圆的切线性质定理#
专题复习与圆的切线有关的证明
是圆的切线
5、常用的添加辅助线的方法
（1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的 半径，再证半径垂直于该直线。 有切点，连半径，证垂直 （2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线 的垂线段，再证明这条垂线段为圆的半径 无切点，作垂直，证半径
切线的性质
如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点， 若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心， 为半径作圆。
求证：AC 是⊙ O 的切线。
E
数学解答题P7 数学解答题P9
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
切线的性质
垂直 于经过切点的半径． 定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
作业：《数学解答题》 P7-10第一问
专题复习 与圆的切线有关的证明
1、圆的切线性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径．
2、辅助线： 连接圆心与切点
连半径，得垂直
半径与切线垂直
3、切线判定
定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。
(完整)圆切线证明的方法
切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。
中考与切线有关的定理
1与切线有关的定理一、切线的性质及判定 1． 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．①切线的判定定理设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．l AlAl证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 二、内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．P22． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p=，其中()12pa b c =++；图（2）中，90C∠=︒，则()12r a b c =+-cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长例2. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B。
人教九年级数学24.2.2圆的切线的判定与性质
1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成立 的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不 可． 2、判定一条直线是圆的切线的三种方法说明：其 中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题 时，灵活选用其中之一．
22
思考？如图：如果L是⊙O 的切线,切点为A,那么 半径OA与直线L是不 是一定垂直呢? 一定垂直
A
O
B
31
3、如图AB是⊙O的直径.AE是弦, EF是⊙O 的切线,E是切点,AF⊥EF,垂足为F,AE平分 ∠FAB吗?
F E
A
．
O
B
A
32
4、已知，如图AB是⊙O的直径，点P在 BA的延长线上，PD切⊙O于点C， BD⊥PD,垂足为D，连接BC。 (1)求证BC平分∠PBD （2） BC2AB•BD
A、600
B、1200
B
C、600或1200
O
D、1400或600 P
A
C
41
则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半
径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.
16
1、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，
OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.
求证：AB是⊙O的切线.
A
F
E
B
O
C
17
2、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长 线上,BD=OB,点C在⊙O上, ∠CAB=30°.
求证:AC与⊙O相切.
A
E D
B
O
C
36
3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC 平行于弦AD. 求证:DC是⊙O的切线.
圆的切线和切线定理
圆的切线和切线定理圆是几何中常见的形状之一，有很多有趣的性质和定理。
其中一个重要的定理就是圆的切线定理，它描述了切线与圆的关系以及相应的性质。
接下来，我们将详细介绍这个定理。
一、切线的定义在介绍切线定理之前，先给出切线的定义。
对于一个圆，如果从圆外的一点引一条直线，该直线与圆仅有一个交点，那么这个交点与圆的弧上的点之间的线段就是切线。
切线与圆相切于一个点，与该点处的切点重合。
二、切线定理的规定切线定理是关于切线和切线外一点与圆的关系的重要定理。
根据切线定理，以下规定成立：规定1：切线与半径的垂直性。
切线与半径的相交点处的半径垂直于切线。
规定2：切线与切线之间的垂直性。
如果两条切线分别与两个圆相切于同一点，那么这两条切线互相垂直。
规定3：切线长度的规律性。
如果从圆的外一点引两条切线，那么这两条切线的长度相等。
三、切线定理的证明以下是对切线定理的证明：首先，证明规定1。
设圆的半径为r，交点为A。
连接A与圆心的线段，记为OA。
根据垂直定理，如果OA与切线AD垂直，那么OA与圆上任意一点（如点B）处的切线BC也是垂直的。
因此，切线与半径的垂直性得证。
接下来，证明规定2。
设圆的两个切点分别为A和B，切线分别为AD和BC。
连接OA和OB，并延长这两条线段相交于点C。
根据垂直定理，如果AD与BC垂直，那么OA与OB也垂直。
根据垂直线的性质，切线AD与切线BC的垂直性得证。
最后，证明规定3。
设从点P引两条切线分别与圆交于点A和点B，切线长度分别为AD和BE。
连接圆心O与点A、点B，并连接OA和OB。
由于圆心到切点的距离相等，即OA = OB。
通过几何推理，可以得出三角形OAD和三角形OBE是全等的，因此AD = BE。
切线长度的规律性得证。
四、切线定理的应用切线定理在几何问题中的应用十分广泛。
它可以帮助我们解决一些与圆相关的问题，例如求解切线的长度、判断两条切线是否相互垂直等。
总结：切线定理是关于切线和切线外一点与圆的关系的重要定理。
初中数学知识归纳圆的切线与切线定理计算方法
初中数学知识归纳圆的切线与切线定理计算方法初中数学知识归纳：圆的切线与切线定理计算方法在初中数学中，圆是一个重要的几何概念。
掌握圆的性质和相关定理，对于解决与圆相关的数学问题至关重要。
本文将对初中数学中与圆的切线及切线定理相关的计算方法进行归纳和总结。
一、切线的定义与性质在圆上，如果一条直线与圆相交，且与圆的交点只有一个，那么这条直线被称为圆的切线。
切线具有以下性质：1. 切线与半径的关系：切线与连接切点和圆心的半径垂直，即切线与半径的夹角是直角。
2. 切线的长度：从切点到切线上的圆心的距离是切线的长度。
3. 切线的唯一性：圆的外切线和内切线只有一条。
二、切线定理的计算方法1. 切线与切线的关系：圆外一点到圆的切线与该点连线的夹角等于切线与半径的夹角。
2. 切线与弦的关系：切线与一条弦的夹角等于弦所对的圆心角的一半。
3. 弦的长度计算：如果两条切线相交于圆的外点，那么两条切线的积等于外切点到两个切点的弦的积。
即切线外点到切点的线段的长度分别为a和b，那么a*b等于两条切线的积。
4. 弦切角公式：圆上的两条弦所对的圆心角之和等于两条弦所对的弧所对的圆心角的一半。
5. 切线长度计算：给定圆的半径R和切线与半径的夹角α，可以使用三角函数来计算切线的长度。
切线的长度等于R乘以正切函数的值，即L = R * tan(α)。
三、实例解析下面通过几个实例来应用切线定理的计算方法：示例1：已知圆的半径R为5cm，求切线与半径的夹角α为30°时的切线长度L。
解答：根据切线长度的计算公式L = R * tan(α)，代入已知数据，可得L =5 * tan(30°) = 5 * 1/√3 ≈ 2.88cm。
示例2：圆的直径是10cm，切线与半径的夹角α为45°，求切线的长度L。
解答：由于圆的直径等于半径的两倍，所以半径R = 直径/2 = 10/2 = 5cm。
根据切线长度的计算公式L = R * tan(α)，代入已知数据，可得L = 5 * tan(45°) = 5 * 1 ≈ 5cm。
圆的切线的性质及判定定理 课件
【典例训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cB的关系为( )
(A)相切
(B)相离
(C)相交
(D)无法判断
2.如图所示，CB为⊙O的直径，P是CB的延
长线上一点，且OB=BP，∠AOC=120°，
则PA与⊙O的位置关系是_____.
圆的切线的性质
圆的切线的性质 (1)已知一条直线是圆的切线时,常作出过切点的半径,则该半 径垂直于切线,从而出现了直角. (2)从圆外一点引圆的两条切线,这点与圆心的连线平分这两条 切线的夹角,这点到切点的切线长相等. (3)连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径.
【典例训练】 1.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知 ∠D=46°，则∠A=_____.
DO AD
AD
2.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上的一点，AC是 半圆O的切线，D为切点，BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则 AE=_______.
【解析】1.如图所示，连接OB，OC，
则OB⊥BD，OC⊥CD，
则∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°，
则四边形OBDC内接于一个圆，
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°，
【解析】连接OC，∵OA=OB,AC=CB,OC=OC, ∴△OAC≌△OBC, ∴∠OCA=∠OCB=90°, ∴直线AB与⊙O相切. 答案：相切
1.圆的切线的其他相关性质 (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半径; (3)过圆心且过切点的直线与过该点的切线垂直.
2.切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径外 端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是 圆的切线，如图①②中的例子就不同时满足这两个条件，所以 都不是圆的切线.
圆的冷门定理
圆的冷门定理
圆的冷门定理有：
1.切线定理：垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直
于这条半径的直线，是这个圆的切线。
2.切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心
的连线平分切线的夹角。
3.切割线定理：圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于
C点，割线交圆于A B两点，则有pC^2=pA·pB。
4.垂弦定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的
两条弧。
5.弦切角定理：弦切角等于对应的圆周角。
（弦切角就是切线与弦所
夹的角）。
这些定理在学习圆的性质时可能会涉及，但相对较冷门。
圆的切线判定与性质
直于这条半径的直线是圆的切线。
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明
O
AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB,
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
切线判定有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的
A
C
B
∴ AB⊥OC(三线合一)
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC， OD⊥AB于点D ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ OE也是半径 ∴ AC是⊙O的切线。
O
E
B
PC
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=90°
∴ ∠OPE=∠PEC=90°
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
练习3
如图AB是⊙O的直径.AE是弦, EF是⊙O的切线,E是切 点,AF⊥EF, 垂足为F,AE平分∠FAB吗?
圆的切线：切线的定义、性质和求解方法
圆的切线：切线的定义、性质和求解方法切线是与圆相切于一点且只与圆的该点相交一次的直线。
切线与半径垂直，也就是与半径所在的直径形成直角。
切线的定义给定一个圆，如果通过圆上的一点作两条直线，其中一条与半径垂直且只与该点相交一次，那么称这条直线为这个圆的一条切线。
切线的性质1. 切线与圆相切于一点，且只与圆的该点相交一次。
2. 切线与半径垂直，即与半径所在的直径形成直角。
3. 以切点为端点的切线被称为切线段。
4. 圆心到切点的线段被称为切线的斜率。
切线的求解方法求解圆的切线可以根据以下步骤进行：1. 给定一个圆和切点P，连接圆心O与切点P，得到半径OP。
2. 利用切线性质，使切线与半径OP垂直，得到直角三角形。
3. 根据已知条件，计算切线的长度。
切线的长度可以通过利用勾股定理或几何构造法进行计算。
勾股定理法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。
2. 根据勾股定理，有切线长度s的平方等于d的平方减去圆的半径r的平方，即s^2 = d^2 - r^2。
3. 取根号可以得到切线的长度s。
几何构造法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。
2. 以切点为圆心，作一条半径为r的圆。
3. 连接圆心与新圆上与切点P相对应的点Q，得到直角三角形OPQ。
4. 根据直角三角形OPQ中的三边关系，可以计算出切线的长度s。
这是圆的切线的定义、性质和求解方法的简要介绍。
掌握这些基本概念和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用切线在几何学中的重要性。
圆的切线和切点
圆的切线和切点圆是几何中的基本概念之一，而切线和切点是与圆密切相关的内容。
在本文中，我们将探讨圆的切线和切点的定义、性质以及相关的定理。
一、圆的切线和切点的定义在几何学中，切线是与圆相切于一点的直线，切点是切线与圆相切的点。
圆的切线与圆的半径垂直。
二、圆的切线和切点的性质1. 切线与半径的垂直性：切线与半径在切点处相交，且相交点是垂直的。
2. 切点唯一性：一条直线只能与圆相切于一个点，即切点是唯一确定的。
3. 切点在半径上的位置：切点到圆心的连线与切线相垂直。
三、圆的切线与切点的定理1. 切线与切点的定理：切线上的切点到圆心的距离等于切线与切点之间连线的长度。
即在一个三角形中，切点和三角形顶点连线的长度等于该三角形的高。
2. 切线的长度定理：外切圆的切线等于两切点之间的连线长度的两倍。
即切线长等于两切点与外切圆的半径之和。
3. 切线与切线的定理：如果两条切线相交于圆的外部一点，那么两条切线所夹的弧度相等。
四、圆的切线与切点的应用圆的切线和切点在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 轮胎的制造：轮胎的制造过程中需要确定轮胎与地面的接触点，这可以通过圆的切线和切点来确定。
2. 光学系统：在光学系统中，切线和切点可以帮助确定光线的传播路径和反射规律，对于光学仪器的设计和调整有着重要的意义。
3. 数学建模：在数学建模中，圆的切线和切点可以用于解决多种实际问题，例如物体运动的轨迹、流体力学中的接触问题等。
总结：圆的切线和切点是几何学中重要的概念，其定义、性质和定理都与圆的特性密切相关。
了解圆的切线和切点的性质和定理，能够帮助我们更好地理解和应用圆的相关知识。
同时，圆的切线和切点也在实际问题中有广泛的应用，为我们解决各种问题提供了重要的数学工具。
通过深入研究和理解圆的切线和切点的概念，我们将能够更好地应用几何知识解决实际问题。
初中数学圆的切线与切圆知识点总结
初中数学圆的切线与切圆知识点总结圆是初中数学中常见的几何图形之一，而圆的切线与切圆也是初中数学中的重要知识点。
接下来，我们将对初中数学中关于圆的切线和切圆的知识点做一个总结。
一、圆的切线切线是圆上一点到该点处圆周的切线，也是与圆只有一个交点的直线。
切线有以下几个重要性质：1. 切线与半径的垂直性：切线与圆的半径相交处呈垂直关系，即切点处的切线垂直于过切点的半径。
2. 切线的长度：切线与圆的半径相交处形成直角三角形，根据勾股定理，切线的平方等于半径的平方与切线段的乘积。
3. 切线之间的关系：若两条切线分别与圆相交于点A和点B，则切线上的两个切点与圆心所连接的线段AB平行。
二、切线的性质与定理1. 切线定理：若直线L与圆相交于点A和点B，且点A处的线段AB的端点B在圆上，则直线L为圆的切线。
2. 弦切角定理：若弦AB与切线CD相交于点E，则角BED为弦切角，角BED的角度等于弦AB的对应弧的一半。
3. 切线与半径之间的关系定理：若切线与圆的半径相交于点A，则线段OA的平方等于切线上的切点与该切点处半径的乘积。
三、切圆切圆是指一个圆与另一个圆外切于一个点的情况。
切圆有以下几个重要性质：1. 切圆的切点：切圆的切点即两个圆外切点的连线与两个圆的切点连线重合。
2. 切线关系：两个相切的圆的切点处的切线重合。
3. 切圆的切线长度：两个相切的圆的切线长度相等。
四、切圆的性质与定理1. 切圆外切定理：若两个圆相切于点A，则过该切点的直线为两个圆的外公切线。
2. 切圆公切线定理：若两个圆外切于点A，并且直线L与两个圆相交于点B和点C，则过点B和点C的直线为两个圆的公切线。
3. 切圆的切线垂直关系：两个切圆的切线相交于切点处且垂直。
总结：通过以上的总结，我们了解了初中数学中与圆的切线与切圆相关的知识点。
理解并掌握这些知识，可以帮助我们解决与圆相关的几何问题，在解题过程中更加灵活和准确。
如果对这些知识点还不够熟悉，建议多进行相关题目的练习，加深对这些知识的理解和应用能力。
人教版高中数学选修4-1《2.3圆的切线的性质及判定定理》
D C
又∵AD⊥CD,
∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∴ ∠CAD=∠CAO. 故AC平分∠DAB.
A O B
习题2.3
1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D.
求证:AC与⊙O相切.
D
A
E
B
线的性质及它的两个推论 概括出来吗？
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个， 就可以推出第三个：（1）垂直于切线；（2） 过切点；（3）过圆心。
直线经过切点
切线垂直于半径
经过圆心
垂直于切线
直线经过切点 经过圆心
垂直于切线 经过圆心 直线经过切点
练一练
按图填空： (1). 如果AB是⊙O的切线， 那么 OA ⊥ AB. (2). 如果OA⊥AB，那 么AB是 ⊙O的切线
A
O
D E
.
B
F
例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.
证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线, ∴OD//AC. 又∵∠DEC=90º
E D C
∴∠ODE=90º
又∵D在圆周上,
A O
B
∴DE是⊙O是切线..
例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和 过C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB. 证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
几何语言：∵ l 相切⊙O于Ａ, A是切点, OA是⊙O的半径 ∴l ⊥OA. 提示：切线的性质定理是证明两条直线垂直的重要根据; 作过切点的半径是常用辅助线之一.
切线的判定定理
切线的判定定理
切线的判定方法有三种：
（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的主要性质：
(1)切线和圆只有一个公共点。
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径。
(3)切线垂直于经过切点的半径。
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点。
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
(6)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
(完整word版)关于圆的切线的各种定理
切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A∴l ⊥OA（切线性质定理）推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何语言：∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点∴PA=PB，∠APO=∠BPO（切线长定理）证明：连结OA、OB∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点∴OA⊥AP、OB⊥PB∴∠OAP=∠OBP=90°在△OPA和△OPB中：∠OAP=∠OBPOP=OPOA=OB=r∴△OPA≌△OPB（HL）∴PA=PB，∠APO=∠BPO弦切角概念顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。
它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．弦切角定理弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角[注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC] 几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠1所夹的是弧MN ，∠2所夹的是PQ ，弧MN =弧PQ∴∠1=∠2证明：作AD⊥EC∵∠ADC=90°∴∠ACD+∠CAD=90°∵ED与⊙O切于点C∴OC⊥ED∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°∴∠OCA=∠CAD∵OC=OA=r∴∠OCA=∠OAC∴∠COA=180°-∠OCA-∠OAC=180°-2∠CAD又∵∠ACD=90°-∠CAD∴∠ACDC=1/2∠COA∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
圆的切线的性质及判定定理 课件
[解题过程] (1)证明：依据题意，得 a＋b＝c＋4，ab＝4(c＋2)， 则 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝(c＋4)2－2×4(c＋2)＝c2， 所以△ABC 是直角三角形．
(2)∵∠C＝90°，tan A＝ab＝34， ∴不妨设 a＝3k，b＝4k，则 c＝5k(k>0)， 代入 a＋b＝c＋4，得 k＝2. ∴a＝6，b＝8，c＝10. 连接 OE，得 BC∥OE. ∴OBCE＝AAOB，即O6E＝10－10OE.解得 OE＝145. 在 Rt△AOE 中，tan A＝OAEE＝34，∴AE＝5.
[规律方法] 用切线的性质定理求解线段的长度时，应注 意哪些问题？
(1)如果已知三边的一元二次方程，可利用韦达定理建立起 三角形的三边之间的关系；
(2)在应用切线的性质定理及其推论进行几何证明和求解 时，如果已知切点，则连接圆心和切点构成垂直是一种常用的 方法．
(江苏高考)AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB
[思路点拨]
[解题过程] 如图所示，连接OA、OB、OC．
∵PA和PB分别切⊙O于点A和B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. ∴∠AOB＋∠APB＝180°. ∴∠AOB＝180°－∠APB＝140°. ∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°.
又∵∠PAO＝90°， 在 Rt△CDO 与 Rt△ADO 中， 有 OD＝DO，CO＝AO， ∴△CDO≌△ADO.
∴∠COD＝∠AOD＝12∠COA． 同理可证，∠COE＝∠BOE＝12∠COB．
∴∠DOE＝12(∠COA＋∠COB)＝12×140°＝70°.
[规律方法] (1)如何利用切线性质定理及推论求解有关角 的问题？
圆的切线的性质及判定定理
证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线,
C
∴OD//AC.
E
又∵∠DEC=90º
∴∠ODE=90º
又∵D在圆周上,OD是半径 A ∴DE是⊙O的切线..
D
B O
【例题解析】
例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和 过 C点的切线互相垂直,垂足为 D,求证:AC平分∠DAB.
证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD,
∴OC//AD. 由此得 ∠ACO=∠CAD.
D C
∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∴ ∠CAD=∠CAO. 故AC平分∠DAB.
A
O
B
【例题解析】
例3 作经过一定点C的圆的切线．
(1)点C在圆上．
(２)点C在圆外．
A
【切线的性质定理 切线的】性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直， 所以，经过圆心垂直于切线的直线一定过切点 ；反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆
心.由此得到： l A M
推论１： 经过 圆心且垂直于 切线的直线必 经过切点．
推论２:经过切
点且垂直于切
即圆心到直线的距离小于半径. 推论１： 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
∴OD是△ABC的中位线,
反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心.
∴ ∠CAD=∠CAO. ∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)
这与“直线l是圆O的切线”矛盾.
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
故直线l与圆O一定垂直.
能否仿照上节研究圆内接四边形的判 定定理的方法来得出一个圆的切线的判定 定理呢？
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圆的切线的判定与性质
【知识点精析】
1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。
这条直线叫圆的切线。
2. 圆的切线的判定与性质：
（1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径
（2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。
例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。
3. 切线长定理：
（1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。
圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。
（2）切线长性质
从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。
例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12求圆半径
（3）三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆
三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
三角形的内心到三角形三边的距离相等
三角形的内心是三角形三角平分线的交点
【解题方法指导】
一切线长定理的计算
例1. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径
B
C
2 在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。
二等腰三角形在证明切线中的巧用
例3、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D．
word.
word.
求证：AC 平分∠DAB ．
4已知：AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，D 为AB 上一点，过D 点作AB 的垂线DE 交AC 于F ，EF=EC 。
谧荡铮絳贊訐揚鳍譎济諳鼉瘋譯須历轶缀鱒則侬艙郏糴堅勋韞镙踬倆錦鋇鳃歲阐黉况讓穷騍绸详鳝谂镓雞費
求证：EC 与⊙O 相切。
5、如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过点B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE
CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？并证明你的结论．
已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=900
，以AB 为直径的⊙O 交AC 于E 点，D 为BC 的中点。
韉痈夢乌蝼祕強缣篱雋讼攣翘驟狹諞俨這鸛怅僉视梦黩鐲鳟饶癇還诧坟談紼价塤謾剴鲐閂嫗償逕浆讲類求证：DE 与⊙O 相切。
三 到直线的距离等于半径在证明切线巧用
8、 已知：△ABC 中AB=AC ，O 为BC 的中点，以O 为圆心的圆与 AC 相切于点E ，
求证：AB 与⊙O 也相切。
O
B
A
C
E D
A
B
C
O
E
O B
A C
D E
F
word.
9.已知：在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 和CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ，求证：CD 与小圆相切。
炽馄蝾訌喾劢冑换刿俠顽悭绒篋鍔亩辩攤廪鲵铉摊鹆邇諸驪桠襲壞蠱饅瑋瀠杩缩膚預镐殒橼錨
10．已知：如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点．PE ⊥OA 于E ．以P 点为圆心，PE 长为半径作⊙P 求证：⊙P 与OB 相切
四 平行线在证明切线中的巧用
例11、如图，AN 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ．DE ⊥AC ． 求证：DE 是⊙O 的切线．
12、已知：以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，，过D 作DE ⊥AC 于E ， 求证：DE 是⊙O 的切线。
O
E
A
B
D
C
B C
D
A
O
E
word.
13．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径的半圆O 交AB 于F ，E 是BC 的中点．求证：直线EF 是半圆O 的切线．
14．已知：如图，△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，直线EF ⊥AC 于F ．求证：EF 与⊙O 相切．
五 外接圆内切圆的有关计算
15. 已知圆的半径r 和圆心到直线的距离d 满足等式r d dr 2
2
2+=，则圆与直线的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交式相离 16 如图，I 是△ABC 内心，则∠BIC 与∠A 的关系是（ ） A. ∠BIC=2∠A B. ∠BIC=180°－∠A
C. ∠BIC=901
2
︒-
∠A
D. ∠BIC=9012
︒+
∠A
A B C
I
17. 若三角形的三边长分别为1，1和2，则外接圆的半径为____________。
18. 等边三角形的边长为4cm ，它的外接圆的面积为____________cm 2。
19 已知等边三角形的边长为4，则它的内切圆与外切圆组成的圆环面积为__________。
最新文件仅供参考已改成word文本。
方便更改
word.。