第五章-微扰理论-习题答案.doc

第五章微扰理论

2

2

1.设氢原子中价电子所受有效作用班厂）二-玉-几兽 其中£

, r 厂 4矶

试用微扰理论求基态能屋（准确到一级）。 ［解］:氢原子基态波函

数

•••Eo = E ： + E 冷…

「El 守

-a

2r 2r

=一手臥九J7石dMQ

-2aal&入航

•••E O = E ： + E ；+・・・

2 •设在方。表象中方的矩阵为

= _4a\[^£a 。九-—

< 2丿 00

2

——0<2<1

__L 2

-r

’E ；）0 a 、

H= 0 E ； b 其中 E ； < E ； < E ； 问,问《卑

a b" E ；

\ 3

/

试用微扰理论求能量木征方程的木征值，准确到二级。

/\ /V

［解］表象中的H 的若无微扰吋，应是一个对角矩阵，而此题中H 不是对角阵，但 它的项应是对角阵。

曾

\

a

0 0、

<0

0 a } H = 0

E ； h

—

E ： 0 + 0

0 b

♦ a

E 為

(O

E 為

* 2

胪 o >

曾

0、

‘0 0 a '

第一项就是H.=

0 E

； 0 第二项是H'= 0 0 h

,0 \

E 為

♦ /?* 0, 若准确到二级対三个能级 耳 爲

耳则

E 严 E ：）+ E ：+E ；+…

E' = E ； + E ； + E ；+…

式中已知，只要求出0尽即可

・・• E \ = H\ E\ = H ；2

・・・ H ；2 = o H ；3 = a

・•. E ；=于g

由的矩阵元中对知 H ：

H ；=码=0 即 E ； = E ；= £；=()

・・ F 2=y \H nn] =y

r()

m m

.R ⑺_ V 冋“」

1

—乙耳）_£；

（m 工1） m = 1.3此吋只有三项

E' 耳-E ； ' El-El

同理圧=工磐雷

m 匕2 一L m (m工2)

2 ・•・对于E 严E ； + E ；+E ：+.,耳+ -^― +… E? = E ； + E ； + E ； + …=E ； + +.・・

匕2 —匕3

E 产耳+ & +砖+…二耳

七3 一匕\匕3 一匕2

3. 转动惯量为I,电偶极矩为方的空间转了处于匀强电场E +，若电场很小, 算转了基态能量的二级修下。

［解］在第三章中第13题，我们已知道转动惯屋为I 的刚性转了的能级为

E ； 定态波函数H°= — fr

21

但基态1 = 0

E ：；=0 阮°尤）是非简并的。

可按定态非简并微扰处理

为方便起见，我们选E 方向与坐标Z 轴方向一致，则

H' = -D • E = -D^cosd

（ 0 与 £> 与 E 夹角）

E —

E 。詔圧 — E ；

2 = E ；_E ；

加=2 或 m = 2 则 H^=a

£2_y KJ

2

3

WEP

（m 主

3）

% = b*

:.E ；

Et_E ：）+ E ；

_E ；

E ：产岡卬丽加％dO

（-0 •肌 dQ

b 2

用微扰法计

«/ + 1）力

2

_

~21 -

=- [D EJQ 4龙」

=--DE [cos Odd = 0 4兀」 而 H ；°= H ；）k

1

Ok

=-誉 JX ；“Yi （）dG

当k = \ m = 0吋 H"0 其余均为0

・・・琦=D 2E 2

I

4. 设体系未受微扰时只有二个能级窣及毋，现在受到微扰H'作用，微扰矩阵元为 H[2 = H 2]= a, H ：= Ht=b ； a,b 都是实数，用微扰公式计算能量到二级修正.

解：由微扰公式得

E' =H r

n nn

~OE\Yi

2

1

2

I < DE 、 2 _ -D 2E 2I

E —E 厂

n

0k

< >/3> ~

3忙

心g 心

~2

k 即一级修正为0 DE

■V

F

习Q”o

DE

2力

2

17

I （）

H

其中

（cos %

E （o ）_ E （。）

・・・能量的二级修正值为

2

E 厂 E ；+b +云

5. 基态红原子处于平行电场屮，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即

当 t v 0

W

当t>o （ r>o 的参数）

求经过长吋间后氢原子处于2p 态的儿率。

解:对于2p 态,^ = 1, m 可取0, ± 1三值，其相应的状态为

氢原子处在2p 态的几率也就是从0100跃迁到0210、0211、021—1的几率Z 和。

由

讣=詈側;肿恂

（W z

= ee （t ）r cos 0）

=^R 2l Y^e£（t ）rcos0 R^Y^dr （取E 方向为 Z 轴方向）

= ££（『）[ R 2[rR l0dr 得 E\ = H ：严b

E ；=H ；

2=b

•ML

E —E ：

E

2=X m

I%』—/

E ；-E 「E ；-E ；

0210

0211

h

TJ ‘

n

210J00

「£^IO ^OO cos&sin 阳&d©