刚体的转动习题课选讲例题
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（A）αA＝αB ;
B F =Mg
T
Mg
（C） αA<αB ; （D）无法确定. B
（B）αA>αB; A
aA Tr J A J r Mg T Ma A
aB Fr Mgr J B J r
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动, 地球 在椭圆的一个焦点上, 则卫星的： (A) 动量不守恒, 动能守恒; (B) 动量守恒, 动能不守恒; (C) 角动量守恒, 动能不守恒;
1.06 103 kg m2
第三章 刚体转动
m1 g T1 m1a1
a1 T1R M f J R a2 T2 R M f J R
2
T
mg
y
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例：证明关于行星运动的开普勒第二定律，行星 对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。 证明: t 时间内径矢扫过的面积为
t 4 rad s
n 2π 1.6
2
求（3） t 1s 时轮缘上一点的加速度.
a
r
a t
r 0.5m
an
at a 0.4m s t 0.8rad s 1 2 2 an r 0.32 m s
a
2 2 2 a at an 0.51 m s
o x dx x
解：取一小段如图
M
dM x( dmg ) mg L 1 xdmg x d x mgL 0 l 2
dF f
m dm dx l dFf dmg
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 电风扇在开启电源后，经t1时间达到了额 定转速，此时相应的角速度为0 ，当关闭电源后， 经过t2时间风扇停转．已知风扇转子的转动惯量为 J，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量， 求电机的电磁力矩． 解：
R
R
T
m1
m2
h
Mf
T
mg
y
h
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题 已知：R 50cm h 2.0m
T
物理学教程 （第二版）
m1 8.0kg m2 4.0kg
Mf C
t2 25s
t1 16s
求：J
Mf
m1 g T1 m1a1
a1 T1R M f J R
(D) 角动量不守恒, 动能守恒.
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题 例 一飞轮在时间t 内转过角度
物理学教程 （第二版）
at bt ct
3
4，
式中 a、b、c 都是常量，求它的角加速度.
d 解： (at bt 3 ct 4 ) a 3bt 2 4ct 3 dt
d 2 3 2 (a 3bt 4ct ) 6bt 12ct dt
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半 径 r 0.5m , 如果升降机从静止开始以 a 0.4m s 2 加速度上升, 求 （1）滑轮角加速度；（2） t 5s 时 角速度及转过的圈数；（3） t 1s 时轮缘上一点的 加速度. 2 a 0 . 4 m s 已知： r 0.5m
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 关于力矩有以下几种说法: （1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量; （2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零; （3）质量相等, 形状和大小不同的两个刚体, 在相同 力矩的作用下, 他们的角加速度一定相等; 在上述说法中 (A) 只有（2）是正确的;
arctan(an at ) 38 .7
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 一长为 l，重为W 的均匀梯子，靠墙放置，墙 光滑，当梯子与地面成 角时处于平衡状态，求梯子 与地面的摩擦力。
Ff N 2 0
Fi 0
解：刚体平衡的条件
Mi 0
刚体的转动习题课选讲例题 例 一质量为 m' 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂 直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳， 一端挂质量为m 的物体 . 问物体在静止下落高度 h 时， 其速度的大小为多少 ? 设绳的质量忽略不计 . 解 拉力 FT 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动 能定理可得，拉力 FT 的力矩所作的功为
y m g T m2 g T2 m2 a2
2h a1 2 0.0156 m/s 2 t1
第三章 刚体转动
1 2 h a1t1 2
a2 T2 R M f J R 1 2 h a2t 2 2
2h a2 2 0.0064 m/s 2 t2
刚体的转动习题课选讲例题 已知：R 50cm h 2.0m
所以相等的时间内扫过相等的面积。
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
2 例 一滑冰者开始转动时 Ek0 J 00 2 ，然后将 手臂收回，使转动惯量减少为原来的 1/3，求此时的转
动角速度.
注意：刚体定轴转动内力矩的功之 和为零，非刚体不一定. 解：外力矩为零，角动量守恒
物理学教程 （第二版）
m1 8.0kg m2 4.0kg
Mf C
t2 25s
2
t1 16s
T
Mf
求：J
a1 0.0156 m/s a2 0.0064 m/s 2
(a1 a2 ) J (T1 T2 ) R m2 g T2 m2 a2 2 (T1 T2 ) R T1 m1 ( g a1 ) 78 .3N J a1 a2 T2 m2 ( g a2 ) 39 .2 N
(B)（1）、（2）是正确的; (C)（2）、（3）是正确的; (D)（1）、（2）、（3）都是正确的.
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 如图所示, A、B 为两个相同的定滑轮, A 滑 A 轮挂一质量为M的物体, B 滑轮受力F = Mg, 设 A、B 两滑轮的角加速度分别为 M αA和αB ,不计滑轮的摩擦,这 两个滑轮的角加速度的 大小关系为:
r
解（1）
at a 0.4m s
2
a
at a r r
0.4 0.8rad s 2 0.5
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题 求（2）t 5s 时角速度及转过的圈数；
物理学教程 （第二版）
0.8rad s 2
1 2 t 10 rad 2
物理学教程 （第二版）
0
FT Rd R FT d
0
FN
为圆盘终了和起始时的角 坐标和角速度 .
第三章 刚体转动
, 0 和 、 0 分别
1 2 1 2 J J 0 2 2
o P '
FT
m
R
o
m' h
m m
FT
P
刚体的转动习题课选讲例题
m0
解：盘和人为系统，角动量守恒。
m
R
设： 0 , 分别为人和盘相对地 的角速度，顺时针为正向.
顺时针向
2m0 2π 2m0 m
第三章 刚体转动
1 2 2 mR m0 R 0 0 2 1 2 d 2 d 0 mR m0 R 2 dt dt 1 2 2 2 π 0 2 mR d m0 R 0 d0
L
ms
r (t )
r (t dt )
r
m
v
1 S r r sin 2
r
单位时间扫过的面积
ms m F G 3 r r
L C
S 1 r sin t 2 t S 1 1 lim rv sin L t 0 t 2 2m
1 J 0 0 J 0 3
内力做功，转动动能变化
3 0
Ek0
1 1 J0 3 2 2 2 J 00 Ek 90 J 00 2 2 3 2
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆 与单摆的摆锤质量均为 m . 开始时直杆自然下垂，将单 摆摆锤拉到高度 h ，令它自静止状态下摆，于垂直位 置和直杆作弹性碰撞. 求 碰后直杆下端达到的高度 h .
FT
m
FT
v0 0, 0 0
P
1 并考虑到圆盘的转动惯量 J mR 2 2
解得
v R
mgh m v2 2 gh m 2m (m' 2) m
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 质量为 m A 的物体 A 静止在光滑水平面上， 和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物 体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩 擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体 B 从 静止落下距离 y 时， C A mA 其速率是多少？（3） mC 若滑轮与轴承间的摩 擦力不能忽略，并设 它们间的摩擦力矩为 mB B M f 再求线加速度及 绳的张力.
M M f J1
M f J 2
ω0 1t1 2t2
第三章 刚体转动
1 1 M Jω0 ( ) t1 t2
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例：求一半径 R 50cm 的飞轮对过其中心轴的 转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物, 其 质量 m1 8.0kg 的让其从 h 2.0m 处静止下落, 测得下落时间 t1 16s ；若用质量 m2 4.0kg 的 重物时, t 25s , 假定摩擦力矩 M f 是一个常量 , 2 求飞轮的转动惯量. 解：受力分析、坐标如图
P N1 0
以支点O为转动中心，梯子受 的合外力矩：
Ff
N2 l N1 P
o
l P cos N 2 l sin 0 2
第三章 刚体转动
P Ff N 2 cot 2
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 一质量为m、长为L的均匀细棒，可在水平桌面 上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的 摩擦系数为 , 求棒转动时受到的摩擦力矩的大小．
0
解：此问题分为 三个阶段
l
m h0
l m
c
l h
m
h
1） 单摆自由下 摆（机械能守恒）， 与杆碰前速度
v0
v0 2 gh0
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
v0
cFra Baidu bibliotek
角动量守恒
2 gh0
ml v0 J ml v
2）摆与杆弹性碰撞（摆，杆）
l
m
h
1 2 1 2 1 2 mv0 mv J 机械能守恒 2 2 2 1 3 v h v v0 0 2 2l
3）碰后杆上摆，机械能守恒（杆，地球）
1 2 J mghc 2
第三章 刚体转动
3 h 2hc h0 2
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例： 质量 m ，半径 R 的均匀圆盘可绕过中心的光滑 竖直轴自由转动. 在盘缘站一质量为 m0 的人，开始人和 盘都静止，当人在盘缘走一圈时，盘对地面转过的角度.
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 一人握有两只哑铃, 站在一可无摩擦地转动 的水平平台上, 开始时两手平握哑铃, 人、哑铃、平台 组成的系统以一角速度旋转, 后来此人将哑铃下垂于 身体两侧, 在此过程中, 系统 (A) 角动量守恒, 机械能不守恒;
(B) 角动量守恒, 机械能守恒; (C) 角动量不守恒, 机械能守恒; (D) 角动量不守恒, 机械能不守恒.
物理学教程 （第二版）
1 1 2 2 F R d R F d J J 0 0 T 0 T 2 2
FN
由质点动能定理
1 1 2 2 mgh R FT d mv mv0 0 2 2
物体由静止开始下落
FT FT
o P '
B F =Mg
T
Mg
（C） αA<αB ; （D）无法确定. B
（B）αA>αB; A
aA Tr J A J r Mg T Ma A
aB Fr Mgr J B J r
第三章 刚体转动
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例 人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动, 地球 在椭圆的一个焦点上, 则卫星的： (A) 动量不守恒, 动能守恒; (B) 动量守恒, 动能不守恒; (C) 角动量守恒, 动能不守恒;
1.06 103 kg m2
第三章 刚体转动
m1 g T1 m1a1
a1 T1R M f J R a2 T2 R M f J R
2
T
mg
y
刚体的转动习题课选讲例题
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例：证明关于行星运动的开普勒第二定律，行星 对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。 证明: t 时间内径矢扫过的面积为
t 4 rad s
n 2π 1.6
2
求（3） t 1s 时轮缘上一点的加速度.
a
r
a t
r 0.5m
an
at a 0.4m s t 0.8rad s 1 2 2 an r 0.32 m s
a
2 2 2 a at an 0.51 m s
o x dx x
解：取一小段如图
M
dM x( dmg ) mg L 1 xdmg x d x mgL 0 l 2
dF f
m dm dx l dFf dmg
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 电风扇在开启电源后，经t1时间达到了额 定转速，此时相应的角速度为0 ，当关闭电源后， 经过t2时间风扇停转．已知风扇转子的转动惯量为 J，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量， 求电机的电磁力矩． 解：
R
R
T
m1
m2
h
Mf
T
mg
y
h
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题 已知：R 50cm h 2.0m
T
物理学教程 （第二版）
m1 8.0kg m2 4.0kg
Mf C
t2 25s
t1 16s
求：J
Mf
m1 g T1 m1a1
a1 T1R M f J R
(D) 角动量不守恒, 动能守恒.
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题 例 一飞轮在时间t 内转过角度
物理学教程 （第二版）
at bt ct
3
4，
式中 a、b、c 都是常量，求它的角加速度.
d 解： (at bt 3 ct 4 ) a 3bt 2 4ct 3 dt
d 2 3 2 (a 3bt 4ct ) 6bt 12ct dt
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半 径 r 0.5m , 如果升降机从静止开始以 a 0.4m s 2 加速度上升, 求 （1）滑轮角加速度；（2） t 5s 时 角速度及转过的圈数；（3） t 1s 时轮缘上一点的 加速度. 2 a 0 . 4 m s 已知： r 0.5m
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
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例 关于力矩有以下几种说法: （1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量; （2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零; （3）质量相等, 形状和大小不同的两个刚体, 在相同 力矩的作用下, 他们的角加速度一定相等; 在上述说法中 (A) 只有（2）是正确的;
arctan(an at ) 38 .7
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 一长为 l，重为W 的均匀梯子，靠墙放置，墙 光滑，当梯子与地面成 角时处于平衡状态，求梯子 与地面的摩擦力。
Ff N 2 0
Fi 0
解：刚体平衡的条件
Mi 0
刚体的转动习题课选讲例题 例 一质量为 m' 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂 直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳， 一端挂质量为m 的物体 . 问物体在静止下落高度 h 时， 其速度的大小为多少 ? 设绳的质量忽略不计 . 解 拉力 FT 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动 能定理可得，拉力 FT 的力矩所作的功为
y m g T m2 g T2 m2 a2
2h a1 2 0.0156 m/s 2 t1
第三章 刚体转动
1 2 h a1t1 2
a2 T2 R M f J R 1 2 h a2t 2 2
2h a2 2 0.0064 m/s 2 t2
刚体的转动习题课选讲例题 已知：R 50cm h 2.0m
所以相等的时间内扫过相等的面积。
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
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2 例 一滑冰者开始转动时 Ek0 J 00 2 ，然后将 手臂收回，使转动惯量减少为原来的 1/3，求此时的转
动角速度.
注意：刚体定轴转动内力矩的功之 和为零，非刚体不一定. 解：外力矩为零，角动量守恒
物理学教程 （第二版）
m1 8.0kg m2 4.0kg
Mf C
t2 25s
2
t1 16s
T
Mf
求：J
a1 0.0156 m/s a2 0.0064 m/s 2
(a1 a2 ) J (T1 T2 ) R m2 g T2 m2 a2 2 (T1 T2 ) R T1 m1 ( g a1 ) 78 .3N J a1 a2 T2 m2 ( g a2 ) 39 .2 N
(B)（1）、（2）是正确的; (C)（2）、（3）是正确的; (D)（1）、（2）、（3）都是正确的.
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
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例 如图所示, A、B 为两个相同的定滑轮, A 滑 A 轮挂一质量为M的物体, B 滑轮受力F = Mg, 设 A、B 两滑轮的角加速度分别为 M αA和αB ,不计滑轮的摩擦,这 两个滑轮的角加速度的 大小关系为:
r
解（1）
at a 0.4m s
2
a
at a r r
0.4 0.8rad s 2 0.5
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题 求（2）t 5s 时角速度及转过的圈数；
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0.8rad s 2
1 2 t 10 rad 2
物理学教程 （第二版）
0
FT Rd R FT d
0
FN
为圆盘终了和起始时的角 坐标和角速度 .
第三章 刚体转动
, 0 和 、 0 分别
1 2 1 2 J J 0 2 2
o P '
FT
m
R
o
m' h
m m
FT
P
刚体的转动习题课选讲例题
m0
解：盘和人为系统，角动量守恒。
m
R
设： 0 , 分别为人和盘相对地 的角速度，顺时针为正向.
顺时针向
2m0 2π 2m0 m
第三章 刚体转动
1 2 2 mR m0 R 0 0 2 1 2 d 2 d 0 mR m0 R 2 dt dt 1 2 2 2 π 0 2 mR d m0 R 0 d0
L
ms
r (t )
r (t dt )
r
m
v
1 S r r sin 2
r
单位时间扫过的面积
ms m F G 3 r r
L C
S 1 r sin t 2 t S 1 1 lim rv sin L t 0 t 2 2m
1 J 0 0 J 0 3
内力做功，转动动能变化
3 0
Ek0
1 1 J0 3 2 2 2 J 00 Ek 90 J 00 2 2 3 2
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆 与单摆的摆锤质量均为 m . 开始时直杆自然下垂，将单 摆摆锤拉到高度 h ，令它自静止状态下摆，于垂直位 置和直杆作弹性碰撞. 求 碰后直杆下端达到的高度 h .
FT
m
FT
v0 0, 0 0
P
1 并考虑到圆盘的转动惯量 J mR 2 2
解得
v R
mgh m v2 2 gh m 2m (m' 2) m
第三章 刚体转动
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 质量为 m A 的物体 A 静止在光滑水平面上， 和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物 体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩 擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体 B 从 静止落下距离 y 时， C A mA 其速率是多少？（3） mC 若滑轮与轴承间的摩 擦力不能忽略，并设 它们间的摩擦力矩为 mB B M f 再求线加速度及 绳的张力.
M M f J1
M f J 2
ω0 1t1 2t2
第三章 刚体转动
1 1 M Jω0 ( ) t1 t2
刚体的转动习题课选讲例题
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例：求一半径 R 50cm 的飞轮对过其中心轴的 转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物, 其 质量 m1 8.0kg 的让其从 h 2.0m 处静止下落, 测得下落时间 t1 16s ；若用质量 m2 4.0kg 的 重物时, t 25s , 假定摩擦力矩 M f 是一个常量 , 2 求飞轮的转动惯量. 解：受力分析、坐标如图
P N1 0
以支点O为转动中心，梯子受 的合外力矩：
Ff
N2 l N1 P
o
l P cos N 2 l sin 0 2
第三章 刚体转动
P Ff N 2 cot 2
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 一质量为m、长为L的均匀细棒，可在水平桌面 上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的 摩擦系数为 , 求棒转动时受到的摩擦力矩的大小．
0
解：此问题分为 三个阶段
l
m h0
l m
c
l h
m
h
1） 单摆自由下 摆（机械能守恒）， 与杆碰前速度
v0
v0 2 gh0
第三章 刚体转动
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v0
cFra Baidu bibliotek
角动量守恒
2 gh0
ml v0 J ml v
2）摆与杆弹性碰撞（摆，杆）
l
m
h
1 2 1 2 1 2 mv0 mv J 机械能守恒 2 2 2 1 3 v h v v0 0 2 2l
3）碰后杆上摆，机械能守恒（杆，地球）
1 2 J mghc 2
第三章 刚体转动
3 h 2hc h0 2
刚体的转动习题课选讲例题
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例： 质量 m ，半径 R 的均匀圆盘可绕过中心的光滑 竖直轴自由转动. 在盘缘站一质量为 m0 的人，开始人和 盘都静止，当人在盘缘走一圈时，盘对地面转过的角度.
刚体的转动习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 一人握有两只哑铃, 站在一可无摩擦地转动 的水平平台上, 开始时两手平握哑铃, 人、哑铃、平台 组成的系统以一角速度旋转, 后来此人将哑铃下垂于 身体两侧, 在此过程中, 系统 (A) 角动量守恒, 机械能不守恒;
(B) 角动量守恒, 机械能守恒; (C) 角动量不守恒, 机械能守恒; (D) 角动量不守恒, 机械能不守恒.
物理学教程 （第二版）
1 1 2 2 F R d R F d J J 0 0 T 0 T 2 2
FN
由质点动能定理
1 1 2 2 mgh R FT d mv mv0 0 2 2
物体由静止开始下落
FT FT
o P '