专题一 培优点1 函数性质间的相互联系

培优点1 函数性质间的相互联系

函数的对称性、奇偶性、周期性及单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，求解时要研究函数各性质间的相互联系，对性质进行综合、灵活地应用． 例 (1)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1＋x )为偶函数，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )

A ．－50

B ．0

C ．2

D ．50

答案 C

解析 由已知f (1＋x )＝f (1－x )＝－f (x －1)，

∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )的周期为4.

∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0.

∵f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，

f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，

f (4)＝f (0)＝0.

∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.

∴f (1)＋f (2)＋…＋f (50)＝f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2.

(2)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，设a ＝ln 1π

，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，则( )

A ．f (a )>f (b )>f (c )

B ．f (b )>f (a )>f (c )

C ．f (c )>f (b )>f (a )

D ．f (c )>f (a )>f (b )

答案 D

解析 依题意得，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且其图象关于y 轴对称，

则f (a )＝f (－a )＝f ⎝

⎛⎭⎫－ln 1π＝f (ln π)， f (c )＝f (ln π)＝f ⎝⎛⎭⎫12ln π，而0<12

ln π

⎫12ln π>f (ln π)>f [(ln π)2]， 即f (c )>f (a )>f (b )．

(3)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )

＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________. 答案－8

解析∵f(x)是奇函数且f(x－4)＝－f(x)，

∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，

即f(x)＝f(4－x)且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，

即y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，

并且此函数是周期为8的周期函数．

∵f(x)在[0,2]上是增函数，

∴f(x)在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上是减函数．

据此可画出y＝f(x)图象的草图(如图)(设x1

其图象也关于直线x＝－6对称，

∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，

∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8.

函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定函数在另一个区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

1．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于() A．2 B．－2 C．－98 D．98

答案 B

解析因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.

2．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log2 5.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()

A．a

C．b

答案 C

解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，g(x)为偶函数．

∴g(－log2 5.1)＝g(log2 5.1)．

∵f(x)在R上单调递增，

∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增．

而20.8<2

∴g(20.8)

∴b

3．已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)＋22，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝2，则f(2 025)＝________.

答案 2

解析由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．又由f(x＋4)＝－f(x)＋22，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋22＝f(x)，∴f(x)是周期为8的偶函数．

∴f(2 025)＝f(1＋253×8)＝f(1)＝f(－1)＝2.