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十年真题 _解析几何 _全国高考理科数学

真题

2008-21 ．（12 分）

双曲线的中心为原点

O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1

uuur uuur uuur uuur uuur

的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、 、 成等差数列，且 BF 与 FA 同向．

AB OB

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为

4 ，求双曲线的方程．

2009-21 ．（12 分）

如图，已知抛物线 E : y 2

x 与圆 M : ( x 4)2

y 2 r 2 (r ＞ 0）相交于 A 、B 、C 、D 四个

点。

（I ）求 r 的取值范围：

(II)当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线

A 、

B 、

C 、

D 的交点 p 的坐标。

2010-21 (12

分 )

已知抛物线 C : y 2

4x 的焦点为 F ，过点 K ( 1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，

点 A 关于 x 轴的对称点为 D .

（Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上；

uuur uuur

8

（Ⅱ）设 FAgFB

BDK 的内切圆 M 的方程 .

，求

9

1 / 13

2011-20 （12 分）

在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满

足 MB//OA ， MA?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。 （Ⅰ）求 C 的方程；

（Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。

2012-20 （12 分）

设抛物线 C : x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准 线为 l ， A

C ， 已知以 F 为圆心，

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点；

（1）若

BFD

90 0 ， ABD 的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程；

（2）若 A, B, F 三点在同一直线

m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，

求坐标原点到 m, n 距离的比值。

2013-21 (12

分 )

2

2

已知双曲线

C ： x

2

y

2 =1 (a ＞ 0， b ＞0)的左、右焦点分别为

F 1， F 2，离心率为 3，直线 y

a b

＝2 与 C 的两个交点间的距离为6 . (1)求 a ， b ；

(2)设过 F 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于

A ，

B 两点，且 | AF | ＝| BF | ，证明： | AF | ，

2

1

1

2

| AB| ， | BF 2| 成等比数列．

2014-20

已知点 A(0，－ 2)，椭圆 E ： x 2 2

3

， F 是椭圆 E 的右焦点，

2

y 2

=1 (a>b>0) 的离心率为

a

b 2

直线 AF 的斜率为

2

3

， O 为坐标原点

.

3

2 / 13

(1) 求 E 的方程；

(2) 设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P ， Q 两点，当 △ OPQ 的面积最大时，求

l 的方程 .

2015-20.( 12 分)

C : y

x 2

在直角坐标系 xoy

中，曲线 4 与直线

y kx

a a

交于

M , N

两点，

(Ⅰ )当

k 0

时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；

(Ⅱ ) y 轴上是否存在点 p ，使得当 k

变动时，总有

OPM

OPN

？说明理由 .

2016-20. （12 分）

设圆 x 2

y 2 2x 15 0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B （ 1,0）且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C ，

D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.

（I ）证明

EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；

（II ）设点 E 的轨迹为曲线 C 1，直线 l 交 C 1 于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 .

2017-20 ．（12 分）

已知椭圆 C ：

x

2

y 2

1(a b 0) ，四点 P 1 (1,1)，P 2 (0,1)，P 3

1, 3

，P 4

1, 3 中 a 2

b 2

2

2

恰有三点在椭圆 C 上．

（ 1）求 C 的方程；

（ 2）设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ，B 两点．若直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率的和为 –1，

证明： l 过定点．