高等数学下册习题课(18)
第七章 常微分方程 第二节 一阶微分方程
2
两边积分, 两边积分,得
20112011-4-16 高 等 数 学 习 题 课 16
3u + 2 ∫ u(u2 +1) du = −3ln | x | +lnC,
2
3u2 + 2 2 u du = ∫ ( + 2 )du 由于 ∫ 2 u u +1 u(u +1) 1 2 ( = 2ln | u| + ln u +1) +C1 , 2 C 2 2 故方程的通解为 u u +1 = , 3 x
5
例2 求解方程 yd x + (x − 4x)d y = 0.
2
此方程为一个可分离变量的微分方程. 解 此方程为一个可分离变量的微分方程.分离 变量, 变量,得
dy dx = , 2 y 4x − x
dx 1 1 1 = + d x, 2 4 x 4− x 4x − x
因
两边积分, 两边积分,得
第七章(1) 第七章
习题课
一阶微分方程的解法及应用
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 三、课外练习题
20112011-4-16
高 等 数 学 习 题 课
1
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 几个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 几个标准类型 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 关键: 关键 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 代换自变量 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换因变量 代换某组合式 代换某组合式
03考研 考研
大学高等数学_18对坐标曲面积分_高斯公式_斯托克斯公式_习题课教学提纲
曲面分上侧和 下侧
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• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 cos
cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
• 设 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
3. 性质
(1) 若
之间无公共内点, 则
A d S
i A d S
(2) 用ˉ 表示 的反向曲面, 则
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三、对坐标的曲面积分的计算法
定理: 设光滑曲面 是 上的连续函数, 则
取上侧,
R(x,
y,
z)d
xd
y
D xy
R(x,
n
y,
z(x,
y))
d
xd
y
证:
R(x,
3a d x d y Dx y
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例2. 计算曲面积分 xyz d x d y, 其中 为球面 x2
y2 z2 1 外侧在第一和第八卦限部分.
思考: 下述解法是否正确:
z 2
根据对称性 xyz d x d y 0
解: 把 分为上下两部分
x
o
Dx y 1 1
•若
则有
P(x,
y, z)d
ydz
Dyz
P(x(y, z)
,
y, z) d y d z
(前正后负)
•若
则有
Q(x, y, z) d z d x Dzx Q (x, y(z, x), z )d z d x (右正左负)
高等数学下无穷级数习题课
(1, 5] .
例 2(2003A)设 x 2 = å an cos nx (-p £ x £ p) ,则 a2 =
¥ ¥
。= 1。 。
(-2, å an x n 的收敛半径为 3,则 å nan (x - 1)n +1 的收敛区间为
n =1 n =1
n =1
¥
2n -1
+ a2n ) 收敛 å an 收敛
n =1
¥
åa
n =1
¥
n
u (4) lim n = l ¹ 0 则 å un 和 å vn 有相同的敛散性 n ¥ v n
åa , åb
2
例 11(2006A)将函数 f (x ) = 例 10(2006C)求幂级数 å 收敛域为 [-1,1] 。
¥ ¥
x 展成 x 的幂级数。 2 + x - x2
n -1
1 ¥ æ 1ö n ç (-1)n +1 + n ÷ ÷ å ç ÷ x , x Î (-1,1) 。 è 3 n =0 2 ø
¥
例 5(2003C)求幂级数 1 + å (-1)n
n =1
x 2n ( x < 1 )的和函数 f (x ) 及其极值。 2n
1 f (x ) = 1 - ln(1 + x 2 ) , x < 1 , f (x ) 在 x = 0 处取得极大值,且极大值为 f (0) = 1 。 2
1+x 2 ì ¥ ï (-1)n ï x arctan x , x ¹ 0 试将 f (x ) 展开成 x 的幂级数,并求 å 的和。 例 4(2001A)设 f (x ) = í 2 ï 1, x =0 n =1 1 - 4n ï ï î
高等数学(下)课后习题答案
高等数学(下)习题七1. 在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置:A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C在第Ⅷ卦限;点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点?yOz面上的呢?zOx面上的呢?答: 在xOy面上的点,z=0;在yOz面上的点,x=0;在zOx面上的点,y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点?y轴上的点呢?z轴上的点呢?答:x轴上的点,y=z=0;y轴上的点,x=z=0;z轴上的点,x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离:(1)(0,0,0),(2,3,4);(2)(0,0,0),(2,-3,-4);(3)(-2,3,-4),(1,0,3);(4)(4,-2,3),(-2,1,3).解:(1)s=(2) s==(3) s=(4) s==.5. 求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离.解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5).s==故s==xs==ys==.5z6. 在z轴上,求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点.解:设此点为M(0,0,z),则222222-++-=++--(4)1(7)35(2)z z解得149z=即所求点为M(0,0,149).7. 试证:以三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明:因为|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC为等腰直角三角形.8. 验证:()()++=++a b c a b c.证明:利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2,3.u v=-+=-+-a b c a b c 试用a, b, c表示23.u v-解:232(2)3(3)2243935117u v-=-+--+-=-++-+=-+a b c a b ca b c a b ca b c10. 把△ABC的BC边分成五等份,设分点依次为D1,D2,D3,D4,再把各分点与A 连接,试以AB=c,BC=a表示向量1D A,2D A,3D A和4D A.解:1115D A BA BD=-=--c a2225D A BA BD=-=--c a3335D A BA BD=-=--c a444.5D A BA BD=-=--c a11. 设向量OM的模是4,它与投影轴的夹角是60°,求这向量在该轴上的投影.解:设M的投影为M',则1Pr j cos604 2.2uOM OM=︒=⨯=12. 一向量的终点为点B(2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次是4,-4和7,求这向量的起点A的坐标.解:设此向量的起点A的坐标A(x, y, z),则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P 1(4,0,5),终点是P 2(7,1,3),试求:(1) 12PP 在各坐标轴上的投影; (2) 12PP 的模;(3) 12PP 的方向余弦; (4) 12PP 方向的单位向量.解:(1)12Pr j 3,x x a PP ==12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-(2) 12(7PP == (3) 12cos 14xa PP α== 12cos 14ya PP β==12cos 14za PP γ==(4) 12012{14PPPP ===-e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.解:R =(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)||==Rcos coscos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模,并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .解:||==a||==b||3==c, , 3. a b c ==a b c e16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解:a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .17. 向量r 与三坐标轴交成相等的锐角,求这向量的单位向量e r .解:因αβγ==,故23cos 1 α=,cos αα==则{cos ,cos ,cos })r αβγ===++e i j k . 18. 已知两点M 1(2,5,-3),M 2(3,-2,5),点M 在线段M 1M 2上,且123M M MM =,求向径OM 的坐标.解:设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为,123M M MM = 所以,11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}. 19. 已知点P 到点A (0,0,12)的距离是7,OP 的方向余弦是236,,777,求点P 的坐标. 解:设P 的坐标为(x , y , z ),2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+126570cos 6, 749z z γ==⇒==又122190cos 2, 749x x α==⇒==123285cos 3, 749y y β==⇒== 故点P 的坐标为P (2,3,6)或P (190285570,,494949). 20. 已知a , b 的夹角2π3ϕ=,且3,4a b ==,计算: (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ). 解:(1)a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算:(1)a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b ); (3)2||-a b解:(1)46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b(2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b 222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b 36238499=-⨯+=22. 已知四点A (1,-2,3),B (4,-4,-3),C (2,4,3),D (8,6,6),求向量AB 在向量CD 上的投影.解:AB ={3,-2,-6},CD ={6,2,3}Pr j CD AB CD AB CD ⋅=4.7==- 23. 设重量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线移动到点M 2(1,4,2),计算重力所作的功(长度单位为m ).解:取重力方向为z 轴负方向,依题意有f ={0,0, -100×9.8}s = 12M M ={-2, 3,-6}故W = f ·s ={0,0,-980}·{-2,3,-6}=5880 (J)24. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角. 解: (a +3b )·(7a -5b )=227||1615||0+⋅-=a a b b ①(a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-⋅+=a a b b ② 由①及②可得:222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ,所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos 23θ==. 25. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直,求动点的轨迹方程. 解:设动点为M (x , y , z )0{1,1,1}M M x y z =---因0M M n ⊥,故00M M n ⋅=.即2(x -1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得:2x +3y-4z-1=0即为动点M 的轨迹方程.26. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明:以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.证明:以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a -b ,且a +b ={2,4, -2}a-b ={-6,10,14}又(a +b )·(a-b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a +b )⊥(a-b ).27. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求:(1) a ×b ;(2) 2a ×7b ;(3) 7b ×2a ; (4) a ×a .解:(1) 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k(4) 0⨯=a a .28. 已知向量a 和b 互相垂直,且||3, ||4==a b .计算:(1) |(a +b )×(a -b )|;(2) |(3a +b )×(a -2b )|.(1)|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a bπ2||||sin 242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin 842=⨯⨯⨯= 29. 求垂直于向量3i-4j-k 和2i-j +k 的单位向量,并求上述两向量夹角的正弦. 解:411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b平行的单位向量)||⨯==--+⨯a b e i j k a b||sin ||||θ⨯===⨯a b a b . 30. 一平行四边形以向量a =(2,1,-1)和b =(1,-2,1)为邻边,求其对角线夹角的正弦. 解:两对角线向量为13=+=-l a b i j ,232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++l l i j k12||||==l l 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l . 即为所求对角线间夹角的正弦.31. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1),点M ,N ,P 分别是AB ,BC ,CA 的中点,证明:1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 证明:中点M ,N ,P 的坐标分别为31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22M N P -- {2,2,2}MN =--3{1,0,}2MP =- {4,4,4}AC =--{2,0,3}BC =- 22222235233100122MN MP ----⨯=++=++--i j k i j k 44444412208033220AC BC ---⨯=++=++--i j k i j k 故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 32. 求同时垂直于向量a =(2,3,4)和横轴的单位向量.解:设横轴向量为b =(x ,0,0)则同时垂直于a ,b 的向量为3442230000x x ⨯=++a b i j k =4x j -3x k故同时垂直于a ,b 的单位向量为1(43)||5⨯=±=±-⨯a b e j k a b . 33. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解:设四顶点依次取为A , B , C , D .{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-则由A ,B ,D 三点所确定三角形的面积为111|||542|222S AB AD =⨯=+-=i j k .同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积122S =+. 34. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9),证:此三点共线.证明:{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC =显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=故A ,B ,C 三点共线.35. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程.解:所求平面与平面3x -2y +6z =11平行故n ={3,-2,6},又过点(4,1,-2)故所求平面方程为:3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0即3x -2y +6z +2=0.36. 求过点M 0(1,7,-3),且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解:所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为:x -1+7(y -7)-3(z +3)=0即x +7y -3z -59=037. 设平面过点(1,2,-1),而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍,求此平面方程.解:设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上,则有121122b b b-++= 得b =2. 故所求平面方程为1424x y z ++= 38. 求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程.解:由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点,有1112121*********x y z --+----+=---+ 化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.39. 指出下列各平面的特殊位置,并画出其图形:(1) y =0; (2) 3x -1=0;(3) 2x -3y -6=0; (4) x –y =0;(5) 2x -3y +4z =0.解:(1) y =0表示xOz 坐标面(如图7-2)(2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4)(4) x–y=0表示过z轴的平面(如图7-5)(5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面(如图7-6).图7-4 图7-5 图7-6 40. 通过两点(1,1,1,)和(2,2,2)作垂直于平面x+y-z=0的平面. 解:设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n={A,B,C}已知平面法向量为n1={1,1,-1}过已知两点的向量l={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0,.A B CC A BA B C+-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点(1,1,1)在平面上,所以有D=0故平面方程为x-y=0.41. 决定参数k的值,使平面x+ky-2z=9适合下列条件:(1)经过点(5,-4,6);(2)与平面2x-3y+z=0成π4的角. 解:(1)因平面过点(5,-4,6)故有 5-4k-2×6=9得k=-4.(2)两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且122123π2cos cos||||42514kkθ⋅-====+⋅n nn n解得2k =±42. 确定下列方程中的l 和m :(1) 平面2x +ly +3z -5=0和平面mx -6y -z +2=0平行; (2) 平面3x -5y +lz -3=0和平面x +3y +2z +5=0垂直. 解:(1)n 1={2,l ,3}, n 2={m ,-6,-1}12232,18613l m l m ⇒==⇒=-=--n n (2) n 1={3, -5, l }, n 2={1,3,2}12315320 6.l l ⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n43. 通过点(1,-1,1)作垂直于两平面x -y +z -1=0和2x +y +z +1=0的平面.解:设所求平面方程为Ax +By +Cz +D =0 其法向量n ={A ,B ,C }n 1={1,-1,1}, n 2={2,1,1}12203203A C A B C A B C CB ⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n n n n 又(1,-1,1)在所求平面上,故A -B +C +D =0,得D =0故所求平面方程为2033CCx y Cz -++= 即2x -y -3z =044. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解:n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k 45. 求通过下列两已知点的直线方程: (1) (1,-2,1), (3,1,-1); (2) (3,-1,0),(1,0,-3). 解:(1)两点所确立的一个向量为s ={3-1,1+2,-1-1}={2,3,-2}故直线的标准方程为:121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- (2)直线方向向量可取为s ={1-3,0+1,-3-0}={-2,1,-3}故直线的标准方程为:31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 46. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程.解:所给直线的方向向量为12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点(0,7,17),因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为:771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩47. 求下列直线与平面的交点:(1)11126x y z-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 213232x y z +--==, x +2y -2z +6=0. 解:(1)直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为(2,-3,6).(2) 直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为(-2,1,3). 48. 求下列直线的夹角:(1)533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和 2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩;(2)2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩解:(1)两直线的方向向量分别为:s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直,夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程:(1)经过点(2,-3,4),且与平面3x -y +2z -4=0垂直; (2)过点(0,2,4),且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行; (3)过点(-1,2,1),且与直线31213x y z --==-平行. 解:(1)可取直线的方向向量为s ={3,-1,2}故过点(2,-3,4)的直线方程为234312x y z -+-==- (2)所求直线平行两已知平面,且两平面的法向量n 1与n 2不平行,故所求直线平行于两平面的交线,于是直线方向向量12102{2,3,1}013=⨯==--i j ks n n故过点(0,2,4)的直线方程为24231x y z --==- (3)所求直线与已知直线平行,故其方向向量可取为 s ={2,-1,3}故过点(-1,2,1)的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系:(1)34273x y z++==--和4x -2y -2z =3; (2)327x y z ==-和3x -2y +7z =8;(3)223314x y z -+-==-和x +y +z =3. 解:平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2,-7,3}平面的法向量n ={4,-2,-2},所以(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n于是直线与平面平行.又因为直线上的点M 0(-3,-4,0)代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量,故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上,因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点(2,-2,3)在平面上. 51. 求过点(1,-2,1),且垂直于直线23030x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 的平面方程.解:直线的方向向量为12123111-=++-i j ki j k , 取平面法向量为{1,2,3},故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x +2y +3z =0.52. 求过点(1,-2,3)和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解:设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数,又因为所求平面过点(1,-2,3) 故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+= 解得λ=-4.故所求平面方程为2x +15y +7z +7=053. 求点(-1,2,0)在平面x +2y -z +1=0上的投影.解:过点(-1,2,0)作垂直于已知平面的直线,则该直线的方向向量即为已知平面的法向量,即s =n ={1,2,-1}所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0 得23t =-于是所求点(-1,2,0)到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333- 54. 求点(1,2,1)到平面x +2y +2z -10=0距离.解:过点(1,2,1)作垂直于已知平面的直线,直线的方向向量为s =n ={1,2,2}所以垂线的参数方程为12212x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =. 故垂足为485(,,)333,且与点(1,2,1)的距离为1d == 即为点到平面的距离. 55. 求点(3,-1,2)到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解:过点(3,-1,2)作垂直于已知直线的平面,平面的法向量可取为直线的方向向量即11133211==-=---ij kn s j k 故过已知点的平面方程为y +z =1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为2d ==56. 建立以点(1,3,-2)为中心,且通过坐标原点的球面方程. 解:球的半径为22213(2)14.R =++-=设(x ,y ,z )为球面上任一点,则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.57. 一动点离点(2,0,-3)的距离与离点(4,-6,6)的距离之比为3,求此动点的轨迹方程.解:设该动点为M (x ,y ,z ),由题意知222222(2)(0)(3) 3.(4)(6)(6)x y z x y z -+-++=-+++-化简得:8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面,并画出其图形:(1)22()()22a a x y -+=; (2)22149x y -+=; (3)22194x z +=; (4)20y z -=; (5)220x y -=; (6)220x y +=. 解:(1)母线平行于z 轴的抛物柱面,如图7-7. (2)母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8 (3)母线平行于y 轴的椭圆柱面,如图7-9. (4)母线平行于x 轴的抛物柱面,如图7-10.图7-9 图7-10(5)母线平行于z 轴的两平面,如图7-11. (6)z 轴,如图7-12.图7-11 图7-12 59. 指出下列方程表示怎样的曲面,并作出图形:(1)222149y z x ++=; (2)22369436x y z +-=; (3)222149y z x --=; (4)2221149y z x +-=; (5)22220x y z -+=; (6)22209z x y +-=. 解:(1)半轴分别为1,2,3的椭球面,如图7-13. (2) 顶点在(0,0,-9)的椭圆抛物面,如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面,如图7-15. (4) 单叶双曲面,如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的椭圆锥面,其中心轴是y 轴,如图7-17. (6) 顶点在坐标原点的圆锥面,其中心轴是z 轴,如图7-18.图7-17 图7-1860. 作出下列曲面所围成的立体的图形: (1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0; (3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1. 解:(1)(2)(3)(4)分别如图7-19,7-20,7-21,7-22所示.图7-19 图7-20图7-21 图7-22 61. 求下列曲面和直线的交点:(1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-. 解:(1)直线的参数方程为334624x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1. 得交点坐标为(3,4,-2),(6,-2,2). (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1, 得交点坐标为(4,-3,2).62. 设有一圆,它的中心在z 轴上,半径为3,且位于距离xOy 平面5个单位的平面上,试建立这个圆的方程.解:设(x ,y ,z )为圆上任一点,依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程.63. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程. 解:以曲线为准线,母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=. 故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线.解:以曲线为准线,母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状,并写出其方程. (1) 平面x =2; (2) 平面y =0; (3) 平面y =5; (4) 平面z =2.解:(1)截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.(2)截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ⎧==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.66. 求单叶双曲面22211645x y z +-=与平面x -2z +3=0的交线在xOy 平面,yOz 平面及xOz 平面上的投影曲线. 解:以32x z +=代入曲面方程得 x 2+20y 2-24x -116=0.故交线在xOy 平面上的投影为2220241160x y x z ⎧+--=⎨=⎩ 以x =2z -3代入曲面方程,得 20y 2+4z 2-60z -35=0.故交线在yOz 平面上的投影为2220460350y z z x ⎧+--=⎨=⎩ 交线在xOz 平面上的投影为230,0.x z y -+=⎧⎨=⎩习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集?并分别指出它们的聚点集和边界:(1) {(x ,y )|x ≠0};(2) {(x ,y )|1≤x 2+y 2<4};(3) {(x ,y )|y <x 2};(4) {(x ,y )|(x -1)2+y 2≤1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2≤1}.解:(1)开集、无界集,聚点集:R 2,边界:{(x ,y )|x =0}. (2)既非开集又非闭集,有界集,聚点集:{(x ,y )|1≤x 2+y 2≤4},边界:{(x ,y )|x 2+y 2=1}∪{(x ,y )| x 2+y 2=4}. (3)开集、区域、无界集,聚点集:{(x ,y )|y ≤x 2},边界:{(x ,y )| y =x 2}.(4)闭集、有界集,聚点集即是其本身,边界:{(x ,y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2=1}. 2. 已知f (x ,y )=x 2+y 2-xy tanxy,试求(,)f tx ty . 解:222(,)()()tan(,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅= 3. 已知(,,)w u vf u v w u w+=+,试求(,,).f x y x y xy +-解:f (x +y , x -y , xy ) =(x +y )xy+(xy )x +y +x -y=(x +y )xy +(xy )2x.4. 求下列各函数的定义域:2(1)ln(21);z y x =-+(2)z=+(3)z =(4)u =+(5)z =(6)ln()z y x =-+(7)u =解:2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>(2){(,)|0,0}.D x y x y x y =+>->22222(3){(,)|40,10,0}.D x y x y x y x y =-≥-->+≠(4){(,,)|0,0,0}.D x y z x y z =>>> 2(5){(,)|0,0,}.D x y x y x y =≥≥≥ 22(6){(,)|0,0,1}.D x y y x x x y =->≥+< 22222(7){(,,)|0,0}.D x y z x y x y z =+≠+-≥5. 求下列各极限:10y x y →→22001(2)lim;x y x y →→+00x y →→0x y →→00sin (5)lim ;x y xyx →→222222001cos()(6)lim .()e x y x y x y x y +→→-++ 解:(1)原式0ln 2.=(2)原式=+∞. (3)原式=001.4x y →→=-(4)原式=002.x y →→=(5)原式=00sin lim100.x y xyy xy →→⋅=⨯=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+6. 判断下列函数在原点O (0,0)处是否连续:33222222sin(),0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩33333333sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解:(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=,且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O (0,0)处连续. (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0,0)点,则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0,0)点,则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0,0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断:(1) f (x ,y )=233x y x y -+;(2) f (x ,y )=2222y xy x +-;(3) f (x ,y )=ln(1-x 2-y 2);(4)f (x ,y )=222e ,0,0,0.x y x y yy -⎧⎪≠⎨⎪=⎩解:(1)因为当y =-x 时,函数无定义,所以函数在直线y =-x 上的所有点处间断,而在其余点处均连续.(2)因为当y 2=2x 时,函数无定义,所以函数在抛物线y 2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x 2+y 2=1时,函数无定义,所以函数在圆周x 2+y 2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.(4)因为点P (x ,y )沿直线y =x 趋于O (0,0)时.1200lim (,)lime x x y x xf x y x-→→=→==∞. 故(0,0)是函数的间断点,而在其余各点处均连续. 8. 求下列函数的偏导数:(1)z =x 2y +2xy;(2)s =22u v uv+;(3)z =x(4)z =lntan x y; (5)z =(1+xy )y; (6)u =z xy;(7)u =arctan(x -y )z; (8)y zu x =.解:(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (2)u v s v u =+2211,.s v s u u v u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)2222212ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+222.z xy x y y x y ∂==∂+ (4)21122sec csc ,tan z x x x x y y y yy∂=⋅⋅=∂ 222122sec ()csc .tan z x x x x x y y y y yy∂=⋅⋅-=-∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+故[]221(1)(1)(1).ln(1)1y y y x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+[]ln(1)(1)(1)ln(1)1ln(1)(1).1y y y y x z xy yxy xy y xy xy y xy xy xy xy ∂⎡⎤'++=+⋅=++⎢⎥+∂⎣⎦⎡⎤++=+⎢⎥+⎣⎦(6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ (7)11221()().1[()]1()z z z z u z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+- 112222()(1)().1[()]1()()ln()()ln().1[()]1()z z z z z zz z u z x y z x y y x y x y u x y x y x y x y z x y x y --∂-⋅--==-∂+-+-∂----==∂+-+-(8)1.yzu y x x z-∂=∂ 2211ln ln .ln ln .y yzzyy z zu x x x x y z zu y y x x x x z z z ∂=⋅=∂∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂⎝⎭9.已知22x y u x y=+,求证:3u u x y u x y ∂∂+=∂∂. 证明: 222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++. 由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+. 于是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+. 10.设11ex y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=,求证:222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 证明: 11112211e e x y x y z x xx ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x ,y 的对称性得1121ex y z y y⎛⎫+- ⎪⎝⎭∂=∂ 故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂11.设f (x ,y )=x +(yf x (x ,1) .解:1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=.12.求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与正向x 轴所成的倾角.解:(2,4,5)1,1,2z z x x x ∂∂==∂∂ 设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tan α=1. 故α=π4. 13.求下列函数的二阶偏导数: (1)z =x 4+ y 4-4x 2y 2; (2)z=arctan y x; (3)z =y x ;(4)z =2ex y+.解:(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ,, 由x ,y 的对称性知22222128.16.z z y x xy y y x∂∂=-=-∂∂∂ (2)222211zy y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,2222222222222222222222222222222222222222()022,()()11,12,()()2,()()2.()()z x y y x xyx x y x y z x y x x y y x z xyy x y z x y y y y x x y x y x y z x y x x y x y x x y x y ∂+⋅-⋅=-=∂++∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∂=-∂+∂+-⋅-=-=∂∂++∂+-⋅-=-=∂∂++ (3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂ 21222112111,(1),1ln (1ln ),ln (1ln ).x x x x x x x x z z xy x x y y y z y xy y y x y x y y zy x y y y x y y x-------∂∂==-∂∂∂=⋅+=+∂∂∂=+⋅⋅=+∂∂ (4)22e 2,e ,x y x y z zx x y++∂∂=⋅=∂∂ 222222222e 22e 22e (21),e ,2e ,2e .x y x y x y x y x y x y z x x x xz z z x x y x y y x++++++∂=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂===∂∂∂∂∂14.设f (x ,y ,z )=xy 2+yz 2+zx 2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f -解:2(,,)2x f x y z y zx =+22(,,)2,(0,0,1)2,(,,)2(,,)2,(0,1,0)0,(,,)2(,,)2(,,)0,(2,0,1)0.xx xx y yz yz z zz zzx zzx f x y z z f f x y z xy z f x y z z f f x y z yz x f x y z yf x y z f ===+=-==+===15.设z =x ln(xy ),求32z x y ∂∂∂及32zx y ∂∂∂.解:ln()1ln(),z yx xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y zx xy x x y z x z x y xy y x y y∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂16.求下列函数的全微分: (1)22ex y z +=;(2)z =(3)zy u x =; (4)yzu x =.解:(1)∵2222e 2,e 2x y x y z zx y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )x y xy xy z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+ ∴223/2d (d d ).()xz y x x y x y =--+(3)∵11,ln z z z y y z u u y x x x zy x y--∂∂==⋅⋅∂∂ 2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1yz u y x x z-∂=∂ 1ln yz u x x y z∂=⋅⋅∂ln yz u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分: (1)222,2,1,0.2,0.1;z x xy y x y x y =-+==-∆=∆=- (2)e ,1,1,0.15,0.1.xy z x y x y ===∆=∆=解:(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265ee e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=18.利用全微分代替全增量,近似计算: (1) (1.02)3·(0.97)2;(3)(1.97)1.05.解:(1)设f (x ,y )=x 3·y 2,则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故d f (x ,y )=3x 2y 2d x +2x 3y d y =xy (3xy d x +2x 2d y ) 取x =1,y =1,d x =0.02,d y =-0.03,则(1.02)3·(0.97)2=f (1.02,0.97)≈f (1,1)+d f (1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设f (x ,y,则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则d0.05d0.07(4.05,2.93)(4,3)d(4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998xyf f f==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f(x,y)=x y,则d f(x,y)=yx y-1d x+x y ln x d y,取x=2,y=1,d x=-0.03,d y=0.05,则1.05d0.03d0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d(2,1)20.0393 2.0393.xyf f f=-==≈+=+=19.矩型一边长a=10cm,另一边长b=24cm,当a边增加4mm,而b边缩小1mm时,求对角线长的变化.解:设矩形对角线长为l,则d d).l l x x y y==+当x=10,y=24,d x=0.4,d y=-0.1时,d0.4240.1)0.062l=⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.20. 1mol理想气体在温度0℃和1个大气压的标准状态下,体积是22.4L,从这标准状态下将温度升高3℃,压强升高0.015个大气压,问体积大约改变多少?解:由PV=RT得V=RTP,且在标准状态下,R=8.20568×10-2,ΔV≈d v=-2d dRT Rp TP P+=d dV RP TP P-+222.48.20568100.01530.0911-⨯=-⨯+⨯≈-故体积改变量大约为0.09.21. 测得一物体的体积V=4.45cm3,其绝对误差限是0.01cm3,质量m=30.80g,其绝对误差限是0.01g,求由公式mvρ=算出密度ρ的绝对误差与相对误差.解:当V=4.45,m=30.80,d v=0.01,d m=0.01时,22130.801d d d0.010.014.45 4.450.01330.0133mv mv vρ==-+-⨯+⨯≈=-当v=4.45, m=30.80时30.806.92134.45ρ=≈d 0.00192160.19216%ρρ≈=.22. 求下列复合函数的偏导数或全导数:(1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,z v∂∂; (2) z =arc tanx y ,x =u +v ,y =u -v ,求z u ∂∂,z v∂∂; (3) ln(e e )xyu =+,y =x 3,求d d ux; (4) u =x 2+y 2+z 2,x =e cos tt ,y =e sin tt ,z =e t,求d d ut. 解:(1)222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z y xy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uyx yu v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vyx x y y y x ux y u v -∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x x x y x y x y x yx x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.23. 设f 具有一阶连续偏导数,试求下列函数的一阶偏导数: (1)22(,e );xyu f x y =-(2),;x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)().,,u f x xy xyz = 解:(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ (2)1111u f f x y y∂''=⋅=∂ 121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂ 12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂24.设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数,证明: .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xyz xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+ 25. 设22()yz f x y =-,其中f (u )为可导函数,验证:211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 证明:∵2222z yf x xyf x f f ''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f ''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y ''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅ 26. 22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数,求22222,,.z z zx x y y ∂∂∂∂∂∂∂ 解:2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,z f x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂由对称性知,22224.z f y f y∂'''=+∂27. 设f 是c 2类函数,求下列函数的二阶偏导数: (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解:(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂ 2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,。
高等数学同济第六版下册课后习题答案
习题8-11. 设u =a -b +2c , v =-a +3b -c . 试用a 、b 、c 表示2u -3v . 解 2u -3v =2(a -b +2c )-3(-a +3b -c )=2a -2b +4c +3a -9b +3c=5a -11b +7c .2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形.证 →→→-=OA OB AB ; →→→-=OD OC DC ,而 →→-=OA OC , →→-=OB OD ,所以 →→→→→→-=-=+-=AB OA OB OB OA DC .这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD , 从而四边形ABCD 是平行四边形.3. 把∆ABC 的BC 边五等分, 设分点依次为D 1、D 2、D 3、D 4, 再把各分点与点A 连接. 试以c =→AB 、a =→BC 表示向量→A D 1、→A D 2、→A D 3、→A D 4.解 a c 5111--=-=→→→BD BA A D , a c 5222--=-=→→→BD BA A D , a c 5333--=-=→→→BD BA A D , a c 5444--=-=→→→BD BA A D .4. 已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2(1, -1, 0). 试用坐标表示式表示向量→21M M 及→-212M M .解 )2 ,2 ,1()2 ,1 ,0()0 ,1 ,1(21--=--=→M M ,)4 ,4 ,2()2 ,2 ,1(2221-=---=-→M M .5. 求平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量.解 11)6(76||222=-++=a ,平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量为)116 ,117 ,116(||1-=a a 或)116 ,117 ,116(||1--=-a a . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限? A (1, -2, 3); B (2, 3, -4); C (2, -3, -4); D (-2, -3, 1).解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限.7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征?指出下列各点的位置:A (3, 4, 0);B (0, 4, 3);C (3, 0, 0);D (0, -1, 0).解 在xOy 面上, 点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 点的坐标为(x , 0, z ).在x 轴上, 点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 点的坐标为(0, 0, z ).A 在xOy 面上,B 在yOz 面上,C 在x 轴上,D 在y 轴上. 8. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标.解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , -c ), 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为(-a , b , c ), 点(a , b , c )关于zOx 面的对称点为(a , -b , c ).(2)点(a , b , c )关于x 轴的对称点为(a , -b , -c ), 点(a , b , c )关于y 轴的对称点为(-a , b , -c ), 点(a , b , c )关于z 轴的对称点为(-a , -b , c ).(3)点(a , b , c )关于坐标原点的对称点为(-a , -b , -c ). 9. 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标.解 在xOy 面、yOz 面和zOx 面上, 垂足的坐标分别为(x 0, y 0, 0)、(0, y 0, z 0)和(x 0, 0, z 0).在x 轴、y 轴和z 轴上, 垂足的坐标分别为(x 0, 0, 0), (0, y 0, 0)和(0, 0, z 0).10. 过点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点? 解 在所作的平行于z 轴的直线上, 点的坐标为(x 0, y 0, z ); 在所作的平行于xOy 面的平面上, 点的坐标为(x , y , z 0).11. 一边长为a 的立方体放置在xOy 面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x 轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标. 解 因为底面的对角线的长为a 2, 所以立方体各顶点的坐标分别为)0 ,0 ,22(a -, )0 ,0 ,22(a , )0 ,22 ,0(a -, )0 ,22 ,0(a , ) ,0 ,22(a a -, ) ,0 ,22(a a , ) ,22 ,0(a a -, ) ,22 ,0(a a . 12. 求点M (4, -3, 5)到各坐标轴的距离.解 点M 到x 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即345)3(22=+-=x d .点M 到y 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, -3, 0)之间的距 离, 即415422=+=y d .点M 到z 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即5)3(422=-+=z d .13. 在yOz 面上, 求与三点A (3, 1, 2)、B (4, -2, -2)和C (0, 5,1)等距离的点.解 设所求的点为P (0, y , z )与A 、B 、C 等距离, 则 2222)2()1(3||-+-+=→z y PA ,2222)2()2(4||++++=→z y PB ,222)1()5(||-+-=→z y PC .由题意, 有222||||||→→→==PC PB PA , 即 ⎩⎨⎧-+-=++++-+-=-+-+2222222222)1()5()2()2(4)1()5()2()1(3z y z y z y z y 解之得y =1, z =-2, 故所求点为(0, 1, -2).14. 试证明以三点A (4, 1, 9)、B (10, -1, 6)、C (2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.解 因为7)96()11()410(||222=-+--+-=→AB ,7)93()14()42(||222=-+-+-=→AC ,27)63()14()102(||222=-+++-=→BC ,所以222||||||→→→+=AC AB BC , ||||→→=AC AB . 因此∆ABC 是等腰直角三角形.15. 设已知两点1) ,2 ,4(1M 和M 2(3, 0, 2). 计算向量→21M M 的模、方向余弦和方向角.解 )1 ,2 ,1()12 ,20 ,43(21-=---=→M M ;21)2()1(||22221=++-=→M M ;21cos -=α, 22cos =β, 21cos =γ; 32πα=, 43 πβ=, 3πγ=. 16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cos α=0; (2)cos β=1;(3)cos α=cos β=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何? 解 (1)当cos α=0时, 向量垂直于x 轴, 或者说是平行于yOz 面.(2)当cos β=1时, 向量的方向与y 轴的正向一致, 垂直于zOx 面.(3)当cos α=cos β=0时, 向量垂直于x 轴和y 轴, 平行于z 轴, 垂直于xOy 面.17. 设向量r 的模是4, 它与轴u 的夹角是60︒, 求r 在轴 u 上的投影.解 22143cos ||j Pr =⋅=⋅=πr r u . 18. 一向量的终点在点B (2, -1, 7), 它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4, -4, 7. 求这向量的起点A 的坐标.解 设点A 的坐标为(x , y , z ). 由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-774142z y x ,解得x =-2, y =3, z =0. 点A 的坐标为A (-2, 3, 0).19. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k . 求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解 因为a =4m +3n -p=4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k ,所以a =4m +3n -p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .习题8-21. 设a =3i -j -2k , b =i +2j -k , 求(1)a ⋅b 及a ⨯b ; (2)(-2a )⋅3b 及a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3,k j i k j i b a 75121 213++=---=⨯. (2)(-2a )⋅3b =-6a ⋅b = -6⨯3=-18,a ⨯2b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a . 2. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a .解 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a . 3. 已知M 1(1, -1, 2)、M 2(3, 3, 1)和M 3(3, 1, 3). 求与→21M M 、→32M M 同时垂直的单位向量.解 →)1 ,4 (2,2)1 ,13 ,13(21-=-+-=M M , →)2 ,2 ,0()13 ,31 ,33(32-=---=M M . →→k j i k j i n 446 220 142 3221--=--=⨯=M M M M , 172161636||=++=n ,)223(171)446(1721k j i k j i e --±=--±=为所求向量. 4. 设质量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线称动到点M 2(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长度单位为m , 重力方向为z 轴负方向).解F =(0, 0, -100⨯9. 8)=(0, 0, -980), →)6 ,3 ,2()82 ,14 ,31(21--=---==M M S . W =F ⋅S =(0, 0, -980)⋅(-2, 3, -6)=5880(焦耳).5. 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处, 有一与→1OP 成角θ1的力F 1作用着; 在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处, 有一与→2OP 成角θ1的力F 1作用着. 问θ1、θ2、x 1、x 2、|F 1|、|F 2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡?解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为x 1|F 1|⋅sin θ1-x 2|F 2|⋅sin θ2=0,即 x 1|F 1|⋅sin θ1=x 2|F 2|⋅sin θ2.6. 求向量a =(4, -3, 4)在向量b =(2, 2, 1)上的投影.解2)142324(31)1 ,2 ,2()4 ,3 ,4(1221||1||j Pr 222=⨯+⨯-⨯=⋅-++=⋅=⋅=⋅=b a b b b a e a a b b . 7. 设a =(3, 5, -2), b =(2, 1, 4), 问λ与μ有怎样的关系, 能使得λa +μb 与z 轴垂直? 解 λa +μb =(3λ+2μ, 5λ+μ, -2λ+4μ),λa +μb 与z 轴垂⇔λa +μb ⊥k⇔(3λ+2μ, 5λ+μ, -2λ+4μ)⋅(0, 0, 1)=0,即-2λ+4μ=0, 所以λ=2μ. 当λ=2μ时, λa +μb 与z 轴垂直.8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证明 设AB 是圆O 的直径, C 点在圆周上, 则→→OA OB -=, →→||||OA OC =.因为→→→→→→→→→→→→0||||)()()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅OA OC OA OC OA OC OB OC OA OC BC AC ,所以→→BC AC ⊥, ∠C =90︒.9. 设已知向量a =2i -3j +k , b =i -j +3k 和c =i -2j , 计算: (1)(a ⋅b )c -(a ⋅c )b ; (2)(a +b )⨯(b +c );(3)(a ⨯b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2⨯1+(-3)⨯(-1)+1⨯3=8, a ⋅c =2⨯1+(-3)⨯(-2)=8,(a ⋅b )c -(a ⋅c )b =8c -8b =8(c -b )=8[(i -2j )-(i -j +3k )]=-8j -24k .(2)a +b =3i -4j +4k , b +c =2i -3j +3k ,k j k j i c b b a --=--=+⨯+332443)()(. (3)k j i k j i b a +--=--=⨯58311132, (a ⨯b )⋅c =-8⨯1+(-5)⨯(-2)+1⨯0=2.10. 已知→j i 3+=OA , →k j 3+=OB , 求∆OAB 的面积.解 根据向量积的几何意义, →→||OB OA ⨯表示以→OA 和→OB 为邻边的平行四边形的面积, 于是∆OAB 的面积为→→||21OB OA S ⨯=. 因为→→k j i k j i +--==⨯33310301OB OA , →→191)3()3(||223=+-+-=⨯OB OA , 所以三角形∆OAB 的面积为→→1921||21=⨯=OB OA S . 12. 试用向量证明不等式:||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++,其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3为任意实数, 并指出等号成立的条件.解 设a =(a 1, a 2, a 3), b =(b 1, b 2, b 3), 则有||||) ,cos(||||^b a b a b a b a ⋅≤⋅=⋅,于是 ||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++,其中当) ,cos(^b a =1时, 即a 与b 平行是等号成立.习题8-31. 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程.解 设动点为M (x , y , z ), 依题意有(x -2)2+(y -3)2+(z -1)2=(x -4)2+(y -5)2+(z -6)2,即 4x +4y +10z -63=0.2. 建立以点(1, 3, -2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程.解 球的半径14)2(31222=-++=R ,球面方程为(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14,即 x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0.3. 方程x 2+y 2+z 2-2x +4y +2z =0表示什么曲面?解 由已知方程得(x 2-2x +1)+(y 2+4y +4)+(z 2+2z +1)=1+4+1,即 2222)6()1()2()1(=++++-z y x ,所以此方程表示以(1, -2, -1)为球心, 以6为半径的球面.4. 求与坐标原点O 及点(2, 3, 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程, 它表示怎样曲面?解 设点(x , y , z )满足题意, 依题意有21)4()3()2(222222=-+-+-++z y x z y x , 化简整理得9116)34()1()32(222=+++++z y x , 它表示以)34 ,1 ,32(---为球心, 以2932为半径的球面. 5. 将zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2+z 2=5x .6. 将zOx 坐标面上的圆x 2+z 2=9绕z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解 将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2+y 2+z 2=9.7. 将xOy 坐标面上的双曲线4x 2-9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解 双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 2-9y 2-9z 2=36.双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 2+4z 2-9y 2=36.8. 画出下列方程所表示的曲面:(1)222)2()2(a y a x =+-;(2)19422=+-y x ;(3)14922=+z x ;(4)y2-z=0;(5)z=2-x2.9.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形:(1)x=2;解在平面解析几何中,x=2表示平行于y轴的一条直线;在空间解析几何中,x=2表示一张平行于yOz面的平面.(2)y=x+1;解在平面解析几何中,y=x+1表示一条斜率是1,在y轴上的截距也是1的直线;在空间解析几何中,y=x+1表示一张平行于z轴的平面.(3)x2+y2=4;解在平面解析几何中,x2+y2=4表示中心在原点,半径是4的圆;在空间解析几何中, x2+y2=4表示母线平行于z轴,准线为x2+y2=4的圆柱面.(4)x2-y2=1.解在平面解析几何中,x2-y2=1表示双曲线;在空间解析几何中,x2-y2=1表示母线平行于z轴的双曲面.10.说明下列旋转曲面是怎样形成的:(1)1994222=++z y x ;解 这是xOy 面上的椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的椭圆19422=+z x 绕x 轴旋转一周而形成的.(2)14222=+-z y x ;解 这是xOy 面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的双曲线1422=+-z y 绕y 轴旋转一周而形成的. (3)x 2-y 2-z 2=1;解 这是xOy 面上的双曲线x 2-y 2=1绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的双曲线x 2-z 2=1绕x 轴旋转一周而形成的. (4)(z -a )2=x 2+y 2 .解 这是zOx 面上的曲线(z -a )2=x 2绕z 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的曲线(z -a )2=y 2绕z 轴旋转一周而形成的. 11. 画出下列方程所表示的曲面: (1)4x 2+y 2-z 2=4;(2)x 2-y 2-4z 2=4;(3)94322y x z +=.习题8-41. 画出下列曲线在第一卦限内的图形: (1)⎩⎨⎧==21y x ;(2)⎩⎨⎧=---=0422y x y x z ;(3) ⎩⎨⎧=+=+222222az x a y x .2. 指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形: (1)⎩⎨⎧-=+=3215x y x y ;解 在平面解析几何中, ⎩⎨⎧-=+=3215x y x y 表示直线y =5x +1与y =2x -3的交点)317 ,34(--; 在空间解析几何中, ⎩⎨⎧-=+=3215x y x y 表示平面y =5x +1与y =2x -3的交线, 它表示过点)0 ,317 ,34(--, 并且行于z 轴. (2)⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x .解 在平面解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆19422=+y x 与其切线y =3的交点(0, 3); 在空间解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆柱面19422=+y x 与其切平面y =3的交线.3. 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.解 把方程组中的x 消去得方程3y 2-z 2=16, 这就是母线平行于x 轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 把方程组中的y 消去得方程3x 2+2z 2=16, 这就是母线平行于y轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 4. 求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线在xOy 面上的投影的方程.解 由x +z =1得z =1-x 代入x 2+y 2+z 2=9得方程2x 2-2x +y 2=8, 这是母线平行于z 轴, 准线为球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线的柱面方程, 于是所求的投影方程为 ⎩⎨⎧==+-082222z y x x .5. 将下列曲线的一般方程化为参数方程:(1)⎩⎨⎧==++x y z y x 9222 ;解 将y =x 代入x 2+y 2+z 2=9得2x 2+z 2=9, 即13)23(2222=+z x .令t x cos 23=, 则z =3sin t .故所求参数方程为t x cos 23=, t y cos 23=, z =3sin t .(2)⎩⎨⎧==+++-04)1()1(222z z y x .解 将z =0代入(x -1)2+y 2+(z +1)2=4得(x -1)2+y 2=3. 令t x cos 31+=, 则t y sin 3=, 于是所求参数方程为t x cos 31+=, t y sin 3=, z =0.6. 求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解 由前两个方程得x 2+y 2=a 2, 于是螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为 ⎩⎨⎧==+0222z a y x .由第三个方程得bz=θ代入第一个方程得b z a x cos =, 即axb z arccos =,于是螺旋线在zOx 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==0arccos y a xb z .由第三个方程得b z =θ代入第二个方程得b z a y sin =, 即ay b z arcsin =, 于是螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==a y b z x arcsin 0.7. 求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体x 2+y 2≤ax (a >0)的公共部分在xOy 面和zOx 面上的投影.解 圆柱体x 2+y 2≤ax 在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax , 它含在半球2220y x a z --≤≤在xOy 面上的投影x 2+y 2≤a 2内, 所以半球与圆柱体的公共部分在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax .为求半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影, 由圆柱面方程x 2+y 2=ax 得y 2=ax -x 2, 代入半球面方程222y x a z --=, 得ax a z -=2(0≤x ≤a ), 于是半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影为ax a z -≤≤20(0≤x ≤a ), 即z 2+ax ≤a 2, 0≤x ≤a , z ≥0.8. 求旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在三坐标面上的投影.解 令z =4得x 2+y 2=4, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤4. 令x =0得z =y 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在yOz 面上的投影为y 2≤z ≤4. 令y =0得z =x 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在zOx 面上的投影为x 2≤z ≤4.习题8-51. 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程.解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0.2. 求过点M 0(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.解 所求平面的法线向量为n =(2, 9, -6), 所求平面的方程为 2(x -2)+9(y -9)-6(z -6)=0, 即2x +9y -6z -121=0. 3. 求过(1, 1, -1)、(-2, -2, 2)、(1, -1, 2)三点的平面方程. 解 n 1=(1, -1, 2)-(1, 1, -1)=(0, -2, 3), n 1=(1, -1, 2)-(-2, -2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法线向量为k j i kj i n n n 69301332021++-=-=⨯=,所求平面的方程为-3(x -1)+9(y -1)+6(z +1)=0, 即x -3y -2z =0. 4. 指出下列各平面的特殊位置, 并画出各平面: (1)x =0;解 x =0是yOz 平面. (2)3y -1=0;解 3y -1=0是垂直于y 轴的平面, 它通过y 轴上的点)0 ,31 ,0(. (3)2x -3y -6=0;解 2x -3y -6=0是平行于z 轴的平面, 它在x 轴、y 轴上的截距分别是3和-2. (4)03=-y x ;解 03=-y x 是通过z 轴的平面, 它在xOy 面上的投影的斜率为33.(5)y +z =1;解 y +z =1是平行于x 轴的平面, 它在y 轴、z 轴上的截距均为1.(6)x -2z =0;解 x -2z =0是通过y 轴的平面. (7)6x +5-z =0.解 6x +5-z =0是通过原点的平面.5. 求平面2x -2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦. 解 此平面的法线向量为n =(2, -2, 1). 此平面与yOz 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^=+-+=⋅⋅==i n i n i n α;此平面与zOx 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^-=+-+-=⋅⋅==j n j n j n β; 此平面与xOy 面的夹角的余弦为311)2(21||||) ,cos(cos 122^=+-+=⋅⋅==k n k n k n γ.6. 一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程.解 所求平面的法线向量可取为k j i kj i b a n 3011112-+=-=⨯=,所求平面的方程为(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.7. 求三平面x +3y +z =1, 2x -y -z =0, -x +2y +2z =3的交点. 解 解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--=++3220213z y x z y x z y x得x =1, y =-1, z =3. 三个平面的交点的坐标为(1, -1, 3). 8. 分别按下列条件求平面方程: (1)平行于zOx 面且经过点(2, -5, 3);解 所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0), 于是所求的平面为 0⋅(x -2)-5(y +5)+0⋅(z -3)=0, 即y =-5. (2)通过z 轴和点(-3, 1, -2); 解 所求平面可设为Ax +By =0. 因为点(-3, 1, -2)在此平面上, 所以 -3A +B =0, 将B =3A 代入所设方程得 Ax +3Ay =0, 所以所求的平面的方程为 x +3y =0,(3)平行于x 轴且经过两点(4, 0, -2)和(5, 1, 7).解 所求平面的法线向量可设为n =(0, b , c ). 因为点(4, 0, -2)和(5, 1, 7)都在所求平面上, 所以向量n 1=(5, 1, 7)-(4, 0, -2)=(1, 1, 9)与n 是垂直的, 即 b +9c =0, b =-9c ,于是 n =(0, -9c , c )=-c (0, 9, -1). 所求平面的方程为9(y -0)-(z +2)=0, 即9y -z -2=0.9. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离. 解 点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离为 1221|1012221|222=++-⨯+⨯+=d .习题8-61. 求过点(4, -1, 3)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程.解 所求直线的方向向量为s =(2, 1, 5), 所求的直线方程为531124-=+=-z y x .2. 求过两点M 1(3, -2, 1)和M 2(-1, 0, 2)的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s =(-1, 0, 2)-(3, -2, 1)=(-4, 2, 1),所求的直线方程为112243-=+=--x y x .3. 用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x .解 平面x -y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, -1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为k j i k j i n n s 3211211121++-=-=⨯=. 在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中, 令y =0, 得⎩⎨⎧=+=+421z x z x , 解得x =3, z =-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点.所求直线的对称式方程为32123+==--z y x ; 参数方程为x =3-2t , y =t , z =-2+3t .4. 求过点(2, 0, -3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.解 所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量, 即k j i k j i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=. 所平面的方程为-16(x -2)+14(y -0)+11(z +3)=0,即 16x -14y -11z -65=0.5. 求直线⎩⎨⎧=+-=-+-02309335z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x 的夹角的余弦.解 两直线的方向向量分别为k j i k j i s -+=--=431233351, k j i k j i s 105101831222+-=-=. 两直线之间的夹角的余弦为||||) ,cos(2121^21s s s s s s ⋅⨯=010)5(10)1(4310)1()5(4103222222=+-+-++⨯-+-⨯+⨯=. 6. 证明直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 平行. 解 两直线的方向向量分别为k j i k j i s 531121211++=--=, k j i k j i s 15391123632---=---=. 因为s 2=-3s 1, 所以这两个直线是平行的.7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行的直线方程.解 因为两平面的法线向量n 1=(1, 0, 2)与n 2=(0, 1, -3)不平行, 所以两平面相交于一直线, 此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s , 即k j i k j i s ++-=-=32310201. 所求直线的方程为14322-=-=-z y x . 8. 求过点(3, 1, -2)且通过直线12354z y x =+=-的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线12354z y x =+=-的方向向量s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为k j i k j i s s n 229824112521--=-=⨯=. 所求平面的方程为8(x -3)-9(y -1)-22(z +2)=0,即 8x -9y -22z -59=0.9. 求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x -y -z +1=0的夹角. 解 已知直线的方向向量为)2(2242111311)1 ,1 ,1()3 ,1 ,1(k j i k j i k j i s -+=-+=--=--⨯=, 已知平面的法线向量为n =(1, -1, -1).因为s ⋅n =2⨯1+4⨯(-1)+(-2)⨯(-1)=0,所以s ⊥n , 从而直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x -y -z +1=0的夹角为0. 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系:(1)37423z y x =-+=-+和4x -2y -2z =3; 解 所给直线的方向向量为s =(-2, -7, 3), 所给平面的法线向量为n =(4, -2, -2).因为s ⋅n =(-2)⨯4+(-7)⨯(-2)+3⨯(-2)=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(-3, -4, 0)不满足平面方程4x -2y -2z =3, 所以所给直线不在所给平面上.(2)723z y x =-=和3x -2y +7z =8; 解 所给直线的方向向量为s =(3, -2, 7), 所给平面的法线向量为n =(3, -2, 7).因为s =n , 所以所给直线与所给平面是垂直的.(3)431232--=+=-z y x 和x +y +z =3. 解 所给直线的方向向量为s =(3, 1, -4), 所给平面的法线向量为n =(1, 1, 1).因为s ⋅n =3⨯1+1⨯1+(-4)⨯1=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(2, -2, 3)满足平面方程x +y +z =3, 所以所给直线在所给平面上.11. 求过点(1, 2, 1)而与两直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 和⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x 平行的平面的方程.解 已知直线的方向向量分别为k j i k j i s 32111121)1 ,1 ,1()1 ,2 ,1(1--=--=-⨯-=, k j k j i s --=--=-⨯-=111112)1 ,1 ,1()1 ,1 ,2(1. 所求平面的法线向量可取为k j i k j i s s n -+-=----=⨯=11032121, 所求平面的方程为-(x -1)+(y -2)-(z -1)=0, 即x -y +z =0.12. 求点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影.解 平面的法线向量为n =(1, 2, -1). 过点(-1, 2, 0)并且垂直于已知平面的直线方程为12211-=-=+z y x . 将此方程化为参数方程x =-1+t , y =2+2t , z =-t , 代入平面方程x +2y -z +1=0中, 得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0, 解得32-=t . 再将32-=t 代入直线的参数方程, 得35-=x , 32=y , 32=z . 于是点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影为点)32 ,32 ,25(-. 13. 求点P (3, -1, 2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.解 已知直线的方向向量为k j k j i s 33112111)1 ,1 ,2()1 ,1 ,1(--=--=-⨯-=. 过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为-3(y +1)-3(z -2)=0, 即y +z -1=0.解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=+-+0104201z y z y x z y x ,得x =1, 21-=y , 23=z . 点P (3, -1, 2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离就是点P (3, -1, 2)与点)23 ,21 ,1(-间的距离, 即 223)232()211()13(22=-++-+-=d . 14. 设M 0是直线L 外一点, M 是直线L 上任意一点, 且直线的方向向量为s , 试证: 点M 0到直线L 的距离→||||0s s ⨯=M M d . 解 设点M 0到直线L 的距离为d , L 的方向向量→=MN s , 根据向量积的几何意义, 以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为||||00s ⨯=⨯→→→M M MN M M ,又以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为||||s ⋅=⋅→d MN d . 因此 ||||0s s ⨯=⋅→M M d , ||||0s s ⨯=→M M d . 15. 求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4x -y +z =1上的投影直线的方程.解 过已知直线的平面束方程为(2+3λ)x +(-4-λ)y +(1-2λ)z -9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 -1, 1)⋅(2+3λ, -4-λ, 1-2λ)=0,即 4⋅(2+3λ)+(-1)⋅(-4-λ)+1⋅(1-2λ)=0. 解之得1113-=λ. 将1113-=λ代入平面束方程中, 得 17x +31y -37z -117=0.故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x . 16. 画出下列各曲面所围成的立体图形:(1)x =0, y =0, z =0, x =2, y =1, 3x +4y +2z -12=0;(2)x =0, z =0, x =1, y =2, 4y z =;(3)z =0, z =3, x -y =0, 03=-y x , x 2+y 2=1(在第一卦限内);(4)x =0, y =0, z =0, x 2+y 2=R 2, y 2+z 2=R 2(在第一卦限内).总习题八1. 填空(1)设在坐标系[O ; i , j , k ]中点A 和点M 的坐标依次为(x 0, y 0, z 0)和(x , y , z ), 则在[A ; i , j , k ] 坐标系中, 点M 的坐标为___________, 向量→OM 的坐标为___________.解 M (x -x 0, y -y 0, z -z 0), →) , ,(z y x OM =.提示: 自由向量与起点无关, 它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变.(2)设数λ1、λ2、λ3不全为0, 使λ1a +λ2b +λ3c =0, 则a 、b 、c 三个向量是__________的. 解 共面.(3)设a =(2, 1, 2), b =(4, -1, 10), c =b -λa , 且a ⊥c , 则λ=____________.解3.提示: 因为a ⊥c , 所以a ⋅c =0.又因为由a ⋅c =a ⋅b -λa ⋅a =2⨯4+1⨯(-1)+2⨯10-λ(22+12+22)=27-9λ, 所以λ=3.(4)设a 、b 、c 都是单位向量, 且满足a +b +c =0, 则a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a =____________. 解 23-. 提示: 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a . (5)设|a |=3, |b |=4, |c |=5, 且满足a +b +c =0, 则|a ⨯b +b ⨯c +c ⨯a |=____________.解36.提示: c =-(a +b ),a ⨯b +b ⨯c +c ⨯a =a ⨯b -b ⨯(a +b )-(a +b )⨯a =a ⨯b -b ⨯a -b ⨯a =3a ⨯b ,|a ⨯b +b ⨯c +c ⨯a |=3|a ⨯b |=3|a |⋅|b |=3⋅3⋅4=36.2. 在y 轴上求与点A (1, -3, 7)和点B (5, 7, -5)等距离的点.解 设所求点为M (0, y , 0), 则有12+(y +3)2+72=52+(y -7)2+(-5)2,即 (y +3)2=(y -7)2,解得y =2, 所求的点为M (0, 2, 0).3. 已知∆ABC 的顶点为A (3,2,-1)、B (5,-4,7)和C (-1,1,2), 求从顶点C 所引中线的长度. 解 线段AB 的中点的坐标为)3 ,1 ,4()271 ,242 ,253(-=+--+. 所求中线的长度为 30)23()11()14(222=-+--++=d .4. 设∆ABC 的三边→a =BC 、→b =CA 、→c =AB , 三边中点依次为D 、E 、F , 试用向量a 、b 、c 表示→AD 、→BE 、→CF , 并证明→→→0=++CF BE AD .解 →→→a c 21+=+=BD AB AD , →→→b a 21+=+=CE BC BE , →→→c b 21+=+=AF CA CF . →→→0=+-=++=++)(23)(23c c c b a CF BE AD 5. 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边, 且其长度等于第三边长度的一半.证明 设D , E 分别为AB , AC 的中点, 则有→→→→→)(21AB AC AD AE DE -=-=, →→→→→AB AC AC BA BC -=+=,所以 →→BC DE 21=, 从而DE //BC , 且||21||BC DE =. 6. 设|a +b |=|a -b |, a =(3, -5, 8), b =(-1, 1, z ), 求z .解a +b =(2, -4, 8+z ), a -b =(4, -6, 8-z ). 因为|a +b |=|a -b |, 所以222222)8()6(4)8()4(2z z -+-+=++-+,解得z =1.7. 设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b 的夹角. 解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π, |a -b |2=(a -b )⋅(a -b )=|a |2+|b |2-2a ⋅b =|a |2+|b |2-2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=-+=π. 设向量a +b 与a -b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ,72arccos =θ. 8. 设a +3b ⊥7a -5b , a -4b ⊥7a -2b , 求) ,(^b a .解 因为a +3b ⊥7a -5b , a -4b ⊥7a -2b ,所以 (a +3b )⋅(7a -5b )=0, (a -4b )⋅(7a -2b )=0,即 7|a |2+16a ⋅b -15|b |2 =0, 7|a |2-30a ⋅b +8|b |2 =0,又以上两式可得b a b a ⋅==2||||,于是 21||||) ,cos(^=⋅⋅=b a b a b a , 3) ,(^π=b a . 9. 设a =(2, -1, -2), b =(1, 1, z ), 问z 为何值时) ,(^b a 最小?并求出此最小值.解 2^2321||||) ,cos(z z +-=⋅⋅=b a b a b a . 因为当2) ,(0^π<<b a 时, ) ,cos(^b a 为单调减函数. 求) ,(^b a 的最小值也就是求22321)(z z z f +-=的最大值.令0)2(431)(2/32=+--⋅='z z z f , 得z =-4. 当z =-4时, 22) ,cos(^=b a , 所以422arccos ) ,(min ^π==b a .10. 设|a |=4, |b |=3, 6) ,(^π=b a , 求以a +2b 和a -3b 为边的平行四边形的面积. 解 (a +2b )⨯(a -3b )=-3a ⨯b +2b ⨯a =5b ⨯a .以a +2b 和a -3b 为边的平行四边形的面积为3021435) ,sin(||||5||5|)3()2(|^=⋅⋅⋅=⋅=⨯=-⨯+b a a b a b b a b a . 11. 设a =(2, -3, 1), b =(1, -2, 3), c =(2, 1, 2), 向量r 满足r ⊥a , r ⊥b , Prj c r =14, 求r . 解 设r =(x , y , z ).因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r ⋅a =0, r ⋅b =0, 即2x -3y +z =0, x -2y +3z =0.又因为Prj c r =14, 所以14||1=⋅c c r , 即 2x +y +2z =42.解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=+-4222032032z y x z y x z y x ,得x =14, y =10, z =2, 所以r =(14, 10, 2).另解 因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r 与k j i k j i b a ---=--=⨯57321132平行, 故可设r =λ(7, 5, 1). 又因为Prj c r =14, 所以14||1=⋅c c r , r ⋅c =42, 即 λ(7⨯2+5⨯1+1⨯2)=42, λ=2,所以r =(14, 10, 2).12. 设a =(-1, 3, 2), b =(2, -3, -4), c =(-3, 12, 6), 证明三向量a 、b 、c 共面, 并用a 和b 表示c .证明 向量a 、b 、c 共面的充要条件是(a ⨯b )⋅c =0. 因为k i k j i b a 36432231--=---=⨯, (a ⨯b )⋅c =(-6)⨯(-3)+0⨯12+(-3)⨯6=0,所以向量a 、b 、c 共面.设c =λa +μb , 则有(-λ+2μ, 3λ-3μ, 2λ-4μ)=(-3, 12, 6),即有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=+-642123332μλμλμλ,解之得λ=5, μ=1, 所以c =5a +b .13. 已知动点M (x ,y ,z )到xOy 平面的距离与点M 到点(1, -1, 2)的距离相等, 求点M 的轨迹方程.解 根据题意, 有222)2()1()1(||-+++-=z y x z ,或 z 2=(x -1)2+(y +1)2+(z -2)2,化简得(x -1)2+(y +1)2=4(z -1),这就是点M 的轨迹方程.14. 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴:(1)z =2(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为zOx 面上的曲线z =2x 2, 旋转轴为z 轴.(2)136936222=++z y x ; 解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线193622=+y x , 旋转轴为y 轴. (3)z 2=3(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为yOz 面上的曲线y z 3=, 旋转轴为z 轴.(4)144222=--z y x . 解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线1422=-y x , 旋转轴为x 轴.15. 求通过点A (3, 0, 0)和B (0, 0, 1)且与xOy 面成3π角的平面的方程. 解 设所求平面的法线向量为n =(a , b , c ).→)1 ,0 ,3(-=BA , xOy 面的法线向量为k =(0, 0, 1).按要求有→0=⋅BA n , 3cos ||||π=⋅⋅k n k n , 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-2103222c b a c c a ,解之得c =3a , a b 26±=. 于是所求的平面的方程为0326)3(=+±-z y x ,即 3326=++z y x , 或3326=+-z y x .16. 设一平面垂直于平面z =0, 并通过从点(1, -1, 1)到直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的垂线, 求此平面方程.解 直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的方向向量为s =(0, 1, -1)⨯(1, 0, 0)=(0, -1, -1).设点(1, -1, 1)到直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的垂线交于点(x 0, y 0, z 0). 因为点(x 0, y 0, z 0)在直线⎩⎨⎧==+-001x z y 上, 所以(x 0, y 0, z 0)=(0, y 0, y 0+1). 于是, 垂线的方向向量为 s 1=(-1, y 0+1, y 0).显然有s ⋅s 1=0, 即-y 0-1-y 0=0, 210-=y . 从而)21 ,21 ,1() ,1 ,1(001--=+-=y y s . 所求平面的法线向量可取为j i k j i k s k n --=-+-⨯=⨯=21)2121(1, 所求平面的方程为0)1()1(21=+---y x , 即x +2y +1=017. 求过点(-1, 0, 4), 且平行于平面3x -4y +z -10=0, 又与直线21311z y x =-=+相交的直线的方程.解 过点(-1, 0, 4), 且平行于平面3x -4y +z -10=0的平面的方程为3(x +1)-4(y -0)+(z -4)=0, 即3x -4y +z -1=0.将直线21311z y x =-=+化为参数方程x =-1+t , y =3+t , z =2t , 代入平面方程3x -4y +z -1=0, 得3(-1+t )-4(3+t )+2t -1=0,解得t =16. 于是平面3x -4y +z -1=0与直线21311z y x =-=+的交点的坐标为(15, 19, 32), 这也是所求直线与已知直线的交点的坐标.所求直线的方向向量为s =(15, 19, 32)-(-1, 0, 4)=(16, 19, 28),所求直线的方程为28419161-==+z y x . 18. 已知点A (1, 0, 0)及点B (0, 2, 1), 试在z 轴上求一点C , 使∆ABC 的面积最小. 解 设所求的点为C (0, 0, z ), 则→) ,0 ,1(z AC -=, →)1 ,2 ,0(--=z BC .因为 →→k j i k j i 2)1(212001+-+=---=⨯z z z z BC AC , 所以∆ABC 的面积为→→4)1(421||2122+-+=⨯=z z BC AC S . 令04)1(4)1(284122=+-+-+⋅=z z z z dz dS , 得51=z , 所求点为)51 ,0 ,0(C . 19. 求曲线⎩⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z y x z 在三个坐标面上的投影曲线的方程. 解 在xOy 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=--=-+-02)1()1(2222z y x y x , 即⎩⎨⎧=+=+022z y x y x . 在zOx 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=---±+-=0)12()1(222y z x x z , 即⎩⎨⎧==+--++002342222y z x z xz x . 在yOz 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=-+---±=0)1()12(222x y z y z , 即⎩⎨⎧==+--++002342222x z y z yz y . 20. 求锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 所围立体在三个坐标面上的投影.解 锥面与柱面交线在xOy 面上的投影为⎩⎨⎧=+=0222z y x x , 即⎩⎨⎧==+-01)1(22z y x , 所以, 立体在xOy 面上的投影为⎩⎨⎧=≤+-01)1(22z y x . 锥面与柱面交线在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)21(222x y z z , 即⎪⎩⎪⎨⎧==+-01)22(222x y z , 所以, 立体在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=≤+-01)22(222x y z .锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 与平面y =0的交线为⎩⎨⎧==0||y x z 和⎩⎨⎧==02y x z , 所以, 立体在zOx 面上的投影为⎩⎨⎧=≤≤02y x z x . 21. 画出下列各曲面所围立体的图形:(1)抛物柱面2y 2=x , 平面z =0及1224===z y x ;(2)抛物柱面x 2=1-z , 平面y =0, z =0及x +y =1;(3)圆锥面22y x z +=及旋转抛物面z =2-x 2-y 2;(4)旋转抛物面x 2+y 2=z , 柱面y 2=x , 平面z =0及x =1.习题9-11. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集?并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界.(1){(x , y )|x ≠0, y ≠0};解 开集, 无界集, 导集为R 2,边界为 {(x , y )|x =0或y =0}.(2){(x , y )|1<x 2+y 2≤4};解 既非开集, 又非闭集, 有界集,导集为 {(x , y )|1≤x 2+y 2≤4},边界为 {(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}.(3){(x , y )|y >x 2};解 开集, 区域, 无界集,导集为 {(x , y )| y ≥x 2},边界为 {(x , y )| y =x 2}.(4){(x , y )|x 2+(y -1)2≥1}⋂{(x , y )|x 2+(y -2)2≤4}.解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同,边界为 {(x , y )|x 2+(y -1)2=1}⋃{(x , y )|x 2+(y -2)2=4}.2. 已知函数yx xy y x y x f tan ),(22-+=, 试求f (tx , ty ).解 )(tan )()()()(),(22tytx ty tx ty tx ty tx f ⋅⋅-+= ),()tan (2222y x f t yx xy y x t =-+=. 3. 试证函数F (x , y )=ln x ⋅ln y 满足关系式:F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).证明 F (xy , uv )=ln((x , y )⋅ln(uv )=(ln x +ln y )(ln u +ln v )=ln x ⋅ln u +ln x ⋅ln v +ln y ⋅ln u +ln y ⋅ln v =F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ). 4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v , 试求f (x +y , x -y , xy ). 解 f (x +y , x -y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x -y )=(x +y )xy +(xy )2x .5. 求下列各函数的定义域:(1)z =ln(y 2-2x +1);解 要使函数有意义, 必须y 2-2x +1>0,故函数的定义域为D ={(x , y )|y 2-2x +1>0}.(2)yx y x z -++=11; 解 要使函数有意义, 必须x +y >0, x -y >0,故函数的定义域为D ={(x , y )|x +y >0, x -y >0}.(3)y x z -=;解 要使函数有意义, 必须y ≥0,0≥-y x 即y x ≥,于是有 x ≥0且x 2≥y ,故函数定义域为D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }.(4)221)ln(yx x x y z --+-=; 解 要使函数有意义, 必须y -x >0, x ≥0, 1-x 2-y 2>0,故函数的定义域为D ={(x , y )| y -x >0, x ≥0, x 2+y 2<1}.(5)222222221rz y x z y x R u -+++---=(R >r >0); 解 要使函数有意义, 必须R 2-x 2-y 2-z 2≥0且x 2+y 2+z 2-r 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y , z )| r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}.(6)22arccos yx z u +=. 解 要使函数有意义, 必须x 2+y 2≠0, 且1||22≤+y x z 即z 2≤x 2+y 2,故函数定义域为D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.6. 求下列各极限:(1)22)1,0(),(1limy x xy y x +-→; 解 110011lim22)1,0(),(=+-=+-→y x xy y x . (2)22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→; 解 2ln 01)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y y x . (3)xyxy y x 42lim )0,0(),(+-→; 解 xy xy y x 42lim )0,0(),(+-→)42()42)(42(lim )0,0(),(+++++-=→xy xy xy xy y x 41)42(1lim)0,0(),(-=++-=→xy y x . (4)11lim )0,0(),(-+→xy xy y x ; 解 11lim )0,0(),(-+→xy xy y x )11)(11()11(lim )0,0(),(-+++++=→xy xy xy xy y x 2)11lim )11(lim )0,0(),()0,0(),(=++=++=→→xy xyxy xy y x y x . (5)y xy y x )sin(lim )0,2(),(→;解 y xy y x )sin(lim)0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=⋅=⋅=→x xy xyy x .(6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++-→. 解 2222)()(21lim )()cos(1lim 22222)0,0(),(2222)0,0(),(yx y x y x y x e y x y x e y x y x ++=++-→→ 0lim 212222)0,0(),(=+=→y x y x e y x (用等价无穷小代换). 7. 证明下列极限不存在: (1)yx yx y x -+→)0,0(),(lim;证明 如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0), 则1lim lim00 )0,0(),(==-+→=→x x y x yx x y y x ;如果动点p (x , y )沿x =0趋向(0, 0), 则1lim lim 00 )0,0(),(-=-=-+→=→y yy x y x y x y x .因此, 极限yx yx y x -+→)0,0(),(lim 不存在.。
1-8高等数学课后习题答案
1 研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1)解已知多项式函数是连续函数所以函数f(x)在[0 1)和(1 2]内是连续的在x1处因为f(1)1 并且所以从而函数f(x)在x1处是连续的综上所述,函数f(x)在[0 2]上是连续函数(2)解只需考察函数在x1和x1处的连续性在x1处因为f(1)1 并且所以函数在x1处间断但右连续在x1处因为f(1)1 并且f(1) f(1)所以函数在x1处连续综合上述讨论函数在( 1)和(1 )内连续在x1处间断但右连续2 下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续(1) x1 x2解因为函数在x2和x1处无定义所以x2和x1是函数的间断点因为所以x2是函数的第二类间断点因为所以x1是函数的第一类间断点并且是可去间断点在x1处令y2 则函数在x1处成为连续的(2) xk (k0 1 2 )解函数在点xk(k Z)和(k Z)处无定义因而这些点都是函数的间断点因(k0) 故xk(k0)是第二类间断点因为 (k Z) 所以x0和(k Z) 是第一类间断点且是可去间断点令y|x01 则函数在x0处成为连续的令时y0 则函数在处成为连续的(3) x0解因为函数在x0处无定义所以x0是函数的间断点又因为不存在所以x0是函数的第二类间断点解因为所以x1是函数的第一类不可去间断点3 讨论函数的连续性若有间断点判别其类型解在分段点x1处因为所以x1为函数的第一类不可去间断点在分段点x1处因为所以x1为函数的第一类不可去间断点4 证明若函数f(x)在点x0连续且f(x0)0 则存在x0的某一邻域U(x0)当xU(x0)时f(x)0证明不妨设f(x0)>0 因为f(x)在x0连续所以由极限的局部保号性定理存在x0的某一去心邻域使当x时f(x)>0 从而当xU(x0)时f(x)>0 这就是说则存在x0的某一邻域U(x0) 当xU(x0)时f(x)05 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子(1)x0 1 2 n是f(x)的所有间断点且它们都是无穷间断点解函数在点x0 1 2 n处是间断的,且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在R上处处不连续但|f(x)|在R上处处连续解函数在R上处处不连续但|f(x)|1在R上处处连续(3)f(x)在R上处处有定义但仅在一点连续解函数在R上处处有定义它只在x0处连续。
高等数学(经管类)下及课后习题答案
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限:A (2,1,-6),B (0,2,0),C (-3,0,5),D (1,-1,-7).解:A 在V 卦限,B 在y 轴上,C 在xOz 平面上,D 在VIII 卦限。
2. 已知点M (-1,2,3),求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解:设所求对称点的坐标为(x ,y ,z ),则(1) 由x -1=0,y +2=0,z +3=0,得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为:(1,-2,-3). (2) 由x =-1,y +2=0,z +3=0,得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为:(-1,-2,-3). 同理可得:点M 关于y 轴的对称点的坐标为:(1, 2,-3);关于z 轴的对称点的坐标为:(1,-2,3).(3)由x =-1,y =2,z +3=0,得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为:(-1, 2,-3).同理,M 关于yOz 面的对称点的坐标为:(1, 2,3);M 关于zOx 面的对称点的坐标为:(-1,-2,3).3. 在z 轴上求与两点A (-4,1,7)和B (3,5,-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0,0,z ),依题意有|MA |2=|MB |2,即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11,故所求的点为M (0,0,149). 4. 证明以M 1(4,3,1),M 2(7,1,2),M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解:由两点距离公式可得21214M M =,2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1),M 2(7,1,2),M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =-3,c =5,求这个平面的方程.解:所求平面方程为1235y x z++=-。
高等数学课后习题答案
习题6?21? 求图6?21 中各画斜线部分的面积?(1)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 61]2132[)(1022310=-=-=⎰x x dx x x A .(2)解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为1|)()(1010=-=-=⎰x x e ex dx e e A ?解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为1)1(|ln ln 111=--=-==⎰⎰e e dy y y ydy A e e e ?(3)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 332]2)3[(132=--=⎰-dx x x A ?(4)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为332|)313()32(3132312=-+=-+=--⎰x x x dx x x A ?2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积?(1) 221x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)?解?34238cos 16402+=-=⎰ππtdt ? 346)22(122-=-=ππS A ? (2)xy 1=与直线y ?x 及x ?2?解?所求的面积为⎰-=-=212ln 23)1(dx x x A ?(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1?解?所求的面积为 ⎰-+=-=-1021)(ee dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).解所求的面积为3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解?y ???2 x ?4?过点(0, ?3)处的切线的斜率为4? 切线方程为y ?4(x ?3)?过点(3, 0)处的切线的斜率为?2? 切线方程为y ??2x ?6?两切线的交点为)3 ,23(? 所求的面积为 49]34(62[)]34(34[23023232=-+--+-+-+---=⎰⎰dx x x x x x x A ?4? 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p 处的法线所围成的图形的面积?解2y ?y ??2p ?在点),2(p p处? 1),2(=='p p y p y ? 法线的斜率k ??1? 法线的方程为)2(px p y --=-? 即y p x -=23? 求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p 和)3,29(p p -? 法线与抛物线所围成的图形的面积为233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A p p pp =--=--=--⎰? 5? 求由下列各曲线?所围成的图形的面积?(1)??2a cos ? ??解?所求的面积为 ⎰⎰==-2022222cos 4)cos 2(21πππθθθθd a d a A ??a 2?(2)x ?a cos 3t , y ?a sin 3t ;解所求的面积为2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰? (3)?=2a (2+cos ? )解所求的面积为 2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(2[21a d a d a A πθθθθθππ=++=+=⎰⎰? 6? 求由摆线x ?a (t ?sin t )? y ?a (1?cos t )的一拱(0?t ?2?)与横轴?所围成的图形的面积?解?所求的面积为π22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a =++-=⎰? 7? 求对数螺线??ae ?(??????)及射线???所围成的图形面积?解所求的面积为 )(421)(21222222ππππθππθθθ----===⎰⎰e e a d e a d ae A ? 8? 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积?(1)??3cos ? 及??1?cos ?解曲线??3cos ? 与??1?cos ??交点的极坐标为)3,23(πA ? )3,23(π-B ? 由对称性? 所求的面积为πθθθθπππ45])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=⎰⎰d d A ? (2)θρsin 2=及θρ2cos 2=?解曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6,22(π? 所求的面积为 2316]2cos 21)sin 2(21[246602-+=+=⎰⎰πθθθθπππd d A ? 9? 求位于曲线y =e x 下方??该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积?解 设直线y ?kx 与曲线y ?e x 相切于A (x 0? y 0)点? 则有⎪⎩⎪⎨⎧=='==k e x y e y kx y x x 00)(0000?求得x 0?1? y 0?e ? k ?e ?所求面积为21ln 21)ln 1(00020e dy y y y y y e dy y y e e e e e=⋅+-=-⎰⎰? 10? 求由抛物线y 2?4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值?解 设弦的倾角为?? 由图可以看出? 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为10A A A +=? 显然当时? A 1?0? 当2πα<时? A 1?0? 2πα=因此? 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 20300383822a x a dx ax A a a===⎰? 11? 把抛物线y 2?4ax 及直线x ?x 0(x 0?0)所围成的图形绕x 轴旋转? 计算所得旋转体的体积?解 所得旋转体的体积为2002002224000x a x a axdx dx y V x x x ππππ====⎰⎰?12? 由y ?x 3? x ?2? y ?0所围成的图形? 分别绕x 轴及y 轴旋转? 计算所得两个旋转体的体积?解 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为ππππ712871207206202====⎰⎰x dx x dx y V x ?绕y 轴旋转所得旋转体的体积为πππ56453328035=-=y ?13? 把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形? 绕x 轴旋转? 计算所得旋转体的体积? 解 由对称性? 所求旋转体的体积为30234323234210532)33(2a dx x x a x a a a ππ=-+-=⎰?14? 用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2H R H V -=π?证明 ⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy y x V )()(222ππ)3()31(232H R H y y R RH R -=-=-ππ? 15? 求下列已知曲线所围成的图形? 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积? (1)2x y =? 2y x =? 绕y 轴?解 ππππ103)5121()(1052102210=-=-=⎰⎰y y dy y ydy V ?(2)ax a y ch=? x ?0? x ?a ? y ?0? 绕x 轴? 解 ⎰⎰⎰===102302202chch )(udu a au x dx ax a dx x y V aaπππ令 )2sh 2(43+=a π? (3)16)5(22=-+y x ? 绕x 轴? 解 ⎰⎰------+=44224422)165()165(dx x dx x V ππ24021601640π⎰=-=dx x ?(4)摆线x ?a (t ?sin t )? y ?a (1?cos t )的一拱? y ?0? 绕直线y ?2a ? 解 ⎰⎰--=ππππa a dx y a dx a V 202202)2()2(232023237sin )cos 1(8ππππa tdt t a a =+-=⎰?16? 求圆盘222a y x ≤+绕x ??b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积? 解 ⎰⎰------+=aaaa dy y ab dy y a b V 222222)()(ππ2202228ππb a dy y a b a=-=⎰?17? 设有一截锥体? 其高为h ? 上、下底均为椭圆? 椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B ? 求这截锥体的体积?解 建立坐标系如图? 过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面? 则平面与截锥体的截面为椭圆? 易得其长短半轴分别为y h a A A --? y hb B B --? 截面的面积为π)()(y hb B B y h a A A --⋅--?于是截锥体的体积为])(2[61)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h+++=--⋅--=⎰ππ? 18? 计算底面是半径为R 的圆? 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积?解 设过点x 且垂直于x 轴的截面面积为A (x )? 由已知条件知? 它是边长为x R -2的等边三角形的面积? 其值为 )(3)(22x R x A -=?所以 322334)(3R dx x R V RR=-=⎰-?19? 证明 由平面图形0?a ?x ?b ? 0?y ?f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰=badx x xf V )(2π?证明 如图? 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形? 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2?x ?f (x )dx ? 这就是体积元素? 即 dV ?2?x ?f (x )dx ?于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰⎰==bab adx x xf dx x xf V )(2)(2ππ?20? 利用题19和结论? 计算曲线y ?sin x (0?x ??)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积? 解 2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V ?21? 计算曲线y ?ln x 上相应于83≤≤x 的一段弧的长度?解 ⎰⎰⎰+=+='+=8328328321)1(1)(1dx xx dx x dx x y s ?令t x =+21? 即12-=t x ? 则23ln 211111113223232222322+=-+=-=-⋅-=⎰⎰⎰⎰dt t dt dt t t dt t tt t s ? 22? 计算曲线)3(3x x y -=上相应于1?x ?3的一段弧的长度?解 x x x y 31-=? x x y 2121-='? x x y 4121412+-='? )1(2112xx y +='+?所求弧长为3432)232(21)1(213131-=+=+=⎰x x x dx xx s ? 23? 计算半立方抛物线32)1(32-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度?解 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=3)1(32232x y x y 得两曲线的交点的坐标为)36,2(? )36 ,2(-? 所求弧长为⎰'+=21212dx y s ?因为2)1(22-='x y y ? yx y 2)1(-='? )1(23)1(32)1()1(34242-=--=-='x x x y x y ? 所以]1)25[(98)13(13232)1(2312232121-=--=-+=⎰⎰x d x dx x s ? 24? 计算抛物线y 2?2px 从顶点到这曲线上的一点M (x ? y )的弧长?解 ⎰⎰⎰+=+='+=y y ydy y p p dy p y dy y x s 02202021)(1)(1py p y p y p p y 2222ln22++++=? 25? 计算星形线t a x 3cos =? t a y 3sin =的全长? 解 用参数方程的弧长公式?a tdt t 6cos sin 122==⎰π?26? 将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直? 使细线与圆周始终相切? 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线? 它的方程为 )sin (cos t t t a x +=? )cos (sin t t t a y -=?计算这曲线上相应于t 从0变到?的一段弧的长度? 解 由参数方程弧长公式202ππa tdt a==⎰? 27? 在摆线x ?a (t ?sin t )? y ?a (1?cos t )上求分摆线第一拱成1? 3的点的坐标? 解 设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0)? 则)2cos 1(42sin 2000t a dt t a t -==⎰? 当t 0?2?时? 得第一拱弧长s (2?)?8a ? 为求分摆线第一拱为1? 3的点为A (x ? y )? 令a t a 2)2cos 1(40=-?解得320π=t ? 因而分点的坐标为? 横坐标a a x )2332()32sin 32(-=-=πππ? 纵坐标a a y 23)32cos1(=-=π?故所求分点的坐标为)23 ,)2332((a a -π? 28? 求对数螺线θρa e =相应于自??0到???的一段弧长?? 解 用极坐标的弧长公式?)1(1122-+=+=⎰θϕθθa a e aa d e a ?29? 求曲线???1相应于自43=θ至34=θ的一段弧长? 解 按极坐标公式可得所求的弧长23ln 12511344322+=+=⎰θθθd ? 30? 求心形线??a (1?cos ???的全长?? 解 用极坐标的弧长公式?a d a82cos 40==⎰πθθ?习题6?31? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F (单位? N )与伸长量s (单位? cm)成正比? 即F ?ks (k 为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?解 将弹簧一端固定于A ? 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW ?ksds ? 所求功为1821626===⎰s k ksds W k(牛?厘米)? 2? 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽? 设温度保持不变? 要使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功? 解 由玻?马定律知?ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV ?设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2? 则ππ80000)]80)(10[()(2=-⋅x x P ? π-=80800)(x P ? 功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π? 所求功为2ln 8008018000080800)10(400402πππππ=-=-⋅⋅=⎰⎰dx dx W (J)? 3? (1)证明? 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是hR mgRhW +=? 其中g 是地面上的重力加速度? R 是地球的半径?(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg? 在高于地面630km 处进入轨道? 问把这颗卫星从地面送到630的高空处? 克服地球引力要作多少功?已知g ?9?8m/s 2? 地球半径R ?6370km?证明 (1)取地球中心为坐标原点? 把质量为m 的物体升高的功元素为dy y kMm dW 2=? 所求的功为)(2h R R mMhk dy y kMm W hR R+⋅==⎰+?(2)533324111075.910)6306370(106370106301098.51731067.6⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=-W (kJ)?4? 一物体按规律3ct x =作直线运动? 媒质的阻力与速度的平方成正比? 计算物体由x ?0移至x ?a 时? 克服媒质阻力所作的功? 解 因为3ct x =? 所以23)(cx t x v ='=? 阻力4229t kc kv f -=-=? 而32)(cx t =? 所以 34323429)(9)(x kc cx kc x f -=-=? 功元素dW ??f (x )dx ? 所求之功为37320343203432072799)]([a kc dx x kc dx x kc dx x f W a aa ===-=⎰⎰⎰? 5? 用铁锤将一铁钉击入木板? 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比? 在击第一次时? 将铁钉击入木板1cm? 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等? 问锤击第二次时? 铁钉又击入多少?解 设锤击第二次时铁钉又击入h cm? 因木板对铁钉的阻力f 与铁钉击入木板的深度x (cm)成正比? 即f ?kx ? 功元素dW ?f dx ?kxdx ? 击第一次作功为k kxdx W 21101==⎰?击第二次作功为)2(212112h h k kxdx W h+==⎰+?因为21W W =? 所以有)2(21212h h k k +=?解得12-=h (cm)?6? 设一锥形贮水池? 深15m? 口径20m? 盛满水? 今以唧筒将水吸尽? 问要作多少功?解 在水深x 处? 水平截面半径为x r 3210-=? 功元素为dx x x dx r x dW 22)3210(-=⋅=ππ?所求功为?1875(吨米)?57785.7(kJ)?7? 有一闸门? 它的形状和尺寸如图? 水面超过门顶2m? 求闸门上所受的水压力?解 建立x 轴? 方向向下? 原点在水面? 水压力元素为xdx dx x dP 221=⋅⋅=?闸门上所受的水压力为 21252252===⎰xxdx P (吨)=205? 8(kN)?8? 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体? 尺寸如图所示? 当水箱装满水时? 计算水箱的一个端面所受的压力?解 建立坐标系如图? 则椭圆的方程为11)43()43(2222=+-y x ? 压力元素为dx x x dx x y x dP 22)43()43(38)(21--⋅=⋅⋅=? 所求压力为ππ169cos 49202==⎰tdx (吨)?17.3(kN)? (提示? 积分中所作的变换为t x sin 4343=-) 9? 有一等腰梯形闸门? 它的两条底边各长10m 和6m? 高为20m? 较长的底边与水面相齐? 计算闸门的一侧所受的水压力?解 建立坐标系如图? 直线AB 的方程为 x y 1015-=? 压力元素为dx x x dx x y x dP )5110()(21-⋅=⋅⋅=? 所求压力为1467)5110(200=-⋅=⎰dx x x P (吨)?14388(千牛)? 10? 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片? 铅直地沉没在水中? 顶在上? 底在下且与水面平行? 而顶离水面3cm? 试求它每面所受的压力?解 建立坐标系如图?腰AC 的方程为x y 32=? 压力元素为 dx x x dx x x dP )3(34322)3(+=⋅⋅⋅+=? 所求压力为168)2331(34)3(34602360=+=+=⎰x x dx x x P (克)?????(牛)? 11? 设有一长度为l 、线密度为?的均匀细直棒? 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ? 试求这细棒对质点M 的引力?解 建立坐标系如图? 在细直棒上取一小段dy ? 引力元素为 dy y a Gm y a dy m G dF 2222+=+⋅=μμ? dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为? dF ry dF y =? 2202222022)(1)(l a a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l lx +-=++-=+⋅-=⎰⎰μμμ? )11()(12202222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l ly +-=++=+⋅=⎰⎰μμμ? 12? 设有一半径为R 、中心角为 ??的圆弧形细棒? 其线密度为常数???? 在圆心处有一质量为m 的质点F ? 试求这细棒对质点M 的引力?解 根据对称性? F y ?0?θθμθθμd RGm R Rd Gm cos cos )(2=⋅=? 2sin 2cos 220ϕμθθμϕR Gm d R Gm ==⎰? 引力的大小为2sin 2ϕμR Gm ? 方向自M 点起指向圆弧中点? 总 习 题 六 dF r adF x -=1? 一金属棒长3m ? 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m )? 问x 为何值时? [0? x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足⎰⎰+=+300112111dt t dt t x? 因为212]12[1100-+=+=+⎰x t dt t x x? 1]12[2111213030=+=+⎰t dt t ? 所以 1212=-+x ?45=x (m)? 2? 求由曲线??a sin ?? ??a (cos ??sin ?)(a >0)所围图形公共部分的面积?解 ⎰++⋅=432222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S 24322241)2sin 1(28a d a a -=++=⎰πθθπππ? 3? 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0? 0)? 且当x ?[0? 1]时? y ?0? 试确定a 、b 、c 的值? 使得抛物线c bx ax y ++=2与直线x ?1? y ?0所围图形的面积为94? 且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小?解 因为抛物线c bx ax y ++=2通过点(0? 0)? 所以c ?0? 从而bx ax y +=2?抛物线bx ax y +=2与直线x ?1? y ?0所围图形的面积为 23)(102b a dx bx ax S +=+=⎰? 令9423=+b a ? 得968a b -=? 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为)]968(2)968(315[22a a a a -+-+=π? 令0)]128(181********[=-+-⋅+2=a a a d dV π? 得35-=a ? 于是b ?2? 4? 求由曲线23x y =与直线x ?4? x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积?解 所求旋转体的体积为πππ7512722240274023=⋅=⋅=⎰x dx x x V ? 5? 求圆盘1)2(22≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积?解 )2(122312⎰--⋅⋅=dx x x V π22224cos )sin 2(4sin 2ππππ=+=-⎰-tdt t t x 令?6? 抛物线221x y =被圆322=+y x 所需截下的有限部分的弧长? 解 由⎪⎩⎪⎨⎧==+222213x y y x 解得抛物线与圆的两个交点为)1 ,2(-? )1 ,2(? 于是所求的弧长为)32ln(6++=?7? 半径为r 的球沉入水中? 球的上部与水面相切?球的比重与水相同? 现将球从水中取出? 需作多少功? 解 建立坐标系如图? 将球从水中取出时? 球的各点上升的高度均为2r ? 在x 处取一厚度为dx 的薄片? 在将球从水中取出的过程中? 薄片在水下上升的高度为r ?x ? 在水上上升的高度为r ?x ? 在水下对薄片所做的功为零? 在水上对薄片所做的功为dx x r x r g dW ))((22--=π?对球所做的功为g r x d x r x r g W rr 22234))((ππ=--=⎰-? 8? 边长为a 和b 的矩形薄板? 与液面成??角斜沉于液体内? 长边平行于液面而位于深h 处? 设a >b ? 液体的比重为?? 试求薄板每面所受的压力?解 在水面上建立x 轴? 使长边与x 轴在同一垂面上? 长边的上端点与原点对应? 长边在x 轴上的投影区间为[0? b cos ?]? 在x 处x 轴到薄板的距离为h ?x tan ?? 压力元素为 dx x h ga dx a x h g dP )tan (cos cos )tan (ααρααρ+=⋅⋅+⋅=? 薄板各面所受到的压力为 )sin 2(21)tan (cos cos 0αρααραb h gab dx x h ga P b +=+=⎰? 9? 设星形线t a x 3cos =? t a y 3sin =上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方? 在原点O 处有一单位质点? 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力? 解 取弧微分ds 为质点? 则其质量为 ds y x ds y x 322322)()(+=+? 其中tdt t a dt t a t a ds cos sin 3])sin [(])cos [(2323='+'=?设所求的引力在x 轴、y 轴上的投影分别为F x 、F y ? 则有 ⎰+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds y x x y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π? ⎰+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds yx y y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π? 所以)53 ,53(22Ga Ga =F ?。
高等数学下册课后习题答案
高等数学下册课后习题答案高等数学下册课后习题答案在学习高等数学下册的过程中,课后习题是非常重要的一部分。
通过解答习题,我们不仅可以巩固课堂知识,还可以提高自己的解题能力和思维能力。
然而,有时候我们会遇到一些难题,对于这些问题,我们需要有一个可以参考的答案。
下面,我将为大家提供一些高等数学下册课后习题的答案,希望对大家的学习有所帮助。
1. 题目:求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 的极值点和极值。
解答:首先,我们需要求出函数的导数 f'(x)。
对 f(x) 进行求导,得到 f'(x) =3x^2 - 6x + 2。
然后,我们令 f'(x) = 0,解得 x = 1 或 x = 1/3。
接下来,我们需要判断这两个解是否为极值点。
为了判断,我们可以求出f''(x),即 f'(x) 的导数。
对 f'(x) 进行求导,得到 f''(x) = 6x - 6。
当 x = 1 时,f''(x) = 0,此时无法判断是否为极值点。
当 x = 1/3 时,f''(x) = -2,为负数,即 x = 1/3 为极大值点。
所以,函数 f(x) 的极大值点为 x = 1/3,极大值为 f(1/3) = -8/27。
2. 题目:证明数列 {an} 为等差数列,其中 a1 = 2,a2 = 5,a3 = 8。
解答:要证明数列 {an} 为等差数列,我们需要证明其通项公式为 an = a1 + (n - 1)d,其中 d 为公差。
首先,我们可以计算出公差 d。
根据已知条件,a2 - a1 = 5 - 2 = 3,a3 - a2 =8 - 5 = 3。
可以发现,a2 - a1 = a3 - a2,即这两个差值相等。
所以,公差 d = 3。
接下来,我们验证通项公式是否成立。
代入已知条件,an = a1 + (n - 1)d,即an = 2 + (n - 1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1。
高等数学下册课件-第8章-习题课
=9+4+2 | a || b | (a, b) 19
2.
a b ab 0
A B (2a b ) (a b ) 2 | a |2 | b |2
=2( +2)=0
2
3. cos(a,b) a b 1 | a || b | 2
sin(a,b) 1 1 3 42
| a b || a || b | sin(a,b) 10 3
三、设点 M (x, y, z)
M1M 3MM 2 (x 2, y 5, z 3) 3(3 x, 2 y,5 z)
x 2 3(3 x)
y
5
3(2
y)
z 3 3(5 z)
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
x 11, y 1 , z 3
4
4
OM 1 (11, 1,12) 4
四、1.原式 (6 7 8)c 21c (21, 42, 21) 2.原式 (9 1 4)(21 7 2 41) 280
i jk 3.原式 3 1 2 (3, 1,5)
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、实例分析
例1. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程.
同济高等数学下册课后题答案详解
第8章第1节向量及其线性运算习题8—111,12,15,17,18第8章第2节数量积、向量积、混合积习题8—23,4,6,7,9,10第8章第3节曲面及其方程习题8—32,5,7,9,10(1)(2)(3)(4)第8章第4节空间曲线及其方程习题8—43,4,7,8第8章第5节平面及其方程习题8—51,2,3,5,9第8章第6节空间直线及其方程习题8—61,2,3,4,5,8,9,10(1)(2),12,13,15第8章总复习题总复习题八1,7,8,10,11,12,13,14(1)(2),15,17,19,20第9章第1节多元函数基本概念习题9—12,5(1)(2),6(1)(2)(4)(5),7(1),8第9章第2节偏导数习题9—21(3)(4)(5) (6)(7),4,6(2),9(1)第9章第3节全微分习题9—31(1)(2)(4),2,3,5第9章第4节多元复合函数的求导法则习题9—42,4,6,7,8(1)(2),10,11,12(1)(4)第9章第5节隐函数的求导公式习题9—51,2,4,5,6,8,9,10(1)(3)第9章第6节多元函数微分学的几何应用习题9—63,4,6,7,9,10,12第9章第7节方向导数与梯度习题9—72,3,5,7,8,10第9章第8节多元函数的极值及其求法习题9—81,2,5,6,7,9,11第9章第9节二元函数泰勒公式习题9—91,3第9章总复习题总复习题九1,2,3,5,6,8,9,12,15,16,17,20第10章第1节二重积分的概念与性质习题10—12,4,5第10章第2节二重积分的计算法习题10—21(1)(3),2(3)(4),4(1)(3),6(4)(5)(6),7,89,12(1)(2)(3),14(1)(2),15(1)(2)(3),16 第10章第3节三重积分习题10—31(1)(2),2,4,5,7,8,9(1)(2),10(1)(2),11(1)第10章第4节重积分的应用习题10—41,2,5,6,8,10,14第10章总复习题总复习题十1,2(1) (3),3(1)(2)6,8(1)(2),10,11,12第11章第1节对弧长的曲线积分习题11—11,3(3)(4)(5)(7),4第11章第2节对坐标的曲线积分习题11—23(1) (2)(3) (5) (6)(7),4(1)(2)(3),7(1)(2),8第11章第3节格林公式及其应用习题11—31,2(1)(2),3,4(1)(2),5(1)(2)(4),6(1)(3)(4),8(1) (3)(5) (6)(7)第11章第4节对面积的曲面积分习题11—41,4(1)(2),5(1),6(1)(2)(3),7,8第11章第5节对坐标的曲面积分习题11—53(1)(2)(4),4(1)(2)第11章第6节高斯公式通量与散度习题11—61(1) (2)(3) (4) , 3(1)(2)第11章第7节斯托克斯公式环流量与旋度习题11—72(1) (2)(3),3(1)(2)第11章总复习题总复习题十一1,2,3,4,5,7,11第12章第1节常数项级数的概念和性质习题12—11(1)(4),2(3)(4),3,4第12章第2节常数项级数的审敛法习题12—21(1)(4) (5),2(1)(4) ,3(1)(3),4(1)(3)(5),5(1)(2)(3) (5)第12章第3节幂级数习题12—31,2第12章第4节函数展开成幂级数习题12—42,3,4,5,6第12章第7节傅里叶级数习题12—71(1)(2),2(1),3,4,5,6第12章第8节一般周期函数的傅里叶级数习题12—81(1)(2),2第12章总复习题总复习题十二1,2(1)(2)(3)(5),4,5(1)(2)(4),6(1),7(1)(2)(4),8(1)(2)(3),9(1),10(1),11。
最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案4-2
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案4-2仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢9习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1 d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71 d (7x -3).(3) xdx = d (x 2);解xdx = 21 d (x 2). (4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101 d (5x 2). (5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 21 2x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121 d (3x 4-2). (7)e 2x dx = d (e 2x );解e 2x dx = 21 d (e 2x ). (8))1( 22x x e d dx e --+=;解 )1( 2 22x x e d dx e --+-=. (9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=. (10)|)|ln 5( x d x dx =;仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢9解 |)|ln 5( 51 x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d x dx -=; 解 |)|ln 53( 51 x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d xdx =+; 解 )3(arctan 31 912x d x dx =+. (13))arctan 1( 12x d x dx-=-;解 )arctan 1( )1( 12x d x dx--=-. (14))1( 122x d x xdx-=-. 解 )1( )1( 122x d x xdx--=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数):(1)⎰dt e t 5;解 C e x d e dt e x x t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(;解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(. (3)⎰-dx x211; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211. (4)⎰-332x dx ;仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢9解 C x C x x d x x dx +--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)⎰-dx e ax b x )(sin ; 解 C be ax a b x d e b ax d ax a dx e ax b x b x b x +--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin . (6)⎰dt ttsin ; 解 ⎰⎰+-==C t t d t dt t tcos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan . (8)⎰x x x dx ln ln ln ; 解 C x x d xx d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln . (9)⎰+⋅+dx x xx 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰ C x x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222. (10)⎰xx dx cos sin ; 解 C x x d xdx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2. (11)⎰-+dx ee x x 1;仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢9解 ⎰-+dx e e xx 1C e de e dx e e x x x x x +=+=+=⎰⎰arctan 11122. (12)⎰-dx xe x 2;解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰ (13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)⎰-dx x x232;解 C x C x x d x dx x x +--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132. (15)⎰-dx x x 4313; 解 ⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443. (16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω;解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (17)⎰dx xx 3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx xx x x 3cos sin cos sin ; 解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x x x +--=-+⎰⎰ C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin . (19)⎰--dx x x2491;仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢9 解 dx x x dx x dx x x ⎰⎰⎰---=--22249491491 )49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21. (20)⎰+dx xx 239; 解 C x x x d x x d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)⎰-dx x 1212; 解 ⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221. (22)⎰-+dx x x )2)(1(1; 解 C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω;解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdx x 3cos 2sin ;解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21.仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢9 (26)⎰dx x x 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos . (27)⎰xdx x 7sin 5sin ;解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅= C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32. (29)⎰-dx x x2arccos 2110;解 C x d x d dx x x x x x+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2. (30)⎰+dx x x x)1(arctan ;解 C x x d x x d x x dx x x x+==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan . (31)⎰-221)(arcsin x x dx ; 解 C x x d x x x dx +-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222. (32)⎰+dx x x x2)ln (ln 1; 解 C x x x x d x x dx x x x +-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx x sin cos tan ln ;仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢9 解 ⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdxx xdx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2 C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx xa x 222(a >0); 解 ⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令, C x a x a x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421. (35)⎰-12x x dx; 解 C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或 C x x d x dx x x x x dx+=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222. (36)⎰+32)1(x dx;仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢9 解 C t tdt t d t t xx dx+==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解 ⎰⎰⎰=-=-tdt t d t t t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t +--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+x dx 21; 解 C x x C t t dt t tdt t tx x dx++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令. (39)⎰-+211xdx; 解 ⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt t dt t tdt t tx x dx )2sec 211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xx x C t t t C tt +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan .仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢9 (40)⎰-+21xx dx. 解 ⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt t t t t t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令 C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.。
大学高等数学_18对坐标曲面积分_高斯公式_斯托克斯公式_习题课
•若
则有
P(x,
y,
z)d
ydz
Dyz
P(x( y,
z)
,
y, z) d y d z
(前正后负)
•若
则有
Q(x, y, z) d z d x Dzx Q (x, y(z, x), z )d z d x (右正左负)
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例1. 计算 (x y) d y d z ( y z) d z d x (z x) d x d y
(z2 x) cos dS
(z2
x)
cos cos
d
xd
y
cos cos
oy x x 1 x2 y2 1 1 x2 y2
∴ 原式 = ( z2 x)(x) z d x d y
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将
z
1 2
曲面分上侧和 下侧
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• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 cos
cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
• 设 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
i z(i , i )
n
lim
0
i 1
R(i ,i ,
) ( i )xy
Dxy R(x, y, z(x,y)) d x d y
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高等数学课后习题答案
习题十二1.写出下列级数的一般项:(1)1111357++++;(2)22242462468x x ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅;(3)35793579a a a a -+-+;解:(1)121n U n =-;(2)()2!!2nn xU n =;(3)()211121n n n a U n ++=-+;2.求下列级数的和:(1)()()()1111n x n x n x n ∞=+-+++∑;(2)1n ∞=∑;(3)23111555+++;解:(1)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211n Sx x x x x xx x x n xn x n x n x x x n x n ⎛-+-=+++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-= ⎪++++⎝⎭因此()1lim 21n n S x x →∞=+,故级数的和为()121x x + (2)因为n U =-从而(11n S n =-+-+-++-+=-=+-所以lim 1nn S →∞=1(3)因为21115551115511511145n nn n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦从而1lim 4n n S →∞=,即级数的和为14.3.判定下列级数的敛散性:(1)1n ∞=-∑;(2) ()()11111661111165451n n+++++⋅⋅⋅-+;(3)()23133222213333nn n--+-++-;(4)1155n +++++;解:(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞,故级数发散.(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=,故原级数收敛,其和为15. (3)此级数为23q =-的等比级数,且|q |<1,故级数收敛. (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠,故级数发散.4.利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:(1) ()111n n n +∞=-∑;(2) 1cos 2nn nx∞=∑;(3)1111313233n n n n ∞=⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭∑. 解:(1)当P 为偶数时,()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n pn n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+当P 为奇数时,()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+因而,对于任何自然数P ,都有12111n n n p U U U n n ++++++<<+,∀ε>0,取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,则当n >N 时,对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++<成立,由柯西审敛原理知,级数()111n n n +∞=-∑收敛.(2)对于任意自然数P ,都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n pn n n p n n n p n p n p n U U U x n p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<于是, ∀ε>0(0<ε<1),∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦,当n >N 时,对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++<成立,由柯西审敛原理知,该级数收敛.(3)取P =n ,则()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++- ⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+>从而取0112ε=,则对任意的n ∈N ,都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>,由柯西审敛原理知,原级数发散.5.用比较审敛法判别下列级数的敛散性.(1)()()111465735n n ++++⋅⋅++;(2)22212131112131n n +++++++++++(3)1πsin 3nn ∞=∑;(4)1n ∞=;(5)()1101nn a a ∞=>+∑;(6)()1121nn ∞=-∑.解:(1)∵()()21135n U nn n =<++而211n n∞=∑收敛,由比较审敛法知1nn U∞=∑收敛.(2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++而11n n ∞=∑发散,由比较审敛法知,原级数发散.(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n →∞→∞=⋅=而1π3nn ∞=∑收敛,故1πsin 3n n ∞=∑也收敛. (4)∵321n U n=<=而3121n n∞=∑收敛,故1n ∞=收敛.(5)当a >1时,111n n n U a a =<+,而11n n a ∞=∑收敛,故111n n a ∞=+∑也收敛.当a =1时,11lim lim 022n n n U →∞→∞==≠,级数发散.当0<a <1时,1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+,级数发散.综上所述,当a >1时,原级数收敛,当0<a ≤1时,原级数发散.(6)由021lim ln 2x x x →-=知121limln 211nx n →∞-=<而11n n ∞=∑发散,由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散.6.用比值判别法判别下列级数的敛散性:(1)213nn n ∞=∑; (2)1!31nn n ∞=+∑;(3)232333331222322nn n +++++⋅⋅⋅⋅;(1) 12!n nn n n ∞=⋅∑解:(1)23n nn U =,()2112311lim lim 133n n n n n n U n U n ++→∞→∞+=⋅=<,由比值审敛法知,级数收敛.(2)()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散.(3)()()11132lim lim 2313lim 21312n n n n nn n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=>所以原级数发散.(4)()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n n n n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛.7.用根值判别法判别下列级数的敛散性:(1) 1531nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑; (2)()[]11ln 1nn n ∞=+∑;(3)21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑;(4)1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑,其中a n →a (n →∞),a n ,b ,a 均为正数.解:(1)55lim1313n n n n →∞==>+,故原级数发散.(2)()1lim01ln 1n n n →∞==<+,故原级数收敛.(3)121lim lim 1931nn n n n -→∞⎛⎫==< ⎪-⎝⎭,故原级数收敛.(4) lim n n n b b a a →∞==,当b <a 时,b a <1,原级数收敛;当b >a 时,ba >1,原级数发散;当b =a 时,ba=1,无法判定其敛散性.8.判定下列级数是否收敛?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1)1-+; (2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑;(3) 234111*********5353⋅-⋅+⋅-⋅+;(4)()21121!n n n n ∞-=-∑;(5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑;(6) ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑.解:(1)()11n n U -=-1nn U ∞=∑>0n =,由莱布尼茨判别法级数收敛,又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数,所以1nn U∞=∑发散,故原级数条件收敛.(2)()()111ln 1n n U n -=-+,()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数,且()()11ln ln 12n n >++,()1limln 1n n →∞=+,由莱布尼茨判别法知原级数收敛,但由于()11ln 11n U n n =≥++所以,1nn U∞=∑发散,所以原级数条件收敛.(3)()11153n n n U -=-⋅民,显然1111115353n nn n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑,而113nn ∞=∑是收敛的等比级数,故1nn U∞=∑收敛,所以原级数绝对收敛.(4)因为2112lim lim 1n n n n n U U n ++→∞→∞==+∞+.故可得1n nU U +>,得lim 0n n U →∞≠,∴lim 0n n U →∞≠,原级数发散.(5)当α>1时,由级数11n n α∞=∑收敛得原级数绝对收敛.当0<α≤1时,交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件:()111n n αα>+;1lim0n n α→∞=,由莱布尼茨判别法知级数收敛,但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散,所以原级数条件收敛.当α≤0时,lim 0n n U →∞≠,所以原级数发散.(6)由于11111123n n n ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭而11n n ∞=∑发散,由此较审敛法知级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散.记1111123n U n n ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭,则()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +>又01111lim lim 12311d n n n n U n n x n x →∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰由0111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰知lim 0n n U →∞=,由莱布尼茨判别法,原级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛,而且是条件收敛.9.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.(1)()1!1nn x n ∞=-∑,x ∈[-3,3];(2)21nn x n ∞=∑,x ∈[0,1];(3) 1sin 3nn nx∞=∑,x ∈(-∞,+∞);(4) 1!nxn e n -∞=∑,|x |<5;(5)1n ∞=,x ∈(-∞,+∞)解:(1)∵()()3!!11nnx n n ≤--,x ∈[-3,3],而由比值审敛法可知()13!1nn n ∞=-∑收敛,所以原级数在 [-3,3]上一致收敛.(2)∵221nx nn ≤,x ∈[0,1],而211n n∞=∑收敛,所以原级数在[0,1]上一致收敛.(3)∵1sin 33n n nx ≤,x ∈(-∞,+∞),而113nn ∞=∑是收敛的等比级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛.(4)因为5!!nnx ee n n -≤,x ∈(-5,5),由比值审敛法可知51!n n e n ∞=∑收敛,故原级数在(-5,5)上一致收敛.(5)531n≤,x ∈(-∞,+∞),而5131n n∞=∑是收敛的P -级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛.10.若在区间Ⅰ上,对任何自然数n .都有|U n (x )|≤V n (x ),则当()1nn Vx ∞=∑在Ⅰ上一致收敛时,级数()1nn Ux ∞=∑在这区间Ⅰ上也一致收敛.证:由()1nn Vx ∞=∑在Ⅰ上一致收敛知, ∀ε>0,∃N (ε)>0,使得当n >N 时,∀x ∈Ⅰ有 |V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε,于是,∀ε>0,∃N (ε)>0,使得当n >N 时,∀x ∈Ⅰ有|U n +1(x )+U n +2(x )+…+U n +p (x )|≤V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x ) ≤|V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε,因此,级数()1nn Ux ∞=∑在区间Ⅰ上处处收敛,由x 的任意性和与x 的无关性,可知()1nn Ux ∞=∑在Ⅰ上一致收敛.11.求下列幂级数的收敛半径及收敛域:(1)x +2x 2+3x 3+…+nx n+…;(2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑;(3)21121n n x n -∞=-∑; (4)()2112n n x n n ∞=-⋅∑;解:(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===,所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1),而当x =±1时,级数变为()11nn n∞=-∑,由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)nn n∞=-∑发散,所以级数的收敛域为(-1,1).(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n na n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1eR ρ==,收敛区间为(-e,e).当x =e 时,级数变为1e n nn n n ∞=∑;应用洛必达法则求得()10e e1lim 2x x x x →-+=-,故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-<⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知,级数发散;易知x =-e 时,级数也发散,故收敛域为(-e,e).(3)级数缺少偶次幂项.根据比值审敛法求收敛半径.211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时,级数收敛,x 2>1即|x |>1时,级数发散,故收敛半径R =1.当x =1时,级数变为1121n n ∞=-∑,当x =-1时,级数变为1121n n ∞=--∑,由1121lim 012n n n →∞-=>知,1121n n ∞=-∑发散,从而1121n n ∞=--∑也发散,故原级数的收敛域为(-1,1).(4)令t =x -1,则级数变为212nn t n n ∞=⋅∑,因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++所以收敛半径为R =1.收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时,级数3112n n ∞=∑收敛,当t =-1时,级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数,由莱布尼茨判别法知其收敛.所以,原级数收敛域为 0≤x ≤2,即[0,2]12.利用幂级数的性质,求下列级数的和函数:(1)21n n nx∞+=∑;(2) 22021n n x n +∞=+∑; 解:(1)由()321lim n n n x n x nx ++→∞+=知,当|x |=<1时,原级数收敛,而当|x |=1时,21n n nx∞+=∑的通项不趋于0,从而发散,故级数的收敛域为(-1,1).记()23111n n n n S nxxnxx ∞∞+-====∑∑易知11n n nx∞-=∑的收敛域为(-1,1),记()111n n S nx x ∞-==∑则()1011xn n x S x x x ∞===-∑⎰于是()()12111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-,所以()()()3211x S x x x =<-(2)由2422221lim 23n n n x n x n x ++→∞+=⋅+知,原级数当|x |<1时收敛,而当|x |=1时,原级数发散,故原级数的收敛域为(-1,1),记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑,易知级数2121n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1),记()211021n n x S x n +∞==+∑,则()212011n n S x x x ∞='==-∑,故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰即()()1111ln 021xS S x x +-=-,()100S =,所以()()()11ln 121x xS xS x x x x +==<-13.将下列函数展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间:(1)f (x )=ln(2+x ); (2)f (x )=cos 2x ;(3)f (x )=(1+x )ln(1+x );(4)()2f x =;(5)()23xf x x =+; (6)()()1e e 2x xf x -=-;(7)f (x )=e xcos x ;(8)()()212f x x =-.解:(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑,(-1<x ≤1) 故()()110ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑,(-2≤x ≤2) 因此()()()110ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑,(-2≤x ≤2)(2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑,(-∞<x <+∞) 得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑,(-∞<x <+∞)(3)f (x )=(1+x )ln(1+x )由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑,(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()11200111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2n nn n x n ∞=-=+-∑(-1≤x ≤1)故()()()()221!!2111!!2nn n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x xn ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑,x ∈(-∞,+∞) 得()01e!n n xn x n ∞-=⋅-=∑,x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑(7)因为e cos x x 为()()1e cos sin x x i e x i x +=+的实部,而()()[]()10002011!1!ππcos sin !44ππ2cos sin !44n xi n nn n nn n n n n ex i n x i n x i n x n n i n ∞+=∞=∞=∞==+=+⎤⎫=+⎪⎥⎭⎦⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑取上式的实部.得20π2cos4cos !nx nn n e x x n ∞==⋅∑(-∞<x <+∞)(8)由于()1211n n nx x ∞-==-∑ |x |<1而()211412f x x =⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以()111001422n n n n n n x x f n x --∞∞+==⋅⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭∑∑(|x |<2)14.将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数. 解:21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑ 所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n n n n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑15.将函数()f x =(x -1)的幂级数.解:因为()()()()()211111111!2!!m nm m m m m m n x x x x x n ---+=++++++-<<所以()()[]()()()3221133333331121222222211111!2!!nf x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---(-1<x -1<1)即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!nnn nn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑16.利用函数的幂级数展开式,求下列各数的近似值:(1)ln3(误差不超过0.0001); (2)cos20(误差不超过0.0001)解:(1)35211ln 213521n x x x x x xn -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭,x ∈(-1,1) 令131x x +=-,可得()11,12x =∈-,故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦-又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯. 因而取n =6则35111111ln 32 1.098623252112⎛⎫=≈++++⎪⋅⋅⋅⎝⎭(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯;48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈故2π90cos2110.00060.99942!⎛⎫⎪⎝⎭≈-≈-≈17.利用被积函数的幂级数展开式,求定积分0.5arctan d xx x ⎰(误差不超过0.001)的近似值.解:由于()3521arctan 13521n n x x x x x n +=-+-++-+,(-1≤x ≤1)故()2420.50.5000.5357357arctan d d 113521925491111111292252492nx x x x x xx n x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭=-⋅+⋅-⋅+⎰⎰而3110.013992⋅≈,5110.0013252⋅≈,7110.0002492⋅≈.因此0.5350arctan 11111d 0.487292252x x x ≈-⋅+⋅≈⎰18.判别下列级数的敛散性:(1)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; (2)21cos 32n n nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑;(3)()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.解:(1)∵122111n nnnn n nn n n n n n n +⎛⎫>= ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而()22211221lim lim 10111nnn n n n n n n --++→∞→∞⎡⎤⎛⎫-⎛⎫==≠+⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦故级数2211nn nn∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑发散,由比较审敛法知原级数发散.(2)∵2cos 3022n nnx n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭<≤由比值审敛法知级数12nn n ∞=∑收敛,由比较审敛法知,原级数21cos 32nn nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛.(3)∵()()ln ln 220313nn n n n ++<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭由()()()()11ln 33lim lim 3ln 21ln 3lim3ln 2113nn n n n nn U n U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅++=+=<知级数()1ln 23nn n ∞=+∑收敛,由比较审敛法知,原级数()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛.19.若2lim n n n U →∞存在,证明:级数1nn U∞=∑收敛.证:∵2lim nn n U →∞存在,∴∃M >0,使|n 2U n |≤M ,即n 2|U n |≤M ,|U n |≤2M n而21n Mn ∞=∑收敛,故1n n U ∞=∑绝对收敛.20.证明,若21nn U ∞=∑收敛,则1nn U n∞=∑绝对收敛.证:∵222211111222n n n nU U n U U n n n+=⋅≤=+⋅而由21nn U ∞=∑收敛,211n n ∞=∑收敛,知22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛,故1n n U n ∞=∑收敛,因而1nn U n∞=∑绝对收敛.21.若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都绝对收敛,则函数项级数()1cos sin nn n anx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛.证:U n (x )=a n cos nx +b n sin nx ,∀x ∈R 有()cos sin cos sin n n n n n n nU a nx b nx a nx b nx a b x =+≤+≤+由于1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都绝对收敛,故级数()1nnn ab ∞=+∑收敛.由魏尔斯特拉斯判别法知,函数项级数()1cos sin nn n anx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛.22.计算下列级数的收敛半径及收敛域:(1) 111nn n x n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑;(2)()1πsin12n n n x ∞=+∑;(3) ()2112nn n x n ∞=-⋅∑解:(1)111lim1lim 211lim lim lim 22e e n n nn nn nnn n n a a n n n n ρ+→∞+→∞→∞→∞→∞-=⎛⎫+=⋅ ⎪+⎝⎭++⎛⎫=⋅⋅ ⎪++⎝⎭=⋅=∴13R ρ==,又当x =时,级数变为()111311333n nnn n n n n n ∞∞==⎛⎫⎛⎛++=±± ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑,因为3lim 033nn n n →∞⎛⎫+=≠ ⎪+⎝⎭所以当3x =±,级数发散,故原级数的收敛半径3R =,收敛域(-3,3).(2)111ππsin122limlim lim ππ2sin 22n n n n n n nnn a a ρ+++→∞→∞→∞====故12R ρ==,又∵πsinπ2limsin 2lim ππ0π22n n n n n n →∞→∞⋅==≠. 所以当(x +1)=±2时,级数()1πsin 12n n n x ∞=+∑发散,从而原级数的收敛域为-2<x +1<2,即-3<x <1,即(-3,1)(3)()212121lim lim 221n n n n n n a n a n ρ++→∞→∞⋅===⋅+ ∴2R =,收敛区间-2<x -1<2,即-1<x <3.当x =-1时,级数变为()2111nn n ∞=-∑,其绝对收敛,当x =3时,级数变为211n n ∞=∑,收敛.因此原级数的收敛域为[-1,3].23.将函数()0arctan d xtF t x t =⎰展开成x 的幂级数.解:由于()210arctan 121n nn t t n +∞==-+∑ 所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx n n n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰(|x |≤1)24.判别下列级数在指定区间上的一致收敛性:(1)()113n nn x ∞=-+∑,x ∈[-3,+∞);(2)1nn nx ∞=∑,x ∈(2,+∞);(3)()()222211n nx x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑,x ∈(-∞,+∞);解:(1)考虑n ≥2时,当x ≥-3时,有()1111133333nn n n nx x --=<<+-+ 而1113n n ∞-=∑收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数()113n n n x ∞=-+∑在[-3,+∞)上一致收敛.(2)当x >2时,有2n nn nx =<由1112lim 122n n n n n +→∞+=<知级数12n n n ∞=∑收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数1n n n x ∞=∑在(2,+∞)上一致收敛.(3)∀x ∈R 有()()()22224322111n n n x n n n x n n n ≤<=⎡⎤+⋅+++⎣⎦而311n n ∞=∑收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数()()222211n n x x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑在(-∞,+∞)上一致收敛.25.求下列级数的和函数:(1)()211121n n n x n ∞-=--∑; (2)21021n n x n +∞=+∑; (3)()11!1n n nxn ∞-=-∑; (4)()11nn x n n ∞=+∑.解:(1)可求得原级数的收敛半径R =1,且当|x |=1时,级数()111121n n n ∞-=--∑是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1]记()()()()22111111112121n n n n n n x x S x xS x x n n -∞∞--=====----∑∑则S 1(0)=0,()()122121111n n n S x x x ∞--='==-+∑所以()()11201d arctan 01xS S x xx x -==+⎰即S 1(x )=arctan x ,所以S (x )=x arctan x ,x ∈[-1,1].(2)可求得原级数的收敛半径R =1,且当|x |=1时,原级数发散.记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x ∞='==-∑ ()200111d d ln 121x x x S x x x x x +'==--⎰⎰,即()()11ln 021x S S x x +-=-,S (0)=0所以()11ln21xS x x +=-,(|x |<1)(3)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n nan +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞).记()()11!1n n n S x x n ∞-==-∑则()()()111d e !!11nn xxn n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰,所以()()()e 1e x x S x x x '==+,(-∞<x <+∞)(4)由()()()112lim 111n n n n n →∞++=+知收敛半径R =1,当x =1时,级数变为()111n n n ∞=+∑,由()2111n n n <+知级数收敛,当x =-1时,级数变为()()111n n n n ∞=-+∑是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1].记()()11nn x S x n n ∞==+∑则S (0)=0,()()111n n x xS x n n +∞==+∑, ()[]1111n n x xS x x ∞-=''==-∑ (x ≠1) 所以()[]()0d ln 1xxS x x x ''=--⎰即()[]()ln 1xS x x '=--()[]()()()00d ln 1d 1ln 1xxxS x x x x x x x '=--=--+⎰⎰即()()()1ln 1xSx x x x =--+当x ≠0时,()()111ln 1S x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,又当x =1时,可求得S (1)=1 (∵()1lim lim 111n n S x n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭)综上所述()()[)()0,01,1111ln 1,1,00,1x S x x x x x =⎧⎪==⎪⎨⎛⎫⎪+--∈- ⎪⎪⎝⎭⎩26.设f (x )是周期为2π的周期函数,它在(-π,π]上的表达式为()32π0,0π.x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩试问f (x )的傅里叶级数在x =-π处收敛于何值?解:所给函数满足狄利克雷定理的条件,x =-π是它的间断点,在x =-π处,f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+27.写出函数()21π00πx f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩的傅里叶级数的和函数.解:f (x )满足狄利克雷定理的条件,根据狄利克雷定理,在连续点处级数收敛于f (x ),在间断点x =0,x =±π处,分别收敛于()()00122f f -++=-,()()2πππ122f f -++-=,()()2πππ122f f -+-+--=,综上所述和函数.()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩28.写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数,其中f (x )在[-π,π)上的表达式为:(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩(2)()()2πx π=-≤≤f x x ;(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cosππ2=-≤≤x f x x .解:(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件,x =n π,n ∈z 是其间断点,在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==,在x ≠n π,有 ()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π)(2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,从而f (x )cos nx 为偶函数,f (x )sin nx 为奇函数,于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰,2π20-π12πd π3a x x ==⎰, ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…)所以,f (x )的傅里叶级数展开式为:()()221π41cos 3nn f x nxn ∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断,在间断点处,级数收敛于0,当x ≠(2n +1)π时,由f (x )为奇函数,有a n =0,(n =0,1,2,…)()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nxn n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z ) (4)因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时,处处连续,故其傅里叶级数收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,有b n =0(n =1,2,…),()()π0π12π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x n x x n x n x n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为:()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]29.将下列函数f (x )展开为傅里叶级数:(1)()()πππ42xf x x =--<<(2)()()sin 02πf x xx =≤≤解:(1)()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰ ()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n ∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续, 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰()()()()()π022ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1nn x n x x n n n n =+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰所以()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑(0≤x ≤2π)30.设f (x )=x +1(0≤x ≤π),试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数. 解:将f (x )作奇延拓,则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx x n ==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n ∞=--+=∑(0<x <π)若将f (x )作偶延拓,则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑(0≤x ≤π)31.将f (x )=2+|x | (-1≤x ≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.解:f (x )在(-∞,+∞)内连续,其傅里叶级数处处收敛,由f (x )是偶函数,故b n =0,(n =1,2,…)()()1101d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑,x ∈[-1,1]取x =0得,()2211π821n n ∞==-∑,故()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑所以211π6n n ∞==∑ 32.将函数f (x )=x -1(0≤x ≤2)展开成周期为4的余弦级数.解:将f (x )作偶延拓,作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x xn n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰故()()()22121π81cosπ221n n x f x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)33.设()()011,0,2cos π1222,1,2n n x x a f x s x a n xx x ∞=⎧≤≤⎪⎪==+⎨⎪-<<⎪⎩∑,-∞<x <+∞,其中()102cos πd n a f x n x x=⎰,求52s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解:先对f (x )作偶延拓到[-1,1],再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到 s (x ),延拓后f (x )在52x =-处间断,所以515511122222221131224s f f ff +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭34.设函数f (x )=x 2(0≤x <1),而()1sin πn n s x b n x∞==∑,-∞<x <+∞,其中()12sin πd n b f x n x x=⎰(n =1,2,3,…),求12s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解:先对f (x )作奇延拓到,[-1,1],再以2为周期延拓到(-∞,+∞),并将f (x )展开成正弦级数得到s (x ),延拓后f (x )在12x =-处连续,故.211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 35.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数,它们在一个周期内的表达式分别为:(1)f (x )=1-x 21122x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭; (2)()21,30,1,0 3.x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩ 解:(1) f (x )在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x ),由于f (x )为偶函数,有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰,()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x xn n -+==--==⎰⎰所以()()12211111cos 2π12πn n f x n xn +∞=-=+∑ (-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰,()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn x a f x xn x n x x x xn n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n x b f x xn x n x x x xn n --+==++=-=⎰⎰⎰而函数f (x )在x =3(2k +1),k =0,±1,±2,…处间断,故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑(x ≠3(2k +1),k =0,±1,±2,…)36.把宽为τ,高为h ,周期为T 的矩形波(如图所示)展开成傅里叶级数的复数形式.解:根据图形写出函数关系式()0,22,220,22T t u t h t T t ττττ⎧-≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤≤⎪⎩()()22022111d d d 2Tl T l h c u t t u t t h t l T T Tτττ---====⎰⎰⎰()()π2π222π2π22222π2211e d ed 212πe d e d 2ππsin e 2ππn T n i t li t lTT n l n n i t i t T T n i t T c u t t u t tlTh T n h t i t T T n i T h h n n i n T τττττττ----------==-⎛⎫⎛⎫==⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰故该矩形波的傅里叶级数的复数形式为()2π1πsin eπn i t Tn n h h n u t T n Tττ∞-=-∞≠=+∑(-∞<t <+∞,且3,22t ττ≠±±,…)37.设f (x )是周期为2的周期函数,它在[-1,1]上的表达式为f (x )=e -x,试将f (x )展成傅里叶级数的复数形式.解:函数f (x )在x ≠2k +1,k =0,±1,±2处连续.()()()[]()()()π1π111π11211e d e e d 221e 21πe e 1121π1πsinh111πn i x l x in x ln l x n i n n c f x x xl n i n in in ------+--===-+-=⋅⋅-+-=⋅⋅-+⎰⎰故f (x )的傅里叶级数的复数形式为()()()()π21π1sinh1e 1πn in xn in f x n ∞=-∞⋅--=+∑ (x ≠2k +1,k =0,±1,±2,…)38.求矩形脉冲函数(),00,A t T f t ≤≤⎧=⎨⎩其他的傅氏变换。
高等数学(同济第七版下)课后习题及解答
高等数学(同济第七版下)课后习题及解答高等数学(同济第七版下)课后习题及解答一、函数与极限1. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x - 2, 求以下极限:(1) lim(x→2) f(x)(2) lim(x→-1) f(x)解答:(1) 当x → 2 时,f(x) = x^2 + 3x - 2 = 2^2 + 3(2) - 2 = 12所以,lim(x→2) f(x) = 12(2) 当x → -1 时,f(x) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = -2所以,lim(x→-1) f(x) = -22. 求以下极限:(1) lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)(2) lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)解答:(1) 利用极限的性质,lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)= lim(x→0) (3x)/(4x) = 3/4(2) 利用极限的性质,lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)= lim(x→∞) x(x - 2)/(x - 1) = ∞二、导数与微分1. 求以下函数的导数:(1) y = x^3 + 2x^2 - 3x + 1(2) y = sin(2x) + cos(3x)(3) y = e^x/(1 + e^x)解答:(1) y' = 3x^2 + 4x - 3(2) y' = 2cos(2x) - 3sin(3x)(3) 利用商链规则和指数函数的导数性质,y' = e^x/(1 + e^x) - e^x*e^x/(1 + e^x)^2= e^x/(1 + e^x) - (e^x)^2/(1 + e^x)^2= e^x(1 - e^x)/(1 + e^x)^22. 求以下函数的微分:(1) y = 3x^2 + 4x - 2(2) y = sin(3x) + cos(2x)(3) y = ln(x) + e^x解答:(1) dy = (6x + 4)dx(2) dy = 3cos(3x)dx - 2sin(2x)dx(3) 利用对数函数和指数函数的微分性质,dy = (1/x)dx + e^xdx三、定积分与不定积分1. 求以下定积分:(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx(2) ∫[π/4,π/2] sinx dx解答:(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 |[0,1]= (1/3)(1)^3 + (1)^2 - (1/3)(0)^3 - (0)^2= 4/3(2) 利用不定积分的基本公式,∫ sinx dx = -cosx∫[π/4,π/2] sinx dx = [-cosx] |[π/4,π/2] = -cos(π/2) - (-cos(π/4)) = -1 + √2/2 = √2/2 - 12. 求以下不定积分:(1) ∫(x^2 + 2x)dx(2) ∫sinx dx解答:(1) ∫(x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 + C(2) ∫sinx dx = -cosx + C四、级数1. 判断以下级数的敛散性:(1) ∑(n=1,∞) (1/n)(2) ∑(n=1,∞) (1/2)^n解答:(1) 这是调和级数,已知调和级数∑(n=1,∞) (1/n) 发散。
高等数学第六版下册课后习题答案-同济大学
本答案由大学生必备网 免费提供下载第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念,定理,公式和重要结论理解多元函数的概念,会表达函数,会求定义域; 理解二重极限概念,注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8-11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(,求),(y x xy f +解:(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+,求),(y x f解:(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域,并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解:22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解:2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解:1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解:22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一:(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二:(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一:(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二:(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一:2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二:222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解:222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解:224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解:x y =(2)x y xy z 2222-+=解:22y x =第二节 偏导数本节主要概念,定理,公式和重要结论1.偏导数:设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义,则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→, yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数,简称偏导数.求),(y x f x 时,只需把y 视为常数,对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数,二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数,如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同,有如下4个:xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,,其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数,则它们相等,即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8-21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解:21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解:2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解:(1z x ∂==∂z y ∂==∂(4))ln(222z y x u ++= 解:222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解:22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解:2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解:(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解:[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: (1)yxy x z arcsin)1(2-+=,求)1,0(x z 解:20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ (2)xyx e x z yarctan)1(2-+=,求)0,1(y z 解:01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =, 求22x z ∂∂,22yz ∂∂,y x z∂∂∂2解:ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=,求22x z ∂∂,22yz ∂∂,y x z ∂∂∂2,x y z ∂∂∂2解:2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z , 求22x z ∂∂, yx z ∂∂∂2解:22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ,求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解:00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆,00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=, 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=, 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念,定理,公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微,并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分,记作dz .2.可微的必要条件:若),(y x f z =在),(00y x 可微,则 (1)),(y x f 在),(00y x 处连续;(2)),(y x f 在),(00y x 处可偏导,且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==,从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地,对于区域D 内可微函数, dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件:若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导,且偏导数在),(00y x 处连续,则),(y x f z =在),(00y x 可微。
苏州大学理工类高等数学(课次练习)下习题及解答
´1
0
ex2
0=y
dx
=
−
´y
0
f
(s)ds
+
´ xy
0
f
(xy),
∂F ∂y
=
− f (y) +
f
f (s)ds+ (xy)x +
0 = x f (xy) − f (y).
√
3. f (x, y) = x + (y − 1) arcsin
x y
.
√
解
因为 f (x, y) = x+(y−1) arcsin
=
y
−
x2−y2
(x2+y2)2
,
∂ ∂
f y
=
∂ ∂y
(xy
+
x x2+y2
)
=
x−
x×2y (x2+y2)2
=
x−
2xy
(x2+y2
)2
,
故
fx′(0, 1)
=
∂ ∂
f x
|(0,1)
=
(y −
x2−y2
(x2+y2)2
)
x=0,y=1
=
2,
fy′(0, 1)
=
∂ ∂
f y
|(0,1)
=
(x −
x + 1)d x + xxyzxz(ln
x)d y +
xxyzxy(ln x)dz.
3 多元复合函数的求导法则
8
√
3.
z= 解
ln
1 + x2
+ y2, √
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习 题 课 十 八一、填空题1.设函数2)(x x f =,π≤≤x 0,若∑∞==1sin )(n n nx b x S ,其中⎰π=π=0) ,2 ,1( sin )(2 n nxdx x f b n ,则=π+π-)35()3(S S 922π-。
解:∵)(x S 是正弦级数,它由)(x f 的奇式延拓展开而产生且周期为π2,∴)3( 2的周期为)( )32()35(π-ππ-π=πS x S S S , )3(2)35()3(π-=π+π-S S S )3(2 函数为)(π-S x S 奇92)3(2 的)(是32π-=π-π=f x f x 连续点。
2.设⎩⎨⎧π<<+≤≤π--=x x x x f 0 ,10,1 )(2,则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于221π。
解:在π=x 处,级数收敛于2221]11[21)]0()0([21π=-π+=+π-+-πf f 。
3.在) ,(ππ-中,展开函数22)(x x f -π=为傅里叶级数时,= a 342π。
解:∵)(x f 是偶函数,∴2333202234)3(20]3[2)(2π=π-ππ=π-ππ=-ππ=⎰πx x dx x a 。
4.将函数x x f -=1)(在]1,1[-上展开成以2为周期的余弦级数,cos 21∑∞=π+n n x n a a 则其中系数3a 的值为 942π。
解:∵)(x f 是偶函数,周期为2,1=l ,) ,2 ,1 ,0(cos)(20 =π=⎰n dx lxn x f l a l n ,∴xdx x xdx xdx x a π-π=π-=⎰⎰⎰3cos 23cos 23cos )1(12101013]3sin 013sin [32)3(sin 3201010⎰⎰π-ππ-=ππ-=xdx x x x xd222194)11(92013cos 923sin 0π=--π-=ππ-=π-=⎰x xdx 。
5.函数)(x f 以为周期 2l ,且在]2 ,2[-上有⎩⎨⎧<<≤≤-=.20 ,1,02 ,0)(x x x f 将)(x f 展开成傅里叶级数时,=1b 2π。
解:dx xdx x x f b ⎰⎰π=π=-202212sin 212)sin (21π=--π-=ππ⋅-=2)11(1022cos221x 。
6.设以π2为周期的函数,在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧π<≤-<≤π-+=.0 ,2,0 ,1)(x x x x x f它的傅里叶级数的和函数为)(x S ,则)(x S 在] ,[ππ-上的表达式为二、选择题1.设⎪⎩⎪⎨⎧π<≤ππ<≤=x x x x f 2 1,20 ,sin )(,)( 2 )(x S x f 函数为为周期的正弦级数的和以π,则等于 )3(πS ( D )(A )1; (B )-1; (C )21; (D )0.2.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=.121 ,22,210 ,)(x x x x x f +∞<<∞-π+=∑∞=x x n a a x S n n ,cos 2)(1 , 其中),2,1,0(cos )(210 =π=⎰n xdx n x f a n ,则=-)25(S ( )。
(A )21; (B )21 -; (C )43; (D )43 -.解:∵)(x S 是余弦级数,它由)(x f 的偶式延拓展开而产生且周期为2,∴)21( 为偶函数)( )21( 2的周期为)( )221()25(S x S S x S S S ---=-间断点的第一类)(是21 x f x =.4321212)021()021(=+=++-f f三、解答题1.将⎪⎩⎪⎨⎧π≤≤ππ<≤=x x x f 2 0,20 ,1)(展开成正弦级数,并写出该级数的和函数)(x S 的表达式。
解:先将)(x f 作奇式延拓,再作周期延拓,则),2 ,1 ,0( 0 ==n a n ,]sin 0sin [2sin )(22200⎰⎰⎰ππππ⋅+π=π=nxdx nxdx nxdx x f b n).2cos 1(2)12(cos 2cos 22π-π=-ππ-=π-=πn n n n nx n ],2()2,0( ,sin )2cos 1(2)(1πππ∈π-π=∑∞= x nx n n x f n , .2,21,0 ,0],,2()2,0( ),( )(π==πππ∈=x x x x f x S2.设函数⎪⎩⎪⎨⎧π≤≤ππ<≤=.4 0,,40 ,1)(x x x f 把)(x f 展开成以π2为周期的余弦函数,并写出该级数和函数)(x S 的表达式。
解:先将)(x f 作偶式延拓,再作周期延拓,则),2,1(0 ==n b n 。
2142]0[2)(24400=π⋅π=⋅+π=π=⎰⎰⎰ππππdx dx dx x f a ;⎰⎰⎰ππππ⋅+π=π=44]cos 0cos [2cos )(200nxdx nxdx nxdx x f a n ) ,2 ,1(4sin 2sin 240=ππ=π=πn n n nx n, ∴nx n n x f n cos 4sin 241)(1∑∞=ππ+=,],4()4,0[πππ∈ x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧π=ππ∈π∈= .4 ,21],4( ,0)4,0[ ,1)(x x x x S3..] ,0[)( 上展开成余弦级数在将π-π=x x f解:先将)(x f 作偶式延拓,再作周期延拓,则),2,1(0 ==n b n 。
.]21[20]21[2)(22220π=π-ππ=π-ππ=-ππ=⎰πx x dx x a⎰π-ππ=0cos )(2nxdx x a n ]cos cos [200⎰⎰ππ-ππ=nxdx x nxdx ])(sin 10sin [20⎰π-πππ=nx xd n nx n ]sin 0sin [20⎰π-ππ-=nxdx nx x n])1(1[20cos 222n n nx n --π=ππ-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=-π=.2 ,0 ,12 ,)12(42k n k n k∴).(0 ,)12cos()12(142)(12π≤≤--π+π=∑∞=x x n n x f n4.将)0(2)(π≤≤-π=x xx f 展开成正弦级数,并求∑∞=+--01121)1(n n n 的和。
解:先将)(x f 作奇式延拓,再作周期延拓,则),2,1,0(0 ==n a n ,]sin 21sin 2 [2sin 2 2000⎰⎰⎰πππ-ππ=-ππ=nxdx x nxdx nxdx x b n ⎰⎰πππ-=00sin 1sin nxdx x nxdx ⎰πππ+-=0)(cos 1cos 10nx xd n nx n ⎰ππ-π+--=0]cos cos [1])1(1[10nxdx nx x n n n .1)1(1])1(1[1nn n n n =----=当0=x 时,级数收敛于0, 当π=x 时,级数收敛于)(0π=f ,∴].,0( ,sin 12)(1π∈=-π=∑∞=x nx n x x f n 当2π=x 时,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=π=π∑∑∞=+∞=.2 ,0,12,12)1(2sin 14111k n k n k n n k k n∴4121)1(01π=--∑∞=+n n n 。
5.将)11(2)(≤≤-+=x x x f 展开成以2为周期的傅里叶级数,并求∑∞=121n n的和。
解:∵)11(2)(≤≤-+=x x x f 是偶函数,∴),2,1(0 ==n b n 。
⎰=+=1005)2(2dx x a ,⎰⎰⎰π+π=π+=11010cos 2cos 4cos )2(2xdx n x xdx n xdx n x a n]sin sin [2)(sin 2101100⎰⎰π-ππ=ππ=xdx n x n x n x n xd n⎪⎩⎪⎨⎧=-=π--=--π=ππ=.2 , 0,12 ,)12(4]1)1[(2cos 222221220k n k n k n x n n n ∴x n n x x f n π--π-=+=∑∞=)12cos()12(14252)(122)11(≤≤-x 。
当0=x 时,得8)12(1)12(14252212122π=-⇒-π-=∑∑∞=∞=n n n n , 又∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+π=+-=1221212121418)2(1)12(11n n n n n n n n , ∴618143212212π=⇒π=∑∑∞=∞=n n nn 。