平面向量易错题解析
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平面向量易错题解析
1.你熟悉平面向量的运算(和、差、实数与向量的积、数量积)、运算性质和运算的几何意义吗?
2.你通常是如何处理有关向量的模(长度)的问题?(利用2
2
||→→
=a a ;22||y x a +=)
3.你知道解决向量问题有哪两种途径? (①向量运算;②向量的坐标运算)
4.你弄清“02121=+⇔⊥→
→
y y x x b a ”与“0//1221=-⇔→
→
y x y x b a ”了吗?
[问题]:两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别?
(1) 在实数中:若0≠a ,且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中,若→→≠0a ,且0=•→
→b a ,不能推
出→
→=0b .
(2) 已知实数)(,,,o b c b a ≠,且bc ab =,则a=c,但在向量的数量积中没有→
→→→→→=⇒•=•c a c b b a . (3) 在实数中有)()(c b a c b a ••=••,但是在向量的数量积中)()(→
→
→
→
→
→
••≠••c b a c b a ,这是因为
左边是与→
c 共线的向量,而右边是与→
a 共线的向量.
5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗?三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点? 1.向量有关概念:
(1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如已知A (1,2),B (4,2),则把向量AB 按向量a =(-1,3)平移后得到的向量是_____(答:(3,0))
(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:,注意零向量的方向是任意的;
(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||
AB AB ±);
(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
(5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作:∥,规定零向量和任何向量平行。提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直
线重合;③平行向量无传递性!(因为有0);④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、
共线; (6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是-。
如下列命题:(1)若a b =,则a b =。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。(3)若AB DC =,则ABCD 是平行四边形。(4)若ABCD 是平行四边形,则AB DC =。(5)若,a b b c ==,则a c =。(6)若//,//a b b c ,则//a c 。其中正确的是_______(答:(4)(5))
2.向量的表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如,,等;(3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,j 为基底,则平面内的任一向量可表示为
(),a xi y j x y =+=,称(),x y 为向量的坐标,=(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在
原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理:如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使a =1λe 1+2λe 2。
如(1)若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-,则c =______(答:1322
a b -);(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e ==
D. 1213
(2,3),(,)24
e e =-=-(答:B );(3)已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且
,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____(答:24
33
a b +);(4)已知ABC ∆中,点D 在BC 边上,
且−→
−−→
−=DB CD 2,−→
−−→
−−→
−+=AC s AB r CD ,则s r +的值是___(答:0)
4.实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,它的长度和方向规定如下:
()()1,2a a λλ=当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同,当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反,当
λ=0时,0a λ=,注意:λa ≠0。
5.平面向量的数量积:
(1)两个向量的夹角:对于非零向量,,作,OA a OB b ==,AOB θ∠=
()0θπ≤≤称为向量,的夹角,当θ=0时,,同向,当θ=π时,,反向,当θ=
2
π
时,a ,b 垂直。
(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量a ,b ,它们的夹角为θ,我们把数量||||cos a b θ叫做
a 与
b 的数量积(或内积或点积),记作:a •b ,即a •b =cos a b θ。规定:零向量与任一向量的数
量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。如(1)△ABC 中,3||=−→
−AB ,4||=−→
−AC ,5||=−→
−BC ,
则=⋅BC AB _________(答:-9);(2)已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-,c 与d 的夹角为4
π
,
则k 等于____(答:1);(3)已知2,5,3a b a b ===-,则a b +等于____;(4)已知,a b 是
两个非零向量,且a b a b ==-,则与a a b +的夹角为____(答:30)
(3)在上的投影为||cos b θ,它是一个实数,但不一定大于0。如已知3||=→
a ,5||=→
b ,且
12=⋅→
→b a ,则向量→
a 在向量→
b 上的投影为______(答:
5
12
) (4)a •b 的几何意义:数量积a •b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。
(5)向量数量积的性质:设两个非零向量a ,b ,其夹角为θ,则: ①0a b a b ⊥⇔•=;
②当,同向时,•=a b ,特别地,2
2
2
,a a a a a a =•==;当与反向时,•=
-a b ;当θ为锐角时,•>0,且 a b 、
不同向,0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件;当θ为钝角时,•<0,且 a b 、
不反向,0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件; ③非零向量a ,b 夹角θ的计算公式:cos a b a b
θ•=
;④||||||a b a b •≤。如(1)已知)2,(λλ=→
a ,
)2,3(λ=→
b ,如果→
a 与→
b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是______(答:43λ<-或0λ>且1
3
λ≠);(2)
已知OFQ ∆的面积为S ,且1=⋅−→−−→−FQ OF ,若2
3
21<