1图论概述
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
数学建模-图论
如例2中球队胜了，可从v1引一条带箭头的连线到v2，每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出，即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
Байду номын сангаас
由图可知， v1三胜一 负， v4打了三场球， 全负等等
类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中也是常见 的，如交通运输中的“单行线”，部门之间的领导和被领导关 系，一项工程中各工序之间的先后关系等等。
B
哥尼斯堡七桥问题
从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点 A B D
建模：
C
A B D C
点——陆地 岛屿 边——桥
后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题：一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题. “四色问题”也是图论中的著名问题：地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色？1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
图论起源
图论最早处理的问题是哥尼 斯堡城的七桥问题：18世纪在哥 尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒） 有一条名叫普莱格尔（Pregel） 的河流横经其中，河上有7座桥， 将河中的两个岛和河岸连结。
C A D
城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥， 后来有人请教当时的大数学家 而每座桥只许通过一次， 欧拉,欧拉用图论的方法证明这个问 最后仍回到起始地点? 题无解,同时他提出并解决了更为一 般的问题,从而奠定了图论的基础, 欧拉也被誉为“图论之父”.
范更华-图论及其应用
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计
最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作 为每条边的权。
旅行推销员问题
求解 : 在图中求一个圈过每点恰好一次 ,
且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边
相连当且仅当它们对应的信道有公共部
分。波长问题等价于所构造图的点着色
问题：
给图的每个点着色，有边相连的点
须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
1735年, 欧拉(Euler) 证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题 : 求 图中一条迹 (walk), 过每条边一次且仅一次 . 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
欧拉定理 : 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为 2( 若为 0, 则存在欧拉回 路,这种图称为欧拉图,也称为偶图)
图的例子
交通网
互联网
计算机处理器连接方式
集成电路板
分子结构图
分子间相互作用及信息传递
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式
互联网：信息传输及控制管理
大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学： 子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
图论在统计中的应用
图论在统计中的应用①图论算法研究图论算法在计算机科学中扮演着很重要的角色，它提供了对很多问题都有效的一种简单而系统的建模方式。
很多问题都可以转化为图论问题，然后用图论的基本算法加以解决。
本方向研究内容涉及图的最优划分问题，图的遍历与活动网络问题，谱聚类算法等。
②结构图论研究研究给定条件的图结构，比如，匹配覆盖图、有Pfaffian定向的图结构。
应用结构图论、组合计数、矩阵代数来研究化学分子的各种结构性质和化学物理性质。
本方向研究内容还涉及分子图的极图结构、稳定性估计、热力学性质等各种拓扑指标、完美匹配计数问题等。
概述图可用于在物理、生物、社会和信息系统中建模许多类型的关系和过程，许多实际问题可以用图来表示。
因此，图论成为运筹学、控制论、信息论、网络理论、博弈论、物理学、化学、生物学、社会科学、语言学、计算机科学等众多学科强有力的数学工具。
在强调其应用于现实世界的系统时，网络有时被定义为一个图，其中属性(例如名称)之间的关系以节点和或边的形式关联起来。
对现实生活中的场景抽象建模，再结合图论相关算法与知识解决实际问题分述计算机科学图被用来表示通信网络、数据组织、计算设备、程序执行流程、芯片设计等网站的链接结构可以用一个有向图表示，其中顶点表示网页，有向边表示从一个页面到另一个页面的链接语言学各种形式的图论方法已证明在语言学中特别有用，因为自然语言常常适合于离散结构。
传统上，语法和组合语义遵循基于树的结构，其表达能力取决于组合原则，在层次图中建模。
更现代的方法，如头驱短语结构语法，使用类型化特征结构对自然语言的语法建模，这些特征结构是有向无环图。
在词汇语义学中，特别是在计算机上，当一个给定的单词被相关的单词理解时，建模单词的意义就更加容易了。
因此，语义网络在计算语言学中非常重要。
音系学中的其他方法(例如，使用格点图的最优性理论)和形态学(例如，使用有限状态形态学，使用有限状态传感器)在语言作为图的分析中也很常见。
斯坦纳树解法-概述说明以及解释
斯坦纳树解法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是文章的开篇部分，用于介绍主题和问题背景。
下面是一个示例：概述斯坦纳树（Steiner Tree）是图论中的一个经典问题，旨在找到一个具有最小总权重的联通子图，以连接给定一组节点。
斯坦纳树问题在实际生活中有着广泛的应用，例如通信网络设计、电力系统规划和生物信息学等领域。
本文将详细介绍斯坦纳树的概念、应用领域以及解法的基本原理。
首先，我们将给出斯坦纳树的定义和问题描述，以便读者对该问题有一个清晰的认识。
然后，我们将探讨斯坦纳树在不同领域中的应用，以展示它在实际问题中的重要性。
接下来，我们将介绍一些经典的斯坦纳树解法，包括近似算法和精确算法，并详细讨论它们的基本原理和优缺点。
通过本文的阅读，读者将能够了解斯坦纳树问题的背景和意义，掌握不同领域中的应用案例，并对斯坦纳树解法的基本原理有一定的了解。
此外，我们还将对斯坦纳树解法的优点和局限性进行讨论，并展望未来在这一领域的发展方向。
接下来，在第二节中，我们将开始具体介绍斯坦纳树的概念和应用领域。
1.2 文章结构【文章结构】本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
下面将对每个部分进行详细介绍。
1. 引言引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个方面的内容。
在概述部分，将简要介绍斯坦纳树解法的背景和重要性。
2. 正文正文部分是文章的核心部分，主要包括斯坦纳树的概念、应用领域和解法的基本原理三个方面的内容。
2.1 斯坦纳树的概念在本小节中，将详细解释什么是斯坦纳树，斯坦纳树的定义和特点。
2.2 斯坦纳树的应用领域本小节将介绍斯坦纳树的应用领域，包括网络通信、电力系统、交通规划等方面的应用案例。
2.3 斯坦纳树解法的基本原理在本小节中，将详细介绍斯坦纳树解法的基本原理和算法，包括构建斯坦纳树的思路和具体步骤。
同时，可以提及一些经典的斯坦纳树解法算法和优化方法。
3. 结论结论部分对斯坦纳树解法的优点和局限性进行总结，并对未来的发展方向进行展望。
数学一数学二和数学三的数学离散数学介绍
数学一数学二和数学三的数学离散数学介绍数学一、数学二和数学三的数学离散数学介绍数学在我们的生活中扮演着重要的角色，它是一门独特而又智慧的学科，被广泛用于解决实际问题和推动科学的发展。
而数学学科又可以分为许多分支，其中离散数学是一个重要而有趣的领域。
本文将介绍数学一、数学二和数学三的离散数学的相关概念和知识。
一、离散数学的概述离散数学是数学中的一门学科，与连续数学形成鲜明对比。
连续数学关注于连续对象，如实数、连续函数等，而离散数学则主要研究离散对象，如整数、集合、图等。
离散数学的研究对象离散且有限，因此被广泛应用于计算机科学、信息技术等领域。
二、数学一中的离散数学数学一作为大学数学课程中的一门重要课程，也涉及到了离散数学的部分内容。
在数学一中，离散数学主要包括以下几个方面的内容：1. 集合论：集合论是离散数学的基础，它研究集合及其操作和关系。
在数学一中，我们学习了集合的基本概念、集合的表示方法、集合之间的关系和运算等内容。
2. 逻辑与命题：逻辑与命题是离散数学中的重要部分。
在数学一的学习中，我们研究了命题及其逻辑运算、命题的等值关系、命题的推理和证明等内容。
3. 代数系统：数学一中的离散数学还包括了代数系统的研究，其中包括了群、环、域等代数结构的概念和性质。
三、数学二中的离散数学在数学二中，离散数学的研究进一步深入，涉及到以下几个方面的内容：1. 图论：图论是离散数学中的一个重要分支，它研究了图及其性质、图的遍历和连通性、最短路径和最小生成树等问题。
在数学二中，我们学习了图的基本概念、图的表示方法和图的算法以及与图相关的应用问题。
2. 网络流与匹配理论：网络流与匹配理论是离散数学中涉及到实际问题的一部分。
在数学二中，我们学习了网络流与匹配理论的相关概念和算法，并应用于实际问题的求解中，如网络传输、最大匹配问题等。
四、数学三中的离散数学数学三作为数学专业学生的一门重要课程，较为深入地研究了离散数学的相关内容。
图论课件第三章图的连通性
Bellman-Ford算法
总结词
Bellman-Ford算法是一种用于查找带权图中单源最短路径的算法。
详细描述
Bellman-Ford算法的基本思想是从源节点开始，通过不断更新节点之间的距离，逐步找到从源节点到 其他节点的最短路径。该算法可以处理带有负权重的边，并且在图中存在负权重环的情况下也能正确 处理。
THANKS
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Floyd-Warshall算法
总结词
Floyd-Warshall算法是一种用于查找所有节点对之间最短路 径的动态规划算法。
详细描述
Floyd-Warshall算法的基本思想是通过动态规划的方式，逐 步构建最短路径矩阵。该算法首先初始化一个距离矩阵，然 后通过一系列的转移操作，逐步更新距离矩阵，直到找到所 有节点对之间的最短路径。
欧拉回路
总结词
欧拉回路是指一个路径的起点和终点是同一点，且经过图中的每条边且仅经过 一次的路径，并且该路径闭合。
详细描述
欧拉回路是欧拉路径的一种特殊情况，它不仅满足欧拉路径的所有条件，而且 起点和终点是同一点，形成一个闭合的路径。在图论中，欧拉回路具有重要的 应用价值。
欧拉回路的判定
总结词
判断一个图是否存在欧拉回路是一个NP 难问题，目前没有已知的多项式时间复 杂度的算法。
连通度
总结词
连通度是描述图中任意两点之间可达性的度量，表示图中节点之间的连接紧密程度。
详细描述
在图论中，连通度是衡量图连通性的一个重要参数。对于一个无向图，连通度通常用K表示，表 示图中任意两点之间是否存在路径。对于有向图，连通度分为入度和出度，分别表示从一个节 点到另一个节点是否存在路径和从另一个节点到这个节点是否存在路径。
图论
Graphs/图论
二、 图的术语/Graph Terminology 定义 相邻和关联： 在无向图G中，若e=（ａ，ｂ） ∈Ｅ， 则称ａ与b相邻/adjacent，或边e关联a、ｂ /incident或联结a、b/connect。a、b称为边e 的端点或结束顶点/endpoint. 在有向图G中，若e=（ａ，ｂ）∈Ｅ，即 箭头由ａ到ｂ，称ａ相邻到ｂ，或a关联或联 结b。a称为e的起点/initial vertex，b称为e的 终点/terminal or end vertex。
v V
d(v)= d(v)+ d(v)= 2m
d(v)=2m- d(v)
vV2 vV1 vV2
vV1 vV2
d(v)是偶数，从而 d(v)也为偶数，
vV1
即奇数顶点的个数必为偶数,得结论成立.
8/7/2016 9:51 PM Discrete Math. , QingTai Wu 20
A
C
D
图1
8/7/2016 9:51 PM
B
2
Discrete Math. , QingTai Wu
图论的产生与发展史概述
Graphs/图论
当时那里的居民热衷于一个难题：一个散步者能否 从河岸或小岛出发，通过每一座桥，而且仅仅通过 一次回到原地？这个问题似乎不难，谁都愿意试一 试，但谁也回答不出来。 欧拉是一个数学家，头脑比较冷静。千百人的失 败使他猜想，也许了样的走法根本不存在。1736年， 欧拉证明了他的猜想，并在圣彼得堡科学院作了一次 报告。 为了证明这个问题没有解，欧拉将每一块陆地用 一个点来代表，将每一座桥用联结相应的两个点的一 条线来代替，从而得到了一个如图2所示的一个 “图”。于是七桥问题就变成了如下的一笔画问题： 能否笔不离开纸，把图2的“图”一笔画成，使每条 8/7/2016 9:51 PM Discrete Math. , QingTai Wu 3 线只画一次
图论及其应用论文
图论及其应用论文姓名：xxx学号：xxx专业:xxx图论在高校互联校内网建设的应用摘要图论和我们的生活其实是息息相关的，我们在生活中处处可见图论的实际应用。
特别的，图论对我们通信专业以后的工作也有着极大的帮助.在以后的工作中也会时时用到图论的相关知识。
本论文的主旨是利用相关的图论知识来解决重庆几所高校建立互联校内网的问题。
主要是为了能使各重庆高校的学生能够免费共享高校的学习资源。
从而促进各高校学生的共同发展。
本文中，解决重庆几所高校建立互联校内网主要应用的是求图的最小生成树的方法。
而求图的最小生成树有两种算法，一种是Prim（普里姆）算法,另一种是Kruskal(克鲁斯卡尔）算法.本文通过将高校转换成连通图，再将连通图转换成邻接矩阵。
在C++上,通过输入结点和权值，用普里姆算法获得权值最小边来得到最小生成树,从而在保证各个地点之间能连通的情况下节省所需费用。
关键字：最小生成树、PRIM算法、邻接矩阵、高校互联校内网建设1.连通图(1）概述在图论中，连通图基于连通的概念。
在一个无向图 G 中，若从顶点vi到顶点vj有路径相连(当然从vj到vi也一定有路径），则称vi和vj是连通的。
如果 G 是有向图，那么连接vi和vj的路径中所有的边都必须同向.如果图中任意两点都是连通的,那么图被称作连通图。
图的连通性是图的基本性质。
（2）严格定义对一个图 G=(V,E) 中的两点 x 和 y ，若存在交替的顶点和边的序列Γ=（x=v0-e1—v1—e2—。
..-ek—（vk+1)=y) (在有向图中要求有向边vi−( vi+1)属于E )，则两点 x 和 y 是连通的。
Γ是一条x到y的连通路径，x和y分别是起点和终点。
当 x = y 时，Γ被称为回路.如果通路Γ 中的边两两不同，则Γ 是一条简单通路，否则为一条复杂通路.如果图 G 中每两点间皆连通，则 G 是连通图.(3）相关概念连通分量：无向图 G的一个极大连通子图称为 G的一个连通分量（或连通分支).连通图只有一个连通分量,即其自身；非连通的无向图有多个连通分量。
离散数学知识点
离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。
本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。
1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。
- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。
- 幂集：一个集合所有子集的集合。
- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。
2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。
- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。
- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。
3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。
- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。
- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。
4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。
- 函数的类型：单射、满射和双射。
- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。
5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。
- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。
- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。
6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。
- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。
- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。
7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。
- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。
结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。
它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。
掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。
本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。
图论在实际生活中的应用
摘要寻找最短的路径到达想要去的地方在这个快节奏的时代已经变得越来越重要，它对于节约人们的时间成本具有重要意义。
当前城市的规模越来越大，交通道路状况也越来越复杂，从一个地方到另一个地方可能有很多种路径，如何从众多的路径中选择距离最短或者所需时间最短的路径便成了人们关注的热点。
能够选择出一条最符合条件的路径会给我们的日常生活带来极大地方便。
本文就通过找重庆邮电大学几个代表性地点之间寻找最短距离路径为例，介绍经典的最短路径算法Floyd算法及其算法的实现。
关键字：最优路径，Floyd算法，寻路一、图论的基本知识图论起源于举世闻名的柯尼斯堡七桥问题。
在柯尼斯堡的普莱格尔河上面有七座桥将河中的岛及岛与河岸是连接起来的,有一个问题是要从这四块陆地中任何一块开始，通过每一座桥而且正好只能一次，再回到起点。
然而许多人经过无数次的尝试都没有成功。
在1736年欧拉神奇般的解决了这个问题，他用抽像分析法将这个问题化为第一个图论问题：即用点来代替每一块陆地，将每一座桥用联接相应的两个点的一条线来代替，所以相当于得到一个“图”（如下图）。
柯尼斯堡七桥图桥转换成图欧拉证明了这个问题是没有解的，并且推广了这个问题，给出了对于一个给定的图可以某种方式走遍的判定法则。
这项工作使得欧拉成为图论〔及拓扑学〕的创始人。
图论其实也是一门应用数学，它的概念和结果来源非常广泛，既有来自生产实践的问题，也有来自理论研究的问题。
它具有以下特点：蕴含了丰富的思想、漂亮的图形以及巧妙的证明；涉及的问题很多而且广泛，问题外表简单朴素，本质上却十分复杂深刻；解决问题的方法是千变万化，非常灵活，常常是一种问题就有一种解法。
图论研究的内容非常广泛，如图的连通性、遍历性、图的计数、图的着色、图的极值问题、图的可平面性等。
历史上参与研究图论问题的人既有许多天才的数学家，也有不少的业余爱好者。
那么什么是图论中的图呢？在日常生活、生产活动以及科学研究中，人们常用点表示事物，用点与点之间是否有连线表示事物之间是否是有某种关系，这样构成的图形就是图论中的图。
图论-总结
第一节 图论发展概述-----了解
第二节 图的基本定义
设V是一个非空集合，V的一切二个元素所构成 子集记为P2(V)，即P2(V)={A|AV且|A|=2}；
２.１无向图
定(义V,1E)设称V为是一一个个无非向空图有。限集合，EP2(V)，二元组 2.2 顶点的度 定义2 设v为图G=(V，E)的任一顶点，G中与v邻接的
习题
1. 2.设G是无向图，证明：若δ(G)≥m，则图中包含 长至少为m+1的圈。
3.每个自补图必有4n或4n+1个顶点(n为正整数) 4. 设A={v1,v2,…,vp}，q≤p(p-1)/2。试求以V为顶 点集具有q条边的无向图的个数。 5.设m,n是正整数，则 (1) m,n满足什么条件时，Km,n是偶拉图？ (2) m,n满足什么条件时，Km,n是哈密顿图？ 6. 对于P个顶点的完全图Kp，则 (1)Kp一定是完全图吗？ (2)Kp一定是哈密顿图吗？
第二节 生成树 2.1生成树（包含所有顶点的树）
定义1 设G=(V,E)是一个图，若G的一个生成子图T=(V，F)是 树，则称T是G的生成树。
2.2 生成树存在问题
定理1 图G有生成树的充分必要条件是G为一个连通图。
2.3 怎样求(最小)生成树(破圈法) 2.4 树的弦
定义3 设T是连通图G的生成树，G的不是T的边称为T的弦。 说明: (1) 若G是一个(p,q)连通图，T是G的生成树，则T有
个命题正确吗？为什么？ 5.设树中有2n个度为1的顶点，有2n个度为2的顶，
有n个度为3的顶点，则这棵树有多少个顶点和多 少条边？ 6.恰有两个顶点的度为1的树是一条通路。
第四章 平面图和图的着色
运筹学( 图与网络优化)
七桥问题
七桥问题图形
原理及方法
七桥问题是图论中的著名问题。1736年，Euler巧妙 地将此问题化为图的不重复一笔画问题，并证明了 该问题不存在肯定回答。原因在于该图形有顶点连 接奇数条边。
§10.1
图的基本概念
一个图(Graph) 定义为三元有序组
(V (G ), E (G ), G )
几何实现图例
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是图的顶 点。例如下图 中，它共有4个顶点，6条边；而e 3 与e 4 的交点不是这个图的顶点。
v1
e1
v2 e4
e2
v3
e3
e5
v4
e6
e3
v1
v4
e1 e4
v2
e2
v3 e6
e5
v4
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得边与边仅在
u 1
f5 u3 f6
f2 f4
u2
u4
同构
给定两个图
G (V (G), E(G), G )
H (V ( H ), E( H ), H )
称G和H是同构的，记为 G H ， 如果存在两个一一对应 ( , )
: V (G) V ( H )
: E (G) E ( H )
e7
v2
e3 v3
e6
v4
e4
关联矩阵性质
图G的关联矩阵M=(mij)为m×n矩阵；则每行元
素之和等于相应顶点的度；每列元素之和等于 2。
因此，图G的关联矩阵M所有元素之和既等于所
有顶点的度之和，又等于边数的2倍。 定理 设G是一个图，则
vV ( G )
d (v) 2
1图论基础通风网络
连通图G的一个割集S至少包含图G 的生成树的一条树枝。
割
集：将连通图G的节点分为不相连的二个节点 子集的最少边集合。
38
1 图论基础----割集—基本割集
4）基本割集 基本割集只能包含一条树枝→基本割集数=树枝数 s1 1 d s3 4 a
2 c e
g b
s2 3 f
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
d T=（a,b,d,f） f s4
若 H G 且V ( H ) V (G) 或 E ( H ) E (G)
或H中至少有一个边的重数小于G中对应边的重数
G (V , E )
H (V , E1 )
E1 E
H是包含了图G所有节点的真子图
生成子图是原图的真子图！
13
1 图论基础----图的概念—子图
课堂练习
e7 6 e8 e6 4 e4 e5 3 e1 2 e9
1 图论基础----树—生成树和余树
①连通且无回路；
生 成 树 的 特 点
②连通且有m-1条边； ③无回路，加一条边恰有一条回路； ④每一对节点间有唯一的一条路；
⑤连通，任一边均为割边；
⑥包含图的全部节点。
图G(7,11) 生成树T
28
1 图论基础----树—生成树和余树
特别提醒
任何联通图的边数等于其余树弦数和树枝数之和 任何图的边数等于其余树弦数和树枝数之和
根据右图
5
1）找出3个子图；
2）找出4个真子图；
e3
e2
3）试找出2个生成子图
1
14
1 图论基础----图的概念—赋权图
4）赋权图 一个图G=（V，E）与定义在E或V上的权或权函数，称为 一个网络或赋权图，亦称有权图。 在通风网络中，常用通风参数作权的指标，如风阻、风 量、风压等。一般将权值注在分支旁边。
图论在数据分类与聚类中的应用
图论在数据分类与聚类中的应用数据分类与聚类是数据挖掘领域中的重要任务，旨在根据数据的特征和相似性将其划分为不同的类别或群组。
近年来，随着图论在各个领域的广泛应用，人们开始探索将图论方法应用于数据分类与聚类任务中。
本文将介绍图论在数据分类与聚类中的应用，并探讨其优势和挑战。
一、图论概述图论是研究图的数学理论，它以图结构来描述对象之间的关系。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论提供了一系列用于分析和处理图结构的算法和方法。
二、图论在数据分类中的应用1. 相似性图构建在数据分类任务中，相似性度量是一个关键步骤。
传统方法通常使用距离度量来计算数据之间的相似性，但这种方法存在维度灾难问题。
图论提供了一种基于相似性图的方法，将数据对象表示为图的节点，边的权重表示数据对象之间的相似性。
通过构建相似性图，可以更准确地捕捉数据对象之间的关系，从而提高分类结果的准确性。
2. 图分割和社区发现利用图论的分割算法可以将数据对象划分为不同的类别。
传统方法通常使用聚类算法，如K-means，但这种方法对初始聚类中心的选择敏感。
图分割算法则通过优化图中的划分方式来进行分类，不需要预先指定聚类中心。
此外，图论还可以应用于社区发现任务，即将数据对象划分为具有内部紧密性和外部稀疏性的社区。
三、图论在数据聚类中的应用1. 图谱聚类图谱聚类是一种基于图论的聚类方法，它通过将数据对象表示为图的节点，边的权重表示数据对象之间的相似性，利用谱图理论进行聚类。
图谱聚类不需要预先指定聚类中心并且可以处理非线性可分的数据集。
通过求解图的特征向量，可以将数据对象划分为不同的类别。
2. 图表征学习图表征学习是利用图论方法将图结构嵌入到低维向量空间的任务，它通过保留节点之间的邻接关系来捕捉图的结构信息。
在数据聚类任务中，通过学习节点的向量表示，可以将图中相似的节点聚集到一起，实现数据的聚类操作。
四、图论在数据分类与聚类中的优势和挑战图论在数据分类与聚类中具有以下优势：1. 可处理高维数据：相比传统方法，图论方法能更有效地处理高维数据，避免了维度灾难问题。
高三数学必修三算法知识点
高三数学必修三算法知识点一、算法概述算法是指解决问题的一系列明确指令的有限序列。
在高三数学必修三中，算法是解决数学问题的基本工具，它可以用来求解数值计算问题、优化问题以及数学模拟等。
二、二分法1. 概述：二分法是一种通过将问题分解为更小的子问题进行求解的算法。
它适用于有序列表的搜索和函数求根等计算问题。
2. 原理：二分法的基本思想是不断将搜索范围缩小一半，通过将目标值与中间值进行比较，逐步逼近目标值。
3. 实例：求解有序列表中某个元素的位置。
三、迭代法1. 概述：迭代法是一种通过不断逼近目标值的方法来求解问题的算法。
它适用于函数求解、线性方程组求解、递归关系求解等问题。
2. 原理：迭代法的基本思想是通过不断迭代计算的方式，逐步逼近目标值。
通常通过设置初始值和递推公式来实现迭代。
3. 实例：使用牛顿迭代法求解方程的根。
四、贪心法1. 概述：贪心法是一种通过每一步选择当前最优解来求解问题的算法。
它适用于某些优化问题，如最小生成树、背包问题等。
2. 原理：贪心法的基本思想是每一步都选择当前最优解，以期望整体解能够达到最优。
贪心法通常需要证明某种贪心策略的正确性。
3. 实例：使用贪心法求解背包问题。
五、动态规划1. 概述：动态规划是一种通过将问题分解为相互重叠的子问题，并保存子问题的解来求解问题的算法。
它适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
2. 原理：动态规划的基本思想是通过解决子问题的方式，逐步构建最优解。
动态规划一般需要设计递推关系和确定初始条件。
3. 实例：使用动态规划求解最长公共子序列问题。
六、快速排序1. 概述：快速排序是一种通过将数组分为两个子数组并对每个子数组进行排序来实现整体排序的算法。
它是一种高效的排序算法。
2. 原理：快速排序的基本思想是选择基准元素，将数组分为小于基准元素和大于基准元素的两部分，然后递归地对这两部分进行排序。
3. 实例：使用快速排序对数组进行排序。
七、图论算法1. 概述：图论算法是解决图相关问题的一类算法。
图论在文献检索中的应用
图论在文献检索中的应用图论在文献检索中的应用文献检索是科学研究中非常重要的一个环节，能够帮助研究人员快速获取所需信息，提高研究效率。
而图论作为一门数学分支，具有描述和分析图结构的能力，近年来在文献检索中的应用日益受到关注。
本文将介绍图论在文献检索中的应用，并探讨其优势和潜在的挑战。
1. 图论的概述图论是一门研究图与图的性质以及其应用的学科，图由节点和边组成，节点代表实体，边代表实体之间的联系。
图论可以帮助我们描述和分析实体之间的复杂关系，因此在很多领域都有广泛的应用，如社交网络分析、推荐系统等。
2. 文献检索的挑战传统的文献检索方法往往基于关键词匹配，存在以下几个挑战：（1）同义词和近义词问题：同一个概念可能存在多个不同的表达方式，如“人工智能”和“AI”是同一个概念的不同表达方式。
（2）词语歧义问题：一个词可能有多个意思，如“Java”既可以表示编程语言，也可以表示咖啡。
（3）信息过载问题：现代科学研究发展迅速，文献数量庞大，研究人员很难阅读和分析大量的文献。
3. 图论在文献检索中的应用基于图论的方法可以很好地解决传统文献检索的挑战，下面将介绍一些常见的应用。
（1）主题建模：通过构建文献之间的共现网络，将文献看作节点，共现关系看作边，可以使用聚类算法将文献划分为不同的主题，帮助研究人员快速了解研究领域的前沿动态。
（2）关键词提取：通过分析文献中的关键词共现关系，可以提取出研究领域的核心词汇，帮助研究人员了解文献中的重点内容。
（3）文献推荐：通过分析研究人员的历史文献阅读记录以及文献之间的引用关系，可以构建个性化的文献推荐系统，为研究人员提供有针对性的文献推荐。
（4）知识图谱构建：通过分析文献中的实体之间的关系，可以构建领域内的知识图谱，帮助研究人员快速获取相关领域的知识。
4. 图论在文献检索中的优势相比于传统的文献检索方法，基于图论的方法具有以下几个优势：（1）考虑上下文信息：图论可以帮助我们分析文献之间的关联关系，考虑上下文信息，从而更准确地理解文献的含义。
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【摘要】 前几年，全国大学生数学建模竞赛要求摘要字数 应在300字以内，但从2001年开始，为了提高论文
评选效率，要求将论文第一页全用做摘要，对字数
已无明确限制，故在摘要中也可适当出现反应结果
的图、表和数学公式。
yansxjm@
【问题重述】 数学建模比赛要求解决给定的问题，所以论文 中应叙述给定问题，撰写这部分内容是，不要照
yansxjm@
我相信：在你们年轻的血液里都凝聚着青春 的激情与张扬，这里为大家提供了让你们充分发 挥的舞台！然而，这不是一个简单容易的过程， 在这个舞台上，不仅仅是与国内、国际高水平的 角逐，更多的是对你们自身毅力的挑战！我们会 陪伴大家走下去，我希望这里是你们发现自我价 值的一个起点，想对你们说
把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实 际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用 性。如果结果与实际不符，问题常出在模型的假 设上，应该修改、补充假设，重新建模。这一步 对于模型是否真的有用十分关键。
yansxjm@
【模型推广】
将该问题的模型推广到解决更多的类似问题， 或讨论给出该模型的更一般情况下的解法或指出 可能的深化、推广及进一步研究的建议。
yansxjm@
【参考文献】 在正文中提及或直接引用的材料或原始数据，
应注明出处，并将相应的出版物列举在参考文
献中。需标明出版物名称页码、著者姓名、出
版日期、出版单位等。
yansxjm@
【附录】 附录是正文的补充，与正文有关而又不便于 编入正文的内容都收集在这里。包括：计算机程 序、比较重要但数据量较大的中间结果等。为便 于阅读，应在源程序中加入足够的注释和说明语 句。
yansxjm@
河北理工大学 理学院 基础数学系 闫 焱
China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling
1. 数学建模知识
模型建模：数学模型与数学建模 基础知识：（1）高等数学 （2）概率论与数理统计 （3）线性代数 必备知识：（1）数学规划/最优化理论 （2）微分方程及其稳定性 （3）组合学、图论优化 （4）统计分析、数据处理 扩展知识：（1）数值计算、数值模拟 （2）模糊数学、灰色理论 （3）随机过程、时序分析 （4）变分、泛函、有限元分析
yansxjm@
路就在你们的脚下，我们的挑战从这一刻正式 开始，希望你们满怀自信，敢于拼搏，为自己去 拼搏一方舞台！！ 祝你们成功！！
yansxjm@
1、数学建模主要涉及到图论的哪几大问题
2、每类问题下有几种典型模型，每种模型是用于 解决何种实际问题的，它的解决方案是什么，算法 是怎么设计而成的
在写作论文时，建模小组的各成员应齐心协力， 既要各司其职，又要通力合作。要做到这一点，必须 将整个建模工作加以分解，理清各部分工作的并行或 先后顺序关系以及在整个工作中的地位和作用。负责 各部分工作的成员，应将自己的工作完整的记录下来。 小组内应有一个主笔人，负责对文章的整体把握，其 工作包括拟制写作提纲和论文的最后写作。提纲写出 来后，应先在小组内讨论、修改和确定，然后再开始 正式写作。
当参加数学建模竞赛时，竞赛论文是评价小组 建模工作的唯一依据。而竞赛要求在三天时间内完
成建模的所有工作，包括论文写作。因此论文写作
的时间是非常紧迫的，在赛前有意识地进行论文写 作的训练，是非常必要的。一方面可增强良好的掌 握时间节奏的能力；另一方面也可以熟悉建模论文 各部分内容的写作方法。
yansCUMCM 中文
Hot Links
yansxjm@
近几年全国大学生数学建模竞赛题
1994 1995 1996
A B A B A B
逢山开路 锁具装箱 一个飞行管理问题 天车与冶炼炉的作业调度 节水洗衣机问题 最优捕鱼问题
yansxjm@
1997 1998 1999 2000
A B A B A B A B
零件的参数设计 最优截断切割问题 投资的收益和风险 灾情巡视路线 自动化车床管理 钻井布局 DNA 序列分类 钢管订购和运输
yansxjm@
2001 2002 2003 2004
A B A B A B
血管的三维重建 公交车调度 车灯线光源的优化设计 彩票中的数学 SARS 的传播 露天矿生产的车辆安排
yansxjm@
论文出来后，小组内其他成员必须参与论文的检 查和修改工作，这一方面是因为每个成员可以检查一 下自己的工作是否都被准确地表达出来了；另一个方 面因为习惯性思维，主笔人一般不容易检查出自己的 错误。 数学建模竞赛章程规定，对论文的评价应“以假 设的合理性，建模的创造性，结果的正确性和文字表 述的清晰性”为主要标准。所以，在论文中应努力反 映出这些特点。 下面，我们简单介绍数学建模论文的主要组成部 分以及各部分内容的撰写方法。
A 奥运会临时超市网点设计 B 电力市场的输电阻塞管理
yansxjm@
2005
A B A
长江水质的评价和预测 DVD 在线租赁 出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价及疗效 的预测 中国人口增长预测 乘公交，看奥运
2006
B A B
2007
yansxjm@
三、数学建模论文的撰写方法
2. 数学软件技能
综合软件：MATLAB、Mathematica、Mapple
运筹软件：LINDO、LINGO 统计软件：SSPS、Excel、SAS 其它软件：MathCAD、SCILAB、……
பைடு நூலகம்
3. 其它知识及技能
科技写作：科技写作技巧、科技英语翻译 算法设计: 各种基础算法，数值算法，启发式算法 信息检索：图书馆、数字期刊库、Internet的检索技巧 编辑排版：Word、LATEX等排版软件的使用 图形处理：画图板、Photoshop等绘图软件的使用
线（称为边）构成的。用点表示要研究的对
象，用边表示对象之间的关系来建立模型，
并且用图的性质和算法求解模型，是研究离
散问题的重要手段。
yansxjm@
现实实例，注意体会！
现计划在某些路口安置消防设施，只有与 路口直接相连的街道才能使用它们。为了使
所有街道必要时都有消防设施可用，在哪些
路口安置设施才最节省？
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我们这里所讨论的图并不是几 何学中的图形，而是客观世界中 某些具体事物间联系的一个数学 抽象，如所提到的欧拉把七桥问 题转化为有四个点、七条线段的 图，用顶点代表事物，用 边表示各事物间的二元关 系，如果所讨论的事物之 间有某种二元关系，我们
yansxjm@
yansxjm@
题目
摘要
问题重述
模型假设
模型检验
模型求解
分析与建立模型
模型推广
参考文献
附录
yansxjm@
【题目】
论文题目是一篇论文给出的涉及论文范围
及水平的第一个重要信息。要求简短精练、高
度概括、准确得体、恰如其分。既要准确表达
论文内容，恰当反映所研究的范围和深度，又
要尽可能概括、精练。
yansxjm@
【摘要】 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述， 其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信 息。在数学建模论文中，摘要是非常重要的一部分 建模论文的摘要应包含以下内容：所研究的实际问 题、建立的模型、求解模型的方法、获得的基本结 果以及对模型的检验或推广。论文摘要需要用概括 简练的语言反应这些内容，尤其要突出论文的优点 如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推广 等。一般科技论文的摘要不要求列举例证、不出现 图、表和数学公式，不自我评价，且字数应在200 以内。
yansxjm@
【模型求解】
使用各种数学方法或软件包求解数学模型，此
部分应包括求解过程的公式推导、算法步骤及计
算结果，为求解而编写的计算机程序应放在附录
部分。有时需要对求解结果进行数学上的分析，
如结果的误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏
度分析等。
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【模型检验】
就把相应的顶点连成一边。这种 由顶点及连接这些顶点的边所组成 的图就是我们图论中所研究的图。
因而在客观世界中，一些事物 间若带有某种二元关系，就可以 用一个图来描述这些事物之间的 相互关系。像人与人间朋友关系 同学关系均可用一个图表示。
yansxjm@
图是由平面上的一些点及这些点之间的连
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图论是一门新兴学科，它发展迅速而又
应用广泛。图论已广泛地应用于物理、化学
运筹学、计算机科学、电子学、信息论、控
制论、网络理论、管理科学、社会科学等几
乎所有科学领域。另一方面，随着这些科学
的发展，特别是计算机科学的快速发展，又
大大地促进了图论的发展。因此国内外许多
高等院校，都把图论列为数学、计算机、电
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他成了图论和拓扑学的创始人。 哥尼斯城堡位于前苏联的加里宁 格勒，历史上曾是德国东普鲁士省 的省会，普雷格尔河横穿城堡，河 中有两个小岛，并有七座桥连接岛 与河岸的岛与岛。当地居民提出是 否存在一种走法，要从四块陆地中 的任意一块开始，通过每一座桥恰
yansxjm@
合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设 作得过分详尽，试图把复杂对象的众多因素都考虑
进去，会使工作很难或无法继续下去，因此常常需
要在合理与简化之间做出恰当的折中。
yansxjm@
【分析与建立模型】
根据假设，用数学的语言、符号描述对象的内 在规律，得到一个数学结构。建模时应尽量采用简 单的数学工具，使建立的模型易于被人理解。在撰 写这一部分时，对应用的变量、符号、计量单位应 做解释，特定的变量和参数应在整篇文章保持一致 为使模型易懂，可借助于适当的图形、表格来描述 问题或数据。
图论在计算机科学、运筹学、 电网络分析、化学、物理以及社 会科学等方面都已取得丰硕的成 果！同时，图论的理论与方法又 能对数学竞赛、数学建模等起指 导作用！