初一 上册 数学培优班培训教材
七年级数学培优辅导讲义(共十讲80页)
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x 来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1．说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1．说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1．说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值．3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1．将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①×2-④得4y-u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定3x4+2x5的值．3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0，试求m的值．第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．。
七年级数学培优教辅
七年级数学培优教辅一、教材知识巩固板块。
1. 有理数。
- 知识点梳理。
- 有理数的概念：整数和分数统称为有理数。
整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。
例如，2是正整数， - 3是负整数，0.5是有限小数属于分数，(1)/(3)是无限循环小数也属于分数。
- 有理数的分类：- 按定义分类：有理数整数正整数 0 负整数分数正分数负分数- 按性质符号分类：有理数正有理数正整数正分数 0 负有理数负整数负分数- 典型例题。
- 例1：将下列数分类： - 5，(3)/(4)，0， - 0.3，π，3.14159，-(22)/(7)。
- 解：有理数有 - 5，(3)/(4)，0， - 0.3，3.14159，- (22)/(7)；π是无理数（不属于有理数范畴）。
2. 整式的加减。
- 知识点梳理。
- 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
例如，3x是单项式， - 5也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如3x的系数是3，次数是1；-5的系数是 - 5，次数是0。
- 多项式：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如，2x^2+3x - 1，它有三项，分别是2x^2、3x、 - 1，其中 - 1是常数项，这个多项式的次数是2。
- 整式：单项式与多项式统称为整式。
- 整式的加减：实质就是合并同类项。
同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
例如，3x^2y和-5x^2y是同类项。
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
- 典型例题。
- 例2：化简3a + 2b - 5a - b。
- 解：3a+2b - 5a - b=(3a - 5a)+(2b - b)= - 2a + b。
华师版七上数学培优班课件省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
A.10 B.21 C.28 D.26
思想措施三
用转化旳思想解题
例：计算13+23+33+43+、、、、+1003旳值。
解：13=1,13+23=9=32=(1+2)2，13+23+33=36=62=(1+2+3)2,
13+23+33+43=100=(1+2+3+4)2,......
由此可知13+23+33+43+、、、、+993+1003=(1+2+3+4+、、、
+99+100)2
=﹝(1+100)×100÷2﹞2
=50502
思绪总结：本题中把“立方”运算化为“平方”运算，把
=25502500 “求和”运算转化为“乘方”旳运算。
思想措施二 用分类讨论旳思想解题
例：比较2a与-2a旳大小
解：
当a﹥0时，2a﹥-2a； 当a﹤0时，2a﹤-2a； 当a=0时，2a=-2a.
例：若 a = 5, b = 3, 求a+b旳值。
解：因为 a =5, b =3, 所以 a=5或-5，b=3或-3
当a=5，b=3时，a+b=8 当a=5,b=-3时，a+b=2 当a=-5,b=3时，a+b=-2 当a=-5,b=-3时，a+b=-8
D.-8或2
思想措施二 用分类讨论旳思想解题
(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义
（—|"最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.：{…2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.，经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克|])【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（）&};?A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___}·【【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；—（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．《）"【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，，－，123,!%【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.。
七年级(上)数学培优班--第4讲 因式分解--(配方、拆添项、双十字、主元)---学生版
第四讲因式分解（拆添项、配方、双十字、主元）拆添项一、拆项与添项：拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项，如22232a a a =-； 添项：在代数式中填上两个相反项，叫做添项，如221221a a a a +=+-+. 拆项和添项都是代数式的恒等变形.在对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项的变形，创造出提取公因式或运用乘法公式进行因式分解的条件，使原式的某些项之间能够建立起联系，便于采用分组法进行因式分解.这种通过拆项或添项来进行因式分解的方法，形式多样，技巧性较灵活，因此具有一定的难度，需要同学们通过多做练习来掌握.【铺垫1】 ★★☆☆☆分解因式：387x x -+【例题1】 ★★★☆☆分解因式：（1）32x x +-（2）414x x --（3）42201820172018x x x +++配方法二、配方法：（1）定义：在代数式中，利用添项的方法，将原多项式配上某些需要的缺项，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．（2）方法：配方主要是配中项2ab ，或配一个平方项2b （或2a ）．如何配方依赖于对题目特点的观察和分析．应用配方法进行因式分解时，常将多项式配成平方差公式22A B -的形式，使多项式可分解为()()A B A B -+的形式．【铺垫2】 ★☆☆☆☆分解因式：421x x ++【例题2】 ★★☆☆☆分解因式：（1）444x y + （2）4259x x ++ （3）422423a a b b -+【例题3】 ★★★☆☆4322321x x x x ++++【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：51x x ++【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()444x y x y +++双十字相乘双十字相乘法：⑴适用范围：双十字相乘法适用于对形如FEyDxCyBxyAx+++++22的二次多项式进行因式分解.⑵条件：①21aaA=，21ccC=，21ffF=②Bcaca=+1221，Efcfc=+1221，Dfafa=+1221即：1a x1c y1f2a x2c y2f则=+++++FEyDxCyBxyAx22111222()()++++a x c y f a x c y f⑶步骤：①用十字相乘法分解二次三项式()()221122Ax Bxy Cy a x c y a x c y++=++，用十字交叉线表示（共两列）；②用十字相乘法分解二次三项式()()21122Cy Ey F c y f c y f++=++，继续用十字交叉线表示，即把常数项F分解成两个因式填在第三列上.③用十字相乘法分解二次三项式2Ax Dx F++，检验是否等于()()1122a x f a x f++，若相等，则双十字相乘法分解因式成功.(4) 特殊情况：形如432Ax Bx Cx Dx E++++一元四次五项式．即：21a x1c x1e22a x2c x2e其中，12A a a=，1221B a c a c=+，1221D c e c e=+，12E e e=，特别的，121221C c c a e a e=++．【铺垫3】★☆☆☆☆分解因式：22232543x xy y yz zx z+++++.模块三【例题4】 ★★☆☆☆双十字相乘法分解因式： （1）226136x xy y x y ---+-（2）2221076142712x xy y xz yz z ---+-【例题5】 ★★☆☆☆双十字相乘法分解因式： （1）2256x y x y -++- （2）225624x xy y y -++-【例题6】 ★★★☆☆双十字相乘法分解因式： （1）4322656x x x x ++++ （2）432273108x x x x +++-注：关于x 的四次五项式的因式分解方法很多，个人理解，一般以系数的特征来区分用法， 如43222533x x x x ++++，一二项系数相同，四五项系数也相同，而第三项系数等于前后系数之和的，直接选用拆中项分组分解，得()()4322222333x x x x x +++++；如4325251x x x x ++++，一三五可配方，选用分组分解，得()()4232155x x x x ++++；如4323266x x x x -++-，系数相加为0，选用试根法，根为1，具体在后面讲次会讲解； 再比如还有待定系数法解决一般的四次五项式，不过所有方法中，相对而言双十字相乘法会更加便捷的解决一般的四次五项式，建议在这着重练习.主元十字主元十字法实际上属于分组分解法中的一类，方法是以某个字母为主（看作主元），把这个多项式看成关于主元的二次三项式，再用十字相乘法进行因式分解.【铺垫4】 ★★☆☆☆分解因式：32221a b a b ab a ++++.【例题7】 ★★★☆☆用主元法分解因式：（1）222a bc ac acd abd cd d ++--- （2）2222222x y y z z x x z y x z y xyz -+-++-模块四【例题8】 ★★★☆☆分解因式：()()()2211221y y x x y y +++++..【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()()()()()2222221ab x y a b xy a b x y ---+-++【练习1】 分解因式：（1）332x x -+ （2）3212x x +- （3）3231x x -+【练习2】 分解因式：（1）32212x x x ---（2）32201820182017x x x +++ （3）42676x x x ---【练习3】 分解因式：（1）4414x y +（2）422416x x y y -+ （3）42204x x -+【练习4】 分解因式：224443x x y y --+-【练习5】 分解因式：4422222221x y x y x y +---+【练习6】 分解因式：43241x x x x +-++【练习7】 分解因式：（1）222332x xy y x y +++++ （2）22215196x xy y x y +-+-- （3）2220918183314x xy y x y +--+- （4）22xy y x y ++--【练习8】 分解因式：（1）432391112x x x x ++++ （2）432922x x x x --++11 【练习9】 ★★★☆☆分解因式：（1）432223816x x x x +--+ （2）4212312224x x x -+-【练习10】 分解因式：（1）322232b ab a b ac c ++++ （2）222324x y xy x xy y +++-- （3）23322222a x ax ax x ax +++--。
人教版七年级数学培优教程
比例数.
有限小数
可化为分数形式，是有理数
小数 无限循环小数
无限不循环小数 不可化为分数形式，不是有理数
有理数的分类：
正整数
整数
零
自然数
有理数（按定义分类）
负整数
分数
正分数 负分数
正整数
正有理数
正分数
有理数（按符号分类） 零（零既不是正数，也不是负数）
负有理数
负整数 负分数
该定义更接近分类而非本质定义，例如小数是有理数吗？下面给出有理数更加接近本质的定
义.
定义：能写成 m （m、n 为整数，n≠0，（m，n）=1）的数. n
例： 12 3 ， 3 3 ， 0.1
1
，
0.3
1
82
1
10
3
有理数：rational number，rational（有道理的）的词根为 ratio（比例），有理数可以理解为
6、数轴上：B 到 A 的距离为 1，C 到 B 的距离为 2，求 AC=________
动点（规律类） 1、数轴上：点 A 从原点向右移一个单位，再向左移动两个单位，求现在位置 2、数轴上：点 A 向左移动 3 个单位，向右移动 5 个单位到 2014，求开始的位置 3、数轴上：点 A 从原点开始按照右移 1 个单位，左移 2 个单位，右移 3 个单位，左移 4 个 单位……右移 99 个单位，左移 100 个单位的规律移动 （1）最后的位置________． （2）共移动了多少个单位长度？ （3）若 A 为一个起始为 300kg 的质点，每移动一个单位减少 1kg，A 点消失的位置？ 基础夯实 【例 3】（1）如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为
人教版七年级上册第1章有理数培优辅导：有理数与数轴重难点突破课件
且缺一不可 3. 所有有理数都可以用数轴上的点表示，
但数轴上的点不都代表有理数（比如π）， 即有理数和数轴上的点不是一一对应的 关系 4. 利用数轴比较大小：数轴右边的数比左 边的数大【正数>0>负数】
相反数·重难点
1. 相反数是成对出现的，不能单独存在，即单 独的一个数不能说是相反数
.
【答案】－3万元. 由于盈余与亏损相对，故亏损3万元记为－3万元.
第 14 页
例5. 【202X·槐荫期末】李白诞生于公元701年，我们记作+701，那么秦始皇诞生于公元前259年， 可记作
【答案】-259.
培优专用
有理数突破
第 15 页
典例解析
例6. 【202X·重庆期中】出租车司机小王下午营运全是在东西走向的公路上进行的. 如果向东记作 “+”，向西记作“-”. 他这天下午行车情况如下（单位：千米，每次行车都有乘客） -2、+5、-1、+10、-3、-2、-4、+6，请回答： （1）小王将最后一名客人送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出 发地多远？ （2）若小王的出租车每千米耗油0.3L，每升汽油6 元，不计其它损耗，那么小王这天下午共需多 少油费？ （3）根据（2）条件，若规定每趟车的起步价是10元，每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价； 若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱. 那么小王这天下午收到乘客所给车费 共多少元？小王这天下午的运营是盈利还是亏损？盈利（亏损）多少元？
绝对值
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a| 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，这个点距离 本来越远，则绝对值越大，否则反之 代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数， 0 的绝对值是 0
(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义精编版
最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。
人教版七年级上册数学同步培优(整册)
初一上册数学培优讲义教师：学生：目录第一讲正数与负数、有理数的概念 (3)第二讲有理数的加减 (7)第三讲有理数的乘除、乘方 (11)第四讲有理数的的混合运算 (15)第五讲整式的加减 (19)第六讲解一元一次方程（一） (23)第七讲解一元一次方程（二） (27)第八讲实际问题与一元一次方程（一） (31)第九讲实际问题与一元一次方程（二） (35)第十讲图形的初步认识（一） (39)第十一讲图形的初步认识（二） (43)第十二讲有理数与整式的复习 (47)第十三讲一元一次方程复习 (51)第十四讲期末复习 (55)第一讲 正数与负数、有理数的概念考试目标解读1、正数和负数：（1）负数的定义：在正数前面加上的数叫做负数。
▲特殊数字0 （2）通常在日常生活中用正数和负数表示 的两种量。
（3）用正负数表示加工允许误差。
2、有理数：（1）有理数的定义： 。
（2）分类⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数 正整数整数 0 正有理数 负整数 正分数有理数 有理数 0 （0不能忽视） 正分数 负整数分数 负有理数负分数 负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 ⑤ a ＞0时，a 是正数；a ＜0时，a 是负数；a ≥0时，a 是正数或0,即非负数；a ≤0时，a 是负数或0,即非正数.3、数轴（1）数轴的定义：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
（2）数轴的三要素： 、 、 。
4、相反数（1）只有 不同的两个数叫做互为相反数。
（2）一般地，a 的相反数是 ，0的相反数是 。
（3）相反数的性质：互为相反数的两数 。
5、绝对值（1）定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的 叫做数a 的绝对值。
（2）正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 。
（3）绝对值的性质： ①有理数的绝对值是一个非负数，即最小的绝对值是零；②两个互为相反数的绝对值相等，即a a -=.（4）两个数比较大小的方法：根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较，数轴上的数从左到右是逐渐 。
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_________(a 0)
若 a a ，则 a 为__________数；若 a a ，则 a 为__________数。
[例题 3] 1、在数轴上表示 2 的点离开原点的距离等于（ ）
2
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A．2
第 1 课时《有理数》（1）
——有理数的基本知识
________
有理数 _________________________
_________________________
________
有理数 __________________________
_________________________
[例题 1]1、下列说法正确的是（ ）
B． 2
C． 2
2、若 a 3，则 a 的值是（
）
A． 3
B．3
C． 1 3
D． 3
3、若 m n n m ，且 m 4 ， n 3 ，则 (m n)2
D． 4
．
4.相反数：___________的两个数互为相反数；相反数是它本身的数是_________，互为相反数的两个数的
绝对值__________，互为相反数的两个数的和是___________。
（2）两个负数，_______________；
（3）在数轴上，______边的点所表示的数总比________边的点所表示的数大.
[例题 6] 1、下列有理数大小关系判断正确的是（
）
A、 ( 1) 1
9
10
B、 0 10 C、 3 3
【资料特点】 1．选题上注重知识的灵活运用，紧扣中考考纲，以中考中高档难题为主； 2．资料所编内容，由浅入深，起点低，容易被学生接受，落点适中，能够满足 6A 班学生的能力要求； 3．注重思维训练，提高学生的逻辑思维能力，； 4．关注社会生活、关注实践应用，引用了大量的社会生活素材，创设了丰富的教学情境，能激发学生学 习的兴趣；
新人教版七年级数学培训资料Word版上下册(全年级章节培优已整理完善)
七年级数学培训资料Word版上下册目录第01讲与有理数有关的概念（2--8）第02讲有理数的加减法（3--15）第03讲有理数的乘除、乘方（16--22）第04讲整式（23--30）第05讲整式的加减（31--36)第06讲一元一次方程概念和等式性质(37--43)第07讲一元一次方程解法(44--51)第08讲实际问题与一元一次方程(52--59)第09讲多姿多彩的图形(60--68)第10讲直线、射线、线段(69--76)第11讲角(77--82)第12讲与相交有关概念及平行线的判定(83--90)第13讲平行线的性质及其应用(91--100)第14讲平面直角坐标系（一）(101--106)第15讲平面直角坐标系（二）(107--112)第16讲认识三角形(113--119)第17讲认识多边形(120--126)第18讲二元一次方程组及其解法(127--134)第19讲实际问题与二元一次方程组(135--145)第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155)第21讲一元一次不等式（组）的应用(156--164)第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合(165--174)第23讲数据的收集与整理(175--186)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l 5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( )A ．5B ． 15C ． －5D ． －1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b |＞a ，则a ,b 、－a ,－b 的大小顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a |,用式子表示为|a |＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b ,依相反数的意义标出－b ,－a ,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a |＝|b |；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④若|a |≠|b |，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个 02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a |＋b |b |＋c|c |的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a +bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a +b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ． －4B ． －1C ． 0D ． 403．已知|a |＝8，|b |＝2，且|a －b |＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l 8届迎春杯）已知(m ＋n )2＋|m |＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n )2＋|m |的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n )2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n )2＋|m |≥0，而(m ＋n )2＋|m |＝m∴ m ≥0,∴(m ＋n )2＋m ＝m ，即(m ＋n )2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】 01．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l |＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a |＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A ． 156B ． 172C ． 190D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ． 16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b 05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a ( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b ,则|a |＝|b | ②若a ＝－b ,则|a |＝|b | ③若|a |＝|b |，则a ＝－b ④若|a |＝|b |,则a ＝b A ． ①② B ． ③④ C ． ①④ D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b |的大小关系正确的是( )A ． |b |＞a ＞－a ＞bB ． |b | ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b |＞b ＞－aD ． a ＞|b |＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a |a ＋|b |b ＋|abc |abc ＋|c |c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、ba的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a |＝4，|b |＝5，|c |＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 2001 02．（第l 8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b |＋|b －c |＝|a －c |；③（a －b ）(b －c )(c －a )＞0；④|a |＜1－bc ．其中正确的结论有( )A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a |＋b |b |＋c |c |＋abc|abc |的所有可能的值为（ ）A ． －1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－2 04．已知|m |＝－m ，化简|m －l |－|m －2|所得结果( )A ． －1B ． 1C ． 2m －3D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p |＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( )A ． 30B ． 0C ． 15D ． 一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a |＋|x －b |＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m |＋|n |－5＝0所有这样的整数组(m ，n )共有 组 09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m ＋|n |n ＋|p |p ＝1．则2mnp|3mnp |＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l |＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l |）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）132164116181412-a -b 0b a【例３】计算111112233420082009++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++-＝111111112233420082009-+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________. 【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ） A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－a ＞b ＞－b C ．b ＞a ＞－b ＞－a D ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b＞a【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号） 02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋3 5＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋2 50＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋ (49)49(491)2⨯+＝1225 ∴S＝12252【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋1 2004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5 03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－3 04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－x＝0 B．－x－x＝0 C．|x|＋|－x|＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（ ） A ．14 B ．14- C ．12 D ．12- 02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51c＋61d 等于（ ） A ．18 B ．316 C ．732 D ．1564 03．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ）A ．30B ．32C ．34D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c25632015201051216158412410982654321534333231305．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．406．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）A ．－22003B ．22003C ．－22004D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m |＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________ 08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________ 10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________12．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋...＋n 3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋ (1003)值.第03讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例１】计算 ⑴11()24⨯- ⑵1124⨯ ⑶11()()24-⨯- ⑷25000⨯ ⑸3713()()(1)()5697-⨯-⨯⨯- 【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积. 解：⑴11111()()24248⨯-=-⨯=- ⑵11111()24248⨯=⨯= ⑶11111()()()24248-⨯-=+⨯= ⑷250000⨯= ⑸3713371031()()(1)()()569756973-⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=- 【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯- ⑵11()124-⨯ ⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯- ⑸111112(2111)42612-⨯-+-02．24(9)5025-⨯ 3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab ＜0知a 、b 异号，又由a ＋b ＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D ．【变式题组】01．若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．b ＋c ＜0C ．ab ＋ac ＞0D ．a ＋bc ＞002．已知a ＋b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|. 03．(山东烟台)如果a ＋b ＜0，0b a>，则下列结论成立的是（ ） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＜0 C ．a ＞0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞004．(广州)下列命题正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0【例３】计算⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13()()1025-÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184-÷-=÷= ⑵17331(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255()()()()10251036-÷=-⨯=- ⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷ ⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3)245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a 、b 满足0a b +=，则ab ＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab ＞0，2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>⎧+=⎨-<<⎩； 当ab ＜0，0a b a b+=，∴ab ＜0，从而ab ab ＝－1. 【变式题组】01．若k 是有理数，则(|k|＋k )÷k 的结果是（ ）A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数02．若A ．b 都是非零有理数，那么ab a b a b ab ++的值是多少？03．如果0x y x y +=，试比较x y -与xy 的大小.【例５】已知223(2),1x y =-=-⑴求2008xy 的值； ⑵求32008x y的值. 【解法指导】n a 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1x y =-=-⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy=-= 当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy =-⨯-=-⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==-- 【变式题组】01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n n x y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A ．0.135×106B ．1.35×106C ．0.135×107D ．1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）A ．1.03×105B ．0.103×105C ．10.3×104D ．103×10302．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）A ．25.3×105亩B ．2.53×106亩C ．253×104亩D ．2.53×107亩【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+ 原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+ ＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A ．31003 B ．31004 C ．1334 D ．1100002．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞004．若|ab |＝ab ，则（ ）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜005．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a b m cd m +-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或106．若a ＞1a，则a 的取值范围（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞－1 D ．－1＜a ＜0或a ＞1 07．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1a b =-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个08．若ab≠0，则a b a b+的取值不可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．－209．1110(2)(2)-+-的值为（ ）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x y x y +=，试比较x y-与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b c a b c ++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c c b b a -+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个 02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．5 03．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ）A ．abcde ＜0B ．ab 2cd 4e ＜0 C ．ab 2cde ＜0 D ．abcd 4e ＜0 04．若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y+-这四个数中的三个数相等，则|y |－|x |的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．3205．若A ＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．9 06．如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－1 07．已知5544332222,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞c ＞dB ．a ＞b ＞d ＞cC ．b ＞a ＞c ＞dD ．a ＞d ＞b ＞c 08．已知a 、b 、c 都不等于0，且a b c abc a b c abc+++的最大值为m ，最小值为n ，则2005()m n +＝___________. 09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753- 第二组：112,315-第三组：52.25,,412-10．一本书的页码从1记到n ，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？ 11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m 个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m 的值和这m 个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.32 x6413．(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n=-+-+⋅⋅⋅-+证明：⑴11,;22m n A B m n ++== ⑵126A B -=，求m 、n 的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，错误!未找到引用源。
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最新 ( 人教版 ) 七年级数学上册培优辅导讲义第 1 讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解 数的 生 程，能 用正、 数表示具有相反意 的量 .2．会 行有理的分 ，体会并运用数学中的分 思想.3．理解数 、相反数、 、倒数的意 ．会用数 比 两个有理数的大小，会求一个数的相反数、 、倒数 .经典 ·考题 ·赏析【例 1】写出下列各 句的 意 ⑴向前－ 7 米 ⑵收人－ 50 元⑶体重增加－ 3 千克【解法指 】用正、 数表示 中具有相反意 的量．而相反意 的量 包合两个要素：一是它的意 相反．二是它 具有数量．而且必 是同 两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7 米表示向后7 米⑵收入－ 50 元表示支出50 元⑶体重增加－3 千克表示体重减小 3 千克 .【 式 】01．如果＋ 10%表示增加 10%，那么减少8%可以 作（）A ． － 18% ． － 8% C ． ＋2% D． ＋ 8%B02．（金 ）如果＋ 3 吨表示运入 的大米吨数，那么运出 5 吨大米表示 ( ) A ． －5 吨B ． ＋5 吨 C ． － 3 吨 D ． ＋ 3 吨03．（山西）北京与 的 差－13（ 号表示同一 刻 比北京晚） . 如 在是北京15： 00，是 _ ___.【例２ 】在－!， π，0，0.033 3四个数中有理数的个数（)A ．1 个．个C ．3 个D ．4 个B 2正有理数正整数正分数负有理数负整数负份数【解法指 】有理数的分 ：⑴按正 性分 ，有理数；正整数整数 0负整数分数正分数负分数（ 2 ）按整数、分数分 ，有理数；其中分数包括有限小数和无限循 小数，因π＝.3.1415926⋯是无限不循 小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－! 是分数， 0.0 33 3 是 无限循 小数可以化成分数形式， 0 是整数，所以都是有理数，故 C ．【 式 】 01．在 7， 0， 15，－!，－ 301， 31.25 ，－!， 100， 1，－ 3 001 中， 分数 ，整数，正整数.02．（河北秦皇 ） 把下列各数填入 中适当位置15，－!，!，－!， 0.1 ，－ 5.32 ， 123，2.333【例３ 】（宁夏）有一列数 － 1 ， !，－ !， ! ，－ !， ! ，⋯，找 律到第 2007 个数是.【解法指 】从一系列的数中 律，首先找出不 量和 量，再依 量去 律． 去猜想，然后 行 . 解本 会有 的 律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次 1，2， 3， 4， 5， 6，⋯⑶ 于奇数位置的数是 数， 于偶数位置的数是正数，所以第2007 个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个数，故答案－!.【式】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝ 2＋ 1，第二个数是5＝ 3＋ 2，第三个数是9＝ 5＋ 4，第四个数是 17＝ 9＋8⋯察并猜想第六个数是.02．（）达哥拉斯学派明了一种“馨折形”填数法，如？填____.03．（茂名）有一数1， 2， 5， 10， 17， 26⋯察律，第 8 个数 __ __ .【例４】（ 2008 年河北家口）若1＋ !! 的相反数是－3， m 的相反数是 ____.【解法指】理解相反数的代数意和几何意，代数意只有符号不同的两个数叫互相反数. 几何意：在数上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互相反数，本!＝ 2， m＝ 4，m 的相反数－ 4.【式】01．（四川宜）－ 5 的相反数是 ()A． 5B．!C．－5D．－!02．已知 a 与 b 互相反数， c 与 d 互倒数，a＋ b＋ cd＝______03．如一个正方体盒的展开，若在其中的三个正方形A、 B、 C 内分填人适当的数，使得它折成正方体. 若相的面上的两个数互相反数，填入正方形 A 、B、C 内的三个数依次 ()A．－ 1， 2，．0 ，－ 2，1C．－ 2， 0，1D．2 ，1，00B【例５】（湖北）a、b 有理数，且a＞ 0， b＜0， | b| ＞ a， a，b、－ a，－ b 的大小序是 ()A．b＜－ a＜ a＜－ b．– a＜ b＜ a＜－ bBC．– b＜ a＜－ a＜ b D ．– a＜ a＜－ b＜ b【解法指】理解的几何意：一个数的就是数上表示 a 的点到原点的距离，即| a| ，用式a( a0)0( a0)子表示 | a| ＝a(a 0). 本注意数形合思想，画一条数出 a、 b，依相反数的意出－ b，－ a，故 A．【式】01．推理①若a＝b，| a|＝| b|；②若| a|＝| b|，a＝b；③若a≠ b，| a|≠|b|；④若| a| ≠|b| ， a≠ b，其中正确的个数（）A．4个．3 个C．2个D．1个B02． a 、 b 、 c 三个数在数上的位置如，!＋!＋!＝.03． a、 b、c 不等于 O 的有理数，!＋!＋! 的可能是 ____.【例６】（江西改）已知| a－4| ＋ | b－ 8| ＝ 0，!的 .【解法指】本主要考概念的运用，因任何有理数 a 的都是非数，即| a| ≥0．所以 | a －4| ≥0， | b－8| ≥0. 而两个非数之和0，两数均 0.解：因 | a－4| ≥0， | b－8| ≥0，又 | a－ 4| ＋ | b－ 8| ＝ 0，∴|a－ 4| ＝ 0， | b－ 8| ＝ 0即 a－ 4＝ 0，b－ 8＝0， a＝ 4，b＝ 8. 故 !＝! ＝ !【式】01．已知 | a| ＝ 1， | b| ＝ 2， | c| ＝ 3，且 a＞ b＞ c，求 a＋ b＋ C．02．（）若 | m－ 3| ＋| n＋ 2| ＝ 0， m＋ 2n 的 ( )A．－4．－ 1C．0D．4B03．已知 | a| ＝ 8， | b|＝ 2，且 | a－ b| ＝ b－ a，求 a 和 b 的【例７】（第 18 届迎春杯）已知( m＋ n) 2＋ | m| ＝m，且 |2 m－n－ 2| ＝0．求 mn 的．【解法指】本例的关是通分析( m＋ n) 2＋ | m| 的符号，挖掘出m 的符号特征，从而把化( m＋n)2＝ 0， |2 m－ n－2| ＝ 0，找到解途径 .解：∵(m ＋ n) 2≥0， | m| ≥ O ∴(m ＋ n) 2＋ | m| ≥0，而 ( m ＋ n) 2＋| m| ＝ m∴ m ≥0，∴(m ＋ n) 2＋m ＝m ，即 ( m ＋ n) 2＝ 0∴ m ＋n ＝ O ① 又∵ |2 m －n － 2| ＝ 0 ∴2m － n －2＝0 ② 由①②得 m ＝ !， n ＝－ !，∴ mn ＝－ !【 式 】01．已知 ( a ＋ b) 2＋ | b ＋5| ＝ b ＋5 且 |2 a － b – 1| ＝ 0，求 a － b ．02．（第 16 届迎春杯）已知 y ＝ | x － a| ＋ | x ＋ 19| ＋ | x － a － 96| ，如果 19＜ a ＜ 96． a ≤ x ≤96，求 y 的最大 . 演练巩固 ·反馈提高01． 察下列有 律的数!，!，!， !，! ， !⋯根据其 律可知第9 个数是 ()A ． ! ．! C．!D ． !B02．（ 湖）－ 6 的 是 ()A ． 6B ．－ 6C ．!D ．－ !.03．在－!， π， 8.0.3四个数中，有理数的个数( ) A ． 1 个 ． 个C ． 3 个D ． 4 个B 204．若一个数的相反数 a ＋ b ， 个数是 ( )A ． a －bB ． b － aC ． – a ＋ bD ． – a － b05．数 上表示互 相反数的两点之 距离是 6， 两个数是 ( )A ．0和6B ． 0和－6C ． 3 和－3D ．0 和306．若－ a 不是 数， a( )A ． 是正数B ． 不是 数C ． 是 数D ． 不是正数07．下列 中，正确的是 ( ) ①若 a ＝ b ， | a| ＝ | b| ②若 a ＝－ b ， | a| ＝ | b| ③若 | a|＝ | b| ， a ＝－ b ④若 | a| ＝ | b| ， a ＝ b A ． ①② B ． ③④ C ． ①④ D ．②③08．有理数 a 、 b 在数 上的 点的位置如 所示， a 、 b ，－ a ， | b| 的大小关系正确的是( )A ． | b| ＞ a ＞－ a ＞bB ． | b| ＞ b ＞ a ＞－ aC ． a ＞ | b| ＞b ＞－ aD ． a ＞ | b| ＞－ a ＞ b09．一个数在数 上所 的点向右移 5 个 位后，得到它的相反数的 点， 个数是 ____.10．已知 | x ＋2| ＋ | y ＋2| ＝ 0， xy ＝ __ __. 11． a 、 b 、c 三个数在数 上的位置如 ，求 !＋ !＋ !＋ != 12．若三个不相等的有理数可以表示 1、 a 、 a ＋ b 也可以表示成 0、 b 、 !的形式， 求 a 、 b 的 .13．已知 | a| ＝ 4， | b| ＝ 5， | c| ＝ 6，且 a ＞ b ＞ c ，求 a ＋ b － c ．14． | a| 具有非 性，也有最小 0， ：当 x 有理数 ， | x － 1| ＋ | x － 3| 有没有最小 ，如果有，求出最小 ；如果没有， 明理由 .15．点 A 、B 在数 上分 表示 数 a 、 b ， A 、 B 两点之 的距离表示 | AB| ．当 A 、 B 两点中有一点在原点 ，不妨 点 A 在原点，如 1， | AB| ＝ | OB| ＝ | b| ＝ | a － b| 当 A 、 B 两点都不在原点 有以下三种情况: ①如 2，点 A 、 B 都在原点的右 | AB| ＝ | OB| － | OA| ＝ | b| － | a| ＝ b － a ＝ | a －b| ；②如 3，点 A 、 B都在原点的左 ， | AB| ＝ | OB | － | OA| ＝ | b| － | a| ＝－ b － ( － a) ＝| a － b| ；③如 4，点 A 、B 在原点的两 ， | AB| ＝ | OB| －| OA| ＝ | b| －| a| ＝－ b －（－ a ）＝ | a － b| ； 上，数 上 A 、 B 两点之 的距离 | AB| ＝ | a － b| ．回答下列 :⑴数上表示 2 和 5 的两点之的距离是，数上表示－ 2 和－ 5 的两点之的距离是，，数上表示 1 和－ 3 的两点之的距离是；⑵数上表示x 和－ 1 的两点分是点 A 和 B，A、 B 之的距离是，如果| AB|＝2，那么x ＝；⑶当代数式 | x＋ 1| ＋ | x－ 2| 取最小，相的x 的取范是．培优升级·奥赛检测01．（重市）在数上任取一条度1999! 的段，此段在条数上最多能盖住的整数点的个数是 ()A． 1998B． 1999C． 2000D． 200102．（第 18 届希望杯邀）在数上和有理数 a 、 b、 c 的点的位置如所示，有下列四个：① abc＜ 0;② | a－ b| ＋ | b－ c| ＝ | a－ c| ；③（ a－ b） ( b－ c)( c－ a) ＞ 0；④ | a| ＜ 1－ bc．其中正确的有( )．4个． 3 个C．2个D．1个A B03．如果 a、 b、 c是非零有理数，且 a ＋ b＋ c＝ 0 ．那么!＋! ＋! -! 的所有可能的（）A．－1B． 1 或－1C． 2或－ 2D． 0 或－204．已知 | m| ＝－ m，化 | m－ 1 | － | m－2| 所得果 ( )A．－1B． 1C． 2 m － 3D． 3 － 2 m05．如果 0＜ p＜ 15，那么代数式 | x－ p| ＋| x－ 15| ＋| x－ p－ 15| 在 p≤ x≤15 的最小 ( )A． 30B． 0C． 15 D ．一个与 p 有关的代数式06． | x＋ 1| ＋| x－ 2| ＋| x－ 3| 的最小.07．若 a＞0， b＜ 0，使 | x－ a| ＋| x－ b| ＝a－ b 成立的 x 取范.08．（武市拔）非零整数m、 n 足 | m| ＋ | n| －5＝ 0 所有的整数( m， n) 共有09．若非零有理数m、 n、p 足!＋! ＋!＝ 1．!＝.10．（ 19 届希望杯）求| x－ 1| ＋ | x－ 2| ＋ | x－ 3| ＋⋯＋ | x－ 1997| 的最小 .11．已知 (| x＋ 1| ＋ | x－2|) （ | y－2| ＋ | y＋ 1| ）（ | z－ 3| ＋ | z＋ 1| ）＝ 36，求 x＋ 2y＋ 3z 的最大和最小.12．子跳蚤落在数上的某点 k0，第一步从 k0向左跳 1 个位得 k1，第二步由 k1向右跳 2 个位到 k2，第三步由 k2向左跳 3 个位到 k3，第四步由 k3向右跳 4 个位到 k4⋯按以上律跳 100 步，子跳蚤落在数上的点k100新表示的数恰好19.94 ，求 k0所表示的数 .13．某城，沿形路上依次排列有五所小学，它次有 15 台、 7 台、 11 台、 3 台， 14 台，使各学校里数相同，允一些小学向相小学出，怎配才能使出的台数最小？并求出出的最少台数.第 02 讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义 .2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算 . 3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题 .4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１ 】（河北唐山）某天股票 A 开盘价 18 元，上午 11:30 跌了 1.5 元，下午收盘时又涨了0.3 元，则股票 A 这天的收盘价为（）A ． 0.3 元B ． 16.2 元C ． 16.8 元D ． 18 元【解法指导 】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为 负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值 . 解： 18＋（－ 1.5 ）＋（ 0.3 ）＝ 16.8 ，故选 C ．【变式题组 】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－ 6℃，西安市最低气温 2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（ ） A ． 8℃ B ．－ 8℃ C ． 6℃ D ． 2℃02．（河南）飞机的高度为 2400 米，上升 250 米，又下降了 327 米，这是飞机的高度为 __________ 03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔 8848m ，吐鲁番海拔高度为－ 155 m ，则它们的平均海拔高度为 __________ 【例２ 】计算（－ 83）＋（＋ 26）＋（－ 17）＋（－ 26）＋（＋ 15） 【解法指导 】应用加法运算简化运算，－ 83 与－ 17 相加可得整百的数，＋ 26 与－ 26 互为相反数，相加为 0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起 .解：（－ 83）＋（＋ 26）＋（－ 17）＋（－ 26）＋（＋ 15）＝ [ （－ 83）＋（－ 17） ] ＋ [ （＋ 26）＋ （－ 26） ] ＋15＝（－ 100）＋ 15＝－ 85【变式题组 】1 3 101．（－ 2.5 ）＋（－ 3 2 ）＋（－ 1 4 ）＋（－ 1 4）02．（－ 13.6 ）＋ 0.26 ＋（－ 2.7 ）＋（－ 1.06 ）11 203． 0.125 ＋34＋（－ 38）＋113＋（－ 0.25 ）11 1 1【例３ 】计算 1 22 33 4L2008 2009111 【解法指导 】依n(n1) nn1进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.(1 1) (11) (11) L(11 )解：原式＝2 23 34 20082009 1 11 1 1 L1 11 20081 2 3 3 412009 ＝ 2009＝22008 2009 ＝ 1 21 18 41 132【 式 】01． 算 1＋（－ 2）＋ 3＋（－ 4）＋⋯ ＋ 99＋（－ 100）1102 ．如 ，把一个面 1 的正方形等分成两个面2 的 方形，接着把面2 的 方形等分成两个111面 4的正方形，再把面4的正方形等分成两个面8的 方形，如此 行下去， 利用 形揭11 1 11111示的 律 算 2 4 8 16 32 64 128256＝ __________.【例４ 】如果 a ＜ 0， b ＞ 0， a ＋b ＜ 0，那么下列关系中正确的是（）A ． a ＞ b ＞ －b ＞ －aB ． a ＞ －a ＞ b ＞ －bC ．b ＞ a ＞ －b ＞ －aD ． －a ＞ b ＞ －b ＞ a 【解法指 】 扣有理数加法法 ，由两加数及其和的符号，确定两加数的 的大小，然后根据相反数 的关系将它 在同一数 上表示出来，即可得出 . 解：∵ a ＜ 0， b ＞ 0，∴a ＋b 是异号两数之和又 a ＋b ＜ 0，∴ a 、 b 中 数的 大，∴ | a |＞ | b | 将 a 、 b 、－ a 、 －b 表示在同一数 上，如 ， 它 的大小关系是－a ＞ b ＞－b ＞a【 式 】ab-b-a01．若 m ＞ 0， n ＜0，且 | m |＞ | n |， m ＋ n ________ 0.（填＞、＜号）02．若 m ＜ 0， n ＞0，且 | m |＞ | n |， m ＋ n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知 a ＜ 0， b ＞0， c ＜ 0，且 | c |＞ | b |＞ | a |， 比a 、b 、c 、 a ＋ ＋b 、ac 的大小238【例５ 】 4 5 －（－ 33 11 ）－（－ 1.6 ）－（－ 2111 ）【解法指 】有理数减法的运算步 ：⑴依有理数的减法法 ，把减号 加号，并把减数 它的相反 数；⑵利用有理数的加法法 行运算.2 38 2 3 8解： 4 5 －（－ 33 11 ）－（－ 1.6 ）－（－ 21 11）＝ 4 5 ＋33 11 ＋ 1.6 ＋ 21 113 8＝ 4.4 ＋ 1.6 ＋（ 33 11＋ 2111）＝ 6＋ 55＝ 61【 式 】(2)(1)(5)(1)(11) 01．32 63 23 102． 4 4 －（＋ 3.85 ）－（－ 3 4）＋（－ 3.15 ）21903． 178－ 87.21 －（－ 4321）＋ 15321－ 12.79【例６ 】 看下面一列数： 25、23、 21、 19⋯⑴ 察 列数，猜想第10 个数是多少？第n 个数是多少？⑵列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是 数？⑶求 列数中所有正数的和 . 【解法指 】 找一系列数的 律， 从特殊到一般，找到前面几个数的 律，通 察推理、猜想出第 n 个数的 律，再用其它的数来 .解：⑴第 10 个数 7，第 n 个数 25－ 2( n － 1)⑵∵ n ＝ 13 ， 25－ 2(13 － 1) ＝1， n ＝ 14 ， 25－ 2(14 －1) ＝－ 1 故 列数有 13 个数 正数，从第 14 个数开始就是 数 .⑶ 列数中的正数 25， 23， 21， 19， 17， 15， 13， 11， 9， 7， 5， 3， 1，其和＝（ 25＋ 1）＋（ 23＋ 3）＋⋯＋（ 15＋ 11）＋ 13＝ 26×6＋ 13＝ 169【 式 】1 12 83 274 6401． ( 杭州 ) 察下列等式 1－ 2 ＝ 2， 2－ 5 ＝ 5，3－ 10 ＝ 10， 4－ 17 ＝ 17⋯依你 的 律，解答下列 . ⑴写出第 5 个等式；⑵第 10 个等式右 的分数的分子与分母的和是多少？02． 察下列等式的 律 9－ 1＝8， 16－ 4＝ 12， 25－ 9＝ 16， 36－ 16＝ 20⑴用关于 n （ n ≥ 1 的自然数）的等式表示 个 律；⑵当 个等式的右 等于2008 求 n.11 21231234【例７ 】（第十届希望杯 ）求2＋（ 3＋ 3 ）＋（ 4＋ 4＋4）＋（5＋5＋5＋5）＋⋯＋1 2 4849（50 ＋ 50 ＋⋯＋ 50＋ 50 ）【解法指 】 察式中数的特点 ：若括号内在加上相同的数均可合并成 1，由此我 采取将原式倒序后与原式相加， 极大 化 算了.1 121231 248 49 解： S ＝ 2＋（ 3＋ 3 ）＋（4＋4＋ 4）＋ ⋯ ＋（ 50 ＋ 50 ＋⋯＋ 50＋50 ）121321494821有 S ＝ 2＋（ 3＋3）＋（ 4＋ 4＋ 4）＋ ⋯ ＋（ 50＋ 50＋⋯＋ 50＋ 50）将原式的和倒序再相加得1 1 12 2112 332112 482S ＝ 2＋ 2＋（ 3＋3＋ 3＋3）＋（4＋ 4＋4＋ 4＋4＋ 4）＋ ⋯ ＋（ 50＋50＋⋯＋ 5049 49 48 2 1＋ 50 ＋ 50 ＋ 50＋⋯＋ 50＋ 50 ）49 (49 1)1225即 2S ＝ 1＋2＋ 3＋ 4＋⋯＋ 49＝2 ＝ 1225∴ S ＝ 2【 式 】01． 算 2－ 22－ 23－ 24－ 25－ 26－ 27－ 28－ 29＋ 210111 1111 102．（第 8 届希望杯 ） 算（ 1－2－3－⋯－2003）（2＋3＋4＋⋯＋2003＋2004）－（ 1－11 1 1 1 1 12 －3 －⋯－ 2004 ）（ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋⋯＋ 2003）演练巩固·反馈提高01． m 是有理数，m ＋ | m| （）A ．可能是 数B ．不可能是 数C．必是正数D．可能是正数，也可能是数02．如果 | a| ＝ 3， | b| ＝ 2，那么 | a＋ b| （）A．5B．1C．1或 5D．±1或±5 03．在 1，－ 1，－ 2 三个数中，任意两数之和的最大是（）A．1B．0C．－ 1D．－ 3 04．两个有理数的和是正数，下面法中正确的是（）A．两数一定都是正数B．两数都不0C．至少有一个数D．至少有一个正数05．下列等式一定成立的是（）A． | x| － x ＝ 0 B．－ x－ x ＝ 0C． | x| ＋| － x|＝0D． | x| －| x| ＝ 006．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午又下降了8℃，午夜气温是（）A．－ 4℃B． 4℃C．－ 3℃D．－ 5℃07．若 a＜0， | a－(－a)| 等于（）A．－ a B． 0C． 2a D．－ 2a08． x 是不等于0的有理数，A．0或 1B．0或 2| x | x|| 2x（）C．0 或－ 1D．0 或－ 209．（南） 2＋ ( －2) 的 __________10．用含的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0，b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a ＞b＞ 0， | a－ b| ＝__________ ⑶若 a＜ b＜ 0， a－ b＝__________11．算下列各：⑴23＋（－ 27）＋ 9＋5⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.251123⑶－ 0.5 － 3 4＋ 2.75 － 72⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－10|12．算 1－ 3＋ 5－7＋ 9－ 11＋⋯＋ 97－9913．某修小乘汽沿公路修路，定前正，后退，某天从 A 地出到收工所走的路（位：千米）：＋10，－ 3，＋ 4，－ 2，－ 8，＋ 13，－ 7，＋ 12，＋ 7，＋ 5⑴ 收工距离 A 地多？⑵若每千米耗油0.2 千克，从 A 地出到收工共耗油多少千克？111114．将1997 减去它的2，再减去余下的3，再减去余下的4，再减去余下的5⋯⋯以此推，直到最后减1去余下的 1997 ，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一，也是世界著名的文明古国，古代埃及人理分数与众不同，他一11211131般只使用分子 1 的分数，例如3＋ 15来表示 5，用 4＋7＋ 28表示 7等等 . 有 90 个埃及分数： 2 ，1 11 1 13 ，4 ，5 ，⋯ 90 ， 91 ，你能从中挑出 10 个，加上正、 号，使它 的和等于－1 ？培优升级·奥赛检测1 2 3 4 L 14 1501．（第 16 届希望杯邀 ）2 4 6 8 L 28 30 等于（）1111A ．4B ．4C ．2D ．211111 11102．自然数 a 、 b 、 c 、d 足 a 2＋ b 2 ＋ c 2 ＋ d 2 ＝1， a 3 ＋ b 4 ＋ c 5 ＋ d 6等于（）13715A ．8B ．16C ．32D ．6403．（第 17 届希望杯邀 ）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441， a ＋ b ＋ c ＋ d 是（ ）A ． 30B ． 32C ． 34D ． 3619951995199619961997199704．（第 7 届希望杯 ）若a ＝ 19961996 ，b ＝ 19971997，c ＝ 19981998 ， a 、 b 、 c 大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ． b ＜ c ＜aC ． c ＜ b ＜aD ． a ＜ c ＜ b(11 )(1 1 )(1 1 )L (1 1998 1 )(11 )05． 1 3 2 4 3 5 20001999 2001 的 得整数部分 （）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 406． ( － 2) 2004＋ 3×( － 2) 2003 的 （）A ．－ 2 2003200320042004B ． 2C ．－ 2D ． 207．（希望杯邀 ）若| m| ＝m ＋ 1， (4 m ＋ 1) 2004＝ __________11 2 1 2 3125908． 2＋（3 ＋ 3 ）＋（4 ＋ 4 ＋ 4 ）＋ ⋯ ＋（60＋ 60 ＋⋯＋ 60 ）＝ __________191919 767609． 767676 1919 ＝ __________10． 1＋ 2－22－ 23－ 24－ 25－26 －27－ 28－ 29＋ 210＝__________ 11．求 32001× 72002× 132003 所得数的末位数字 __________12．已知 ( a ＋ b) 2＋ | b ＋5| ＝ b ＋ 5，且 |2 a － b － 1| ＝0，求 ab111 1 113． 算 (1998－ 1)(1997 －1) ( 1996 － 1) ⋯ (1001－ 1) (1000 － 1)14． 你从下表 出 13＋ 23＋ 33＋ 43＋⋯＋ n 3 的公式并 算出13＋ 23＋ 33＋43＋⋯＋ 1003 的 .13 1 2 3 4 523 2 4 6 81053510152025第 03 讲有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算 .2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算 .3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算 .4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算 . 5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算 .经典·考题·赏析111 11 1 )()⑵ 2() (4【例１ 】计算⑴ 24 4⑶2⑷ 2500 0(3)(7)(11)(3)⑸ 56 9 7【解法指导 】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积 .1(1) (1 1)111 (1 1)1 解：⑴ 242 48⑵24 248(1(1 1 11) )(4)⑷ 2500⑶242 8(3)(7)(11)(3) (37103)1 ⑸5 6 9 75 69 73【变式题组 】(11101．⑴(5) ( 6))4⑶ ( 8) (3.76) ( 0.125)⑵2⑷(3)(1)2(6)0(2)12 (21111 1 1 1)⑸4 2 612( 924) 50(2345)(1111)2． 253．2345( 5) 1 1 132 3(6)34．333【例２ 】已知两个有理数 a 、b ，如果 ab ＜0，且 a ＋b ＜0，那么（ ）A ． a ＞ 0， b ＜ 0B ． a ＜ 0，b ＞ 0C ． a 、b 异号D ． a 、 b 异号且负数的绝对值较大【解法指导 】依有理数乘法法则，异号为负，故 a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断 .解：由 ab ＜ 0 知 a 、b 异号，又由 a ＋ b ＜ 0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选 D ．【变式题组 】 01．若 a ＋b ＋c ＝0，且 b ＜ c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ） A ． a ＋ b ＞ 0 B ． b ＋ c ＜ 0C ． ab ＋ac ＞ 0D ． a ＋ bc ＞ 0 02．已知 a ＋ b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则 a___________0，b___________0 ，|a|_________|b|.b03． ( 山东烟台 ) 如果 a ＋b ＜0， a，则下列结论成立的是（）A ． a ＞ 0， b ＞ 0B ． a ＜ 0， b ＜ 0C ．a ＞ 0， b ＜ 0D ． a ＜ 0， b ＞ 004． ( 广州 ) 下列命题正确的是（ ）A ．若 ab ＞ 0，则 a ＞ 0， b ＞ 0B ．若 ab ＜ 0，则 a ＜0， b ＜0C ．若 ab ＝ 0，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0D ．若 ab ＝ 0，则 a ＝ 0 且 b ＝ 0【例３ 】计算11(13)⑴(72) ( 18)( 2 )) (⑷0 (7)⑵ 3 ⑶10 25 【解法指导 】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后 把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算 . 若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除. 解：⑴(72)( 18) 72 18 41(21)1(7)1(3)3⑵3 377(1 3 1 ) 25 5) ( ) ( ( )⑷( 7) 0⑶10 25 10 3 6【变式题组 】01．⑴(32) ( 8)21( 11)0(21)(1) ( 13)⑵3 6⑶3⑷782931(3) (31) (11) 30(5)302．⑴3⑵5 2 4⑶3 51( 1)(1 0.2 3) ( 3)03． 245ababa 、b 满足 a【例４ 】（茂名）若实数 b ，则ab＝ ___________.【解法指导 】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果.a b2(a0,b 0) abab解：当 ab ＞0， a0) ；当 ab ＜0，ab2(a 0, bb，∴ ab ＜0，从而ab＝－ 1.【变式题组 】01．若 k 是有理数，则 (|k| ＋k)÷k 的结果是（）A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数a b ab02．若 A ． b 都是非零有理数，那么abab的值是多少？xy 0x03．如果xyy与xy的大小 .，试比较【例５ 】已知 x 22)2 , y31⑴求 xy 2008x 3( 的值；⑵求 y2008的值 .【解法指导 】a n表示 n 个 a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵ x 2( 2)2, y31 ⑴当x2, y1 时， xy 20082(1)20082当x2, y1时， xy 2008 ( 2) ( 1)20082x 3 23 8x 3( 2)3 8⑵当 x1 时， y20081)20081时， y 20081)20082, y (，x2, y(【变式题组 】01．（北京）若m n (m 2)2，则m n的值是 ___________.02．已知 x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求(x)ny n的值，这里 n 是正整数 .【例６ 】（安徽） 2007 年我省为 135 万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担， 135 万用科学记数法表示为（ ）6B ． 6C ． 0.135 77A ． 0.135 × 101.35 × 10n× 10D ． 1.35 × 10【解法指导 】将一个数表示为科学记数法的的形式，其中 a 的整数位数是 1 位 . 故答案选 B ． a ×10【变式题组 】 01．（武汉）武汉市今年约有 103000 名学生参加中考， 103000 用科学记数法表示为（ ） A ． 1.03 × 10 55 C ． 10.3 4 3B ．0.103 × 10 × 10 D ． 103× 1002．（沈阳）沈阳市计划从2008 年到 2012 年新增林地面积 253 万亩， 253 万亩用科学记数法表示正确的是（ ） 5 亩B ．2.53 × 106 亩×104 亩D ．2.53 × 107 亩A ． 25.3 × 10 C ． 253 【例７ 】（上海竞赛）1222k 299212 1005000 22200 5000k 2100k 5000992 99005000【解法指导 】找出 k2100k 5000的通项公式＝(k50) 2 5021222k 2992原式＝(150)2 502(2 50)2502(k 50) 2 50 2(99 50)2 502＝ [(112992502 ][(2 22982502 ]50)2502(99 50)250)2502(98 50)2[492512]502222+1222222(51 50)(50501442443(4950) 505050)＝49个＝ 99【变式题组 】3+ 3 + 3 + 3 =( )1 2+4+6+2+4+6+ +10062+4+6++1004 2+4+6+ +1008 +20063 3 11A ． 1003B ． 1004C ． 334D ． 10001 1 1111111.210届希2 5 8 11 20 41 110 1640． （第 望 杯 试 题 ） 已 知求1 1 1 1 1 1 1 12 58 1120 41 110 1640 的值 .演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．1个或 3个02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数＞ ， ＞ 0 ， ac ＜0，则下列结论正确的是（）03．已知 abc0 aA ． b ＜ 0， c ＞ 0B ．b ＞ 0， c ＜ 0C ． b ＜ 0， c ＜ 0D ．b ＞ 0， c ＞004．若 | ab| ＝ ab ，则（）A ． ab ＞ 0B ．ab ≥ 0C ． a ＜ 0，b ＜ 0D ． ab ＜ 0a bm cd05．若 a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数， m 的绝对值为2，则代数式m的值为（）A ．－ 3B ． 1C ．± 3D ．－3或 1 106．若 a ＞ a，则 a 的取值范围（）A ． a ＞ 1B ． 0＜ a ＜ 1C ．a ＞－ 1D ．－ 1＜ a ＜ 0 或 a ＞1a107．已知 a 、b 为有理数，给出下列条件： ①a ＋b ＝0；② a －b ＝0；③ab ＜ 0；④ ba 、b，其中能判断互为相反数的个数是（ ）A ．1 个abB ．2 个C ．3 个D ．4 个08．若 ab ≠0，则ab的取值不可能为（）A ． 0B ． 1C ． 2D ．－ 209． ( 2)11( 2)10 的值为（ ） 2110A ．－ 2C ． 0D ．－B ．( －2)210． ( 安徽 )2010 年一季度，全国城镇新增就业人数289 万人，用科学记数法表示 289 万正确的是（）76C ．2.89 × 54A ． 2.89 × 10B ． 2.89 × 10 10 D ．2.89 × 1011．已知 4 个不相等的整数 a 、b 、c 、d ，它们的积 abcd ＝9，则 a ＋b ＋ c ＋d ＝___________.12． ( 1)2n 1 ( 1)2n ( 1)2n 1 （ n 为自然数）＝ ___________.xy 2x13．如果xyy与 xy 的大小 .，试比较a b c 1abcabcabc、 、c 为有理数且，求 的值 .14．若 a b32a的值 .15．若 a 、b 、c 均为整数，且abc a 1 . 求 ac c b b培优升级·奥赛检测xy , y z , z x01．已知有理数 x 、y 、 z 两两不相等，则yz z xxy中负数的个数是（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．0个或 2个02．计算211 1,221 3,23 1 7,241 15, 25131归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22010 1的个位数字是（）A ． 1B ． 3C ．7D ． 503．已知 ab 2 c 3 d 4e 5＜0，下列判断正确的是（）A ． abcde ＜ 02424B ． ab cd e ＜ 0C ． ab cde ＜ 0D ． abcd e ＜ 0x y, x y, xy, x04．若有理数 x 、y 使得y四个数中的三个数相等，| y| －| x| 的 是（）113A ．2B ． 0C ．2D ．205．若 A ＝(21)(221)(2 4 1)(281)(2161)(2321)(2 641)， A － 1996 的末位数字是（）A ． 0B ． 1C ．7D ． 906．如果(ab)20011,(a b)20021 ， a 2003b 2003的 是（）A ． 2B ． 1C ．0D ．－107．已知a2255 ,b 3344 ,c 5533 , d 6622 ， a 、b 、c 、 d 大小关系是（）A ． a ＞ b ＞ c ＞ dB ．a ＞ b ＞ d ＞cC ． b ＞ a ＞ c ＞ dD ． a ＞ d ＞ b ＞ ca b c abc08．已知 a 、 b 、 c 都不等于 0 ，且 abc abc的最大 m ，最小n ， (m n)2005＝___________.09．（第 13 届“ 杯 ” ）从下面每 数中各取一个数将它 相乘，那么所有 的乘 的 和是___________.1 ,4.25,5.75 1 1545,32 ,2.25, ,第一 ： 3 第二 ：3 15 第三 ： 1210．一本 的 从1 到 n ，把所有 些 加起来，其中有一 被 加了两次， 果得出了不正确的和 2002， 个被加 了两次的 是多少？1 121231234111．（湖北省 ） 察下列 律排成一列数：1 ，2 ，1，3，2，1，4，3，2，1， 5，2 24 5 114 ， 3 ， 2 ， 1 ， 6，⋯ ( ＊) ，在 ( ＊) 中左起第 m 个数 F(m)，当 F(m) ＝ 2001 ，求 m 的 和m 个数的 .1 , 1,1,2, 4,8,16,32,6412． 中 示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：4 2 填入方格中，使得所有行列及 角 上各数相乘的 相等，求x 的 .32x6413． ( 第 12 届“ 杯 ”) 已知 m 、n 都是正整数，并且A (1 1)(11)(11)(1 1) (1 1 )(1 1);223 3m mB (1 1)(11)(11)(11)(11)(11).2233n nAm 1n1A B1, B;26，求 m、n 的值 .证明：⑴2m2n⑵第 04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例 1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念: 由数与字母的乘积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；⑵不是，因为代数式是与x 的商；3⑶是，它的系数为π，次数为2；⑷是，它的系数为2，次数为 3.【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式。
七年级上册数学培优资料(湘教版)
七年级上册数学培优资料(湘教版)初中知识综述本教材主要介绍了初中数学的重要知识点，包括有理数与代数式、平面图形、数与式、方程与不等式、函数、统计与概率等方面的内容。
通过系统的研究，能够帮助学生掌握初中数学的基础知识，为进一步研究打下坚实的基础。
专题一有理数与代数式有理数和代数式是初中数学中的重要内容，也是后续研究的基础。
本专题主要介绍有理数的分类、大小比较、数轴、相反数、倒数和绝对值等基础概念和技巧。
重难点之技巧1.有理数的分类有理数包括正数、负数和零。
其中，正数是大于零的有理数，负数是小于零的有理数，零是既不是正数也不是负数的有理数。
2.有理数大小的比较有理数大小的比较需要根据它们的绝对值和符号进行判断。
绝对值大的数更大，同号的数比异号的数大小比较时，绝对值大的数更大。
3.数轴数轴是一个直线上的点与数的对应关系。
在数轴上，正数在右侧，负数在左侧，零在中央。
4.相反数、倒数、绝对值相反数是指绝对值相等、符号相反的两个数。
倒数是指一个数的倒数是它的倒数。
绝对值是指一个数到零点的距离，它总是非负的。
通过掌握这些概念，能够更好地理解有理数和代数式的运算。
5.乘方和开方（有理数的运算）乘方和开方是数学中常见的运算。
乘方是指将一个数自乘若干次，例如2的3次方就是2×2×2=8.开方则是指将一个数的平方根或立方根等根号下的数求出来，例如16的平方根就是4.二．非负数精讲在数学中，非负数指的是大于等于0的数。
非负数的运算包括加减乘除、乘方和开方等。
其中，非负数的乘方和开方的结果仍然是非负数。
专题二一元一次方程一元一次方程是指只有一个未知数，且该未知数的最高次数为1的方程。
例如，2x+3=7就是一个一元一次方程。
解一元一次方程的方法包括加减消元法、倍加消元法、代入法等。
一、重难点之技巧解一元一次方程的关键在于掌握一些解题技巧。
其中，等式的概念及其性质是解一元一次方程的基础。
等式是指两个表达式之间用等号连接的数学语句，例如2+3=5.等式具有传递性、对称性、反对称性等性质。
初中数学培优教材
初中数学培优教材第一讲 一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字表达的问题转换成数学语言的能力。
2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识，开展估算意识和能力。
【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax 〔a 、b 、c 、为常数，0a ≠〕的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
〔1〕定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。
这三个条件必须同时满足，缺一不可。
〔2〕02=++c bx ax 〔a 、b 、c 、为常数，0a ≠〕叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。
〔3〕在02=++c bx ax 〔0a ≠〕中，a ，b ，c 通常表示数。
2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。
3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。
【经典例题】例1、以下方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x ； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、〔1〕关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.〔2〕如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，那么a__________.〔3〕关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把以下方程先化为一般式，再指出以下方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
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1. 正数：像3．1．+0.33等的数，叫做正数．在小学学过的数，除0外都是正数．正数都大于0． 2. 负数：像1-．3.12-．175-．2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数．负数都小于0． 3.0既不是正数，也不是负数．4. 一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号．正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数． 5. 用正．负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义． 譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -．“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量． 6. 非正数：负数和0统称为非正数． 7. 非负数：正数和0统称为非负数．【例1】填空：（1）如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为___________． （2）高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示___________．（3） 向东走200-米，表示___________．模块一 正数与负数的概念有理数的概念知识精讲典型例题【巩固】冬季的一天，室内的温度是20C ︒，室外温度是12C -︒，则室内外的温差是____________度．【例2】可口可乐的外包装上印有“60030±(mL )”字样，请问“30mL ±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603mL ，611mL ，589mL ，573mL ，627mL ，问抽查产品的容量是否合格？【例3】（1）对于“0”的说法正确的有（ ）①0是正数与负数的分界；②0℃是一个确定的温度；③0为正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数． A ． 3个 B ．4个 C ． 5个 D ．2个（2）下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（ ） A ． 0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【例4】为了简记我班某小组同学的数学成绩，采用了以80分为标准的办法，高于80分的记为正，低于80分的成绩记为负，现有10名同学的成绩记录如下：20,10,5,15,9,3,10,8,4,16+--++-+++-，求这10名同学的平均成绩．【巩固】一位出租车司机对自己两小时的运营状况进行记录：自A 地出发，向东记为正，则向西记为负．所走路程（单位：千米）为：862452+--+-+，，，，， 问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A 地的什么位置？答：他们 ____（填：有或没有）回到出发点，在A 地的正 ______方向，距A 地 ____千米． ②若每千米耗油1．5升，则今天共耗油 _______升．能力提升1. 有理数的定义：正整数，零，负整数，正分数，负分数统称为有理数．2. 有理数的分类：整数和分数统称为有理数，其中整数包括：正整数，零和负整数．分数包括：正分数和负分数．()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数【例5】（1）下列各数中：+3、 2.1-、23-、9、 75，负有理数有（ ）A ． 2个B ．3个C ．4个D ．5个（2）在192-与122-之间的整数有_________________________________．（3）有理数中，是整数而不是正数的是____________，是分数而不是正分数的是____________．【例6】（1）下列说法正确的是（ ）A ．非负有理数就是正有理数B ．非正有理数就是负有理数C ．正整数和负整数统称为整数D ． 整数和分数统称为有理数模块二 有理数的分类知识精讲典型例题（2）下列说法正确的是（）A．正数、零、负数统称为有理数B．正有理数、负有理数统称为有理数C．整数和分数统称为有理数D．小数一定是有理数能力提升【例7】在下表适当的空格里打上“√”号．模块三数轴知识精讲1．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．2．三要素：原点、正方向和单位长度．3．单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变．数轴的画法①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．注意：数轴上的点不都代表有理数，如π．利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．典型例题【例8】（1）数轴上有一个点从原点开始向左移动3个长度单位，再向右移动5个长度单位后，它所表示的有理数是（）A． 3 B．5 C．3-D．2（2）有理数a．b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（）a11A．a＞b B．a＞b-C．a＜b D．a-＜b【例9】在数轴上，下面说法中不正确的是( )．A．两个正数，小的离原点近B．两个有理数，大数对应的点在右边C．两个负数，较大的数对应的点离原点近D．两个有理数，大的离原点较远能力提升【例10】（1）与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是（ ）A ．1-B ．5C ．3或3-D ．1-或5（2） 数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是 _________【例11】如右图所示，数轴上的点M 和N 分别对应有理数m 、n ，那么以下结论正确的是( )A ．0m <，0n <，m n >B ．0m <，0n >，m n >C ．0m >，0n >，m n <D ．0m <，0n >，m n <1. 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0．2. 代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．3. 几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．【例12】填空：（1）3的相反数是_______，2-的相反数是_______，0的相反数是_______； （2）m -的相反数是_______，1m -+的相反数是_______，m n a b +-+的相反数是_______．（3）( 2.4)--的相反数是____________，(4)+-与_________互为相反数M模块四 相反数知识精讲典型例题【巩固】下列说法错误的是( )A ．(3)+-与(3)--互为相反数B ．(3)+-与(3)++互为相反数C ．(3)+-与(3)-+互为相反数D ．3-与(3)--互为相反数【例13】（1）如果a 表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ）A ．a +和()a --互为相反数B ．a +和a -一定不相等C ．a -一定是负数D ．()a -+和()+a -一定相等（2）若a ，b 互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（ ）A ． 2a -和2b -B ．1a +和1b +C ．1a +和1b -D ．2a 和2b（3）已知(1)a -与5-互为相反数，则_____a = 【例14】下列说法:①一个数的相反数不是负数，则这个数一定是负数； ②一个数的相反数大于它的相反数，则这个数是正数； ③若“a -”是正数，则“a ”是负数；④一个数不小于它的相反数，则这个数是正数， 正确的序号有___________1. 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．模块五 绝对值能力提升知识精讲2. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号．②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0．④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5．3. 求字母a 的绝对值：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩4. 绝对值相同的数有两个，它们互为相反数．5. 若几个数的绝对值的和为0，那么这几个数也分别为0．6. 一个数的绝对值是非负数． 绝对值最小是数是0．【例15】（1）下列说法，不正确的是（ ）A ．数轴上的数，右边的数总比左边的数大B ．绝对值最小的有理数是0C ．在数轴上，右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大D ．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大 （2）绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？【例16】有理数a 与b 满足a b >，则下面哪个答案正确 ( )A ．a b >B ．a b =C ．a b <D ．无法确定【例17】（1）已知||7||12x y ==，，且x y >，求x y +的值． 典型例题能力提升（2）已知|3||2|0x y -++=，求xy 的值．【习题1】某轿车的车圈零件的半径设计标准是200mm ，估计误差0.5±mm ，甲工人制作的零件半径为200.4mm ，乙工人制作的零件半径为199.2mm ，则__________工人制作的产品合格【习题2】下列说法：①存在最小的自然数；②存在最小的正有理数；③不存在最大的正有理数；④存在最大的负有理数；⑤不是正整数就不是整数，错误的序号是___________ 【习题3】与原点距离不大于3个单位长度的点表示的整数是__________________ 【习题4】如下四个命题：①有理数由负有理数和正有理数组成． ②有理数由分数和整数组成． ③正有理数由正分数和正整数组成． ④负有理数由负分数和负整数组成． 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【习题5】数轴上的点A 、B 分别表示数3-和2，点C 是A 、B 的中点，则点C 所表示的数是_________．【习题6】0|3||2|=++-b a ，则=a _________；=b ________ 【习题7】已知n m ,互为相反数，试求：3222nm n m +-++的值【习题8】如果||4,||3a b ==，且a b <，，试求a b +的值．课后作业【习题9】一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向前走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市．（1）以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置；（2）小明家距离小彬家多远？（3）货车一共行驶了多少千米？【习题10】数轴上，N点与点O的距离为N点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是多少？1. 有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. 2. 有理数加法的运算律：①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a +=+②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()a b c a b c ++=++【例1】计算：（1）(25)(35)-+-； （2）(12)(3)-++；（3）(8)(7)++-； （4）0(7)+-。