.挨次 , ⋯, 很简单出.( θ )[ π (θ )](θ ).. 解:∵(π α)(α)α αα ,∴α, 而 ( πα )( π α)[ π ( π α)]α (π α )α α α α ,故( π α )( πα ).要点点研究研究一 : 【分析】 ()°(×°°)°(°°) °.()(π )( π)( ).【小】熟正弦函数、余弦函数的公式, 将其化角的正弦或余弦, 是解答此型的关, 同要牢一些特别角的三角函数.研究二 : 【分析】 ()( θ )θ .() ∵(θ )θ ,∴(θ ) θ.【小】熟公式, 并注意律, 有助于理解和, 如涉及π±α α ,π ±α的三角函数 , 其三角函数的名不 , 若涉及±α , 正弦余弦、余弦正弦 , 别的 , 要注意符号的化 .研究三 : 【分析】原式 [ π (α)][π (α)](α )(α )[( α )]( α )(α )(α ) .[ 问题 ] 以上化简过程正确吗?[ 结论 ] 不正确 , 在化简过程中未对加以谈论而以致错误.于是 , 正确解答以下:原式 [ π (α )][π (α )].①当(∈)时,原式 [ π π (α )][π π (α)](α )(α )(α )(α ) .②当(∈)时,原式 [ π ( α )][π ( α )](α )(α ) .综上可得 , 原式.【小结】在对( α π )( α π) 进行化简时 , 一般要分两种状况谈论: 当为偶数时 ( α π )α( α π ) α ; 当为奇数时 ( απ ) α ( απ ) α.思想拓展应用应用一:原式( π )(π π )( π π ) ·(ππ )( π )( π )( π )( π )·· .应用二 : ∵()·,∴()()( π ).应用三 : ∵( π α ), ∴α α ,∴.基础智能检测∵ (π)(π π )π ( π),应选.(α )[ (α).α )](° ° ° °×××()×()..解:原式.崭新视角拓展°( °°) °( °°).思想导图成立ααα αα学习是一件增加知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在困难的竞争中，或许我们疲惫过，在失败的暗影中，或许我们绝望过。
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案姚连省编制
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案扶风县法门高中姚连省第一课时 2.1从位移、速度、力到向量一、教学目标1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教法学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究交流法.四.教学过程（一）、创设情境实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去。
问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.（二）、探究新知1．学生阅读教材思考如下问题A B[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）（1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等。
注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。
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第一章 三角函数 习题1—1 习题1—2 习题1—3 4.2单位圆与周期性 习题1—4 5.1从单位圆看正弦函数的性质 5.3正弦函数的性质 6.余弦函数的图像和性质 6.2余弦函数性质 7.正切函数 7.2正切函数的图像与性质 习题1—7 习题1—8 习题1—9 课题学习 利用现代信息技术探究y=A sin(ωx+ψ)（A＞0， 复习题一
第一章 三角函数
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1.周期现象
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习题1—1
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高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 5 正弦函数的性质与图像》
教学设计中学数学正弦函数的图像教学过程设计与分析展示画法，学生边听边画。
（1）等分； （2）做垂线段； （3）平移； （4）连线。
得到]2,0[,sin π∈=x x y 的图像。
因为正弦函数是周期函数，所以xy sin =在)]()1(2,2[Z k k k ∈+ππ上与在区间]2,0[π上的的函数图像形状完全一样，位置不同。
于是我们只要将]2,0[,sin π∈=x x y 的图像左、右平移（每次平移π2个单位长度），就可以得到正弦函数R x x y ∈= ,sin 的图像如图所示。
正弦函数的图像叫作正弦函数。
4、五点法作图由上图，我们不难发现，在函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图像上，起着关键作用的有以下五个点：)0,2()1,23()0,()1,2()0,0(ππππ -。
描出这五个点后，函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图像就基本上确定了。
因此，在精度要求不高的情况下，我们常常先画出这五个关键点，然后用光滑的曲线连接起来，就可以得到这个函数的简图。
我们把这种画法叫做“五点法”。
（三）、应用举例 用五点法画出下列函数在区间]2,0[π上的简图： x y sin )1(-= 动手总结作图步骤学生观察、分析图像，并动手画出R x x y ∈=,sin 的图像学生观察图像，思考问题学生动手画图，一名学生黑板板演，并总结出五点法画图的步骤手，自主探究通过学生动手及多媒体的应用，突破几何法画图这一难点，渗透抽象到具体的思想和数形结合的方法培养学生利用已有知识，解决未知知识的能力，在画R x x y ∈=,sin 的图像的同时，注意观察学生的画图过程，利用多媒体，使图像更加直观引导学生说出五个点的坐标，并给评价和补充，让学生动手，进一步强化正弦函数的图像，可以让学生体会五点的优越性三、 板书设计课题1、画图方法2、五点3、五点法画图学生练习、展示四、教学反思回归整个教学过程，有感想，有体会，但更多的收获。
完整升级版北师大版第四册数学教案全册
完整升级版北师大版第四册数学教案全册(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)一、分部一、教学内容：p2~p26二、教学要求：1.引导学生体验分割苹果等实际操作，初步认识剩余分割与生命的关系密切联系，并能结合实际操作，体会应用。
2.让学生体验除法和垂直法的计算过程，正确掌握一位数的商除法法的竖式书写格式。
3.探索余数除法的试商法，认识到余数必须小于除数法，体会到余数一定比除数少。
三、教学重点和难点：1、使学生体会除法的意义及除法竖式的计算过程。
2.指导学生在实际操作中平均一些项目后意识到有剩余数，要比除数小。
3.让学生理解和掌握余数除法商数测试法是本单元教学的难点。
4、教学时间： 5课时五、教学进度：第1~2周第（I）部分理解垂直一、教学内容：p2~p3二、教学目标：1.引导学生体验除法苹果的实际操作，初步认识余数除法与生命秘密的关系切联系。
2.通过指导学生进行实际操作，用余数除法计算写作格式，正文会余数一定比除数少。
3.在操作、探索和发现的过程中，学生可以获得产品。
3、重点和难点：1.使学生体验除法的意义及乘法竖式的计算过程。
体会余数要比除数小。
2.通过分割苹果的实际操作，总结分割垂直的写作过程，使学生能够理解分割垂直的每一步的实际意义。
4、教学和学习辅助工具的准备：教师准备：课件、实物投影仪学生准备：每个人准备若干圆片五、教学过程：（一）、问题引入（二）、探索新知1.体验除法的垂直计算过程。
（1）先让学生独立思考上述问题（2）接着进行全班集体交流。
（3）同一张桌子上的学生合作放置20张光盘，以验证计算结果。
（4）介绍垂直分区的编写：20÷5＝44――商除数除数20――除数与商的积0――余数（5）练习学生独立完成课本第2页试一试四道小题，指名板书，集体订正。
2、体会平均分后有余数（1）演示20个苹果（2）小组讨论：有20个苹果。
如果你在每个盘子里放6个苹果呢？学生们用一个圆片划分分数，并讨论如何使用垂直表达。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 平面向量数量积的坐标表示》4
《平面向量数量积的坐标表示》——北师大北海附中林青霞一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
二、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
三、学生分析知识上：学习过向量加减法坐标运算和数量积定义性质运算等；方法上：研究过向量加减法坐标运算的推理过程；思维上：由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维；能力上：主动迁移、主动重组整合的能力较弱四、教学目标分析知识目标：1掌握数量积和模的坐标；2掌握两向量垂直的充要条件等价条件、夹角公式．能力目标：1领悟数形结合的思想方法；2培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力．情感目标：体验探索的乐趣认识世间事物的联系与转化．五、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示难点：向量数量积的坐标表示的应用六、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．新授课教学基本环节：问题情景→特例探路→抽象概括→基础过关→学以致用→归纳小结→课堂评价→作业布置七、学法指导1、根据本节课特点及学生的认知心理，把重点放在如何让学生“会学习”这一方面，学生在教师营造的“可探索”环境里，积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索质疑，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力；2、紧紧围绕数形结合这条主线；3、注意前后知识的联系与区别,不断反思建构形成知识网络八、教学过程（一）问题情景前面我们学习过平面向量线性运算的坐标表示，向量的和可以用坐标进行运算，向量的差可以用坐标进行运算，数乘向量同样可以用坐标来运算，那么，同学们自然会想到，向量的数量积可以用坐标进行运算吗？用问题情景包裹核心问题。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 7.2正切函数的图像与性质》
7正切函数的定义、图像与性质教学设计北师大版必修4【学习目标】1 能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义2 能借助单位圆中的正切线画出的图像3 理解正切函数的性质【重点难点】重点：正切函数的定义、图像与性质难点：正切函数性质的应用【使用说明】类比正、余弦函数的学习方法，借助单位圆理解正切函数的定义，并能利用正切线画出的图像，通过观察正切曲线总结正切函数的性质本节课是在学习了正弦、余弦函数的图像与性质后，继续学习又一种具体的三角函数——正切函数。
学生已经掌握了任意角的正切、正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此根底上，本节课将类比研究正弦和余弦函数的图像和性质的方法进一步研究正切函数的图像和性质，这也是为后面学习解析几何中，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系等内容做好知识储藏的课．为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的图像、定义域、值域和它的周期性变化，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能到达良好的教学效果。
【自主学习】1 正切函数的定义〔1〕在直角坐标系中，如果角满足：，那么角的终边与单位圆交于点，唯一确定比值，根据函数的定义，比值是角的函数，我们把它叫作角的正切函数，记作_____________，其中〔比照前面正弦函数余弦函数的定义，给正切函数下定义〕课堂练一练：〔通过掌握定义，给出相应练习，稳固定义，并让学生思考以下问题〕思考1：正切函数在各个象限的正负？思考2：当角α的终边在轴、轴时，正切函数值的情况如何？思考3：正切函数与正弦和余弦函数有什么关系？思考4：正切函数是否是周期函数，周期是多少？〔2〕当角在第_________象限时，其正切函数值为正；当角在第_________象限时，其正切函数值为负〔3〕由〔〕可知，正切函数是周期函数，_______是它的最小正周期2 正切函数图像的画法〔1〕正切线：设单位圆与轴正半轴交于点，过点作圆的切线与角的终边或终边的延长线相交于点，线段成为角的正切线〔2〕类比画正弦函数图像的方式，先利用正切线画出函数，的图像，再利用正切函数的周期性画出正切曲线思考：根据图像总结图像有什么特点？3.正切函数的性质〔分小组成员之间讨论总结〕思考：〔1〕正切函数在整个定义域内是增加的吗？为什么？〔2〕正切函数会不会在某个区间是减少的？为什么？【课堂检测】1．关于正切函数 , 以下判断不正确的选项是〔〕A 、是奇函数B 、在整个定义域上是增函数C 、在定义域内无最大值和最小值D 、平行于轴的的直线被正切曲线各支所截线段相等思考题：求函数的定义域、值域、单调区间【课堂小结与心得】。
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(北师大版)数学必修4全套教案§1 周期现象与周期函数（1课时）教学目标：知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。
在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。
并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。
教学用具:实物、图片、投影仪四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
（板书：二、周期函数的概念）3．[展示投影]练习:已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)。
求f(x＋2T) ，f(x＋3T)略解：f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝f(x＋T)＝f(x)f(x＋3T)＝f[(x＋2T)＋T]＝f(x＋2T)＝f(x)本题小结，由学生完成，总结出“周期函数的周期有无数个”，教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正周期。
(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11)略解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005(3)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8)略解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2【巩固深化，发展思维】1．请同学们先自主学习课本P4倒数第五行——P5倒数第四行，然后各个学习小组之间展开合作交流。
2．例题讲评例1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数吗？如果是，这个函数y＝f(t)是不是周期函数？例2.图1-4（见课本）是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线MN的距离y是时间t的函数，y＝g(t)。
根据钟摆的知识，容易说明g(t＋T)＝g(t),其中T为钟摆摆动一周（往返一次）所需的时间，函数y＝g(t)是周期函数。
若以钟摆偏离铅垂线MN的角θ的度数为变量，根据物理知识，摆心A到铅垂线MN的距离y也是θ的周期函数。
例3.图1-5（见课本）是水车的示意图，水车上A点到水面的距离y是时间t的函数。
假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此，该函数是周期函数。
3．小组课堂作业(1) 课本P6的思考与交流(2) (回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几?7k(k∈Z)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?五、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、布置作业1．作业：习题1.1第1,2,3题．2．多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点．七、课后反思§2 角的概念的推广（1课时）教学目标：知识与技能（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
过程与方法类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教学用具在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。
教学用具:多媒体、三角板、圆规四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。
初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。
【探究新知】如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)．我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角，如果α是零角，那么α＝0°。
钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以记成“α”。
过去我们研究了0°～360°范围的角．如图（见课件）中的角α就是一个0°～360°范围内的角(α＝30°)．如果我们将角α的终边OB继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角是多少度?是不是仍为30°的角?(用多媒体演示这一旋转过程，让学生思考；为终边相同角概念做准备)．将终边OB旋转一周、两周……，分别得到390°，750°……的角．如果将OB继续旋转下去，便可得到任意大小的正角。
同样地，如果将OB按顺时针方向旋转，也可得到任意大小的负角(通过课件，动态演示这一无限旋转过程)．这就是说，角度并不局限于0°～360°的范围，它可以为任意大小的角(与数轴进行比较)．(打开课件第三版)．如图(1)中的角为正角，它等于750°；(2)中，正角α＝210°，负角β＝—150°，γ＝－660°．在生活中，我们也经常会遇到不在0°～360°范围的角，如在体操中，有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1080°”(即“转体3周”)这样的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转而形成的角．角的概念经过这样的推广以后，就包括正角、负角和零角．2．象限角、坐标轴上的角的概念．由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，(板书)我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(打开课件第四版)例如图(1)中的30°、390°、－330°角都是第一象限角，图(2)中的300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角．(板书)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．3．终边相同的表示方法．(返回课件第二版，在图(1)1(2)中分别以O为原点，直线0A为x轴建立直角坐标系，重新演示前面的旋转过程)在图(1)中，如果将终边OB按逆时针方向旋转一圈、两圈……，分别得到390°，750°……的角，这些角的终边与30°角的终边相同，只是转过的圈数不同，它们可以用30°角来表示，如390°＝30°十360°，750°＝30°十2×360°，……在图(2)中，如果将终边OB按顺时针方向旋转一圈、两圈……分别得到－330°，－690°……的角，这些角的终边与30°角终边也相同，也只是转过的圈数不同，它们也都可以用30°的角来表示，如－330°＝30°－360°，－690°＝30°—2×360°，……由此可以发现，上面旋转所得到的所有的角(记为β)，都可以表示成一个0°到360°的角与k(k∈Z)个周角的和，即：β＝30°十k·360°(k∈Z)．如果我们把β的集合记为S，那么S＝{β|β＝30°十k·360°， k∈Z}．容易看出：所有与30°角终边相同的角，连同30°角(k＝0)在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与30°角终边相同。