(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(有答案解析)(3)

一、选择题
1．椭圆22
:1169
x y C +=上的点P 到直线:34180l x y ++=的距离的最小值为( )
A
B
C
D
2．在直角坐标系xOy 中，曲线C
：2
x t
y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l
：
30x +=的距离的最小值为（ ）
A ．
2
3
B
C
D
3．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( ) A ．1
B ．1-
C
1
D
．1-
4．在参数方程cos sin x a t y b t θθ
=+⎧⎨=+⎩，
(0θπ<，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对
应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．12
2
t t - B ．12
2
t t + C ．
12
2
t t - D ．
12
2
t t + 5．直线4x 1t 5
(t 3y 1t
5⎧=+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
为参数)
被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．
15
B ．
710
C ．
75
D ．
57
6．在极坐标系中，点()M 1,0关于极点的对称点为( ) A ．()1,0
B ．()1,π-
C ．()1,π
D ．()1,2π
7．椭圆22
1164
x y +=
上的点到直线20x y +=的最大距离是（ ）
A ．3
B
C
．D
8．参数方程2cos sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是
（ ）
A ．圆和直线
B ．直线和直线
C ．椭圆和直线
D ．椭圆和圆
9．直线1sin 70{2cos70
x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )
A ．70°
B ．20°
C ．160°
D ．110°
10．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系
中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是1
3x t y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数），圆C 的极坐标方
程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）
A B ．
C D ．11．已知曲线2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨
=⎩（θ为参数）和直线:x t l y t b =⎧⎨=+⎩
（t 为参数，b 为实数），若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（ ）
A B ．C ．0
D ．
12．已知点A 是曲线2
213
x y +=上任意一点，则点A 到直线sin()6πρθ+=的距离的
最大值是（ ）
A
．
2
B C D ．二、填空题
13．直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点
A B ，分别在曲线13cos :sin x C y θ
θ
=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值
为______.
14．已知曲线C 的参数方程是2cos sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，A ，B 的极坐标分别为(2,)A π，4(2,
)3
B π
．设M 为曲线C 上的动点，过点M 作一条与直线AB 夹角为30︒的直线l 交直线AB 于点N ，则MN 的最大值是_________． 15．直线170{
?270
x tsin y tcos =+=+（t 为参数）的倾斜角为_________
16．曲线1C 的参数方程为：21x t
y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为
2cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩，（θ为参数），曲线1C 与2C 相交于A ，B 两点，则AB =______. 17．已知圆22:1O x y +=和点()2,0A -，若定点()(),02B b b ≠-和常数λ满足，对圆
O 上任意一点M ，都有MB MA λ=，则λ= _____ .
18．已知直线l ：32,5
4.5x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）与x 轴交于点M ，点N 是圆
2240x y y +-=上的任一点，则||MN 的最大值为_____．
19．实数x ，y 满足223412x y +=
，则2x 的最大值______．
20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2
44x t y t ⎧=⎨=⎩
（t 为参数）的焦点为F ，动点P 在
抛物线上，动点Q 在圆3cos sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩（α为参数）上，则PF PQ +的最小值为
__________．
三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程：1221x t y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以
原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．
（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，并求出此时点的坐标．
22．已知曲线C
的参数方程为sin x y θ
θ⎧=⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数），直线l
的极坐标方程为
cos()4
π
ρθ+=.
（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）设点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值. 23．在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为4x t
y kt
=-⎧⎨=⎩，(t 为参数)，直线2l 的普
通方程为1
y
x k
，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线1C . 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线3l
的方程为:sin()4
π
ρθ-=
（1）求曲线1C 的普通方程；
（2）设点A 在3l 上，点B 在1C 上，若直线AB 与3l 的夹角为
4
π
，求AB 的最大值.
24．已知曲线2cos ,:2sin ,x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设曲线C 经过伸缩变换,
12x x y y ='='⎧⎪
⎨⎪⎩得到曲线
C '，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C '的极坐标方程；
（2）若,A B 是曲线C '上的两个动点，且OA OB ⊥，求2
2
|OA OB +的最小值． 25．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
:4cos C ρθ=，直线l 的参数方程为：321x t
y t
=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交
于M ，N 两点.
（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若点(3,1)P -，求
11
||||
PM PN -的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()3,0P
，倾斜角为6
π，曲线C
的参数方程为2cos x y θ
θ
=⎧⎪⎨
=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，再利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可得答案. 【详解】
设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，
则点P 到直线l
的距离12cos 12sin 185d θθ++==
1818455
πθ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=≥，当sin 14πθ⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭
时，等号成立. 因为[)0,2θ∈π，所以54
π
θ=. 所以当54πθ=时，d
. 故选：C. 【点睛】
本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意点的参数设法及三角函数的有界性运用.
2．C
解析：C 【分析】
设曲线C
上点的坐标为()2
t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】
设曲线C
上点的坐标为(
)
2
t ， 则C 上的点到直线l
的距离23
d
=
=
=，
即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】
本题考查参数方程的应用，属于基础题.
3．C
解析：C 【分析】
设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论 【详解】
设22(2)(3)1x y -++=
上一点()2,3P cos
sin αα+-, 则231114x y cos sin sin cos πααααα⎛
⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝
⎭,
故选：C 【点睛】
本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据参数的几何意义求解即可。

【详解】 如图：
由直线参数方程的参数t 的几何意义可知，
1PB t =，2PC t =，因为M 是BC 的中点，所以12
2
t t PM +=
. 选D. 【点睛】
本题考查直线参数方程的参数t 的几何意义。

5．C
解析：C 【解析】 【详解】
分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：222l r d =-l ．
详解：直线415
(t 315x t y t
⎧=+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρ2cos θ4⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，， 化为普通方程为22x y x y +=- ，即22
111()()222
x y -++＝
， ∴圆心1
12()222
C r -，，＝
圆心C
到直线距离
110
d =
= ， ∴
直线被圆所截的弦长75
l =． 故选C ．
点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三
者的关系：l =是解题的关键．
6．C
解析：C 【解析】
分析：在极坐标系中，ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）． 详解：∵ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）．，
∴()M 1,0关于极点的对称点为()1,π． 故选：C ．
点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．
7．D
解析：D 【分析】
设椭圆22
1164
x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ
），由点到直线20x y +=的距离公
式，计算可得答案． 【详解】
设椭圆22
1164
x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ）
则点P
到直线20x y +=的距离
=
，
max d =
=D ．
【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．
8．D
解析：D
【解析】
2x cos y sin θθ
=⎧⎨
=⎩2
214x y ⇒+= 为椭圆; 6cos ρθ=-2226cos 6x y x ρρθ⇒=-⇒+=- 为圆,所以选D. 9．B
解析：B 【解析】 由题设可知02cos70sin 20
tan 201sin 70cos 20
y k x -=
===-，故依据直线的斜率与与倾斜角之间的关系可知该直线的倾斜角为020α=，应选答案B 。

10．D
解析：D 【分析】
先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】
由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，
圆心到直线l 的距离d =，
直线l 被圆C 截得的弦长为= 【点睛】
(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式
||AB =. 11．D
解析：D 【分析】
求出曲线C 与直线的直角坐标方程，根据题意推出圆心到直线的距离为1，列出等式求解即可. 【详解】
利用同角三角函数的基本关系可得曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，圆的半径为2， 消去参数t 可以得到直线l 的直角坐标方程为y x b =+. 依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，
只要满足圆心到直线的距离为1
1=，解得b =
故选：D 【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，属于基础题.
12．C
解析：C 【分析】
先将直线sin()6
π
ρθ+
=A 的
坐标，利用点到直线的距离求解. 【详解】
由直线sin()6π
ρθ+=
1
cos 2ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭
0x +-=. 又点A 是曲线2213
x y +=
上任意一点，设)
,sin A
αα
则点A
0x +-=
的距离为：d =
=≤ 当sin 14πα⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭时取得等号. 故选：C 【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离,属于中档题.
二、填空题
13．【分析】化简得到计算圆心距得到答案【详解】故；即圆心距两圆外离故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了参数方程极坐标方程圆和圆的位置关系意在考查学生的综合应用能力 解析：1
【分析】
化简得到()2
2
1:31C x y -+=，22
2:1C x y +=，计算圆心距，得到答案.
【详解】
13cos :sin x C y θθ
=+⎧⎨=⎩，故()2231x y -+=；2:1C ρ=，即221x y +=.
圆心距3d =，121r r ==，两圆外离，故AB 的最小值为121d r r --=. 故答案为：1. 【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，圆和圆的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.
14．【解析】试题分析：由题意可知所以直线为点直线的距离为最大值为所以的最大值是考点：参数方程与极坐标方程的应用
【解析】
试题分析：由题意可知()(2,0,1,A B --，所以AB 直线为0y ++=，点
()
2cos ,sin M θθ直线的距
离为
d =
=
，最大值为
，所以
MN 考点：参数方程与极坐标方程的应用
15．【解析】试题分析;利用直线的参数方程求出直线的普通方程求出直线的斜率然后求出直线的倾斜角详解：直线的普通方程为：y-2=（x-1）cot70°直线的斜率为：cot70°=tan20°所以直线的倾斜角 解析：20
【解析】
试题分析;利用直线的参数方程求出直线的普通方程，求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角． 详解：直线170{
270
x tsin y tcos =+=+的普通方程为：y-2=（x-1）cot70°，直线的斜率为：
cot70°=tan20°．
所以直线的倾斜角为：20°． 故答案为20°．
点睛：本题是基础题，考查直线的参数方程与普通方程的互化，直线的倾斜角的求法，考查计算能力．其次这个题目也考查到直线的倾斜角和直线的斜率的关系，由直线倾斜角的值即为直线的斜率，当直线的倾斜角为九十度时，斜率不存在，一般求角的值直接由正切值可得到结果，求角的范围可结合正切函数的图像得到.
16．【分析】把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程曲线的参数方程代入的直角坐标方程求出参数值得交点坐标由两点间距离公式求得结论【详解】由得把代入整理得解得时时所以两交点为所以故答案为：【点睛】本题考查极坐标
【分析】
把曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程求出参数t 值，得交点坐标，由两点间距离公式求得结论．
【详解】
由 2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩得22
14x y +=，把21
x t y t =⎧⎨
=+⎩代入整理得217404t t +=，解得10t =，21617t =-，10t =时，1101x y =⎧⎨=⎩，21617t =-时，221617
1517x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
，
所以两交点为(0,1)A ，1615
(,)1717
B -
-，
所以AB ==．
． 【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程的应用，两点间距离公式，解题关键是把极坐标方程化为直角坐标方程．
17．【分析】设则则对任意都成立由此能求出【详解】解：圆和点定点和常数满足：对圆上任意一点都有设则对任意都成立由得且解得故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法考查圆两点间距离公式等基础知识考查推理论证能力 解析：12
λ=
【分析】
设(cos ,sin )M θθ，则22222(cos )sin [(cos 2)sin ]b θθλθθ-+=++，则2222cos 14cos 5b b θλθλ-++=+对任意θ都成立，由此能求出λ、b ．
【详解】 解：
圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，定点(B b ，0)(2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任
意一点，都有||||MB MA λ=，
∴设(cos ,sin )M θθ，则22222(cos )sin [(cos 2)sin ]b θθλθθ-+=++，
2222cos 14cos 5b b θλθλ∴-++=+对任意θ都成立，
∴222
2415b b λλ
⎧-=⎨+=⎩， 由||||MB MA λ=，得0λ>，且2b ≠-，
解得12
b =-
，12λ=．
故答案为：12
【点睛】
本题考查实数值的求法，考查圆、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．
18．【分析】由直线的参数为直线的普通方程求得再由圆的方程求得圆心坐标为半径利用两点间的距离公式求得进而得到的最大值【详解】由直线可得直线的普通方程令则即直线与x 轴的交点坐标又由圆的圆心坐标为半径则所以的
解析：2
【分析】
由直线的参数为直线的普通方程4380x y +-=，求得(2,0)M ，再由圆的方程，求得圆心坐标为(0,2)C ，半径2R =
，利用两点间的距离公式，求得MC =MN 的最大值. 【详解】
由直线325
:45x t l y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，可得直线的普通方程4380x y +-=，
令0y =，则2x =，即直线与x 轴的交点坐标(2,0)M ， 又由圆2240x y y +-=的圆心坐标为(0,2)C ，半径2R =，
则MC ==MN
的最大值为2.
【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及点与圆的位置关系的应用，其中解答中把点与圆的最值问题转化为点与圆心之间的距离d R ±求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.
19．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy 满足即设则又由则即的最大值5；故答案为5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy
解析：【解析】
分析：根据题意，设2cos x θ=
，y θ=
，则有24cos 3sin x θθ=+，进而分
析可得()25sin x θα=+，由三角函数的性质分析可得答案．
详解：根据题意，实数x ，y 满足2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=，
设2cos x θ=
，y θ=，
则()24cos 3sin 5sin x θθθα=+=+，3tan 4α⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 又由()15sin 1θα-≤+≤，
则525x -≤≤，
即23x y +的最大值5； 故答案为5．
点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x 、y ．
20．3【解析】根据题意抛物线参数方程为其普通方程为y2=4x 其焦点坐标为（10）准线方程为x=﹣1动点P 在抛物线上设P 到准线的距离为d 则d=|PF|圆的参数方程为（α为参数）其普通方程为（x ﹣3）2+y
解析：3 【解析】
根据题意，抛物线参数方程为2
44x t y t
⎧=⎨=⎩，其普通方程为y 2=4x ，
其焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，
动点P 在抛物线上，设P 到准线的距离为d ，则d=|PF|，
圆的参数方程为3x cos y sin α
α
=+⎧⎨=⎩（α为参数），其普通方程为（x ﹣3）2+y 2=1，
动点Q 在圆上，则|PF|+|PQ|=d+|PQ|，
分析可得：当P 为抛物线的顶点时，|PF|+|PQ|取得最小值，且其最小值为3， 故答案为：3．
三、解答题
21．（1）3123y x =-++()2
211x y ++=；（2）min 331
d -=
3112⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭
． 【分析】
（1）将参数方程、极坐标方程直接用转化公式化为普通方程.
（2）将圆上动点用参数方程表达出来，再代入点到直线的距离公式，化简求最值. 【详解】
（1）直线l 的参数方程消去参数t
得普通方程为：1y =++ 由2cos 0ρθ+=得：22cos ρρθ=-，222x y x ∴+=-，
∴圆C 的普通方程为()2
211x y ++=；
（2）在圆C 上任取一点()[)()
1cos ,sin 0,2P θθθπ-+∈，
则P 到直线l 的距离为
d =
=
当6
π
θ=
时，min
12d
=，此时1122P ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查了参数方程、极坐标方程化为普通方程，圆上的动点到直线距离的最值问题.
22．（1）2
213
x y +=；40x y --
=（2）【分析】
（1
）利用平方关系消参得出出曲线C 的普通方程，将cos()4
π
ρθ+
=展开得出
cos sin 4ρθρθ-=，即可得出直线l 的直角坐标方程；
（2）利用参数方程设出点P 的坐标，由点到直线的距离公式结合余弦函数的性质，即可得出点P 到直线l 距离的最大值. 【详解】
（
1）因为2
222cos sin 1+=+=y θθ，所以曲线C ：22
13x y +=；
因为cos()4
π
ρθ+
=，所以cos sin 4ρθρθ-=，即直线l ：40x y --=.
（2）设点,sin )P θθ 则点P 到直线l
距离
d =
=
当cos()16
π
θ+
=-，即56π
θ=
时，
d
=故点
P 到直线l 距离的最大值为 【点睛】
本题主要考查了参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，利用圆锥曲线的参数
方程解决点到直线的距离问题，属于中档题. 23．（1）2240(0)x y x y +-=≠.（2
）4+【分析】
（1）将直线1l 的参数方程转化为普通方程，联立2l 的方程并消去k ，再根据直线12,l l 斜率存在且不为零，即可得到曲线1C 的普通方程；
（2）先求出直线3l 的普通方程，点B 到直线3l 的距离为d
，由题意可得AB =，求
出B 到直线3l 的距离的最大值，即可求出AB 的最大值. 【详解】
（1）直线1l 可化为：(4)y k x =--，代入2l ， 消去k 可得：2(4)y x x =--， 整理得：2240x y x +-=；
由直线12,l l 斜率存在且不为零，则0y ≠， 曲线1C 的普通方程为：2240(0)x y x y +-=≠. （2
）由sin()4
π
ρθ-
=sin cos 2ρθρθ-=，
所以直线3l 的普通方程为：2y x =+， 设点B 到直线3l 的距离为d ， 由AB 与3l 的夹角为
4
π
，可得AB =， 求AB 的最大值可转化为点B 到直线3l 的距离d 的最大值，
d 的最大值即圆心()12,0C 到直线3l 的距离加上半径，
所以max 22d =+=+，
即max max 4AB ==+.
【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的转化，考查了轨迹方程的求法以及直线与圆位置关系，考查学生分析转化能力，属于中档题. 24．（1
）ρ=；（2）
165
【分析】
（1）先求出曲线C '的普通方程，再把它化成极坐标方程得解；
（2）设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求出22||||OA OB + 220
94sin 24
θ=
+，再求函数的最小值得解.
【详解】
解：（1）曲线C 的普通方程为224x y +=，
曲线C '
的普通方程为22
(2)4x y +=，即2
214
x y +=，
曲线C '的极坐标方程为2223sin 4ρρθ+=
，即ρ=．
（2）设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
， 2222
122244
||||13sin 13cos OA OB ρρθθ
+=+=
+++
22016
9
54sin 24
θ=
≥
+， 所以，当sin 21θ=±时，22||||OA OB +取到最小值165
． 【点睛】
本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查极坐标方程的最值问题的求解，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 25．（1）22(2)4x y -+=，250x y --=；（2
） 【分析】
(1)根据极坐标与直角坐标方程间的转换公式可求出曲线C 的普通方程,再利用消元法消去参数可得到直线l 的普通方程;
(2)先将直线参数方程化为标准形式,再将之代入曲线C 的普通方程中,最后利用参数的几何意义,结合韦达定理求解即可. 【详解】 (1)
4cos ρθ=,
24cos ρρθ∴=
将222cos x y x
ρρθ⎧=+⎨=⎩代入上式,可得224x y x +=, 因此曲线C 的普通方程为:22(2)4x y -+=,
又直线l 的参数方程为:321x t
y t =+⎧⎨
=-+⎩
(t 为参数), 因此直线l 的普通方程为:250x y --=;
(2)由题知直线l 的参数方程为:321x t
y t =+⎧⎨
=-+⎩
(t 为参数),
故其参数方程的标准形式为
:31x y =+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
(t 为参数), 将之代入22(2)4x y -+=中,
整理后可得2205
t +-=, 设,PM PN 对应的参数分别为12,t t ,
则121225
t t t t +=-
=-,
2121121212||||||1111||||||||||||||t t t t PM PN t t t t t t -+∴
-=-==±=. 【点睛】
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程,参数方程化为普通方程,考查了直线参数方程的应用,难度不大.
26．
(1):cos sin 30l ρθθ-=；22:143x y C +=；
(2)
13
. 【分析】
(1)首先根据直线l 经过点()3,0P
以及倾斜角为6
π得出直线l 的直角坐标方程，然后根据直角坐标方程与极坐标方程的转化得出直线l 的极坐标方程，最后根据曲线C 的参数方程得出曲线C 的直角坐标方程；
(2)本题首先可以根据直线l 的直角坐标方程得出直线l 的参数方程，然后将直线l 的参数方程代入曲线C
中得213600t ++=，最后借助韦达定理即可得出结果. 【详解】
(1)因为直线l 经过点()3,0P
，倾斜角为6
π， 所以直线l
的直角坐标方程)3y x =
-，
则其极坐标方程为cos sin 30ρθθ-=，
因为曲线C
的参数方程为2cos x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩，
所以曲线C 的直角坐标方程22
143
x y +=．
(2)因为直线l
的直角坐标方程为)33
y x =
-，
所以直线l 的参数方程为32:12x l y t =+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数），
将3:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入曲线C
中得2
13600t ++=，
因为直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，
所以0∆>，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t
所以12t t +=1260013t t =>，10t <，20
t <，
故(
)1212PA PB t t t t +=+=-+=. 【点睛】
本题考查极坐标方程、参数方程以及直角坐标方程的相互转化，直角坐标方程转化为极坐标方程有cos x ρθ=以及sin y ρθ=，考查化归与转化思想，考查参数方程的应用，是中档题.。