(新)高中数学选修1-1圆锥曲线方程单元测试题含答案

合集下载

高二数学圆锥曲线综合测试题(选修1-1&2-1)含答案!

高二数学圆锥曲线综合测试题（选修1-1&2-1）（考试时间：120分钟，共150分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为36分，试卷Ⅱ分值为64分。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 22．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝ ( )A ．6 B.2 C ．2 D ．不确定3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.1164．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为 ( ) A ．1 B ．5 C ．4 2 D ．3＋2 2 5．若双曲线x 2a2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( )A.255B.32C.233D ．26．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＞3) D.x 216－y 29＝1(x ＞4)7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e5x (e 为双曲线离心率)，则有( )A ．b ＝2aB ．b ＝5aC ．a ＝2bD ．a ＝5b8．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A.1716B.1516 C ．－1516 D ．－17169．已知点A 、B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，O 为坐标原点，且满足OA ·OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于 ( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．2 210．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．611．(2009·四川高考)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则1PF ·2PF ＝ ( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．412．(2009·天津高考)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝ ( )A.45B.23C.47D.12第Ⅰ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 14．(2009·福建高考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.15．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF ＝FB ，BA ·BC ＝48，则抛物线的方程为______________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．18．(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B 点，求线段AB的中点M的轨迹方程．19．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .20．[理](本小题满分12分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，记O 为坐标原点．(1)求OA ·OB 的值； (2)设AF ＝λFB ，当△OAB 的面积S ∈[2， 5 ]时，求λ的取值范围．20．[文](本小题满分12分)已知圆(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A 、B ，且线段AB 是圆的直径，求椭圆的方程．21．(本小题满分12分)已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且A (－2,0)，B (2,0)，|AD |＝2，AE ＝12(AB ＋AD )． (1)求E 点的轨迹方程；(2)过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆的方程．22．[理](本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP ＝35PB ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．[文](本小题满分14分)设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．高二数学圆锥曲线章节测试题（选修1-1&2-1）答案与解析：1、解析：由已知焦点到准线的距离为p ＝|a |2.答案：B2、解析：由题知b －a5－4＝1，∴b －a ＝1.∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.答案：B3、解析：依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116.答案：D4、解析：由(x －2)2＋(y －1)2＝13，得圆心(2,1)， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心． ∴a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即a ＝2－1，b ＝2－2时取等号，∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 答案：D5、解析：由a 2＋1＝4，∴a ＝3， ∴e ＝23＝233.答案：C6、解析：如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x＞3)．答案：C7、解析：由已知b a ＝55e ，∴b a ＝55×ca ，∴c ＝5b ，又a 2＋b 2＝c 2， ∴a 2＋b 2＝5b 2，∴a ＝2b . 答案：C8、解析：准线方程为y ＝116，由定义知116－y M ＝1⇒y M ＝－1516.答案：C9、解析：本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题，由OA ·OB ＝0⇒OA ⊥OB ，由于双曲线为中心对称图形，为此可考查特殊情况，令点A 为直线y ＝x 与双曲线在第一象限的交点，因此点B 为直线y ＝－x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB 与x 轴垂直，点O 到AB 的距离就为点A 或点B 的横坐标的值，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x ⇒x ＝ 2.答案：A10、解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x 即x ±2y ＝0，圆心(3,0)到直线的距离d ＝|3|(2)2＋1＝ 3. 答案：A11、解析：由渐近线方程y ＝x 得b ＝2，点P (3，y 0)代入x 22－y 2b 2＝1中得y 0＝±1.不妨设P (3，1)，∵F 1(2,0)，F 2(－2,0)， ∴1PF ·2PF ＝(2－3，－1)·(－2－3，－1) ＝3－4＋1＝0. 答案：C12、解析：如图过A 、B 作准线l ：x =-12的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由于F 到直线AB 的距离为定值．∴S △BCF S △ACF ＝|BC ||CA |. 又∵△B 1BC ∽△A 1AC . ∴|BC ||CA |＝|BB 1||AA 1|，由拋物线定义|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2|AF |.由|BF |＝|BB 1|＝2知x B ＝32，y B ＝－3，∴AB ：y －0＝33－32(x －3)．把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2，∴|AF |＝|AA 1|＝52.故S △BCF S △ACF ＝|BF ||AF |＝252＝45. 答案：A 13、解析：(x 0－a )2＋(y 0－b )2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b )的距离．而点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为点(a ，b )到直线ax ＋by ＝0的距离|a ·a ＋b ·b |a 2＋b 2＝a 2＋b 2. 答案：a 2＋b 2 解析：由焦点弦|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝2psin 245°， ∴2p ＝|AB |×12，∴p ＝2.答案：214、解析：所求椭圆的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0),2a ＝|PF 1|＋|PF 2|.欲使2a 最小，只需在直线l 上找一点P ，使|PF 1|＋|PF 2|最小，利用对称性可解．答案：x 25＋y 24＝115、解析：设抛物线的准线与x 轴的交点为D ，依题意，F 为线段AB 的中点，故|AF |＝|AC |＝2|FD |＝2p ， |AB |＝2|AF |＝2|AC |＝4p ， ∴∠ABC ＝30°，|BC |＝23p ，BA ·BC ＝4p ·23p ·cos30°＝48，解得p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x . 答案：y 2＝4x16、解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. 17、解：法一：设点M 的坐标为(x ，y )， ∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)， ∴P A ⊥PB ，k P A ·k PB ＝－1.而k P A ＝4－02－2x ，k PB ＝4－2y 2－0，(x ≠1)，∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)．整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y)，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM ， ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |=|AB |.而|PM|22(2)(4)x y -+- |AB 22(2)(2)x y +, ∴2222(2)(4)44x y x y -+-=+化简，得x +2y -5=0即为所求的轨迹方程．法三：设M 的坐标为(x ，y )，由l 1⊥l 2，BO ⊥OA ，知O 、A 、P 、B 四点共圆， ∴|MO |=|MP |，即点M 是线段OP 的垂直平分线上的点． ∵k OP =4020--=2，线段OP 的中点为(1,2)， ∴y -2=-12(x -1)，即x +2y -5=0即为所求．18、解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线．因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设AB ：y ＝kx ＋2. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x . 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1. 所以AQ ⊥BQ .19、解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F (1,0)，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将其与C 的方程联立，消去x 可得y 2－4my －4＝0.设A ，B 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(y 1>0>y 2)，则y 1y 2＝－4.因为y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以x 1x 2＝116y 21y 22＝1，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3. (2)因为AF ＝λFB ，所以(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝λx 2－λ， ①－y 1＝λy 2， ②又y 21＝4x 1， ③y 22＝4x 2， ④由②③④消去y 1，y 2后，得到x 1＝λ2x 2，将其代入①，注意到λ>0，解得x 2＝1λ.从而可得y 2＝－2λ，y 1＝2λ，故△OAB 的面积S ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝λ＋1λ，因λ＋1λ≥2恒成立，所以只要解λ＋1λ≤5即可，解之得3－52≤λ≤3＋52. 20、解：∵e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝22，∴a 2＝2b 2. 因此，所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，又∵AB 为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB 的中点，设A (2－m,1－n )，B (2＋m,1＋n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ (2－m )2＋2(1－n )2＝2b 2，(2＋m )2＋2(1＋n )2＝2b 2，|AB |＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋2m 2＋4＋4n 2＝4b 2，8m ＋8n ＝0，2m 2＋n 2＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b 2＝6＋m 2＋2n 2，m 2＝n 2＝103，得2b 2＝16. 故所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝16.21、解：(1)设E (x ，y )，由AE ＝12(AB ＋AD )，可知E 为线段BD 的中点，又因为坐标原点O 为线段AB 的中点，所以OE 是△ABD 的中位线，所以|OE |＝12|AD |＝1，所以E 点在以O 为圆心，1为半径的圆上，又因为A ，B ，D 三点不在一条直线上，所以E 点不能在x 轴上，所以E 点的轨迹方程是x 2＋y 2＝1(y ≠0)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)，椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(当直线斜率不存在时不成立)，由于直线MN 与圆x 2＋y 2＝1(y ≠0)相切，所以|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，所以直线MN 的方程为y ＝±33(x ＋2)，将直线y ＝±33(x ＋2)代入方程x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，整理可得：4(a 2－3)x 2＋4a 2x ＋16a 2－3a 4＝0，所以x 0＝x 1＋x 22＝－a 22(a 2－3). 又线段MN 的中点到y 轴的距离为45，即x 0＝－a 22(a 2－3)＝－45，解得a ＝2 2. 故所求的椭圆方程为x 28＋y 24＝1. 22、解：(1)设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )，则AP ＝(x －a ，y )，PB ＝(－x ，b －y )，∵AP ＝35PB ，∴⎩⎨⎧ x －a ＝－35x ，y ＝35(b －y ).∴a ＝85x ，b ＝83y . 又|AB |＝a 2＋b 2＝8，∴x 225＋y 29＝1. ∴曲线C 的方程为x 225＋y 29＝1. (2)由(1)可知，M (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点，设直线PM 方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 225＋y 29＝1，x ＝my ＋4，消去x 得 (9m 2＋25)y 2＋72my －81＝0，∴|y P －y Q |＝(72m )2＋4×(9m 2＋25)×819m 2＋25。

高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程-单元测试-及答案

高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程单元测试一、选择题〔每题5分，共60分〕1．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为〔〕 A ．41 B ．21C ．2D ．4 2．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，假设线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于〔〕A ．10B ．8C ．6D ．43．假设直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是〔〕A ．315(-，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0 D ．315(-，)1-4．〔理〕已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A 〔1，2〕且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点〔〕A ．〔2，5〕B ．〔-2，5〕C ．〔5，-2〕D ．〔5，2〕〔文〕过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，假设p x x 321=+，则||PQ 等于〔〕A ．4pB ．5pC ．6pD ．8p5.已知两点)45,4(),45,1(--N M ,给出以下曲线方程：①0124=-+y x ;②322=+y x ;③1222=+y x ;④1222=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是〔〕〔A 〕①③ 〔B 〕②④ 〔C 〕①②③ 〔D 〕②③④6．已知双曲线12222=-by a x 〔a ＞0，b ＞0〕的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，假设△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为〔〕A ．1351222=-y xB ．1312522=-y xC ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 7．圆心在抛物线)0(22>=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是〔〕A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．041222=+--+y x y x8．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，假设过1F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，且||AB 是||2AF 的等差中项，则||AB 等于〔〕 A ．28 B ．24 C ．22 D ．8． 9．〔理〕已知椭圆22221a y x =+〔a ＞0〕与A 〔2，1〕，B 〔4，3〕为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是〔〕 A ．2230<<a B ．2230<<a 或282>a C ．223<a 或 282>a D ．282223<<a〔文〕抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为〔〕 A ．0 B ．23C ．2D ．3 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点,MN 中点横坐标为32-,则此双曲线的方程是( ) (A) 14322=-y x (B) 13422=-y x (C) 12522=-y x (D) 15222=-y x 11.将抛物线342+-=x x y 绕其顶点顺时针旋转090，则抛物线方程为〔〕〔A 〕x y -=+2)1(2〔B 〕2)1(2-=+x y 〔C 〕x y -=-2)1(2〔D 〕2)1(2-=-x y12．假设直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数〔〕 A ．至多一个 B ．2个 C ．1个 D ．0个二、填空题〔每题4分，共16分〕13．椭圆198log 22=+y x a 的离心率为21，则a ＝________．14．已知直线1+=x y 与椭圆122=+ny mx )0(>>n m 相交于A ，B 两点，假设弦AB 的中点的横坐标等于31-，则双曲线12222=-n y m x 的两条渐近线的夹角的正切值等于________．15．长为l (0＜l ＜1)的线段AB 的两个端点在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 中点M 到x 轴距离的最小值是________．16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面)km (m ，远地点B 距离地面)km (n ，地球半径为)km (R ，关于这个椭圆有以下四种说法： ①焦距长为m n -；②短轴长为))((R n R m ++；③离心率Rn m mn e 2++-=；④假设以AB方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为)())((m n R n R m x -++2-=，其中正确的序号为________．三、解答题〔共44分〕17．〔本小题10分〕已知椭圆的一个顶点为A 〔0，-1〕，焦点在x 轴上.假设右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. 〔1〕求椭圆的方程;〔2〕设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当AN AM =时，求m 的取值范围.18．〔本小题10分〕双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围.19.〔本小题12分〕如图，直线l 与抛物线x y =2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y . 〔1〕求证：M 点的坐标为)0,1(；〔2〕求证：OB OA ⊥；〔3〕求AOB ∆的面积的最小值.20．〔本小题12分〕已知椭圆方程为1822=+y x ，射线x y 22=〔x ≥0〕与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点〔异于M 〕．〔1〕求证直线AB 的斜率为定值；〔2〕求△AMB 面积的最大值．三、解答题〔20分〕11．〔本小题总分值10分〕已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ，且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.假设T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.12．〔10分〕已知椭圆2222by a x +〔a ＞b ＞0〕的离心率36=e ，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23．〔1〕求椭圆的方程．〔2〕已知定点)0,1(-E ，假设直线)0(2≠+=k kx y 与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由．圆锥曲线单元检测答案1. A2.B 3 D 4 理C 文A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理B 文B 10 D 11 B 12 B13．24或69 14．3415．42l 16．①③④17.〔1〕依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ，则右焦点F 〔0,12-a 〕由题设322212=+-a 解得32=a 故所求椭圆的方程为1322=+y x . 1322=+y x ………………………………………………4分. 〔2〕设P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x mkx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k 由于直线与椭圆有两个交点，,0>∆∴即 1322+<k m ①………………6分13322+-=+=∴k mkx x x N M p 从而132+=+=k m m kx y p p mkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴ 又MN AP AN AM ⊥∴=,，则 kmk k m 13132-=++- 即 1322+=k m ②…………………………8分把②代入①得 22m m > 解得 20<<m 由②得 03122>-=m k 解得21>m .故所求m 的取范围是〔2,21〕……………………………………10分 18．设M )(0,0y x 是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F 2的距离等于它到左准线的距离2MN ，即MN MF =2，由双曲线定义可知e MF MF eMNMF =∴=211……5分由焦点半径公式得000x eaex aex ∴=-+ee e a -+=2)1(…………………………7分而a ee e a ax ≥-+∴≥20)1( 即 0122≤--e e 解得1221+≤≤-e 但 1211+≤<∴>e e ……………………………………10分19. (1 ) 设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=, 代入x y =2得002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根,∴1210=-=y y x ，即M 点的坐标为〔1, 0〕. (2 ) ∵ 121-=y y∴ 0)1(21212122212121=+=+=+y y y y y y y y y y x x∴ OB OA ⊥.〔3〕由方程①，m y y =+21, 121-=y y , 且 1||0==x OM ,于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当0=m 时，AOB ∆的面积取最小值1.20．解析：〔1〕∵ 斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M 〔22，2〕．直线MA 方程为)22(2-=-x k y ，直线AB 方程为)22(2--=-x k y ．分别与椭圆方程联立，可解出2284222-+-=k k k x A ，2284222-++=k k k x B ． ∴22)(=--=--BA B A B A B A x x x x k x x y y ． ∴ 22=AB k 〔定值〕．〔2〕设直线AB 方程为m x y +=22，与1822=+y x 联立，消去y 得mx x 24162+ 0)8(2=-+m ．由0>∆得44<<-m ，且0≠m ，点M 到AB 的距离为3||m d =．设AMB ∆的面积为S ．∴ 2)216(321)16(321||41222222=≤-==⋅m m d AB S ．当22±=m 时，得2max =S ．11．解：直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程整理得012)1(222=-++-a kay y k ……………………3分而012≠-k ，于是122--=+=k ak y y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即 )1,1(22k ak ak T --……5分点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴kak a k ak 即22+=a k ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=k 或 122+=a k当0=k 时，由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a k 时，由①得 1=a l K ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x …………………………10分 12．解：〔1〕直线AB 方程为：0=--ab ay bx ．依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=233622ba ab ac ，解得 ⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为 1322=+y x ．〔2〕假假设存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=033222y x kx y ，得)31(2k +09122=++kx x ．∴ 0)31(36)12(22>+-=∆k k ． ①设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+⋅2212213193112k x x k k x x ， ②而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ．要使以CD 为直径的圆过点E 〔-1，0〕，当且仅当CE ⊥DE 时，则1112211-=++⋅x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ．∴ 05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ． ③ 将②式代入③整理解得67=k ．经验证，67=k ，使①成立．综上可知，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过点E ．。

(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．直线3y x 与曲线2||194y x x -=的公共点的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．抛物线：24y x =的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（）A ．21y x =-B ．212y x =-C ．22(1)y x =-D ．221y x =- 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11BCC B 内一点，且点P 满足到平面11ABB A 的距离等于到点1C 的距离，则点P 的轨迹是（）A ．一条线段B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分5．已知1F ，2F 是离心率为13的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，M 是椭圆上第一象限的点，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则（）A ．12S SB ．122S S =C ．1232S S =D ．1243S S =6．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆()22:21T x y -+=上的动点，则PFPQ 的最小值是（）A ．12B ．27C ．23D 7．已知过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线FT ，交双曲线右支于点P ，点P 到x 轴的距离恰好为34b ，则双曲线离心率为（）A ．273+B ．273+C ．53D ．28．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线左支于P ，交渐近线b y x a=于点Q ，点Q 在第一象限，且12FQ F Q ⊥，若12PQ PF =，则双曲线的离心率为（）A 110+B ．1222+C 51D 31 9．如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10．过抛物线24y x =的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的中点的纵坐标为2，则AB 等于（）A ．4B ．6C ．8D ．1011．已知12,F F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且1223F PF π∠=，若椭圆1C 离心率记为1e ，双曲线2C 离心率记为2e ，则222127e e +的最小值为（）A ．25B ．100C ．9D ．36 12．“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示为椭圆”的（） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，若0OM MF ⋅=，||MN b =，则C 的离心率为________.14．过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，若A 、B 在第一象限，且点A 为线段PB 的中点，则直线l 的斜率为___________.15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x py p =>交于A 、B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为___________.16．知直线m 过抛物线()220y px p =>的焦点F ，且交抛物线于A 、B 两点，交其准线l 于点C .若6AF =，2CB BF =，则p =____________17．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.18．已知中心在坐标原点的椭圆E 的右焦点与抛物线2:4C y x =的焦点重合，椭圆E 与抛物线C 的准线交于A 、B 两点.若3AB =，则椭圆E 的短轴长为__________.19．如图所示，已知M ，N 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点，点M 与点Q 关于x 轴对称，2516ME MQ =，直线NE 交双曲线右支于点P ，若2NMP π∠=，则e =_____________．20．已知抛物线C : y 2=2px (p >0)，直线l ：y = 2x + b 经过抛物线C 的焦点，且与C 相交于A 、B 两点．若|AB | = 5，则p = ___．三、解答题21．已知点22,M ⎭在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，且点M 到C 的左，右焦点的距离之和为4．（1）求C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点,O M ）上，求OA OB ⋅的取值范围．22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）若椭圆C 的左右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，12AF F △与12BF F △的面积分别为12,S S ，122S S =，求直线l 的斜率．23．已知直线:1l y kx =+过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与抛物线E 交于A 、B 两点，点M 为AB 中点.（1）求抛物线E 的方程；（2）以AB 为直径的圆与x 轴交于C 、D 两点，求MCD △面积取得最小值时直线l 的方程.24．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，离心率为12，左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）当1F AB 的面积为12611时，求直线l 的斜率. 25．如图，已知抛物线21:2C y x =直线2y kx =+交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）证明：OA OB ⊥；（2）设抛物线C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，证明：1l 与2l 的交点M 在一定直线上.26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点在圆223x y +=3 （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点O 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，F 为右焦点，若FA 垂直于AB ，求直线l 的斜率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由于已知曲线函数中含有绝对值符号，将x 以0为分界进行分类讨论，当x ≥0时，曲线为焦点在y 轴上的双曲线，当x <0时，曲线为焦点在y 轴上的椭圆，进而在坐标系中作出直线与曲线的图像，从而可得出交点个数.【详解】当0x ≥时，曲线2194x x y -=的方程为22194y x -= 当0x <时，曲线2194x x y -=的方程为22194y x +=， ∴曲线2194x x y -=的图象如图，在同一坐标系中作出直线3yx 的图象，可得直线与曲线交点个数为3个．故选：C【点晴】本题讨论曲线类型再利用数形结合法求交点个数是解题的关键．2．D解析：D【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解.【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩，解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解. 显然34k =±不满足方程2724250k k +-=. 综上所述，k 的取值有4个.故选：D.【点睛】方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．3．C解析：C【分析】设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立求出两根之和，可得中点的坐标，消去参数可得中点的轨迹方程．【详解】由抛物线的方程可得焦点(1,0)F ，可得过焦点的直线的斜率不为0，设直线方程为：1x my =+，设直线与抛物线的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设AB 的中点(,)P x y ，联立直线与抛物线的方程可得：2440y my --=，124y y m +=，21212()242x x m y y m +=++=+，所以可得2212x m y m⎧=+⎨=⎩，消去m 可得P 的轨迹方程：222y x =-，故选：C ．【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：1、定义法；2、待定系数法；3、直接求轨迹法；4、反求法；5、参数方程法等等.4．D解析：D【分析】由题意画出图形，可知点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等，所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线．【详解】如图，点P 是侧面11BCC B 内的一动点，点P 到直线1BB 的距离即为点P 到面11ABB A 的距离，因为点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等，所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线，故选：D ．【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方法之定义法：将动点轨迹化归为某一基本轨迹（圆，椭圆，双曲线，抛物线等），然后利用基本轨迹的定义，直接写出方程.5．D解析：D【分析】设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，则可得4S r c=，从而可得1121122244S S F F r c S c ==⋅⋅=，再由G 是12MF F △的重心，可得11222213323MOF MF F S S S S ==⨯=，进而可得结果【详解】解：由于椭圆的离心率为13，所以13c a =，即3a c =，设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，则121211()(22)422S MF MF F F r a c r cr =++=+=，所以4S r c=，所以1121122244S S F F r c S c ==⋅⋅=，因为G 是12MF F △的重心，所以11222213323MOF MF F S S S S ==⨯=，所以1234S S =，即1243S S =，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的性质的应用，解题的关键是设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，然后求出4S r c =，进而可表示出1S ，2S ，从而可得结果，属于中档题 6．B 解析：B【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PF PQ 的最小值.【详解】如下图所示：在椭圆22:11612x y C +=中，4a =，23b =222c a b -，圆心()2,0T 为椭圆C 的右焦点，由椭圆定义可得28PF PT a +==，8PF PT ∴=-，由椭圆的几何性质可得a c PT a c -≤≤+，即26PT ≤≤，由圆的几何性质可得1PQ PT QT PT ≤+=+，所以，899211111617PF PFPTPQ PT PT PT -≥==-≥-=++++. 故选：B.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应圆锥曲线的定义，本题中注意到2PF PT a +=，进而可将PF 用PT 表示；（2）利用圆的几何性质得出PT r PQ PT r -≤≤+，可求得PQ 的取值范围；（3）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围：a c PT a c -≤≤+.7．A解析：A【分析】由P 点到x 轴距离（即纵坐标）求出其横坐标，写出直线FP 的方程，然后由原点到切线的距离等于半径可得,,a b c 的等式，变形后可得离心率．【详解】如图P 在第一象限，因为点P 到x 轴的距离恰好为34b ，即34P y b =，代入双曲线方程得229116P x a -=，解得54P x a =，所以53,44P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (,0)F c -，直线FP 方程为34()54by x c a c =++，化简得3(54)30bx a c y bc -++=，又直线FP 与圆222x y a +=相切，a =，345bc a a c =+人，变形为4293440160e e e ---=， 22(342)(348)0e e e e ++--=，因为1e >，所以23420e e ++>，所以23480e e --=，e =去）．故选：A ．【点睛】思路点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的齐次等式，本题中由点P 到x 轴的距离恰好为34b ，得出P 点坐标，从而可得直线FP 方程，由圆心到切线的距离等于半径可得所要关系式，从而转化为离心率e 的方程，解之可得．8．A解析：A【分析】由12FQ F Q ⊥得出OQ c =，求出Q 点坐标为(,)a b ，利用12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程得关于,,a b c 的等式，变形后可求得e ．【详解】∵12FQ F Q ⊥，O 是12F F 中点，∴OQ c =，设(,)Q x y （0,0x y >>），则222y b x a x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，又222a b v +=，故解得x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)Q a b ，12PQ PF =，则12QP PF =，(,)2(,)P P P P x a y b c x y --=---，解得233P P a c x b y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又P 在双曲线上，∴2222(2)199a c b a b --=，解得e =舍去）．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,a c 的齐次式，本题利用P 在双曲线上列式，由12FQ F Q ⊥得(,)Q a b ，由12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程即可求解．9．D解析：D【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，由方程组只有一解确定．【详解】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=，若210k -=，即1k =±， 1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，k = 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条．故选：D ．【点睛】关键点点睛：直线与曲线的交点问题，可能通过解方程组确定，直线与曲线方程组成的方程组的解的个数就是它们交点的个数．这是代数方法．也可从几何角度考虑，如本题直线与双曲线相切的有两条，与渐近线平行的有两条共4条直线与双曲线只有一个交点． 10．C【分析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设直线AB 的方程为：1x my =+(m 为常数),与抛物线方程联立消去x ,得到关于y 的一元二次方程，利用中点公式和韦达定理求得m 的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB 的长度. 【详解】抛物线24y x =的焦点坐标F (1,0),准线方程:1l x =-,设AB 的中点为M ,过A ,B ,M 作准线l 的垂线，垂足分别为C ,D ,N ,则MN 为梯形ABDC 的中位线，()02|21AB AF BF AC BD MN x ∴=+=+==+,∵直线AB 过抛物线的焦点F ,∴可设直线AB 的方程为：1x my =+(m 为常数), 代入抛物线的方程消去x 并整理得：2440y my --=, 设A ,B 的纵坐标分别为12,y y ,线段AB 中点()00,M x y , 则120222y y y m +===,1m ∴=, ∴直线AB 的方程为1x y =+,001213x y ∴=+=+=,()2318AB ∴=+=，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦长问题，涉及抛物线的定义，方程，线段中点坐标公式，直线与抛物线的交点问题，属中档题，关键是灵活使用抛物线的定义，将焦点弦长问题转化为中点坐标问题，注意直线方程的设法：过点(a ,0)，斜率不为零的直线方程可以设为x =my +a 的形式，不仅避免了讨论，而且方程组消元化简时更为简洁.11．A解析：A 【分析】由椭圆与双曲线的定义得记12,PF m PF n ==，则2m n a +=（椭圆长轴长），2x y a '-=，用余弦定理得出,m n 的关系，代入和与差后得12,e e 的关系式，然后用基本不等式求得最小值．记12,PF m PF n ==，则2m n a +=（椭圆长轴长），2x y a '-=（双曲线的实轴长），又由余弦定理得2224m n mn c ++=，所以22231()()444m n m n c ++-=，即22234a a c '+=，变形为2212314e e +=，所以22222212121222221222273131127()(27)(82)2544e e e e e e e e e e +=++=++≥，当且仅当22122222273e e e e =，即213e e =时等号成立．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的离心率，解题关键是掌握两个轴线的定义，在椭圆中，122MF MF a +=，在双曲线中122MFMF a '-=，不能混淆． 12．C解析：C 【分析】根据方程2214x y a a +=-表示椭圆求出实数a 的取值范围，然后利用集合的包含关系可判断出“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的条件.【详解】若方程2214x y a a+=-表示椭圆，则0404a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得02a <<或24a <<，记为{}02,24A a a a =<<<<或，又记{}04B a a =<<，AB则“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出方程为椭圆的充分必要条件.二、填空题13．2【分析】首先根据可得可计算结合可得是等腰三角形且再由渐进线的斜率可计算出点坐标即可求出点坐标利用结合可得之间的关系即可求解【详解】因为所以即所以为点到渐近线的距离所以可得点为的中点又因为所以所以设解析：2 【分析】首先根据0OM MF ⋅=可得⊥OM MF ，可计算MF b =，结合||MN b =可得OFN △是等腰三角形，且ON c =，再由渐进线的斜率可计算出点N 坐标，即可求出点M 坐标，利用OM a =结合222b c a =-可得,a c 之间的关系，即可求解. 【详解】因为0OM MF ⋅=，所以OM MF ⊥，即⊥OM MF 所以MF 为点(),0F c 到渐近线0bx ay -=的距离，22bcMF b cb a ===+，所以MF MN b ==，可得点M 为NF 的中点，又因为⊥OM MF ，所以ON OF c ==，所以222OM c b a =-=，设双曲线的左焦点为1F ，1FON θ∠=，(),N x y 则()tan tan tan bFON FON aθπ=-∠=-∠=，因为222c a b =+，所以cos acθ=，sin b c θ=所以cos a x ON c a c θ=-=-⋅=-，sin by ON c b cθ==⋅=，所以(),N a b -，因为M 为NF 中点，所以,22a M c b -⎛⎫⎪⎝⎭， 222222c a b OM a -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入整理可得：()22224c a c a a -+-= 即222240c ac a --=，所以220e e --=，可得()()210e e -+=，解得：2e =或1e =-（舍），故答案为：2 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法：（1）直接利用公式c e a=；（2）利用变形公式e =；（3）根据条件列出关于,a c 的齐次式，两边同时除以2a ，化为关于离心率的方程即可求解.14．【分析】由题意可知直线的斜率存在且为正数可设直线的方程为设点将直线的方程与抛物线的方程联立列出韦达定理可得出代入韦达定理求出的值即可得出直线的斜率为【详解】由于过点的直线与抛物线相交于两点若在第一象解析：3【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且为正数，可设直线l 的方程为()20x my m =->，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，可得出212y y =，代入韦达定理求出m 的值，即可得出直线l 的斜率为1m. 【详解】由于过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，若A 、B 在第一象限，所以，直线l 的斜率存在且为正数，设直线l 的方程为()20x my m =->，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，可得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m .由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由于点A 为线段PB 的中点，则212y y =，12183m y y y ∴=+=，183m y ∴=， 22121816223m y y y ⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭，可得298m =，0m >，解得4m =，因此，直线l的斜率为13k m ===.故答案为：3. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.15．【分析】设点利用抛物线的定义得出可计算得出再利用点差法可得出可求出的值由此可得出双曲线的渐近线方程【详解】设点由抛物线的定义可得由可得直线的斜率为由两式作差得即所以可得因此该双曲线的渐近线方程为故答解析：2y x =±【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用抛物线的定义得出12y y p +=，可计算得出122ABx x k p +=，再利用点差法可得出2121222AB x x x x b k a p p++=⋅=，可求出b a 的值，由此可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，由抛物线的定义可得12p AF y =+，22pBF y =+， 2pOF =，由4AF BF OF +=可得122y y p p ++=，12y y p ∴+=，直线AB 的斜率为221212121212222ABx x y y x x p p k x x x x p--+===--，由22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b ---=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，所以，22121212122212122ABy y x x x x x x b b k x x a y y a p p -+++==⋅=⋅=-+，2212b a ∴=，可得b a =，因此，该双曲线的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x =±. 【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用a 、b 求得比值，则焦点在x 轴上时，渐近线方程为b y x a=±，焦点在y 轴上时，渐近线方程为ay x b=±；（2）构造齐次式：利用已知条件结合222a b c =+，构建b a 的关系式（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可.16．3【分析】过作准线的垂线垂足分别为过作的垂线垂足为根据结合抛物线的定义可得据此求出再根据抛物线的定义可求出【详解】如图：过作准线的垂线垂足分别为过作的垂线垂足为因为所以因为所以所以所以在直角三角形中解析：3 【分析】过A 、B 作准线l 的垂线，垂足分别为,N M ，过F 作AN 的垂线，垂足为D ，根据2CB BF =结合抛物线的定义可得30DFA MCB ∠=∠=，据此求出||3AD =，再根据抛物线的定义可求出p . 【详解】如图：过A 、B 作准线l 的垂线，垂足分别为,N M ，过F 作AN 的垂线，垂足为D ，因为2CB BF =，所以||2||CB BF =，因为||||BF BM =，所以||2||CB BM =，所以30MCB ∠=，所以30DFA ∠=，在直角三角形ADF 中，因为||6AF =，所以||3AD =，因为||||6AN AF ==，且||||3AN AD p p =+=+，所以63p =+，所以3p =. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义求解是解题关键.17．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：32⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤ 所以离心率22213112c b e a a ⎫⎛==-≥-= ⎪⎝⎭3⎫∈⎪⎪⎣⎭e .故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．18．【分析】先求解出抛物线的的焦点则椭圆的右焦点可知再设出椭圆的方程并将方程中变形为的表示形式根据求解出的值则椭圆的短轴的大小可求【详解】因为抛物线的焦点为所以椭圆的右焦点为设椭圆方程所以所以椭圆方程为解析：【分析】先求解出抛物线的的焦点，则椭圆的右焦点可知，再设出椭圆的方程并将方程中2a 变形为21b +的表示形式，根据3AB =求解出2b 的值，则椭圆的短轴2b 的大小可求.【详解】因为抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0，所以椭圆的右焦点为()1,0，设椭圆方程()222210x y a b a b+=>>，所以221a b =+，所以椭圆方程为222211x y b b+=+，又抛物线的准线方程为1x =-，所以222111y b b ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以2y =又因为3AB =23=，所以23b =，所以2b =故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过抛物线的焦点化简椭圆的方程并结合弦AB 的长度进行相关计算，从而完成短轴长度的求解.19．【分析】设利用点差法得到即可求出离心率；【详解】解：设则由得从而有又所以又由从而得到所以所以故答案为：【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)常见有两种方解析：54【分析】设()()1122,,,M x y P x y 利用点差法得到22PM PN b k k a⋅=，即可求出离心率；【详解】解：设()()1122,,,M x y P x y ，则()()1111,,,N x y Q x y ---．由2516ME MQ =，得1117,8E x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而有11119,16MN PN EN y y k k k x x ===-，又1190,MN y NMP k x ∠==，所以11MP x k y =-，又由()()()()22112212121212222222221111x y a b x x x x y y y y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⇒+-=+-⎨⎪-=⎪⎩，从而得到22PM PNb k k a⋅=所以211211991616PM PN x y b k k y x a ⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪⎝⎭，所以54e ==．故答案为：54【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．20．2【分析】法1：首先利用直线过焦点得再利用直线与抛物线方程联立利用根与系数的关系表示计算求得；法2：由已知求得的值再利用弦长公式求的值【详解】法1：由题意知直线即直线经过抛物线的焦点即直线的方程为设解析：2 【分析】法1：首先利用直线过焦点，得b p =-，再利用直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示12AB x x p =++，计算求得p ；法2：由已知tan 2θ=，求得sin θ的值，再利用弦长公式22sin pAB θ=，求p 的值. 【详解】法1：由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-．∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y 、()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232p x x +=，又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =.法2：设直线的切斜角为θ，则tan 2k θ==，得sin θ=，∴22225sin p pAB θ===，得2p =.故答案为：2 【点睛】结论点睛：当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于,A B 两点，AB 称为焦点弦长，有如下的性质：直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，①221212,4p y y p x x =-=；②12AB x x p =++；③11AF BF +为定值2p ；④弦长22sin p AB θ= （θ为直线AB 的倾斜角）；⑤以AB 为直径的圆与准线相切；⑥焦点F 对,A B 在准线上射影的张角为90.三、解答题21．（1）2214x y +=；（2）861,540⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）本小题根据已知条件直接求出2a =，1b =，再求出椭圆方程即可.（2）本小题先设A 、B 两点，再将OA OB ⋅转化为只含m 的表达式，最后根据m 的范围确定OA OB ⋅的范围，即可解题. 【详解】解：（1）∵点2M ⎭在椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）上，∴222112a b+=，又∵24a =， ∴ 2a =，1b =.∴椭圆C 的方程：2214x y +=；（2）设点A 、B 的坐标为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OM 上，且12OM k =，则12122()x x y y +=+，又221112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，易知120x x -≠，120y y +≠，所以()1212121212y y x x x x y y -+=-=--+，则1AB k =-. 设AB 方程为y x m =-+，代入2214xy +=并整理得2258440x mx m -+-=.由216(5)0m ∆=->解得25m <，又由(12425x x m +=∈，则04m <<. 由韦达定理得1285m x x +=，2124(1)5m x x -⋅=，故OA OB ⋅1212x x y y =+()()1212x x x m x m =+-+-+ ()212122x x m x x m =-++ ()22281855m m m -=-+285m =-又∵. 04m <<∴OA OB ⋅的取值范围是861,540⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．（1）22143x y +=；（2）. 【分析】（1）由已知条件可得12c e a ==，将点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆的方程结合222a b c =+即可求得,,a b c 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设:1l x ty =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得关于y 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +，12y y ，利用122S S =可得122y y =-，即可解出k 的值，进而可求出直线l 的斜率. 【详解】（1）由题意可得：22222121914c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程为22143x y +=.（2）1(1,0)F -，显然l 与y 轴不垂直，故可设:1l x ty =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得22(34)690t y ty +--=，则122634t y y t +=+，122934y y t -=+，由122S S =得122y y =-，所以122262034ty y y t +=+=+，可得22634t y t -=+，由122934y y t -=+可得2229234y t --=+，消去2y 可得()222236923434t t t --⨯=++ ，整理可得：245t =t =:1l x y =-，所以直线l：)1y x =+，所以直线l的斜率为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由面积之比得出纵坐标122y y =-，联立直线与椭圆的方程消去x 可得关于y 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +，12y y ，可求t 的值，注意求直线的斜率.23．（1）24x y =；（2）1y =. 【分析】（1）求出抛物线E 的焦点坐标，将焦点坐标代入直线l 的方程，求出p 的值，即可求得抛物线E 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与抛物线E 的方程，求出点M 的坐标，求出点M 到CD 的距离以及CD ，可得出MCD △的面积的表达式，利用函数的单调性可求得MCD △面积的最小值，进而可求得对应的直线l 的方程. 【详解】（1）抛物线2:2E x py =的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭在:1l y kx =+上，12p ∴=，2p ∴=，所以，抛物线E 的方程为24x y =；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以，212121616044k x x k x x ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩，则AB 中点()22,21Mk k +，()21241AB x k =-==+，所以，以AB 为直径的圆M 的半径()221r k=+，M 到CD 的距离221d k=+，CD ==((221221212MCD S k k ∴=⨯⨯+=+△，令()20k t t =≥，则(21MCDSt =+[)0,+∞单调递增.当0t =时，即0k =时，MCD Sl 的方程为1y =.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．24．（1）22143x y +=；（2或【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可得出1F AB 的面积关于k 的等式，解出k 的值即可得解.【详解】解：（1）因为椭圆过()2222:10x y C a b a b+=>>点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，221914a b ∴+=.①又因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，②，由题意可得22191412a b c a c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得24a =，23b =.∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由22143y kx k x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=，则()2224310k ∆=⨯+>，且2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，112121212F ABSy y F F k x x k ∴=-⋅=⋅-=11k ===，即422523540k k --=，解得22k =或22725k =-（舍去），所以k =∴或.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）设211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到0OA OB ⋅=，从而得证；（2）对函数求导，利用导数的几何意义求出过点A 、B 的切线1l 、1l 的方程，即可得到12122y x x ==-，即可得证；【详解】解：（1）设211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把2y kx =+代入212y x =，得2240x kx --=. 由韦达定理得122x x k +=，124x x =-.()22211221212111,,0224OA OB x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以OA OB ⊥ （2）212y x =，y x '∴=，故经过点211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线1l 的方程为：()211112y x x x x -=-，即21112y x x x =-，①同理，经过点222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线2l 的方程为：22212y x x x =-，②21x x ⨯-⨯①②，得12122y x x ==-. 即点M 在直线:2l y =-上. 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．26．(1) 2214x y +=；(2) 2±【分析】(1)由焦点在圆上解得c =2a =，2221b a c =-=，方程可求；(2)因为FA 垂直于AB 可知点A 为椭圆与圆的交点，联立方程求得坐标，则直线斜率可求.【详解】解：（1）椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦点在圆223x y+=上，所以203c+=，即c=，因为cea==得2a=，2221b a c=-=，故椭圆方程为2214xy+=（2）因为FA垂直于AB ，即点A既在椭圆上又在以OF为直径的圆上，所以22221434xyx y⎧+=⎪⎪⎨⎛⎪-+=⎪⎝⎭⎩解得3xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以33A⎛±⎝⎭故AlAykx==所以直线l的斜率为2±.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于求出点A的坐标点.。

高二数学选修1-1圆锥曲线方程测试题及答案

解得a= ；c= ；所以b2=9；所求的椭圆方程为
同理；当焦点在y轴时；所求的椭圆方程为 .
18.解：设 =m；所以 =2m； =2c= m； - =2a=m
的渐近线方程为y= .
19.解：由题意可知；抛物线的焦点在x轴；又由于过点；所以可设其方程为
∴ =2所以所求的抛物线方程为
所以所求双曲线的一个焦点为（1；0）；所以c=1；所以；设所求的双曲线方程为而点在双曲线上；所以解得
9、已知椭圆x2sinα－y2cosα=1（0＜α＜2π）的焦点在x轴上；则α的取值范围是（）
（A）（；π）（B）（；）（C）（；π）（D）（；）
10、F1、F2是双曲线的两个焦点；点P在双曲线上且满足∣PF1∣·∣PF2∣=32；则∠F1PF2是（）
（A）钝角（B）直角（C）锐角（D）以上都有可能
11、与椭圆共焦点；且过点（－2；）的双曲线方程为（）
（A）（B）（C）（D）
12．若点到点的距离比它到直线的距离小1；则点的轨迹方程是（）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分；共16分.
13、已知双曲线的渐近线方程为y=± ；则此双曲线的离心率为________.
提示：设靠近A的长轴端点为M；另一长轴的端点为N.若小球沿AM方向运动；则路程应为2(a－c)；若小球沿ANM方向运动；则路程为2(a+c)；若小球不沿AM与AN方向运动；则路程应为4a.
三、解答题：本大题共6小题；共74分；解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤.
17.解：当焦点在x轴时；设椭圆方程为；由题意知a=2c；a-c=
6、若椭圆的焦点在x轴上；且离心率e= ；则m的值为（）

高二数学选修1-1《圆锥曲线》单元测试卷

A． x 2 y 2 1 9 16
x2
B．
y2
1
25 16
x2
C．
y2
1或 x2
y2
1
25 16
16 25
D．以上都不对
3.抛物线 y2 8x 的准线方程是（）
(A) x 2
(B) x 4
(C) y 2
(D) y 4
4.曲线 x2 y2 1(m 6) 与曲线 x2 y2 1(5 m 9) 的（）
10 m 6 m
5m 9m
(A)焦距相等
(B) 离心率相等
(C)焦点相同
(D)准线相同
5.已知
F1 ,
Hale Waihona Puke F2是椭圆x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0) 的两个焦点， AB 是过 F1 的弦，则 ABF2 的周长是
(
)
A. 2a
B. 4a
C. 8a
D. 2a 2b
6.一动圆与圆 x2 y2 1外切，同时与圆 x2 y2 6x 91 0 内切，则动圆的圆心在（）
F (
3,
0)
,右顶点为
D(2,
0)
,设点
A
1,
1 2
.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点 M 的轨迹方程；
第3页共4页
x2 20、（本大题满分 13 分）椭圆 a2
y2 b2
1(a, b 0) 的两个左右焦点为 F1、F2，点 P 在椭圆 C 上，
4
第4页共4页
13.直线 x＋2y－2＝0 经过椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于

(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)

一、选择题1．过双曲线22115y x -=的右支上一点P 分别向圆221:(4)4C x y ++=和222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M N 、，则22||||PM PN -的最小值为（） A ．10 B ．13 C ．16 D ．192．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F 、2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若218t t =，则Γ与Ω的离心率之比为（）A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．23．已知双曲线22221x y a b -=的两个焦点分别为21(,0)(,0)(0)F c F c c ->，过点2,0a P c ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且122F A F B=-，求双曲线的离心率（） A 2B 3 C 5D 64．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 于,A B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则AOB 的面积为（）A ．22B ．2C ．322D ．325．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上，且满足||||PA m PF =，则m 的最大值是（）A ．1B ．2C ．2D ．46．设1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点.若126PF PF a +=，且1223PF F S b =△，则双曲线C 的渐近线方程是（）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．320x y ±=D ．230x y ±=7．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若2ABF 为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A ．2±B ．3C ．6±D ．7± 8．设抛物线2:4(0)C x y p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,M N 两点，交l 于点P ，且PF FM =，则||MN =（）A ．2B ．83C ．5D ．1639．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．23⎛ ⎝⎭D ．32,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭10．已知直线:(1)(2)230l a x a y a +++--=经过定点P ，与抛物线24x y =交于,A B 两点，且点P 为弦AB 的中点，则直线l 的方程为（）A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y -+=D ．20x y +-=11．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆()22:21T x y -+=上的动点，则PFPQ 的最小值是（）A ．12B ．27C ．23D 12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆上，则双曲线的离心率的值为（）A ．1BC ．1+D 二、填空题13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是___________.(用区间表示)14．已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，C 的准线为l 且与x 轴相交于点B ，A 为C 上的一点，直线AO 与直线l 相交于E 点，若BOE BEF ∠=∠，6AF =，则C 的标准方程为_____________.15．在“中国花灯之乡”——广东省兴宁市，流传600多年的兴宁花灯历史文化积淀浓厚，集艺术性、观赏性、民俗性于一体，扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯，一大批中小学生花灯爱好者积极参与制作花灯．现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着其对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为A ，上顶点为B ，8AB =分米，在它的内部放有一个半径为1分米的球形灯泡，球心C 在轴AB 上，且2AC =分米．已知球形灯泡的球心C 到四周轮廓上的点的最短距离是在下顶点A 处取到，建立适当的坐标系可得其中一支抛物线的方程为2(0)y ax a =>，则实数a 的取值范围是_______16．已知点A ，B 为抛物线C ：24y x =上不同于原点O 的两点，且OA OB ⊥，则OAB 的面积的最小值为__________.17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 和双曲线C 的一条渐近线分别相交于P ，Q 两点（P ，Q 在同一象限内），若P 为线段QF 的中点，且3||PF =，则双曲线C 的标准方程为_________． 18．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥，1163F B =，124F F =，则截口BAC 所在椭圆的离心率为______.19．如果点12310,,,P P P P ，是抛物线22y x =上的点，它们的横坐标依次为12310,,,,x x x x ，F 是抛物线的焦点，若123105x x x x ++++=，则1210PF P F P F +++=___. 20．直线AB 过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点，且线段AB 的中点的横坐标是3，则直线AB 的斜率是_____________.三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，离心率22e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,3)M 的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点.①当直线OA ，OB 的斜率之和为34时(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k ； ②求MA MB ⋅的取值范围. 22．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到直线:l y x =的距离为2,2A B ，为抛物线C 上两个动点，满足线段AB 的中点M 在直线l 上，点(0,2)N .（1）求抛物线C 的方程；（2）求NAB △面积的取值范围.23．已知动圆M 过点1(2,0),F - 且动圆M 内切于定圆2F ：22(2)32,x y -+= 记动圆M 圆心的轨迹为曲线Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）若A 、B 是曲线Γ上两点，点20,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足20,PF PA PB ++= 求直线AB 的方程. 24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为M ，离心6，12MF F △2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F ，的直线l 交椭圆于A 、B 两点，当1ABF 面积最大时，求直线l 的方程.25．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且经过点3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）经过点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若OAB ，求直线l 的方程. 26．在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 到定点(1,0)F 的距离与到定直线:1l x =-的距离相等，记P 的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）过点F 的直线交曲线Γ于点A 、B （其中点A 在第一象限），交直线l 于点C ，且点F 是AC 的中点，求线段AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】解：圆221:(4)4C x y ++=的圆心为(4,0)-，半径为12r =；圆222:(4)1C x y -+=的圆心为(4,0)，半径为21r =，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=---22212(||2)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||)32(||||)322328313a PF PF PF PF c =+-=+-⨯-=⨯-=．当且仅当P 为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选：B ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力．2．A解析：A【分析】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，设光速为v ，推导出112a vt =，利用椭圆和双曲线的定义可得出1243a a =，由此可计算得出Γ与Ω的离心率之比.【详解】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，在图②中，1CDF 的周长为111212124CF DF CD CF CF DF DF a vt ++=+++==，所以，1148a vt =，可得112a vt =，在图①中，由双曲线的定义可得2122AF AF a -=，由椭圆的定义可得1212BF BF a +=，22AF BF AB =-，则2121111222AF AF BF AB AF a BF AB AF a -=--=---=，即()111222a AB AF BF a -++=，由题意可知，1ABF 的周长为111AB AF BF vt ++=，即112111322222a a a a vt a =-=-=，所以，124 3aa=.因此，Γ与Ω的离心率之比为122112:::3:4c ce e a aa a===.故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.3．B解析：B【分析】先根据题意画出图形，再根据122F A F B=-，得到21FAF B B P∽，根据相似比得到222a ac cc c⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭，即可求出离心率.【详解】解：如图所示：122F A F B=-，12//F A F B∴，12AF B BF P∴∽，且122F PF P=,即222a ac cc c⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭，两边同时除以a得2a c c ac a a c⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭，即122e e e e +=-，又1e >，解得：e =故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用三角形相似比得到,a c 的关系式，进而求得离心率. 4．C解析：C【分析】根据抛物线的定义和性质，可以求出A 的坐标，再求出直线AB 的方程，可求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到AOB 的面积．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-，不妨设A 在第一象限，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ， ||3AF =，所以A 到准线1x =-的距离为3，113x ∴+=，解得12x =，1y ∴=，∴直线AB的斜率为21=-∴直线AB的方程为1)y x =-，由241)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理可得22520x x -+=，解得12x =，212x =当212x =时，2y = 因此AOB 的面积为：121111||||||||112222AOB AOF BOF S S S OF y OF y =+=+=⨯⨯⨯．故选：C.【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 5．B解析：B【分析】由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，利用抛物线的定义可得1sin PAE m=∠，求出sin PAE ∠的最小值后可得m 的最大值. 【详解】由抛物线24x y =可得准线方程为：1y =-，故()0,1A -.如图，由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，则PE PF =，故1||||sin ||||PF PE PAE m PA PA ===∠，当直线AP 与抛物线相切时，PAE ∠最小，而当P 变化时，02PAE π<∠≤，故当直线AP 与抛物线相切时sin PAE ∠最小，设直线:1AP y kx =-，由241x y y kx ⎧=⎨=-⎩得到2440x kx -+=，216160k ∆=-=，故1k =或1k =-（舍），所以直线AP 与抛物线相切时4PAE π∠=，故1m 2即m 2，故选：B.【点睛】方法点睛：与抛物线焦点有关的最值问题，可利用抛物线的定义把到焦点的距离问题转化为到准线的距离问题.6．A解析：A【分析】利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得123F PF π∠=，利用双曲线的定义以及126PF PF a +=可求得14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理可得出ba的值，由此可求得双曲线C 的渐近线方程. 【详解】设12F PF θ∠=，由双曲线的定义可得122PF PF a -=，在12PF F △中，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即()()()22212121212222cos 421cos c PF PF PF PF PF PF a PF PF θθ=-+⋅-⋅=+⋅-，所以，222122221cos 1cos c a b PF PF θθ-⋅==--，1222221222sin cos1sin 22sin 21cos tan 112sin 22PF F b b b S PF PF θθθθθθθ⋅=⋅====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭△，tan2θ∴=0θπ<<，可得022θπ<<，26θπ∴=，所以，3πθ=，由已知可得121226PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1242PF aPF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即222221416416122c a a a a =+-⨯=，则223c a =，即2223a b a +=，b ∴=，因此，双曲线C的渐近线方程为by x a=±=0y ±=. 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）转化已知条件，得到a 、b 、c 中任意两个量的等量关系；（2）若得到a 、b 的等量关系，则渐近线方程可得；若已知a 、c 或b 、c 之间的等量关系，结合222+=a b c 可求得ba的值，则渐近线方程可求. 7．C解析：C 【分析】利用双曲线的定义可求得12AF a =，24AF a =，利用余弦定理可求得ca的值，利用公式21⎛⎫=- ⎪⎝⎭b c a a 可求得该双曲线的渐近线的斜率. 【详解】2ABF 为等边三角形，22AB AF BF ∴==，且260ABF ∠=︒，由双曲线的定义可得121212||BF AB AF a B AF F BF =+-==-，212AF AF a -=，24AF a ∴=，在12AF F △中12AF a =，24AF a =，12120F AF ∠=，由余弦定理可得2212121222cos12027F F c AF AF AF AF a ==+-⋅︒=，即7c a =，所以22222216b b c a c a a a a -⎛⎫===-= ⎪⎝⎭．因此，该双曲线的渐近线的斜率为6±．故选：C.【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）定义法：直接利用a ，b ，求得比值，则焦点在x 轴时渐近线by x a=±，焦点在y 轴时渐近线ay x b=±；（2）构造齐次式，利用已知条件，结合222+=a b c ，构建b a 的关系式（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可.8．D解析：D 【分析】由题意作出MD 垂直于准线l ，然后得2PM MD =，得30∠=︒DPM ，写出直线方程，联立方程组，得关于y 的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算. 【详解】如图，过点M 做MD 垂直于准线l ，由抛物线定义得MF MD =，因为PF FM =，所以2PM MD =，所以30∠=︒DPM ，则直线MN 方程为3(1)x y =-，联立23(1)4x y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去x 得，231030y y -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，所以121210,13y y y y +==，得121016||2233MN y y =++=+=. 故选：D.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||=++AB x x p 或12||=++AB y y p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．9．B解析：B 【分析】由题意设椭圆的左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形，再根据椭圆的定义化简得22cos 2sin a c c ＝＋αα，得到离心率关于α的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围. 【详解】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α，所以22cos 2sin a c c αα+＝，利用2112sin cos 24c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<，216224πα<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭e 的取值范围是2623⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故选B . 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到22cos 2sin a c c ＝＋αα,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．B解析：B 【分析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程. 【详解】由直线:(1)(2)230l a x a y a +++--=得(2)(23)0a x y x y +-++-=所以20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩ 解得11x y =⎧⎨=⎩则()1,1P 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21122244x y x y ⎧=⎨=⎩，两式相减得121212()()4()x x x x y y -+=-，即121212142AB y y x x k x x -+===-，则直线方程为11(x 1)2y -=-，即210x y -+=. 故选：B. 【点睛】方法点晴：点差法是求解中点弦有关问题的常用方法.11．B解析：B 【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PF PQ的最小值.【详解】如下图所示：在椭圆22:11612x y C +=中，4a =，23b =222c a b -，圆心()2,0T 为椭圆C 的右焦点，由椭圆定义可得28PF PT a +==，8PF PT ∴=-，由椭圆的几何性质可得a c PT a c -≤≤+，即26PT ≤≤，由圆的几何性质可得1PQ PT QT PT ≤+=+，所以，899211111617PF PF PT PQPT PT PT -≥==-≥-=++++. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应圆锥曲线的定义，本题中注意到2PF PT a +=，进而可将PF 用PT 表示；（2）利用圆的几何性质得出PT r PQ PT r -≤≤+，可求得PQ 的取值范围；（3）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围：a c PT a c -≤≤+.12．A解析：A 【分析】先由题意求出以AB 为直径的圆的半径为2b r a=和圆心坐标得到圆的方程，然后代入左焦点坐标，利用222c a b =+化简后可得答案. 【详解】将x c =代入22221x y a b-=可得2by a =±，所以以AB 为直径的圆的半径为2b r a=，圆心为(),0c ，圆的方程为()4222ab xc y -+=，左焦点为(),0c -，因为双曲线的左焦点在圆上，所以()2240b c ac +--=，整理得242460a c c c +=-，即42610e e -+=，解得23e =+23e =-所以1e = 故选：A . 【点睛】关键点点睛：本题考查直线和双曲线的位置关系、点和圆的位置关系，关键点是先求出以AB 为直径的圆的半径，再根据双曲线的左焦点在圆上，得到所要求的,,a b c 等量关系即可，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．二、填空题13．【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系再利用求得离心率范围即可【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点且一条渐近线的斜率为若斜率为的直线与双曲线的左右两支分别相交则则离心率故答案解析：)+∞【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系，再利用e =求得离心率范围即可. 【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，且一条渐近线的斜率为b a，若斜率为3的直线与双曲线的左右两支分别相交，则3ba>，则离心率c e a ===>.故答案为：)+∞.【点睛】求双曲线离心率常见方法：（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率ce a=；（2）构建齐次式：利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b c a =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.14．【分析】推导出求出可得出直线的方程联立直线与抛物线的方程求出点的坐标利用抛物线的定义求出的值即可得出抛物线的标准方程【详解】因为即所以则直线的方程为联立直线与抛物线方程解得所以解得因此抛物线标准方程解析：28y x =【分析】推导出OBE EBF △△，求出tan BOE ∠，可得出直线AO 的方程，联立直线AO 与抛物线C 的方程，求出点A 的坐标，利用抛物线的定义求出p 的值，即可得出抛物线C 的标准方程. 【详解】因为BOE BEF ∠=∠，90OBE EBF ∠=∠=，OBEEBF ∴△△，OB BEBE BF ∴=，即2222p p BE OB BF p =⋅=⨯=，BE p ∴=，所以tan 2BEBOE OB∠==AO 的方程为2y x =，联立直线OA 与抛物线方程222y xy px⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解得()2A p ，所以3622p pAF p =+==，解得4p =，因此，抛物线标准方程为28y x =. 故答案为：28y x =. 【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法与待定系数法：（1）若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p ），那么只需求出p 即可；（2）若题目未给出抛物线的方程：①对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20y ax a =≠的正负由题设来定；②对于焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20x ay a =≠，这样就减少了不必要的讨论.15．【分析】设出抛物线上任意一点的坐标根据两点间的距离公式求得球心到四周轮廓上的点的距离根据最短距离是在下顶点处取到结合二次函数的性质求得的取值范围【详解】建立如图所示直角坐标系其中为坐标原点得抛物线方解析：10,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】设出抛物线上任意一点的坐标，根据两点间的距离公式求得球心C 到四周轮廓上的点的距离，根据最短距离是在下顶点A 处取到，结合二次函数的性质，求得a 的取值范围.【详解】建立如图所示直角坐标系，其中A 为坐标原点，得抛物线方程2(0)y axa =>，(0,2)C ，设抛物线上任一点的坐标为200(,)x ax ，由两点距离公式得()22224200002(14)4=+-=+-+d x ax a x a x ，令20(0)=≥t x t ，则22(14)4(0)=+-+≥y a t a t t 的开口向上，对称轴为2412-=a t a ，当对称轴24102a a -≤时，在0t =处取得最小值，此时d 的最小值为4=2=d ，当对称轴24102a a ->时，最小值在对称轴处取得，即d 的最小值小于2，不符合题意. 故由24102a a -≤，解得10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故答案为：10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】关于平面图形或者空间几何体中一些边长或者距离的最值计算一般转化为函数问题，可以通过二次函数、反比例函数的性质求解最值，或者有时可以利用基本不等式，较难的问题则需要通过导数判断单调性从而求出最值.16．【分析】设利用可得即可求得利用两点间距离公式求出面积利用基本不等式即可求最值【详解】设由可得解得：所以当且仅当时等号成立所以的面积的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设坐标采用解析：16【分析】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用OA OB ⊥可得0OA OB ⋅=即可求得1216y y =-，利用两点间距离公式求出OA 、OB ，面积12OABS OA OB =，利用基本不等式即可求最值. 【详解】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由OA OB ⊥可得2212121212104416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⋅=⨯+=+= ⎪⎝⎭，解得：1216y y =-，1OA y ==OB y ==11122OABSO y O y A B ==12⨯=≥=，22221212216161616y y y y +=+≥=，所以16OABS≥==，当且仅当12y y =时等号成立，所以OAB 的面积的最小值为16，故答案为：16. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设A ，B 坐标，采用设而不求的方法，将OA OB ⊥转化为0OA OB ⋅=，求出参数之间的关系，再利用基本不等式求12OABSOA OB =的最值. 17．【分析】根据题意结合双曲线性质可知结合整理求得结果【详解】根据题意可知因为P 为线段QF 的中点所以又因为联立解得所以双曲线C 的标准方程为：故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问解析：2213x y -=【分析】根据题意，结合双曲线性质，可知22bc b a a =，23b a =，结合222c a b =+，整理求得结果. 【详解】根据题意，可知23b PF a ==，因为P 为线段QF 的中点，所以2QF PF =，又因为bcQF a =，联立222222b abc b a a c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ==，所以双曲线C 的标准方程为：2213x y -=.故答案为：2213x y -=.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问题，解题思路如下：（1）根据题意，明确量之间的关系；（2）利用题中条件，建立关于,,a b c 之间的关系，结合222c a b =+，求得,a b 的值，得到结果.18．【分析】取焦点在轴建立平面直角坐标系由题意及椭圆性质有为椭圆通径得结合及解出代入离心率公式计算即可【详解】解：取焦点在轴建立平面直角坐标系由及椭圆性质可得为椭圆通径所以又解得所以截口所在椭圆的离心率解析：13【分析】取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有BC 为椭圆通径，得2163b a =，结合24c =及222a b c =+解出,,a b c 代入离心率公式计算即可.【详解】解：取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由12BC F F ⊥及椭圆性质可得，BC 为椭圆通径，所以21163b F B a ==，1224F Fc ==又222a b c =+，解得6,2,a c b ===所以截口BAC 所在椭圆的离心率为13故答案为：13【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：（1）求,,a b c 的值，由22222221c a b b a a a-==-直接求e ；（2）列出含有,,a b c 的齐次方程(或不等式)，借助于222a b c =+消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．19．10【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离把整体代入中即可求解【详解】解：由抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离在中所以故答案为：10【点睛】关键点点睛：利用抛物线的焦半径公式整体代入中是解决本题解析：10 【分析】利用抛物线()220y px p =>上的点()000,P x y 到焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离002p P F x =+，把123105x x x x ++++=整体代入1210PF P F P F +++中即可求解.【详解】解：由抛物线的定义可知，抛物线()220y px p =>上的点()000,P x y 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离002p P F x =+，在22y x =中，1p =，所以12121031055510PF P F P F x x x x p +++=+++++=+=.故答案为：10 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的焦半径公式整体代入1210PF P F P F +++中是解决本题的关键.20．1或【分析】根据抛物线方程得到设直线方程为与抛物线方程联立得：再根据线段的中点的横坐标为3求得即可得到直线斜率【详解】因为直线AB 过抛物线的焦点F 且与抛物线交于AB 两点所以斜率不为0设直线AB 方程为解析：1或1- 【分析】根据抛物线方程，得到()1,0F ，设直线方程为1x my =+，与抛物线方程联立得：2440y my --=，再根据线段AB 的中点的横坐标为3，126x x +=，求得m ，即可得到直线斜率. 【详解】因为直线AB 过抛物线24y x =的焦点F (1,0)且与抛物线交于A 、B 两点，所以斜率不为0，设直线AB 方程为1x my =+，与抛物线方程联立得：2440y my --=，由韦达定理得：12124,4y y m y y +=⋅=-，所以()21212424223x x m y y m +=++=+=⨯，解得1m =±所以直线的方程为1x y =±+，所以1AB k =±. 故答案为：1或1-三、解答题21．（1）2212x y +=；（2）①3k =-；②808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）把点代入方程结合离心率列方程组求解即可；（2）①设直线l 方程为，代入椭圆E 的方程可得，结合判别式与韦达定理，利用直线OA ，OB 的斜率之和为34进而求出直线斜率即可；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，求得8MA MA ⋅=，当直线l 的斜率存在时，由（2）①得28821MA MB k ⋅=++，从而求得范围．【详解】解：（1）由题意得222221,2c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得222a c =，22b c =.设椭圆E 的方程为222212x y c c +=，又因为点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上，所以222211122c c+=，22222,1c a b ===，所以椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）①设直线l 方程为：3y kx =+，代入椭圆E 的方程可得，()222112160kx kx +++=因为直线l 与椭圆E 有两个交点，所以216640∆=->k ，即24k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221221k x x k +=-+，1221621x x k ⋅=+， 11223,3y kx y kx =+=+.又()1212121233244OA OB x x y y k k k k x x x x ++=+=+=-=⋅ 解得3k =-，经检验成立.所以，直线l 的斜率3k =-； ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，将0x =代入2212x y +=，解得1y =±，则(0,1)A ，(0,1)B -，8MA MA ⋅=当直线l 的斜率存在时，由（2）①得()()()()22121212216133121k MA MA x x y y k x x k +⋅=⋅+--=+⋅=+()2228211882121k k k ⎡⎤++⎣⎦==+++因为24k >，所以MA MA ⋅的范围为808,9⎛⎫⎪⎝⎭．综上，得MA MB ⋅的取值范围是808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22．（1）24y x =；（2）(0,4]. 【分析】（1）利用抛物线焦点F 到直线l的距离为2，求出抛物线方程；（2）设出直线AB 的方程与抛物线方程联立，由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法得出NAB △面积的取值范围．【详解】（1）,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭由2pd==，解得2p=所以抛物线方程为24y x=（2）设直线AB的方程为：221212,,,,44y yx my t A y B y⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立方程组24y xx my t⎧=⎨=+⎩，消去x得2440y my t--=所以121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩，得(2,2)M m m有2212444y ym+=，即()21212216y y y y m+-=所以222t m m=-点N到AB的距离h=||AB==所以1||2|2|2NABS AB h m t=⋅⋅=+42m m=-令u=u=由24y xy x=⎧⎨=⎩，得l与抛物线的两交点坐标为(0,0),(4,4)，因点M在l上可得(0,2)m∈所以(0,1]μ∈得34(0,4]NABS u=∈【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查面积公式，解决本题的关键点是由弦长公式和点线距公式表示出NAB△的面积，并由线段AB的中点M 在直线l上减少参数，利用换元法和函数的性质得出NAB△的面积的取值范围，考查了学生计算能力，属于中档题．23．（1）22184x y+=；（2）230x y-+=.【分析】（1）根据两圆内切，以及圆过定点1(2,0),F -列式求轨迹方程；（2）利用重心坐标公式可知122x x +=-，122y y +=，再设直线AB 的方程为,y kx m =+与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解直线方程. 【详解】（1）由已知可得12MF rMF r⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式相加可得12124,MF MF F F +=>= 则点M的轨迹是以1F 、2F 为焦点，长轴长为2,a c == 因此曲线Γ的方程是22 1.84y x +=(2)因为20PF PA PB ++=，则点20,3P ⎛⎫⎪⎝⎭是2F AB 的重心，易得直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+，121212122020,,2,2333x x y y x x y y ++++∴==∴+=-+= 联立 22,184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消 y 得： ()222214280k x kmx m +++-= ()()()2222222216421288840,840k m k m k m k m ∴∆=-+-=-+>∴-+>且 1224221kmx x k -+==-+① ()1211122222y y kx m kx m k x x m k m ∴+=+++=++=-+=②由①②解得 13,,22k m == 则直线AB 的方程为 13,22y x =+ 即 230.x y -+=【点睛】本题考查直线与椭圆的问题关系，本题的关键是根据20,PF PA PB ++=求得122x x +=-，122y y +=.24．（1）2213x y +=；（2）0x y -=或0x y +=.【分析】（1）由离心率、面积和222a b c =+可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y，:l x ty =+11212AF BF F AF F BSSS=+，结合基本不等式，可得答案.【详解】（1）∵3c e a ==，12MF F S bc ==△222a b c =+，解得a =1b =，c =C 的方程为：2213x y +=.（2）()1F，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，已知直线l 的斜率不为0，设直线l：x ty =+2213x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22310t y ++-=，故1223y y t +=-+，12213y y t =-+，1212121212F F A F F BSSF F y y+=-=因为2312t =≤+=，即1t =±时等号成立，所以直线l 的方程为0x y --=或0x y +=. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了三角形的面积公式，关键点是利用韦达定理表示1212F F AF F BSS+并利用基本不等式求最值，考查了直线与椭圆的位置关系和计算能力.25．（1）22132x y +=；（2）22y x =±+或2y =+.【分析】（1）由离心率公式、将点32⎛⎝⎭代入椭圆方程得出椭圆C 的方程；（2）联立椭圆和直线l 的方程，由判别式得出k 的范围，再由韦达定理结合三角形面积公式得出22317S k ==+，求出k 的值得出直线l 的方程. 【详解】解：（1，所以2222133b a ⎛=-= ⎝⎭.① 又因为椭圆经过点3,22⎛ ⎝⎭，所以有2291142a b +=.② 联立①②可得，23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y +=.。

(好题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(答案解析)

一、选择题1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>:相交于B 、D 两点，且BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（）A ．2B C ．3 D 2．设O 为坐标原点，1F ，2F 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在椭圆上存在点P 满足123F PF π∠=，且OP ，则该椭圆的离心率为（）A ．12B ．14C D ．23．设1F ，2F 是双曲线C ：22111y x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点M 在C 上且OM =12MF F △的面积是（）A ．10B ．11C ．12D ．134．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2223x y -+=截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．3B ．2C D5．直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（）个A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于,A B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若AB =，则直线l 的倾斜角为（） A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒7．如图，已知曲线2yx 上有定点A ，其横坐标为()0a a >，AC 垂直于x 轴于点C ，M 是弧OA 上的任意一点（含端点），MD 垂直于x 轴于点D ，ME AC ⊥于点E ，OE 与MD 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（）A ．()310y x x a a=≤≤ B ．()31022ay x x x a a =+≤≤ C ．()220y x ax x a =-≤≤D ．()2022a ay x x x a =+≤≤ 8．已知F 是抛物线2:4E y x =的焦点，若直线l 过点F ，且与抛物线E 交于B ，C 两点，以BC 为直径作圆，圆心为A ，设圆A 与y 轴交于点M ，N ，则MAN ∠的取值范围是（） A ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（） A ．12y x =±B ．y x =±C ．32y x =±D ．52y x =±10．在平面直角坐标系中，双曲线C 的标准方程为2221(0)4x y t t t-=>+，则双曲线的离心率取得最大值时，双曲线的渐近线方程为（） A ．2y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．13y x =±11．已知过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线FT ，交双曲线右支于点P ，点P 到x 轴的距离恰好为34b ，则双曲线离心率为（）A ．273+ B ．273+ C ．53D ．212．已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线222:126x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是（）A ．2833y x =B ．233y x =C ．28x y =D ．216x y =二、填空题13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=平行，则双曲线的离心率为___________.14．设F 是抛物线2:2C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上两个不同的点，若直线AB 恰好经过焦点F ，则4AF BF +的最小值为_______．15．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是___________.(用区间表示)16．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.17．设点P 是抛物线2:4C y x =上一动点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，则OPPF的最大值为___________.18．已知椭圆T 的中心在坐标原点，左､右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，(4,3)M 是椭圆上一点，且1MF ，12F F ，2MF 成等差数列，椭圆T 的标准方程________.19．在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线的右支上存在一点P ，使得△OPF 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为__________.20．设A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点，F 是右焦点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，过点B 作x 轴的垂线与直线MA 交于点P ，若直线OP 与BM 的斜率之积为4，则双曲线的离心率为_________．三、解答题21．已知P 是圆224x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，点M 满足12DM DP =．当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）设()2,0A -，()2,0B ，Q 是曲线Γ上不同于A 、B 的任意一点．求证：直线QA 、QB 的斜率之积为定值．22．过点()2,0D 的任一直线l 与抛物线C ：22y px =(0p >)交于两点A ，B ，且4OA OB ⋅=-.（1）求p 的值；（2）若点E 的坐标为()2,1-，当EA EB ⋅最小时，求直线l 的方程.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为M ，离心6，12MF F△2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F ，的直线l 交椭圆于A 、B 两点，当1ABF 面积最大时，求直线l 的方程. 24．已知四点1234221,,1,,(1,1),(0,1)22P P P P ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭中恰有三点在椭圆2222:1x y C a b+=上，其中0a b >>．（1）求,a b 的值；（2）若直线l 过定点(2,0)M 且与椭圆C 交于,A B 两点（l 与x 轴不重合），点B 关于x轴的对称点为点D ．探究：直线AD 是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．25．已知椭圆()2222:10x y C a ba b+=>>的离心率为12，且点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程;（2）设点B 为椭圆的右顶点，直线AB 与y 轴交于点,M 过点M 作直线与椭圆交于,P Q 两点，若6MB MP MA MQ ⋅=⋅，求直线PQ 的斜率.26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点421,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，离心率为53.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与圆22:1O x y +=相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，Q 为椭圆C 上一个动点(点O ，Q 分别位于直线l 两侧)，求四边形OMQN 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率【详解】设()()1122,,B x y D x y 、,则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得：22221212220x x y y a b ---=，整理得：()()()()2121221212y y y y b a x x x x +-=+-BD 的中点为(1,3)M ，且直线l 的斜率为16 ，代入有：22611262b a =⨯=即22212c a a -=，解得62cea . 故选：D 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．2．A解析：A 【分析】根据中线向量可得()1212PO PF PF =+，平方后结合椭圆的定义可得212PF PF a ⋅=，在焦点三角形中再利用余弦定理可得224c a =，从而可求离心率. 【详解】因为O 为12F F 的中点，故()1212PO PF PF =+，所以()2221212124PO PF PF PF PF =++⋅，故22212123112442a PF PF PF PF ⎛⎫=++⋅⋅ ⎪⎝⎭，故()2222121212123a PF PF PF PF PF PF PF PF =++⋅=+-⋅，所以212PF PF a ⋅=，又22212121422c PF PF PF PF =+-⋅⋅，故()2222212124343c PF PF PF PF a a a =+-⋅=-=，故12e =. 故选：A. 【点睛】方法点睛：与焦点三角形有关的计算问题，注意利用椭圆的定义来转化，还要注意利用余弦定理和向量的有关方法来计算长度、角度等.3．B解析：B 【分析】由12F F M △是以M 为直角直角三角形得到2212||||48MF MF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2MF MF -=，联立即可得到12||||MFMF ，代入12F F M S =△121||||2MF MF 中计算即可. 【详解】由22111y x -=可知1,a c ==不妨设12(F F -，因为1212OM F F ==，所以点M 在以12F F 为直径的圆上，即12F F M △是以M 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||MF MF F F +=，即2212||||48MF MF +=，又12||||22MF MF a -==，所以2124||||MF MF =-=2212||||2MF MF +-12||||482MF MF =-12||||MF MF ，解得12||||22MF MF =，所以12F F M S =△121||||112MF MF = 故选：B 【点晴】关键点点睛：根据OM =12MF F △为直角三角形是解题的关键，再结合双曲线的定义及勾股定理，即可计算焦点三角形面积，是一道中档题.4．D解析：D 【分析】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k 的值，再利用e =可求得双曲线C 的离心率e 的值. 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a=±，圆()2223x y -+=的圆心坐标为()2,0，半径为r =圆心到直线y kx =的距离为d =另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理，可得d ===，解得1k =±，1ba∴=，因此，双曲线C的离心率为c e a ===== 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．D解析：D 【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解. 【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩，解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=. 综上所述，k 的取值有4个. 故选：D.方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．6．D解析：D 【分析】设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，12AB x x p =++，求出AB 中点N 的坐标，写出MN的方程，由MN =MN ，然后由己知条件可求得斜率k ，得倾斜角．【详解】由题意(,0)2p F ，设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，由22()2y pxp y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得22222(2)04k p k x p k x -++=， 2122(2)p k x x k++=，2124p x x =， 221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k， 2122(2)22N x x p k x k ++==，22()22N N p p y k x k =-=，即222(2)2,22p k p N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，直线MN 的方程为1()N N y y x x k-=--，MN ==23(12p k k +=，∵AB =，∴22232(1)(12p k p k k k++=，整理得23k =，∵0k >，∴k =∴倾斜角为60︒．故选：D ．本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，求得中点坐标及焦点弦长，写出直线l 垂线方程，求得MN ，然后由已知条件求得结论．7．A解析：A 【分析】设点(),P x y ，求出点M 、E 的坐标，利用O 、P 、E 三点共线可得出//OP OE 可求得点P 的轨迹方程. 【详解】设点(),P x y ，其中0x a ≤≤，则点()2,M x x，ME 与直线x a =垂直，则点()2,E a x ，因为O 、P 、E 三点共线，则//OP OE ，可得3ay x =，31y x a∴=，因此，点P 的轨迹方程是()310y x x a a=≤≤. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.8．B解析：B 【分析】设设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y ，直线l ：()1y k x =-与 2:4E y x =联立可得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理计算12x x +，12x x ，再求以BC 为直径作圆的半径12r BC =，求出圆心A 点横坐标，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，由圆的性质可得0cos x MAD r∠=并求出其范围，进而可得MAD ∠的范围，再讨论斜率不存在时MAD ∠的值，即可求解. 【详解】由抛物线2:4E y x =可知，焦点()1,0F ，设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y 设直线l ：()1y k x =-代入2:4E y x =可得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k++= ，121=x x ()()22222121212241612444k k x x x x x x k k +⎛⎫+-=+-=-= ⎪⎝⎭， ()()()2222212416111k BC kx xk k+=+-=+⨯，所以()2241k BC k +=，以BC 为直径作圆的半径()222112k r BC k+==，圆心为BC 的中点()20122122k x x x k+=+=，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，则()()()22202222221111cos 1222212121k x k k MAD r k k k k ++∠====+<+=+++ 且1cos 2MAD ∠>，所以03MAD π<∠<，当k 不存在时，1,2x y ==±，此时2r ，01x =，1cos 2MAD ∠=，3MAD π∠=，所以03MAD π<∠≤可得203MAN π<∠≤，所以MAN ∠的取值范围是20,3π⎛⎤⎥⎝⎦故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出12MAN ∠的范围，进而可计算MAN ∠的范围.9．D解析：D 【分析】设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由by x a=±可得渐近线方程. 【详解】设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+，所以124P PF PQ PQ F +++=，当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小，()2mi 2n 1PFPQ EF =-+，所以2418EF +-=，解得25EF =，设()2,0F c ()0c >5=，解得3c =，因为2a =，所以b =，所以双曲线的渐进线为：b y x x a =±=，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()2mi 2n1PF PQEF =-+求出25EF =.10．C解析：C 【分析】依题意可得c e a ==t ，从而求出双曲线方程，即可求出渐近线；【详解】解：因为0t >，依题意可得双曲线2221(0)4x y t t t-=>+的离心率2c e a ====≤=当且仅当4t t=即2t =时，等号成立，此时离心率最大，故双曲线的标准方程为22182y x -=，所以双曲线的渐近线方程为y x =，即12y x =±故选：C 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．11．A解析：A 【分析】由P 点到x 轴距离（即纵坐标）求出其横坐标，写出直线FP 的方程，然后由原点到切线的距离等于半径可得,,a b c 的等式，变形后可得离心率．【详解】如图P 在第一象限，因为点P 到x 轴的距离恰好为34b ，即34P y b =，代入双曲线方程得229116P x a -=，解得54P x a =，所以53,44P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (,0)F c -，直线FP 方程为34()54b y xc a c =++，化简得3(54)30bx a c y bc -++=，又直线FP 与圆222x y a +=相切，a =，345bc a a c=+人，变形为4293440160e e e ---=，22(342)(348)0e e e e ++--=，因为1e >，所以23420e e ++>，所以23480e e --=，23e +=（23-去）．故选：A ．【点睛】思路点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的齐次等式，本题中由点P 到x 轴的距离恰好为34b ，得出P 点坐标，从而可得直线FP 方程，由圆心到切线的距离等于半径可得所要关系式，从而转化为离心率e 的方程，解之可得．12．D解析：D 【分析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的p ，则抛物线方程可求. 【详解】双曲线2C 的渐近线方程是22026x y -=，即y =.因为抛物线的焦点()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭0y -=的距离为2，2=，即8p =，所以1C 的标准方程是216x y =，故选：D ．【点睛】方法点睛：求解双曲线方程的渐近线方程的技巧：已知双曲线方程22221x y a b-=或22221y x a b -=，求解其渐近线方程只需要将方程中的“1”变为“0”，由此得到的y 关于x 的一次方程即为渐近线方程. 二、填空题13．【分析】由双曲线的一条渐近线与直线平行求得进而求得双曲线的离心率得到答案【详解】由题意双曲线的渐近线方程为因为双曲线的一条渐近线与直线平行可得即则故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其【分析】由双曲线的一条渐近线与直线210x y +-=平行，求得12b a =，进而求得双曲线的离心率，得到答案. 【详解】由题意，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，因为双曲线的一条渐近线与直线210x y +-=平行，可得12b a -=-，即12b a =，则2c e a ===.. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14．【分析】设点设直线的方程为联立直线与抛物线的方程列出韦达定理推导出利用基本不等式可求得的最小值【详解】若直线与轴重合则直线与抛物线只有一个交点不合乎题意易知抛物线的焦点为准线方程为设点设直线的方程为解析：92【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立直线AB 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，推导出112AF BF+=，利用基本不等式可求得4AF BF +的最小值. 【详解】若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意. 易知抛物线C 的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得2210y my --=，2440m ∆=+>，由韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，()()()12121212211111*********m y y AF BF my my my my x x +++=+=+=++++++()()21222212122222121m y y m m y y m y y m m +++===+++-++， ()4111144522AF BF AF BF AF BF AF BF BF AF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝，当且仅当2AF BF =时，等号成立，因此，4AF BF +的最小值为92.故答案为：92. 【点睛】结论点睛：过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，则112AF BF p+=. 15．【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系再利用求得离心率范围即可【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点且一条渐近线的斜率为若斜率为的直线与双曲线的左右两支分别相交则则离心率故答案解析：)+∞【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系，再利用e =求得离心率范围即可. 【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，且一条渐近线的斜率为b a，若斜率为3的直线与双曲线的左右两支分别相交，则3ba>，则离心率c e a ===>.故答案为：)+∞.【点睛】求双曲线离心率常见方法：（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率ce a=；（2）构建齐次式：利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b c a =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.16．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：2⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤所以离心率c e a ==≥=⎫∈⎪⎪⎣⎭e .故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．17．【分析】设点则则可得出令利用二次函数的基本性质求出二次函数的最大值即可得出的最大值【详解】设点则则抛物线的准线方程为由抛物线的定义可得所以令当且仅当时函数取得最大值因此的最大值为故答案为：【点睛】方【分析】设点(),P x y ，则24y x =，则0x ≥，可得出OP PF=(]10,11t x =∈+，利用二次函数的基本性质求出二次函数2321y t t =-++的最大值，即可得出OP PF的最大值.【详解】设点(),P x y ，则24y x =，则0x ≥，抛物线C 的准线方程为1x =-，由抛物线的定义可得1PF x =+，所以，OPPF ==== 0x ≥，令(]10,11t x =∈+，221443213333y t t t ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当13t =时，函数2321y t t =-++取得最大值43，因此，OP PF. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．18．【分析】根据题意结合椭圆定义可得设代解得代回方程即可【详解】解：因为是椭圆上一点且成等差数列所以所以故椭圆方程可设为代解得所以椭圆方程为故答案为：【点睛】椭圆几何性质的应用技巧：（1）与椭圆的几何性解析：2212015x y += 【分析】根据题意结合椭圆定义可得2a c =，设2222143x y c c+=代(4,M 解得25c =代回方程即可. 【详解】解：因为M 是椭圆上一点，且1MF ，12F F ，2MF 成等差数列所以2121224MF a MF F F c ===+，所以2a c =，b =故椭圆方程可设为2222143x y c c +=代(4,M 解得25c =所以椭圆方程为2212015x y +=故答案为：2212015x y +=【点睛】椭圆几何性质的应用技巧：（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形；（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如：,,01a x a b y b e -≤≤-≤≤<<，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系.19．(或)【分析】先根据的形状先确定出点坐标然后将点坐标代入双曲线方程根据的齐次式求解出离心率的值【详解】因为是以为直角顶点的等腰直角三角形不妨假设在第一象限所以所以所以所以所以所以所以所以又因为所以故或2【分析】先根据OPF △的形状先确定出P 点坐标，然后将P 点坐标代入双曲线方程，根据,a c 的齐次式求解出离心率的值. 【详解】因为OPF △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，不妨假设P 在第一象限，所以122P P F c x y x ===，所以,22c c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2222144c c a b-=，所以2222224c b c a a b -=，所以()()222222224cca c a a c a --=-，所以4224640c a c a -+=，所以42640e e -+=，所以23e ==又因为1e >，所以e ===，. 【点睛】思路点睛：利用齐次式求解椭圆或双曲线的离心率的一般步骤：（1）根据已知条件，先得到关于,,a b c 的方程；（2）结合222a b c =+或222c a b =+将方程中的b 替换为,a c 的形式；（3）方程的左右两边同除以a 的对应次方，由此得到关于离心率e 的方程，从而求解出离心率e 的值.20．【分析】设代入双曲线方程变形为再根据MPA 共线利用斜率相等求得点P 然后再直线与的斜率之积为4得到ab 的关系求解【详解】设则即设又且MPA 共线所以解得则的斜率为的斜率为又直线与的斜率之积为4所以即所以【分析】设(),M m n ，代入双曲线方程变形为22222n b m a a=-，再根据M ，P ，A 共线，利用斜率相等，求得点P ，然后再直线OP 与BM 的斜率之积为4，得到a ，b 的关系求解. 【详解】设(),M m n ，则22221m n a b -=，即22222n b m a a =-，设(),P a t ，又(),0A a -，且M ，P ，A 共线，所以2n tm a a=+，解得2ant m a=+，则OP 的斜率为2nm a+， BM 的斜率为nm a-，又直线OP 与BM 的斜率之积为4，所以22222224a n b m a ==-，即222b a=，所以c e a ===【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法以及点的双曲线上和斜率公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）令()00,P x y ，(),M x y ，则()0,0D x ，由已知条件，结合向量的坐标表示有002x x y y=⎧⎨=⎩，由P 是圆224x y +=上一点，即可求Γ的方程；（2）由（1）知Q 是曲线Γ上不同于A 、B 的任意一点，则存在QA k 、QB k ，令()11,Q x y 即可得21214QA QB y k k x ⋅=-，即可证斜率之积为定值．【详解】解：（1）设()00,P x y ，(),M x y ，则()0,0D x ，由12DM DP =得：002x x y y =⎧⎨=⎩．由题意，22004x y +=，得2244x y +=．所以，曲线的方程为2214x y +=．（2）证明：设()11,Q x y ，则221114x y +=．由题意知：QA k 、QB k 存在. ∴112QA y k x =+，112QB y k x =-． ∴2121144QA QBy k k x ⋅==--， ∴直线QA 、QB 的斜率之积为定值14-．【点睛】关键点点睛：（1）应用向量的坐标表示，找到M 点坐标与点P 的坐标间的数量关系，由P 是圆224x y +=上求M 的轨迹方程.（2）由已知，根据直线斜率的坐标表示可得QA QB k k ⋅关于Q 坐标的数量关系，进而可证结论.22．（1）2；（2）480x y --=. 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为2x ny =+，联立方程结合韦达定理可得12y y +，12y y ，再由平面向量数量积的坐标表示即可得解；（2）由韦达定理及平面向量数量积的坐标表示可得2849EA EB n n ⋅=-+，即可得解. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为2x ny =+，则222y p y xx n ⎧⎨==+⎩，整理得2240y pny p --=，所以122y y pn +=，124y y p =-，所以221212121224444y y OA OB x x y y y y p p⋅=+=+=-=- 所以2p =；（2）由（1）得124y y n +=，128y y =-.则()21212444x x n y y n +=++=+，221212416y y x x ==，所以()()()()12122211EA EB x x y y ⋅=+++--()()12121212241x x x x y y y y =++++-++24884841n n =+++--+2849n n =-+2117178422n ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当14n =时，取最小值，此时直线l 的方程为124x y =+，即480x y --=. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是是联立方程组，将平面向量数量积的运算转化为两根的和与积，结合韦达定理即可得解.23．（1）2213x y +=；（2）0x y -=或0x y +=.【分析】（1）由离心率、面积和222a b c =+可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y，:l x ty =+11212AF BF F AF F BSSS=+，结合基本不等式，可得答案.【详解】（1）∵3c e a ==，12MF F S bc ==△222a b c =+，解得a =1b =，c =C 的方程为：2213x y +=.（2）()1F，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，已知直线l 的斜率不为0，设直线l：x ty =+2213x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22310t y ++-=，故1223y y t +=-+，12213y y t =-+，1212121212F F A F F BSSF F y y+=-=因为2312t =≤+=，即1t =±时等号成立，所以直线l 的方程为0x y --=或0x y +=. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了三角形的面积公式，关键点是利用韦达定理表示1212F F AF F BSS+并利用基本不等式求最值，考查了直线与椭圆的位置关系和计算能力.24．（1）1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2）直线AD 过定点(1,0)Q ．【分析】（1）由于121,,1,22P P ⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭关于原点对称，从而可得12,P P 和4P 在椭圆上，然后将这些点的坐标代入椭圆方程中可求出,a b 的值；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，则设直线l 为2(0)x ty t =+≠，与椭圆方程联立成方程组，消去x ，得()222420t y ty +++=，再由根与系数的关系得12122242,22t y y y y t t +=-=++，而直线AD 方程为()()()122112210y y x x x y x y x y ++--+=，代入化简可得答案【详解】因为121,,1,22P P ⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于原点对称，由题意得12,PP 和4P 在椭圆上，将14,P P 的坐标代入22221x ya b +=得：222111211a b b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩（2）显然，l 与x 轴不垂直，设l 的方程为：2(0)x ty t =+≠()22222242012x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩ 设()()1122,,,A x y B x y ，则()22,D x y - 且12122242,22t y y y y t t +=-=++ 直线AD 方程为()()()122112210y y x x x y x y x y ++--+= 令0y =，得()()122112211212121222242214ty y ty y x y x y ty y tx y y y y y y t++++===+=+=+++-，故直线AD 过定点(1,0)Q ．【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠，与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系可得12122242,22t y y y y t t +=-=++，进而可得AD 方程为()()()122112210y y x x x y x y x y ++--+=化简可得答案，属于中档题25．（1）22143x y +=；（2）2±. 【分析】（1）由222214a b e a -==以及将点代入椭圆方程即可求解. （2）求出直线AB 的方程，进而求出()0,1M ，再由6MB MP MA MQ ⋅=⋅，根据数量积的运算可得3MP MQ =，讨论直线PQ 的斜率存在情况，从而设其方程为1y kx =+，将直线与椭圆方程联立，设()()1122,,,P x y Q x y ，可得123x x =-，利用韦达定理即可求解. 【详解】命题意图本题考查椭圆的方程和性质，椭圆与直线的位置关系.解析()1由题意知离心率e 满足222214a b e a-==，所以2234a b =，又因为点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，所以()2222312143b b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭+=，解得23b =，所以24a =，故椭圆的标准方程为22143x y +=.()2由()1得()2,0B ，所以直线AB 的方程为()122y x =--，与y 轴的交点为()0,1M . 由6MB MP MA MQ ⋅=⋅，得6,MB MP cos BMP MA MQ cos AMQ ∠=∠ 而,2BMP AMQ MB MA ∠=∠=，因此3MP MQ =.当PQ 与x 轴垂直时，不合题意. 当PQ 与x 轴不垂直时，设其方程为1y kx =+，联立方程得221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()2243880k x kx ++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122288,4343k x x x x k k --+==++ 由3MP MQ =得123x x =-，所以22222882,34343k x x k k ---=-=++ 显然k 不为0,两式相除得22,3x k= 所以248343k k k --=+解得k =± 【点睛】关键点点睛：本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，解题的关键是根据向量数量积得出3MP MQ =，进而得出123x x =-，考查了运算求解能力.26．（1）22194x y +=；（2）最大值为.【分析】（1）将P ⎛ ⎝⎭的坐标代入椭圆方程中，再结合c a =222a b c =+可求出,a b 的值，进而可求得椭圆的方程；（2）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，然后利用点到直线的距离公式求出O 到直线y kx m =+的距离d ，利用弦长公式求出MN 的值，从而有12OMN QMN OMQN S S S MN d =+=⨯四边形△△，化简可求得其范围，当MN 斜率不存在时，直接可得OMQN S =四边形【详解】（1）因为椭圆C过点P ⎛ ⎝⎭，所以2213219a b+=，c a = 又222a b c =+，所以得22194x y +=；（2）（i ）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，设O 到直线y kx m =+的距离记为d，则d =，联立22,1,94y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()2229418940k x knx n +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，1221894kn x x k +=-+，()21229494n x x k -=+，所以12MN x =-=，因为y kx n =+与圆O1=，因为y kx m =+与椭圆相切，所以2294k m +=，1122OMN QMNOMQN S S S MN d =+=⨯=四边形△△=== 可得OMQN S 四边形随k的增大而增大，即OMQN S <四边形（ii ）当MN斜率不存在时，不妨取1,3M ⎛ ⎝⎭，1,3N ⎛- ⎝⎭，此时()3,0Q ，OMQN S =四边形综上所得四边形OMQN的面积的最大值为【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，解题的关键是当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，从而可得1122OMN QMNOMQN S S S MN d =+=⨯=四边形△△，化简可得结果，属于中档题。

(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．平面直角坐标系xOy 中，直线:(2)(0)l y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到y 轴的距离为（） A ．3B ．4C ．5D ．62．已知斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM ∆的面积等于3，则k =（）A ．14B ．13C ．12D ．263．已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，则222AF BF +的最小值是（） A ．36B ．48C ．72D ．964．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB 为直角三角形，则椭圆C 的离心率为（）A ．2B ．312- C ．51- D ．3 5．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 于,A B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则AOB 的面积为（）A 2B 2C 32D ．326．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上，且满足||||PA m PF =，则m 的最大值是（） A ．1B 2C ．2D ．47．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（假设车顶为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.6m ，已知行车道总宽度7m AB =，则车辆通过隧道的限制高度为（）A ．3.90mB ．3.95mC ．4.00mD ．4.05m8．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若16MF OM =，则E 的离心率为（）A 3B ．2C 5D 29．过抛物线26y x =的焦点作一条直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若123x x +=，则这样的直线（）A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条10．设1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点.若126PF PF a +=，且1223PF F S b =△，则双曲线C 的渐近线方程是（）A 20x y ±=B ．20x ±=C 320x y ±=D ．230x =11．已知抛物线2:C x y =，点()2,0A ，()0,2B -，点P 在抛物线上，则满足PAB △为直角三角形的点P 的个数有（） A ．2B ．4C ．6D ．812．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆上，则双曲线的离心率的值为（） A．1BC．1+D二、填空题13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为8，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左､右焦点，且1F AB 的面积为4，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为___________. 14．设F 是抛物线2:2C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上两个不同的点，若直线AB 恰好经过焦点F ，则4AF BF +的最小值为_______．15．已知双曲线22:143x y C -=的左､右焦点分别12,F F ，P 为双曲线上异于顶点的点，以1PF ，2PF 为直径的圆与直线l 分别相切于A ，B 两点，则12cos ,AB F F <>=___________.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、焦点为1F 、2F ，点P 为双曲线C 的渐近线上一点，120PF PF ⋅=，若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线C 的离心率为___________.17．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围___________.18．已知双曲线M ：22221x y a b-=（0a >，0b >），ABC 为等边三角形．若点A 在y轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为________．19．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足||3||PF FQ =，若||OP b =，则E 的离心率为_________.20．对抛物线C ：24x y =，有下列命题：①设直线l ：1y kx =+，则直线l 被抛物线C 所截得的最短弦长为4；②已知直线l ：1y kx =+交抛物线C 于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③过点()()2,P t t R ∈与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；④若抛物线C 的焦点为F ，抛物线上一点()2,1Q 和抛物线内一点()()2,1R m m >，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分RQF ∠；其中你认为是正确命题的所有命题的序号是______.三、解答题21．已知椭圆22221(0)x y E a b a b+=>>：的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，直线():0l y kx t t =+>与以12F F 为直径的圆相切于点P ，当1k =时，12PF F △的面积为2；（1）求E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于A ，B 两点，设0k >时，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(),0M m ，求m 的取值范围.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和右焦点F 的距离与右焦点F 到椭圆C的右准线的距离相等，且椭圆C 的通径（过椭圆的焦点，且与长轴垂直的弦）长为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过点F ，且与坐标轴不垂直，与椭圆C 相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点B . ①当67BF =时，求直线l 的方程； ②求证：PQBF为定值. 23．已知点M 是圆222:(2)(2)C x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点，过点M 作圆C 的弦MN ，并使弦MN 的中点恰好落在y 轴上．（1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，延长NO 交直线2x =-于点A ，延长NC 交曲线E 于点B ，曲线E 在点B 处的切线交y 轴于点D ，求证：AD BD ⊥．24．设命题:p 方程22137xy a a +=-+表示双曲线；命题:q 不等式10a x -<对01x <≤恒成立.（Ⅰ）若命题p q ∨为真，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，求实数a 的取值范围.25．设抛物线2:4C y x =，点()4,0A ，()4,0B -，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠．26．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12(1,0),(1,0)F F -，过点1F 的直线l 与椭圆相交于A B 、两点，且2ABF 的周长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）在椭圆中有这样一个结论“已知000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，过0P 作椭圆的两条切线，切点分别为12,P P ，则直线12PP 的方程为00221x x y ya b+=”.现已知M 是圆223x y +=上的任意点，,MA MB 分别与椭圆C 相切于,A B ，求OAB 面积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意画出图形，抛物线的准线为':2l x =-，直线:(2)(0)l y k x k =+>恒过定点(2,0)P -，过,A B 分别作'AM l ⊥于M ，'BN l ⊥于N ，根据抛物线的定义和已知条件可得点B 为AP 的中点，进而可得点B 的横坐标为1，则26AM BN ==从而可求出答案【详解】解：设抛物线2:8C y x =的准线为':2l x =-，直线:(2)(0)l y k x k =+>恒过定点(2,0)P -，如图过,A B 分别作'AM l ⊥于M ，'BN l ⊥于N ，因为2FA FB =，所以2AM BN =，所以点B 为AP 的中点，连接OB ，则12OB AF =，所以OB BF =，所以点B 的横坐标为1，所以26AM BN ==，所以点A 到y 轴的距离为4，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是根据题意画出图形，灵活运用抛物线的定义，考查计算能力，属于中档题2．B解析：B 【分析】先求出F ,设出A 、B 、M ，用“点差法”找出121202y y k x x y -==-，利用OFM ∆的面积等于3计算出0y ，求出斜率k . 【详解】由抛物线2:4C y x =知：焦点()1,0F设()()()112200,,,,,,A x y B x y M x y因为M 是线段AB 的中点，所以0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩将2114y x =和2224y x =两式相减可得：()2212124y y x x -=-，即121202y y k x x y -==- ∵000k y >∴>∴00113,62OFM S y y ∆=⨯⨯=∴=, 022163k y ∴===.故选：B 【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.3．D解析：D【分析】求得2AF BF a +=，结合a c BF a c -<<+，利用二次函数的基本性质可求得222AF BF +的最小值.【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，在椭圆C 中，6a =，25b =，则224c a b =-=，由题意可知，点A 、B 关于原点对称，且O 为FF '的中点，所以，四边形AFBF '为平行四边形，所以，BF AF '=，由椭圆的定义可得212AF BF AF AF a '+=+==，0k ≠，a c BF a c ∴-<<+，即210BF <<，()()2222222122324144349696AF BF BFBF BF BF BF ∴+=-+=-+=-+≥，当且仅当4BF =时，等号成立，因此，222AF BF +的最小值为96. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出AF BF +；（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.4．C解析：C 【分析】作出图形，可知FAB 是以FAB ∠为直角的直角三角形，可得出0AF AB ⋅=，可得出a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.【详解】如下图所示，可知AFB ∠、ABF ∠均为锐角，所以，FAB 是以FAB ∠为直角的直角三角形，由题意可知，点(),0F c -、()0,A b 、(),0B a ，则(),AF c b =--，(),AB a b =-，20AF AB ac b ⋅=-+=，可得220a c ac --=，即220c ac a +-=，在等式220c ac a +-=的两边同时除以2a 可得210e e +-=，01e <<，解得512e =. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．C解析：C 【分析】根据抛物线的定义和性质，可以求出A 的坐标，再求出直线AB 的方程，可求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到AOB 的面积．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-，不妨设A 在第一象限，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，||3AF =，所以A 到准线1x =-的距离为3，113x ∴+=，解得12x =，122y ∴=，∴直线AB 的斜率为22221=-∴直线AB 的方程为22(1)y x =-，由2422(1)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理可得22520x x -+=，解得12x =，212x =当212x =时，22y =-，因此AOB 的面积为：1211113||||||||1212222222AOBAOFBOFSSSOF y OF y =+=+=⨯⨯+⨯⨯=．故选：C. 【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.6．B解析：B 【分析】由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，利用抛物线的定义可得1sin PAE m=∠，求出sin PAE ∠的最小值后可得m 的最大值. 【详解】由抛物线24x y =可得准线方程为：1y =-，故()0,1A -.如图，由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，则PE PF =，故1||||sin ||||PF PE PAE m PA PA ===∠，当直线AP 与抛物线相切时，PAE ∠最小，而当P 变化时，02PAE π<∠≤，故当直线AP 与抛物线相切时sin PAE ∠最小，设直线:1AP y kx =-，由241x yy kx ⎧=⎨=-⎩得到2440x kx -+=，216160k ∆=-=，故1k =或1k =-（舍），所以直线AP 与抛物线相切时4PAE π∠=，故1m 即m ，故选：B. 【点睛】方法点睛：与抛物线焦点有关的最值问题，可利用抛物线的定义把到焦点的距离问题转化为到准线的距离问题.7．B解析：B 【分析】设抛物线的方程为2x ay =，可知点()5,5-在该抛物线上，求出a 的值，将 3.5x =代入抛物线方程，求出y 的值，即可得解. 【详解】设抛物线的方程为2x ay =，可知点()5,5-在该抛物线上，则255a -=，解得5a =-，所以，抛物线的方程为25x y =-，将 3.5x =代入抛物线方程得25 3.5y -=，解得 2.45y =-，因此，车辆通过隧道的限制高度为()7 2.450.6 3.95m --=. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用，设出抛物线的方程，分析出抛物线上的点的坐标，求出抛物线的方程是解题的关键，同时要注意车辆限高的意义.8．A解析：A 【分析】由点到直线的距离公式可得2||MF b =，由勾股定理可得||OM a =，则1MF =，1cos aFOM c∠=-，由此利用余弦定理可得到a ，c 的关系，由离心率公式计算即可得答案．【详解】由题得2(,0)F c ，不妨设:0l bx ay -=，则2||MF b ==，OM a ==，1MF =，12cos cos aFOM F OM c ∠=-∠=-，由余弦定理可知222222111||||622OM OF MF a c a a OM OF ac c+-+-==-⋅，化为223c a =，即有==ce a故选：A ．【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．9．A解析：A 【分析】由抛物线方程求得焦点F 的坐标，分直线AB 斜率不存在和直线斜率存在，存在时设直线AB 方程与抛物线方程联立，由韦达定理表示出A 、B 两点的横坐标之和，求得k ，即可得结论. 【详解】抛物线26y x =的焦点为3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，当过焦点的直线斜率不存在时，即为32x =， 1232x x ==，符合123x x +=，当过焦点的直线斜率存在时设为32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，由2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得()222293604k k x k x -++=，所以2122363k x x k++==，即22363k k +=，所以无解，则这样的直线有且只有一条. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，解题的时候要注意讨论直线斜率不存在时的情况，以免遗漏，是中档题.10．A解析：A 【分析】利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得123F PF π∠=，利用双曲线的定义以及126PF PF a +=可求得14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理可得出ba的值，由此可求得双曲线C 的渐近线方程. 【详解】设12F PF θ∠=，由双曲线的定义可得122PF PF a -=，在12PF F △中，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即()()()22212121212222cos 421cos c PF PF PF PF PF PF a PF PF θθ=-+⋅-⋅=+⋅-，所以，222122221cos 1cos c a b PF PF θθ-⋅==--，1222221222sin cos1sin 22sin 21cos tan112sin 22PF F b b b S PF PF θθθθθθθ⋅=⋅====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭△，tan2θ∴=0θπ<<，可得022θπ<<，26θπ∴=，所以，3πθ=，由已知可得121226PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1242PF aPF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即222221416416122c a a a a =+-⨯=，则223c a =，即2223a b a +=，b ∴=，因此，双曲线C的渐近线方程为by x a=±=0y ±=. 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）转化已知条件，得到a 、b 、c 中任意两个量的等量关系；（2）若得到a 、b 的等量关系，则渐近线方程可得；若已知a 、c 或b 、c 之间的等量关系，结合222+=a b c 可求得ba的值，则渐近线方程可求. 11．B解析：B 【分析】分三个角为直角分别进行讨论，通过数形结合即得结果. 【详解】(1)若APB ∠为直角，如下图，即以AB 为直径的圆与抛物线的交点为P ，易见有O ，P 两个点符合题意；（2）若PAB ∠为直角，则过A 作直线垂直AB ，如下图，易见有P ，P '两个点符合题意；（3）若PBA ∠为直角，则过B 作直线垂直AB ，如上图，易见无交点，不存在点P 符合题意.综上，共有4个点符合题意. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于对三个角为直角进行分类讨论，再结合数形结合思想即突破难点.12．A解析：A 【分析】先由题意求出以AB 为直径的圆的半径为2b r a=和圆心坐标得到圆的方程，然后代入左焦点坐标，利用222c a b =+化简后可得答案.【详解】将x c =代入22221x y a b-=可得2bya =±，所以以AB 为直径的圆的半径为2b r a=，圆心为(),0c ，圆的方程为()4222ab xc y -+=，左焦点为(),0c -，因为双曲线的左焦点在圆上，所以()2240b c ac +--=，整理得242460a c c c +=-，即42610e e -+=，解得2322e =+或2322e =-舍去，所以12e =+. 故选：A . 【点睛】关键点点睛：本题考查直线和双曲线的位置关系、点和圆的位置关系，关键点是先求出以AB 为直径的圆的半径，再根据双曲线的左焦点在圆上，得到所要求的,,a b c 等量关系即可，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．二、填空题13．【分析】先根据的面积和短轴长得出abc 的值求得的范围再通分化简为关于的函数利用二次函数求得最值即得取值范围【详解】由已知得故∵的面积为∴∴又故∴∴又而即∴当时最大为；当或时最小为即∴即即的取值范围为解析：25,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据1F AB 的面积和短轴长得出a ，b ，c 的值，求得 1PF 的范围，再通分化简1211PF PF +为关于1PF 的函数，利用二次函数求得最值，即得取值范围．【详解】由已知得28b =，故4b =，∵1F AB 的面积为4，∴()142a cb -=，∴2ac -=，又()()22216a c a c a c b -=-+==，故8a c +=， ∴5a =，3c =，∴12121211PF PF PF PF PF PF ++=()()()221111111210101021010525a PF a PF PF PF PF PF PF ====---+--+，又而1a c PF a c -≤≤+，即128PF ≤≤， ∴当15PF =时，()21525PF --+最大，为25；当12=PF 或8时，()21525PF --+最小，为16，即()211652525PF ≤--+≤，∴121011102516PF PF ≤+≤，即12211558PF PF ≤+≤. 即1211PF PF +的取值范围为25,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：25,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于熟练掌握椭圆的性质1a c PF a c -≤≤+，结合椭圆定义和二次函数最值求法，即突破难点.14．【分析】设点设直线的方程为联立直线与抛物线的方程列出韦达定理推导出利用基本不等式可求得的最小值【详解】若直线与轴重合则直线与抛物线只有一个交点不合乎题意易知抛物线的焦点为准线方程为设点设直线的方程为解析：92【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立直线AB 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，推导出112AF BF+=，利用基本不等式可求得4AF BF +的最小值. 【详解】若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意.易知抛物线C 的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得2210y my --=，2440m ∆=+>，由韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，()()()12121212211111*********m y y AF BF my my my my x x +++=+=+=++++++()()21222212122222121m y y m m y y m y y m m +++===+++-++， ()4111144522AF BF AF BF AF BF AF BF BF AF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝，当且仅当2AF BF =时，等号成立，因此，4AF BF +的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】结论点睛：过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，则112AF BF p+=. 15．【分析】求得双曲线的设运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得由相切的性质判断四边形为直角梯形过作垂足为运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义计算可得所求值【详解】解解析：7【分析】求得双曲线的a ， c ，设1PF m =，2PF n =，运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得MN ，由相切的性质判断四边形ABNM 为直角梯形，过N 作NQ AM ⊥，垂足为Q ，运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义，计算可得所求值．【详解】解：因为双曲线22:143x y C -=，所以2a =，227c a b =+= 依题意画出如下图形，设1PF ，2PF 的中点分别为M ，N ，过点N 作NQ AM ⊥交AM 于点Q ，连接MN ，所以12172MN F F ==，设1PF m =，2PF n =，则24m n a -==所以11122AM PF m ==，21122BN PF n ==，所以()122MQ AM BN m n =-=-=，在Rt MNQ 中223NQ MN MQ =-=，因为//NQ BA ，所以MNQ ∠为12,AB F F 的夹角，所以12321cos ,77QN AB F F MN <>===故答案为：217【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和圆相切的性质，考查直角三角形的勾股定理和锐角三角函数的定义、向量的夹角的概念，考查方程思想和化简运算能力和推理能力．16．【分析】作出图形设与圆相切于点分析出可求得的值进而可得出双曲线的离心率为即可得解【详解】如下图所示设与圆相切于点则则则为的中点则为的中点由直角三角形的性质可得因为为的中点则由于双曲线的两渐近线关于轴解析：2【分析】作出图形，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，分析出23POF π∠=，可求得ba的值，进而可得出双曲线C 的离心率为21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】如下图所示，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，则OE a =，120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥，1OE PF ⊥，则2//OE PF ， O 为12F F 的中点，则E 为1PF 的中点，222PF OE a ∴==，由直角三角形的性质可得1OF OP =，因为E 为1PF 的中点，则1EOF POE ∠=∠，由于双曲线的两渐近线关于y 轴对称，可得21POF EOF ∠=∠，所以，12EOF POE POF ∠=∠=∠，则1223EOF POE POF POF π∠+∠+∠=∠=，所以，23POF π∠=，则tan 33b a π==，因此，双曲线C 的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.17．【分析】作出图形根据已知条件可得出与的大小关系再利用公式可求得双曲线的离心率的取值范围【详解】如下图所示双曲线的渐近线方程为由于过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点由图可知直线的倾斜解析：23,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【分析】作出图形，根据已知条件可得出b a 与tan 6π的大小关系，再利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】如下图所示，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由于过点F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，由图可知，直线b y x a =的倾斜角6πα≥，所以，3tan 6b a π≥= 因此，2222222313c c a b b e a a a a +⎛⎫====+≥ ⎪⎝⎭. 所以，该双曲线的离心率为取值范围是233⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. 故答案为：23⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a 、b 、c 的齐次关系式，将b 用a 、e 表示，令两边同除以a 或2a 化为e 的关系式，进而求解．18．【分析】可根据实轴为的中位线得出再根据对称性及为等边三角形表示出的坐标代入双曲线方程得到关系式求解离心率【详解】实轴长为则关于轴对称不妨设在双曲线左支则其横坐标为根据为等边三角形可得故将的坐标代入双【分析】可根据实轴为ABC 的中位线，得出BC ，再根据对称性及ABC 为等边三角形，表示出B 的坐标，代入双曲线方程，得到,a b 关系式求解离心率. 【详解】实轴长为2a ，则4BC a =，BC 关于y 轴对称不妨设B 在双曲线左支，则其横坐标为2a ，根据ABC 为等边三角形，60ABC ∠=可得B y =故()2,B a ，()2,C a -，将B 的坐标代入双曲线方程有2222431a a a b-=，则a b =，则c =故e =【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．19．【分析】由题意设即有由双曲线定义及已知可得且结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程即可求得离心率【详解】令则且①由题意知：E 的左准线为结合双曲线第二定义知：又∴解得②∵知：∴联立①②得：整理得∴故【分析】由题意设00(,)P x y ，即有00(,)Q x y --，由双曲线定义及已知可得22003()a a x x c c +=-且22200x y b +=，结合点在曲线上联立方程得到关于,a c 的齐次方程，即可求得离心率.【详解】令00(,)P x y ，00,0x y >则00(,)Q x y --且2200221x y a b-=①，由题意知：E 的左准线为2a x c =-，结合双曲线第二定义知：20||()a PF e x c=+，20||()a FQ e x c =-，又||3||PF FQ =，∴22003()a a x x c c +=-，解得202a x c=②， ∵||OP b =知：22200x y b +=，∴联立①，②得：42222244(1)a a b b c c+-=，整理得223a c =， ∴3e = 3【点睛】关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比为常数e ，可得点P 的横坐标为22ac；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于,a c 的齐次方程求离心率即可.20．①②④【分析】①将抛物线与直线联立消去利用根与系数关系求出再由弦长公式即可求出弦长进而可求出弦长的最小值即可判断①的正误；②利用中点坐标公式求出以为直径的圆的圆心的纵坐标判断圆心到直线的距离与半径的解析：①②④ 【分析】①将抛物线与直线联立消去y ，利用根与系数关系求出12x x +，12x x ，再由弦长公式即可求出弦长，进而可求出弦长的最小值，即可判断①的正误；②利用中点坐标公式，求出以AB 为直径的圆的圆心的纵坐标，判断圆心到直线的距离121y y ++与半径||2AB r =的大小关系，即可判断②的正误；③将2x =代入24x y =，可得()2,1P 在抛物线上，此时当直线的斜率不存在时，只有一个交点，当直线与抛物线相切时，也只有一个交点，故与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，可判断③错误；④设1l 的方程为()12y k x -=-，将直线与抛物线联立消去y ，利用判别式即可求出k ，进而可求出直线1l 的倾斜角，即可判断④的正误. 【详解】①联立方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得2440x kx --=，216160k ∆=+>恒成立，设两交点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，所以由根与系数的关系得124x x k +=，124x x ⋅=-，故AB ==2444k =+≥，当0k =时，AB 取得最小值4，所以最短弦长为4，故①正确，②由①可知124x x k +=，则21212242y y kx kx k +=++=+，故以AB 为直径的圆的圆心坐标为()22,21k k +，半径2222ABr k ==+，抛物线24x y =的准线方程为1y =-，故圆心到准线1y =-的距离2221122d k k r =++=+=，所以以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故②正确，③将2x =代入24x y =，解得1y =，所以当1t =时，即()2,1P 在抛物线上，当直线的斜率不存在时，方程为2x =，此时只有一个交点()2,1，当直线斜率存在且只与抛物线只有一个交点时，当且仅当该直线为切线时满足条件，所以过点()2,P t 只与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，故③错误， ④因为抛物线的焦点为()0,1F ，又()2,1Q ，()2,R m ，所以三角形FQR 为直角三角形且过()2,1Q 的切线斜率一定存在，设1l 的方程为()12y k x -=-，代入24x y =，可得24840x k k -+-=，由()2164840k k ∆=--=可得1k =，即直线1l 的倾斜角为45︒，因为直线2l 过点Q 且与1l 垂直，所以一定平分RQF ∠，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组； (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．三、解答题21．（1）22143x y +=；（2）1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由直线l 斜率为1且圆相切，得14POF π∠=(O 为原点)，从而12PF F △的面积可用c 表示出来，从而求得c ，再由离心率求得a ，然后可得b ，得椭圆方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得12x x +，从而可得AB 中点坐标，写出AB 中垂线方程，令0y =可得m ，由直线与圆相切得,k t 关系，这样m 可化为一元函数，再用换元法可求得取值范围．【详解】解：（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c =，当1k =时，14POF π∠=(O 为原点)，从而12122PF F Sc =⋅=从而解得1c =，又离心率12c e a ==，所以2a =，从而b =因此E 的方程为22143x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，将()0,0y kx t k t =+>>，代入椭圆方程22143x y +=，消去y ，得()2224384120k x ktx t +++-=，从而122843kt x x k -+=+，212241243t x x k -=+，① 设AB 的中点为()00,Q x y ，则02443kt x k -=+，02343ty k =+，从而AB 的中垂线方程为223144343t kt y x k k k -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，解得243ktm k -=+，由线l 与以12F F 1=，即t =从而m ==2130,344n k ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+，则m =由函数2314101623y n n n ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭取值范围为()0,1，得m 的取值范围为1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题．解题关键建立m 与参数的函数式，方法是：由直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得弦中心坐标得弦垂直平分线方程，从而可求得m ，利用直线与圆相切得参数,k t 关系后可得所需要的函数式，换元后可求得取值范围．22．（1）22143x y +=；（2）①1y x =-或1y x =-+，②证明见解析.【分析】（1）依题意得到方程组解得即可；（2）设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,P x y ，()22,Q x y ，设线段PQ 的中点为M ，联立直线与椭圆，消元、列出韦达定理，即可表示出线段PQ 的中点M 的坐标，从而得到线段PQ 的垂直平分线方程，表示出B 点坐标，再根据①、②分别计算可得；【详解】解：（1）由条件得，22,23,a a c c cb a⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又222b a c =-，解得2a =，b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）因为直线l 过点()1,0F ，且与坐标轴不垂直，所以设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,P x y ，()22,Q x y ，设线段PQ 的中点为M ，由()221,1,43y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22223484120k x k x k +-+-=，所以2122834kx x k +=+，212241234k x x k-=+ 所以线段PQ 的中点22243,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以线段PQ 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2234k x k =+，即22,034k B k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭①当67BF =时，则2261347k k -=+，解得1k =±，所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+.②因为()212212134k PQ x k+=-==+，22223313434k k BF k k+=-=++，所以4PQBF =为定值. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．23．（1）28(0)y x x =>；（2）证明见解析. 【分析】（1）设(,)N x y ，利用N 在圆上及弦MN 的中点在y 轴上可得点N 的轨迹方程，也可以利用垂径定理得到点N 的轨迹方程，注意范围．（2）设()11N x y ,，()22,B x y ，直线NB 的方程为2x my =+，点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，联立切线方程和抛物线方程，利用判别式为0可求切线方程，从而得到D 的坐标，求出直线ON 的方程后可得A 的坐标，再联立直线NB 的方程与抛物线的方程，利用韦达定理化简可得1AD BD k k ⋅=-，从而得到要求证的垂直关系．我们也可以设()()000,0N x y x ≠，利用导数和韦达定理可求D 的坐标，同样可得1AD BD k k ⋅=-．【详解】（1）解法一：由题意知(2,0)C ，(2,0)M r -，设(,)N x y 是222:(2)(2)C x y r r -+=>上的任意点，。

新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测题(含答案解析)

一、填空题1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于P ，Q 两点．若60PAQ ∠=︒，且3PO OQ =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为_________．2．已知圆的方程为224x y +=，若抛物线过点()1,0A -，()1,0B ，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________.3．已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，P 为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为___________.4．已知1F ，2F 是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的两个焦点，且椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，若点M ，N 分别是圆D ：22(3)3x y +-=和椭圆C 上的动点，则当椭圆C 的离心率取得最小值时，2MN NF +的最大值是___________．5．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与双曲线()2211221110,0x y a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，点P 是两条曲线的一个交点，122F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，122e e ，则2212e e +=__________.6．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点.过点F 的直线240x y +-=与椭圆的交点为Q (点Q 在x 轴上方)，且||||OF OQ =，则椭圆C 的离心率为_____.7．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作C 的一条渐近线的垂线垂足为A ，且||2||OA AF =，O 为坐标原点，则C 的离心率为_________．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与方向向量为(6,6)k =的直线交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是_______.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.10．已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.11．M 是抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角60xFM ∠=︒，则||FM =______.12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则其渐近线与圆()22214x a y a -+=的位置关系是________. 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.若223AF F B =，1AB BF =，则椭圆C 的标准方程为______.二、解答题14．已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点P ⎝⎭，且它的一个焦点在直线20x y +=.（1）求椭圆G 的方程；（2）设直线y x m =+与椭圆G 相交于不同的两点,M N ，且()0,1B -，是否存在实数m ，使得BM BN =?若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由.15．已知抛物线()220y px p =>以椭圆22143x y +=的右焦点为焦点F .（1）求抛物线方程.（2）过F 作直线L 与抛物线交于C ，D 两点，已知线段CD 的中点M 横坐标3，求弦CD 的长度.16．已知集合(){}22|4300A x x ax a a =-+<>，集合B ={a 方程221382x y a a+=--表示圆锥曲线C }（1）若圆锥曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数a 的取值范围；（2）若圆锥曲线C 表示双曲线，且A 是B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点E ⎛ ⎝⎭，1A ，2A 为椭圆的左右顶点，且直线1A E ，2A E 的斜率的乘积为23-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQMN的最小值. 18．（1）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距为2333x =±，求椭圆1C 的方程；（2）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有2个公共交点，求双曲线2C 的方程. 19．已知椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12，1B 是椭圆的上顶点，以1B 及左右焦点1F ，2F 3 （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()1,1M -，求直线l 的方程.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点33,P ⎭在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求1F AB 面积的最大值.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(1,0),F O 为坐标原点，,A B 是抛物线C 上异于O 的两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线,OA OB 的斜率之积为12-，求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标.22．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l 过点(,0)A a -，且与椭圆相交于另一点B ．（1）求椭圆的方程；（2）若线段AB 长为425，求直线l 的倾斜角． 23．已知命题p ：()()22210t a t a a t --+-<∈R ，命题q ：方程()22113x y t t t+=∈+-R 表示焦点在x 轴上的椭圆. （1）若10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，||4AB =.过右焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于,D E 两点，且||1DE =.（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率大于0的直线l 经过点(4,0)P -，且交椭圆C 于不同的两点,M N （M 在点,P N 之间）.记PNA 与PMB △的面积之比为λ，求实数λ的取值范围.25．（1）点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到定直线25:4l x =的距离的比是常数45，求M 的轨迹方程；（2）经过两点(3,7)A --，(62,7)B --，求双曲线标准方程． 26．求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心为坐标原点焦距为6，实轴长为4；（2）焦点在x 轴上，中心为坐标原点，渐近线方程为y x =±，且过点(5,1)--.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】设由已知得由双曲线的渐近线的斜率可求得ab 的关系从而求得双曲线的离心率【详解】取PQ 的中点为B 因为所以为正三角形设则所以故答案为：【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时将提供的双曲线的几解析：13【分析】设OQ m =，由已知得2,2BQ m PQ m ==，23,AB m OB m ==，由双曲线的渐近线的斜率可求得a ,b 的关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】取PQ 的中点为B ，因为060PAQ ∠=，3PO OQ =，所以PAQ △为正三角形，设OQ m =,则2,2BQ m PQ m ==，23,AB m OB m ==，所以23231313PQ m bk c a e m a===⇒=⇒=. 故答案为：13.【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．2．【分析】根据题意可知：焦点到和的距离之和等于和分别到准线的距离和；而距离之和为和的中点到准线的距离的二倍即所以焦点的轨迹方程是以和为焦点的椭圆由此能求出该抛物线的焦点的轨迹方程【详解】解：设抛物线焦解析：22143x y +=(0)y ≠ 【分析】根据题意可知：焦点到A 和B 的距离之和等于A 和B 分别到准线的距离和；而距离之和为A 和B 的中点O 到准线的距离的二倍，即24r =，所以焦点的轨迹方程C 是以A 和B 为焦点的椭圆，由此能求出该抛物线的焦点F 的轨迹方程. 【详解】解：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线1AA ，1BB ，1OO ，则|有11124AA BB OO +==；由抛物线定义得11AA BB FA FB +=+，4FA FB ∴+=，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，∴ 抛物线的焦点轨迹方程22143x y +=(0)y ≠.故答案为：22143x y +=(0)y ≠.【点睛】关键点点睛：抛物线方程中，抛物线上的点到焦点F 的距离等于到准线的距离，牢记它对解题非常有益．3．【分析】根据椭圆的几何性质由轴设写出的直线方程求出与轴的交点的坐标以及点的坐标根据化简得到即可求解【详解】由题意椭圆的左右焦点分别为且因为轴不妨设则直线的方程为令可得所以直线与轴的交点为又由所以化简解析：13【分析】根据椭圆的几何性质，由2PF x ⊥轴，设(,)M c t ，写出AM 的直线方程，求出AM 与y 轴的交点N 的坐标，以及Q 点的坐标，根据3ON OQ =，化简得到3a c =，即可求解. 【详解】由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，且(,0)A a ，因为2PF x ⊥轴，不妨设(,)(0)M c t t ≠，则直线AM 的方程为()ty x a c a=--，令0x =，可得aty a c=-，所以直线AM 与y 轴的交点为1(0,),(0,)2at N Q t a c -，又由3ON OQ =，所以132at t a c =⨯-，化简得3a c =，所以椭圆的离心率为13c e a ==.故答案为：13. 【点睛】求解椭圆的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.4．【分析】根据题中条件得到的最大值不小于即可由余弦定理结合基本不等式得到点为短轴的顶点时最大；不妨设点为短轴的上顶点记得出离心率的最小值连接得到根据椭圆的定义结合三角形的性质求出的最大值即可得出结果【解析：4+【分析】根据题中条件，得到12F PF ∠的最大值不小于23π即可，由余弦定理，结合基本不等式，得到点P 为短轴的顶点时，12F PF ∠最大；不妨设点P 为短轴的上顶点，记12F PF θ∠=，得出离心率的最小值，连接DN ，得到()()22maxmaxMN NF DN NF +=+，根据椭圆的定义，结合三角形的性质，求出2DN NF +的最大值，即可得出结果. 【详解】若想满足椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，只需12F PF ∠的最大值不小于23π即可，由余弦定理，可得()22222112121221221424cos 22PF PF c PF PF PF PF c F PF PF PF PF PF +--=+-∠=2222221122221112b b b PF PF PF PF a =-≥-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当 12PF PF =，即点P 为短轴的顶点时，12F PF ∠的余弦值最小，即12F PF ∠最大；如图，不妨设点P 为短轴的上顶点，记12F PF θ∠=，则 23πθ≥，于是离心率3sin 2c e a θ⎫==∈⎪⎪⎣⎭，因此当椭圆C 的离心率取得最小值32时，24a =，则椭圆 22:14x C y +=；连接DN ，根据圆的性质可得:()()22maxmax3MN NF DN NF +=+，所以只需研究2DN NF +的最大值即可；连接1NF ，1DF ，21144423DN NF DN NF DF +=+-≤+=+当且仅当N ，D ，1F 三点共线（N 点在线段1DF 的延长线上）时，不等式取得等号，所以2DN NF +的最大值为 423+ 因此2MN NF +的最大值是433+ 故答案为：433+ 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中条件，得到椭圆离心率，求出椭圆方程，再由椭圆的定义，以及圆的性质，将动点到两点距离的最值问题，转化为椭圆上一动点到焦点，以及到定点的距离的最值问题，即可求解.5．【分析】设PF1＝sPF2＝t 由椭圆的定义可得s+t ＝2a 由双曲线的定义可得s ﹣t ＝2a1利用勾股定理和离心率公式得到化简计算即可得出结论【详解】不妨设P 在第一象限再设PF1＝sPF2＝t 由椭圆的定解析：8【分析】设PF 1＝s ，PF 2＝t ，由椭圆的定义可得s +t ＝2a ，由双曲线的定义可得s ﹣t ＝2 a 1，利用勾股定理和离心率公式得到2212224e e =+，化简计算即可得出结论．【详解】不妨设P 在第一象限，再设PF 1＝s ，PF 2＝t ，由椭圆的定义可得s +t ＝2a ，由双曲线的定义可得s ﹣t ＝2a 1，解得s ＝a +a 1，t ＝a ﹣a 1，由∠F 1PF 22π=，在三角形F 1PF 2中，利用勾股定理可得22222221114()()22c s t a a a a a a =+=++-=+． ∴2212224e e =+，化简221222221212121=e e e e e e ++=，又由e 1e 2＝2，所以22221212=28e e e e +=. 故答案为：8．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．在解题的过程中要合理的利用平面几何的思想，适当利用勾股定理，建立离心力的关系式，在化简的过程中根据题目的条件和结论合理构造和变形，这样解题会轻松一点.6．【分析】转化条件为设点列方程可得点结合椭圆定义可得再由离心率的公式即可得解【详解】因为点在直线上所以椭圆左焦点设点则解得或（舍去）所以点所以即所以椭圆的离心率故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的【分析】转化条件为()2,0F ，设点(),24Q x x -+，列方程可得点68,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合椭圆定义可得a ，再由离心率的公式即可得解. 【详解】因为点F 在直线240x y +-=上，所以()2,0F ，椭圆左焦点()12,0F -，设点(),24Q x x -+，则2OQ OF ===，解得65x =或2x =（舍去），所以点68,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12a QF QF =+==，即a =，所以椭圆的离心率5cea===【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求出点Q的坐标，再结合椭圆的定义、离心率公式即可得解.7．【分析】由已知求出渐近线的斜率得结合转化后可求得离心率【详解】由题意可得渐近线方程为∴故故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的离心率解题关键是列出关于的一个等式本题中利用直角三角形中正切函数定义可得【分析】由已知求出渐近线的斜率，得ba，结合222c a b-=转化后可求得离心率．【详解】由题意可得||||1tan||2||2AF AFAOFOA AF∠===，渐近线方程为by xa=，∴12ba=，222222222544aac a bea a a++====，故2e=．．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c的一个等式，本题中利用直角三角形中正切函数定义可得．8．【分析】设代入到双曲线的方程中运用点差法可求得可得答案【详解】设则且因为线段的中点为所以由题意可得直线的斜率为1所以即故双曲线的渐近线方程为故答案为：【点睛】本题考查点差法的运用之得双曲线的渐近线方解析：12y x=±【分析】设()()1122,,,A x yB x y，代入到双曲线的方程中，运用点差法可求得12ba=，可得答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，因为线段AB 的中点为(4,1)，所以()()2221212221214b x x y y b x x a y y a+-==-+，由题意可得直线AB 的斜率为1，所以2241b a=，即12b a =，故双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故答案为：12y x =±. 【点睛】本题考查点差法的运用之得双曲线的渐近线方程，属于中档题.9．【分析】设则推出由双曲线的定义得再在和应用余弦定理得进而得答案【详解】解：设则∴由双曲线的定义得此时在和应用余弦定理得：；所以即故所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用是基本知识的考查【分析】设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，推出22QF m =，由双曲线的定义得14QF a m a⎧=⎨=⎩，再在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得2225243a c a -=，进而得答案. 【详解】解：设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，∴22QF m =，由双曲线的定义，得12112122422PF PF m aQF a m a QF QF QF m a ⎧-==⎧=⎪⇒⎨⎨=-=-=⎩⎪⎩，此时，在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得：2222221112116992cos 22433QF PQ PF a a a FQF QF PQa a +-+-∠===⨯⨯2222222212121221216445cos 22424QF QF F F a a c a c FQF QF QF a a a+-+--∠===⨯⨯；所以2225243a c a -=，即2237c a =，故2273c a =，所以c e a ==．故答案为：21. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．10．【分析】根据题意作出图示求解出的长度然后根据椭圆的定义得到之间的关系即可求解出离心率【详解】如图因为为正三角形所以所以是直角三角形因为所以所以所以因为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查根据几何关系解析：31-【分析】根据题意作出图示，求解出12,PF PF 的长度，然后根据椭圆的定义得到,a c 之间的关系即可求解出离心率. 【详解】如图，因为2POF 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形. 因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以2||PF c =，所以22212122122cos60PF PF F F PF F F =+-⋅⋅︒，所以13PF c =，因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a +=，即3131ca ，所以31e =-.故答案为：31-.【点睛】本题考查根据几何关系以及椭圆的定义求解椭圆的离心率，难度一般.求解离心率的问题，如果涉及到特殊几何图形，一定要注意借助图形本身的性质去求解问题.11．4【分析】设点为过点作垂直于轴垂足为利用点在抛物线上建立方程即可求得的长【详解】解：由题意得设点为过点作垂直于轴垂足为即即整理得①又是抛物线上一点②由①②可得或（舍去）故答案为：【点睛】本题给出抛物解析：4 【分析】设点M 为(,)a b ，过点M 作MA 垂直于x 轴，垂足为A ，利用60xFM ∠=︒，点M 在抛物线24y x =上，建立方程，即可求得FM 的长．【详解】解：由题意得(1,0)F设点M 为(,)a b 过点M 作MA 垂直于x 轴，垂足为A 60xFM ∠=︒，||2||MF FA ∴=，即||2(1)FM a =- ||3MF =，即||3MF =，2(1)3a ∴-=，整理得223(1)b a =-⋯①又M 是抛物线24y x =上一点24b a ∴=⋯②由①②可得3a =或13a =（舍去） ||2(31)4MF ∴=-=故答案为：4．【点睛】本题给出抛物线上的点M 满足60xFM ∠=︒，求焦半径||FM 的长，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．12．相离【分析】由双曲线的离心率可得出然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离并与圆的半径作大小比较由此可得出结论【详解】双曲线的离心率为可得所以双曲线的渐近线方程为圆的圆心坐标为半径为圆心到直线的距离为因解析：相离【分析】由双曲线的离心率可得出b a =，然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离，并与圆的半径作大小比较，由此可得出结论. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2222212c a b b e a a a+===+=b a =，所以，双曲线的渐近线方程为0x y ±=，圆()22214x a y a -+=的圆心坐标为(),0a ，半径为2ar =，圆心到直线0x y ±=的距离为122d r a ==>=，因此，双曲线的渐近线与圆()22214x a y a -+=相离. 故答案为：相离. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，涉及双曲线的离心率以及渐近线方程的应用，求出b 与a 的等量关系是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.13．【分析】首先利用椭圆的定义求出abc 的值进一步求出椭圆的方程【详解】解：在平面直角坐标系xOy 中已知椭圆C 的焦点为F1（﹣20）F2（20）过F2的直线与椭圆C 交于AB 两点若AF2＝3F2BAB ＝B解析：221106x y +=【分析】首先利用椭圆的定义求出a 、b 、c 的值，进一步求出椭圆的方程．【详解】解：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若AF 2＝3F 2B ，AB ＝BF 1，设F 2B ＝x ，则AF 2＝3x ，AB ＝BF 1＝4x ，根据椭圆的定义，整理得AF 1＝2x ，由于△AF 1B 为等腰三角形，所以121cos 4AF F ∠=，利用余弦定理222121212122cos 16F F F F F A A A AF A F F ==+-⋅⋅∠，整理得22116492234x x x x =+-⋅⋅⋅，解得2168105x ==，故x =所以2a ＝5x ＝，解得：a ，由于c ＝2，所以b ，所以椭圆的方程为221106x y +=．故答案为：221106x y +=．【点睛】本题考查的知识要点：椭圆的定义和椭圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．二、解答题14．（1）2213x y +=；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）由直线方程求得焦点坐标，结合点的坐标可列出关于,a b 的方程组，解之可得；（2）直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后，由判别式大于0得m 的范围，设交点坐标()()1122,,,M x y N x y ，应用韦达定理得1212,x x x x +，从而可得中点坐标，若存在，则利用等腰三角形性质，得垂直，从而由向量数量积为0求出m ，若m 满足判别式大于0，说明存在，不满足说明不存在．【详解】（1）在20x y ++=中，令0y =得x c =-=所以224a b -=又过点22P ⎛ ⎝⎭所以22222214a b a b ⎧⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨+=⎪⎪-=⎩解得2231a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆G 的方程为2213x y +=；（2）由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪++⎩得()2246310x mx m ++-=所以()2223648104m m m ∆=-->⇒< 设()()1122,,,M x y N x y则()1221232314m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩设,M N 的中点为(),p p P x y则3,44p p p m m x y x m =-=+= 若BM BN =，则MN BP ⊥，则0MN BP ⋅= 又()30,1,,144m m B BP ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 所以()3,11,1044m m ⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭解得2m = 所以与24m <矛盾所以不存在实数m ，使得BM BN =．【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中的存在性问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，直线方程与椭圆方程联立方程组后消元应用韦达定理得1212,x x x x +，然后把这个结论代入题中其他条件去证明、去求参数．在在性问题一般都是假设存在，按照存在的性质求解，如果能求出相应参数值，说明存在，求不出说明不存在． 15．（1）24y x =；（2）8. 【分析】（1）根据椭圆的方程得出1c =，则得出椭圆的右焦点为()1,0，进而得出抛物线的焦点为()1,0F ，根据抛物线的性质得出2p =，从而得出抛物线的标准方程；（2）设C 、D 两点横坐标分别为1x ，2x ，结合条件和中点坐标公式得出126x x +=，最后根据抛物线的焦点弦公式得出12CD CF DF x x p =+=++，即可得出答案. 【详解】解：（1）由椭圆22143x y +=，可知224,3a b ==，则21c =，即1c =，则椭圆22143x y +=的右焦点为()1,0，所以抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，可知：12p=，∴2p =，所以抛物线的标准方程为24y x =；（2）因为抛物线为24y x =，所以2p =，设C 、D 两点横坐标分别为1x ，2x ，因为线段CD 中点M 的横坐标为3，则1232x x +=，即126x x +=，故12628CD CF DF x x p =+=++=+=. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的简单几何性质，考查抛物线的标准方程、定义以及抛物线的焦点弦公式，熟记抛物线的焦点弦公式是解题的关键. 16．（1）1143a <<；（2）01a <≤或4a ≥. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程，求出a 的范围；（2）再确定集合A ，由双曲线的标准方程得集合B ，然后根据充分必要条件的定义集合包含关系，从而得出a 的不等关系，求得结论．【详解】（1）由方程221382x y a a+=--表示的曲线是表示焦点在x 轴上的椭圆∴(3)(82)0a a ->->， ∴1143a << 解不等式22430(0)x ax a a -+<>可得3(0)a x a a <<>方程221382x y a a+=--表示的曲线是双曲线∴(3)(82)0a a --<， ∴4a >或3a <因为A 是B 的充分不必要条件所以(,3)a a 是(,3)(4,)-∞⋃+∞的真子集所以033a <≤或4a ≥ 解得01a <≤或4a ≥所以a 的取值范围是01a <≤或4a ≥．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．17．（1）22132x y +=；（2 【分析】（1）由题可得221413a b+=，233113a a ⋅=-+-，解得,ab ，即可得椭圆C 的方程；（2）由题可设直线l ：1x my =+，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式计算出点P ，MN，计算得2PQMN =，令t =，采用换元法求解最小值. 【详解】（1）依题意有，221413a b+=，233113a a ⋅=-+-，解得23a =，22b =，椭圆的方程为22132x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()2222123440321x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，得到122423m y y m -+=+，122423y y m -=+ 由弦长公式MN =整理得22123m MN m +=+，又1222223P y y m y m +-==+，2323Px m =+，2P PQ x =-=212PQMN =，令t =，1t≥，上式24554t t t t +⎫==+≥⎪⎝⎭，当254t =，即12m =±时，PQ MN【点睛】方法点睛：求解弦长问题通常应用弦长公式：直线与圆锥曲线交于点()()1122,,,A x y B x y ，则弦长1212AB x y =-=-（k 为直线的斜率）. 18．（1）22196x y +=；（2）2211275x y -=．【分析】（1）由焦距得c ，再由准线方程求得a ，然后可求得b ，得椭圆方程；（2）由渐近线得ba，由双曲线与椭圆有2个公共点，得顶点坐标，即得a ，从而b 求得后可得双曲线方程．【详解】（1）由焦距得2c =c =2a c=得3a =，∴2226b a c =-=，∴椭圆1C 方程为22196x y +=；（2）椭圆221123x y +=在x 轴上顶点为(±，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆221123x y +=有2个公共点，则这两个公共点是双曲线的顶点，∴a =又由一条渐近线方程是52y x =得52b a =，∴b =∴双曲线2C 方程为2211275x y -=．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的标准方程，解题关键是求出,a b ，根据椭圆与双曲线的性质得出,,a b c 的值或关系进而求得,,a b c 是求解的基本方法．19．（1）22143x y +=；（2）3470x y --=.【分析】（1）根据离心率和三角形面积公式，列方程求解即可；（2）联立方程，利用点差法进行求解即可【详解】（1）12122c e a S c b ⎧==⎪⎪⎨⎪=⨯⋅=⎪⎩即：12c a c b ⎧=⎪⎨⎪⋅=⎩∴21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆E ：22143x y +=（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，122y y +=-代入椭圆方程得22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴22221212043x x y y --+= ∴()()()()1212121243x x x x y y y y -+-+=-∴()()()12122243x x y y ---=-即()()121243x x y y --= ∴()()121234y y x x -=-，∴直线的斜率为34k =，∴l ：3470x y --=【点睛】解题关键在于利用点差法，得到22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22221212043x x y y --⇒+=()()()()1212121243x x x x y y y y -+-+⇒=-，进而，利用中点坐标消去12x x +和12y y +，进而求解，属于中档题20．（1）22143x y +=；（2）最大值为3.【分析】（1）根据离心率为12以及过定点2P ⎭，列方程即可得解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+和22143x y +=联立可得()2234690m y my ++-=，结合韦达定理带入面积公式，即可得解. 【详解】（1）依题意有22222123314c a a b c ab ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-= ()()22636340m m ∆=++>，m ∈R ，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， ∴112212112F ABS F F y y y y =-=-==△，令t =，则1t ≥，∴121241313F AB t S t t t==++△.令()13f t t t=+，则当1t ≥时，()f t 单调递增， ∴()()413f t f ≥=，13F AB S ≤△，即当1t =，0m =时，1F ABS 的最大值为3.【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了椭圆中面积的最值问题，考查了韦达定理的应用，有一定的计算量，属于中档题. 本题的关键有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间关系的桥梁，是解决直线和圆锥曲线问题的最重要的方法；（2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的基础. 21．（1）24y x =，（2）证明见解析，定点(8,0) 【分析】（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出p ，然后求抛物线的方程；（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可【详解】解：（1）因为抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，所以12p=，得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，（2）①当直线AB 的斜率不存在时，设22(,),(,)44t t A t B t -，因为直线,OA OB 的斜率之积为12-，所以224412t t t t-⋅=-，化简得232t =，所以(8,),(8,)A t B t -，此时直线AB 的方程为8x =，②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx b =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440ky y b -+=，则124b y y k =，因为,OA OB 的斜率之积为12-，所以121212y y x x ⋅=-，即121220x x y y +=，即可2212122044y y y y ⋅+=，解得120y y =（舍去），或1232y y =-，所以432bk=-，即8b k =-，所以8y kx k =-，即(8)y k x =-，综上所述，直线AB 过x 轴上的一定点(8,0)【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程y kx b =+与抛物线方程24y x =联立方程组可得2440ky y b -+=，再利用根与系数的关系可得124by y k =，再结合直线,OA OB 的斜率之积为12-，可得到,k b 的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题22．（1）2214x y +=；（2）4π或34π．【分析】（1）由题设列出基本量方程组，解得基本量，从而得方程.（2）设直线l 方程，代入椭圆方程得关于x 的一元二次方程，韦达定理整体思想及弦长公式得关于斜率的方程，解得斜率得直线方程. 【详解】(1)由题意可知22222212242b a a b a b c⨯=⎧⎪⎪⨯⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩ ， 2a = ，1b =，c =。

新课标数学选修(1-1)圆锥曲线与方程测试题

高中新课标数学选修（1-1）圆锥曲线与方程测试题一、选择题1．椭圆222312x y +=的两焦点之间的距离为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．答案：Ｃ2．椭圆2214x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 等于（）Ａ．Ｃ．72 Ｄ．4答案：Ｃ3．双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（）Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ．Ｄ．与m 有关答案：Ａ4．焦点为(06)，且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（）Ａ．2211224x y -= Ｂ．2212412y x -= Ｃ．2212412x y -= Ｄ．2211224y x -=答案：Ｄ5．抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（）Ａ．24y x =Ｂ．28y x = Ｃ．24y x =- Ｄ．28y x =-答案：Ｄ6．焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（）Ａ．216y x = 或212x y =-Ｂ．216y x =或216x y =Ｃ．216y x =或212x y =Ｄ．212y x =-或216x y =答案：Ａ7．椭圆22213x y m m+=-的一个焦点为(01)，，则m 等于（）Ａ．1 Ｂ．2-或1 Ｄ．53答案：Ｂ8．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（）Ａ．14 Ｂ．12 Ｃ．答案：D9．以双曲线22312x y -+=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（）Ａ．2211612x y += Ｂ．221164x y += Ｃ．2211216x y += Ｄ．221416x y +=答案：D10．经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：B11．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（）Ａ．(02)，Ｂ．(02)-，Ｃ．(20)，Ｄ．(40)，答案：Ｃ12．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(18)A P -，，为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是（）Ａ．16Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6答案：Ｃ三、填空题 13．已知椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则12PF PF =· ．答案：4814．已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率为．答案：54或5315．圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是．答案：用代数方法研究图形的几何性质16．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为．答案：三、解答题17．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，且焦点1，求椭圆的方程．答案：解：设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>，由椭圆的对称性和正方形的对称性可知：正方形被椭圆的对称轴分割成了4个全等的等腰直角三角形，因此b c =（2c 为焦距）．由题意得2221a c b c a b c ⎧-⎪=⎨⎪=+⎩，，，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，．∴所求椭圆的方程为2212x y +=或2212y x +=．18．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，椭圆与直线280x y ++=相交于点P Q ，，且PQ解：c e a ==，则c =．由222c a b =-，得224a b =．由222214280x y b b x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，，消去x ，得2228160y y b ++-=．由根与系数关系，得124y y +=-，212162b y y -=． 222222121121212()()5()5[()4]10PQ x x y y y y y y y y =-+-=-=+-=，即25[162(16)]10b --=，解得29b =，则236a =．所以椭圆的方程为221369x y +=．19．如图1，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左顶点为B F ，为右焦点，离心率e =过F 作平行于AB 的直线交椭圆于C D ，两点，作平行四边形OCED ，求证：E 在此椭圆上．解：椭圆焦点(0)F c ，，AB b k a =，直线CD 的方程为()b y x c a=-，代入椭圆方程22221x y a b+=，得22220x cx b --=．设1122()()C x y D x y ，，，，则12x x c +=，CD 中点G 的坐标为22c bc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． bc E c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴．c e a=∵，a ∴．将点E 的坐标代入椭圆方程2222222221c b c c a a b a+==满足， ∴点E 在椭圆上．20．已知双曲线与椭圆2212736x y +=有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．解：可以求得椭圆的焦点为12(03)(03)F F -，，，，故可设双曲线方程为22221(00)y x a b a b-=>>，，且3c =，则229a b +=．由已知条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为(A B ，点A 在双曲线上，即2216151a b -=．解方程组2222916151a b ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，，得2245a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，．所以双曲线方程为22145y x -=．21．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x y a b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛ ⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解：由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为22(0)y px p =>，将交点32⎛ ⎝，代入得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(10)，，这也是双曲线的一个焦点，则1c =．又点32⎛ ⎝也在双曲线上，因此有229614a b-=．又221a b +=，因此可以解得221344a b ==，，因此，双曲线的方程为224413y x -=．22．某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图2所示，某卡车载一集装箱，箱宽3m ，车与箱共高4m ，此车能否通过此隧道？请说明理由．解：取抛物线顶点为原点，水平向右为x 轴正方向建立直角坐标系，设抛物线方程为22(0)x py p =->，当3x =时，3y =-，即取抛物线与矩形的结合点(33)-，，代入22x py =-，得96p =，则32p =，故抛物线方程为23x y =-．已知集装箱的宽为3m ，取32x =，则21334y x =-=-．而隧道高为5m ，35m m 4-14m 4m 4=>．所以卡车可以通过此隧道．。

(易错题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(答案解析)

一、选择题1．已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点.若4FA FB =，则k =（）A ．45B C ．23D 2．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（）A ．54 B ．45C ．43D ．343．设直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且N 是线段AB 的中点，若直线l 有且只有4条，则p 的取值范围是（）A ．B ．(1,3)C ．(0,3)D ．4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11BCC B 内一点，且点P 满足到平面11ABB A 的距离等于到点1C 的距离，则点P 的轨迹是（）A ．一条线段B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分5．已知F 是抛物线2:4E y x =的焦点，若直线l 过点F ，且与抛物线E 交于B ，C 两点，以BC 为直径作圆，圆心为A ，设圆A 与y 轴交于点M ，N ，则MAN ∠的取值范围是（）A ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（）A ．2B ．52C ．3D ．728．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y kx =与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过点F ，若C 上存在点P 满足4=BP BF ，则C 的离心率为（） A ．3B ．102C ．5D ．109．设抛物线2:4(0)C x y p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,M N 两点，交l 于点P ，且PF FM =，则||MN =（）A ．2B ．83C ．5D ．16310．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2623⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．22223⎛ ⎝⎭D ．332,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11．已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（） A ．(2,2)B ．2)C ．[2,2]D ．2)12．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（） A ．)2,+∞B ．)2,⎡+∞⎣C ．(2D ．(2⎤⎦二、填空题13．设F 是抛物线2:2C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上两个不同的点，若直线AB 恰好经过焦点F ，则4AF BF +的最小值为_______．14．已知椭圆22:12x C y +=的左焦点为F ，椭圆外一点(0,)(1)P t t >，直线PF 交椭圆于A 、B 两点，过P 作椭圆C 的切线，切点为E ，若23||4||||PE PA PB =⋅，则t =____________．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、焦点为1F 、2F ，点P 为双曲线C 的渐近线上一点，120PF PF ⋅=，若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线C 的离心率为___________.16．在双曲线22221x y a b-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.17．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >，0b >)的两条渐近线与直线1x =-所围成的三角形的面积为4，则双曲线C 的离心率为________.18．已知P 为椭圆22143x y +=上一点，1F 、2F 是焦点，1260F PF ∠=︒，则12F PF S =△______．19．对抛物线C ：24x y =，有下列命题：①设直线l ：1y kx =+，则直线l 被抛物线C 所截得的最短弦长为4；②已知直线l ：1y kx =+交抛物线C 于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③过点()()2,P t t R ∈与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；④若抛物线C 的焦点为F ，抛物线上一点()2,1Q 和抛物线内一点()()2,1R m m >，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分RQF ∠；其中你认为是正确命题的所有命题的序号是______.20．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为______．三、解答题21．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．22．已知抛物线()2:20C y px p =>过点()4,4-，直线2y x m =-+与抛物线C 相交于不同两点A 、B .（1）求实数m 的取值范围；（2）若AB 中点的横坐标为1，求以AB 为直径的圆的方程.23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，离心率为12．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点,Q P ，与椭圆分别交于点,M N ，各点均不重合且满足,PM MQ PN NQ λμ==．若4λμ+=-，证明：直线l 恒过定点．24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，且124AF AF +=. （1）求C 的方程；（2）过点2F 且斜率为1的直线与C 交于点M 、N ，求OMN 的面积.25．已知抛物线24C y x =：的交点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（1）当直线l 的倾斜角为135°时，求AB（2）若过点P （1,2）的直线m 与抛物线C 相切，且直线//m 直线l ，求直线l 的方程 26．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且|AF |＝3.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由4FA FB =可得出124y y =，代入韦达定理求出正数m 的值，即可求得k 的值.【详解】设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，整理得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m .由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由4FA FB =得()12242x x +=+，即124my my =，124y y ∴=，12258y y y m ∴+==，可得285m y =，则22122844165m y y y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 0m >，解得54m =，因此，145k m ==. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.2．D解析：D 【分析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则可得切线,GP GQ 的方程，即可得到直线PQ 的方程，进而可求出点点,M N 的坐标，再结椭圆方程可求出2231OMON+的值【详解】解：设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=，因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=，所以3344(,0),(0,)M N x y ，因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x+=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，解题的关键是设点33(,)G x y ，再由已知条件得到直线PQ 的方程为334x x y y +=，从而可得,M N 的坐标，进而可得答案，考查计算能力和转化能力，属于中档题3．B解析：B 【分析】根据l 有且只有4条，易知直线l 的斜率不存在时，有两条，得到直线l 斜率存在时，有两条，根据N 是线段AB 的中点，利用点差法得到0ky p =，再根据直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，得到0012y x k=--，结合得到02x p =-，2203y p =-再根据点N 在抛物线内部求解. 【详解】设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ，因为l 有且只有4条，当直线l的斜率不存在时，有两条，即2=±x 所以直线l 斜率存在时，有两条，因为AB 在抛物线上，所以21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212122y y p x x -=-，因为N 是线段AB 的中点，所以1202y y y +=，所以12121202y y p pk x x y y y -===-+，即0ky p =，因为直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，所以0012y x k=--，即002x ky p -=-=-，所以02x p =-，代入抛物线22y px =，得()222y p p =-，因为点N 在抛物线内部，所以()2022y p p <-，因为点N 在圆上，所以2200(2)3x y -+=，即2203p y +=，所以2203y p =-，所以()220322y p p p =-<-，即2430p p -+<，解得13p <<，故选：B 【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．4．D解析：D 【分析】由题意画出图形，可知点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等，所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线．【详解】如图，点P 是侧面11BCC B 内的一动点，点P 到直线1BB 的距离即为点P 到面11ABB A 的距离，因为点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等，所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线，故选：D ．【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方法之定义法：将动点轨迹化归为某一基本轨迹（圆，椭圆，双曲线，抛物线等），然后利用基本轨迹的定义，直接写出方程.5．B解析：B 【分析】设设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y ，直线l ：()1y k x =-与 2:4E y x =联立可得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理计算12x x +，12x x ，再求以BC 为直径作圆的半径12r BC =，求出圆心A 点横坐标，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，由圆的性质可得0cos x MAD r∠=并求出其范围，进而可得MAD ∠的范围，再讨论斜率不存在时MAD ∠的值，即可求解. 【详解】由抛物线2:4E y x =可知，焦点()1,0F ，设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y 设直线l ：()1y k x =-代入2:4E y x =可得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k++= ，121=x x ()()22222121212241612444k k x x x x x x k k +⎛⎫+-=+-=-= ⎪⎝⎭，()()()2222212416111k BC k x x k k+=+-=+⨯，所以()2241k BC k +=，以BC 为直径作圆的半径()222112k r BC k+==，圆心为BC 的中点()20122122k x x x k+=+=，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，则()()()22202222221111cos 1222212121k x k k MAD r k k k k ++∠====+<+=+++ 且1cos 2MAD ∠>，所以03MAD π<∠<，当k 不存在时，1,2x y ==±，此时2r ，01x =，1cos 2MAD ∠=，3MAD π∠=，所以03MAD π<∠≤可得203MAN π<∠≤，所以MAN ∠的取值范围是20,3π⎛⎤⎥⎝⎦故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出12MAN ∠的范围，进而可计算MAN ∠的范围.6．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．7．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -= 所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +> 所以点P 到点332D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为： 221111335||||||||||2022222PD PP PD PF DF ⎛⎫⎛⎫+=+-≥-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．8．B解析：B 【分析】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，求出BP ，AF ，BF 的坐标，根据4=BP BF 得到,m n ，由点F 在圆上得到22200=+c x y ，把点P ，B 坐标代入双曲线方程联立，可得答案. 【详解】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，()00,=--BP m x n y ，()00,=+AF c x y ，()00,=--BF c x y ． 4=BP BF ，()000044,c x m x y n y ⎧-=-∴⎨-=-⎩，00433m c x n y =-⎧⎨=-⎩．以AB 为直径的圆过点F ，()()00,,0AF BF c x y c x y ∴⋅=+⋅--=，即22200=+c x y ①，点P ，B 均在双曲线上，2200221x y a b ∴-=②，()()2200224331---=c x y a b ③．②-③整理得()()2000222--=-c x x c y a b ，将22200=-y c x 代入，整理得()22220223-=c a x c，于是()22222200233-=-=b a c y c x c ，最后将20x ，20y 代入双曲线方程，整理得22410c a =，所以2e ==．故选：B. 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用4=BP BF 和AF BF ⋅得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力.9．D解析：D 【分析】由题意作出MD 垂直于准线l ，然后得2PM MD =，得30∠=︒DPM ，写出直线方程，联立方程组，得关于y 的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算. 【详解】如图，过点M 做MD 垂直于准线l ，由抛物线定义得MF MD =，因为PF FM =，所以2PM MD =，所以30∠=︒DPM ，则直线MN方程为1)x y =-，联立21)4x y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去x 得，231030y y -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，所以121210,13y y y y +==，得121016||2233MN y y =++=+=. 故选：D.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||=++AB x x p 或12||=++AB y y p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．10．B解析：B 【分析】由题意设椭圆的左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形，再根据椭圆的定义化简得22cos 2sin a c c ＝＋αα，得到离心率关于α的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围. 【详解】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α，所以22cos 2sin a c c αα+＝，利用2112sin cos 24c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<，124πα<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭e 的取值范围是2⎛ ⎝⎭，故选B . 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到22cos 2sin a c c ＝＋αα,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11．D解析：D 【分析】联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，由于直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，可得210k -≠，由2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得即可【详解】解：联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，因为直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，所以210k -≠，且2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得1k <<，所以实数k 的取值范围为，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是直线方程和双曲线方程联立方程组，消元后结合题意可得2248(1)0k k ∆=+->，1k <，从而可得答案12．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围．【详解】设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e -=-=>．又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ．【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．二、填空题13．【分析】设点设直线的方程为联立直线与抛物线的方程列出韦达定理推导出利用基本不等式可求得的最小值【详解】若直线与轴重合则直线与抛物线只有一个交点不合乎题意易知抛物线的焦点为准线方程为设点设直线的方程为解析：92【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立直线AB 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，推导出112AF BF+=，利用基本不等式可求得4AF BF +的最小值. 【详解】若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意.易知抛物线C 的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得2210y my --=，2440m ∆=+>，由韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，()()()12121212211111*********m y y AF BF my my my my x x +++=+=+=++++++()()21222212122222121m y y m m y y m y y m m +++===+++-++， ()4111144522AF BF AF BF AF BF AF BF BF AF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝，当且仅当2AF BF =时，等号成立，因此，4AF BF +的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】结论点睛：过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，则112AF BF p+=. 14．【分析】设交点由两点得直线方程由直线方程与椭圆方程联立消去后应用韦达定理得可计算代入在上半椭圆用函数解析式表示出上半椭圆并求导数设切点为求出切线方程切点坐标可用表示从而求得代入已知等式后求得值【详解解析：2【分析】设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由两点得直线PF 方程，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，可计算PA PB ，代入1212,x x x x +，P 在上半椭圆，用函数解析式表示出上半椭圆，并求导数，设切点为11(,)x y ，求出切线方程，切点坐标可用t 表示，从而求得2PE ，代入已知等式后求得t 值．【详解】由题意(1,0)F -，直线AB 方程为00(1)t y x t tx t -=+=+--，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2212y tx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(12)4220t x t x t +++-=，2122412t x x t +=-+，21222212t x x t-=+， ∵,PA PB 同向，∴11221212(,)(,)()()PA PB PA PB x y t x y t x x y t y t =⋅=-⋅-=+--22211221222(1)(1)(,)(,)(1)21t t x tx x tx t x x t +-⋅=+=+，设11(,)E x y ，过E 点的切线方程为11()y y k x x -=-，1t >，切点E 在x轴上方，由y =2xy y '==-，∴112PE xk y =-，切线方程为1111()2x y y x x y -=--，化简得1122x x y y +=，直线过(0,)P t ，则122y t =，11y t =，由椭圆方程得21222x t=-， 222211221()2()PE x y t t t t=+-=-+-， ∵23||4||||PE PA PB =⋅，∴22222218(1)(1)32()21t t t t t t +-⎡⎤-+-=⎢⎥+⎣⎦，化简得223t =，∵1t >，∴t =故答案为：2．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交、相切问题，解题方法是设而不求的思想方程，即设交点1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后计算PA PB ，设切点坐标，用导数求出切线斜率，得切线方程，代入坐标(0,)t 可求得切点坐标（用t 表示），求出2PE ，再结合已知条件求出结果．15．【分析】作出图形设与圆相切于点分析出可求得的值进而可得出双曲线的离心率为即可得解【详解】如下图所示设与圆相切于点则则则为的中点则为的中点由直角三角形的性质可得因为为的中点则由于双曲线的两渐近线关于轴解析：2【分析】作出图形，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，分析出23POF π∠=，可求得ba的值，进而可得出双曲线C 的离心率为21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】如下图所示，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，则OE a =，120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥，1OE PF ⊥，则2//OE PF ， O 为12F F 的中点，则E 为1PF 的中点，222PF OE a ∴==，由直角三角形的性质可得1OF OP =，因为E 为1PF 的中点，则1EOF POE ∠=∠，由于双曲线的两渐近线关于y 轴对称，可得21POF EOF ∠=∠，所以，12EOF POE POF ∠=∠=∠，则1223EOF POE POF POF π∠+∠+∠=∠=，所以，23POF π∠=，则tan 33b a π==，因此，双曲线C 的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.16．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所解析：5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率. 【详解】设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --，又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.17．【分析】求出双曲线的渐近线方程求解时的值然后求解三角形的面积推出离心率即可【详解】双曲线的渐近线方程为将代入中解得故故故双曲线的离心率故答案为：【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1【分析】求出双曲线的渐近线方程，求解1x =-时，y 的值，然后求解三角形的面积，推出离心率即可．【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，将1x =-代入b y x a =±中，解得by a=±，故12142ba =，故4b a=，故双曲线C 的离心率c e a ===．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出,a c 的值再代离心率的公式求解）；（2）方程法（根据已知找到关于离心率的方程再解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.18．【分析】利用余弦定理以及椭圆的定义可得再由三角形面积公式计算可得结果【详解】由已知得所以从而在中即①由椭圆的定义得即②由①②得所以故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的定义考查余弦定理的应用三角【分析】利用余弦定理以及椭圆的定义可得124PF PF ⋅=，再由三角形面积公式计算可得结果. 【详解】由已知得2a =，b =1c ==，从而1222F F c ==，在12F PF △中，2221212122cos60F F PF PF PF PF ︒=+-⋅，即2212124PF PF PF PF =+-⋅，① 由椭圆的定义得124PF PF +=，即221212162PF PF PF PF +=+⋅，② 由①②得124PF PF ⋅=，所以12121sin 602F PF S PF PF ︒=⋅=△【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的定义，考查余弦定理的应用、三角形面积公式，对于焦点三角形面积问题，一是结合余弦定理和面积公式，二是利用椭圆定义可得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.19．①②④【分析】①将抛物线与直线联立消去利用根与系数关系求出再由弦长公式即可求出弦长进而可求出弦长的最小值即可判断①的正误；②利用中点坐标公式求出以为直径的圆的圆心的纵坐标判断圆心到直线的距离与半径的解析：①②④ 【分析】①将抛物线与直线联立消去y ，利用根与系数关系求出12x x +，12x x ，再由弦长公式即可求出弦长，进而可求出弦长的最小值，即可判断①的正误；②利用中点坐标公式，求出以AB 为直径的圆的圆心的纵坐标，判断圆心到直线的距离121y y ++与半径||2AB r =的大小关系，即可判断②的正误； ③将2x =代入24x y =，可得()2,1P 在抛物线上，此时当直线的斜率不存在时，只有一个交点，当直线与抛物线相切时，也只有一个交点，故与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，可判断③错误；④设1l 的方程为()12y k x -=-，将直线与抛物线联立消去y ，利用判别式即可求出k ，进而可求出直线1l 的倾斜角，即可判断④的正误. 【详解】①联立方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得2440x kx --=，216160k ∆=+>恒成立，设两交点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，所以由根与系数的关系得124x x k +=，124x x ⋅=-，故AB ==2444k =+≥，当0k =时，AB 取得最小值4，所以最短弦长为4，故①正确，②由①可知124x x k +=，则21212242y y kx kx k +=++=+，故以AB 为直径的圆的圆心坐标为()22,21k k +，半径2222ABr k ==+，抛物线24x y =的准线方程为1y =-，故圆心到准线1y =-的距离2221122d k k r =++=+=，所以以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故②正确，③将2x =代入24x y =，解得1y =，所以当1t =时，即()2,1P 在抛物线上，当直线的斜率不存在时，方程为2x =，此时只有一个交点()2,1，当直线斜率存在且只与抛物线只有一个交点时，当且仅当该直线为切线时满足条件，所以过点()2,P t 只与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，故③错误， ④因为抛物线的焦点为()0,1F ，又()2,1Q ，()2,R m ，所以三角形FQR 为直角三角形且过()2,1Q 的切线斜率一定存在，设1l 的方程为()12y k x -=-，代入24x y =，可得24840x k k -+-=，由()2164840k k ∆=--=可得1k =，即直线1l 的倾斜角为45︒，因为直线2l 过点Q 且与1l 垂直，所以一定平分RQF ∠，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组； (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．20．【分析】设左焦点为根据椭圆的定义有且O 是直角三角形斜边的中点所以离心率由角的范围可求得离心率的最大值【详解】因为关于原点对称所以B 也在椭圆上设左焦点为根据椭圆的定义：又因为所以O 是直角三角形斜边的中【分析】设左焦点为F '，根据椭圆的定义有，||||2AF BF a +=，且O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，离心率11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由角的范围可求得离心率的最大值. 【详解】因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为F '，根据椭圆的定义：||2AF AF a '+=，又因为||BF AF '=，所以||||2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，所以2(sin cos )2c a αα+=，所以11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12πα=,故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：求椭圆的离心率关键在于由椭圆的定义，善于利用平面几何中的边、角关系建立关于,,a b c 的等式或不等式.三、解答题21．（1）22122y x -=；（2）8.【分析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，再由点到直线距离公式求解即可；（2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可. 【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b =⎧=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -=（2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x =-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=．由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=．所以，线段AB 的长是8．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 22．（1）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）()()2215114x y -++=.【分析】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，再将直线2y x m =-+的方程与抛物线C 的方程联立，利用0∆>可求得实数m 的取值范围；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，列出韦达定理，由线段AB 的中点的横坐标可求得m 的值，可求得线段AB 的中点坐标，利用弦长公式可求得AB ，进而可求得以线段AB 为直径的圆的方程. 【详解】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，可得()28416p =-=，解得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，联立224y x m y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得()224440x m x m -++=，由已知条件可得()22441632160m m m ∆=+-=+>，解得12m >-，因此，实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得121x x m +=+，2124m x x =，由于AB 中点的横坐标为1，则1212x x m +=+=，解得1m =，1214x x ∴=，由弦长公式可得12AB x x =-===，所以，所求圆的圆心坐标为()1,1- 因此，以AB 为直径的圆的方程为()()2215114x y -++=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.23．（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得122,2c c a ==，再由222b a c =-求出b 的值，从而可得椭圆C 的标准方程；（2）设()()(0,),(,0)(0),,,,M M N N P p Q q q M x y N x y >，从而得()()()(),,,,,,,M M M M N N N N PM x y p MQ q x y PN x y p NQ q x y =-=--=-=--，然后由,PM MQ PN NQ λμ==，可得()222312244120q p λλ--+-=和()222312244120qp μμ--+-=，由此可知,λμ为方程()222312244120q x x p --+-=的两不相等实数根，所以有2244312q λμ+==--，可求出q 的值，从而可得答案【详解】（1）依题意，22,1c c =∴=．由12c a =，得2,a b =∴= 故椭圆方程为22143x y +=．（2）设()()(0,),(,0)(0),,,,M M N N P p Q q q M x y N x y >，()()()(),,,,,,,M M M M N N N N PM x y p MQ q x y PN x y p NQ q x y ∴=-=--=-=--．由PM MQ λ=，得()()M M M M x q x y p y λλ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，11M M q x p y λλλ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩．∵点M 在椭圆上，2211143q p λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴+=，整理得()222312244120qp λλ--+-=．同理，由PN NQ μ=可得()222312244120q p μμ--+-=．,λμ∴为方程()222312244120q x x p --+-=的两不相等实数根，2244312q λμ∴+==--． 22q ∴=．又0,q q >∴=∴直线l恒过定点Q ．【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由,PM MQ PN NQ λμ==，得到()222312244120q p λλ--+-=和()222312244120q p μμ--+-=，从而有,λμ为方程()222312244120qx x p --+-=的两不相等实数根，再利用根与系数的关系可得答案，考查数学转化思想，属于中档题24．（1）22143x y +=；（2）7. 【分析】（1）利用椭圆的定义可求出a 的值，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，求出2b 的值，进而可得出椭圆C 的方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，写出直线MN 的方程，联立直线MN 与椭圆C 的方程，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得OMN 的面积. 【详解】（1）由椭圆的定义可得1224AF AF a +==，可得2a =，椭圆C 的方程为22214x y b+=，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程可得291414b +=，解得23b =，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；。

新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测卷(包含答案解析)(1)

一、填空题1．已知双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆()22x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是________．2．已知圆的方程为224x y +=，若抛物线过点()1,0A -，()1,0B ，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________.3．已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，P 为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为___________.4．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与双曲线()2211221110,0x y a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，点P 是两条曲线的一个交点，122F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，122e e ，则2212e e +=__________.5．已知点A ，B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点P 在椭圆上，直线AP 的斜率为3，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为______．6．如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为____________米.7．在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为____________.8．已知1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，且离心率23e =，点P是椭圆上位于第二象限内的一点，若12PF F △是腰长为4的等腰三角形，则12PF F △的面积为_______.9．设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且123PF PF =，则该双曲线的离心率为__________.10．设椭圆22162x y += 与双曲线2213x y -= 有公共焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠ 等于__________．11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为____．12．如图，过原点O 的直线AB 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ．AQ 交椭圆C 于点P ．Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若45AM AP =，则椭圆C 的离心率是__________．13．已知抛物线方程为24y x =-，直线l 的方程为240x y +-=，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，点A 到直线l 的距离为n ，则m n +的最小值为______. 二、解答题14．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，曲线C 是以2F 为圆心且过原点的圆.（1）求曲线C 的方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足1F M MP →→=，求M 的轨迹方程. 15．已知()()()22:3400,q :112x y p m a m a a m m--<>+=--．（1）若q 表示双曲线，求实数m 的取值范围；（2）若q 表示焦点在y 轴上的椭圆，且q ⌝是p ⌝中的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．16．已知椭圆E 中心为坐标原点，一个焦点为()1,0且与直线7y x =+有公共点. （1）求椭圆E 长轴最短时的标准方程；（2）在（1）的条件下，若椭圆E 上存在不同两点关于直线4y x m =+对称，求实数m的取值范围.17．已知椭圆的2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的焦距为26，且过点(2,1)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）若不经过点A 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，求k 的值.18．已知双曲线1C 的方程为22143x y -=，椭圆2C 与双曲线有相同的焦距，1F ，2F 是椭圆的上、下两个焦点，已知P 为椭圆上一点，且满足12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9. （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）点A 为椭圆的上顶点，点B 是双曲线1C 右支上任意一点，点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.19．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为12,F F ，过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点.（1）若01260AF F ∠=，且 120AF AF ⋅=求椭圆的离心率. （2）若2,1a b ==，求22F A F B ⋅的最大值和最小值.20．已知点Q 是圆M ：()22116x y ++=上一动点（M 为圆心），点N 的坐标为()1,0，线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点C ，动点C 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）求直线1y x =-与曲线E 的相交弦长；（3）曲线E 的右顶点为B ，直线l ：y kx m =+与椭圆E 相交于点S ，T ，则直线BS ，BT 的斜率分别为1k ，2k 且123k k +=，BD ST ⊥，D 为垂足，问是否存在某个定点A ，使得以AB 为直径的圆经过点D ？若存在，请求出A 的坐标；若不存在，请说明理由？21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(0,2)A -，且椭圆C 的右顶点B 到直线20x y ++=的距离为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点()20P ，且与直线AB 平行的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，求OMN 的面积(O 为坐标原点)．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且椭圆C 过点33,2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎭，离心率12e =，点P 在椭圆C 上，延长1PF 与椭圆C 交于点Q ，点R 是2PF 的中点．（1）求椭圆C 的方程．（2）若点O 是坐标原点，记1QF O 与1PF R 的面积之和为S ，试求S 的最大值．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且椭圆上的点到焦点的最长距离为12+（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P 的直线l (不过原点O )与椭圆C 交于两点A ､B ，M 为线段AB 的中点. （i ）证明：直线OM 与l 的斜率乘积为定值；（ii ）求OAB 面积的最大值及此时l 的斜率.24．已知椭圆C ：22142x y +=.（1）求椭圆的离心率.（2）已知点A 是椭圆C 的左顶点，过点A 作斜率为1的直线m ，求直线m 与椭圆C 的另一个交点B 的坐标.（3）已知点(0,22M ，P 是椭圆C 上的动点，求PM 的最大值及相应点P 的坐标.25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，||4AB =.过右焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于,D E 两点，且||1DE =.（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率大于0的直线l 经过点(4,0)P -，且交椭圆C 于不同的两点,M N （M 在点,P N 之间）.记PNA 与PMB △的面积之比为λ，求实数λ的取值范围.26．已知曲线()()222240.a x by b a b R Γ--+-=∈：，下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.①若42a b ==，，写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程､顶点坐标､焦点坐标､及x y 、的取值范围；②若32a b ==，，写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；③若3a =，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b 如何变化，这两点都不在曲线Γ上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有而焦点到双曲线渐近线的距离为故利用双曲线的离心率的计算公式解答【详解】解：∵所以离心率圆是以为圆心半径的圆要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有解析：(3【分析】要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，故2TF a b =≥，利用双曲线的离心率的计算公式解答．【详解】解：∵0b >，0a >，所以离心率211c b e a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，圆()22x c y a -+=是以(),0F c 为圆心，半径r a =的圆，要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，所以TF b =≥，即b a c e a ==，所以双曲线M 的离心率的取值范围是(．故答案为：(．【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用．2．【分析】根据题意可知：焦点到和的距离之和等于和分别到准线的距离和；而距离之和为和的中点到准线的距离的二倍即所以焦点的轨迹方程是以和为焦点的椭圆由此能求出该抛物线的焦点的轨迹方程【详解】解：设抛物线焦解析：22143x y +=(0)y ≠【分析】根据题意可知：焦点到A 和B 的距离之和等于A 和B 分别到准线的距离和；而距离之和为A 和B 的中点O 到准线的距离的二倍，即24r =，所以焦点的轨迹方程C 是以A 和B 为焦点的椭圆，由此能求出该抛物线的焦点F 的轨迹方程. 【详解】解：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线1AA ，1BB ，1OO ，则|有11124AA BB OO +==；由抛物线定义得11AA BB FA FB +=+，4FA FB ∴+=，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，∴ 抛物线的焦点轨迹方程22143x y +=(0)y ≠.故答案为：22143x y +=(0)y ≠.【点睛】关键点点睛：抛物线方程中，抛物线上的点到焦点F 的距离等于到准线的距离，牢记它对解题非常有益．3．【分析】根据椭圆的几何性质由轴设写出的直线方程求出与轴的交点的坐标以及点的坐标根据化简得到即可求解【详解】由题意椭圆的左右焦点分别为且因为轴不妨设则直线的方程为令可得所以直线与轴的交点为又由所以化简解析：13【分析】根据椭圆的几何性质，由2PF x ⊥轴，设(,)M c t ，写出AM 的直线方程，求出AM 与y 轴的交点N 的坐标，以及Q 点的坐标，根据3ON OQ =，化简得到3a c =，即可求解. 【详解】由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，且(,0)A a ，因为2PF x ⊥轴，不妨设(,)(0)M c t t ≠，则直线AM 的方程为()ty x a c a=--，令0x =，可得aty a c=-，所以直线AM 与y 轴的交点为1(0,),(0,)2at N Q t a c -，又由3ON OQ =，所以132at t a c =⨯-，化简得3a c =，所以椭圆的离心率为13c e a ==. 故答案为：13. 【点睛】求解椭圆的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.4．【分析】设PF1＝sPF2＝t 由椭圆的定义可得s+t ＝2a 由双曲线的定义可得s ﹣t ＝2a1利用勾股定理和离心率公式得到化简计算即可得出结论【详解】不妨设P 在第一象限再设PF1＝sPF2＝t 由椭圆的定解析：8【分析】设PF 1＝s ，PF 2＝t ，由椭圆的定义可得s +t ＝2a ，由双曲线的定义可得s ﹣t ＝2 a 1，利用勾股定理和离心率公式得到2212224e e =+，化简计算即可得出结论．【详解】不妨设P 在第一象限，再设PF 1＝s ，PF 2＝t ，由椭圆的定义可得s +t ＝2a ，由双曲线的定义可得s ﹣t ＝2a 1，解得s ＝a +a 1，t ＝a ﹣a 1，由∠F 1PF 22π=，在三角形F 1PF 2中，利用勾股定理可得22222221114()()22c s t a a a a a a =+=++-=+． ∴2212224e e =+，化简221222221212121=e e e e e e ++=，又由e 1e 2＝2，所以22221212=28e e e e +=. 故答案为：8．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．在解题的过程中要合理的利用平面几何的思想，适当利用勾股定理，建立离心力的关系式，在化简的过程中根据题目的条件和结论合理构造和变形，这样解题会轻松一点.5．【分析】求出直线的方程设则由点到直线的距离公式可得解得再由椭圆的有界性即可得出最值【详解】解：由题可知则直线的方程是设点的坐标是则到直线的距离是于是又解得所以点设椭圆上的点到点的距离为有由于所以当时【分析】求出直线AP 的方程，设(),0M m ，则由点到直线的距离公式可得662m m +=-，解得2m =，再由椭圆的有界性即可得出最值. 【详解】解：由题可知()()6,0,6,0A B -，则直线AP的方程是60x -+=．设点M 的坐标是()0m ,，则M 到直线AP 的距离是62m +，于是662m m +=-，又66-≤≤m ，解得2m =，所以点()2,0M ．设椭圆上的点(),x y 到点M 的距离为d ，有()222225244209d x y x x x =-+=-++-2491592x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于66x -≤≤．所以当92x =时，d6．（或）【分析】以抛物线的顶点为坐标原点抛物线的对称轴所在直线为轴建立平面直角坐标系设所求抛物线的方程为由题意可得出点在该抛物线上可求得的值然后将代入抛物线的方程进而可求得结果【详解】以抛物线的顶点为解析：9625（或3.84）【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设所求抛物线的方程为22x py =-，由题意可得出点()10,4A --在该抛物线上，可求得p 的值，然后将2x =代入抛物线的方程，进而可求得结果. 【详解】以抛物线的顶点O 为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为22x py =-，由题意可知点()10,4A --在该抛物线上，所以，()10024p =-⨯-，解得252p =，所以，抛物线的方程为225x y =-，当2x =时，2242525y =-=-，因此，最长的支柱的长度为49642525-=（米）. 故答案为：9625（或3.84）. 【点睛】利用解析法解决平面几何问题的步骤如下：（1）建立合适的坐标系；（2）将几何元素用代数形式加以表示；（3）将几何关系转化为数学运算；（4）将数学结果转化为实际结论.7．【分析】由正弦定理可得结合椭圆的定义可得点的轨迹方程即可得解【详解】因为所以所以点的轨迹是以为左右焦点长轴长的椭圆（不在x 轴上）该椭圆焦距所以所以点的轨迹方程为当时所以面积的最大值故答案为：【点睛】解析：3【分析】由正弦定理可得2BC AB AC +=，结合椭圆的定义可得点B 的轨迹方程，即可得解. 【详解】因为sin sin 2sin A C B +=，4AC =，所以28BC AB AC AC +==>，所以点B 的轨迹是以A 、C 为左右焦点，长轴长28a =的椭圆（不在x 轴上），该椭圆焦距24c =，所以22212b a c =-=，所以点B 的轨迹方程为()22101612x y y +=≠，当0x =时，y =±，所以ABC 面积的最大值max 142S =⨯⨯=故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理转化条件为2BC AB AC +=，再结合椭圆的定义即可得解.8．【分析】由题意可计算出由是腰长为4的等腰三角形且点在第二象限可得的值过作于点可得的值可得的面积【详解】解：由题意知则又∴由椭圆的定义得又是腰长为4的等腰三角形且点在第二象限∴过作于点则∴的面积为故答【分析】由题意可计算出2c =，3c =，由12PF F △是腰长为4的等腰三角形，且点P 在第二象限，可得2PF 、1PF 的值，过2F 作21F D PF ⊥于点D ，可得PD ，2DF 的值，可得12PF F △的面积.【详解】解：由题意知24c =，则2c =，又23c e a ==，∴3a =，由椭圆的定义得1226PF PF a +==，又12PF F △是腰长为4的等腰三角形，且点P 在第二象限，∴24PF =，12=PF ，过2F 作21F D PF ⊥于点D ，则1PD =，2DF =∴12PF F △的面积为122⨯=【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单的几何性质、三角形面积的计算，考查学生的逻辑推理能力、数学计算能力，属于中档题.9．【分析】取的中点由可得由是的中位线得到由双曲线的定义求出和的值进而在中由勾股定理可得结论【详解】解：取的中点则∵∴∴∵是的中位线∴由双曲线的定义得∵∴中由勾股定理得∴∴故答案为：【点睛】本题考查求双解析：31+【分析】取2PF 的中点A ，由()220OP OF F P +⋅=，可得2OA F P ⊥，由OA 是12PF F △的中位线，得到12PF PF ⊥，由双曲线的定义求出1PF 和2PF 的值，进而在12PF F △中，由勾股定理可得结论. 【详解】解：取2PF 的中点A ，则 ∵()220OP OF F P +⋅=， ∴220OA F P ⋅=， ∴2OA F P ⊥，∵OA 是12PF F △的中位线， ∴12PF PF ⊥，112OA PF =. 由双曲线的定义得122PF PF a -=， ∵123PF PF =， ∴231PF =-，12331aPF =-. 12PF F △中，由勾股定理得222124PF PF c +=，∴2222343131a c ⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， ∴31e =+. 故答案为：31+. 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断12PF F △是直角三角形，是解题的关键.10．【解析】试题分析：则考点：1椭圆定义；2双曲线定义；3余弦定理；解析：13【解析】试题分析：，，，则，，考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理；11．6【解析】因为双曲线的右焦点为所以解析：6 【解析】因为双曲线22145x y -=的右焦点为(3,0) ，所以3,62p p ==12．【分析】先设出两点的坐标分别为由此可得而则得再由和BMQ 三点共线可得而两点在椭圆上把其坐标代入椭圆方程中两方程作差得由此可得从而可求出离心率【详解】设）则由则再由BMQ 三点共线则故故即又因为即所以故 25【分析】先设出,A Q 两点的坐标分别为()()1122 ,,,A x y Q x y ，由此可得()()1111,,,B x y P x y ---，而则45AM AP =得113(,)5M x y -，再由AB AQ ⊥，和B ，M ，Q 三点共线可得222221211()5y y x x -=--，而,A Q 两点在椭圆上，把其坐标代入椭圆方程中，两方程作差得22221212220x x y y a b --+=，由此可得2215b a =，从而可求出离心率. 【详解】设()()1122 ,,,A x y Q x y ），则()()1111,,,B x y P x y ---，113(,)5M x y - 由AB AQ ⊥，则1211211y y y x x x -⋅=--，再由B ，M ，Q 三点共线，则1211215y y y x x x +=+，故2121212115y y x x x x y y +-=-⋅+-，故即222221211()5y y x x -=--，又因为2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，即22221212220x x y y a b--+=，所以2215b a =，故椭圆C ．【点睛】此题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的离心率，考查运算能力，利用了数形结合的思想，属于中档题.13．【分析】过点作直线的垂线垂足为过点作准线的垂线垂足为交轴于点根据抛物线的定义可知所以过点作直线的垂线垂足为当点在与抛物线的交点时最小从而可求出答案【详解】如图焦点为抛物线的准线方程为过点作直线的垂线解析：15- 【分析】过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+，所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，从而可求出答案. 【详解】如图，焦点为()1,0F -，抛物线的准线方程为1x =，过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，则AH n =，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，则AB m =，1AC m =+，根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+，所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，则15FH ==,当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，为1FH =，此时，m n +1.故答案为：6515-.【点睛】本题考查抛物线的性质，考查点到直线距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、解答题14．（1）()22416x y-+=；（2）224x y+=.【分析】（1）求出圆心和半径即得解；（2）设动点(),M x y，()00,P x y，由1F M MP→→=得0242x xy y=+⎧⎨=⎩，代入圆的方程即得解.【详解】（1）由已知得212a=，24b=，故224c a b=+=，所以()14,0F-､()24,0F，因为C是以2F为圆心且过原点的圆，故圆心为()4,0，半径为4，所以C的轨迹方程为()22416x y-+=；（2）设动点(),M x y，()00,P x y，则()14,F M x y→=+，()00,MP x x y y→=--，由1F M MP→→=，得()()004,,x y x x y y+=--，即()()04x x xy y y⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，解得0242x xy y=+⎧⎨=⎩，因为点P 在C 上，所以()2200416x y -+=，代入得()()22244216x y +-+=，化简得224x y +=. 所以M 的轨迹方程为224x y +=. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；（4）消参法.要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程. 15．（1）()()–,12,∞+∞；（2）13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据曲线方程，列式()()120m m --<，求m 的取值范围；（2）分别求两个命题为真命题时，m 的取值范围，根据命题的等价性转化为p 是q 的充分不必要条件，转化为真子集关系，求实数a 的取值范围. 【详解】（1）由()()120m m --<，得1m <或2m >，即()()–,12,m ∈∞⋃+∞（2）命题p ∶由()()()3400m a m a a --<>，得34a m a <<．命题q ∶22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则102021m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得312m <<，因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，则31342a a ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得1338a ≤≤，故实数a 的取值范围为：13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．16．（1）22143x y +=；（2）⎛ ⎝⎭.【分析】（1）首先利用对称性作点1(1,0)F -关于直线y x =+的对称点()'1,F x y ，由对称性可知11PF PF '=，利用公式'12122||||||||a PF PF PF PF =+=+，求长轴的最小值；（2）首先设椭圆上存在111(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线4y x m =+对称，则直线AB 方程为14y x n =-+，直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系和对称关系，列式求m 的取值范围. 【详解】（1）由已知椭圆焦点1(1,0)F -，2(1,0)F ，设点P 是椭圆E与直线y x =+ 求得1(1,0)F -关于直线y x =的对称点()'1,F x y ，则12211y x y x -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，解得：1x y ==，即()11F ',124F F '==则椭圆长轴长''1212122||||||||||4a PF PF PF PF F F =+=+≥=，∴椭圆长轴最短时方程为：22143x y +=（2）设椭圆上111(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线4y x m =+对称，则,A B 在与直线4y x m =+垂直的直线上，设为14y x n =-+，由2214143y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：221324(3)04x nx n -+-= 令0∆>，则2413n <① 又12813nx x +=，,A B 中点412(,)1313n n ，代入4y x m =+有：413n m =，代入①解得：m <<故m 的取值范围是：,1313⎛- ⎝⎭.【点睛】思路点睛：本题第一问考查与直线有关的对称问题，当点P 在直线上运动，求点P 到两个定点的距离的最值，需注意，两定点在直线的异侧，求和的最小值，两定点在直线的同侧，求差的最大值，如果不是这样，需用对称性，进行转化.17．（1）22182x y +=；（2）12k =【分析】（1）利用椭圆的定义122a AF AF =+，求a ，再利用222b a c =-求解；（2）直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系，表示0AP AQ k k +=，化简变形求解k 的值. 【详解】（1）由条件可知2c c ==x轴，所以()1F，)2F ，则122a AF AF =+====28a ∴=，2222b a c =-=，所以椭圆C 的方程22182x y +=；（2）设()11,P x y ，()22,Q x y联立方程22182y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，()222148480k x kmx m +++-=，()()222264414480k m k m ∆=-+-> 即2228m k <+，122814km x x k +=-+，21224814m x x k -=+，121211022AP AQ y y k k x x --+=+=--，即()()()()()()2112122121022x y x y x x --+--=--()()()()211221210x kx m x kx m -+-+-+-=，()()()1212221410kx x k m x x m --++--=即()()()2222488214101414k m km k m m k k--++--=++，整理得()()21210k m k -+-=，所以12k =或12m k =-，若12m k =-，则直线l 过点()2,1A ，不合题意，所以直线PQ 的斜率为定值，该定值是12. 【点睛】关键点点睛：解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出1212,x x x x +，得121211022AP AQ y y k k x x --+=+=--，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．18．（1）221169y x +=；（2）()222413y x --=（1≥x ）. 【分析】（1）根据条件先求解出双曲线的半焦距c ，然后结合三角形的面积、勾股定理、椭圆的定义求解出椭圆方程中2a 的值，从而椭圆方程可求；（2）设(),M x y ，()00,B x y ，根据条件用M 点的坐标表示出B 点的坐标，再根据B 在双曲线上求解出,x y 满足的等式即为轨迹方程. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c ，由题2437c =+=，设椭圆方程22221y xa b+=（0a b >>）.∴1222212121924282PF PF PF PF c PF PF a⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪+=⎪⎪⎩，∴2221212142+4=64a PF PF PF PF ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+∴216a =，∴2221679b a c =-=-=，∴2:C 221169y x +=；（2）由题点()0,4A .设双曲线右支上任意一点B 的坐标为()00,x y ，AB 中点M 的坐标为(),x y ，则00242x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴00224x xy y =⎧⎨=-⎩，又点B 在双曲线上，∴2200143x y -=∴()222413y x --=（1≥x ）.【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为P ，焦点为12,F F ，且12F PF θ∠=，则有：（1）椭圆的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为短轴长度一半）；（2）双曲线的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为虚轴长度一半）. 19．（11；（2）最大值72；最小值1-. 【分析】（1）因为在焦点三角形12AF F 中，120AF AF ⋅=，则12AF AF ⊥，又因为01260AF F ∠=，所以12,AF c AF ==，所以1212212F F c c e a a AF AF =====+，（2）若1a b ==，则1c =，12(1,0),(1,0)F F -，当AB 垂直于x 轴时，可求出,A B两点的坐标，从而可得22F A F B ⋅的值，当AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =+，与椭圆方程联立成方程组，消去y 后，整理再利用韦达定理得2122412k x x k+=-+, 21222(1)12k x x k -⋅=+，从而可得22F A F B ⋅=22271791222(12)k k k -=-++，进而可求出其取值范围【详解】（1）120AF AF ⋅=，12AF AF ∴⊥因为1260AF F ∠=。

(压轴题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测卷(有答案解析)(3)

一、选择题1．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线250x y -+=过点F 且与双曲线C 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，||||OP OF =，则双曲线的离心率为（） A ．2B ．3C ．2D ．52．已知双曲线22221x y a b -=的两个焦点分别为21(,0)(,0)(0)F c F c c ->，过点2,0a P c ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且122F A F B =-，求双曲线的离心率（） A ．2B ．3C ．5D ．63．已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，则222AF BF +的最小值是（） A ．36B ．48C ．72D ．964．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若16MF OM =，则E 的离心率为（）A 3B ．2C 5D 25．已知F 是抛物线2:4E y x =的焦点，若直线l 过点F ，且与抛物线E 交于B ，C 两点，以BC 为直径作圆，圆心为A ，设圆A 与y 轴交于点M ，N ，则MAN ∠的取值范围是（） A ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若2ABF 为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A ．2±B ．3C ．6±D ．7±7．设抛物线2:4(0)C x y p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,M N 两点，交l 于点P ，且PF FM =，则||MN =（）A ．2B ．83C ．5D ．1638．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，若直线:l y kx =，33k ∈⎣与双曲线C 交于M 、N 两点，且11MF NF ⊥，则双曲线C 的离心率的取值范围是（） A ．()1,2B ．)2,2⎡⎣C ．2,31⎡⎤⎣⎦D ．(31⎤⎦9．如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．设1F 、2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1PF <2PF ，线段1PF 垂直平分线经过2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e 、2e ，则129e e +的最小值（）A ．2B ．4C ．6D ．811．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(1,8),A P -为抛物线上一点，则||||PA PF +的最小值是（） A ．3B ．9C ．12D ．612．已知12,F F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且1223F PF π∠=，若椭圆1C 离心率记为1e ，双曲线2C 离心率记为2e ，则222127e e +的最小值为（） A ．25 B ．100 C ．9 D ．36二、填空题13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点12,,P F F 分别为其左右焦点，圆M是12PF F △内切圆，且1PF 与圆M 相切于点2,||2c A PA a=（c为半焦距），若122PF PF >，则双曲线离心率的取值范围是_____． 14．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.15．已知1F ､2F 为椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 为1C 和2C 的一个公共点，且1213F PF π∠=，椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的最大值为________________.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，过O 作⊥OD AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为()2,1，则椭圆C 的方程为_________．17．已知双曲线M ：22221x y a b-=（0a >，0b >），ABC 为等边三角形．若点A 在y轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为________．18．已知椭圆2212x y +=上存在相异两点关于直线y x t =+对称，则实数t 的取值范围是______.19．抛物线24y x =的焦点为F ，点(2,1)A ，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则MAF ∆周长的最小值为____．20．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点为12F F ，，过2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，若1ABF 是等边三角形，则椭圆C 的离心率等于________.三、解答题21．设1F ､2F 分别是椭圆2214xy +=的左､右焦点.（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的取值范围；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A ､B ，且AOB ∠为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围.22．已知抛物线C ：()220y px p =>过点()2,4T -．（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）已知点()4,0A ，过点()4,0B -的直线l 交抛物线C 于点M 、N ，直线MA ，NA分别交直线4x =-于点P 、Q ．求PBBQ的值．23．已知抛物线()2:20C y px p =>，直线()0y kx k =>与C 交于点A (与坐标原点O不重合)，过OA 的中点P 作与x 轴平行的直线l ，直线l 与C 交于点,Q 与y 轴交于点.R （1）求PR QR；（2）证明:直线AR 与抛物线C 只有一个公共点.24．设曲线()22:10,0C mx ny m n +=>>过()(2,3,M N 两点，直线():2l y k x =-与曲线C 交于,P Q 两点，与直线8x =交于点R .（1）求曲线C 的方程；（2）记直线,,MP MQ MR 的斜率分别为123,,k k k ，求证：123k k k λ+=，其中λ为定值.25．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，点M 为短轴的一个端点，离心率为12，12MF F △的面积S = （1）求椭圆C 的方程；（2）设A 是椭圆上的一点，B 是点A 关于x 轴的对称点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别于x 轴交于不同的点C 、D ，O 为坐标原点，求POC POD S S ⋅△△的最大值，并求出此时P 点的坐标26．如图，已知点P 是x 轴下方(不含x 轴)一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A ､B 满足PD DA λ=，PE EB λ=，其中λ为常数，且D ､E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M .（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】焦点三角形1PFF 满足||||OP OF =，可根据三角形一边的中线是该边的一半，可判断该三角形是直角三角形.算出该三角形的中位线OH ，可得到12PF =，根据双曲线定义和勾股定理计算出,a c 求解. 【详解】直线250x y -+=过点F ，可得()5,0F - 设右焦点为1F ，PF 的中点为H .因为O 是1FF 的中点，且||||OP OF =，故三角形1PFF 为直角三角形.1PF PF ⊥，故OH PF ⊥由点到直线距离公式有()225112OH ==+-故12PF =，12PF PF a -=，(22221125PF PF F F +==故()2222220a ++=.可得1a =5ce a == 故选：D 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．2．B解析：B 【分析】先根据题意画出图形，再根据122F A F B=-，得到21F AF B B P ∽，根据相似比得到222a a c c c c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭，即可求出离心率. 【详解】解：如图所示：122F A F B =-，12//F A F B ∴，12AF B BF P ∴∽，且122F PF P=, 即222a a c c c c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭，两边同时除以a 得2a c c a c a a c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭，即122e e e e+=-，又1e >，解得：3e =. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用三角形相似比得到,a c 的关系式，进而求得离心率.3．D解析：D 【分析】求得2AF BF a +=，结合a c BF a c -<<+，利用二次函数的基本性质可求得222AF BF +的最小值.【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，在椭圆C 中，6a =，25b =，则224c a b =-=，由题意可知，点A 、B 关于原点对称，且O 为FF '的中点，所以，四边形AFBF '为平行四边形，所以，BF AF '=，由椭圆的定义可得212AF BF AF AF a '+=+==，0k ≠，a c BF a c ∴-<<+，即210BF <<，()()2222222122324144349696AF BF BFBF BF BF BF ∴+=-+=-+=-+≥，当且仅当4BF =时，等号成立，因此，222AF BF +的最小值为96. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出AF BF +；（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.4．A解析：A 【分析】由点到直线的距离公式可得2||MF b =，由勾股定理可得||OM a =，则1MF =，1cos aFOM c∠=-，由此利用余弦定理可得到a ，c 的关系，由离心率公式计算即可得答案．【详解】由题得2(,0)F c ，不妨设:0l bx ay -=，则2||MF b ==，OM a ==，1MF =，12cos cos aFOM F OM c ∠=-∠=-，由余弦定理可知222222111||||622OM OF MF a c a a OM OF ac c+-+-==-⋅，化为223c a =，即有==ce a故选：A ．【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．5．B解析：B 【分析】设设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y ，直线l ：()1y k x =-与 2:4E y x =联立可得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理计算12x x +，12x x ，再求以BC 为直径作圆的半径12r BC =，求出圆心A 点横坐标，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，由圆的性质可得0cos x MAD r∠=并求出其范围，进而可得MAD ∠的范围，再讨论斜率不存在时MAD ∠的值，即可求解.由抛物线2:4E y x =可知，焦点()1,0F ，设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y 设直线l ：()1y k x =-代入2:4E y x =可得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k++= ，121=x x ()()22222121212241612444k k x x x x x x k k +⎛⎫+-=+-=-= ⎪⎝⎭， ()()()2222212416111k BC kx xk k+=+-=+⨯，所以()2241k BC k +=，以BC 为直径作圆的半径()222112k r BC k+==，圆心为BC 的中点()20122122k x x x k+=+=，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，则()()()22202222221111cos 1222212121k x k k MAD r k k k k ++∠====+<+=+++ 且1cos 2MAD ∠>，所以03MAD π<∠<，当k 不存在时，1,2x y ==±，此时2r ，01x =，1cos 2MAD ∠=，3MAD π∠=，所以03MAD π<∠≤可得203MAN π<∠≤，所以MAN ∠的取值范围是20,3π⎛⎤⎥⎝⎦故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出12MAN ∠的范围，进而可计算MAN ∠的范围.6．C【分析】利用双曲线的定义可求得12AF a =，24AF a =，利用余弦定理可求得ca的值，利用公式21⎛⎫=- ⎪⎝⎭b c a a 可求得该双曲线的渐近线的斜率. 【详解】2ABF 为等边三角形，22AB AF BF ∴==，且260ABF ∠=︒，由双曲线的定义可得121212||BF AB AF a B AF F BF =+-==-，212AF AF a -=，24AF a ∴=，在12AF F △中12AF a =，24AF a =，12120F AF ∠=，由余弦定理可得2212121222cos12027F F c AF AF AF AF a ==+-⋅︒=，即7c a =，所以22222216b b c a c a a a a -⎛⎫===-= ⎪⎝⎭．因此，该双曲线的渐近线的斜率为6±．故选：C.【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）定义法：直接利用a ，b ，求得比值，则焦点在x 轴时渐近线by x a=±，焦点在y 轴时渐近线ay x b=±；（2）构造齐次式，利用已知条件，结合222+=a b c ，构建b a 的关系式（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可.7．D解析：D 【分析】由题意作出MD 垂直于准线l ，然后得2PM MD =，得30∠=︒DPM ，写出直线方程，联立方程组，得关于y 的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算. 【详解】如图，过点M 做MD 垂直于准线l ，由抛物线定义得MF MD =，因为PF FM =，所以2PM MD =，所以30∠=︒DPM ，则直线MN 方程为3(1)x y=-，联立23(1)4x y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去x 得，231030y y -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，所以121210,13y y y y +==，得121016||2233MN y y =++=+=. 故选：D.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||=++AB x x p 或12||=++AB y y p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．8．C解析：C 【分析】根据题意，得到()1,0F c -，设(),M x y ，则(),N x y --，由11MF NF ⊥，求出2220x y c +-=与双曲线联立，求出()2222242242222a c a x c c a c a y c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，再由2221,33y k x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，列出不等式求解，即可得出结果【详解】因为点1F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左焦点，则()1,0F c -，设(),M x y ，由题意有(),N x y --，则()1,MF c x y =---，()1,NF c x y =-+，又11MF NF ⊥，所以()()2110MF NF c x c x y ⋅=---+-=，则2220x y c +-=，又(),M x y 在双曲线上，所以22221x y a b-=，由22222222221x y a b x y c c a b ⎧-=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得()2222242242222a c a x c c a c ay c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，又M 在直线y kx =上，3k ∈⎣，所以()4224424222222222212111,33212c a c a e e e e e a c a y k x -+-+---⎡⎤====-∈⎢⎥⎣⎦，即42424213421e e e e ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≤⎪-⎩，整理得42423840840e e e e ⎧-+≥⎨-+≤⎩，解得224e ≤≤+2243e -≤（舍，因为双曲线离心率大于1），1e ≤，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的标准方程，解决本题的关键点是把11MF NF ⊥转化为向量数量积的坐标表示，求出点M 的轨迹方程，结合点在双曲线上，求出点的坐标，代入斜率公式求出离心率的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．9．D解析：D 【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，由方程组只有一解确定．【详解】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=，若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解．方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条．故选：D ．【点睛】关键点点睛：直线与曲线的交点问题，可能通过解方程组确定，直线与曲线方程组成的方程组的解的个数就是它们交点的个数．这是代数方法．也可从几何角度考虑，如本题直线与双曲线相切的有两条，与渐近线平行的有两条共4条直线与双曲线只有一个交点．10．D解析：D 【分析】设椭圆和双曲线的方程，由题意可得2122PF F F c ==，再利用椭圆和双曲线的定义分别求出1PF ，即可得122a a c +=，计算12112e e +=，()121212111992e e e e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可求最值. 【详解】设椭圆1C 的方程为2222111x y a b +=，则222111c a b =-，设双曲线2C 的方程为2222221x y a b -=，则222222c a b =+，因为椭圆1C 和双曲线2C 的焦点相同，所以2212c c =，设12c c c ==即22221122a b a b -=+，因为P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点，所以1212+=PF PF a ，2122PF PF a -=，因为线段1PF 垂直平分线经过2F ，所以2122PF F F c ==，所以1122PF a c =-，且1222PF c a =-，所以122222a c c a -=-，可得122a a c +=，所以11c e a =，22c e a =，所以1212121122a a a a ce e c c c c++=+===，所以()211212121291111991022e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11101023822⎛≥+=+⨯= ⎝，当且仅当21129e e e e =，即213e e =时等号成立，故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件得出122a a c +=，进而可得12112e e +=，再利用基本不等式可求最值.11．B解析：B 【分析】根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得||||||||PA PF PA PF AM +=+≥，故AM 为所求【详解】解：由题意得2p =，焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，设P 到准线的距离为PM ，（即PM 垂直于准线，M 为垂足），则||||||||9PA PF PA PF AM +=+≥=，（当且仅当,,P A M 共线时取等号），所以||||PA PF +的最小值是9，故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，解题的关键是由题意结合抛物线定义得||||||||PA PF PA PF AM +=+≥，从而可得结果12．A解析：A 【分析】由椭圆与双曲线的定义得记12,PF m PF n ==，则2m n a +=（椭圆长轴长），2x y a '-=，用余弦定理得出,m n 的关系，代入和与差后得12,e e 的关系式，然后用基本不等式求得最小值．【详解】记12,PF m PF n ==，则2m n a +=（椭圆长轴长），2x y a '-=（双曲线的实轴长），又由余弦定理得2224m n mn c ++=，所以22231()()444m n m n c ++-=，即22234a a c '+=，变形为2212314e e +=，所以22222212121222221222273131127()(27)(82)2544e e e e e e e e e e +=++=++≥，当且仅当22122222273e e e e =，即213e e =时等号成立．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的离心率，解题关键是掌握两个轴线的定义，在椭圆中，122MF MF a +=，在双曲线中122MFMF a '-=，不能混淆．二、填空题13．【分析】首先利用双曲线的定义和内切圆的性质证明内切圆与轴切于顶点再分别表示列出关于的齐次不等式求双曲线的离心率的取值范围【详解】设圆心设内切圆与相切于点如图：根据内切圆性质可知点是双曲线的顶点即整理解析：1)．【分析】首先利用双曲线的定义和内切圆的性质证明内切圆与x 轴切于顶点，再分别表示12,PF PF ，列出关于,a c 的齐次不等式求双曲线的离心率的取值范围.【详解】设圆心(),M x y ，设内切圆与1212,,PF PF F F 相切于点,,A B C ，如图：根据内切圆性质可知PA PB =，11F A FC =，22F B F C =， 1212122PF PF PA AF PB BF CF CF a ∴-=+--=-=,∴点C 是双曲线的顶点，即11F A FC c a ==+，22F B F C c a ==-，22c PA PB a==， 2122222c c a PF ac PF c a a++=>-+，整理为：22260c ac a +-<，两边同时除以2a，得2260e e +-<，解得：11e -<-1e >，所以离心率的取值范围是()1.故答案为：()71 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：222111c b e a a b c ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.14．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：32⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤ 所以离心率222131122c b e a a ⎫⎛==-≥-= ⎪⎝⎭，所以3⎫∈⎪⎪⎣⎭e . 故答案为：3,12⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．15．【分析】设椭圆的长轴为双曲线的实轴为公共焦距为设不放设则有所以在中结合余弦定理可得带入可得所以再利用柯西不等式即可得解【详解】设椭圆的长轴为双曲线的实轴为公共焦距为设不放设则有由所以在中有代入可得所【分析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，公共焦距为2c ，设1122,PF r PF r ==，不放设12r r >，则有1211222,2r r a r r a +=-=，112r a a =+，212r a a =-，所以在12PF F △中，结合余弦定理可得带入可得22222221212124223c a a a a a a =+-+=+，所以2212134e e += ，再利用柯西不等式，即可得解. 【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，公共焦距为2c ，设1122,PF r PF r ==，不放设12r r >，则有1211222,2r r a r r a +=-=，112r a a =+，212r a a =-，由1213F PF π∠=，所以在12PF F △中，有22212121212=2cos F F r r rr F PF +-∠，代入可得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯222222*********a a a a a a =+-+=+，所以2212134e e += ，2222221212121111()(1+()()1e e e e e e ⎡⎤⎡⎤+=⨯≤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦221213416()33e e =+⨯=，所以1211e e +≤.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的定义，考查了离心率公式，以及利用柯西不等式求最值，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有：（1）椭圆和双曲线的定义，圆锥曲线的定义是解析几何常考考点；（2）柯西不等式的应用，柯西不等式是求最值得重要方法.16．【分析】先利用点坐标和垂直关系求得直线的斜率并写出直线方程联立直线与椭圆利用韦达定理和垂直的向量关系得到的关系式再结合焦距的关系式解出即得方程【详解】依题意椭圆的焦距为即即由点的坐标为知直线OD的斜解析：221 306x y+=【分析】先利用点D坐标和垂直关系求得直线l的斜率，并写出直线方程，联立直线与椭圆，利用韦达定理和垂直的向量关系得到22,a b的关系式，再结合焦距的关系式解出22,a b，即得方程.【详解】依题意，椭圆的焦距为46，即246c=，26c=，即2224a b-=，由点D的坐标为()2,1，知直线OD的斜率101202ODk-==-，又⊥OD AB，知直线l的斜率为2-，即直线l的方程为12(2)y x-=--，即52y x=-.设()()1122,,,A x yB x y联立方程2222152x ya by x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()2222222420250a b x a x a a b+-+-=，故2222121222222025,44a a a bx x x xa b a b-+==++，即()()()12121212525225104y y x x x x x x=--=-++2222222222222202525425104444a a ab b a ba b a b a b--=-⨯+⨯=+++，由OA OB⊥知，1212OA OB x x y y⋅=+=，即22222222222525444a ab b a ba b a b--+=++，所以222255a b a b+=，又2224a b-=，消去2a得，42141200b b+-=，解得26b=或220b=-（舍去），故2230,6a b==，椭圆C的方程为221306x y+=.故答案为：221306x y+=.【点睛】思路点睛：求解椭圆中的直线垂直问题时，一般利用直线的斜率之积为-1，或者直线上的向量的数量积为0来处理，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求出结果.17．【分析】可根据实轴为的中位线得出再根据对称性及为等边三角形表示出的坐标代入双曲线方程得到关系式求解离心率【详解】实轴长为则关于轴对称不妨设在双曲线左支则其横坐标为根据为等边三角形可得故将的坐标代入双【分析】可根据实轴为ABC 的中位线，得出BC ，再根据对称性及ABC 为等边三角形，表示出B 的坐标，代入双曲线方程，得到,a b 关系式求解离心率. 【详解】实轴长为2a ，则4BC a =，BC 关于y 轴对称不妨设B 在双曲线左支，则其横坐标为2a ，根据ABC 为等边三角形，60ABC ∠=可得B y =故()2,B a ，()2,C a -，将B 的坐标代入双曲线方程有2222431a a a b-=，则a b =，则c =故e =【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．18．【分析】设对称的两点为直线的方程为与联立可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求的中点利用判别式以及在直线上即可求解【详解】设椭圆存在关于直线对称的两点为根据对称性可知线段被直线直平分且的中点在直解析：⎛ ⎝⎭【分析】设对称的两点为()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y x b =-+与2212x y +=联立可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求AB 的中点()00,M x y ，利用判别式0∆>以及()00,M x y 在直线y x t =+上即可求解.【详解】设椭圆2212x y +=存在关于直线y x t =+对称的两点为()11,A x y ，()22,B x y ，根据对称性可知线段AB 被直线y x t =+直平分，且AB 的中点()00,M x y 在直线y x t =+上，且1AB k =-，故可设直线AB 的方程为y x b =-+，联立方程2222y x bx y =-+⎧⎨+=⎩，整理可得2234220x bx b -+-=， ∴1243b x x +=，()1212223by y b x x +=-+=，由()221612220b b ∆=-->，可得b <<， ∴120223x x b x +==，12023y y b y +==， ∵AB 的中点2,33b b M ⎛⎫⎪⎝⎭在直线y x t =+上，∴233b b t =+，可得3b t =-，33t -<<.故答案为：33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用直线AB 与直线y x t =+垂直可得直线AB 的斜率为1-，可设直线AB 的方程为y x b =-+，代入2212x y +=可得关于x 的一元二次方程，利用判别式0∆>，可以求出b 的范围，利用韦达定理可得AB 的中点()00,M x y 再代入y x t =+即可t 与b 的关系，即可求解.19．【分析】求△MAF 周长最小值即求|MA|+|MF|的最小值设点M 在准线上的射影为D 根据抛物线定义知|MF|＝|MD|转为求|MA|+|MD|的最小值当DMA 三点共线时|MA|+|MD|最小即可得到答解析：3【分析】求△MAF 周长最小值，即求|MA |+|MF |的最小值．设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线定义知|MF |＝|MD |，转为求|MA |+|MD |的最小值，当D 、M 、A 三点共线时|MA |+|MD |最小，即可得到答案．【详解】求△MAF 周长的最小值，即求|MA |+|MF |的最小值，设点M 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义，可知|MF |＝|MD |因此，|MA |+|MF |的最小值，即|MA |+|MD |的最小值根据平面几何知识，可得当D ，M ，A 三点共线时|MA |+|MD |最小，因此最小值为x A ﹣（﹣1）＝2+1＝3， ∵|AF |＝()()222110-+-＝2，∴△MAF 周长的最小值为3+2，故答案为3+2【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，M ，A 三点共线时|MA |+|MD |最小，是解题的关键．20．【分析】利用已知条件推出的关系然后求解椭圆的离心率即可【详解】解：椭圆的左右焦点为过作轴的垂线与交于两点若是等边三角形如图：可得可得即可得解得故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用离心率的求解析：33【分析】利用已知条件．推出a 、b 、c 的关系，然后求解椭圆的离心率即可．【详解】解：椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，过2F 作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，若1ABF 是等边三角形，如图：可得32|c AB =，2(,0)F c ，可得22||b AB a=，即2222333ac b a c ==， 23230e e +=，(0,1)e ∈ 解得3e =3【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）[]2,1-；（2）322k -<<-或322k <<. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得()()123,0,3,0F F -，设(),P x y ，利用向量数量积的坐标运算可得()2121384PF PF x ⋅=-，再由[]2,2x ∈-即可求解. （2）由题意可得直线0x =不满足题设条件，可设直线:2l y kx =+，将直线与椭圆方程联立，消去y ，可得()221416120kxkx +++=，0∆>，且12120OA OB x x y y ⋅=>+，结合韦达定理即可求解.【详解】解：（1）易知2,1,3a b c ===())123,0,3,0F F -，设(),P x y ，则())22123,,3,3PF PF x y x y x y ⋅=---=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2-；当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1； ∴1PF ·2PF 的取值范围是[]2,1-（2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线:2l y kx =+，联立22244y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，整理得：()221416120k x kx +++= 由题意，()()2216414120k k∆=-+⋅>得2k <-或2k >，① 令()()1122,,,A x y B x y ，∴1212221612,1414k x x x x k k+=-=++ ∵AOB ∠为锐角，∴cos 0AOB ∠>即0OA OB ⋅>， ∴12120OA OB x x y y ⋅=>+又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22222212322044141414k k k k k k =-+=-++++ ∴2221220401414k OA OB k k⋅=-+>++，解得24k <， ∴22k -<<，②故由①､②得22k -<<-或22k <<. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用数量积()2121384PF PF x ⋅=-，确定[]2,2x ∈-，并且根据题意得出0OA OB ⋅>，考查了运算求解能力.22．（1）4p =；（2）1. 【分析】（1）求出p 后可得焦点到准线的距离.（2）设直线l 的方程为4x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，可用,M N 的坐标表示PB BQ ，再联立直线l 的方程和抛物线的方程，利用韦达定理化简PBBQ可得所求的值. 【详解】（1）因为()2,4T -在抛物线上，164p =即4p =，抛物线C 的焦点到准线的距离为4p =.（2）显然直线l 的斜率不为0，故设直线l 的方程为4x my =-，由248x my y x=-⎧⎨=⎩得28320y my -+=，由()228320m ∆=->得216m >，设()11,M x y ，()22,N x y ，则128y y m +=，1232y y =，所以()12124my y y y =+. 又114MA y k x =-，224NA y k x =-，所以直线MA ：()1144y y x x =--，NA ：()2244yy x x =--，令4x =-，得1184P y y x -=-，2284Q y y x -=-，所以121212124848P QPB y y x y my BQx y my y y --==⋅=⋅-- ()()121121211221221248844184844y y y my y y y y my y y y y y y y +---====-+--．【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 23．（1）2 ；（2）证明见解析. 【分析】（1）联立直线()0y kx k =>与抛物线方程可得点A 坐标，由中点坐标公式可得点P 坐标，进而可得直线l 的方程与抛物线联立可得Q 点坐标，计算PQPR x QR x =即可求解；（2）利用A 和R 两点坐标求出直线AR 的方程，与抛物线方程联立消去x 得到关于y 的一元二次方程，由0∆=即可求证. 【详解】（1）联立方程22,y kx y px =⎧⎨=⎩，可得：2220k x px -=，解得222p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以222,p p A kk ⎛⎫⎪⎝⎭，因为P 是OA 的中点，所以2,.p p P k k ⎛⎫⎪⎝⎭直线:p l y k =，点0,R p k ⎛⎫ ⎪⎝⎭将p y k =代入22y px =，得2,.2p p Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以2222PQpPR x k p QR x k ===.()2因为222,p p A kk ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭所以直线AR 的方程为2k py x k=+，与22y px =联立消去x 得222440k y pky p -+=，因为222216440p k p k ∆=-⨯⨯=，所以直线AR 与抛物线C 只有一个公共点. 【点睛】方法点睛：判断直线与曲线的位置关系可联立直线与曲线的方程消去y 得关于x 的一元二次方程，由判别式0∆>可得直线与曲线相交，由判别式0∆=可得直线与曲线相切，判别式∆<0可得直线与曲线相离.24．（1）2211612x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知建立方程组可求得曲线C 的方程；（2）令8x =，则()8,6R k ，联立整理得()()222243161630k x k x k +-+-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，()2212122216316,4343k k x x x x k k -+==++，表示12k k +，3k ，可求得定值．【详解】解：（1）由已知得491861m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得116112m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以曲线C 的方程为2211612x y +=；（2）令8x =，则()8,6R k ，联立()22116122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得()()222243161630kx k x k +-+-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2212122216316,4343k k x x x x k k -+==++， ∴12121212121233113232222y y y y k k x x x x x x ⎛⎫--+=+=+-+ ⎪------⎝⎭，()()221222121222164443232321241633244343k x x k k k k x x x x k k k k -+-+=-⨯=-⨯=--++--+++，又3631822k k k -==--， ∴1232k k k +=，∴λ等于定值2，得证.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合问题，关键在于由直线的方程与椭圆的方程联立后，由根与系数的关系表示直线的斜率，求得定值．25．（1）22143x y +=；（2）POC POD S S ⋅△△的最大值为3，此时P点坐标为(0,和(.【分析】（1）由面积得bc =,,a b c ，得椭圆方程；（2）设()00,A x y ，则()00,B x y -，不妨设00y >，设()11,P x y ，写出直线,PA PB 方程，求得,C D 两点的横坐标，计算C D x x ⋅，注意点,A P 是椭圆上的点由此可得4C D x x ⋅=为常数，这样可计算出POC POD S S ⋅△△＝2P y ，最大值易得．【详解】解：（1）由12c a =，2a c =，得b =，又12122MF F S c b =⨯⨯=△ 所以1c =，2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设()00,A x y ，则()00,B x y -，不妨设00y >，设()11,P x y 则直线PA 的方程为：()011101y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101C x y x yx y y -=-，同理100101D x y x y x y y +=+，所以222210012201C D x y x y x x y y -⋅=-，又点A 与点P 均在椭圆上，故2200413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2211413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得()2222012201012222010*********C D y y y y y y x x y y y y ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⋅===--，所以4C D OC CD x x ⋅=⋅=为定值，因为221114224POC POD P p p p S S OC y OD y y y ⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=△△ 由P 为椭圆上的一点，所以要使POC POD S S ⋅△△最大，只要2p y 最大而2p y 最大为3，所以POC POD S S ⋅△△的最大值为3，此时P点坐标为(0,和(. 【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查椭圆中的最值问题，解题方法是解析几何的基本方程：设点,A P 坐标，：求直线方程，求交点坐标，计算面积之积，得出结论：即设点,A P 坐标，求出直线,AP BP 方程，求出交点,C D 的坐标（横坐标，纵坐标为0），而2111224POC POD P p C D p S S OC y OD y x x y ⋅=⋅⋅⋅=⨯⋅⨯△△，再计算CD x x ⋅可得最大值时P 点位置．26．（1）230x y -+=；（2）证明见解析，定值为1λλ+.【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PD DA =，3PE EB =可得D 与E 坐标，代入抛物线方程可得1x 与2x ，即可求AB 所在的直线方程；（2）由设00(,)P x y ，PD DA λ=，PE EB λ=可得D 与E 坐标，代入抛物线方程可得1x 与2x 满足的方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=，通过计算得到直线PM 的方程为0x x =，即线段PQ 与QM 的比为Q P M Qy y y y --，计算化简得到定值.【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PD DA =，3PE EB =，可得111323(,)44x y D +-+，221323(,)44x y E +-+，由D 点在C 上可得：2112313()44y x -++=，化简得：211230x x --=，同理可得： 222230x x --=，∵A ､B 两点不同，不妨设(3,9)A ，(1,1)B -， ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=.。

(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测卷(答案解析)

一、选择题1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>:相交于B 、D 两点，且BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（）A ．2BC ．3D 2．直线3y x与曲线2||194y x x -=的公共点的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 分别向抛物线C 的准线作垂线，垂足为M ，N ，且()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，当直线AB 经过点F 且点F 到抛物线C 准线的距离为4时，直线l 的斜率为（）A ．2±B ．±C ．8±D ．±4．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2223x y -+=截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．3B ．2C D5．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线20x y -=过点F 且与双曲线C 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，||||OP OF =，则双曲线的离心率为（）A BC ．2D 6．过椭圆:T 2212x y +=上的焦点F 作两条相互垂直的直线12l l 、，1l 交椭圆于,A B 两点，2l 交椭圆于,C D 两点，则AB CD +的取值范围是（）A ．⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣ 7．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上，且满足||||PA m PF =，则m 的最大值是（）A ．1BC ．2D ．48．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是F 1，F 2，过右焦点F 2且斜率为的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为（）A ．35B ．12C ．22D ．329．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（） A ．12y x =±B ．y x =±C ．3y x =±D ．5y x =±10．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若2ABF 为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（） A ．2±B ．3C ．6±D ．7±11．顶点在原点，经过点()3,6-，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（） A ．2123y x =或212=-x y B ．2123y x =-或212=-x y C ．2123y x =或212x y =D ．2123y x =-或212x y =12．P 为椭圆22:11713x y C +=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1F P 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为（）A ．()22234x y ++= B ．()22268x y ++= C ．()22234x y -+=D ．()22268x y -+=二、填空题13．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，其中一个焦点坐标为()2,0F ，椭圆被直线:3l y x =+所截得的弦的中点横坐标为2-，则此椭圆的标准方程为______.14．已知双曲线22:143x y C -=的左､右焦点分别12,F F ，P 为双曲线上异于顶点的点，以1PF ，2PF 为直径的圆与直线l 分别相切于A ，B 两点，则12cos ,AB F F <>=___________.15．已知ABC 中，()1,0B -、()1,0C ，1k 、2k 分别是直线AB 和AC 的斜率.关于点A 有如下四个命题：①若A 是双曲线2212y x -=上的点，则122k k ⋅=；②若122k k ⋅=-，则A 是椭圆2212x y +=上的点；③若121k k ，则A 是圆221x y +=上的点；④若2AB AC =，则A 点的轨迹是圆. 其中所有真命题的序号是__________．16．已知椭圆22:143x y C +=的左､右焦点分别为12F F 、，过2F 且倾斜角为π4的直线l 交椭圆C 于A B 、两点，则1F AB 的面积为___________. 17．已知抛物线218y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，抛物线的准线与y 轴交于点M ，当AMAF最大时，弦AB 长度是___________. 18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 和双曲线C 的一条渐近线分别相交于P ，Q 两点（P ，Q 在同一象限内），若P 为线段QF 的中点，且||PF =，则双曲线C 的标准方程为_________． 19．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，A ()00,x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =________.20．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥，1163F B =，124F F =，则截口BAC 所在椭圆的离心率为______.三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，离心率2e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,3)M 的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点. ①当直线OA ，OB 的斜率之和为34时(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k ； ②求MA MB ⋅的取值范围.22．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x ya b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点21,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.23．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(),2P m 到其焦点F 的距离为4. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 且斜率为1的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 的面积.24．已知椭圆22:11612x y E +=，1F 、2F 为左、右焦点，()2,3A .（1）求12tan F AF ∠及12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（2）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出：若不存在，说明理由．25．椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F，离心率2e =，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且2ABF的周长为．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线AB，求2ABF 的面积．26．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，离心率为12，左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）当1F AB的面积为11时，求直线l 的斜率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率【详解】设()()1122,,B x y D x y 、,则22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得：22221212220x x y y a b---=，整理得：()()()() 21212 21212y y yyba x x x x+-=+-BD的中点为(1,3)M，且直线l的斜率为16，代入有：22611262ba=⨯=即22212c aa-=，解得62cea.故选：D【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．2．C解析：C【分析】由于已知曲线函数中含有绝对值符号，将x以0为分界进行分类讨论，当x≥0时，曲线为焦点在y轴上的双曲线，当x<0时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，进而在坐标系中作出直线与曲线的图像，从而可得出交点个数.【详解】当0x≥时，曲线2194x xy-=的方程为22194y x-=当0x<时，曲线2194x xy-=的方程为22194y x+=，∴曲线2194x xy-=的图象如图，在同一坐标系中作出直线3y x的图象，可得直线与曲线交点个数为3个．故选：C【点晴】本题讨论曲线类型再利用数形结合法求交点个数是解题的关键．3．B解析：B 【分析】根据题意，求得4p =，可得抛物线的方程，因为()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，所以49OMN OAB ABMN S S S +=梯形△△，根据面积公式，结合抛物线定义，即可求得AB ，不妨设AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程，与抛物线联立，根据韦达定理，可求得A B x x +的值，代入弦长公式，即可求得答案. 【详解】因为点F 到抛物线C 准线的距离为4，所以4p =，所以28y x =，设抛物线C 的准线与x 轴交于点H ，因为()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，所以()()11422192M N A BOMN OABABMNM N OH y y OF y y S S S AM BN y y ⋅-+⋅-+==+⋅-梯形△△，因为2OH OF ==，M N A B y y y y -=-，AM BN AB +=，所以449OMN OAB ABMN S S S AB +==梯形△△，则9AB =，显然直线AB 的斜率存在，不妨设为k ，则():2AB y k x =-，与抛物线联立可得：()22224840k x k x k -++=，从而284A B x x k +=+，所以28489A B A k B x x =++=+=，解得22k =±. 故选：B【点睛】解题的关键是根据面积的关系，得到49OMN OAB ABMN S S S +=梯形△△，结合图象，可求得9AB =，再利用抛物线的弦长公式求解，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.4．D解析：D 【分析】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k的值，再利用e =可求得双曲线C 的离心率e 的值. 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a=±，圆()2223x y -+=的圆心坐标为()2,0，半径为r =圆心到直线y kx =的距离为d =另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理，可得d ===，解得1k =±，1ba∴=，因此，双曲线C的离心率为c e a ===== 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．D解析：D 【分析】焦点三角形1PFF 满足||||OP OF =，可根据三角形一边的中线是该边的一半，可判断该三角形是直角三角形.算出该三角形的中位线OH ，可得到12PF =，根据双曲线定义和勾股定理计算出,a c 求解. 【详解】直线20x y -+=过点F，可得()F 设右焦点为1F ，PF 的中点为H .因为O 是1FF 的中点，且||||OP OF =，故三角形1PFF 为直角三角形.1PF PF ⊥，故OH PF ⊥由点到直线距离公式有1OH ==故12PF =，12PF PF a -=，(2222112PF PF F F +==故()2222220a ++=. 可得1a =ce a== 故选：D 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．C解析：C 【分析】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，可直接求得AB CD +=12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，则可得直线1l 的方程，与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，可求得AB 的表达式，同理可求得CD 的表达式，令21k t +=，则可得2112t tAB CD +=+-，令2112y t t =+-，根据二次函数的性质，结合t 的范围，即可求得AB CD +的范围，综合即可得答案. 【详解】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则直线2l 斜率为0，此时AB =，22b CD a ===所以AB CD +=当直线12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，不妨设直线12l l 、都过椭圆的右焦点(1,0)F ，所以直线1:(1)l y k x =-，直线21:(1)l y x k=--，联立1l 与椭圆T 22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222)202142(-=+-+x k x k k ， 22222(4)4(12)(22)880k k k k ∆=--+-=+>，22121222422,1212k k x x x x k k-+=⋅=++，所以12AB x =-=22)12k k +==+，同理22221))2112k k CD k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以2222))122k k B k C k A D +++=+++，令21k t +=，因为0k ≠，所以1t >，所以AB D C ==+=22211212t t t t =+-+-，令2211119224y t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭，因为1t >，所以1(0,1)t∈，所以92,4y ⎛⎤∈ ⎥⎦⎝，所以141,92y ⎡⎫∈⎪⎢⎭⎣，所以18262,323AB CD y ⎡⎫+=⨯∈⎢⎪⎪⎢⎣，综上AB CD +的取值范围是82,323⎡⎤⎢⎥⎣. 故选：C 【点睛】解题的关键是设出直线的方程，结合韦达定理及弦长公式，求得AB CD +的表达式，再根据二次函数性质求解，易错点为需求直线12l l 、中有一个不存在时，AB CD +的值，考查计算求值的能力，属中档题.7．B解析：B 【分析】由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，利用抛物线的定义可得1sin PAE m=∠，求出sin PAE ∠的最小值后可得m 的最大值. 【详解】由抛物线24x y =可得准线方程为：1y =-，故()0,1A -.如图，由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，则PE PF =，故1||||sin ||||PF PE PAE m PA PA ===∠，当直线AP 与抛物线相切时，PAE ∠最小，而当P 变化时，02PAE π<∠≤，故当直线AP 与抛物线相切时sin PAE ∠最小，设直线:1AP y kx =-，由241x yy kx ⎧=⎨=-⎩得到2440x kx -+=，216160k ∆=-=，故1k =或1k =-（舍），所以直线AP 与抛物线相切时4PAE π∠=，故1m的最小值为2即m，故选：B. 【点睛】方法点睛：与抛物线焦点有关的最值问题，可利用抛物线的定义把到焦点的距离问题转化为到准线的距离问题.8．D解析：D 【分析】首先设直线2x y c =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，同时由条件可得123y y =-，与根与系数的关系联立消元可得22213242a b c +=，求得椭圆的离心率. 【详解】设直线方程为2x y c =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立得22224102a b y cy b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，2122212cy y a b +=-+，4122212b y y a b =-+ ① 223AF F B =，()()1122,3,c x y x c y ∴--=-，得123y y =- ②，由①②联立可得，22213242a bc +=即22222323c a b a c =+=-，得2243c a =，椭圆的离心率c e a ==. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.9．D解析：D 【分析】设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由by x a=±可得渐近线方程. 【详解】设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+，所以124P PF PQ PQ F +++=，当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小，()2mi 2n 1PFPQ EF =-+，所以2418EF +-=，解得25EF =，设()2,0F c ()0c >5=，解得3c =，因为2a =，所以b =，所以双曲线的渐进线为：2b y x x a =±=±，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()2mi 2n1PF PQEF =-+求出25EF =.10．C解析：C 【分析】利用双曲线的定义可求得12AF a =，24AF a =，利用余弦定理可求得ca的值，利用公式=b a . 【详解】2ABF 为等边三角形，22AB AF BF ∴==，且260ABF ∠=︒，由双曲线的定义可得121212||BF AB AF a B AF F BF =+-==-，212AF AF a -=，24AF a ∴=，在12AF F △中12AF a =，24AF a =，12120F AF ∠=，由余弦定理可得2212121222cos12027F F c AF AF AF AF a ==+-⋅︒=，即7c a =，所以22222216b b c a c a a a a -⎛⎫===-= ⎪⎝⎭．因此，该双曲线的渐近线的斜率为6±．故选：C.【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）定义法：直接利用a ，b ，求得比值，则焦点在x 轴时渐近线by x a=±，焦点在y 轴时渐近线ay x b=±；（2）构造齐次式，利用已知条件，结合222+=a b c ，构建b a 的关系式（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可.11．D解析：D 【分析】设出抛物线方程为22y mx =或22x ny =，代入点的坐标求出参数值可得．【详解】设抛物线方程为22y mx =，则262(3)m =⋅-，3m =-23y x =-，或设方程为22x ny =，则2(3)26n =⨯，14n =，方程为212x y =．所以抛物线方程为2123y x =-或212x y =．故选：D ．【点睛】关键点点睛：抛物线的标准方程有四种形式，在不确定焦点位置（或开口方向时），需要分类讨论．象本题在抛物线过一点的坐标，则需要考虑焦点在x 轴和y 轴两种情况，焦点在x 轴上时可以直接设方程为2y mx =，代入点的坐标求出参数值，不必考虑焦点是在x轴正半轴还是在负半轴，焦点在y 轴也类似求解．12．B解析：B 【分析】由椭圆的122PF PF a +==2PQ PF =，所以112PF PQ FQ a +===Q 的轨迹为以()12,0F -为圆心，径的圆，即可求得动点Q 的轨迹方程. 【详解】由2211713x y +=可得：a =，因为122PF PF a +==2PQ PF =，所以112PF PQ FQ a +===所以动点Q 的轨迹为以()12,0F -为圆心，故动点Q 的轨迹方程为()22268x y ++=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.二、填空题13．【分析】设椭圆方程为代入直线方程整理就后应用韦达定理结合弦中点横坐标求得关系再由可得得椭圆方程【详解】设椭圆方程为由得所以由题意又所以椭圆方程为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程解解析：22184x y +=【分析】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，代入直线方程整理就后应用韦达定理结合弦中点横坐标求得,a b 关系，再由2c =可得,a b 得椭圆方程．【详解】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由222213x ya b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222222()690a b x a x a a b +++-=，所以212226a x x a b +=-+，由题意222622a a b-=-⨯+，222a b =，又2c =，所以22224a b b c -===，28a =，椭圆方程为22184x y +=．故答案为：22184x y +=．【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程．解题方法是韦达定理．由直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理可得出弦中点坐标，从而得出,a b 的关系．然后结论半焦距c 可求解．14．【分析】求得双曲线的设运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得由相切的性质判断四边形为直角梯形过作垂足为运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义计算可得所求值【详解】解【分析】求得双曲线的a ， c ，设1PF m =，2PF n =，运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得MN ，由相切的性质判断四边形ABNM 为直角梯形，过N 作NQ AM ⊥，垂足为Q ，运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义，计算可得所求值．【详解】解：因为双曲线22:143x y C -=，所以2a =，227c a b =+= 依题意画出如下图形，设1PF ，2PF 的中点分别为M ，N ，过点N 作NQ AM ⊥交AM 于点Q ，连接MN ，所以12172MN F F ==，设1PF m =，2PF n =，则24m n a -==所以11122AM PF m ==，21122BN PF n ==，所以()122MQ AM BN m n =-=-=，在Rt MNQ 中223NQ MN MQ =-=，因为//NQ BA ，所以MNQ ∠为12,AB F F 的夹角，所以12321cos ,77QN AB F F MN <>===故答案为：217【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和圆相切的性质，考查直角三角形的勾股定理和锐角三角函数的定义、向量的夹角的概念，考查方程思想和化简运算能力和推理能力．15．①③【分析】设点可得出结合斜率公式可判断A 选项的正误；求出动点的轨迹方程可判断②的正误；根据求出点的轨迹方程可判断③的正误；由求出点的轨迹方程可判断④的正误【详解】设动点的坐标为对于①由于点是双曲线解析：①③ 【分析】设点(),A x y ，可得出2212y x =+，结合斜率公式可判断A 选项的正误；求出动点A 的轨迹方程，可判断②的正误；根据121k k ，求出点A 的轨迹方程，可判断③的正误；由2AB AC =求出点A 的轨迹方程，可判断④的正误. 【详解】设动点A 的坐标为(),A x y .对于①，由于点A 是双曲线2212y x -=上的点，则2212y x =+，所以，22122221112y y y y k k y x x x =⋅===+--，①正确；对于②，21222111y y y k k x x x =⋅==-+--，化简可得2212y x +=，②错误；对于③，21221111y y y k k x x x =⋅==-+--，化简可得221x y +=，③正确；对于④，由2AB AC ==化简可得2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，当点A 为圆2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与x 轴的交点时，A 、B 、C 三点无法构成三角形，④错误.故答案为：①③. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.16．【分析】先求出直线的方程与椭圆方程联立消去x 求出|y1-y2|利用即可求出的面积【详解】由题意得:直线:设则有:消去x 得:7y2+6y-9=0∴即的面积为【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积【分析】先求出直线l 的方程,与椭圆方程联立,消去x ,求出| y 1- y 2|,利用11212|1|||2F AB S F F y y =-△即可求出1F AB 的面积. 【详解】由题意得: 直线l :1y x =-, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有:2213412y x x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得:7y 2+6y -9=0, ∴121269,77y y y y +=-=-12211111|||227|2227F AB S F F y y -∴=⨯=⨯⨯==△即1F AB 【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积: （1）直接求出弦长|AB |,利用11||2F AB AB d S =△; （2）利用11212|1|||2F AB S F F y y =-△. 17．【分析】作出图形过点作垂直于抛物线的准线于点可得出可知当取最小值时即直线与抛物线相切时最大可求出直线的斜率求出点的坐标利用对称性可求得点的坐标抛物线的焦点弦长公式进而可求得弦的长度【详解】设点为第一解析：8【分析】作出图形，过点A 作AE 垂直于抛物线218y x =的准线于点E ，可得出1sin AM AF AME=∠，可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，AM AF 最大，可求出直线AM 的斜率，求出点A 的坐标，利用对称性可求得点B 的坐标，抛物线的焦点弦长公式，进而可求得弦AB 的长度. 【详解】设点A 为第一象限内的点，过点A 作AE 垂直于抛物线218y x =的准线于点E ，如下图所示：由抛物线的定义可得AE AF =，则1sin AM AM AF AE AME==∠，可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，AMAF最大，抛物线218y x =的焦点为()0,2F ，易知点()0,2M -. 当直线AM 与抛物线218y x =相切时，直线AM 的斜率存在，设直线AM 的方程为2y kx =-，联立228y kx x y=-⎧⎨=⎩，消去y 得28160x kx -+=，264640k ∆=-=，因为点A 在第一象限，则0k >，解得1k =，方程为28160x x -+=，解得4x =，此时，228x y ==，即点()4,2A ，此时AB y ⊥轴，由对称性可得()4,2B -，因此，448AB =+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++或12AB y y p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．18．【分析】根据题意结合双曲线性质可知结合整理求得结果【详解】根据题意可知因为P 为线段QF 的中点所以又因为联立解得所以双曲线C 的标准方程为：故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问解析：2213x y -=【分析】根据题意，结合双曲线性质，可知22bc b a a =，23b a =，结合222c a b =+，整理求得结果.【详解】根据题意，可知2b PF a ==，因为P 为线段QF 的中点，所以2QF PF =，又因为bcQF a =，联立2222232b abc b a a c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ==，所以双曲线C 的标准方程为：2213x y -=.故答案为：2213x y -=.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问题，解题思路如下：（1）根据题意，明确量之间的关系；（2）利用题中条件，建立关于,,a b c 之间的关系，结合222c a b =+，求得,a b 的值，得到结果.19．【分析】根据焦半径公式可得：结合抛物线方程求解出的值【详解】由抛物线的焦半径公式可知：所以故答案为：【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴抛物线上任意一点则；（2 解析：1【分析】根据焦半径公式可得：00524x p x +=，结合抛物线方程求解出0x 的值. 【详解】由抛物线的焦半径公式可知：0015224AF x x =+=，所以01x =，故答案为：1. 【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 20．【分析】取焦点在轴建立平面直角坐标系由题意及椭圆性质有为椭圆通径得结合及解出代入离心率公式计算即可【详解】解：取焦点在轴建立平面直角坐标系由及椭圆性质可得为椭圆通径所以又解得所以截口所在椭圆的离心率解析：13【分析】取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有BC 为椭圆通径，得2163b a =，结合24c =及222a b c =+解出,,a b c 代入离心率公式计算即可.【详解】解：取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由12BC F F ⊥及椭圆性质可得，BC 为椭圆通径，所以21163b F B a ==，1224F Fc ==又222a b c =+，解得6,2,a c b ===所以截口BAC 所在椭圆的离心率为13故答案为：13【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：（1）求,,a b c 的值，由22222221c a b b a a a-==-直接求e ；（2）列出含有,,a b c 的齐次方程(或不等式)，借助于222a b c =+消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．三、解答题21．（1）2212x y +=；（2）①3k =-；②808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）把点代入方程结合离心率列方程组求解即可；（2）①设直线l 方程为，代入椭圆E 的方程可得，结合判别式与韦达定理，利用直线OA ，OB 的斜率之和为34进而求出直线斜率即可；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，求得8MA MA ⋅=，当直线l 的斜率存在时，由（2）①得28821MA MB k ⋅=++，从而求得范围．【详解】解：（1）由题意得222221,2c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得222a c =，22b c =.设椭圆E 的方程为222212x y c c +=，又因为点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上，所以222211122c c+=，22222,1c a b ===，所以椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）①设直线l 方程为：3y kx =+，代入椭圆E 的方程可得，()222112160kx kx +++=因为直线l 与椭圆E 有两个交点，所以216640∆=->k ，即24k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221221k x x k +=-+，1221621x x k ⋅=+， 11223,3y kx y kx =+=+.又()1212121233244OA OB x x y y k k k k x x x x ++=+=+=-=⋅ 解得3k =-，经检验成立.所以，直线l 的斜率3k =-； ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，将0x =代入2212x y +=，解得1y =±，则(0,1)A ，(0,1)B -，8MA MA ⋅=当直线l 的斜率存在时，由（2）①得()()()()22121212216133121k MA MA x x y y k x x k +⋅=⋅+--=+⋅=+()2228211882121k k k ⎡⎤++⎣⎦==+++因为24k >，所以MA MA ⋅的范围为808,9⎛⎫⎪⎝⎭．综上，得MA MB ⋅的取值范围是808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．（1）2212x y +=；（2.【分析】（1）根据椭圆离心率为2，以及椭圆经过点2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，结合椭圆的性质列方程求解即可；（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可得结论. 【详解】（1）由题意知2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，椭圆C 的右焦点()1,0F ，所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=，联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫-⎪--⎝⎭，所以PQ =====为定值. 【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 23．（1）28x y =；（2）【分析】（1）由题中条件，根据抛物线的定义，得到242p+=，求出p ，即可得出抛物线方程；（2）先由（1）得到焦点坐标，得出直线l 的方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，以及抛物线的焦点弦公式，求出弦长AB ，再由点到直线距离公式，以及三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(),2P m 到其焦点F 的距离为4，所以242p+=，解得4p =，所以抛物线C 的方程为28x y =；（2）由（1）可得，()0,2F ；则过点F 且斜率为1的直线l 的方程为：2y x =+，即20x y -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由228y x x y=+⎧⎨=⎩消去x ，整理得21240y y -+=，则1212y y +=，因此1212416AB AF BF y y p =+=++=+=，又点O 到直线20x y-+=的距离为d ==，所以OAB 的面积为12OABS AB d ==. 【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线中三角形的面积问题时，一般需要联立直线与曲线方程，结合韦达定理，弦长公式，以及三角形面积公式，即可得出三角形的面积. 24．（1）124tan 3F AF ∠=，直线l 的方程为210x y --=；（2）不存在，理由见解析.。

(必考题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．过双曲线22115y x -=的右支上一点P 分别向圆221:(4)4C x y ++=和222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M N 、，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．10B ．13C ．16D ．192．已知斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM ∆的面积等于3，则k =（）A ．14B ．13C ．12D ．33．过抛物线22y px =焦点(1,0)F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且(1)AF mFB m =>，25||4AB =，则m =（） A ．2B ．3C ．4D ．54．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于,A B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若AB =，则直线l 的倾斜角为（） A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒5．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，过1F 的直线交双曲线的左支于,A B 两点，若113AF FB =，23cos 5AF B ∠=，则双曲线的离心率e =（）A B ．52C D ．536．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（）A ．12y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，点M 在双曲线C 的渐近线上，若212211221cos 12cos ,3MF F MF F FMF MF F ∠+=∠∠=∠，则双曲线C 的离心率为（）A ．BC ．D ．28．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点32,32D ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．729．己知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并与抛物线交于A ，B 两点，若点A 的纵坐标为4，则线段AB 的长为（） A ．253B ．496C ．436D ．25410．如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（） A ．12B ．22C ．34D ．4512．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24x y =，圆的半径为r ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞二、填空题13．F 是抛物线22y px =（0p >）的焦点，过点F 的直线与抛物线的一个交点为A ，交抛物线的准线于B ，若2BA AF =，且4BA =，则P =______．14．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为___________.15．过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，若A 、B 在第一象限，且点A 为线段PB 的中点，则直线l 的斜率为___________.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆()22234x y +-=相交于A ，B 两点，且2AB =，则双曲线C 的离心率为___________.17．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.18．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使PF OF =，且1cos 4OFP ∠=，则双曲线的离心率为___________．19．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率13e =，则tan BDC ∠=___________.20．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线AB 交抛物线于A ,B 两点，交准线于点C ，若|BC |=2|BF |，则|AB |=_____.三、解答题21．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点2F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，当直线AB 的斜率为0时，||||7AB CD +=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求||||AB CD +的取值范围．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为222 （1）求椭圆C 的方程．（2）若过点1F 的两条弦，弦AB 、弦CD ，互相垂直，求四边形ACBD 的面积的最小值．23．已知抛物线()2:20C y px p =>，直线()0y kx k =>与C 交于点A (与坐标原点O不重合)，过OA 的中点P 作与x 轴平行的直线l ，直线l 与C 交于点,Q 与y 轴交于点.R （1）求PR QR；（2）证明:直线AR 与抛物线C 只有一个公共点.24．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y px =的准线方程为12x =-．（1）求p 的值;（2）直线:(0)l y x t t =+≠交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，求线段AB 的长度．25．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3,22⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）经过点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若OAB l 的方程.26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,1),,A P Q --在椭圆C 上，且,P Q 异于点A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若||||,||||OP OQ AP AQ ==，求直线PQ 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】解：圆221:(4)4C x y ++=的圆心为(4,0)-，半径为12r =；圆222:(4)1C x y -+=的圆心为(4,0)，半径为21r =，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=--- 22212(||2)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||)32(||||)322328313a PF PF PF PF c =+-=+-⨯-=⨯-=．当且仅当P 为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选：B ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力．2．B解析：B 【分析】先求出F ,设出A 、B 、M ，用“点差法”找出121202y y k x x y -==-，利用OFM ∆的面积等于3计算出0y ，求出斜率k . 【详解】由抛物线2:4C y x =知：焦点()1,0F 设()()()112200,,,,,,A x y B x y M x y因为M 是线段AB 的中点，所以0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩将2114y x =和2224y x =两式相减可得：()2212124y y x x -=-，即121202y y k x x y -==- ∵000k y >∴> ∴00113,62OFM S y y ∆=⨯⨯=∴=, 022163k y ∴===. 故选：B 【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.3．C解析：C 【分析】由焦点得2p =，设直线代入抛物线方程结合韦达定理以及已知条件利用弦长公式求得参数值. 【详解】∵焦点(1,0),2F p ∴=，抛物线方程式为24y x =．设直线l 的方程为1(0)x y λλ=+>，代入抛物线方程，得2440y y λ--=．设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得124y y =-．由AF mFB =，得12y my =-．解得21y y ==-21y y ==，121,x m x m ∴==．12125||2,44AB x x p m m m ∴=++=++=∴=．故选：C ．【点晴】方法点晴：解直线与圆锥曲线位置问题时，通常使用设而不求思想，结合韦达定理运算求解相关参数.4．D解析：D 【分析】设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，12AB x x p =++，求出AB 中点N 的坐标，写出MN的方程，由MN =MN ，然后由己知条件可求得斜率k ，得倾斜角．【详解】由题意(,0)2p F ，设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，由22()2y pxp y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得22222(2)04k p k x p k x -++=， 2122(2)p k x x k++=，2124p x x =， 221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k， 2122(2)22N x x p k x k ++==，22()22N N p p y k x k =-=，即222(2)2,22p k p N kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，直线MN 的方程为1()N N y y x x k-=--，MN =23(12p k k +=，∵AB =，∴22232(1)(12p k p k k k++=，整理得23k =，∵0k >，∴k =∴倾斜角为60︒．故选：D ．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，求得中点坐标及焦点弦长，写出直线l 垂线方程，求得MN ，然后由已知条件求得结论．5．C解析：C 【分析】设1133AF F B m ==，利用双曲线定义求出232AF m a =+，22F B m a =+，利用余弦定理写出,a m 关系，推知焦点三角形12F BF 是直角三角形，利用勾股定理求出,a c 关系式，从而求出离心率. 【详解】设1133AF F B m ==，则4AB m =，则由双曲线定义有232AF m a =+，22F B m a =+，在2AF B 中，由余弦定理有()()()()()22242232223m a m a m a m a m =+++-⋅++ 整理得22320m am a --=，解得m a = 故4AB a =，25AF a =，23F B a = 故2AF B 为直角三角形，290ABF ∠=在12Rt F BF △中，2221122F B F B F F +=，则()()22232a a c +=，故22252c e a ==故e =故选：C 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．D解析：D 【分析】设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由by x a=±可得渐近线方程. 【详解】设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+，所以124P PF PQ PQ F +++=，当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小，()2mi 2n 1PFPQ EF =-+，所以2418EF +-=，解得25EF =，设()2,0F c ()0c >5=，解得3c =，因为2a =，所以b =，所以双曲线的渐进线为：2b y x x a =±=±，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()2mi 2n1PF PQEF =-+求出25EF =.7．D解析：D 【分析】根据角的关系计算出12216030MF F MF F ∠=︒∠=︒，，从而求出渐近线方程为y =，得到ba=. 【详解】因为21221cos 12cos MF F MF F ∠+=∠，故1221cos cos2MF F MF F ∠=∠，即12212MF F MF F ∠=∠，而12213FMF MF F ∠=∠，故12216030MF F MF F ∠=︒∠=︒，，则三角形1MFO 为等边三角形，故双曲线C 的渐近线方程为y =，则2e ==，故选D ．【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．8．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -= 所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +> 所以点P 到点332D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为： 221111335||||||||||2022222PD PP PD PF DF ⎛⎫⎛⎫+=+-≥-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．9．D解析：D 【分析】首先利用,,A F B 三点共线，求点B 的坐标，再利用焦点弦长公式求AB . 【详解】4y =时，1644x x =⇒=，即()4,4A ，()1,0F ，设2,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用,,A F B 三点共线可知24314y y =-，化简得2340y y --=，解得：1y =-或4y =（舍）当1y =-时，14x =，即()4,4A ，1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以121254244AB x x p =++=++=. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，焦点弦问题，重点是求点B 的坐标.10．D解析：D 【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，由方程组只有一解确定．【详解】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=，若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解．方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条．故选：D ．【点睛】关键点点睛：直线与曲线的交点问题，可能通过解方程组确定，直线与曲线方程组成的方程组的解的个数就是它们交点的个数．这是代数方法．也可从几何角度考虑，如本题直线与双曲线相切的有两条，与渐近线平行的有两条共4条直线与双曲线只有一个交点．11．B解析：B 【分析】设直线2a x c=交x 轴于点M ，推导出222PF F M =，可得出关于a 、c 的等式，由此可解得该椭圆的离心率. 【详解】设直线2a x c=交x 轴于点M ，21F PF △是底角为30的等腰三角形，260PF M ∠=，2122PF F F c ==，在2Rt PF M 中，290PMF ∠=，230MPF ∠=，222PF F M ∴=，P 为直线2a x c =上一点，222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即222a c =，22c e a ∴==．故选：B ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.12．A解析：A 【分析】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，求出2PQ ，当2PQ 的最小值在原点处取得时，圆P 过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点．【详解】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，22222()4()(2)44PQ x y a y y a y a a =+-=+-=-++-，若2PQ 的最小值不在(0,0)O 处取得，则圆P 不过原点，所以20a ->，即2a >，此时圆半径为44212r a a =-=->．因此当2r >时，圆无法触及抛物线的顶点O ．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为(0,)P a ，抛物线上点的坐标为(,)Q x y ，求出PQ ，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．二、填空题13．3【分析】设过的直线为与抛物线交于点过两点作垂直准线于点根据抛物线的定义可得即可求出再联立直线与抛物线方程消元列出韦达定理即可得到再由焦半径公式计算可得；【详解】解：因为是抛物线的焦点所以准线为设过解析：3 【分析】设过F 的直线为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，与抛物线交于点()11,A x y ，()22,C x y ，过A 、B 两点作AM ，CN 垂直准线于M ，N 点，根据抛物线的定义可得CN CF =，AM AF =，即可求出30ABM ∠=︒，6CN CF ==，再联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理即可得到2124p x x =，再由焦半径公式计算可得；【详解】解：因为F 是抛物线22y px =的焦点，所以,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，设过F 的直线为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线交于点()11,A x y ，()22,C x y ，过A 、B 两点作AM ，CN垂直准线于M ，N 点，所以CN CF =，AM AF =，因为2BA AF =，所以2BA AF =，所以2BA AM =，所以30ABM ∠=︒，又因为4BA =，所以2AM AF ==，且2CN CB BA AF FC BA AM CN ==--=--，所以26CN CN =+，所以6CN CF ==，联立直线与抛物线222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去y 得22224p k x px px ⎛⎫ ⎪⎭=⎝-+，所以()22222204k p k x k p p x -++=，所以21222k p p x x k ++=-，2124p x x =，又因为1>0x ，20x >，且122p x AM +==，262p x CN +==，所以2212261242244p p p p x x p ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以3p =故答案为：3【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．14．【分析】先利用点求抛物线方程利用相切关系求切线再分别联立直线和抛物线求出点即求出直线方程【详解】在抛物线上故即抛物线方程为设过点与圆相切的直线的方程为：即则圆心到切线的距离解得如图直线直线联立得故由解析：3640x y ++=【分析】先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线,AB AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程. 【详解】(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，设过点(2,2)A 与圆22(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=，则圆心()2,0到切线的距离2202211k kd k -+-==+，解得3k =±，如图，直线):232AB y x -=-，直线):232AC y x -=--.联立)22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x ++-=，故1683A B x x -=，由2A x =得843B x -=，故236B y -=，联立)22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x -++=，故1683A C x x +=，由2A x =得843C x +=，故236C y --=，故236236433B C y y -+=+=-，又由,B C 在抛物线上可知，直线BC 的斜率为22221114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=====--+--，故直线BC 的方程为2361843323y x ⎛--=-- ⎝⎭，即3640x y ++=. 故答案为：3640x y ++=15．【分析】由题意可知直线的斜率存在且为正数可设直线的方程为设点将直线的方程与抛物线的方程联立列出韦达定理可得出代入韦达定理求出的值即可得出直线的斜率为【详解】由于过点的直线与抛物线相交于两点若在第一象解析：223【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且为正数，可设直线l 的方程为()20x my m =->，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，可得出212y y =，代入韦达定理求出m 的值，即可得出直线l 的斜率为1m. 【详解】由于过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，若A 、B 在第一象限，所以，直线l 的斜率存在且为正数，设直线l 的方程为()20x my m =->，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，可得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m . 由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由于点A 为线段PB 的中点，则212y y =，12183m y y y ∴=+=，183m y ∴=， 22121816223m y y y ⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭，可得298m =，0m >，解得4m =，因此，直线l 的斜率为13k m ===.. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.16．2【分析】由双曲线圆的方程确定渐近线方程为圆心为半径为根据圆的相交弦与半径弦心距之间的几何关系有结合双曲线参数间的关系即可求其离心率【详解】由题意知：双曲线的渐近线为而圆心为半径为∴圆心到渐近线的距解析：2 【分析】由双曲线、圆的方程确定渐近线方程为by x a=±，圆心为，半径为2r ，根据圆的相交弦与半径、弦心距之间的几何关系有222||4AB r d -=，结合双曲线参数间的关系即可求其离心率. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线为by x a=±，而圆心为，半径为2r ，∴圆心到渐近线的距离d ==，而2AB =，∴221r d -=，故222123a ab =+，又222,1c a b c e a +==>， ∴2e =. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：根据双曲线、圆的标准方程确定渐近线方程、圆心、半径长，结合圆中相交弦的几何性质及双曲线参数关系，列出关于,a c 的齐次方程求离心率.17．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：⎫⎪⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤所以离心率2c e a ==≥=，所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e .故答案为：,12⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．18．2【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得关系再求离心率【详解】设双曲线的左焦点为在中由余弦定理得故答案为：2【点晴】求离心率的关键是得的关系本题是由余弦定理得出解析：2 【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得,a c 关系，再求离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为E ，在EFP △中，2EF c =，2PF c PE a c ==+，，1cos 4EFP ∠=.由余弦定理()222421cos 224c c c a EFP c c +-+∠==⋅⋅ ，得2c e a ==. 故答案为：2 【点晴】求离心率的关键是得,,a b c 的关系，本题是由余弦定理得出.19．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化解析：【分析】做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有tan ,tan b b BAO CFO a c ∠=∠=，根据离心率可求出b a =，b c=即可求出结果. 【详解】由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan 1b bBAO CFO a c BDC BAO CFO b bBAO CFO a c+∠+∠∠=∠+∠==-∠∠-⋅ 因为离心率13c e a ==，可设3a m =，c m =，那么b =，极有b a =，b c =5=-．故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO∠=∠+∠；（2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c的比值问题．（3）根据离心率求出,,a b c的比值，代入可求.20．【分析】分别过作准线的垂线利用抛物线的定义将到焦点的距离转化到准线的距离利用已知和相似三角形的相似比建立关系式求解可算得弦长【详解】设可知如图作垂直于准线分别于则又解得故答案为：【点睛】1本题体现了解析：16 3【分析】分别过,A B作准线的垂线，利用抛物线的定义将,A B到焦点的距离转化到准线的距离，利用已知和相似三角形的相似比，建立关系式，求解,AF BF可算得弦长.【详解】设242y x px ==，可知2p =如图，作AM ,BN 垂直于准线分别于,M N ，则BN BF =，又2BC BN =，23CB CF=，23BN p ∴= 43BN =，83BC =，4CF ∴= 2CF AM CA=，244CF AM CA AM ∴==+，解得4AM = 4AF ∴=416433AB AF BF ∴=+=+= 故答案为：163【点睛】1.本题体现了数形结合，解析几何问题，一定要注意对几何图形的研究，以便简化计算2. 抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．三、解答题21．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【分析】（Ⅰ）通过当直线AB 的斜率为0时可知||2AB a =，22||b CD a =，结合12c e a ==，计算即得结论；（Ⅱ）分别对两条弦的斜率进行讨论，当两条弦中一条斜率为0时、另一条弦的斜率不存在时易得结论；当两条弦斜率均存在且不为0时，通过设直线AB 、CD 的方程并分别与椭圆方程联立，利用韦达定理及两点间距离公式，可得||||AB CD +的表达式，利用换元法及二次函数的性质计算即得结论．【详解】解：（Ⅰ）当直线AB 的斜率为0时，直线CD 垂直于x 轴，||2AB a ∴=，22||b CD a =，即22||||27b AB CD a a+=+=，12c e a ==，且222a b c =+，解得：2,a b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意可知，||||7AB CD +=；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k=--，将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，∴212212(1)|||34k AB x x k +=-=+，同理，2222112(1)12(1)||4343k k CD k k++==++， ∴2222222212(1)12(1)84(1)||||3434(34)(34)k k k AB CD k k k k ++++=+=++++，令21t k =+，则1t >，∴2222848484||||1149(41)(31)121()24t t AB CD t t t t t +===-++---+，1t >，∴101t<<，∴211494912()244t <--+，∴241111494912()24t <--+， ∴24884711497()24t <--+，∴48||||77AB CD +<，综合①②可知，||||AB CD +的取值范围为：48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）2212x y +=；（2）169.【分析】（1）利用椭圆的长轴长以及离心率求解,a c ，得到b ，即可得到椭圆方程；（2）①当1l x ⊥，2//l x 时，求解四边形的面积；②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x my =-，2l ：11xy m=-，分别联立椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解四边形的面积，利用基本不等式求解最小值即可.【详解】（1）得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）①当1l x ⊥，2//l x 时，22122222b S a b a=⋅⋅⋅==；②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x my =-，2l ：11x y m=-，联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--=， ∴12222m y y m +=+，12212y y m-=+， ∴AB==)2212m m +=+，同理)22221111122m m CD m m ⎫+⎪+⎝⎭==++， ∴()()()()()()()222222222222281414111162292212212212m m m S AB CD m m m m m m +++=⋅=⋅=≥=++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭．当且仅当22221m m +=+即21m =即1m =±时等号成立，故四边形ACBD 的面积的最小值169．【点睛】方法点睛：该题考查的是有关椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合题，解题方法如下：（1）根据题中所给的条件，建立等量关系，求得,a b 的值，得到椭圆方程；（2）对直线的斜率存在与否进行讨论，根据题意利用适当的形式写出直线的方程，分别与椭圆方程联立，求得弦长，根据四边形面积公式求得四边形的面积，利用基本不等式求得最值，与特殊情况比较，得到结果. 23．（1）2 ；（2）证明见解析. 【分析】（1）联立直线()0y kx k =>与抛物线方程可得点A 坐标，由中点坐标公式可得点P 坐标，进而可得直线l 的方程与抛物线联立可得Q 点坐标，计算PQPR x QRx =即可求解；（2）利用A 和R 两点坐标求出直线AR 的方程，与抛物线方程联立消去x 得到关于y 的一元二次方程，由0∆=即可求证. 【详解】（1）联立方程22,y kx y px =⎧⎨=⎩，可得：2220k x px -=，解得222p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以222,p p A k k ⎛⎫⎪⎝⎭，因为P 是OA 的中点，所以2,.p p P k k ⎛⎫⎪⎝⎭ 直线:p l y k =，点0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭将p y k =代入22y px =，得2,.2p p Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以2222PQp PR x k p QR x k ===. ()2因为222,p p A kk ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭所以直线AR 的方程为2k py x k=+，与22y px =联立消去x 得222440k y pky p -+=，因为222216440p k p k ∆=-⨯⨯=，所以直线AR 与抛物线C 只有一个公共点. 【点睛】方法点睛：判断直线与曲线的位置关系可联立直线与曲线的方程消去y 得关于x 的一元二次方程，由判别式0∆>可得直线与曲线相交，由判别式0∆=可得直线与曲线相切，判别式∆<0可得直线与曲线相离. 24．（1）1p =；（2）. 【分析】（1）由已知准线方程可得答案；（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示OA OB ⊥可得t ，然后利用弦长公式可得答案. 【详解】（1）由已知得122p -=-，所以1p =；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22y x =与y x t =+得2220y y t -+=，480t ∆=->，即12t <时有122y y +=，122y y t =，因为OA OB ⊥，所以()21212121204y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，可得124y y =-，因为122y y t =，所以2t =-，则122y y +=，124y y =-，所以||AB =====【点睛】本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理计算弦长，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.25．（1）22132x y +=；（2）22y x =±+或2y =+.【分析】（1）由离心率公式、将点3,22⎛ ⎝⎭代入椭圆方程得出椭圆C 的方程；（2）联立椭圆和直线l 的方程，由判别式得出k 的范围，再由韦达定理结合三角形面积公式得出22317S k ==+，求出k 的值得出直线l 的方程.【详解】解：（1，所以2222133b a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭.①又因为椭圆经过点3,22⎛ ⎝⎭，所以有2291142a b +=.②联立①②可得，23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y+=.（2）由题意可知，直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为2y kx =+.由222,132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得，()22231260+++=k x kx .因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 所以()()()22212242324320k kk∆=-+=->，即2320k ->，所以223k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221223k x x k -+=+，122623x x k =+. 由题意得，OAB 的面积1212S OM x x =⨯⨯-12x x =-=，即S == 因为OAB 的面积为17=()2232k =+.化简得，42491660k k -+=，即()()2243220k k --=，解得234k =或222k =，均满足0∆>，所以k =或k = 所以直线l的方程为2y x =+或2y =+. 【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是由韦达定理建立12,x x 的关系，结合三角形面积公式求出斜率，得出直线l 的方程.26．（1）22182x y +=；（2）20x y +=．【分析】（1）由离心率，点的坐标代入椭圆方程及222a b c =+列方程组解得,,a b c 得椭圆方程；（2）已知条件说明直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，直线OA 方程为12y x =，这样可设直线PQ 方程为2y x m =-+，代入椭圆方程，应用韦达定理得12x x +，12,x x 即为,P Q 的横坐标，求出中点横坐标1202x x x +=，由直线PA 得中点纵坐标0y ，中点坐标代入直线AO 方程可得参数m ，即直线PQ 方程．【详解】（1）依题意，22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，，．故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）∵||||,||||OP OQ AP AQ ==，∴直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，则直线OA 的方程为12y x =，设直线PQ 的方程为2y x m =-+，由221822x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得：221716480x mx m -+-=， ()22(16)417480m m =-⨯->，解得m <()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理得121617mx x +=，设PQ 的中点为()00,H x y ，所以120008,221717x x m m x y x m +===-+=；所以8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭．又8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭在直线OA 上，代入得1817217m m =⋅，解得0m =，综上所述，直线PQ 的方程为20x y +=．【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率和一点坐标求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．在直线与椭圆相交问题时，解题关键是由平面几何知识由条件||||,||||OP OQ AP AQ ==得直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，这样用设而不求思想可求得直线PQ 方程．即求出AO 方程，由垂直设出直线PQ 方程，代入椭圆方程应用韦达定理求得PQ 中点坐标，再代入直线AO 方程可得参数值．。

高二数学选修1-1试卷及答案

绝密★启用前圆锥曲线复习题憋说话，你的对手正在做题！；考试时间：100分钟；命题人：MJW学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四五六七八九总分得分分卷I分卷I 注释评卷人得分一、单选题（注释）1、如图所示，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由条件知，F1(－2，0)，B(0，1)，∴b＝1，c＝2，∴a＝＝，∴e＝＝＝.2、过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】椭圆的方程可化为＋＝1，∴F(－，0)．又∵直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为y＝x＋.由得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，∴|AB|＝＝.分卷II分卷II 注释评卷人得分二、填空题（注释）3、已知椭圆经过点(，0)且与椭圆＋＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为____．【答案】＋＝1【解析】椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且c＝＝，故所求椭圆的焦点在y轴上，又它过(，0)，所以b＝，故a2＝b2＋c2＝3＋5＝8，故所求方程为＋＝1.4、椭圆＋＝1的两个焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．【答案】7【解析】依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，设P点的坐标为(x1，y1)，由线段PF1的中点的横坐标为0，知＝0，∴x1＝3.把x1＝3代入椭圆方程＋＝1，得y1＝±，即P点的坐标为(3，±)，∴|PF2|＝|y1|＝.由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝4，∴|PF1|＝4－|PF2|＝4－＝，评卷人得分三、解答题（注释）5、求经过两点P1，P2的椭圆的标准方程．【答案】＋＝1【解析】方法一①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)，依题意，知⇒∵a2＝<＝b2，∴与a>b矛盾，舍去．②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)，依题意，知⇒故所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1 (A>0，B>0，A≠B)．依题意，得⇒故所求椭圆的标准方程为＋＝1.6、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点(，)和点(，1)．【答案】(1) ＋＝1.(2) ＋x2＝1.(3) x2＋＝1【解析】对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求解，但要注意焦点位置．对于(3)由于题中条件不能确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，所以应分类讨论求解，为了避免讨论，还可以设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)然后代入已知点求出A、B.(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⇒故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.(3)法一①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．∵点(，)和点(，1)在椭圆上，∴∴而a>b>0.∴a2＝1，b2＝9不合题意，即焦点在x轴上的椭圆的方程不存在．②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵点(，)和点(，1)在椭圆上，∴∴∴所求椭圆的方程为＋x2＝1.法二设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．∵点(，)和点(，1)都在椭圆上，∴即∴∴所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.7、如图，设点A，B的坐标分别为(－5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程．【答案】＋＝1 (x≠±5)【解析】设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－5,0)，所以，直线AM的斜率k AM＝ (x≠－5)；同理，直线BM的斜率k BM＝ (x≠5)．由已知有×＝－ (x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为＋＝1 (x≠±5)．8、已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M、N两点，且|MN|＝.求直线l的方程．【答案】y＝x＋1或y＝－x＋1【解析】设直线l与椭圆的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝0.由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，∴(1＋k2)(x1－x2)2＝，∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝.即(1＋k2) ＝.化简，得k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1.∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.9、已知椭圆＋＝1，过点P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．【答案】x＋2y－4＝0【解析】法一如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0, (*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝.∵P为弦AB的中点，∴2＝＝.解得k＝－，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法二设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，又∵A、B在椭圆上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝16.两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴＝＝－，即k AB＝－.∴所求直线方程为y－1＝－ (x－2)，即x＋2y－4＝0.法三设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)，则另一交点为B(4－x,2－y)．∵A、B在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，①(4－x)2＋4(2－y)2＝16，②从而A、B在方程①－②的图形x＋2y－4＝0上，而过A、B的直线只有一条，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.10、已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．【答案】解由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16.【解析】11、已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)．【答案】1或9【解析】设双曲线另一个焦点为F2，连接PF2，ON是三角形PF1F2的中位线，所以|ON|＝|PF2|，因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，所以|PF2|＝2或18，|ON|＝|PF2|＝1或9.。

新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试(答案解析)

一、填空题1．已知A 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点，O 为坐标原点，若直线:2l x c =上存在点P 使得45APO ∠=︒，则椭圆离心率的最大值为__________.2．已知双曲线22:221(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过原点O 作斜率的直线交C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为__________． 3．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________．4．已知F 是双曲线22145x y -=的右焦点，若点P 是双曲线的左支上一点，A ，则APF 周长的最小值为______．5．已知点1,0A ，直线l ：1x =-，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ，若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为______.6．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，P 是椭圆上一点(异于左､右顶点)为半径的圆内切于12PF F △，则椭圆的离心率的取值范围是________.7．已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆22:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________.8．已知1F 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线段1PF 与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且1F A AB BP ==，则该双曲线的离心率为______.9．在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上第一象限内的一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若1FR =，则直线PF 的斜率为______.10．如图，过原点O 的直线AB 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ．AQ 交椭圆C 于点P ．Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若45AM AP =，则椭圆C 的离心率是__________．11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>2，则其渐近线与圆()22214x a y a -+=的位置关系是________. 12．已知抛物线方程为24y x =-，直线l 的方程为240x y +-=，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，点A 到直线l 的距离为n ，则m n +的最小值为______.13．已知点P 是椭圆221259x y +=上任意一点，则当点P 到直线45400x y -+=的距离达到最小值时，此时P 点的坐标为______．参考答案二、解答题14．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴上，且抛物线C 上横坐标为4的点P 到焦点F 的距离为92. （1）求抛物线C 的标准方程.（2）已知点()2,0P ，点Q 在抛物线C 上.①若点Q 在第一象限内，且2PQ =，求点Q 的坐标. ②求PQ 的最小值.15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且上顶点M 到直线340x y ++=距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过点()4,2-且与椭圆C 相交于,A B 两点，l 不经过点M .证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值.16．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线，记切点分别为,S T ，令1,r =求此时两切点连线ST 的方程；（3）若过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D （不同于点A ）.当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.17．已知抛物线()220y px p =>以椭圆22143x y +=的右焦点为焦点F .（1）求抛物线方程.（2）过F 作直线L 与抛物线交于C ，D 两点，已知线段CD 的中点M 横坐标3，求弦CD 的长度.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为4323e = （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在斜率为1-的直线l 与椭圆C 相交于两点M ，N 使得11FM F N =（1F 为椭圆的左焦点）?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.19．已知椭圆M ：22213x y a +=()0a >的一个焦点为()1,0F -，左右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．（Ⅰ）求椭圆M 方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值． 20．已知P 为抛物线y =14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，求|PA |+|PM |的最小值21．已知点P 是双曲线22148x y -=上的一点，点1F 和2F 为左、右焦点，若1260F PF ∠=．（1）求12F PF △的面积；（2）求点P 的坐标．22．已知抛物线C 的准线方程为14x =-.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点(,0)P t 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过原点O ，求证：t 为常数，并求出此常数.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且椭圆C 过点3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为原点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求OAB 的面积的最大值.24．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴重直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且4||||3CD AB =. （1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为6，求1C 与2C 的标准方程.25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，过点F 的直线l 交椭圆C于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，OAB 的面积为3（O 为原点）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ，求直线OA 的斜率的取值范围．26．已知直线l 与抛物线()2:20C y px p =>交于A ，B 两点，且点()2,4-在C 上.()1求C 的方程；()2若l 的斜率为3，且过点()1,1，求AB .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】设则利用直线倾斜角及两角差的正切可得在上有解该分式方程可转化为一元二次方程利用判别式可得的不等式从而可求离心率的最大值【详解】设右焦点为则故因为直线上存在点P 使得故在上有解即在上有解所以即故解析：14【分析】设()2,P c t ，则利用直线,AP OP 倾斜角及两角差的正切可得()2122att c c a =++在R 上有解，该分式方程可转化为一元二次方程，利用判别式可得,a c 的不等式，从而可求离心率的最大值. 【详解】设()2,P c t ，右焦点为F ，则tan 2t PAO c a ∠=+，tan 2tPOF c∠=，故()()2222tan 22122t tat c c a APO t t c c a c c a -+∠==++++，因为直线:2l x c =上存在点P 使得45APO ∠=︒，故()2122att c c a =++在R 上有解即()2220t at c c a -++=在R 上有解，所以()2820a c c a -+≥即216810e e +-≤，故104e <≤... 【点睛】方法点睛：离心率的取值范围的计算，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组，有时也可以根据题设条件构建关于,,a b c 的等量关系，可根据方程有解得到基本量的不等式．2．【分析】由题意知结合已知条件可证明利用可计算在中利用余弦定理可计算出由即可求得离心率【详解】由题意知直线的斜率为所以所以又因为所以所以即可得在中由余弦定理可得解得：故双曲线的离心率为故答案为：【点睛【分析】由题意知123FOA π∠=，结合已知条件可证明112FOA F AF ，利用11112F O F AF A F F =可计算1F A =，在12F AF中，利用余弦定理可计算出22AF c =，由 121222F F c e a AF AF ==-即可求得离心率. 【详解】由题意知直线OA23AOF π∠=，所以123FOA π∠=，又因为1223F AF π∠=，121AFO F F A ∠=∠，所以112FOA F AF ，所以11112F O F A F A F F =，即112F cc A F A =可得1F A =，在12F AF 中，由余弦定理可得22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅，解得：2AF =，故双曲线的离心率为1212222F F c e a AF AF ====-，故答案为：2. 【点睛】123FOA π∠=，结合1223F AF π∠=可得112FOA F AF，即可求出1F A =，在12F AF 中，再利用余弦定理，可求出2AF ，由双曲线的定义可计算122a AF AF =-，121222F F c e a AF AF ==-即可. 3．【分析】作出图形设双曲线的右焦点为根据双曲线的定义可得可得出利用三点共线时取得最小值即可得解【详解】对于双曲线则如下图所示：设双曲线的右焦点为则由双曲线的定义可得则所以当且仅当三点共线时等号成立因此解析：9【分析】作出图形，设双曲线的右焦点为M ，根据双曲线的定义可得4PF PM =+，可得出4PF PA PM PA +=++，利用A 、P 、M 三点共线时PF PA +取得最小值即可得解.【详解】对于双曲线221412x y -=，则2a =，23b =，4c =，如下图所示：设双曲线的右焦点为M ，则()4,0M ，由双曲线的定义可得4PF PM -=，则4PF PM =+，所以，()()2244144049PF PA PM PA AM +=++≥+=-+-=，当且仅当A 、P 、M 三点共线时，等号成立. 因此，PF PA +的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.4．34【分析】把到右焦点的距离转化为到左焦点的距离后易得最小值【详解】双曲线中即设是双曲线的左焦点则∵在双曲线的左支上∴即∴周长为显然当且仅当是线段与双曲线的交点时等号成立∴周长的最小值为故答案为：3解析：34 【分析】把P 到右焦点F 的距离转化为P 到左焦点的距离后易得最小值．【详解】双曲线22145x y -=中，2,5a b ==，453c =+=，即(3,0)F ，设F '是双曲线的左焦点，(3,0)F '-，则15AF AF ==='∵P 在双曲线的左支上，∴24PF PF a '-==，即4PF PF '=+， ∴APF 周长为41519l PF PA AF PF PA PA PF ''=++=+++=++，显然15PA PF AF ''+≥==，当且仅当P 是线段AF '与双曲线的交点时等号成立．∴APF 周长l 的最小值为151934+=．故答案为：34．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线上的点到定点和双曲线一个焦点距离和（或差）的最值问题．解题关键是掌握转化思想，根据双曲线的定义，如果涉及的是PF ，则把PF 转化为到另一焦点的距离，如果涉及的是1PF e，则转化为到相应准线的距离． 5．【分析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程设根据可得利用可求得结果【详解】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以为焦点直线：为准线的抛物线其方程为设因为动点满足所以即所以因为所以所以即的轨迹方程为故答案解析：221y x =-【分析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程24y x =，设()1,C a b ，()2,C m n ，(),M x y ，根据22122C M C C C A =+可得21a x =-，2b y =，利用24b a =可求得结果. 【详解】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以1,0A 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线，其方程为24y x =，设()1,C a b ，()2,C m n ，(),M x y ，因为动点M 满足22122C M C C C A =+，所以()()()2,,1,x m y n a m b n m n --=--+--，即21x a =+，2y b =，所以21a x =-，2b y =，因为24b a =，所以()()22421y x =-，所以221y x =-，即M 的轨迹方程为221y x =-. 故答案为：221y x =- 【点睛】关键点点睛：由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程24y x =是解题关键.6．【分析】根据三角形等面积公式得到再转化为关于的齐次不等式求离心率的取值范围【详解】的面积关系可得：即即整理为：两边同时除以得且解得：故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围求椭圆离心解析：10,3⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据三角形等面积公式得到()11222222P a c c c y bc +⋅=⋅⋅≤，再转化为关于,a c 的齐次不等式，求离心率的取值范围. 【详解】12PF F △的面积关系可得：()11222222P a c c y bc +⋅=⋅⋅≤，即))22a c c bc a cb +≤⇒+≤，即()()222222a c b a c+≤=-，整理为：22320c ac a +-≤ ，两边同时除以2a ，得23210e e +-≤且01e <<，解得：103e <≤. 故答案为：10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.7．【分析】根据抛物线方程求得准线方程过点作垂直于准线于根据抛物线的定义判断问题转化为求的最小值根据在圆上判断出当三点共线时有最小值进一步求出结果【详解】解：是抛物线上一点抛物线的准线方程为过点作垂直于解析：6【分析】根据抛物线方程求得准线方程，过点M 作MN 垂直于准线于N ，根据抛物线的定义判断MN MF =，问题转化为求||||MA MN +的最小值，根据A 在圆C 上，判断出当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +有最小值，进一步求出结果【详解】解：M 是抛物线24y x =上一点，抛物线的准线方程为1x =-，过点M 作MN 垂直于准线于N ，则MN MF =，所以||||MA MF MA MN +=+，因为点A 在圆C 上，圆22:(6)(1)1C x y -++=的圆心(6,1)C -，半径为1，所以当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +取得最小值6，故答案为：6【点睛】关键点点睛：此题考查了抛物线的简单性质的应用，解题的关键是利用了抛物线的定义，结合图形将||||MA MF +转化为||||MA MN +进行求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题8．【分析】先取的中点证明是的中点再设得到最后建立方程并求双曲线的离心率即可【详解】设为双曲线的右焦点取的中点则如图因为所以是的中点则设则因为所以则又因为所以即该双曲线的离心率故答案为：【点睛】本题考查 97 【分析】先取AB 的中点M ，证明M 是1PF 的中点，再设AB t =，得到65t a =，1185PF a =，285PF a =，最后建立方程2221212PF PF F F +=并求双曲线的离心率即可.【详解】设2F 为双曲线22221x y a b-=的右焦点，取AB 的中点M ，则1OM PF ⊥，如图.因为1F A AB BP ==，所以M 是1PF 的中点，则2//OM PF ，212OM PF =. 设AB t =，则13PF t =，232PF t a =-，2t AM =. 因为222OM AMOA =+，所以65t a =，则1185PF a =，285PF a =.又因为2221212PF PF F F +=，所以29725e =，即该双曲线的离心率975e =.故答案为：97. 【点睛】本题考查圆的几何性质、求双曲线的离心率，考查数形结合的数学思想，是基础题.9．【分析】根据题意画出示意图由几何关系证得是等边三角形后即可求解【详解】解:根据题意作示意图如下图所示：记与轴的交点为则且由几何关系可证过点作的垂线可知其垂足就为点且可得是等边三角形由几何关系可得：所解析：3【分析】根据题意画出示意图，由几何关系证得PQF ∆是等边三角形后，即可求解. 【详解】解:根据题意，作示意图如下图所示：22y x =，1,02F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，记l 与x 轴的交点为H ，则1FH =，1FR =，且由几何关系可证PMN FNR ∆≅∆1PM FR ⇒==，∴过点F 作PQ 的垂线，可知其垂足就为点M ，且可得||||FQ PF PQ ==，PQF ∴∆是等边三角形，由几何关系可得：3PFR QPF π∠=∠=，所以直线PF的斜率为3tan PFR tan π∠==【点睛】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.10．【分析】先设出两点的坐标分别为由此可得而则得再由和BMQ 三点共线可得而两点在椭圆上把其坐标代入椭圆方程中两方程作差得由此可得从而可求出离心率【详解】设）则由则再由BMQ 三点共线则故故即又因为即所以故【分析】先设出,A Q 两点的坐标分别为()()1122 ,,,A x y Q x y ，由此可得()()1111,,,B x y P x y ---，而则45AM AP =得113(,)5M x y -，再由AB AQ ⊥，和B ，M ，Q 三点共线可得222221211()5y y x x -=--，而,A Q 两点在椭圆上，把其坐标代入椭圆方程中，两方程作差得22221212220x x y y a b --+=，由此可得2215b a =，从而可求出离心率. 【详解】设()()1122 ,,,A x y Q x y ），则()()1111,,,B x y P x y ---，113(,)5M x y - 由AB AQ ⊥，则1211211y y y x x x -⋅=--，再由B ，M ，Q 三点共线，则1211215y y y x x x +=+，故2121212115y y x x x x y y +-=-⋅+-，故即 222221211()5y y x x -=--，又因为2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，即22221212220x x y y a b--+=，所以2215b a =，故椭圆C ．【点睛】此题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的离心率，考查运算能力，利用了数形结合的思想，属于中档题.11．相离【分析】由双曲线的离心率可得出然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离并与圆的半径作大小比较由此可得出结论【详解】双曲线的离心率为可得所以双曲线的渐近线方程为圆的圆心坐标为半径为圆心到直线的距离为因解析：相离【分析】由双曲线的离心率可得出b a =，然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离，并与圆的半径作大小比较，由此可得出结论. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为c e a ====b a =，所以，双曲线的渐近线方程为0x y ±=，圆()22214x a y a -+=的圆心坐标为(),0a ，半径为2ar =，圆心到直线0x y ±=的距离为122d r a ==>=，因此，双曲线的渐近线与圆()22214x a y a -+=相离. 故答案为：相离. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，涉及双曲线的离心率以及渐近线方程的应用，求出b 与a 的等量关系是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.12．【分析】过点作直线的垂线垂足为过点作准线的垂线垂足为交轴于点根据抛物线的定义可知所以过点作直线的垂线垂足为当点在与抛物线的交点时最小从而可求出答案【详解】如图焦点为抛物线的准线方程为过点作直线的垂线1 【分析】过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+，所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，从而可求出答案. 【详解】如图，焦点为()1,0F -，抛物线的准线方程为1x =，过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，则AH n =，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，则AB m =，1AC m =+，根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+，所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，则1246555FH --==, 当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，为165FH =，此时，m n +取得最小值651-. 故答案为：6515-.【点睛】本题考查抛物线的性质，考查点到直线距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.13．【分析】首先求出与椭圆相切的直线的方程根据直线方程与椭圆方程联立求出点坐标即可【详解】设直线：当直线与椭圆相切时其中一个切点到直线的距离最小故联立整理得相切时易知当时点到直线的距离最小代入中解得代入解析：94,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】首先求出与椭圆相切的直线的方程，根据直线方程与椭圆方程联立求出P 点坐标即可. 【详解】设直线1l ：()450x y m m R -+=∈，当直线1l 与椭圆相切时，其中一个切点到直线45400x y -+=的距离最小，故联立224501259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222582250x mx m ++-=，相切时24025b ac m ∆=-=⇒=±，易知当25m =时点到直线45400x y -+=的距离最小，25m =代入222582250x mx m ++-=中，解得4x =-，4x =-代入45250x y -+=中，解得95y =，故P 点坐标为94,5⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：94,5⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，属于一般题.二、解答题14．（1）22y x =；（2）①()2,2；【分析】（1）由抛物线定义：抛物线上点到焦点距离等于点到其准线的距离有42pPF =+，即可求p ，写出抛物线方程.（2）令(,)Q x y ，利用两点距离公式得PQ =Q 的坐标，利用点在抛物线上，结合二次函数最值求PQ 的最小值. 【详解】（1）由题意，可设抛物线C ：22y px =，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则9422p PF =+=，解得1p =，∴抛物线C 的标准方程为22y x =，（2）令(,)Q x y ， ①由已知条件得2PQ ==，将22y x =代入上式，并变形得，220x x -=，解得0x =(舍去)或2x =，当2x =时，2y =±，只有2x =，2y =满足条件， ∴点Q 的坐标为()2,2.②2PQ ==，其中22y x =，()()()22222224130PQ x x x x x x =-+=-+=-+≥，当1x =时，min PQ = 【点睛】关键点点睛：（1）由抛物线定义，由待定系数法求p ，写出抛物线方程.（2）由点在抛物线上，结合两点坐标的距离公式，求点坐标以及距离的最小值.15．（1）221164x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题可得，列出不等式组，求解4,2a b ==，即可求解椭圆的标准方程；（2）设直线l 方程：()24y k x +=-，直线的方程和椭圆的方程联立，利用根与系数的关系得到1212,x x x x +，在利用斜率公式和韦达定理化简，即可得到定值. 【详解】（1）解：由题可得，2222432c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得4a =，2b =，故椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）证明：易知直线l 斜率小于0，设直线l 方程为()24y k x +=-，0k <且1k ≠-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222(4)1164y k x x y +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221416(21)64(1)0kxk k x k k +-+++=，则12216(21)14k k x x k ++=+，12264(1)14k k x x k +=+，因为()()1221121212444422MA MB kx k x kx k x y y k k x x x x --+----+=+=，所以121216(21)2(44)24(1)2(21)164(1)MA MB x x k k k k k k k k k k x x k k +++=-+=-+=-+=-+（为定值）. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的综合应用求解定值问题，解答中把直线与圆锥曲线的位置关系的应用转化为一元二次方程的根和系数的关系是解答此类问题的关键.16．（1）2212x y +=；（2）0x y +=；（3）过定点(0,3)-，理由见解析.【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程；（2）方法一，由数形结合，直接看出切线方程，求切点，再求切线方程，方法二，设圆上切点11(,)S x y ，写出过该切点的圆的切线方程，同理得到过()22,T x y 的切线方程，切线过点()0,1，利用两点确定一条直线，求切线方程，方法三，点,S T 也在以AM 为直径的圆上，利用两圆相减就是直线ST 的方程；（3）方法一，设切线方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，求点,B D 的坐标，并表示直线BD 的斜率，并求直线BD 的方程，表示定点；方法二，可设BD 的直线方程为y mx t =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示121k k =，得到t 的值. 【详解】（1）由已知可得，222211122b b b a a=⎧⎧=⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，所求椭圆的方程为2212x y += （2）法一，数形结合易知，切线AS 的方程为1,y =切线AT 的方程为0x =，故切点(1,1),(0,0)S T -，所以切点ST 连线的方程为,y x =-即0x y +=法二设圆上切点11(,)S x y ，过该切点的圆的切线方程为11(1)(1)1x x y y +⋅++⋅=，又因为过点(0,1)A 所以有11(1)(01)10x y +⋅++⋅=，即111x y +=同理设另一个切点22(),T x y ，由同构可知220x y +=，经过不同两点有且只有一条直线，所以ST 的直线方程为0x y +=法三 ,S T 在AM 为直径的圆：22111()()222x y ++-=上，由两圆相减得ST 的方程为0x y +=（3）法一设切线方程为1y kx =+r =，即222(1)210r k k r --+-=，由0∆>得(01)r r <<≠设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以 121k k ⋅=；联立 22122y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 可得2212k )40x kx ++=（，设1122(:),(:)B x y D x y 则由韦达定理得124,12k x k -=+2121212k y k -=+；由121k k ⋅=得224,2k x k -=+ 22222k y k -=+，直线BD 的斜率221211y y k x x k-+=-- ∴直线BD 的方程为22222114()2112k k ky x k k k-++=-+++ 整理得213k y x k+=--，故直线BD 过定点(0,3).-法二设切线方程为1y kx =+r =，即222(1)210r k k y --+-=，设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以121k k ⋅=；可设BD 的直线方程为y mx t =+2222y mx t x y =+⎧⎨+=⎩ 可得22212m )4220x tmx t +++-=（，设1122(:),(:)B x y D x y ，由韦达定理得122412tm x x m ∴+=-+，21222t 212m x x -=+， 121212111y y k k x x --=⨯= 代入1212111mx t mx t x x +-+-⨯=2212121)(1)()(1)0m x x m t x x t -+-++-=（将韦达定理代入得2222221)41)(1)(1)01212t tmm m t t m m---+-+-=++（（化简得 3t =-或1t =(舍去)故直线BD 的直线方程为3y mx =-，直线BD 经过定点(0,3)-. 【点睛】关键点点睛：本题第三问求直线过定点问题，关键一点时利用切线方程1y kx =+与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求出121k k =，围绕着这个条件，利用坐标表示，得到直线所过的定点. 17．（1）24y x =；（2）8. 【分析】（1）根据椭圆的方程得出1c =，则得出椭圆的右焦点为()1,0，进而得出抛物线的焦点为()1,0F ，根据抛物线的性质得出2p =，从而得出抛物线的标准方程；（2）设C 、D 两点横坐标分别为1x ，2x ，结合条件和中点坐标公式得出126x x +=，最后根据抛物线的焦点弦公式得出12CD CF DF x x p =+=++，即可得出答案. 【详解】解：（1）由椭圆22143x y +=，可知224,3a b ==，则21c =，即1c =，则椭圆22143x y +=的右焦点为()1,0，所以抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，可知：12p=，∴2p =，所以抛物线的标准方程为24y x =；（2）因为抛物线为24y x =，所以2p =，设C 、D 两点横坐标分别为1x ，2x ，因为线段CD 中点M 的横坐标为3，则1232x x +=，即126x x +=，故12628CD CF DF x x p =+=++=+=. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的简单几何性质，考查抛物线的标准方程、定义以及抛物线的焦点弦公式，熟记抛物线的焦点弦公式是解题的关键.18．（1）22162x y +=；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）由离心率得2223c a =，由面积可得2ab =，结合222a b c =+即可求出,a b ，得出椭圆方程；（2）设出直线方程y x t =-+，联立直线与椭圆，利用判别式可得t -<<由11FM F N =可求得4t =-，即可判断. 【详解】（1）由ce a==2223c a =，又因为四个顶点围成的四边形的面积为2ab =，由222a b c =+，得a =b =故椭圆C 的方程为：22162x y +=（2）不存在符合题意的直线.假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程为y x t =-+，由22162x y y x t ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得223()60x x t +-+-=，即2246360x tx t -+-=，由()222(6)163612960t t t ∆=---=-+>，解得t -<<设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1232t x x +=，212364t x x -=，由于11||||F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1F E MN ⊥，故111F E MNk k =-=，又1(2,0)F -，1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，即3,44t t E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以141324F E t k t==+，解得4t =-.当4t =-时，不满足t -<，所以不存在满足条件的直线l . 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.19．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）247；（Ⅲ）12||S S -【分析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得结果；（Ⅱ）联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果；（Ⅲ）设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立直线l 与椭圆M 的方程，利用韦达定理求出12y y +，12||S S -=212||34t t +，变形后利用基本不等式可求得最大值. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的焦点为()1,0F -，所以1c =且23b =，所以222314a b c =+=+=，所以椭圆M 方程为22143x y +=.（Ⅱ）因为直线l 的倾斜角为45，所以斜率为1，直线l 的方程为1y x =+，联立221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得27880x x +-=，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则1287x x +=-，1287x x =-，所以||CD =247=. （Ⅲ）由（Ⅰ）知(2,0),(2,0)A B -，设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(34)690t y ty +--=，则122634ty y t +=+，123934y y t =-+0<，所以12,y y 异号，所以121211|||4||4|||22S S y y -=⨯-⨯⨯122||||||y y =-122||y y =+212||34t t =+1243||||t t =+344323||||t t ≤==⋅,当且仅当23||t =时，等号成立.所以12||S S -的最大值为3. 【点睛】关键点点睛：第（Ⅲ）问中将三角形面积用,C D 两点的纵坐标表示，并利用韦达定理和基本不等式解决是解题关键.20．51-【分析】根据抛物线标准方程有焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，根据抛物线定义||||||||1PA PM PA PF +=+-，结合三角形三边的性质即可求||||PA PM +最小值.【详解】抛物线标准形式为24x y =，则焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，延长PM 交准线于N ，连PF ，由抛物线定义知：||||||||1||||1PA PM PA PN PA PF +=+-=+-，而在△PFA 中，||||||PA PF AF +>，∴仅当F 、P 、A 共线时，||||||5PA PF AF +==为最小值， ∴此时||||51PA PM +=为最小值. 【点睛】关键点点睛：由抛物线的定义将问题转化为求||||||||1PA PM PA PF +=+-最小值，由三角形三边的性质知：三点共线时||||PA PF +有最小值.21．（1）832）()23,4或()23,4-或()23,4-或()23,4--. 【分析】（1）利用双曲线定义以及余弦定理，可求解出12PF PF ⋅的值，然后根据三角形的面积公式求解出12F PF △的面积；（2）根据121212F PF P SF F y =⋅⋅，结合（1）的结果，可求解出P 点的纵坐标，然后将纵坐标代入双曲线方程，则横坐标可求，则P 点坐标可求. 【详解】（1）由双曲线方程可知：2,a c == 因为1224PF PF a -==，且222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，所以()2121212248PF PF PF PF PF PF -+⋅-=⋅，所以12481632PF PF ⋅=-=，所以121211sin 603222F PF SPF PF =⋅⋅︒=⨯= （2）因为121212F PF P SF F y =⋅⋅=42p y c ===，所以22148p p x y -=，所以21641128p x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以p x =± 所以P点坐标为：()或()4-或()-或()4--. 【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为P ，焦点为12,F F ，且12F PF θ∠=，则有：（1）椭圆的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为短轴长度一半）；（2）双曲线的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为虚轴长度一半）. 22．（1）2y x =；（2）证明见解析，1,0t t ==. 【分析】（1）由准线方程为14x =- 求得12p =，得解抛物线C 的方程（2）设过P 的直线l 方程为：x my t =+（m R ∈），联解后，利用原点O 落在以AB 为直径的圆上得0OA OB ⋅= 得到12120x x y y +=得解【详解】（1）由准线方程为14x =-可设抛物线C 的方程22(0)y px p =>求得12p =故所求的抛物线C 的方程为：2y x =（2）依题意可设过P 的直线l 方程为：x my t =+（m R ∈），设1122(,),(,)A x y B x y由2x my t y x=+⎧⎨=⎩得：2y my t =+ 依题意可知0∆>，且12y y t =-原点O 落在以AB 为直径的圆上令0OA OB ⋅=即()22212121212t 0x x y y y y y y t +=+=--=解得：1,0t t ==即t 为常数，∴ 原题得证【点睛】本题利用0OA OB ⋅=得到12120x x y y +=是解题关键.23．（1）22132x y +=；（2. 【分析】（1）根据离心率3c e a ==，将点坐标代入曲线方程，结合222a b c =+，即可求得a ，b ，c 的值，即可求得答案；（2）由题意得右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，与椭圆联立，根据韦达定理，可得12y y +，12y y 的表达式，即可求得12y y -的表达式，根据m 的范围，即可求得12y y -的最大值，代入面积公式，即可求得OAB 的面积的最大值. 【详解】（1）由题意得22222392144c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =b =1c =.故椭圆方程为：22132x y +=.（2）易知椭圆的右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，联立直线l 方程代入椭圆方程221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得：()2223440m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则222(4)4(23)(4)48(+1)0m m m ∆=-+-=>122423m y y m -+=+，122423y y m -=+，所以。