阶段质量检测(三)

阶段质量检测（三）

(A 卷 学业水平达标)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)

1．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )

A ．1

B ．2 C.12 D ．3

解析：选B 若l 1⊥l 2，则a ⊥b ，∴a ·b ＝0，

∴1×(－2)＋2×3＋(－2)×m ＝0，解得m ＝2.

2．已知a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0且c ·b ＝0是l ⊥α的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选B 若l ⊥α，则l 与a ，b 所在的直线垂直，∴c ⊥a ，c ⊥b ，∴c ·a ＝0，c ·b ＝0，是必要条件；∵a ≠b ，

∴当a 与b 同向(或反向)时，由c ·a ＝0且c ·b ＝0可以推出c ⊥a 且c ⊥b ，但不能推出l ⊥α，不是充分条件．

3．已知向量i ，j ，k 是一组单位正交向量，m ＝8j ＋3k ，n ＝－i ＋5j －4k ，则m ·n ＝( )

A ．7

B ．－20

C ．28

D ．11

解析：选C 因为m ＝(0,8,3)，n ＝(－1,5，－4)，

所以 m ·n ＝0＋40－12＝28.

4．已知二面角α-l -β的大小为π3

，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )

A.π6

B.π3

C.π2

D.2π3

解析：选B 设m ，n 的方向向量分别为m ，n .

由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量．

∵|cos 〈m ，n 〉|＝cos π3＝12，∴〈m ，n 〉＝π3或2π3

. 但由于两异面直线所成的角的范围为⎝⎛⎦

⎤0，π2， 故异面直线m ，n 所成的角为π3

. 5．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1,0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 的夹角为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

解析：选A 设n ＝(x ，y,1)是平面ABC 的一个法向量．

∵AB ―→＝(－5，－1,1)，AC ―→＝(－4，－2，－1)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

－5x －y ＋1＝0，－4x －2y －1＝0， ∴⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝－32，

∴n ＝⎝⎛⎭⎫12

，－32，1. 又AD ―→＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，

则sin θ＝|AD ―→·n ||AD ―→||n |

＝727＝12， ∴θ＝30°.

6．在以下命题中，不正确的个数为( )

①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；

②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；

③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝2OA ―→－2OB ―→－OC ―→，则P ，

A ，

B ，

C 四点共面；

④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；

⑤ |(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：选C ①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 共线，但a 与b 共线时|a |－|b |＝|a ＋b |不一定成立，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．

7．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

解析：选C 设向量a ＋b 与c 的夹角为α，

因为a ＋b ＝(－1，－2，－3)，|a ＋b |＝14，

cos α＝(a ＋b )·c |a ＋b ||c |＝12

， 所以α＝60°.

因为向量a ＋b 与a 的方向相反，

所以a 与c 的夹角为120°.

8．在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 分别是x 轴、y 轴、z 轴的方向向量，设a 为非零向量，且〈a ，i 〉＝45°，〈a ，j 〉＝60°，则〈a ，k 〉＝( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

解析：选C 如图所示，

设|a |＝m (m ＞0)，

a ＝OP ―→，PA ⊥平面xOy ，

则在Rt △PBO 中，

|PB |＝|OP ―→|·sin 〈a ，i 〉＝22

m ， 在Rt △PCO 中，

|OC |＝|OP ―→|·cos 〈a ，j 〉＝m 2

，

∴|AB |＝m 2， 在Rt △PAB 中， |PA |＝|PB |2－|AB |2＝ 24m 2－m 24＝m 2

， ∴|OD |＝m 2，在Rt △PDO 中，cos 〈a ，k 〉＝|OD ||OP |＝12

. 又∵0°≤〈a ，k 〉≤180°，

∴〈a ，k 〉＝60°.

9．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )

A.83

B.38

C.43

D.34

解析：选C 取DA ―→，DC ―→，DD 1―→分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，可求得

平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2,1)．故A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1―→·n ||n |＝43

. 10．三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，侧棱长等于底面边长，A 1在底面的射影是△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( )

A.13

B.23

C.33

D.23

解析：选B 如图，设A 1点在底面ABC 内的射影为点O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

设△ABC 边长为1，

则A ⎝⎛⎭⎫33，0，0，B 1⎝⎛⎭

⎫－32，12，63， ∴AB 1―→＝⎝⎛⎭⎫－536，12，63.