(新)角平分线的性质和判定经典题
[数学]-必考点05 角平分线的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上
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11．（2021秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论序号是．
7．（2021秋•松桃县期末）如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
◆◆题型三角的平分线的性质与判定的综合应用
8．（2021秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H．
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．
1．（2022春•六盘水期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（ ）
A．5B．7C．7.5D．10
2．（2022•雁塔区模拟）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．△ABC三条高线的交点处
B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【例题20】（2022春•兰州期末）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处
角的平分线的性质(含例题)
1．作已知角的平分线用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M，N为圆心，大于__________的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．如图所示：★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．2．角的平分线的性质内容：角的平分线上的点到角的两边的距离__________．【提示】（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．3．证明几何命题的一般步骤一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．4．角的平分线的判定（1）内容：角的内部到角的两边的距离__________的点在角的平分线上．（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．K知识参考答案：1．（2）12MN 2．相等3．相等K—重点尺规作图作角的平分线，角的平分线的性质和判定K—难点证明几何命题的一般步骤K—易错角的平分线的判定一、角的平分线的性质遇到已知一个点在某个角的平分线上时，一般过该点向角的两边作垂线，运用角的平分线上的点到角两边的距离相等寻找线段的相等关系，有时可结合全等三角形建立未知线段与已知线段的关系，从而求出待求线段．【例1】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3 cm，则点D到AB的距离DE是A．5 cm B．4 cmC．3 cm D．2 cm【答案】C【解析】如图，过D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3 cm，∴DE=3 cm．故选C．【例2】如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是A．PA=PB B．PO平分∠AOBC．OA=OB D．AB垂直平分OP【答案】D二、角的平分线的判定1．当题目中出现角内的一点到角两边的距离相等时，可以考虑应用角的平分线的判定方法证明两个角相等．2．角的平分线的性质和判定恰好是条件和结论互换，即点在角平分线上的一点到角两边的距离相等．【例3】如图，PA=PB，∠1+∠2=180°．求证：OP平分∠AOB．三、角的平分线的性质的应用证明角平分线的方法：只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想．【例4】如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有A．1处B．2处C．3处D．4处【答案】D【解析】如图，A、B、C、D为三条直线组成的三角形内角和外角的角平分线的交点，由角平分线上的点到角两边距离相等可得在这四点处，货物中转站到三条公路距离相等．故选D．【例5】如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=AD=5.2 km，CB=CD=5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则C村到公路l2的距离是A．3 km B．4 km C．5 km D．5.2 km【答案】B。
角平分线的性质典型例题
【典型例题】例1.已知：如图所示，/ C=/ C'= 90 °, AC= AC 求证：（1）Z ABC=Z ABC ;（2）BO BC（要求：不用三角形全等判定）.分析：由条件/ C=Z C = 90°, AO AC，可以把点A看作是/ CBC平分线上的点，由此可打开思路.证明：（1）vZ C=Z C = 90°（已知），••• ACL BC, AC丄BC （垂直的定义）.又••• AO AC （已知），•••点A在/CBC勺角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.• / ABC=Z ABC.（2）vZ C=Z C；Z ABC=Z ABC,•180°—（/ C+Z ABC = 180°—（/ C '+/ ABC）（三角形内角和定理）即/ BAC=Z BAC,••• AC L BC, AC L BC,•BO BC （角平分线上的点到这个角两边的距离相等）.评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性.例 2.女口图所示，已知△ ABC中, PE// AB交BC于E, PF// AC交BC于F, P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分Z BAC 并说明理由.分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理.根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出Z 1 = Z 2,再利用平行线推得Z 3=Z 4,最后用角平分线的定义得证.解：AD平分Z BAC••• D到PE的距离与到PF的距离相等，•••点D在Z EPF的平分线上.• Z 1 = Z 2.又••• PE// AB •••/ 1 = Z 3.同理，/ 2二/4.•••/ 3=Z 4,二AD平分/ BAC评析：由角平分线的判定判断出PD平分/ EPF是解决本例的关键.“同理” 是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”.例3.如图所示，已知△ ABC的角平分线BM CN相交于点P,那么AP能否平分/ BAC请说明理由.由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段.解：AP平分/ BAC结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 理由：过点P分别作BC，AC, AB的垂线，垂足分别是E、F、D.••• BM是/ABC的角平分线且点P在BM上，••• PD= PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）.同理PF= PE,A PD= PF.••• AP平分/ BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）.例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y 轴建立平面直角坐标系.（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标.分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是4oom点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号.解：（1）v点p在公路与铁路所夹角的平分线上，•••点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又•••点P到公路的距离是4oom•••点P （学校）到铁路的距离是400m（2）学校所在位置的坐标是（400，—400）.评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等.例5.如图所示，在△ ABC中，/ C= 90°, AOBC, DA平分/ CAB交BC于D, 问能否在AB上确定一点巳使厶BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E, 并给出证明；若不能，请说明理由.分析：由于点D在/ CAB的平分线上，若过点D作DEL AB于E，则DE= DC 于是有BD+ DE= BD+ DC= BO AC,只要知道AC与AE的关系即可得出结论.解：能.过点D作DEIAB于丘，则厶BDE勺周长等于AB的长.理由如下：••• AD平分/ CAB DC L AC, DEL AB••• DC= DE在Rt △ ACD和Rt △ AED中,,••• Rt △ AC坠Rt △ AED( HL).••• AO AE又••• AO BC,二AE= BC.•••△ BDE的周长=B» DE^ BE= B» DC+ BE= BC^ BE= AE^ BE= AB.评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系.本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化. 这是初中几何中常用的一种数学思想.【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论. 所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路.Welcome !!! 欢迎您的下载, 资料仅供参考!。
角平分线的性质定理和判定经典习题
角平分线的性质定理和判1.已知：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ， （1）求证：BD+DE=AC ． （2）求△DBE 的周长．2. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点， DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB ．3. 如图，已知△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ， 且OD=3，△ABC 的面积是多少？4.已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．5. 如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点， PF ⊥BC 于F ，PA=PC ， 求证：∠PCB+∠BAP=180º21NPF CBA7.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD、AB、AD间有什么关系？直接写出结果8.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．9.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．9.如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．10.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。
求证：AF为∠BAC的平分线。
11．已知：AD 是△ABC 角平分线，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ， 证：∠B ＝∠C.12．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=， 点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．13.如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .14.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ， OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．ＢＤＥAFCDEB。
角平分线的性质和判定(人教版)(含答案)
答案：C
解题思路：
解：如图，
连接AP，
在Rt△APR和Rt△APS中，
,
∴Rt△APR≌Rt△APS(HL)
∴∠1=∠2，AR=AS，
∵AQ=PQ
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴PQ∥AR
故①，②正确，③不确定，综上，选C
试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质与判定
10.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P.若∠BPC=40°,则∠CAP等于( )
A.40° B.45°
C.50° D.60°
答案：C
解题思路：
1．思路点拨
①见到两条角平分线相交，考虑角平分线的性质，过点P分别向角的两边作垂线，垂线段相等．
②借助常见结构：找到∠BPC和∠BAC的关系，求出∠BAC的度数．
③借助三角形的内角和定理和平角解决问题．
2．解题过程
解：如图，
过点P分别向BC，AC，BA边所在直线作垂线，垂足分别为点E，F，G，
3.如图,已知点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC等于( )
A.110° B.120°
C.130° D.140°
答案：A
解题思路：
①由点O到△ABC三边的距离相等，可知点O是△ABC三个角的角平分线；
②设 ，
分别在△ABC和△BOC中利用三角形内角和定理，
答案：C
解题思路：
（1）根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到DE=DC，
∴①正确；
（2）角平分线可以看成一个角的对称轴，对称轴两侧的图形全等，即△ADC≌△ADE，
第12.3角平分线的性质和判定复习题
角平分线的性质与判定练习题一. 选择题1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PD B. PC＝PD C. PC＜PD D. 不能确定1题图4题图5题图2. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D 到AB的距离是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. （2007年浙江义乌）如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 65. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DE B. ∠AED＝90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A. 4cm B. 6cm C. 10cm D. 以上都不对7题图8题图9题图10题图8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11. 如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．11题图12题图13题图14题图12. 如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C 在__________．14. 如图所示，在R t△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．15. （1）∵OP平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP平分∠AOB（依据：___________）．三. 解答题16. 已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE ＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．17. 如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF ＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？18. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC ＝BC．19. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．四. 探究题20. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．。
_角平分线的性质和判定(包含答案)
角平分线的性质和判定（1）以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；（2）分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，相交于点；（3）连接点和并延长，则射线就是的角平分线若DP=EP，则点P在∠AOB的角平分线上一．考点：角平分线的尺规作图，角平分线的性质和判定二．重难点：角平分线的性质和判定三．易错点：1．角平分线的性质和判定混淆不清导致解题出错．题模一：尺规作图例1.1.1如图，已知M、N分别是AOB∠的边OA上任意两点．（1）尺规作图：作AOB∠的平分线OC；（2）在AOB∠的平分线OC上求作一点P，使PM PN+的值最小．（保留作图痕迹，不写画法）例1.1.2作图题：（简要写出作法，保留作图痕迹）如图，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到点M，N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．题模二：性质例1.2.1如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A.8B.6C.4D.2例1.2.2如图，在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BP＋CQ－AR＝________．例 1.2.3 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．题模三：判定例1.3.1 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥CB 于点B ，DC ⊥BC 于点C ，DE 平分∠ADC ，且点E 为BC 的中点，连接AE ．（1）求证：AE 平分∠BAD ； （2）求∠AED 的度数．例 1.3.2 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．随练1.1 尺规作图（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）如图，两条公路EA 和FB 相交于点O ，在AOB ∠的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站P 到两条公路EA 、FB 的距离相等，且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．FABCDEOOEDCBA随练1.2如图，△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A.65°B.60°C.55°D.45°随练1.3如图，已知ABC∆的周长是20，OB和OC分别平分ABC∠和ACB∠，OD BC⊥于点D，且3OD=，则ABC∆的面积是（）A.20B.25C.30D.35随练 1.4如图，AB CD∥，BP和CP分别平分ABC∠和DCB∠，AD过点P，且与AB垂直．若8AD=，则点P到BC的距离是（）A.8B.6C.4D.2随练1.5三角形中到三边的距离相等的点是（）A.三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点随练1.6如图所示，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC的外角的平分线，求证：点P在∠A的平分线上．拓展1如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD（1）用尺规作出∠ACB的平分线CP（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中，设CP与AB相交于点E，连接DE，求证：BE=DE．拓展2如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）A.四处B.三处C.两处D.一处拓展3在ABC∆中，AB AC=，70ABC∠=︒（1）用直尺和圆规作ABC∠的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，BDC∠=________．PCBA拓展4 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点拓展5 如图，已知在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，2DE =，则BCE ∆的面积等于________．拓展6 如图，ABC ∆的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC ∆分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）A.1:1:1B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5拓展7 如图，已知：BD 是ABC ∠的平分线，DE BC ⊥于E ，236ABC S cm ∆=；，12AB cm =，18BC cm =，则DE 的长为________cm ．拓展8 如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥交AF 的延长线于F ．（1）说明BE CF =的理由；（2）如果AB a =，AC b =，求AE BE 、的长．拓展9 如图，△ABC 和△AED 为等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ，连接BE 、CD 交于点O ，连接AO ． 求证：（1）△BAE ≌△CAD ； （2）OA 平分∠BOD ．GFE DC BA答案解析角平分线题模一：尺规作图例1.1.1【答案】（1）（2）【解析】（1）如图1所示，OC即为所求作的AOB∠的平分线．（2）如图2，作点M关于OC的对称点M'，连接M N'交OC于点P，则点P即为所求．例1.1.2【答案】【解析】（1）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA、OB于点C、点D，（2）再分别以点C、点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于一点E，（3）连接OE，则OE为∠AOB的角平分线，（4）连接MN，分别以M、N为圆心，大于12MN长为半径作弧，两弧交于点F、点H，（5）连接FH，则FH为线段MN的垂直平分线，（6）直线FH与OE交于点P，点P即为所求．题模二：性质例1.2.1【答案】C【解析】过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．例1.2.2【答案】4【解析】连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR ＝OQ ，OR ＝OP ，∴由勾股定理得：AR 2＝OA 2－OR 2，AQ 2＝AO 2－OQ 2， ∴AR ＝AQ ，同理BR ＝BP ，CQ ＝CP ， 即O 在∠ACB 角平分线上，设BP ＝BR ＝x ，CP ＝CQ ＝y ，AQ ＝AR ＝z ， 则987y z x y x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ x ＝3，y ＝5，z ＝4，∴BP ＝3，CQ ＝5，AR ＝4， BP ＋CQ －AR ＝3＋5－4＝4．例1.2.3【答案】31.5【解析】∵O 点为ABC △中角平分线的交点， ∴O 点到三边距离相等．∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△1()331.52AB BC AC =⨯++⨯=题模三：判定 例1.3.1【答案】（1）见解析 （2）90°【解析】（1）过点E 作EF ⊥AD 于点F ，图略．∵DE 平分∠ADC ，EC ⊥CD ，EF ⊥AD ，∴EC ＝EF ，又EC ＝EB ，∴EF ＝EB ，又EF ⊥AD ，EB ⊥AB ，∴点E 在∠BAD 的平分线上，∴AE 平分∠BAD ． （2）∠AED ＝90°． 例1.3.2【答案】见解析．【解析】因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=︒， 则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌，则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌．进而由AF AO=得AFO AOF∠=∠；由AOE AFO∠=∠可得AOF∠=AOE∠，即OA平分DOE∠．随练1.1【答案】【解析】如图所示：作CD的垂直平分线，AOB∠的角平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．P和1P都是所求的点．随练1.2【答案】A【解析】解法一：连接EF．∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF＝AE；∴△AEF是等腰三角形；又∵分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG 是∠CAB 的平分线，∵∠CAB ＝50°，∴∠CAD ＝25°；在△ADC 中，∠C ＝90°，∠CAD ＝25°，∴∠ADC ＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）．随练1.3【答案】C【解析】如图，连接OA ，过O 作OE AB ⊥于E ，OF AC ⊥于F ，OB 、OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，3OE OF OD ∴===，ABC ∆的周长是20，OD BC ⊥于D ，且3OD =，1111()32222ABC S AB OE BC OD AC OF AB BC AC ∆∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯ 1203302=⨯⨯=．随练1.4【答案】C【解析】过点P 作PE BC ⊥于E ，AB CD ∥，PA AB ⊥，PD CD ∴⊥， BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，PA PE ∴=，PD PE =，PE PA PD ∴==，8PA PD AD +==，4PA PD ∴==，4PE ∴=．随练1.5【答案】D【解析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知： 三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．随练1.6【答案】见解析【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ．因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ，所以PE PF =．同理可证PF PG =．所以PG PE =，又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，所以P 在∠A 的平分线上．拓展1【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）如图1，射线CP 为所求作的图形．（2）∵CP 是∠ACB 的平分线∴∠DCE=∠BCE ．在△CDE 和△CBE 中，CD=CB DCE=BCE CE=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△DCE ≌△BCE （SAS ），P∴BE=DE．拓展2【答案】A【解析】满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．拓展3【答案】（1）（2）75︒【解析】（1）如图所示，BD 即为所求；（2）在ABC ∆中，AB AC =，70ABC ∠=︒，180218014040A ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， BD 是ABC ∠的平分线，11703522ABD ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒， BDC ∠是ABD ∆的外角，403575BDC A ABD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．拓展4【答案】D【解析】∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴角形三边距离相等的点应是这个三角形三个内角平分线的交点．拓展5【答案】6【解析】作EF BC ⊥于F ， BE 平分ABC ∠，EF BC ⊥，ED AB ⊥，2EF DE ∴==，BCE ∴∆的面积162BC EF =⨯⨯=．拓展6【答案】C【解析】过点O 作OD AC ⊥于D ，OE AB ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，点O 是内心，OE OF OD ∴==， 111::::::2:3:4222ABO BCO CAO S S S AB OE BC OF AC OD AB BC AC ∆∆∆∴===．拓展7【答案】2.4【解析】如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，BD 是ABC ∠的平分线，DE BC ⊥， DE DF ∴=，ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，1122AB DF BC DE =+， 11121822DE DE =⨯+⨯， 15DE =，236ABC cm ∆=，1536DE ∴=，解得 2.4DE cm =．拓展8【答案】（1）见解析；（2）2a b BE -=，2a b AE += 【解析】（1）连接DB 、DC ，∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴DB DC =．∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE DF =．90AED BED ACD DCF ∠=∠=∠=∠=︒在Rt △DBE 和Rt △DCF 中DB DC DE DF =⎧⎨=⎩Rt △DBE ≌Rt △DCF （HL ），∴BE CF =．（2）在Rt △ADE 和Rt △ADF 中∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ）．AD AD DE DF =⎧⎨=⎩∴AE AF =．∵AC CF AF +=，∴AE AC CF =+．∵AE AB BE =-，∴AC CF AB BE +=-∵AB a =，AC b =，∴b BE a BE +=-， ∴2a b BE -=， ∴22a b a b AE AB BE a -+=-=-=．拓展9【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）过点A 分别作AF ⊥BE 于F ，AG ⊥CD 于G ．如图所示：G F EDCB A∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，AB ACBAE CAD AE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△CAD（SAS），（2）连接AO并延长交CE为点H，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，∴AF＝AG，∵AF⊥BE于F，AG⊥CD于G，∴OA平分∠BOD，∴∠AOD＝∠AOB，∵∠COH＝∠AOD，∠EOH＝∠AOB，∴∠COH＝∠EOH．∴OA平分∠BOD．。
角平分线的性质和判定练习
专题二 角平分线的性质一、知识归纳1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；2、角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角平分线上。
二、知识应用例1、△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD ＝CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F,求证：EB ＝FC例2、已知BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 交于点D ，且BE ＝CF ，求证：AD 平分∠BAC .变式练习：1、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.2、如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD3．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________.4．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 21D APO EB（第2题） A B D CF E 第3题 第4题D C AE B5．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm6．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A 、4㎝B 、6㎝C 、10㎝D 、不能确定ED CB A7、 已知：如图，在R t △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ， 且DE ＝DC ．（1）求证：BD 平分∠ABC ；（2）若∠A ＝36°，求∠DBC 的度数．8．如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .。
角平分线的性质专项练习(含解析)
角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
角平分线的性质定理和判定(经典)
角仄分线的本量定理战判决之阳早格格创做第一部分：知识面回瞅1、角仄分线：把一个角仄衡分为二个相共的角的射线喊该角的仄分线；2、角仄分线的本量定理：角仄分线上的面到角的二边的距离相等：①仄分线上的面；②面到边的距离；3、角仄分线的判决定理：到角的二边的距离相等的面正在角仄分线上第二部分：例题领会例 1.已知：正在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD仄分∠BAC，DE⊥AB于面E，AB=15cm，（1）供证：BD+DE=AC．（2）供△DBE的周少．例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中面，DM仄分∠ADC，供证：AM仄分∠DAB．例3.如图，已知△ABC的周少是22，OB、OC分别仄分∠ABC战∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的里积是几？第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD⊥AB于面D，BE⊥AC于面E，BE、CD接于面O，且AO仄分∠BAC，供证：OB=OC．【变式训练】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一面，PF⊥BC于F，PA=PC，供证：∠PCB+∠BAP=180º例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中面，DM仄分∠ADC．（1）若对接AM，则AM是可仄分∠BAD？请您道明您的论断；（2）线段DM与AM有何如的位子闭系？请道明缘由．（3）CD、AB、AD间？间接写出截止【变式训练】如图，△ABC中，P是角仄分线AD，BE的接面．供证：面P正在∠C的仄分线上．例3.如图，正在△ABC中，BD为∠ABC的仄分线，DE⊥AB于面E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，供△ABC的里积．【变式训练】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的面，CE=BF，△DCE战△DBF的里积相等．供证：AD仄分∠BAC．一、轻视“笔曲”条件例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF.供证：AF 为∠BAC的仄分线.（1）有角仄分线，常常背角二边引垂线.（2）道明面正在角的仄分线上，闭键是要道明那个面到角二边的距离相等，即道明线段相等.时常使用要领有：使用齐等三角形，角仄分线的本量战利用里积相等，但是特地要注意面到角二边的距离.（3）注意：许多共教对于道明二个三角形齐等的问题已经很认识了，所以证题时，没有习惯间接应用角仄分线本量定理战判决定理，仍旧来找齐等三角形，截止相称于沉新道明白一次那二个论断．所以特地指示大家，能用简朴要领的，便没有要绕近路．A 组一、耐性选一选，您会启心（每题6分，共30分）1．三角形中到三边距离相等的面是（ ）A 、三条边的笔曲仄分线的接面B 、三条下的接面C 、三条中线的接面D 、三条角仄分线的接面2．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的仄分线，DE ⊥AB ，垂脚为E ，若AB ＝12cm ，则△DBE 的周少为（）A 、12cmB 、10cmC 、14cmD 、11cm DCE B3．如图2所示，已知PA 、PC 分别是△ABC 的中角∠DAC 、∠ECA 的仄分线，PM ⊥BD ，PN ⊥BE ，垂脚分别为M 、N ，那么PM 与PN 的闭系是（）4．如图3所示，△ABC 中，AB=AC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂脚分别是E 、F 确的论断有( ) ①AD 仄分∠EDF ； ②AE=AF ； C 二面的D M A B C N P E图2 图3距离相等④到AE、AF距离相等的面，到DE、DF的距离也相等A、1个B、2个C、3个D、4个5．如图，已知面D是∠ABC的仄分线上一面，面P正在BD上，P A⊥AB，PC⊥BC，垂脚分别为A，C．下列论断过失的是（）．A．AD=CP B．△ABP≌△CBPC．△ABD≌△CBD D．∠ADB=∠CDB．二、解问题6．已知：AD是△ABC角仄分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂脚分别是E、F，BD＝CD，证：∠B＝∠C.7．如图，已知正在△ABC中，90C∠=2AB BC=，DE AB⊥接AC于E．供证：8、如图，∠B=∠C=90°，M是BC ADC，供证：AM仄分∠DAB.9.如图，正在∠AOB的二边OA，OB上分别与OM=ON，OD=OE，DN战EM相接于面C．供证：面C正在∠AOB的仄分线上．一．采用题（共3小题）1．（2011•衢州）如图，OP仄分∠MON，PA⊥ON于面A，面Q 是射线OM上的一个动面，若PA=2，则PQ的最小值为（）A．1B．2C．3D．4ＡＥＣAB CDP2．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角仄分线，DF⊥AB，垂脚为F，DE=DG，△ADG战△AED的里积分别为50战39，则△EDF的里积为（）A．11 B．C．7D．3．（2010•鄂州）如图，AD是△ABC中∠BAC的仄分线，DE⊥AB于面E，DF⊥AC接AC于面F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC少是（）A．4B．3C．6D．5 4．（2011•岳阳）如图，AD∥BC，∠ABC的角仄分线BP与∠BAD的角仄分线AP相接于面P，做PE⊥AB于面E．若PE=2，则二仄止线AD与BC间的距离为_________．5．（2011•桂林）供证：角仄分线上的面到那个角的二边距离相等．已知：供证：道明：。
角平分线的性质与判定
角平分线一．选择题（共3小题）1．如图，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是（）A．AC＝CE B．∠BAC＝∠ECD C．∠ACB＝∠ECD D．∠B＝∠D2．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．225°3．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④PC平分∠APB；⑤∠APD＝60°，其中正确结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个1题2题3题4题二．填空题（共3小题）4．如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3＝度．5．如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于．6．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝70°，则∠CBC′＝．三．解答题（共9小题）7．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．8．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．9．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E为AC上一点，且DE＝CE．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠A＝90°，S△BCD＝26，BC＝13，求AD．10．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．（1）求∠EDA的度数；（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．11．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．12．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．13．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．15．课堂练习姓名：_______ 1、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．。
人教八上：专题三--角平分线的性质与判定(含解析)
专题三角平分线的性质与判定一、单选题1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=15，且BD:CD=3:2，则点D到AB的距离为（）2345．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，AB+BC+CA=18，过O作OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是．6．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE7得8910．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N 两点，AB=6，ΔAMN的周长是15．则AC的长为．三、解答题11．如图1，△ABC的两条外角平分线AO，BO相交于点O，∠ACB=50°．(1)直接写出∠AOB的大小；(2)如图2，连接OC交AB于K．①求∠BCK的大小；②如图3，作AF⊥OC于F，若∠BAC=105°，求证：AB=2CF．12．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，若∠ABC=60°，FD=10，求DC的长．13．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M是BC边上的一点，且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,求证：(1)BM=MC；(2)AM⊥MD．14．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．(1)如图1，△ABC中，AB=AC,∠A=36°，求证：△ABC是倍角三角形；(2)如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．15．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，设∠ABC=α．(1)α=50°时，求∠DFC的度数；(2)证明：BE∥DF．16．在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．(1)如图1，若∠C=32°，则∠AOB=________；(2)如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB；(3)如图3，若∠ABC=2∠ACB，AB=4，AC=7，求OB的长．17．如图，在△ABC中，D在BC边的延长线上，∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，已知∠B=30°，∠E=40°，求证：AE=CE．18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，点E为BC的中点，DE平分∠CDA.(1)求证：AD=AB+CD；(2)若S△CDE=3，S△ABE=4，则四边形ABCD的面积为______.（直接写出结果）19．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O与AB，AC分别相交于点M，N，且MN∥BC．(2)已知AB=7，AC=6，求△AMN的周长．参考答案题号12答案B B1．B【分析】本题考查的是角平分线的性质，作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD=DE，根据题意求出CD的长即可．∵∴∵∴2∴3【详解】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论：如图1所示：根据∠B=40°，∠C=70°可得：∠BAC=70°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=35°，则∠DAE=35°-20°=15°；如图2所示：根据∠B=40°，∠ACD=70°可得：∠BAC=30°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=15°，则∠DAE=15°+20°=35°.点睛：对于这种在三角形中求角度问题的时候，如果题目中没有给出图形，我们首先一定要根据题意画出图形，然后根据图形求出角的度数.特别要注意分类讨论的思想，在画图时一定要注意锐角三角形和钝角三角形两种情况.在画垂线的时候要注意高线在三角形内部和三角形外部两种情况.4．3：2【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到DE=CD，再根据三角形面积公式解答即可．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是Rt△ABC的角平分线，CD⊥AC,DE⊥AB∴DE=CDS△ABD S△ACD =12AB⋅DE12AC⋅CD=ABAC=128=32故答案为：3：2．【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．5．27【分析】作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE=OD=3和OF=OD=3，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB，∴OE=OD=3，同理OF=OD=3，∵AB+BC+CA=18．∴△ABC的面积=12×AB×3+12×AC×3+12×BC×3=27．故答案为：27．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．4【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM =PE =2，PE =PN =2，即可得出答案．【详解】解：过点P 作MN ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ，∴AP ⊥BP ，PN ⊥BC ，∴PM =PE =2，PE =PN =2，∴MN =2+2=4．故答案为：4．7．2【分析】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，由题意得，PE=PD=PF ， S △APC +S △APB +S △BPC =S △ACB ，∴12AC·PE+12AB·PD+12BC·PF=12AC·BC ，即12×12·PD+12×13•PD+12×5•PD=12×5×12，解得，PD=2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．8．60【分析】根据五边形的内角和求出∠BCD和∠CDE的和，再根据角平分线及三角形内角和求出∠CPD．【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，（∠BCD+∠CDE）＝120°，∴∠PDC+∠PCD＝12∴∠CPD＝180°﹣120°＝60°．故答案是：60．【点睛】本题解题的关键是知道多边形内角和定理以及角平分线的性质．9．5【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，利用角平分线的性质可得PF=PG=PE，然后根据三角形的面积求出PF=PE=PG=2，再利用△OMP的面积+△ONP的面积−△PMN的面积=4，进行计算即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，∴PF=PG=PE，∵MN=1，△PMN的面积是1，∴ 12MN ⋅PF =1，∴PF =2，∴PG =PE =2，∵△OMN 的面积是4，∴△OMP 的面积+△ONP 的面积−△PMN 的面积=4，∴ 12OM ⋅PG +12ON ⋅PE−1=4，∴OM +ON =5．故答案为：5．10．9【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MOB 和△NOC 是等腰三角形，从而可得MO =MB ，NO =NC ，然后利用等量代换可得ΔAMN 的周长=AB +AC ，从而进行计算即可解答．【详解】解：∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC ，∠ACO =∠OCB ，∵MN ∥BC ，∴∠MON =∠OBC ，∠NOC =∠OCB ，∴∠ABO =∠MON ，∠ACO =∠NOC ，∴MO =MB ，NO =NC ，∵△AMN 的周长是15，∴AM +MN +AN =15，∴AM +MO +ON +AN =15∴AM +MB +NC +AN =15，∴AB +AC =15，∵AB =6，∴AC =15−6=9，故答案为：9．11．(1)65°；(2)①25°；②证明见解析．【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠CBA +∠CAB =130°，则∠EBA +∠BAD =230°，再由角平分线的定义求出∠OBA +∠OAB =115°，根据四边形内角和求出∠AOB 即可；（2）①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，根据角平分线的性质求解即可；②先求出KB=KC，过点A作AH∥BC交CO于点H，再求出KA=KH，则AB=CH，分别求出AH=AC，HF=CF，即可得出结论．【详解】（1）解：∵AO平分∠BAD，∴∠DAO=∠OAB，∵BO平分∠EOA，∴∠EBO=∠OBA，∵∠ACB=50°，∴∠CBA+∠CAB=130°，∴∠EBA+∠BAD=360°−130°=230°，∴∠OBA+∠OAB=115°，∴∠AOB=360°−50°−115°−130°=65°；（2）解：如图2，①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，∵AO、BO分别平分∠DAB、∠EBA，∴OM=OP，OP=ON，∴OM=ON，∴CO平分∠ACB，∵∠ACB=50°，∴∠BCK=∠ACK=25°；②证明：∵∠BAC=105°，∠ACB=50°，∴∠ABC=25°，∵∠KCB=25°，∴∠KBC=∠KCE，∴KB=KC，如图3，过点A作AH∥BC交CO于点H，∴∠AHK=∠KCB，∠HAK=∠KBC，∴∠AHK=∠HAK，∴KA=KH，∴AB=CH，∵∠AHK=∠ACH，∴AH=AC，∵AF⊥CO，∴HF=CF，∴CH=2CF，∴AB=CH=2CF．12∴∵∴∴∵∴∴故DC=5．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，四边形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握各性质与定理．13．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM，等量代换得到答案．（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；【详解】（1）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14．(1)见解析(2)△ADC和△ABC是倍角三角形，见解析【分析】（1）利用等边对等角及三角形的内角和求出∠B=∠C=72°，得到2∠A=∠C即可；（2）根据SAS证明△ABD≌△AED，得到∠ADE=∠ADB，BD=DE，证明CE=DE，得出∠C=∠BDE=2∠ADC，可得出∠ABC=2∠C．则结论得证．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°，∴2∠A=∠C，即△ABC是倍角三角形；（2）解：△ADC和△ABC是倍角三角形，证明如下：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠EAD，∵AB=AE，AD=AD，∴∴又∴∴∴∴∵15(2)∠EBC=∠DFC即可得出结论．【详解】（1）解：在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=α，α=50°，∴∠ADC=360°−∠A−∠C−∠ABC=130°，∵DF平分∠CDA，∠ADC=65°，∴∠FDC=12∴∠DFC =90°−65°=25°；（2）证明：在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠ABC =α，∴∠ADC =360°−∠A−∠C−∠ABC =180°−α，∵DF 平分∠CDA ，∴∠FDC =12∠ADC =12(180°−α)，∴∠DFC =90°−12(180°−α)=12α，∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC =12α，∴∠EBC =∠DFC ，∴BE ∥DF ．16．(1)106°；(2)见解析；(3)3；【分析】（1）本题考查与角平分线有关的三角形内角和关系，根据∠C =32°得到∠CAB +∠CBA ，再结合角平分线求出∠CAO +∠CBO ，即可得到答案；（2）本题考查角平分线判定与性质，过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，根据角平分线性质得到OD =OF =OE ，结合角平分线的判定即可证明；（3）本题主要考查三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据截长补短作出辅助线，在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，证明△ABO≌△ADO ，即可得到答案；【详解】（1）解：∵∠C =32°，∴∠CAB +∠CBA =180°−32°=148°，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠CAO +∠CBO =148°2=74°，∴∠AOB =180°−74°=106°；（2）证明：过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴OD =OF ，OD =OE ，∴OC 平分∠ACB ；（3）解：在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，设∠ACO =∠BCO =α，∵∠ABC =2∠ACB ，∴∠ABC =4α，∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO =∠CBO =2α，∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAO =∠DAO ，在△ABO 与△ADO 中，AO =AO ∠BAO =∠DAO AB =AD，∴△ABO≌△ADO(SAS)，∴∠ABO =∠ADO =2α，OB =OD,AB =AD =4，又∵∠ACO =α，∴∠ACO =∠DCO =α，∴OD =OC =AC−AD =7−4=3，∴OB =3．17．证明见解析【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质以及等腰三角形的判定和三角形内角和定理的应用，根据外角的性质求出∠ECD=702，由角平分线的定义得∠ACE=∠ECD=70°，根据三角形内角和定理求出∠CAE=70°，可得∠ACE=∠CAE，从而可得结论．【详解】证明：∠B=30°，∠E=40°，∴∠ECD=∠B+∠E=70°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=70°，在△ABE中，∠ACE+∠E+∠CAE=180°，∴∠CAE=180°−∠ACE−∠E=180°−70°−40°=70°，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE．18．(1)见解析(2)14【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．（1）过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线的性质得出CE=EF，再证明△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，根据全等三角形的性质得出AB=AF，DC=DF，进而得出结论；（2）由△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，推出S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，据此求解即可．【详解】（1）证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠C=90°，AB∥CD，∴∠B=90°，∵DE平分∠CDA，∴CE=EF，∴Rt△CED≌Rt△FED(HL)，∴DC=DF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AFE(HL)，∴AD=AF+FD=AB+CD；（2）解：∵△CED≌△FED，△ABE≌△AFE，∴S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，∵S∴19(2)（（∴∴∴（∴∵∴∴∠BOM=∠ABO，∴BM=OM，同理可得：CN=ON，∴MN=OM+ON=BM+CN，∵AB=7，AC=6，∴△AMN的周长是AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=13．。
角平分线的性质定理和判定(经典)
角平分线的性质定理和判定(经典)角平分线是将一个角平均分为两个相等角的射线。
根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等，包括平分线上的点和点到边的距离。
而角平分线的判定定理则是指到角的两边距离相等的点必在角平分线上。
例如，在等腰直角三角形中，如果AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，那么需要证明BD+DE=AC，以及求出△DBE的周长。
又如，在直角三角形中，如果DM平分∠ADC，M是BC的中点，需要证明AM平分∠DAB，并说明DM与AM的位置关系。
另外，如果已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，需要求出△XXX的面积。
在解题时，需要注意不要忽视“垂直”条件，通常需要向角的两边引垂线。
2.证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。
常用的证明方法有使用全等三角形、角平分线的性质以及利用面积相等。
需要特别注意的是点到角两边的距离。
3.在证明点在角的平分线上时，应该避免使用找全等三角形的方法，而是直接应用角平分线性质定理和判定定理。
如果有简单方法可以使用，就不要绕远路。
6.已知AD是△ABC角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BD=CD。
证明∠B=∠C。
7.在△ABC中，∠C=90，点D是斜边AB的中点，AB=2BC，DE⊥XXX于点E。
证明BE平分∠ABC。
第八部分：几何证明题8.如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，要证明AM平分∠DAB。
证明：连接AM，BD，CD。
因为M是BC的中点，所以BM=CM。
又因为∠B=∠C=90°，所以BM=BD，CM=CD。
又因为DM平分∠ADC，所以∠MDA=∠MDC。
又因为BD=CD，所以∠XXX∠XXX。
因此，∠MDA=∠XXX∠BDA=∠XXX。
所以，四边形AMBD是一个平行四边形。
湘教版：角平分线的性质与判定(经典题型)
角平分线的性质与判定1、角平分线：把一个角为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点一、角平分线的性质定理例1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝11cm，BD＝7cm，那么点D 到直线AB的距离是cm．变式1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2B．2.5C．3D．4二：角平分线的性质定理的逆定理例1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．三、常见题型（一）利用角平分线的性质求线段长度例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．变式1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足是点E，AC＝DE+BD．（1）求∠BAD的度数；（2）若△DBE的周长为4cm，则AB＝．变式2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．（二）利用角平分线的性质求角度问题例1．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，P A＝PC．求证：∠PCB+∠BAP＝180°．变式1.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD、AB、AD间？直接写出结果（三）利用角平分线解决与面积有关的问题例1.如图，BD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为60，AB＝15，BC＝9，求△ABD的面积．变式1 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少？(四)角平分线性质定理的逆定理应用例1.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求证：AD平分∠BAC．变式1.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．(五)角平分线性质定理的实际应用例1.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？变式1．如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．。
角平分线性质与判定-含答案
第1课时 角的平分线的性质一、选择题1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ） A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA2. 如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A ．PD ＝PEB ．OD ＝OEC ．∠DPO＝∠EPOD ．PD ＝OD3. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD =3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm4. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A ．4㎝B ．6㎝C ．10㎝D ．不能确定21DAPOEBDC EB第2题图 第3题图 第4题图5.如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP6.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥A B 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）A ．4B ．3C ．6D ．5第5题图 第6题图 第7题图7.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ）A ．11B ．5.5C ．7D ．3.58.已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90o，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则点O 到三边AB 、AC 和BC 的距离分别等于（ ）A ．2cm 、2cm 、2cmB ．3cm 、3cm 、3cmC ．4cm 、4cm 、4cmD ．2cm 、3cm 、5cmFE O DCAB二、填空题9．如图，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） . 10．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离__cm ． 11 .如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，则PQ 的最小值为 ．第9题图 第10题图 第11题图12.如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是 ．第12题图 第13题图 第15题图13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若BC=10，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD:CD=3:2，则点D 到线段AB 的距离为 ．14.已知△ABC 中，AD 是角平分线，AB=5，AC=3，且S △ADC =6，则S △ABD = ．15.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF 与AD的关系是．16.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为．17.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．第16题图第17题图第18题图18.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S △ABO：S△BCO：S△CAO = ．三、解答题19．已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD.求证：∠B＝∠C.20.如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．21.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E， F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．22.如图，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、B A、AE 三者之间有何关系？并加以证明．23.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点EEF⊥AB于F，EG⊥A G交AC的延长线于G．求证：BF=CG．第1课时角的平分线的性质定理参考答案一、选择题1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空题9. PC=PD（答案不唯一）10. 2 11. 3 12. 15 13. 4 14. 10 15. AD垂直平分EF 16. 5 17. 4 18. 4：5：6三、解答题19．证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C．CAB=180°∠∵22 . 解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．，第2课时 角的平分线的判定一、选择题1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点2．如图，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA=PB ，则∠1与∠2的大小是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠1＞∠2C ．∠1＜∠2D ．无法确定第2题图 第3题图 第4题图3. 如图，在Rt △ABC 的斜边BC 上截取CD=CA ，过点D 作DE ⊥BC ，交AB 于E ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AE=BEB ．DB=DEC ．AE=BD D ．∠BCE=∠ACE4. 如图，△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等； ∠A=40°，则∠BOC=（ ）A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°5．如图，,△ABC 的两个外角平分线交于点P ，则下列结论正确的是（ ） ①PA=PC ②BP 平分∠ABC ③P 到AB ，BC 的距离相等 ④BP 平分∠APC ．A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④5题图 第6题图 第7题图6．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处7．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（ ）MFEDCBAA．DE＝DF B．ME＝M F C．AE＝AF D．BD＝DC．8. 如图，△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，有下列四个结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第8题图第10题图第11题图二、填空题9. 在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的．10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=°．11.如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P= °．12.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA= °．第12题图第13题图13.如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为 .14.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，∠EBC= °15.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为第14题图第15题图第16题图16.如图，点M在∠ABC内，ME⊥AB于E点，MF⊥BC于F点，且ME=MF，∠ABC=70°，则∠BME= °．三、解答题17. 如图，AB AC ，表示两条相交的公路，现要在BAC 的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A 点的距离为1 000米． （1）若要以1:50000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离； （2）在图中画出物流中心的位置P ．18． 如图，P 是∠BAC 内的一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，AE=AF ．求证： （1）PE=PF ；（2）点P 在∠BAC 的角平分线上．19. PB ，PC 分别是△ABC 的外角平分线且相交于P ．求证：P 在∠A 的平分线上（如图）．20．已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．（1）若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论．（2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．21.（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案： （Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线． （Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线．（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM ⊥OA ，PN ⊥OB ．此方案是否可行？请说明理由．第2课时角的平分线的判定参考答案一、选择题1.D2.A3.D4.A5.C6.D7.D8.D二、填空题9.平分线 10. 35 11. 90 12. 55 13. 4 14. 27 15. 3 16. 55三、解答题17.解:（1）1 000米=100 000厘米，100 000÷50 000=2（厘米）；(2)18. 证明：（1）如图，连接AP并延长，∵PE⊥AB，PF⊥AC∴∠AEP=∠AFP=90°又AE=AF，AP=AP，∵在Rt△AFP和Rt△AEP中∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），∴PE=PF．（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP=∠FAP，∴AP 是∠BAC 的角平分线，故点P 在∠BAC 的角平分线上．19.证明：过P 点作PE ，PH ，PG 分别垂直AB ，BC ，AC ．∵PB，PC 分别是△ABC 的外角平分线，∴PE=PH，PH=PG ，∴PE=PG．∴P 点在∠A 的平分线上．20．（1）AM 平分DAB ∠．证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ．12∠=∠∵，MC CD ⊥，ME AD ⊥，ME MC =∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 又MC MB =∵，ME MB =∴．MB AB ∵⊥，ME AD ⊥，∴AM 平分DAB ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．（2）AM DM⊥，理由如下：90B C∠=∠=∵，CD AB∴∥（垂直于同一条直线的两条直线平行）．180CDA DAB∠+∠=∴（两直线平行，同旁内角互补）又112CDA ∠=∠∵，132DAB∠=∠（角平分线定义）2123180∠+∠=∴，1390∠+∠=∴，90AMD∠=∴．即AM DM⊥．21.解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，∵只有OP=OP，PM=PN不能判断△OPM≌△OPN；∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；方案（Ⅱ）可行．证明：在△OPM和△OPN中，，∴△OPM≌△OPN（SSS），∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）；∴OP就是∠AOB的平分线．（2）当∠AOB是直角时，此方案可行；∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，∴∠AOB=90°，∵PM=PN，∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），当∠AOB不为直角时，此方案不可行；因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．。
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角平分线的性质和判定复习
一知识要点：
1. 角平分线的作法（尺规作图）
思考：这一画法的根据是什么？
2. 角平分线的性质及判定
（1）角平分线的性质：
文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
几何表达：
∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知）
∴PA＝PB．（角平分线的性质）
思考：这一性质定理的根据是什么？
（2）角平分线的判定：
文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
几何表达：
∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知）
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定）
二、典型例题
角平分线的性质一
例题1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边距离相等
例题2
如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则求DE的长.
例题3
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证：
CF=EB。
D
F E
C B
A
例题4
已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C.
例题5
已知:如图所示,点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D，E,求证：OB＝OC.
例题6
如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB的周长.
A
F
D
E
B
例题7
如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=CF,求证:BD=FD.
例题8
如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°.求证:DE=DF.
例题8 求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.
角平分线的性质二
例题1如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E，F,AE=AF.求证：
(1)PE=PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上.
例题2如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.
例题3已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.
求证：（1）当∠1＝∠2时，OB＝OC；
（2）当OB＝OC时，∠1＝∠2.
例题4已知：如图所示，在△ABC中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.
例5、如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．E是DC 的中点，求证：BE平分∠ABC．
例题6 .如图所示,在四边形ABCD中,∠ADC+∠ABC=180°,BC=DC,CE⊥AD,交AD的延长线于点E,CF⊥AB于点F.
求证:AC平分∠BAD.
例7如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？。