小学六年级奥数举一反三PPT课件
六年级竞赛培优举一反三第26周-加法、乘法原理PPT课件
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5
从上面的三道例题可以看出如下的规律：
第26周 加法、 乘法原理
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1
在做一件事情时，如果有几类不同的方法，而每一类方法中又 有几种可能的情况，要求一共有多少种不同的方法，就用加 法原理来解决；而做一件事情时，如果要分几步完成，完成 每一步时又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多 少种方法，就用乘法原理来解决。
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2
【例题1】小红、小丽和小敏三个人到世纪公园游玩拍照留念 （不考虑站的顺序），共有多少种不同的拍照方法？
【思路导航】我们不妨按照相的人数来分类。一个人照相：小 红、小丽和小敏共3种拍照方法；两人合影：小红和小丽合 影、小红和小敏合影、小丽和小敏合影共3种拍照方法；三 个人合影只有1种拍照方法。
3+3+1=7（种）
答：共有7种不同的拍照方法.
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3
【例题2】从北京到天津的列车中途要经过4个站，这列列车从 北京到天津共要准备多少种不同的车票？
【思路导航】从北京到天津的列车中途要经过4个站，那么以 北京为起点，共要准备5种不同的车票（分别为到途中第一 站、第二站、第三站、第四站和终点天津站）；以途中第一 站为起点共要准备4种不同的车票（分别为到途中第二站、 第三站、第四站和终点天津站）；照此类推，以途中第二站 为起点共要准备3种不同的车票；以途中第三站为起点共要 准备2种不同的车票；以途中第四站为起点共要准备1种不同 的车票；
【思路导航】方法一：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有 等可能的结果以及有多少个真分数．画树状图得：
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32 ＝3 ×25 +25.4×6.4+12.5×6.4
55
＝（3.6+6.4）×25.4+12.5×8×0.8
＝254+80
CHENLI
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【练习4】
CHENLI
23
【例题5】 计算81.5×15.8+81.5×51.8+67.6×18.5 原式＝81.5×（15.8+51.8）+67.6×18.5 ＝81.5×67.6+67.6×18.5 ＝（81.5+18.5）×67.6 ＝100×67.6 ＝6760
x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16
＝12x－32
12x－32 = 34
12x= 66
x＝5.512x－32 = 34，求出x的值。列算式为
CHENLI
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【练习5】 1．设a⊙b=3a－2b，已知x⊙（4⊙1）＝7求x。
2 ． 对 两 个 整 数 a 和 b 定 义 新 运 算 “ △” ： a△b= ， 求 6△4+9△8。
CHENLI
3
【例题1】 假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】
这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之 差。这里的“*”就代表一种新运算。在定义新运算中同样规 定了要先算小括号里的。因此，在13*（5*4）中，就要先算 小括号里的（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：@ = （a－1）×a× （a＋1），据此，可以求出1/⑥－1/⑦ =1/（5×6×7）－1/ （6×7×8），这里的分母都比较大，不易直接求出结果。 根据1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A，可得出A = (1/⑥－1/⑦)÷1/⑦ = （1/⑥－1/⑦）×⑦ = ⑦/⑥ －1。即
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一、拓展提优试题1．已知x是最简真分数，若它的分子加a，化简得；若它的分母加a，化简得，则x＝．2．（15分）一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的倍，求切割成小正方体中，棱长为1的小正方体的个数？3．用1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成三个三位数（每个数字只能用1次），使最大的数能被3整除；次大的数被3除余2，且尽可能的大；最小的数被3除余1，且尽可能的小，求这三个三位数．4．某日是台风天气，雨一直均匀地下着，在雨地里放一个如图1所示的长方体容器，此容器装满雨水需要1小时．请问：雨水要下满如图2所示的三个不同的容器，各需要多长时间？5．已知三个分数的和是，并且它们的分母相同，分子的比是2：3：4．那么，这三个分数中最大的是．6．如图，一个直径为1厘米的圆绕边长为2厘米的正方形滚动一周后回到原来的位置．在这个过程中，圆面覆盖过的区域（阴影部分）的面积是平方厘米．（π取3）7．一次智力测试由5道判断对错的题目组成，答对一道得20分，答错或不答得0分．小花在答题时每道题都是随意答“对”或“错”，那么她得60分或60分以上的概率是%．8．如图，一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水．先将一个底面直径是8厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2厘米．圆锥形铁块的高厘米．9．如图，一只玩具蚂蚁从O点出发爬行，设定第n次时，它先向右爬行n个单位，再向上爬行n个单位，达到点A n，然后从点A n出发继续爬行，若点O记为（0，0），点A1记为（1，1），点A2记为（3，3），点A3记为（6，6），…，则点A100记为．10．小红买1支钢笔和3个笔记本共用了36.45元，其中每个笔记本售价的与每支钢笔的售价相等，则1支钢笔的售价是元．11．若质数a，b满足5a+b＝2027，则a+b＝．12．a，b，c是三个互不相等的自然数，且a+b+c＝48，那么a，b，c的乘积最大是．13．小丽做一份希望杯练习题，第一小时做完了全部的，第二小时做完了余下的，第三小时做完了余下的，这时，余下24道题没有做，则这份练习题共有道．14．如图，将一根长10米的长方体木块锯成6段，表面积比原来增加了100平方分米，这根长方体木块原来的体积是立方分米．15．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在C点相遇，若在出发时，甲将速度提高，乙将速度每小时提高10千米，二人依然在C点相遇，则乙原来每小时行千米．16．请你想好一个数，将它加上5，其结果乘以2，再减去4，得到的差除以2，再减去你最初想好的那个数，最后的计算结果是．17．小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码）．那么，这本书原来有页．18．已知两位数与的比是5：6，则＝．19．王老师开车从家出发去A地，去时，前的路程以50千米/小时的速度行驶，余下的路程行驶速度提高20%；返回时，前的路程以50千米/小时的速度行驶，余下的路程行程速度提高32%，结果返回时比去时少用31分钟，则王老师家与A地相距千米．20．等腰△ABC中，有两个内角的度数比是1：2，则△ABC的内角中，角度最大可以是度．21．如图，正方形ABCD和EFGH分别被互相垂直的直线分为两个小正方形和两个矩形，小正方形的面积的值已标在图中，分别为20和10，18和12，则正方形ABCD和EFGH中，面积较大的正方形是．22．有一口无水的井，用一根绳子测井的深度，将绳对折后垂到井底，绳子的一端高出井口9m；将绳子三折后垂到井底，绳子的一端高出井口2m，则绳长米，井深米．23．张阿姨和李阿姨每月的工资相同，张阿姨每月把工资的30%存入银行，其余的钱用于日常开支，李阿姨每月的日常开支比张阿姨多10%，余下的钱也存入银行，这样过了一年，李阿姨发现，她12个月存入银行的总额比张阿姨少了5880元，则李阿姨的月工资是元．24．A，B两校的男、女生人数的比分别为8：7和30：31，两校合并后男、女生人数的比是27：26，则A，B两校合并前人数比是．25．某小学的六年级有学生152人，从中选男生人数的和5名女生去参加演出，该年级剩下的男、女生人数恰好相等，则该小学的六年级共有男生名．26．宏富超市购进一批食盐，第一个月售出这批盐的40%，第二个月又售出这批盐的420袋，这时已售出的和剩下食盐的数量比是3：1，则宏富超市购进的这批食盐有袋．27．老师让小明在400米的环形跑道上按照如下规律插上一些旗子做标记：从起点开始，沿着跑道每前进90米就插上一面旗子，直到下一个90米的地方已经插有旗子为止，则小明要准备面旗子．28．12013+22013+32013+42013+52013除以5，余数是．（a2013表示2013个a相乘）29．如图，设定E、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，线段CE，BF交于点D，若△CDF，△BCD，△BDE的面积分别为3，7，7，则四边形AEDF的面积是．30．图中每一个圆的面积都是1平方厘米，则六瓣花形阴影部分的面积是平方厘米．31．建筑公司建一条隧道，按原速度建成时，使用新设备，使修建速度提高了20%，并且每天的工作时间缩短为原来的80%，结果共用185天建完隧道，若没有新设备，按原速度建完，则需要天．32．早晨7点10分，妈妈叫醒小明，让他起床，可小明从镜子中看到的时刻还没有到起床的时刻，他对妈妈说：“还早呢！”小明误以为当时是点分．33．某工程队修建一条铁路隧道，当完成任务的时，工程队采用新设备，使修建速度提高了20%，同时为了保养新设备，每天工作时间缩短为原来的，结果，前后共用185天完工，由以上条件可推知，如果不采用新设备，完工共需天．34．小强和小林共有邮票400多张，如果小强给小林一些邮票，小强的邮票就比小林的少；如果小林给小强同样多的邮票，则小林的邮票就比小强的少，那么，小强原有227张邮票，小林原有张邮票．35．王涛将连续的自然数1，2，3，…逐个相加，一直加到某个自然数为止，由于计算时漏加了一个自然数而得到错误的结果2012．那么，他漏加的自然数是．36．对于一个多边形，定义一种“生长”操作：如图1，将其一边AB变成向外凸的折线ACDEB，其中C和E是AB的三等分点，C，D，E三点可构成等边三角形，那么，一个边长是9的等边三角形，经过两次“生长”操作（如图2），得到的图形的周长是；经过四次“生长”操作，得到的图形的周长是．37．李华在买某一商品的时候，将单价中的某一数字“7”错看成了“1”，准备付款189元，实际应付147元，已知商品的单价及购买的数量都是整数，则这种商品的实际单价是元，李华共买了件．38．如图，已知AB＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是cm2．（π取3.14）39．快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇行了全程的，已知慢车行完全程需要8小时，则甲、乙两地相距千米．40．甲、乙两家商店出售同一款兔宝宝玩具，每只原售价都是25元，为了促销，甲店先提价10%，再降价20%；乙店则直接降价10%．那么，调价后对于这款兔宝宝玩具，店的售价更便宜，便宜元．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：设原来的分数x是，则：＝则：b＝3（c+a）＝3c+3a①＝则：4c＝a+b②①代入②可得：4c＝a+3c+3a4c＝4a+3c则：c＝4a③③代入①可得：b＝3c+3a＝3×4a+3a＝15a所以＝＝即x＝．故答案为：．2．解：大正方体表面积：6×6×6＝216，体积是：6×6×6＝216，切割后小正方体表面积总和是：216×＝720，假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（63﹣53）÷13＝91（个），这时表面积总和是：52×6+12×6×91＝696≠720，所以不可能有棱长为5的小正方体．（1）同理，棱长为4的小正方体最多为1个，此时，不可能有棱长为3的小正方体，剩下的只能是切割成棱长为2的小正方体或棱长为1的小正方体，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，则解得：（2）棱长为3的小正方体要少于（6÷3）×（6÷3）×（6÷3）＝8个，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，棱长为3的小正方体有c个，化简：由上式可得：b＝9c+24，a＝，当c＝0时，b24＝，a＝24，当c＝1时，b＝33，a＝19.5，（不合题意舍去）当c＝2时，b＝42，a＝15，当c＝3时，b＝51，a＝10.5，（不合题意舍去）当c＝4时，b＝60，a＝6，当c＝5时，b＝69，a＝28.5，（不合题意舍去）当c＝6时，b＝78，a＝﹣3，（不合题意舍去）当c＝7时，a＝负数，（不合题意舍去）所以，棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个．答：棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个．3．解：根据分析，最大的数最高位是：9，次大的数最高位是：8，最小的数最高位是1，次大的数倍3除余2，且要尽可能的大，则次大的三位数为：875；最小的数被3除余1，且要尽可能的小，则最小的三位数为：124；剩下的三个数字只有，3，6，9，故最大的三位数为：963．故答案是：963、875、124．4．解：图1所示的长方体容器的容积：10×10×30＝3000（立方厘米）接水口的面积为：10×30＝300（平方厘米）接水口每平方厘米每小时可接水：3000÷300÷1＝10（立方厘米）所以，图①需要：10×10×30÷（10×10×10）＝3（小时）图②需要：（10×10×20+10×10×10）÷（10×10×20）＝1.5（小时）图③需要：2÷2＝1（厘米）3.14×1×1×20÷（3.14×1×10）＝2（小时）答：容器①需要3小时，容器②需要1.5小时，容器③需要2小时．5．解：＝＝，答：这三个分数中最大的一个是．故答案为：．6．解：2×1×4+3×12＝8+3＝11（平方厘米）答：阴影部分的面积是11平方厘米．故答案为：11．7．解：有答对一题，两题，三题，四题，五题，全错六种情况，答对三题是60分，四题是80分，五题是100分，她得60分或60分以上的概率是：＝50%．答：她得60分或60分以上的概率是50%．故答案为：50%．8．解：圆锥形铁块的体积是：3.14×（10÷2）2×3.2＝3.14×25×3.2＝251.2（cm3）铁块的高是：251.2×3÷[3.14×（）2]＝251.2×3÷50.24＝15（cm）答：铁块的高是15cm．9．解：根据分析可知A100记为（1+2+3+…+100，1+2+3+…+100）；因为1+2+3+…+100＝（1+100）×100÷2＝5050，所以A100记为（5050，5050）；故答案为：A100记为（5050，5050）．10．解：36.45÷（3+）＝36.45＝5.45.4×＝20.25（元）答：1支钢笔的售价是 20.25元．故答案为：20.25．11．解：依题意可知：两数字和为奇数，那么一定有一个偶数．偶质数是2．当b＝2时，5a+2＝2027，a＝405不符合题意．当a＝2时，10+b＝2027，b＝2017符合题意，a+b＝2+2017＝2019．故答案为：2019．12．解：48÷3＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，所以，a，b，c的乘积最大是：15×16×17＝4080．故答案为：4080．13．解：24÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）＝24÷＝60（道）答：这份练习题共有 60道．故答案为：60．14．解：依题意可知：将一根长10米的长方体木块锯成6段，表面积比原来增加了100平方分米，变面积增加了10个面，那么每一个面的面积为100÷10＝10平方分米．10米＝100分米．体积为：10×100＝1000（立方分米）．故答案为：100015．解：依题意可知：根据甲乙两人的相遇点相同，那么他们的速度比例是不变的．当甲提高时，乙也同样需要提高，而乙提高的是每小时10千米．即10÷＝40千米/小时．故答案为：4016．解：设这个数是a，[（a+5）×2﹣4]÷2﹣a＝[2a+6]÷2﹣a＝a+3﹣a＝3，故答案为：3．17．解：设这本书的页码是从1到n的自然数，正确的和应该是1+2+…+n＝n（n+1），由题意可知，n（n+1）＞4979，由估算，当n＝100，n（n+1）＝×100×101＝5050，所以这本书有100页．答：这本书共有100页．故答案为：100．18．解：因为（10a+b）：（10b+a）＝5：6，所以（10a+b）×6＝（10b+a）×560a+6b＝50b+5a所以55a＝44b则a＝b，所以b只能为5，则a＝4．所以＝45．故答案为：45．19．解：已知去时的速度为50千米/小时，余下的路程行驶速度是50×（1+20%）＝50千米/小时；返回的速度为50千米/小时，余下的路程行驶速度是50×（1+32%）＝66千米/小时．设总路程为x千米，得：（x×+x×）﹣（x×+x×）＝x﹣x＝x＝x＝330答：王老师家与A地相距330千米．故答案为：330．20．解：180°×＝180°×＝90°答：角度最大可以是 90度．故答案为：90．21．解：小正方形的面积之和为30时，两正方形的面积差最小，则大正方形的面积越大，即EFGH的面积较大；故答案为：EFGH．22．解：（9×2﹣2×3）÷（3﹣2），＝（18﹣6）÷1，＝12÷1，＝12（米），（12+9）×2，＝21×2，＝42（米）．故答案为：42，12．23．解：（1﹣30%）×（1+10%）＝70%×110%，＝77%；5880÷12÷[30%﹣（1﹣77%）]＝490÷[30%﹣23%]，＝490÷7%，＝7000（元）．即李阿姨的月工资是 7000元．故答案为：7000．24．解：设A、B两校的男生、女生人数分别为8a、7a、30b、31b，由题意得：（8a+30b）：（7a+31b）＝27：26，27×（7a+31b）＝26×（8a+30b），189a+837b＝208a+780b，837b﹣780b＝208a﹣189a，57b＝19a，所以a＝3b，所以A、B两校合并前人数的比是：（8a+7a）：（30b+31b），＝15a：61b，＝45b：61b，＝（45b÷b）：（61b÷b）＝45：61；答：A，B两校合并前人数比是45：61．故答案为：45：61．25．解：设男生有x人，（1﹣）x＝152﹣x﹣5，x+x＝147﹣x+x，x＝147，x＝77，答：该小学的六年级共有男生77名．故应填：77．26．解：420÷（1﹣40%﹣）＝420÷0.35＝1200（袋）答：宏富超市购进的这批食盐有1200袋．故答案为：1200．27．解：400和90的最小公倍数是3600，则3600÷90＝40（面）．答：小明要准备40面旗子．故答案为：40．28．解：多个2相乘结果个位数字有一个规律：2、4、8、6每4个2相乘一个循环，多个3相乘结果个位数字有一个规律：3、9、7、1每4个3相乘一个循环，2013÷4＝503…1，所以2013个2相乘后个位数字是2，2013个3相乘后个位数字是3，2013个4相乘后个位数字是4，1的任何次方都是1，5的任何次方的个位数字都是5，1+2+3+4+5＝15所以12013+22013+32013+42013+52013的个位数字是5，所以除以5的余数是0；故答案为：0．29．解：连接AD，因△CDF和△BCD的高相等，所以FD：DB＝3：7，所△AFD和△ABD的面积比也是3：7，即可把△AFD的面积看作是3份，△ABD的面积看作是7份，S△BCD＝7，S△BDE＝7所以CD＝DE，S△ACD＝S△ADE，S△ACD+S△BDE＝S△ABD，S△ACD+S△BDE＝7份，S△AFD+S△CDF+S△BDE＝7份，3份+3+7＝7份，则1份＝2.5，S四边形AEDF＝10份﹣7＝10×2.5﹣7＝25﹣7＝18答：四边形AEDF的面积是18．故答案为：18．30．解：1×2＝2（平方厘米）；答：六瓣花形阴影部分的面积是2平方厘米．故答案为：2．31．解：（1﹣）÷[（1+20%）×80%]＝÷[120%×80%]，＝，＝；185÷（+）＝185÷，＝180（天）．答：按原速度建完，则需要180天．故答案为：180．32．解：早晨7点10分，分针指向2，时针指7、8之间，根据对称性可得：与4点50分时的指针指向成轴对称，故小明误以为是4点50分．故答案为：4，50．33．解：设计划用x天完成任务，那么原计划每天的工作效率是，提高后每天的工作效率是×（1+20%）＝×＝，前面完成工程的所用时间是天，提高工作效率后所用的实际是（185﹣）×天，所以，+（185﹣）××＝1，+（185﹣）××﹣＝1﹣，（185﹣）××＝，（185﹣）×÷＝÷，185﹣+＝x+，x÷＝185÷，x＝180，答：工程队原计划180天完成任务．故答案为：180．34．解：（1﹣）：1＝13：19，13+19＝32；1：（1﹣）＝17：11，17+11＝28，32与28的最小公倍数是224，小强和小林共有邮票400多张，所以共有224×2＝448张，448÷32×13＝182，448÷28×17＝272．小强：（182+272）÷2＝227张小林：448﹣227＝221．故答案为：227，221．35．解：设这个等差数列和共有n项，则末项也应为n，这个等差数列的和为：（1+n）n÷2＝；经代入数值试算可知：当n＝62时，数列和＝1953，当n＝63时，数列和＝2016，可得：1953＜2012＜2016，所以这个数列共有63项，少加的数为：2016﹣2012＝4．故答案为：4．36．解：边长是9的等边三角形的周长是9×3＝27第一次“生长”，得到的图形的周长是：27×＝36第二次“生长”，得到的图形的周长是：36×＝48第三次“生长”，得到的图形的周长是：48×＝64第四次“生长”，得到的图形的周长是：64×＝＝85答：经过两次“生长”操作，得到的图形的周长是48，经过四次“生长”操作得到的图形的周长是85．故答案为：48，85．37．解：189＝3×3×3×7＝27×7147＝3×7×7＝21×7正好是27×7＝189中把27看成21×7＝147所以这种商品的实际单价是21元，卖了7件．故答案为：21，7．38．解：40÷2＝20（厘米）20÷2＝10（厘米）3.14×202﹣3.14×102÷2×4＝1256﹣628＝628（平方厘米）答：阴影部分的面积是628平方厘米．故答案为：628．39．解：1﹣＝×8＝（小时）×33＝（千米）÷＝198（千米）答：甲、乙两地相距198千米．故答案为：198．40．解：甲商店：25×（1+10%）×（1﹣20%），＝25×110%×80%，＝27.5×0.8，＝22（元）；乙商店：25×（1﹣10%），＝25×90%，＝22.5（元）；22.5﹣22＝0.5（元）；答：甲商店便宜，便宜了0.5元．故答案为：甲，0.5．。
小学奥数(六年级)举一反三
小学奥数举一反三(六年级)1-20第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△”是新的运算符号。
练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。
求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
小学奥数举一反三六年级1 40讲
小学奥数举一反三六年级1 40讲小学奥数举一反三六年级1--40讲六年级奥数训练教材第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解决新运算的关键是正确理解新定义公式的含义，然后严格按照新定义的计算程序将数值替换为常规的四个计算公式。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
如果新定义的公式中有括号，则应首先计算括号中的括号。
但在转化之前，它并不适用于所有的运行规律。
二、精讲精练[例1]假设a*b=（a+b）+（a-b），找到13*5和13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
[思路导航]计算4△ 6首先根据定义。
这里“△“是一个新的行动符号。
练习2：1.设P和Q为两个数字，并指定P△ q=4×q-（P+q）÷2，找到5△ (6 △ 4).2.设P和Q为两个数字，并指定P△ q=P2+（P-q）×2.找到30△ (5 △ 3). 3.设m和n为两个数字，指定m*n=m/n+n/m，然后找到10*20-1/4。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
六年级举一反三A设数法解题PPT课件
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一、知识要点
在小学数学竞赛中，常常会遇到看起来缺少条件的题目， 按常规解法似乎无解，但仔细分析就会发现，题目中缺少的 条件，对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入法“， 即对题目中缺少的条件，随便假设一个数代入（当然假设的 这个数要尽量方便计算），然后求出解答。
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如果△△= □□□，△☆= □□□□，那么☆☆□= （ ）个△。
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3、一长方形每边增加10%，那么，它的周长增 加百分之几？它的面积增加百分之几？
设长方形的每边边长都为1，则 [（1＋10%）×4－1×4]÷（1×4）= 10% [ （1＋10%） × （1＋10% ）－1×1]÷（1＋1）= 21%
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例题 5
狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已 跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追到它？ 【思路导航】马跑一步的距离不知道，跑3步的时间也不知道， 可取具体数值，并不影响解题结果。
26÷（1÷8/5－4/9） = 144（步）
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2、猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔 子。已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与 兔子跑7步的距离相等，求兔子再跑多远，猎狗可以追到它？
设狗的步长为7，则兔的步长为4，再设狗跑2步的时间为1， 则兔跑3步的时间也为 1，推出狗的速度是14，兔的速度是 12。
答：小王的平均速度是每分钟192米。
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操练 3
1、小华上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千 米，求上山后又沿原路下山的平均速度。
设一个单程是12千米 12×2÷（12÷3＋12÷6）= 4（千米/小时）
小学六级奥数举一反三精品PPT课件
第2周 简便运算（一）
根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性 质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简， 化难为易。
【例题1】 计算4.75-9.63+（8.25-1.37） 【思路导航】 先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质： a－b－c = a－（b＋c），使运算过程简便。所以 原式＝4.75+8.25－9.63－1.37 ＝13－（9.63+1.37） ＝13－11 ＝2
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】 设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。 求3△(4△6)。 【思路导航】根据定义先算4△6。在这里“△”是新的运算 符号。3△(4△6) ＝3△【4×6－（4+6）÷2】 ＝3△19 ＝4×19－（3+19）÷2 ＝76－11 ＝65
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而 解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义， 然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规 的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是 一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中 的“＋、－、×、÷”不同的。
【练习1】计算下面各题。
【例题2】
计算 3333871 ×79+790×666611
2
4
原式＝333387.5×79+790×66661.25
＝（33338.75+66661.25）×790
＝100000×790
＝79000000
【练习2】
小学奥数(六年级)举一反三
小学奥数举一反三(六年级)1-20第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△”是新的运算符号。
练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。
求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
人教版奥数举一反三(六年级)全图文百度文库
人教版奥数举一反三(六年级)全图文百度文库一、拓展提优试题1．A，B两校的男、女生人数的比分别为8：7和30：31，两校合并后男、女生人数的比是27：26，则A，B两校合并前人数比是．2．从12点开始，经过分钟，时针与分针第一次成90°角；12点之后，时针与分针第二次成90°角的时刻是．3．某小学的六年级有学生152人，从中选男生人数的和5名女生去参加演出，该年级剩下的男、女生人数恰好相等，则该小学的六年级共有男生名．4．把一个自然数分解质因数，若所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，则称这样的数为“史密斯书数”如：27＝3×3×3.3+3+3＝2+7，即27是史密斯数，那么，在4，32，58，65，94中，史密斯数有个．5．老师让小明在400米的环形跑道上按照如下规律插上一些旗子做标记：从起点开始，沿着跑道每前进90米就插上一面旗子，直到下一个90米的地方已经插有旗子为止，则小明要准备面旗子．6．（15分）快艇从A码头出发，沿河顺流而下，途经B码头后继续顺流驶向C码头，到达C码头后立即反向驶回B码头，共用10小时，若A、B相距20千米，快艇在静水中航行的速度是40千米/时，河水的流速是10千米/时，求B、C间的距离．7．小强和小林共有邮票400多张，如果小强给小林一些邮票，小强的邮票就比小林的少；如果小林给小强同样多的邮票，则小林的邮票就比小强的少，那么，小强原有227张邮票，小林原有张邮票．8．甲、乙、丙三人去郊游，甲买了9根火腿，乙买了6个面包，丙买了3瓶矿泉水，乙花的钱是甲的，丙花的钱是乙的，丙根据每人所花钱的多少拿出9元钱分给甲和乙，其中，分给甲元，分给乙元．9．如图，一只玩具蚂蚁从O点出发爬行，设定第n次时，它先向右爬行n个单位，再向上爬行n个单位，达到点A n，然后从点A n出发继续爬行，若点O记为（0，0），点A1记为（1，1），点A2记为（3，3），点A3记为（6，6），…，则点A100记为．10．若A：B＝1：4，C：A＝2：3，则A：B：C用最简整数比表示是．11．如图所示的容器中放入底面相等并且高都是3分米的圆柱和圆锥形铁块，根据图1和图2的变化知，圆柱形铁块的体积是立方分米．12．若一个十位数是99的倍数，则a+b＝．13．根据图中的信息可知，这本故事书有页页．14．从1，2，3，…，2016中任意取出n个数，若取出的数中至少有两个数互质，则n最小是．15．能被5和6整除，并且数字中至少有一个6的三位数有个．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：设A、B两校的男生、女生人数分别为8a、7a、30b、31b，由题意得：（8a+30b）：（7a+31b）＝27：26，27×（7a+31b）＝26×（8a+30b），189a+837b＝208a+780b，837b﹣780b＝208a﹣189a，57b＝19a，所以a＝3b，所以A、B两校合并前人数的比是：（8a+7a）：（30b+31b），＝15a：61b，＝45b：61b，＝（45b÷b）：（61b÷b）＝45：61；答：A，B两校合并前人数比是45：61．故答案为：45：61．2．解：分针每分钟走的度数是：360÷60＝6（度），时针每分钟走的度数是：6×5÷60＝0.5（度），第一成直角用的时间是：90÷（6﹣0.5），＝90÷5.5，＝16（分钟），第二次成直角用的时间是：270÷（6﹣0.5），＝270÷5.5，＝49（分钟）．这时的时刻是：12时+49分＝12时49分．故答案为：16，12时49分．3．解：设男生有x人，（1﹣）x＝152﹣x﹣5，x+x＝147﹣x+x，x＝147，x＝77，答：该小学的六年级共有男生77名．故应填：77．4．解：4＝2×2，2+2＝4，所以4是史密斯数；32＝2×2×2×2×2；2+2+2+2+2＝10，而3+2＝5；10≠5，32不是史密斯数；58＝2×29，2+2+9＝13＝13；所以58是史密斯数；65＝5×13；5+1+3＝9；6+5＝11；9≠11，65不是史密斯数；94＝2×472+4+7＝13＝9+4；所以94是史密斯数．史密斯数有4，58，94一共是3个．故答案为：3．5．解：400和90的最小公倍数是3600，则3600÷90＝40（面）．答：小明要准备40面旗子．故答案为：40．6．解：设B、C间的距离为x千米，由题意，得+＝10，解得x＝180．答：B、C间的距离为180千米．7．解：（1﹣）：1＝13：19，13+19＝32；1：（1﹣）＝17：11，17+11＝28，32与28的最小公倍数是224，小强和小林共有邮票400多张，所以共有224×2＝448张，448÷32×13＝182，448÷28×17＝272．小强：（182+272）÷2＝227张小林：448﹣227＝221．故答案为：227，221．8．解：丙花钱是甲的×＝甲：乙：丙＝1：：＝13：12：8（13+12+8）÷3＝11每份：9÷（11﹣8）＝3（元）甲：（13﹣11）×3＝6（元）乙：（12﹣11）×3＝3（元）答：分给甲6元，分给乙3元．故答案为：6，3．9．解：根据分析可知A100记为（1+2+3+…+100，1+2+3+…+100）；因为1+2+3+…+100＝（1+100）×100÷2＝5050，所以A100记为（5050，5050）；故答案为：A100记为（5050，5050）．10．解：A：B＝1：4＝：＝（×6）：（×6）＝10：29C：A＝2：3＝：＝（×15）：（×15）＝33：55＝3：5＝6：10这样A的份数都是10，所以A：B：C＝10：29：6．故答案为：10：29：6．11．解：25.7÷（1+1+3）＝25.7÷5＝5.14（立方分米）5.14×3＝15.42（立方分米）答：圆柱形铁块的体积是15.42立方分米．故答案为：15.42．12．解：根据99的整除特性可知：20+16++20+17＝99．．a+b＝8．故答案为：8．13．解：（10+5）÷（1﹣×2）＝15÷＝25（页）答：这本故事书有25页；故答案为：25．14．解：根据分析，1～2016数中，有奇数1008个，偶数1008个，因为偶数和偶数之间不能互质，故：①n＜1008时，有可能取的n个数都是偶数，就不能出现至少有两个数互质的情况；②n＝1008时，若取的数都是偶数，也不能出现至少有两个数互质的情况；③n≥1009时，则取的n个数里至少有一个为奇数，取出的这个奇数和它相邻的偶数一定互质，综上，n最小是1009．故答案是：1009．15．解：根据分析，分解质因数6＝2×3∴这个三位数能同时被2、3、5整除，而且数字中至少含有一个6∴这个三位数的个位数必须为偶数或0，因被5整除的数个位数必须是0或5，故个位数为0，设此三位数为，按题意a、b中至少有一个数字为6，①a＝6时，则6+b+0 是3的倍数，则b＝0，3，6，9，符合的三位数为：600、630、660、690②b＝6时，则6+a+0 是3的倍数，则a＝3，6，9，符合的三位数为：360、660、960综上所述，符合题意的三位数为：360、660、960、600、630、690故答案为：6．。
小学六年级奥数举一反三ppt课件 (1-10)
【例题1】 计算：1234+2341+3412+4123
【思路导航】 注意到题中共有４个四位数，每个四位数中都包含有１、２、 ３、４这几个数字，而且它们都分别在千位、百位、十位、 个位上出现了一次，根据位值计数的原则，可作如下解答：
原式＝1×1111+2×1111+3×1111+4×1111 ＝（1+2+3+4）×1111 ＝10×1111 ＝11110
＝254+80 =334
【练习4】
【例题5】
计算81.5×15.8+81.5×51.8+67.6×18.5 原式＝81.5×（15.8+51.8）+67.6×18.5 ＝81.5×67.6+67.6×18.5 ＝（81.5+18.5）×67.6 ＝100×67.6 ＝6760
【练习5】
计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行 一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算，这种思考方 法在四则运算中用处很大。
即20÷【7/（12-7）－3/（8-3）】÷（1－7/12）＝60（根）
解法二：把短跳绳看作单位“1”，原来的总数是短跳绳的 8/ （ 8-3 ） ， 后 来 的 总 数 是 短 跳 绳 的 12/ （ 12-7 ） 。 所 以 20÷（12/（12-7）－8/（8-3））÷（1－7/12）＝60（根）
3．某校六年级上学期男生占总人数的54％，本学期 转进3名女生，转走3名男生，这时女生占总人数的 48％。现在有男生多少人？
【例题2】某学校原有长跳绳的根数占长、短 跳绳总数的3/8。后来又买进20根长跳绳，这 时长跳绳的根数占长、短跳绳总数的7/12。 这个学校现有长、短跳绳的总数是多少根？
六年级举一反三A版第9讲-设数法解题市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
2、某班男生人数是女生 4/5，女生平均身高比男生高 15%，全班平均身高是130厘米，求男生、女生平均身高 各是多少?
设女生有5人，男生有4人，男生身高为单位”1“，则 女生身高为（1＋15%）。 男生：130×（4＋5）÷【 4＋5×（1＋15%） 】= 120（厘 米） 女生：120× （1＋15%）=138（厘米）
设戊是100厘米高，可推出甲是101厘米高。 甲高，高1厘米。
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3、甲乙丙三个仓库原有一样多货，从甲仓库运60吨 到乙仓库，从乙仓库运45吨到丙仓库，从丙仓库运55 吨到甲仓库，这时三个仓库货哪个最多？哪个最少？ 最多比最少多多少吨？
设甲、乙、丙三个仓库原来各有100吨， 可推出这时乙有115吨，丙有90吨。
15－15×（1＋1/5 ）÷2 = 6（元）
答：每张票降价6元。
说明：假如设原来有a名观众，则每张票降价：
15 a×（1＋1/5）
15－
= 6（平均分为70分，其中 ¾ 及格，及 格同学平均分为80分，那么不及格同学平均分是多少？
设考试总人数为4人， 70×4－80×3= 40（分）
答：小王平均速度是每分钟192米。
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操练 3
1、小华上山速度是每小时3千米，下山速度是每小时6千米， 求上山后又沿原路下山平均速度。
设一个单程是12千米 12×2÷（12÷3＋12÷6）= 4（千米/小时）
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2、张师傅骑自行车往返A、B两地。去时每小时行15千米， 返回时因逆风，每小时只行10千米。张师傅往返途中平均 速度是每小时多少千米？ 设一个单程为30千米 30×2÷（30÷15＋30÷10）= 12 （千米/小时）
设狗步长为1，狗跑一步时间也为1. 600× 5/3 － 600× 3/2 = 100（步）
举一反三六年级小学奥数140讲
举一反三六年级小学奥数1-40讲一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算°解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算°定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的°新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的°但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的°二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*［5*4］°【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于a 和b 两数之和加上两数之差°这里的“*”就代表一种新运算°在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的°因此，在13*［5*4］中，就要先算小括号里的［5*4］°练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).°求27*9°2.设a*b=a2+2b ，那么求10*6和5*［2*8］°3.设a*b=3a －b ×1/2，求［25*12］*［10*5］° 【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2°求3△(4△6)°【思路导航】根据定义先算4△6°在这里“△”是新的运算符号°练习2：1．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －［p+q ］÷2，求5△［6△4］° 2．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p2+［p －q ］×2°求30△［5△3］° 3．设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M/N+N/M ，求10*20－1/4°【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________°【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为°因此练习3： 1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________°2．规定， 那么8*5=________°3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么［6*3］÷［2*6］=________° 【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A ，那么，A 是几？【思路导航】这题的新运算被定义为：@ = ［a －1］×a ×［a ＋1］，据此，可以求出1/⑥－1/⑦ =1/［5×6×7］－1/［6×7×8］，这里的分母都比较大，不易直接求出结果°根据1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A ，可得出A = (1/⑥－1/⑦)÷1/⑦ = ［1/⑥－1/⑦］×⑦ = ⑦/⑥ －1°即练习4：1．规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A ，那么A=________°2．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□，那么□＝________°3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x ※3＝54中，x ＝________°【例题5】设a ⊙b=4a －2b+1/2ab,求z ⊙［4⊙1］＝34中的未知数x °【思路导航】先求出小括号中的4⊙1=4×4-2×1+1/2×4×1＝16，再根据x ⊙16＝4x －2×16+1/2×x ×16 = 12x －32，然后解方程12x －32 = 34，求出x 的值°列算式为练习5：7*4=7+77+777+7777=8638 210*2=210+210210=210420A =［1/⑥－1/⑦］÷1/⑦ =（1/⑥－1/⑦）×⑦ = ⑦/⑥－1=（6×7×8）/（5×6×7）－1 = 1又3/5－1 = 3/54⊙1＝4×4-2×1+1/2×4×1＝16 x ⊙16＝4x －2×16+1/2×x ×16 ＝12x －32 12x －32 = 34 12x= 66 x ＝5.51．设a⊙b=3a－2b，已知x⊙［4⊙1］＝7求x°2．对两个整数a和b定义新运算“△”：a△b= ，求6△4+9△8°3．对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y＝［其中m是一个确定的整数］°如果1*2＝1，那么3*12＝________°第2讲简便运算［一］一、知识要点根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易°二、精讲精练【例题1】计算4.75-9.63+［8.25-1.37］【思路导航】先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质：a－b－c = a－［b＋c］，使运算过程简便°所以原式＝4.75+8.25－9.63－1.37＝13－［9.63+1.37］＝13－11＝2练习1：计算下面各题°1． 6.73－2 又8/17+［3.27－1又9/17］2. 7又5/9－［3.8+1又5/9］－1又1/53. 14.15－［7又7/8－6又17/20］－2.1254. 13又7/13－［4又1/4+3又7/13］－0.75【例题2】计算333387又1/2×79+790×66661又1/4【思路导航】可把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便°所以：原式＝333387.5×79+790×66661.25＝33338.75×790+790×66661.25＝［33338.75+66661.25］×790＝100000×790＝79000000练习2：计算下面各题：1. 3.5×1又1/4+125％+1又1/2÷4/52. 975×0.25+9又3/4×76－9.753. 9又2/5×425+4.25÷1/604. 0.9999×0.7+0.1111×2.7【例题3】计算：36×1.09+1.2×67.3【思路导航】此题表面看没有什么简便算法，仔细观察数的特征后可知：36 = 1.2×30°这样一转化，就可以运用乘法分配律了°所以原式＝1.2×30×1.09+1.2×67.3＝1.2×［30×1.09+1.2×67.3］＝1.2×［32.7+67.3］＝1.2×100＝120练习3：计算：1. 45×2.08+1.5×37.62. 52×11.1+2.6×7783. 48×1.08+1.2×56.84. 72×2.09－1.8×73.6【例题4】计算：3又3/5×25又2/5＋37.9×6又2/5【思路导航】虽然3又3/5与6又2/5的和为10，但是与它们相乘的另一个因数不同，因此，我们不难想到把37.9分成25.4和12.5两部分°当出现12.5×6.4时，我们又可以将6.4看成8×0.8，这样计算就简便多了°所以原式＝3又3/5×25又2/5＋［25.4+12.5］×6.4＝3又3/5×25又2/5＋25.4×6.4＋12.5×6.4＝［3.6+6.4］×25.4＋12.5×8×0.8＝254＋80＝334练习4：计算下面各题：1．6.8×16.8＋19.3×3.22．139×137/138＋137×1/1383．4.4×57.8＋45.3×5.6【例题5】计算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5【思路导航】先分组提取公因数，再第二次提取公因数，使计算简便°所以原式＝81.5×［15.8＋51.8］＋67.6×18.5＝81.5×67.6＋67.6×18.5＝［81.5＋18.5］×67.6＝100×67.6＝6760练习5：1．53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.52．235×12.1＋+235×42.2－135×54.33．3.75×735－3/8×5730＋16.2×62.5第3讲简便运算［二］一、知识要点计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大°二、精讲精练【例题1】计算：1234＋2341＋3412＋4123【思路导航】整体观察全式，可以发现题中的4个四位数均由数1，2，3，4组成，且4个数字在每个数位上各出现一次，于是有原式＝1×1111＋2×1111＋3×1111＋4×1111＝［1＋2＋3＋4］×1111＝10×1111＝11110练习1：1．23456＋34562＋45623＋56234＋623452．45678＋56784＋67845＋78456＋845673．124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68【例题2】计算：2又4/5×23.4＋11.1×57.6＋6.54×28【思路导航】我们可以先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算°所以原式＝2.8×23.4＋2.8×65.4＋11.1×8×7.2＝2.8×［23.4＋65.4］＋88.8× 7.2＝2.8×88.8＋88.8×7.2＝88.8×［2.8＋7.2］＝88.8×10＝888练习2：计算下面各题：1．99999×77778＋33333×666662．34.5×76.5－345×6.42－123×1.453．77×13＋255×999＋510【例题3】计算［1993×1994－1］/［1993＋1992×1994］【思路导航】仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中1993×1994可变形为1992＋1］×1994=1992×1994＋1994，同时发现1994－1 = 1993，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算°所以原式＝【［1992＋1］×1994－1】/［1993＋1992×1994］＝［1992×1994＋1994－1］/［1993＋1992×1994］＝1练习3：计算下面各题：1．［362＋548×361］/［362×548－186］2．［1988＋1989×1987］/［1988×1989－1］3．［204＋584×1991］/［1992×584―380］―1/143【例题4】有一串数1，4，9，16，25，36…….它们是按一定的规律排列的，那么其中第2000个数与2001个数相差多少？【思路导航】这串数中第2000个数是20002，而第2001个数是20012，它们相差：20012－20002，即20012－20002＝2001×2000－20002＋2001＝2000×［2001－2000］＋2001＝2000＋2001＝4001练习4：计算：1．19912－19902 2．99992＋19999 3．999×274＋6274【例题5】计算：［9又2/7＋7又2/9］÷［5/7＋5/9］【思路导航】在本题中，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把1/7与1/9的和作为一个数来参与运算，会使计算简便得多°原式＝［65/7＋65/9］÷［5/7＋5/9］＝【65×［1/7＋1/9］】÷【5×［1/7＋1/9］】＝65÷5＝13练习5：计算下面各题：1．［8/9＋1又3/7＋6/11］÷［3/11＋5/7＋4/9］2．［3又7/11＋1又12/13］÷［1又5/11＋10/13］3．［96又63/73＋36又24/25］÷［32又21/73＋12又8/25］第4讲简便运算［三］一、知识要点在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律的模式，以便于口算，从而简化运算°二、精讲精练【例题1】计算：［1］4445×37 ［2］ 27×1526［1］原式＝［1－145］×37＝1×37－145×37＝37－37 45＝368 45练习1用简便方法计算下面各题：1. 1415×8 2.225×126 3. 35×11364. 73×74755.19971998×1999【例题2】计算：73115×18原式＝［72+1615］×18＝72×18+1615×18＝9+2 15＝9215［2］原式＝（26+1）×1526＝26×1526+1526＝15+1526＝151526练习2计算下面各题：1. 64117×192. 22120×1213. 17×57164. 4113×34+5114×45【例题3】计算：15×27+35×41原式＝35×9+35×41＝35×［9+41］＝35×50＝30练习3计算下面各题：1. 14×39+34×27 2.16×35+56×17 3.18×5+58×5+18×10【例题4】计算：56×113+59×213+518×613原式＝16×513+29×513+618×513＝［16+29+618］×513＝1318×513＝5 18练习4计算下面各题： 1． 117 ×49 +517 ×19 2. 17 ×34 +37 ×16 +67×1123．59×791617 +50×19 +19 ×517 4. 517 ×38 +115 ×716 +115×312【例题5】 计算：［1］166120 ÷41 ［2］ 1998÷199819981999解： ［1］原式＝［164+2120 ］÷41＝164÷41+4120 ÷41＝4+120＝4120练习5计算下面各题：1. 5425 ÷172. 238÷2382382393. 163113 ÷41139［2］原式＝1998÷1998×1999+19981999＝1998÷1998×20001999＝1998×19991998×2000＝19992000第5讲 简便运算［四］一、知识要点前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法［也叫裂项法、拆项法］进行分数的简便运算°运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的°一般地，形如1a×(a+1) 的分数可以拆成1a －1a+1 ；形如1a×（a+n ）的分数可以拆成1n ×［1a －1a+n ］，形如a+b a×b 的分数可以拆成1a +1b 等等°同学们可以结合例题思考其中的规律°二、精讲精练 【例题1】 计算：11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 199×100原式＝［1－12 ］+［12 －13 ］+［13 －14 ］+…..+ ［199 －1100 ］＝1－12 +12 －13 +13 －14 +…..+ 199 －1100＝1－1100＝99100 练习1计算下面各题： 1. 14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×40 2.110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +114×153. 12 +16 +112 +120 + 130 +1424. 1－16 +142 +156 +172【例题2】 计算：12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50原式＝［22×4+24×6+26×8+…..+248×50］×12＝【［12－14］+［14－16］+［16－18］…..+ ［148－150］】×12＝【12－150】×12＝6 25练习2计算下面各题：1.13×5+15×7+17×9+…..+197×992.11×4+14×7+17×10+…..+197×1003.11×5+15×9+19×13+…..+133×374.14+128+170+1130+1208【例题3】计算：113－712+920－1130+1342－1556原式＝113－［13+14］+［14+15］－［15+16］+［16+17］－［17+18］＝113－13－14+14+15－15－16+16+17－17－18＝1－1 8＝7 8练习3计算下面各题：1.112+56－712+920－11302.114－920+1130－1342+15563.19981×2+19982×3+19983×4+19984×5+19985×64.6×712－920×6+1130×6【例题4】计算：12+14+18+116+132+164原式＝［12+14+18+116+132+164+164］－164＝1－1 64＝63 64练习4计算下面各题：1. 12+14+18+………+12562. 23+29+227+281+22433. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6 【例题5】计算：［1+12+13+14］×［12+13+14+15］－［1+12+13+14+15］×［12+13+14］设1+12+13+14＝a12+13+14＝b原式＝a×［b+15］－［a+15］×b＝ab+15a－ab－15b＝15［a－b］＝1 5练习51.［12+13+14+15］×［13+14+15+16］－［12+13+14+15+16］×［13+14+15］2.［18+19+110+111］×［19+110+111+112］－［18+19+110+111+112］×［19+110+111］3.［1+11999+12000+12001］×［11999+12000+12001+12002］－［1+11999+12000+12001+12002］×［11999+12000+12001］第六周 转化单位“1”［一］专题简析：把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化°如果甲是乙的a b ，乙是丙的c d ，则甲是丙的ac bd ；如果甲是乙的a b ，则乙是甲的ba；如果甲的a b 等于乙的c d ，则甲是乙的c d ÷a b ＝bc ad ，乙是甲的a b ÷a b ＝adbc °例题1°乙数是甲数的23 ，丙数是乙数的45 ，丙数是甲数的几分之几？23 ×45 ＝815练习11. 乙数是甲数的34 ，丙数是乙数的35，丙数是甲数的几分之几？2. 一根管子，第一次截去全长的14 ，第二次截去余下的12，两次共截去全长的几分之几？3. 一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了°他醒来时，发现剩下的路程是他睡着前所行路程的14°想一想，剩下的路程是全程的几分之几？他睡着时火车行了全程的几分之几？例题2°修一条8000米的水渠，第一周修了全长的14 ，第二周修的相当于第一周的45，第二周修了多少米？解一：8000×14 ×45 ＝1600［米］解二：8000×［14 ×45］＝1600［米］答：第二周修了1600米°练习2用两种方法解答下面各题：1. 一堆黄沙30吨，第一次用去总数的15 ，第二次用去的是第一次的114倍，第二次用去黄沙多少吨？2. 大象可活80年，马的寿命是大象的12 ，长颈鹿的寿命是马的78，长颈鹿可活多少年？3. 仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的15 ，第二次取出余下的13，第二次取出多少吨？例题3°晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的14 ，第二天看了余下的25，第二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？解： 15÷【［1－14 ］×25 － 14】＝300［页］答：这本书有300页° 练习31. 有一批货物，第一天运了这批货物的14 ，第二天运的是第一天的35，还剩90吨没有运°这批货物有多少吨？2. 修路队在一条公路上施工°第一天修了这条公路的14 ，第二天修了余下的23，已知这两天共修路1200米，这条公路全长多少米？3. 加工一批零件，甲先加工了这批零件的25 ，接着乙加工了余下的49°已知乙加工的个数比甲少200个，这批零件共有多少个？例题4°男生人数是女生人数的45，女生人数是男生人数的几分之几？解：把女生人数看作单位“1”° 1÷45 ＝54把男生人数看作单位“1”° 5÷4＝54练习41． 停车场里有小汽车的辆数是大汽车的34，大汽车的辆数是小汽车的几分之几？2． 如果山羊的只数是绵羊的67 ，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？3． 如果花布的单价是白布的135倍，则白布的单价是花布的几分之几？例题5°甲数的13 等于乙数的14 ，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的几倍？解： 14 ÷13 ＝34 13 ÷14 ＝113答：甲数是乙数的34 ，乙数是甲数的113°练习51. 甲数的34 等于乙数的25 ，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？2. 甲数的123 倍等于乙数的56，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲乙两数和的几分之几？3. 甲数是丙数的34 ，乙数是丙数的25，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？［想一想：这题与第一题有什么不同？］答案：练1 1、 ＝920 2、 ＝58 3、 ＝18 ＝38练2 1、 ＝7.5［吨］ 2、 ＝35［年］ 3、 ＝8吨 练3 1、 ＝150吨 2、 ＝1600米 3、 ＝1500个练4 1、 ＝113 2、＝116 3、 ＝58练5 1、 ＝815 ＝178 2、 ＝12 ＝23 3、＝178 ＝815第七周 转化单位“1”［二］专题简析：我们必须重视转化训练°通过转化训练，既可理解数量关系的实质，又可拓展我们的解题思路，提高我们的思维能力°例题1°甲数是乙数的23 ，乙数是丙数的34，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、丙各是多少？解法一：把丙数看所单位“1”那么甲数就是丙数的34 ×23 ＝12，丙：216÷［1+34 +34 ×23 ］＝96乙：96×34 ＝72甲：72×23＝48解法二：可将“乙数是丙数的34 ”转化成“丙数是乙数的43 ”，把乙数看作单位“1”°乙：216÷［23 +1+43 ］＝72甲：72×23 ＝48丙：72÷34＝96解法三：将条件“甲数是乙数的23 ”转化为“乙数是甲数的32 ”，再将条件“乙数是丙数的34 ”转化为“丙数是乙数的43”，以甲数为单位“1”°甲：216÷［1+32 +32 ×43 ］＝48乙：48×32 ＝72丙：72×43＝96答：甲数是48，乙数是72，丙数是96°练习1下面各题怎样计算简便就怎样计算：1. 甲数是乙数的56 ，乙数是丙数的34，甲、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？2. 橘子的千克数是苹果的23 ，香蕉的千克数是橘子的12，香蕉和苹果共有220千克，橘子有多少千克？3. 某中学的初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的910，初二的学生数是初三学生数的114倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？例题2°红、黄、蓝气球共有62只，其中红气球的35 等于黄气球的23，蓝气球有24只，红气球和黄气球各有多少只？解法一：将条件“红气球的35 等于黄气球的23 ”转化为“黄气球的只数是红气球的［35 ÷23＝］910”°先求红气球的只数，再求出黄气球的只数°红气球：［62－24］÷［1+35 ÷23］＝20［只］黄气球：62－24－20＝18［只］解法二：将条件“红气球的35 等于黄气球的23 ”转化为“红气球的只数是黄气球的［23 ÷35＝］109”°先求黄气球的只数，再求出红气球的只数°黄气球：［62－24］÷［1+23 ÷35］＝18［只］红气球：62－24－18＝20［只］答：红气球有20只，黄气球有18只° 练习21. 甲数的23 等于乙数的56，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？2. 今年8月份，甲所得的奖金比乙少200元，甲得的奖金的23 正好是乙得奖金的47，甲、乙两人各得奖金多少元？3. 商店运来香蕉、苹果和梨子共900千克，香蕉重量的14 等于苹果重量的13，梨子的重量是200千克°香蕉和苹果各多少千克？例题3°已知甲校学生数是乙校学生数的25 ，甲校的女生数是甲校学生数的310，乙校的男生数是乙校学生数的2150，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几？解法一：把乙校学生数看作单位“1”°【25 ×310 +［1－2150 ］】÷［1+25 ］＝12解法二：把甲校学生数看作单位“1”［52 －52 ×2150 +310 ］÷［1+52 ］＝12答：甲、乙两校女生总数占两校学生总数的12°练习31. 在一座城市中，中学生数是居民的15 ，大学生是中学生数的14 ，那么占大学生总数的25的理工科大学生是居民数的几分之几？2. 某人在一次选举中，需34 的选票才能当选，计算23的选票后，他得到的选票已达到当选票数的56 ，他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？3. 某校有35 的学生是男生，男生的120 想当医生，全校想当医生的学生的34 是男生，那么全校女生的几分之几想当医生？例题4°仓库里的大米和面粉共有2000袋°大米运走25 ，面粉运作110后，仓库里剩下大米和面粉正好相等°原来大米和面粉各有多少袋？ 解法一：将大米的袋数看作单位“1”［1－25 ］÷［1－110 ］＝232000÷［1+23］＝1200［袋］2000－1200＝800［袋］ 解法二：将面粉的袋数看作单位“1”［1－110 ］÷［1－25 ］＝322000÷［1+32］＝800［袋］2000－800＝1200［袋］答：大米原有1200袋，面粉原有800袋° 练习41. 甲、乙两人各准备加工零件若干个，当甲完成自己的23 、乙完成自己的14时，两人所剩零件数量相等，已知甲比乙多做了70个，甲、乙两人各准备加工多少个零件？2. 一批水果四天卖完°第一天卖出180千克，第二天卖出余下的27，第三、四天共卖出这批水果的一半，这批水果有多少千克？3. 甲、乙两人合打一篇书稿，共有10500字°如果甲增加他的任务的20％，乙减少他的任务的20％，那么甲打的字数就是乙的2倍，问两人原来的任务各是多少？例题5°400名学生参加植树活动，计划每个男生植树20棵，每个女生植树15棵°除抽出25％的男生搞卫生外，其他的同学都按计划完成了植树任务°问共植树多少棵？ 解： 20×［1－25％］×400 ＝20×0.75×400 ＝6000［棵］答：共植树6000棵° 练习51. 有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的13放在一起是13公顷，麦地的一半和菜地的13放在一起是12公顷，那么，菜地有多少公顷？2. 师徒两人加工同样多的零件，师傅要10分钟，徒弟要18分钟°两人共同加工零件168个，如果要在相同的时间内完成，两人各应加工零件多少个？3. 有5元和2元的人民币若干张，其金额之比为15：4°如果5元人民币减少6张，则两种人民币的张数相等°求原来两种人民币的张数各是多少？答案：练1 1、 丙数＝64 乙数＝48 甲数＝40 2、 ＝110千克 3、＝827练2 1、 乙数＝72 甲数＝90 2、 乙＝1400元 甲＝1200元3、 香蕉＝400千克 苹果＝300千克练3 1、＝150 2、 ＝38 3、 ＝140练4 1、 乙＝56个 甲＝126个 2、 ＝600千克 3、 甲＝6000字 乙＝4500字 练5 1、 ＝18公顷 2、 徒弟＝60个 师傅＝108个3、 2元币＝12张 5元币＝18张第8讲 转化单位“1”［三］一、知识要点解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位“1”，将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答°二、精讲精练【例题1】有两筐梨°乙筐是甲筐的3/5，从甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙筐的梨是甲筐的7/9°甲、乙两筐梨共重多少千克？解：5÷［5/［5+3］－9/［7+9］］＝80［千克］答：甲、乙两筐梨共重80千克°练习1：1．某小学低年级原有少先队员是非少先队员的1/3，后来又有39名同学加入少先队组织°这样，少先队员的人数是非少先队员的7/8°低年级有学生多少人？2．王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的1/19，后来从合格产品中又发现了2个不合格产品，这时算出产品的合格率是94％°合格产品共有多少个？3．某校六年级上学期男生占总人数的54％，本学期转进3名女生，转走3名男生，这时女生占总人数的48％°现在有男生多少人？【例题2】某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的3/8°后来又买进20根长跳绳，这时长跳绳的根数占长、短跳绳总数的7/12°这个学校现有长、短跳绳的总数是多少根？解法一：根据短跳绳的根数没有变，我们把短跳绳看作单位“1”°可以得出原来的长跳绳根数占短跳绳根数的3/［8-3］，后来长跳绳是短跳绳的7/［12-7］°这样就找到了20根长跳绳相当于短跳绳的［7/［12-7］－3/［8-3］］，从而求出短跳绳的根数°再用短跳绳的根数除以［1－7/12］就可以求出这个学校现有跳绳的总数°即20÷【7/［12-7］－3/［8-3］】÷［1－7/12］＝60［根］解法二：把短跳绳看作单位“1”，原来的总数是短跳绳的8/［8-3］，后来的总数是短跳绳的12/［12-7］°所以 20÷［12/［12-7］－8/［8-3］］÷［1－7/12］＝60［根］答：这个学校现有长、短跳绳的总数是60根°练习2：1．阅览室看书的同学中，女同学占3/5，从阅览室走出5位女同学后，看数的同学中，女同学占4/7，原来阅览室一共有多少名同学在看书？2．一堆什锦糖，其中奶糖占45％，再放入16千克其他糖后，奶糖只占25％，这堆糖中有奶糖多少千克？3．数学课外兴趣小组，上学期男生占5/9，这学期增加21名女生后，男生就只占2/5了，这个小组现有女生多少人？【例题3】有两段布，一段布长40米，另一段长30米，把两段布都用去同样长的一部分后，发现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的3/5，每段布用去多少米？解： 40－［40－30］÷［1－3/5］＝15［米］答：每段布用去15米°练习3：1．有两根塑料绳，一根长80米，另一根长40米，如果从两根上各剪去同样长的一段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的2/7，两根绳各剪去多少米？2．今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的5/12时，儿子多少岁？3．仓库里原来存大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后，仓库里所剩的大米袋数时面粉的3/4，仓库里原有大米和面粉各多少袋？4．甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路时其他三个队的1/2，乙队筑的路时其他三个队的1/3，丙队筑的路时其他三个队的1/4，丁队筑了多少米？【例题4】某商店原有黑白、彩色电视机共630台，其中黑白电视机占1/5，后来又运进一些黑白电视机°这时黑白电视机占两种电视机总台数的30％，问：又运进黑白电视机多少台？解： 630×［1－1/5］÷［1－30％］－630＝90［台］答：又运进黑白电视机90台°练习4：1．书店运来科技书和文艺书共240包，科技书占1/6°后来又运来一批科技书，这时科技书占两种书总和的3/11，现在两种书各有多少包？2．某市派出60名选手参加田径比赛，其中女选手占1/4，正式比赛时，有几名女选手因故缺席，这样女选手人数占参赛选手总数的2/11°问：正式参赛的女选手有多少人？3．把12千克的盐溶解于120千克水中，得到132千克盐水，如果要使盐水中含盐8％，要往盐水中加盐还是加水？加多少千克？4．东风水果店上午运进梨和苹果共1020千克，其中梨占水果总数的1/5；下午又运进梨若干千克，这时梨占两种水果总数的2/5，下午运进梨多少千克？【例题5】一堆煤，运走的比总数的2/5多120吨，剩下的比运走的5/6多60吨，这堆煤原有多少吨？解：［120+120×5/6+60］÷［1―2/5―2/5×5/6］＝1050［吨］答：这堆煤原有1050吨°练习5：1．修一条路，第一天修了全长的2/5多60米，第二天修的长度比第一天的3/4多35米，还剩100米没有修，这条路全长多少米？2．修一条路，第一天修了全长的2/5多60米，第二天修的长度比第一天的3/4少35米，这两天共修路420米，这条路全长多少米？3．某工程队修筑一条公路，第一天修了全长的2/5，第二天修了剩下部分的5/9又20米，第三天修的是第一天的1/4又30米，这样，正好修完，这段公路全长多少米？第9讲设数法解题一、知识要点在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入［当然假设的这个数要尽量的方便计算］，然后求出解答°二、精讲精练【例题1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝［］个△°解：由第一个等式可以设△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左边是12，所以右边括号内应填4°说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折°练习1：1．已知△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，问△□☆＝［］个○°2．五个人比较身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊矮5厘米，甲与戊谁高，高几厘米？3．甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运60吨到乙仓库，从乙仓库运45吨到丙仓库，从丙仓库运55吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多？哪个最少？最多的比最少的多多少吨？【例题2】足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加1/5，问一张门票降价多少元？【思路导航】初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无关，我们可以随便假设一个观众数°为了方便，假设原来只有一个观众，收入为15元，那么降价后有两个观众，收入为15×［1+1/5］＝18元，则降价后每张票价为18÷2＝9元，每张票降价15－9＝6元°即：15－15×［1+1/5］÷2＝6［元］答：每张票降价6元°说明：如果设原来有a名观众，则每张票降价：15－15a×［1+1/5］÷2a＝6［元］练习2：1．某班一次考试，平均分为70分，其中3/4及格，及格的同学平均分为80分，那么不及格的同学平均分是多少分？2．游泳池里参加游泳的学生中，小学生占30％，又来了一批学生后，学生总数增加了20％，小学生占学生总数的40％，小学生增加百分之几？3．五年级三个班的人数相等°一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的男生是全部男生的2/5，全部女生人数占全年级人数的几分之几？【例题3】小王在一个小山坡来回运动°先从山下跑上山，每分钟跑200米，再从原路下山，每分钟跑240米，又从原路上山，每分钟跑150米，再从原路下山，每分钟跑200米，求小王的平均速度°【思路导航】题中四个速度的最小公倍数是1200，设一个单程是1200米°则［1］四个单程的和：1200×4＝4800［米］［2］四个单程的时间分别是；1200÷200＝6［分］1200÷240＝5［分］1200÷150＝8［分］1200÷200＝6［分］［3］小王的平均速度为：4800÷［6+5+8+6］＝192［米］答：小王的平均速度是每分钟192米°练习3：1．小华上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千米，求上山后又沿原路下山的平均速度°2．张师傅骑自行车往返A、B两地°去时每小时行15千米，返回时因逆风，每小时只行10千米，张师傅往返途中的平均速度是每小时多少千米？3．小王骑摩托车往返A、B两地°平均速度为每小时48千米，如果他去时每小时行42千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？【例题4】某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多1/5，女孩平均身高比男孩高10％，这个班男孩平均身高是多少？【思路导航】题中没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有5人，则男孩有6人°［1］总身高：115×【5+5×［1+1/5］】＝1265［厘米］［2］由于女孩平均身高是男孩的［1+10％］，所以5个女孩的身高相当于5×［1+10％］＝5.5个男孩的身高，因此男孩的平均身高为：1265÷【［1+10％］×5+6】＝110［厘米］。
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【例题1】 计算4.75-9.63+（8.25-1.37） 【思路导航】 先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质： a－b－c = a－（b＋c），使运算过程简便。所以 原式＝4.75+8.25－9.63－1.37 ＝13－（9.63+1.37） ＝13－11 ＝2
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
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【例题2】 设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。 求3△(4△6)。 【思路导航】根据定义先算4△6。在这里“△”是新的运算 符号。3△(4△6) ＝3△【4×6－（4+6）÷2】 ＝3△19 ＝4×19－（3+19）÷2 ＝76－11 ＝65
A =（1/⑥－1/⑦）÷1/⑦
=（1/⑥－1/⑦）×⑦
= ⑦/⑥－1
=（6×7×8）/（5×6×7）－1
= 1 又 3/5－1
= 3/5
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【 练 习 4 】 1 ． 规 定 ： ②=1×2×3 ， ③ ＝ 2×3×4 ， ④ ＝ 3×4×5 ， ⑤ ＝ 4×5×6 ， …… 如 果 1/⑧ － 1/⑨ ＝ 1/⑨×A ， 那么A=________。
7*4=7+77+777+7777=8638 210*2=210+210210=210420
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【 练 习 3 】 1 ． 如 果 1*5=1+11+111+1111+11111 ， 2*4=2+22+222+2222 ， 3*3=3+33+333 ， …… 那 么 4*4=________。
2．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥ ＝ 5×6×7 ， …… 如 果 1/⑩+1/⑾ ＝ 1/⑾×□ ， 那 么 □ ＝ ________。
3 ． 如 果 1※2 ＝ 1+2 ， 2※3 ＝ 2+3+4 ， ……5※6 ＝ 5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x＝________。
13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26
5*4=（5+4）+（5-4）=10
13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26
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【 练 习 1 】 1. 将 新 运 算 “ *” 定 义 为 ： a*b=(a+b)×(a-b). 。 求 27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
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【 例 题 3 】 如 果 1*5=1+11+111+1111+11111 ， 2*4=2+22+222+2222 ， 3*3=3+33+333 ， 4*2=4+44 ， 那 么 7*4=________；210*2=________。
【思路导航】
经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此
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【例题5】设a⊙b=4a－2b+1/2ab,求z⊙（4⊙1）＝34中的 未知数x。
【思路导航】先求出小括号中的4⊙1=4×4-2×1+1/2×4×1 ＝16，再根据x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16 = 12x－32， 然后解方程4⊙1＝4×4-2×1+1/2×4×1＝16
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【练习1】计算下面各题。
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【例题2】
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【练习2】1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q） ÷2，求5△（6△4）。
2 ． 设 p 、 q 是 两 个 数 ， 规 定 p△q ＝ p2+ （ p － q ） ×2 。 求 30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有 转化前，是不适合于各种运算定律的。
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【例题1】 假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】
这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之 差。这里的“*”就代表一种新运算。在定义新运算中同样规 定了要先算小括号里的。因此，在13*（5*4）中，就要先算 小括号里的（5*4）。
x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16
＝12x－32
12x－32 = 34
12x= 66
x＝5.512x－32 = 34，求出x的值。列算式为
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【练习5】 1．设a⊙b=3a－2b，已知x⊙（4⊙1）＝7求x。
2 ． 对 两 个 整 数 a 和 b 定 义 新 运 算 “ △” ： a△b= ， 求 6△4+9△8。
【思路导航】这题的新运算被定义为：@ = （a－1）×a× （a＋1），据此，可以求出1/⑥－1/⑦ =1/（5×6×7）－1/ （6×7×8），这里的分母都比较大，不易直接求出结果。 根据1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A，可得出A = (1/⑥－1/⑦)÷1/⑦ = （1/⑥－1/⑦）×⑦ = ⑦/⑥ －1。即
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定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而 解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义， 然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规 的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是 一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中 的“＋、－、×、÷”不同的。
3．对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y＝ （其中m 是一个确定的整数）。如果1*2＝1，那么第2周 简便运算（一）
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根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性 质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简， 化难为易。
2．规定，
那么8*5=________。
3．如果2*1=1/2，3*2=1/33， 4*3=1/444，那么（6*3）÷ （2*6）=________。多少分？
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【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5， ⑤=4×5×6，……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A，那么，A是几？