专题一 培优点1 函数性质间的相互联系
高中数学必修一培优教案
高中数学必修一培优教案课题：一次函数教学目标：1. 了解一次函数的定义和性质；2. 能够根据给定的一次函数求出其函数图像、斜率和截距；3. 能够利用一次函数解决实际问题。
教学重点：1. 一次函数的定义和性质；2. 一次函数的函数图像；3. 一次函数的斜率和截距。
教学难点：1. 通过实际问题解决一次函数；2. 一次函数的斜率和截距的计算。
教学准备：1. 教材：高中数学必修一教材；2. 工具：教学PPT、教学板书、习题集；3. 准备实际问题解决一次函数的例题。
教学步骤：一、引入概念（10分钟）1. 介绍一次函数的定义和性质；2. 通过实例解释一次函数的基本概念。
二、探究一次函数的函数图像（15分钟）1. 讲解一次函数的函数图像的形状；2. 通过一些例题让学生绘制一次函数的函数图像。
三、探讨一次函数的斜率和截距（15分钟）1. 讲解一次函数的斜率和截距的定义；2. 通过例题让学生计算一次函数的斜率和截距。
四、应用实际问题解决一次函数（15分钟）1. 解释如何利用一次函数解决实际问题；2. 给出一个实际问题，让学生利用一次函数进行计算和分析。
五、总结与讨论（5分钟）1. 总结本节课的内容；2. 回答学生提出的问题。
作业布置：1. 让学生完成课后习题；2. 让学生找出身边的实际问题，利用一次函数进行分析和解决。
教学反思：通过这堂课的教学，我发现学生对一次函数的概念和性质有了更深入的理解，能够通过一次函数解决实际问题的能力也有所提高。
下一节课将继续巩固学生对一次函数的理解，并引入二次函数的概念。
经典一次函数培优题含答案及讲解
一次函数培优讲解已知一次函数y=ax+b的图像经过一，二，三象限，且与x轴交易点（-2，0），则不等式ax大于b的解集为（）A.x>2. B.x<2. Cx>-2. D.x<-2此题正确选项为A解析：∵一次函数的图像过一、二、三象限∴有a＞0将（-2，0）代入一次函数解析式则b=2a∴ax＞b可化为ax＞2a又a＞0∴原不等式的解集为x＞2在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k为整数，当直线y=x+2与直线y=kx-4的交点为整点时，k的值可以取（）个．因为直线y=x+2与直线y=kx-4的交点为整点，让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．由题意得：{y=x+2y=kx-4，解得：{x=6k-1y=6k-1+2，∴k可取的整数解有0，2，-2，-1，3，7，4，-5共8个．若不等式2|x-1|+3|x-3|≤a有解，则实数a最小值是（）绝对值的一元一次不等式．算题；分类讨论．类讨论：当x＜1或1≤x≤3或x＞3，分别去绝对值解x的不等式，然后根据x对应的取值范围得到a的不等式或不等式组，确定a的范围，最后确定a的最小值．≥＜1，解得a＞6当1≤x≤3，原不等式变为：2x-2+9-3x≤a，解得x≥7-a，∴1≤7-a≤3，解得4≤a≤6；当x＞3，原不等式变为：2x-2+3x-9≤a，解得x＜＞3，解得a＞4；综上所述，实数a最小值是4．已知实数a，b，c满足a+b+c不等于0，并且a/b+c=b/c+a=c/a+b=k，则直线y=kx-3一定通过哪三个象限？这个题目不需要证明，只需要判断即可。
首先，令x=0，则y=-3显然只要k>0 则，过1，3，4象限。
只要k<0 则，过2，3，4象限。
由a/b+c=b/c+a=c/a+b=k，显然a=b=c=1的时候，满足所有条件，而此时k》0所以过1，3，4象限。
再如a=b=c=-1的时候，也满足，此时k=0 , 那么y = -3 ，只过3、4象限。
北师大版版八年级上册数学 一次函数培优训练(详细,经典)
《一次函数》培优资料（1）专题一：一次函数的定义、图像及性质1.对于一次函数y = kx + k -1(k ? 0)，下列叙述正确的是（）A．当0 < k <1 时，函数图象经过第一、二、三象限B．当k > 0 时，y 随x 的增大而减小C．当k <1 时，函数图象一定交于y 轴的负半轴D．函数图象一定经过点(-1, -2)2.对任意实数k，直线y=kx+（2k+1）恒过一定点，该定点的坐标是．3.直线y=kx+b 经过点（2，﹣4），且当3≤x≤6 时，y 的最大值为8 则k+b 的值为．4.两个一次函数y=ax+b与y=bx+a在同一坐标系中的图象大致是（）5.如图，函数y=mx﹣4m（m 是常数，且m≠0）的图象分别交x 轴y 轴于点M、N，线段MN 上两点A、B（点B 在点A 的右侧），作AA1 ⊥x 轴，BB1⊥x 轴，且垂足分别为A1，B1，若OA1+OB1＞4，则△OA1A 的面积S1 与△OB1B 的面积S2 的大小关系是（）A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．不确定的6.已知直线y =- n x +n +11n +1（n 为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S2018= ．7．如图，在平面直角坐标系中，函数y=﹣2x+12 的图象分别交x 轴y 轴于A、B 两点，过点A 的直线交y 正半轴于点M，且点M 为线段OB 的中点．（1）求直线AM 的函数解析式．（2）试在直线AM 上找一点P，使得S=S△AOM，请直接写出点P△ABP的坐标．8.点C 在直线AM 上，在坐标平面内是否存在点D，使以A、O、C、D 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．专题二：重要公式和结论1.直线y=kx+b过点（x1，y1），（x2，y2），若x1﹣x2=1，y1﹣y2=﹣2，则k 的值为．2.含45°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中A（﹣2 0），B（0，1），则直线BC 的解析式为．3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是平行四边形，且A（4，0）、B（6，2）、M（4，3）．在平面内有一条过点M 的直线将平行四边形OABC 的面积分成相等的两部分，请写出该直线的函数表达式．4．如图，点A的坐标为（﹣2，0），点B在直线上运动，当点B 的坐标是时，线段AB 最短，最短距离为.5．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B 关于直线AP 的对称点B′恰好落在x 轴上，则点P 的坐标为．6.对于坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2 两点间的“转角距离”，记作d（P1，P1）．（1）令P0（3，﹣4），O为坐标原点，则d（O，P0）=；（2）已知O 为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=2，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中，画出所有符合条件的点P 所组成的图形；7.设P0（x0，y0）是一个定点，Q（x，y）是直线y=ax+b 上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的“转角距离”．若P（a，﹣2）到直线y=x+4 的“转角距离”为10，求a 的值．专题三：直线与x轴正方向夹角和k的关系1.已知：一次函数的图象如图所示，则k= ．2.如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=kx+b（b＞0）与y轴交于点B，∠BCA=60°，连接AB，∠α=105°，则直线y=kx+b 的表达式为．3.如图，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 长最短时点B 的坐标为．4.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y = 3 x ，直线l2：y =3x ，在3直线l1 上取一点B，使OB=1，以点B 为对称中心，作点O 的对称点B1，过点B1 作B1A1∥l2，交x 轴于点A1，作B1C1∥x 轴，交直线l2 于点C1，得到四边形OA1B1C1；再以点B1 为对称中心，作O 点的对称点B2，过点B2 作B2A2∥l2，交x 轴于点A2，作B2C2∥x 轴，交直线l2 于点C2，得到四边形OA2B2C2；…；按此规律作下去，则四边形OA n B n C n的面积是．5.已知，直线x +与x 轴，y 轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a 为坐标系中的一个动点．= ；（1）则三角形ABC 的面积S△ABC点C 的坐标为；（2）证明不论 a 取任何实数，△BOP 的面积是一个常数；（3）要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．6.如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A、B 两点，点A 的坐标为（1，0）∠ABO=30°，过点B 的直线y= x+m 与x 轴交于点C．（1）求直线l 的解析式及点C 的坐标．7.点D 在x 轴上从点C 向点A 以每秒1 个单位长的速度运动（0＜t＜4），过点D 分别作DE∥AB，DF∥BC，交BC、AB 于点E、F，连接EF，点G 为EF 的中点．①判断四边形DEBF 的形状并证明；②求出t 为何值时线段DG 的长最短．8.点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．《一次函数》培优资料（2）专题四：一次函数与几何变换1. （ 1 ）直线y = 2x +1 向下平移 3 个单位后的解析式是.（ 2 ）直线y = 2x +1 向右平移 3 个单位后的解析式是.2.如图，已知点 C 为直线y =x 上在第一象限内一点，直线y = 2x +1 交y轴于点A，交x 轴于B，将直线AB 沿射线OC 方向平移3 2 个单位，则平移后的直线的解析式为．yACBO x3.如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A（1，1），B （3，1），C（2，2），当直线与△ABC 有交点时，b 的取值范围是．4.在平面直角坐标中，已知点A（-2，3）、B（4，5），直线y=kx+1（k≠0 与线段AB 有交点，则k 的取值范围为.5.将函数y=2x+b（b 为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=﹣|2x+b|（b 为常数）的图象．若该图象在直线y=2 下方的点的横坐标x 满足0＜x＜3，则b 的取值范围为．6.如图，函数y=﹣2x+2 的图象分别与x 轴、y 轴交于A，B 两点，线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则直线AC的函数解析式是．7.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A，C 分别在x 轴y 轴上，点B 在第一象限，直线y=x+1 交y 轴于点D，且点D 为CO 中点，将直线绕点D 顺时针旋转15°经过点B ，则点B 的坐标为．8.如图1，已知平行四边形ABCD，AB∥x 轴，AB=6，点A 的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是平行四边形ABCD 边上的一个动点．（1）若点P 在边BC 上，PD=CD，求点P 的坐标．（2）若点P 在边AB，AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y=x﹣1 上，求点P 的坐标．解：（1）∵CD=6，∴点P 与点C 重合，∴点P 坐标为（3，4）．（2）①当点P 在边AD 上时，∵直线AD 的解析式为y=﹣2x﹣2，设P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，若点P 关于x 轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x﹣1 上，∴2a+2=a﹣1，解得a=﹣3，此时P（﹣3，4）．若点P 关于y 轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y=x﹣1 上时，∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1，解得a=﹣1，此时P（﹣1，0）②当点P 在边AB 上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，若等P 关于x 轴的对称点Q2（a，4）在直线y=x﹣1 上，∴4=a﹣1，解得a=5，此时P（5，﹣4），若点P 关于y 轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y=x﹣1 上，∴﹣4=﹣a﹣1，解得a=3，此时P（3，﹣4），综上所述，点P 的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．9.若点P 在边AB，AD，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM，过点G 作x 轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）（3）①如图1 中，当点P 在线段CD 上时，设P（m，4）．在Rt△PNM′中，∵PM=PM′=6，PN=4，∴NM′==2，在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2=GM′2，∴22+（2+m）2=m2，解得，∴P （﹣，4）根据对称性可知，P（，4）也满足条件．②如图2 中，当点P 在AB 上时，易知四边形PMGM′是正方形，边长为2，此时P（2，﹣4）．③如图3中，当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R．易证∠M′RG=∠M′GR，推出M′R=M′G=GM，设M′R=M′G=GM=x．∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2，∴R（﹣1，0），在Rt△OGM′中，有x2=22+（x﹣1）2，解得x=，∴P（﹣，3）．点P 坐标为（2，﹣4）或（﹣，3）或（﹣，4）或（，4）10.如图，直线l1 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，直线l2 与直线l1 关于x 轴对称，已知直线l1 的解析式为y=x+3，（1）求直线l2 的解析式；y=﹣x﹣3（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线l3，过点B 作BE⊥l3 于E，过点C 作CF⊥l3 于F，请画出图形并求证：BE+CF=EF；（2）如图．BE+CF=EF．∵直线l2 与直线l1 关于x 轴对称，∴AB=AC，∵l1 与l2 为象限平分线的平行线，∴△OAC 与△OAB 为等腰直角三角形，∴∠EBA=∠FAC，∵BE⊥l3，CF⊥l3∴∠BEA=∠AFC=90°∴△BEA≌△AFC∴BE=AF，EA=FC，∴BE+CF=AF+EA=EF；（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q，与y 轴相交于点M，且BP=CQ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．（3）①对，OM=3过Q 点作QH⊥y 轴于H，直线l2 与直线l1 关于x 轴对称∵∠POB=∠QHC=90°，BP=CQ，又∵AB=AC，∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ，则△QCH≌△PBO（AAS），∴QH=PO=OB=CH∴△QHM≌△POM ∴HM=OM∴OM=BC﹣（OB+CM）=BC﹣（CH+CM）=BC﹣OM∴OM= BC=3．例1对于坐标平面内的点,现将该点向右平移1个单位,再向上平移2的单位,这种点的运动称为点A的斜平移,如点P(2,3)经1 次斜平移后的点的坐标为(3,5),已知点A 的坐标为(1,0).(1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标.(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C.①若A. B. C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形?请说明理由.②若点B由点A经n次斜平移后得到,且点C 的坐标为(7,6)，求出点B的坐标及n的值.例2 已知，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的顶点在原点.（1）如图，若点C 的坐标为（-1,3），求A点坐标;（2）如图，点F 在AC 上，AB 交x 轴于点E。
【解析版】徐州市数学高一下期末经典习题(专题培优)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：12721]已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．2或42．(0分)[ID ：12707]某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?3．(0分)[ID ：12706]已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B 12± C 110± D 322± 4．(0分)[ID ：12702]已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( )A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．(0分)[ID ：12698]如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π6．(0分)[ID ：12673]在ABC 中，已知,2,60a x b B ===，如果ABC 有两组解，则x 的取值范围是( ) A ．4323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ．4323⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．4323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，D ．432,3⎛⎤⎥ ⎝⎦7．(0分)[ID ：12633]阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．48．(0分)[ID ：12666]已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-9．(0分)[ID ：12663]设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10．(0分)[ID ：12659]定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．(0分)[ID ：12655]如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A ．2πB ．C ．D ．3π 12．(0分)[ID ：12650]下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④13．(0分)[ID ：12645]如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线14．(0分)[ID ：12700]如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．15．(0分)[ID ：12634]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．60二、填空题16．(0分)[ID ：12827]在直角ABC ∆中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在ABC ∆中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________．（答案用m ，n 表示） 17．(0分)[ID ：12826]在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2＝8与圆C 2 : x 2+y2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.18．(0分)[ID ：12825]在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23C B = ，则A 等于__________．19．(0分)[ID ：12814]已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.20．(0分)[ID ：12796]直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为 ．21．(0分)[ID ：12789]对于函数()f x ，()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2exf x x -=+-与()1422xx g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数）22．(0分)[ID ：12778]设向量(12)(23)a b ==，，，，若向量a b λ+与向量(47)c =--，共线，则λ=23．(0分)[ID ：12768]设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.24．(0分)[ID ：12752]已知复数z x yi =+，且23z -=，则yx的最大值为__________．25．(0分)[ID ：12760]△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________． 三、解答题26．(0分)[ID ：12927]某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若n =19,求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？27．(0分)[ID ：12897]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；28．(0分)[ID ：12896]某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？29．(0分)[ID ：12865]已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．30．(0分)[ID ：12855]在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知10cos 10A =-，2b =5c = （1）求a ；（2）求cos()B A -的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．A3．A4．D5．C6．A7．B8．C9．A10．C11．A12．C13．B14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】【详解】由题意得的三边分别为则由可得所以三角数三边分别为因为所以三个半径为的扇形面积之和为由几何体概型概率计算公式可知故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属于中档题解决17．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位18．【解析】由得所以即则又所以故答案为19．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值20．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直21．【解析】【分析】先求出的根利用等价转换的思想得到在有解并且使用分离参数方法可得结果【详解】由令所以又已知函数与互为近邻函数据题意可知：在有解则在有解即在有解令又令所以当时当时所以所以则故答案为：【点22．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学23．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立24．【解析】【分析】根据复数z的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为：25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，， ∴解得28r l ==， 或44r l ==，41lrα==或， 故选C ．2．A解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.3．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=. 故选：A. 4．D解析：D【解析】【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值．【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下， 对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ．【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力． 5．C解析：C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积． 6．A解析：A【解析】【分析】已知,,a b B ，若ABC 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围.【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得432x <<故选A.本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.若ABC 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解.7．B解析：B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =.本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．8．C解析：C【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]，本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．A解析：A【分析】将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可.【详解】()πf x ωx φ,4⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=， 又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2x 444⎛⎫=-∴=--= ⎪⎝⎭, 当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A.【点睛】 本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.10．C解析：C【解析】【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题. 11．A解析：A【解析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解．【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，22252()22a A B a BM a a ==+=，， 222313()22a A M a a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ．【点睛】 本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．12．C解析：C【解析】【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性.【详解】对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④.故选：C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 13．B解析：B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ．连BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===，35,,722MF BF BM ==∴=．BM EN ∴≠，故选B ． 【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．14．B 解析：B【解析】【分析】计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案.【详解】根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x =1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B故答案选B【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力. 15．B解析：B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果.【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯= 本题正确选项：B【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.二、填空题16．【解析】【分析】【详解】由题意得的三边分别为则由可得所以三角数三边分别为因为所以三个半径为的扇形面积之和为由几何体概型概率计算公式可知故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属于中档题解决 解析：12n m【解析】【分析】【详解】由题意得ABC ∆的三边分别为,1,2x x x ++ 则由()()22221x x x +=++ 可得3n = ，所以，三角数三边分别为3,4,5，因为A B C π∠+∠+∠= ，所以三个半径为1 的扇形面积之和为211=22ππ⨯⨯ ，由几何体概型概率计算公式可知1122,1342n n m m ππ=∴=⨯⨯，故答案为12n m. 【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.17．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位解析：{8,8-+【解析】【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d ,因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即d =,所以2d =,2d ==,解得8a =±当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =,故答案为：{8,8-+【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想 18．【解析】由得所以即则又所以故答案为 解析：6π【解析】由sinC =得c =，所以222a b -==，即227a b =，则22222222b c a cosA bc +-=== ，又0A π∈（，）， 所以6A π=． 故答案为6π. 19．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值 解析：3π【解析】【分析】先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出m 的表达式，即可求出m 的最小值．【详解】 由2T ππω==得2ω=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到sin[2()]sin(22)33y x m x m ππ=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有2,3m k k Z ππ+=∈，则62k m ππ=-+，故m 的最小值为3π． 【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件．一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2k πϕπ=+；cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2k πϕπ=+；为偶函数，则k ϕπ=．20．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直 解析：2y x =【解析】试题分析：设与直线20x y +=垂直的直线方程：20x y b -+=，圆22240x y x y +--=化为()()22125x y -+-=，圆心坐标()12，．因为直线平分圆，圆心在直线20x y b -+=上，所以21120b ⨯-⨯+=，解得0b =，故所求直线方程为2y x =．考点：1．直线与圆的位置关系；2．直线的一般式方程与直线的垂直关系．【思路点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，据此设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可． 21．【解析】【分析】先求出的根利用等价转换的思想得到在有解并且使用分离参数方法可得结果【详解】由令所以又已知函数与互为近邻函数据题意可知：在有解则在有解即在有解令又令所以当时当时所以所以则故答案为：【点 解析：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】【分析】先求出()0f x =的根，利用等价转换的思想，得到()0g x =在1m n -<有解，并且使用分离参数方法，可得结果【详解】由()()13log 2e x f x x -=+-，令()0f x =所以1x =，又已知函数()()13log 2ex f x x -=+- 与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”据题意可知：()0g x =在11x -<有解，则()0g x =在02x <<有解 即1224x x a +-=在02x <<有解， 令()1224x x h x +-=， 又令2x t =，()1,4t ∈，11,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2222111222t y t t -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭ 当112t =时max 12y = 当11t =时0y = 所以10,2y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以()10,2h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.22．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学 解析：2【解析】【分析】由题意首先求得向量a b λ+，然后结合向量平行的充分必要条件可得λ的值.【详解】a b λ+=(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++））， 由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=.故答案为2．【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立 解析：92. 【解析】 【分析】 把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值．【详解】由24x y +=，得2422x y xy +=≥，得2xy ≤ (1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=， 等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立．故所求的最小值为92． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 24．【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为： 解析：【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及y x 的几何意义，由图象得出最大值. 【详解】复数z x yi =+且23z -=z 的几何意义是复平面内以点(2,0)3为半径的圆22(2)3x y -+=.y x的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：max 331y x ⎛⎫==⎪⎝⎭ 即y x 3 3【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可 解析：33. 【解析】 【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得3cos 2A =，进一步求得833bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且3cos 2A =，从而求得833bc =， 所以ABC ∆的面积为1183123sin 22323S bc A ==⋅⋅=，故答案是233. 【点睛】 本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题26．(1)()3800,19,y 5005700,19,x x N x x ≤⎧=∈⎨->⎩;(2)19;(3) 购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【解析】试题分析：（Ⅰ）分x ≤19及x ＞19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n=19，n=20时所需费用的平均数来确定.试题解析：（Ⅰ）当时，3800y =；当时，3800500(19)5005700y x x =+-=-，所以与的函数解析式为3800,19,{()5005700,19,x y x N x x ≤=∈->. （Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(380070430020480010)4000100⨯⨯+⨯+⨯=. 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(400090450010)4050100⨯⨯+⨯=. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【考点】函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.27．（1）见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）要证BD⊥平面PAC ，只需在平面PAC 上找到两条直线跟BD 垂直即证，显然AC BD ⊥，从PA ⊥平面ABCD 中可证PA BD ⊥，即证.(2)要证明平面PAB⊥平面PAE,可证 A E ⊥平面PAB 即可.【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥；因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥;因为PA AC A ⋂=,,PA AC ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC .（2）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以AE CD ⊥,因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ,所以AE PA ⊥；因为PA AB A ⋂=所以AE ⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE .【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.28．（1）()1,()0)8f x x g x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.【解析】【分析】 （1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解.【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k ==，1211(1),(1)82f kg k ====， ()1,()0)8f x x g x x ==≥； （2）设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，1(20)()(20)8y f x g x x =-+=-212)3,0208x =-+≤≤，2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元，20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.【点睛】本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.29．（1）11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析；（3）12n n a n -=⋅.【解析】【分析】（1）根据题中条件所给的数列{}n a 的递推公式()121n n na n a +=+，将其化为()121n n n a a n ++=，分别令1n =和2n =，代入上式求得24a =和312a =，再利用n n a b n=，从而求得11b =，22b =，34b =； （2）利用条件可以得到121n n a a n n+=+，从而 可以得出12n n b b +=，这样就可以得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）借助等比数列的通项公式求得12n n a n -=，从而求得12n n a n -=⋅. 【详解】（1）由条件可得()121n n n a a n ++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =．将2n =代入得，323a a =，所以，312a =．从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n n a a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列； （3）由（2）可得11122n n n n a b n --==⨯=，所以12n n a n -=⋅． 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{}n b 的通项公式，借助于{}n b 的通项公式求得数列{}n a 的通项公式，从而求得最后的结果.30．(1) 3a =.(2) cos()10B A -=. 【解析】【分析】分析：（1）在ABC ∆中，由余弦定理可得3a =．（2）由cosA =得sinA =sinB =cosB =，故得()cos B A cosBcosA sinBsinA -=+=【详解】（1）在ABC ∆中，由余弦定理得22222529a b c bccosA ⎛=+-=+-= ⎝⎭，∴3a =．（2）在ABC ∆中，由cosA =得,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sinA ===，在ABC ∆中，由正弦定理得a b sinA sinB ==，∴sinB =，。
【精选试卷】【解析版】徐州市中考数学解答题专项练习经典习题(专题培优)(1)
一、解答题1．先化简，再求值： 233212-),322x x x x x x （其中+-+÷=++2．计算：()()()21a b a 2b (2a b)-+--；()221m 4m 421m 1m m -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭. 3．直线AB 交⊙O 于C 、D 两点，CE 是⊙O 的直径，CF 平分∠ACE 交⊙O 于点F ，连接EF ，过点F 作FG∥ED 交AB 于点G ．（1）求证：直线FG 是⊙O 的切线；（2）若FG ＝4，⊙O 的半径为5，求四边形FGDE 的面积．4．某市某中学积极响应创建全国文明城市活动，举办了以“校园文明”为主题的手抄报比赛.所有参赛作品均获奖，奖项分为一等奖、二等奖、三等奖和优秀奖，将获奖结果绘制成如右两幅统计图.请你根据图中所给信息解答意）（1）等奖所占的百分比是________；三等奖的人数是________人；（2）据统计，在获得一等奖的学生中，男生与女生的人数比为11:，学校计划选派1名男生和1名女生参加市手抄报比赛，请求出所选2位同学恰是1名男生和1名女生的概率； （3）学校计划从获得二等奖的同学中选取一部分人进行集训使其提升为一等奖，要使获得一等奖的人数不少于二等奖人数的2倍，那么至少选取多少人进行集训？ 5．如图1，在直角坐标系中，一次函数的图象l 1与y 轴交于点A （0 , 2），与一次函数y ＝x ﹣3的图象l2交于点E （m ,﹣5）．（1）m=__________；（2）直线l1与x轴交于点B，直线l2与y轴交于点C，求四边形OBEC的面积；（3）如图2，已知矩形MNPQ，PQ＝2，NP＝1，M（a，1），矩形MNPQ的边PQ在x 轴上平移，若矩形MNPQ与直线l1或l2有交点，直接写出a的取值范围_____________________________6．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322x x+=--.（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x=，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？7．已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：BC=ED．8．如图1，已知二次函数y=ax2+32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+32x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．9．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 于点E ．（1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE=33，DF=3，求图中阴影部分的面积．10．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩11．已知：如图，△ABC 为等腰直角三角形∠ACB ＝90°，过点C 作直线CM ，D 为直线CM 上一点，如果CE ＝CD 且EC ⊥CD ． （1）求证：△ADC ≌△BEC ； （2）如果EC ⊥BE ，证明：AD ∥EC ．12．（12分）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A 型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A 型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A 型车数量相同，则今年6月份A 型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%.(1)求今年6月份A 型车每辆销售价多少元？(用列方程的方法解答)(2)该车行计划7月份新进一批A 型车和B 型车共50辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ A 、B 两种型号车的进货和销售价格如下表：A 型车B 型车进货价格(元/辆)11001400销售价格(元/辆)今年的销售价格240013．为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是 °；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．14．垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理，能有效提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用，为了了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校对本校甲、乙两班各60名学生进行了垃极分类相关知识的测试，并分别随机抽取了15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整（收集数据）甲班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80乙班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）86，89，83，76，73，78，67，80，80，79，80，84，82，80，83（整理数据）按如下分数段整理、描述这两组样本数据组别班级65.6～70.570.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.5甲班224511乙班11a b20在表中，a＝，b＝．（分析数据）（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：班级平均数众数中位数方差甲班80x8047.6乙班8080y26.2在表中：x＝，y＝．（2）若规定得分在80分及以上（含80分）为合格，请估计乙班60名学生中垃圾分类相关知识合格的学生有人（3）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的情况较好，说明理由．15．某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN项部M的仰角为37°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M 的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E．请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan35°≈0.75）16．2018年“妇女节”前夕，扬州某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？17．光明中学全体学生900人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：()1填写下表：中位数众数随机抽取的50人的社会实践活动成绩(单位：分)()2估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．18．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．19．国家自2016年1月1日起实行全面放开二胎政策，某计生组织为了解该市家庭对待这项政策的态度，准备采用以下调查方式中的一种进行调查：A．从一个社区随机选取1 000户家庭调查；B．从一个城镇的不同住宅楼中随机选取1 000户家庭调查；C．从该市公安局户籍管理处随机抽取1 000户城乡家庭调查．（1）在上述调查方式中，你认为比较合理的一个是．（填“A”、“B”或“C”）（2）将一种比较合理的调查方式调查得到的结果分为四类：（A）已有两个孩子；（B）决定生二胎；（C）考虑之中；（D）决定不生二胎．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：①补全条形统计图．②估计该市100万户家庭中决定不生二胎的家庭数．20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图1中a的值为；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．21．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？22．矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC，CE∥BD．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若∠ACB＝30°，菱形OCED的而积为83，求AC的长．23．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式；(2)小明选择哪家快递公司更省钱？24．电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店，均销售A、B、C、D四种款式的电脑，每种款式电脑的利润如表1所示．现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的50台电脑的款式，统计各种款式电脑的销售数量，如表2所示．表1：四种款式电脑的利润电脑款式A B C D利润（元/台）160200240320表2：甲、乙两店电脑销售情况电脑款式A B C D甲店销售数量（台）2015105乙店销售数量（台）88101418试运用统计与概率知识，解决下列问题：（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为；（2）经市场调查发现，甲、乙两店每月电脑的总销量相当．现由于资金限制，需对其中一家分店作出暂停营业的决定，若从每台电脑的平均利润的角度考虑，你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定？并说明理由． 25．解方程：x 21x 1x-=-. 26．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接OF 交AD 于点G ． (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)设AB ＝x ，AF ＝y ，试用含x ，y 的代数式表示线段AD 的长； (3)若BE ＝8，sinB ＝513，求DG 的长，27．先化简(31a +－a ＋1)÷2441a a a -++，并从0，－1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．28．某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A ．器乐，B ．舞蹈，C ．朗诵，D ．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 人； （2）补全条形统计图；（3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 29．计算：（1）2（m ﹣1）2﹣（2m+1）（m ﹣1） （2）（1﹣1x+2）÷x 2−1x+230．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．（1）甲组抽到A小区的概率是多少；（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、解答题1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18． 19． 20． 21． 22． 23． 24． 25． 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、解答题 1．11;12x -- 【解析】 【分析】根据分式的运算顺序及运算法则化简所给的分式，化为最简后再代入求值即可.原式=()23x 3x 22-)x 2x 1++⨯+-（ ，()()22433221x x x x x +--+=⨯+-， ()()21221x x x x -+=⨯+-，11x =-， 当x=3时，原式=113-=12- 【点睛】 本题主要考查了分式的化简求值，利用分式的运算顺序及运算法则把分式化为最简是解题的关键.2．（1）223a 5ab 3b -+-；（2）m m 2-． 【解析】【分析】 ()1根据多项式乘多项式、完全平方公式展开，然后再合并同类项即可；()2括号内先通分进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算即可.【详解】()()()21a b a 2b (2a b)-+--=2222a 2ab ab 2b 4a 4ab b +---+-223a 5ab 3b =-+-； (2)221m 4m 41m 1m m -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭=()2m m 1m 2m 1(m 2)--⋅-- m m 2=-． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 3．（1）证明见解析（2）48【分析】（1）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出∠OFC=∠FCG，继而得出∠GFC+∠OFC=90°，即可得出答案；（2）首先得出四边形FGDH是矩形，进而利用勾股定理得出HO的长，进而得出答案.【详解】（1）连接FO，∵ OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF．∵CF平分∠ACE，∴∠FCG＝∠FCE．∴∠OFC＝∠FCG．∵ CE是⊙O的直径，∴∠EDG＝90°，又∵FG//ED，∴∠FGC＝180°－∠EDG＝90°，∴∠GFC＋∠FCG＝90°∴∠GFC＋∠OFC＝90°，即∠GFO＝90°，∴OF⊥GF，又∵OF是⊙O半径，∴FG与⊙O相切．（2）延长FO，与ED交于点H，由(1)可知∠HFG＝∠FGD＝∠GDH＝90°，∴四边形FGDH是矩形．∴FH⊥ED，∴HE＝HD．又∵四边形FGDH是矩形，FG＝HD，∴HE＝FG＝4.∴ED＝8.∵在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，∴OH3．∴FH＝FO＋OH＝5＋3＝8．S四边形FGDH＝12(FG＋ED)•FH＝12×(4＋8)×8＝48．4．（1）8%，16;（2）P （1名男生和1名女生）23=;（3）至少需要选取6人进行集训. 【解析】【分析】 （1）一等奖所占的百分比=1减去其它奖项的百分比即可求解；根据优秀奖比例和人数可计算总数，进而计算出三等奖人数.（2）求出一等奖男女各有多少人，然后列表或画树形图即可解；（3）设需要选取x 人进行集训，依据使获得一等奖的人数不少于二等奖人数的2倍，列不等式解答即可.【详解】（1）一等奖所占的百分比=1-40%-30%-32=8%； 总人数=20÷40%=50（人）， 三等奖的人数是=50×32%=16（人）； （2）一等奖的人数=508%4⨯=，男女都有的人数14211⨯=+， 列表得：∴一等奖有两位男生两位女生，一共有12种等可能结果，其中恰是一男一女的结果数是8，∴P （1名男生和1名女生）82123==. （3）设需要选取x 人进行集训，根据题意得：()4210x x +≥-，解得 163x ≥， 因为x 是整数，所以x 取6.答：至少需要选取6人进行集训.【点睛】本题主要考查了条形统计图及扇形统计图以及求随机事件的概率，不等式的应用，解题的关键是能从条形统计图及扇形统计图得出相关数据．列表或画出树形图解答.5．（1）-2；（2）317；（3）−47≤a≤127或3≤a≤6. 【解析】【分析】（1）根据点E 在一次函数图象上，可求出m 的值；（2）利用待定系数法即可求出直线l 1的函数解析式，得出点B 、C 的坐标，利用S 四边形OBEC ＝S △OBE ＋S △OCE 即可得解；（3）分别求出矩形MNPQ 在平移过程中，当点Q 在l 1上、点N 在l 1上、点Q 在l 2上、点N 在l 2上时a 的值，即可得解．【详解】解：（1）∵点E （m ，−5）在一次函数y ＝x−3图象上，∴m−3＝−5，∴m ＝−2；（2）设直线l 1的表达式为y ＝kx ＋b （k≠0），∵直线l 1过点A （0，2）和E （−2，−5），∴{b =2−2k +b =−5 ，解得{b =2k =72， ∴直线l 1的表达式为y ＝72x ＋2， 当y ＝72x ＋2=0时，x=−47 ∴B 点坐标为(−47，0)，C 点坐标为（0，−3），∴S 四边形OBEC ＝S △OBE ＋S △OCE ＝12×47×5＋12×2×3＝317； （3）当矩形MNPQ 的顶点Q 在l 1上时，a 的值为−47；矩形MNPQ 向右平移，当点N 在l 1上时，72x ＋2＝1，解得x ＝−27，即点N （−27，1）， ∴a 的值为−27＋2＝127；矩形MNPQ 继续向右平移，当点Q 在l 2上时，a 的值为3，矩形MNPQ 继续向右平移，当点N 在l 2上时，x−3＝1，解得x ＝4，即点N （4，1）， ∴a 的值为4＋2＝6，综上所述，当−47≤a≤127或3≤a≤6时，矩形MNPQ 与直线l 1或l 2有交点． 【点睛】本题主要考查求一次函数解析式，两条直线相交、图形的平移等知识的综合应用，在解决第（3）小题时，只要求出各临界点时a 的值，就可以得到a 的取值范围．6．x=;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.（1）0【解析】【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.【详解】x-得（1）方程两边同时乘以()2()+-=-5321xx=解得0x=是原分式方程的解.经检验，0（2）设？为m，x-得方程两边同时乘以()2()321+-=-m xx=是原分式方程的增根，由于2x=代入上面的等式得所以把2()m+-=-3221m=-1所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7．见解析【解析】【分析】首先由AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD，再由条件AB=CE，AC=CD可证出△BAC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED.【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，∵在△BAC和△ECD中，AB=EC，∠BAC=∠ECD ，AC=CD，∴△BAC≌△ECD（SAS）.∴CB=ED.【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质.8．（1）y=﹣14x2+32x+4；（2）△ABC是直角三角形．理由见解析；（3）点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣45，0）、（3，0）、（8+45，0）．（4）当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【解析】【分析】（1）由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）令二次函数解析式中y=0，求出点B的坐标，再由两点间的距离公式求出线段AB、AC、BC的长度，由三者满足AB2+AC2=BC2即可得出△ABC为直角三角形；（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一点，即可求得点N的坐标；（4）设点N的坐标为（n，0）（-2<n<8），通过分割图形法求面积，再根据相似三角形面积间的关系以及三角形的面积公式即可得出S△AMN关于n的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴=，∵MN∥AC∴=，∴=，∵OA=4，BC=10，BN=n+2∴MD=（n+2），∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=BN•OA﹣BN•MD=（n+2）×4﹣×（n+2）2=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的知识点是本题解题的关键.9．（1）DE与⊙O相切，理由见解析；（2）阴影部分的面积为2π33．【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．【详解】（1）DE 与⊙O 相切，理由：连接DO ，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠EBD=∠DBO，∴∠EBD=∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE 与⊙O 相切；（2）∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3， 3 223+33（）=6， ∵sin∠DBF=31=62， ∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°， ∴sin60°=332DF DO DO ==， 3则3 260(23)1333322ππ⨯-= 【点睛】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO 的长是解题关键． 10．114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=．原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．11．（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）根据两锐角互余的关系可得∠ACD ＝∠BCE ，利用SAS 即可证明△ADC ≌△BEC ；（2）由△ADC ≌△BEC 可得∠ADC ＝∠E ＝90°，根据平行线判定定理即可证明AD//EC.【详解】（1）∵EC ⊥DM ，∴∠ECD ＝90°，∴∠ACB ＝∠DCE=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，∠BCE+∠ACE=90°，∴∠ACD ＝∠BCE ，∵CD ＝CE ，CA ＝CB ，∴△ADC ≌△BEC （SAS ）．（2）由（1）得△ADC ≌△BEC ，∵EC ⊥BE ，∴∠ADC ＝∠E ＝90°，∴AD ⊥DM ，∵EC ⊥DM ，∴AD∥EC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．12．（1）2000；（2）A型车17辆，B型车33辆【解析】试题分析：（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，列出方程即可解决问题．（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，先求出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．试题解析：（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，根据题意得，解之得x=1600，经检验，x=1600是方程的解．答：今年A型车每辆2000元．（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，根据题意得50﹣m≤2m解之得m≥，∵y=（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）=﹣100m+50000，∴y随m 的增大而减小，∴当m=17时，可以获得最大利润．答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．考点：（1）一次函数的应用；（2）分式方程13．（1）2000，108；（2）作图见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据B组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出C组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；（2）根据C组的人数，补全条形统计图；（3）根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．试题解析：（1）被调查的人数为：800÷40%=2000（人），C组的人数为：2000﹣100﹣800﹣200﹣300=600（人），∴C组对应的扇形圆心角度数为：×360°=108°，故答案为：2000，108；（2）条形统计图如下：（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一种交通工具的有4种情况，∴甲、乙两人选择同一种交通工具上班的概率为：=．考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．14．【整理数据】：7，4；【分析数据】（1）85，80；（2）40；（3）乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，见解析.【解析】【分析】由收集的数据即可得；（1）根据众数和中位数的定义求解可得；（2）用总人数乘以乙班样本中合格人数所占比例可得；（3）甲、乙两班的方差判定即可．【详解】解：乙班75.5～80.5分数段的学生数为7，80.5～85.5分数段的学生数为4，故a＝7，b＝4，故答案为：7，4；（1）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80，众数是x＝85，67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86，89，中位数是y＝80，故答案为：85，80；（2）60×1015＝40（人），即合格的学生有40人，故答案为：40；（3）乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，∵甲班的方差＞乙班的方差，∴乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好．【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数，中位数，正确的理解题意是解题的关键．15．人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．【解析】【分析】在Rt△MED中，由∠MDE＝45°知ME＝DE，据此设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC 中，由ME＝EC•tan∠MCE知x≈0.7（x+15），解之求得x的值，根据MN＝ME+EN可得答案．【详解】由题意得四边形ABDC、ACEN是矩形，∴EN＝AC＝1.5，AB＝CD＝15，在Rt△MED中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴ME＝DE，设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，∵ME＝EC•tan∠MCE，∴x≈0.7（x+15），解得：x≈35，∴ME≈35，∴MN＝ME+EN≈36.5，答：人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识解题．16．20元/束．【解析】【分析】设第一批花每束的进价是x元/束，则第一批进的数量是：4000x，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×1.5可得方程．【详解】设第一批花每束的进价是x元/束，依题意得：4000x×1.5=45005x，解得x=20．经检验x =20是原方程的解，且符合题意．答：第一批花每束的进价是20元/束．【点睛】本题考查了分式方程的应用．关键是根据等量关系：第二批进的数量＝第一批进的数量×1.5列方程．17．()14，4；()2 3150分．【解析】【分析】()1根据抽取的人数可以确定中位数的位置，从而确定中位数，小长方形最高的小组的分数为该组数据的众数；()2算出抽取的50名学生的平均分乘以全校的总人数即可得到光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．【详解】解：()1由题意，将50人的成绩从小到大排序后，第25和第26个的平均数就是中位数，∵2+9+13=24∴第25和第26个成绩都是4，故本组数据的中位数为4∵成绩在4分的同学人数最多∴本组数据的众数是4故填表如下：2随机抽取的50人的社会实践活动成绩的平均数是：1229313414512x 3.5(50⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==分)． 估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分是：3.59003150(⨯=分)． 【点睛】考查了条形统计图的知识，题目相对比较简单，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题的信息．18．49． 【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案即可．【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况，∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为49．【点睛】本题考查列表法与树状图法．19．（1）C；（2）①作图见解析；②35万户．【解析】【分析】（1）C项涉及的范围更广；（2）①求出B，D的户数补全统计图即可；①100万乘以不生二胎的百分比即可．【详解】解：（1）A、B两种调查方式具有片面性，故C比较合理；故答案为：C；（2）①B：100030%300⨯=户1000-100-300-250=350户补全统计图如图所示：（3）因为350100351000⨯=（万户），所以该市100万户家庭中决定不生二胎的家庭数约为35万户．【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．。
《函数的基本性质(函数的奇偶性、对称性、周期性)灵活应用》
备战高考数学“棘手”问题培优专题讲座---函数的基本性质（函数的奇偶性、对称性、周期性）灵活应用一．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x=a+b2对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ， 则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍， 为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． (注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1.已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【分析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12对称，由函数f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )的周期为2，作出函数f (x )的图象即可.【解析】因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以f (1－x )＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 所以 函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝12对称．作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4.【答案】4 二、典型例题1.奇偶性与周期性的综合问题1.已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0； ②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④2. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当(]1,0x ∈-时，()2x f x =，且()1f x +的图像关于原点对称，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B C ．2-D ．【解题思路】根据偶函数及()1f x +的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及()1f x +为奇函数，可得20192f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．解：由题可知函数()f x 的图像关于直线0x =和点()1,0对称，所以函数()f x 的周期为4，则12201933114252222222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 答案:C3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则( )A ．f (－3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<f (2)C ．f (2)<f (－3)<f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3) 解： ∵f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的周期T ＝2．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x －1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，因此f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (－3)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)． 当0 ≤x ≤1时，函数y ＝x 与y ＝1－2e x ＋1均为增函数且都不小于0， 所以f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1在区间[0，1]上是增函数，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)，即f (－3)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)． 答案:D4.（2018年全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.【答案】C点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5. 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝f ⎝⎛⎭⎫1 008＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－3＋1. 答案：D奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6. 已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______ 解：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4. 答案：(－1,4)7. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 又∵当－1≤x ＜0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：18. 若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－76＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76 ＝－316＋sin π6＝516.答案：5169.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解：由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.510.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解：由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1.答案：－111.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f （x ），则f (8)＝________；f (2 015)＝________. 解：由f (x ＋3)＝－1f （x ），得f (x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f (x )， 故函数f (x )是周期为6的周期函数.故f (8)＝f (2)＝15，f (2 015)＝f (6×335＋5)＝f (5)＝－1f （2）＝－115＝－5.答案：15；－513.奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．解：函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，由f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]知f (1)＝1，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (2)＋f (3)＋f (0)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 答案：－114.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________.解：由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45， 又当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95＝lg 59， 故f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：115.设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 答案： 216.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.解：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－1017.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________.解：因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：718.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知， 函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1， 且f (x )是周期为2的周期函数.∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误. 答案：①②1. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1)上单调递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＞b ＝c B.b ＞a ＝c C.b ＞c ＞a D.a ＞c ＞b解：依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0，1)上是增函数， 于是有f ⎝⎛⎭⎫12＞f (0)＝f (2)＝f (3)，即a ＞b ＝c . 答案：A2.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)， 即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数， 那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 解：由题意知f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数， 则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．选A7.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 故选A. 8.已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16解：由题可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2 014)等于( )A.0B.3C.4D.6解：依题意，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，又2014＝4×503＋2，所以f(2014)＝f(2)＝0.故选A.答案：A11.奇函数f(x)的定义域为R. 若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2 B．－1 C．0 D．1解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1. 故选D12.f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )A．4 B．5 C．8 D．10解：由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点。
培优专题(一) 反比例函数比例系数k的几何意义
A．1 C.2
B．32 D．52
图9
三、k 与矩形的面积 9．如图 10，点 A 是双曲线 y＝kx在第二象限分支上的任意一点，点 B，C，D 分别是点 A 关于 x 轴、坐标原点、y 轴的对称点．若四边形 ABCD 的面积是 8， 则 k 的值为( D )
A．－1 C．2
B．1 D．－2
图 10
∴一次函数的表达式为 y＝－x－5.
(2)由y＝4x， y＝－x－5，
解得xy＝＝－－14， 或xy＝＝－－41，，
∴点 P(－1，－4)．
在一次函数 y＝－x－5 中，令 y＝0，
得－x－5＝0，解得 x＝－5，∴A(－5,0)．
∴S△OPQ＝S△OPA－S△OAQ ＝12×5×4－12×5×1
x>0)的图象分别相交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点．若
△ABC 的面积为 4，则 k1－k2 的值为( A )
A．8
B．－8
C.4
D．－4
图6
6．[2018·贵阳]如图 7，过 x 轴上任意一点 P 作 y 轴的平行线，分别与反比例 函数 y＝3x与 y＝－6x的图象交于点 A 和点 B.若 C 为 y 轴上任意一点，连接 AC，BC， 则△ABC 的面积为 4．5 .
S△BCF＝CF2·BC＝43a×2 ka1＝23k1， S△ABE＝AB2·AE＝2a×2－ka2＝－k2. ∵S△BEF＝7， ∴2k1＋23k2－23k1＋k2＝7，
整理，得43k1＋53k2＝7，① ∵k1＋3k2＝0， ∴k2＝－13k1，代入①，得 43k1＋53×－13k1＝7， 解得 k1＝9.
点 O 的对称点)
应用归纳： 一、k 与三角形的面积
石家庄二中八年级数学下册第十九章《一次函数》(培优专题)
一、选择题1．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，AB 的中点为D ．以C 为原点，射线CB 为x 轴的正方向，射线CA 为y 轴的正方向建立平面直角坐标系．P 是BC 上的一个动点，连接AP 、DP ，则AP DP +最小时，点P 的坐标为（ ）．A ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．10,010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,010⎛⎫ ⎪⎝⎭A 解析：A【分析】 作点A 关于x 轴的对称点A'，连接A'P ，则AP=A'P ，当A'，P ，D 在同一直线上时，AP+DP 的最小值等于A'D 的长，依据待定系数法即可得到直线A'D 的解析式，进而得出点P 的坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【详解】解：如图所示，作点A 关于x 轴的对称点A'，连接A'P ，则AP=A'P ，∴AP+DP=A'P+DP ，当A'，P ，D 在同一直线上时，AP+DP 的最小值等于A'D 的长，∵AC=BC=2，AB 的中点为D ，∴A （0，2），B （2，0），D （1，1），A'（0，-2），设直线A'D 的解析式为y=kx+b （k≠0），则12k b b =+⎧⎨-=⎩， 解得：32k b =⎧⎨=-⎩，当y=0时，x=23， ∴点P 的坐标为（23，0）， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了最短路线问题以及等腰直角三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．2．已知关于x ，y 的二元一次方程组(7)2(31)5y k x y k x =--⎧⎨=-+⎩无解，则一次函数32y kx =-的图象不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B 解析：B【分析】先根据二元一次方程组无解，得出k 的值，再利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第一、三、四象限，进而可得出一次函数322y x =-的图象不经过第二象限．【详解】 解：∵(7)2(31)5y k x y k x =--⎧⎨=-+⎩∴（7-k ）x-2=(3k-1)x+5（7-k ）x-(3k-1)x=7(7-k-3k+1)x=7(8-4k)x=7∵二元一次方程组无解∴8-4k=0解得：k=2∴将k=2代入一次函数32y kx =-得322y x =- ∵k=2﹥0，b=32-＜0 ∴一次函数322y x =-的图象不经过第二象限 故选：B本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k ﹥0，b ＜0⇔y ＝kx ＋b 的图象在一、三、四象限”是解题的关键．3．下列一次函数中，y 的值随着x 值的增大而增大的是（ ）A ．–1y x =-B ．0.3y x =C ． 1y x =-+D ．y x =-B 解析：B【分析】一次函数y kx b =+中，当0k >时y 的值随着x 值的增大而增大；当0k <时y 的值随着x 值的增大而减小，据此对各选项进行解答即可．【详解】解：A ．∵y=-x-1中k=-1＜0，∴y 的值随着x 值的增大而减小，故本选项错误； B ．∵y=0.3x 中k=0.3＞0，∴y 的值随着x 值的增大而增大，故本选项正确；C ．∵y=-x+1中k=-1＜0，∴y 的值随着x 值的增大而减小，故本选项错误；D ．∵y=-x 中k=-1＜0，∴y 的值随着x 值的增大而减小，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．4．下表反映的是某地区用电量x （千瓦时）与应交电费y （元）之间的关系：②用电量每增加1千瓦时，应交电费增加0.55元；③若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元；④若所交电费为2.75元，则用电量为6千瓦时，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个B解析：B【分析】根据一次函数的定义，由自变量的值求因变量的值，以及由因变量的值求自变量的值，判断出选项的正确性．【详解】解：通过观察表格发现：每当用电量增加1千瓦时，电费就增加0.55，∴y 是x 的一次函数，故①正确，②正确，设y kx b =+，根据表格，当1x =时，0.55y =，当2x =时， 1.1y =， 0.552 1.1k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得0.550k b =⎧⎨=⎩， ∴0.55y x =，当8x =时，0.558 4.4y =⨯=，故③正确，当 2.75y =时，0.55 2.75x =，解得5x =，故④错误．故选：B ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的实际意义和对应函数值的求解． 5．如图，点A 的坐标为(0，1)，点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰直角ABC ，使∠BAC=90°，如果点B 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y ，那么表示y 与x 的函数关系的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．A解析：A【分析】先作出合适的辅助线，再证明△ADC 和△AOB 的关系，即可建立y 与x 的函数关系，从而确定函数图像．【详解】解：由题意可得：OB=x ，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC ，点C 的纵坐标是y ， 作AD ∥x 轴，作CD ⊥AD 于点D ，如图所示：∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC ，在△OAB 和△DAC 中，AOB ADC OAB DAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OAB ≌△DAC （AAS ），∴OB=CD ，∴CD=x ，∵点C 到x 轴的距离为y ，点D 到x 轴的距离等于点A 到x 的距离1，∴y=x+1（x ＞0）．故选A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，明确题意、建立相应的函数关系式是解答本题的关键． 6．一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，假设轮船触礁后的时间为x 分钟，船舱内积水量为y 吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快，图中的折线表示y 与x 的函数关系，下列说法中：①修船共用了38分钟时间；②修船过程中进水速度是排水速度的3倍；③修船完工后的排水速度是抢修过程中排水速度的4倍；④最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同，其中正确的信息判断是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④D解析：D【分析】 当0≤x≤10时,可求出修船时的进水速度，当10≤x≤26时，可求出修船时的出水速度从而判断①②，当x≥26时，可求出修船后的出水速度，即可判断③，进而可判断④．【详解】有图像可知：第10分钟时，进水速度减小，即第10分钟开始修船，第26分钟时不再进水，即第26分钟停止修船，所以修船共用了16分钟时间，故①错误；当0≤x≤10时，进水速度=40÷10=4（吨/分），当10≤x≤26时，应进水：4×16=64（吨），实际进水：88-40=48（吨），则排水速度=（64-48）÷16=1（吨/分），所以修船过程中进水速度是排水速度的4倍，故②错误；当x≥26时，排水速度=88÷（48-26）=4（吨/分），所以修船完工后的排水速度是抢修过程中排水速度的4倍，故③正确；由当0≤x≤10时，进水速度=40÷10=4（吨/分），x≥26时，排水速度=88÷（48-26）=4（吨/分），可知：最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同，故④正确．故选D【点睛】本题主要考查函数图像，掌握函数图像上点的坐标的实际意义，是解题的关键． 7．某一次函数的图象经过点()1,2，且y 随x 的增大而增大，则这个函数的表达式可能是（ ）A ．24y x =+B ．31y x =-C ．31y x =-+D ．24y x =-+B 解析：B【分析】设一次函数关系式为y kx b =+，y 随x 增大而增大，则0k >；图象经过点(1,2)，可得k 、b 之间的关系式．综合二者取值即可．【详解】解：设一次函数关系式为y kx b =+，图象经过点(1,2)，2k b ∴+=； y 随x 增大而增大，0k ∴>．即k 取正数，满足2k b +=的k 、b 的取值都可以．故选：B ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，为开放性试题，答案不唯一．只要满足条件即可．8．圆的周长公式是2C r π=，那么在这个公式中，关于变量和常量的说法正确的是（ ） A ．2是常量，C 、π、r 是变量B ．2、π是常量，C 、r 是变量 C ．2是常量，r 是变量D ．2是常量，C 、r 是变量B解析：B【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．【详解】解：圆的周长计算公式是c=2πr ，C 和r 是变量，2、π是常量，故选：B ．【点睛】本题主要考查了常量，变量的定义，识记的内容是解题的关键．9．在某大国的技术封锁下，华为公司凭借自身强大的创造力和凝聚力，华为概念指数从年初至今涨幅连连翻倍，比如硕贝德股票涨幅接近200%（如图AB 段），小丽在图片中建立了坐标系，将AB 段看作一次函数y kx b =+图象的一部分，则k ，b 的取值范围是( )A ．0k >，0b <B ．0k >，0b >C ．0k <，0b <D ．0k <，0b >A解析：A【分析】 根据题意和题目中函数图象，可以延长，得到该函数图象经过的象限，从而可以得到k 、b 的正负情况，本题得以解决．【详解】解：由图象可得，该函数经过第一、三、四象限，0k ∴>，0b <，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．10．直线y mx b =+与y kx =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式mx b kx +<的解集为（ ）A ．3x >-B ．3x <-C ．1x >-D ．1x <-C解析：C【分析】 根据图象可得，直线y ＝mx ＋b 与y ＝kx 的交点坐标为（−1，3），所以当x ＞−1时，直线y ＝mx ＋b ，落在直线y ＝kx 的下方，可得关于x 的不等式mx ＋b ＜kx ．即可得结论．【详解】根据图象可知：直线y mx b =+与y kx =的交点坐标为：(1,3)-，则关于x 的不等式mx b kx +<的解集为1x >-．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解决本题的关键是掌握一次函数与一元一次不等式的关系．二、填空题11．已知一次函数y kx b =+与y mx n =+的图象如图所示．（1）写出关于x ，y 的方程组y kx b y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为________． （2）若0kx b mx n <+<+，写出x 的取值范围________．【分析】（1）方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标；（2）不等式的解就是当一次函数的图象在一次函数的图象上方时且两者的函数图象都在x 轴上方时x 的取值范围【详解】解：（1）方程组的解就是一次函数解析：34x y =⎧⎨=⎩35x << 【分析】（1）方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标；（2）不等式的解就是当一次函数y mx n =+的图象在一次函数y kx b =+的图象上方时，且两者的函数图象都在x 轴上方时，x 的取值范围．【详解】解：（1）方程组y kx b y mx n=+⎧⎨=+⎩的解就是一次函数y kx b =+与y mx n =+的交点坐标的横纵坐标，由图知，34x y =⎧⎨=⎩； （2）不等式0kx b mx n <+<+的解就是找到图中一次函数y mx n =+的图象在一次函数y kx b =+的图象上方时，且两者的函数图象都在x 轴上方时，x 的取值范围，由图知，35x <<．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组和不等式的关系，解题的关键是能够理解方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标，以及利用函数图象解不等式的方法．12．直线1:l y kx =与直线2:l y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图形如图所示，两条直线相交于点A ，直线x m =分别与两条直线交于M ，N 两点，若AMN 的面积不小于12时，则m 的取值范围是_______． 或【分析】把点A （12）代入直线方程先求出两条直线的解析式然后求出点MN 的坐标再求出MN 的长度利用三角形的面积公式即可求出答案【详解】解：由图可知点A 为（12）直线与y 轴的交点为（01）把点A （12解析：0m ≤或2m ≥【分析】把点A （1，2）代入直线方程，先求出两条直线的解析式，然后求出点M 、N 的坐标，再求出MN 的长度，利用三角形的面积公式，即可求出答案．【详解】解：由图可知，点A 为（1，2），直线2:l y ax b =+与y 轴的交点为（0，1），把点A （1，2）代入1:l y kx =，则2k =；∴12:l y x =；把点A （1，2）和点（0，1）代入2:l y ax b =+，21a b b +=⎧⎨=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩； ∴2:1=+l y x ；把x m =分别代入两条直线方程，则12y m =，21y m =+，∴点M 的坐标为（m ，2m ），点N 的坐标为（m ，m+1）， ∴2(1)1MN m m m =-+=-，∴△AMN 边MN 上的高为：1m - ∵1112AMN S m m ∆=•-•-， 当AMN 的面积等于12时，则 211111(1)222AMN S m m m ∆=•-•-=-=， ∴2m =或0m =， 结合AMN 的面积不小于12， ∴0m ≤或2m ≥；故答案为：0m ≤或2m ≥．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式，求一次函数的解析式，解题的关键是正确的理解题意，掌握一次函数的性质进行解题．13．如图所示的平面直角坐标系中，点A 坐标为（2，2），点B 坐标为（﹣1，1），在x 轴上有点P ，使得AP+BP 最小，则点P 的坐标为_____．（00）【分析】先作点B 关于x 轴的对称点C 再连接AC求出AC 的函数解析式再把y=0代入即可【详解】解：如图作点B 关于x 轴的对称点C 再连接AC 点B 坐标为（﹣11）点B 关于x 轴的对称点C 的坐标为（-1- 解析：（0,0）【分析】先作点B 关于x 轴的对称点C ，再连接AC ，求出AC 的函数解析式，再把y=0代入即可．【详解】解：如图，作点B 关于x 轴的对称点C ，再连接AC ，点B 坐标为（﹣1，1），∴点B 关于x 轴的对称点C 的坐标为（-1，-1），在x 轴上有点P ，∴线段BP 和CP 关于x 轴对称，∴BP=CP ，∴AP+BP= CP+AP ，当AP+BP 取最小值时，最小值即为线段AC 的长，点A 坐标为（2，2），设直线AC 的方程为：y=kx+b ，∴代入A 、C 的坐标，221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得10k b =⎧⎨=⎩， ∴AC l y x =：，点P 的纵坐标为0，代入y=0，∴x=0，∴点P 的坐标为（0,0），故答案为：（0,0）．【点睛】此题主要考查最短路线问题，综合运用了一次函数的知识，熟练掌握最短路线问题的求解方法是解题的关键．14．如图，一个直角三角形与一个正方形在同一水平线上，此三角形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x ，三角形与正方形重叠部分的面积为y ，在下面的平面直角坐标系中，线段AB 表示的是三角形在正方形内部移动的面积图象，C 点表示的是停止运动后图象的结束点，下面有三种补全图象方案，正确的方案是______．①②③乙【分析】由题意可知三角形没全进入正方形之前重叠部分为直角三角形当三角形即将出正方形之后重叠部分为直角梯形利用面积公式求出两个图形的面积即可判断其图象【详解】设直角三角形的底为a 高为b 运行速度为v 由解析：乙【分析】由题意可知三角形没全进入正方形之前，重叠部分为直角三角形．当三角形即将出正方形之后，重叠部分为直角梯形．利用面积公式求出两个图形的面积即可判断其图象．【详解】设直角三角形的底为a ，高为b ，运行速度为v ．由题意可知当三角形没全进入正方形之前，重叠部分为与原三角形相似的直角三角形． ∵重叠部分的直角三角形的底为vx ，∴根据三角形相似，可知：vx a b =重叠直角三角形的高 ， 即重叠直角三角形的高=bvx a， ∴22122bvx bv y vx x a a==， ∵a ， b ， v 都为常数且大于0，∴222bv y x a =是一个开口向上的曲线． 当三角形即将出正方形之后，重叠部分为去掉与原三角形相似的直角三角形的直角梯形． 设正方形边长为l ，则该梯形的高为()l vx a --，下底为b ，根据三角形相似可知：vx l b a -=梯形上底， 即梯形上底()b vx l a -=， ∴[]1()()2b vx l y b l vx a a -⎡⎤=⨯+⨯--⎢⎥⎣⎦． ∵a ， b ， v ，l 都为常数且大于0，∴[]1()()2b vx l y b l vx a a -⎡⎤=⨯+⨯--⎢⎥⎣⎦中2x 项的系数为202bv a-<， ∴[]1()()2b vx l y b l vx a a -⎡⎤=⨯+⨯--⎢⎥⎣⎦是一个开口向下的曲线． ∴只有乙符合．故答案为：乙．【点睛】本题考查动点问题的函数图象．理解三角形运动过程中的分界点，利用三角形和梯形的面积公式列出关于x 的方程来判断其图象是解题关键．15．如图，直线l 是一次函数y kx b =+的图象，若点()4,A m 在直线l 上，则m 的值是____．3【分析】观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法可求出直线的函数关系式再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出的值【详解】解：将代入得：解得：直线的函数关系式为当时故答案为：3【点睛】本题考查了一次解析：3【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出直线l 的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出m 的值．【详解】解：将(2,0)-，(0,1)代入y kx b =+，得：201k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得：121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线l 的函数关系式为112y x =+． 当4x =时，14132m =⨯+=． 故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、函数图象以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．16．已知：一次函数()21y a x =-+的图象不经过第三象限，化简=_________．【分析】首先根据一次函数y=（a-2）x+1的图象不经过第三象限可得a-2＜0进而得到a ＜2再根据二次根式的性质进行计算即可【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限∴解得：故答案为：【点睛】本题考解析：52a -【分析】首先根据一次函数y=（a-2）x+1的图象不经过第三象限，可得a-2＜0，进而得到a ＜2，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵一次函数()21y a x =-+的图象不经过第三象限，∴20a -<，解得：2a <，=23a a =-+-23a a =-+-52a =-，故答案为：52a -．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，以及二次根式的化简，关键是掌握：①k ＞0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；②k ＞0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．17．如图，直线y＝﹣43x+8与x轴、y轴分别交于点A、B，∠BAO的角平分线与y轴交于点M，则OM的长为_____．3【分析】过点M作MH⊥AB于H利用AAS可证△AHM≌△AOM则由全等三角形的性质可得AH＝AOHM＝OM根据一次函数的解析式可分别求出直线y＝﹣x+8与两坐标轴的交点坐标并得OAOB的长由勾股定解析：3【分析】过点M作MH⊥AB于H，利用AAS可证△AHM≌△AOM，则由全等三角形的性质可得AH＝AO，HM＝OM．根据一次函数的解析式可分别求出直线y＝﹣43x+8与两坐标轴的交点坐标，并得OA、OB的长，由勾股定理可求AB．最后在Rt△BMH中利用勾股定理即可求解OM的长．【详解】解：如图，过点M作MH⊥AB于H，∴∠BHM＝∠AHM＝90°＝∠AOM．∵AM平分∠BOA，∴∠HAM＝∠OAM．在△AHM和△AOM中，AHM AOM HAM OAM AM AM ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△AHM ≌△AOM （AAS ）．∴AH ＝AO ，HM ＝OM ．将x ＝0代入y ＝﹣43x +8中，解得y ＝8， 将y ＝0代入y ＝﹣43x +8中，解得x ＝6， ∴A （6，0），B （0，8）．即OA ＝6，OB ＝8．∴AB＝10．∵AH ＝AO ＝6，∴BH ＝AB －AH ＝4．设HM ＝OM ＝x ，则MB ＝8－x ，在Rt △BMH 中，BH 2＋HM 2＝MB 2，即42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3．∴OM ＝3．故答案为：3．【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的性质并能利用辅助线构造全等三角形与直角三角形模型是解本题的关键．18．请写出一个符合下列要求的一次函数的表达式：_______．①函数值y 随自变量x 增大而增大；②函数的图像经过第二象限．（答案不唯一保证即可）【分析】根据题意和一次函数的性质可以写出符合要求的一个一次函数本题得以解决【详解】解：∵一次函数的函数值y 随自变量x 增大而增大∴k ＞0∵函数的图象经过第二象限∴b ＞0∴符合下列解析：23y x =+（答案不唯一，保证0k >，0b >即可）【分析】根据题意和一次函数的性质，可以写出符合要求的一个一次函数，本题得以解决．【详解】解：∵一次函数的函数值y 随自变量x 增大而增大，∴k ＞0，∵函数的图象经过第二象限，∴b ＞0，∴符合下列要求的一次函数的表达式可以是23y x =+，故答案为：23y x =+（答案不唯一）．【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 19．在学校，每一位同学都对应着一个学籍号，在数学中也有一些对应．现定义一种对应关系f ，使得数对(),x y 和数z 是对应的，此时把这种关系记作：(),f x y z =．对于任意的数m ，n （m n >），对应关系f 由如表给出：如：1,2213f =+=，2,1211f =-=，1,11f --=-，则使等式()12,32f x x +=成立的x 的值是___________．-1【分析】根据对应关系f 分三种情况求出x 的取值范围以及相应的x 的值再作出判断即可【详解】解：①若1+2x=3x 即x=1则3x=2解得x=（不符合题意舍去）；②若1+2x ＞3x 即x ＜1则1+2x-3解析：-1．【分析】根据对应关系f ，分三种情况求出x 的取值范围以及相应的x 的值，再作出判断即可．【详解】解：①若1+2x=3x ，即x=1，则3x=2，解得x=23，（不符合题意，舍去）； ②若1+2x ＞3x ，即x ＜1，则1+2x-3x=2，解得x=-1，③若1+2x ＜3x ，即x ＞1，则1+2x+3x=2， 解得x=15（不符合题意，舍去）， 综上所述，x 的值是-1．故答案为：-1．【点睛】 本题考查了一元一次不等式及一元一次方程的应用，函数的概念，理解新定义的运算方法是解题的关键，难点在于分情况讨论．20．已知一次函数y ＝ax ＋6，当－2≤x≤3时，总有y ＞4，则a 的取值范围为______．或【分析】分当时和当时两种情况讨论根据函数的增减性以及y ＞4即可求得a 的取值范围【详解】解：当时一次函数y ＝ax ＋6y 随x 增大而减小在x=3时取得最小值此时解得此时；当时一次函数y ＝ax ＋6y 随x 增解析：01a <<或203a <<－【分析】分当0a <时和当0a >时两种情况讨论，根据函数的增减性以及y ＞4即可求得a 的取值范围．【详解】解：当0a <时，一次函数y ＝ax ＋6，y 随x 增大而减小，在x=3时取得最小值， 此时364a +>，解得23a >-，此时203a <<－； 当0a >时，一次函数y ＝ax ＋6，y 随x 增大而增大，在x=-2时取得最小值， 此时264a -+>，解得1a <，此时01a <<；综上所述，01a <<或203a <<－． 故答案为：01a <<或203a <<－． 【点睛】本题考查一次函数的增减性，一次函数与一元一次不等式．能分类讨论是解题关键． 三、解答题21．要从甲、乙两仓库向A 、B 两工地运送水泥．已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；A 工地需要70吨水泥，B 工地需要110吨水泥．两仓库到A 、B 两工地的路程和每吨每千米的运费如下表：B 地水泥__________吨；乙仓库运往A 地水泥________吨，乙仓库运往B 地水泥_______吨．（2）试用x 的代数式表示总运费．（3）总运费能达到3695元吗？若能，求出此时甲仓库应运往A 地多少吨水泥；若不能，说明理由．解析：（1）100x -，70x -，10x +；（2）33920y x =-+；（3）能，75吨【分析】（1）用甲仓库一共可运出的100吨水泥减去x 得到甲仓库运往B 地的水泥吨数，用A 工地需要的水泥减去x 得到乙仓库运往A 工地的水泥吨数，用同样的方法得到乙仓库运往B 地的水泥吨数；（2）设总运费是y 元，根据表格中的距离和运费列出总费用的表达式；（3）令（2）中的3695y =，解出x 的值即可．【详解】解：（1）设甲仓库运往A 地水泥x 吨，则甲仓库运往B 地水泥()100x -吨； 乙仓库运往A 地水泥()70x -吨，乙仓库运往B 地水泥()110100x --⎡⎤⎣⎦吨故答案是：100x -，70x -，10x +；（2）设总运费是y 元，()()()1.220125100 1.215700.82010y x x x x =⨯+⨯-+⨯-+⨯+，整理得：33920y x =-+；（3）令3695y =，则339203695x -+=，解得75x =，答：可以，此时甲仓库应运往A 地75吨水泥．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式进行求解． 22．如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点()0,2B ，与正比例函数32y x =的图象交于点()4,C c ． （1）求k 和b 的值． （2）如图1，点P 是y 轴上一个动点，当PA PC -最大时，求点P 的坐标．（3）如图2，设动点D ，E 都在x 轴上运动，且2DE =，分别连结BD ，CE ，当四边形BDEC 的周长取最小值时直接写出点D 和E 的坐标．解析：（1）1k =，2b =；（2）()0,6P ；（3）5,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，1,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）将C 的坐标代入正比例函数中，求出点C 坐标，进而用待定系数法即可得出结论； （2）利用三角形的两边之差小于第三边，判断出点P 是直线PC'和y 轴的交点，即可得出结论；（3）先判断出点D 的位置，先求出点G 的坐标，进而得出点F 的坐标，利用待定系数法求出直线BF 解析式即可得出结论．【详解】解：（1）把点C （4，c ）代入32y x =， 解得：c=6，则点C （4，6）， ∵一次函数交y 轴于点B （0，2），∴函数表达式为：y=kx+2，把点C 坐标代入上式，解得：k=1，故：k=1，b=2，（2）如图，作A 关于y 轴的对称点A '，连接CA '交y 轴于P 点， 此时PA PC -最大，()2,0A '，PA PA '=，设A C '的解析式为y ax m =+，将()4,6C ，()2,0A '代入得4620a m a m +=⎧⎨+=⎩，解得36a m =⎧⎨=-⎩， ∴36CA y x '=-PA PC PA PC CA --'=='，∴()0,6P -．（3）以下各点的坐标分别为：B （0，2），C （4，6），过点C 作CG ∥DE ，使GC=DE ，则：四边形DECG为平行四边形，作点G作关于x轴的对称点F，连接BF，交x轴于D，点D即为所求点，则点G坐标为（2，6），点F坐标为（2，-6），则：DF=DG=EC，DB+CE=BD+DG=BD+DF=BF，即：BD+CE最小，而：DE、BC长度为常数，故：在图示位置时，四边形BDEC的周长取最小值，把点B、F点坐标代入一次函数表达式：y=nx+b′，解得：BF所在的直线表达式为：y=-4x+2，令：y=0，则x=12，则点D和E的坐标分别为（12，0）、（52，0），【点睛】此题为一次函数综合题，其中（3）的核心是确定点D的位置，考查了学生综合运用所学知识的能力．23．已知点（2，﹣4）在正比例函数y＝kx的图象上．（1）求k的值；（2）若点（﹣1，m）也在此函数y＝kx的图象上，试求m的值．解析：（1）-2；（2）2【分析】（1）结合点（2，-4）在正比例函数y＝kx的图象上，根据正比例函数的性质，列方程并求解，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，得到正比例函数的解析式；结合题意，通过计算即可得到答案．【详解】（1）∵点（2，-4）在正比例函数y＝kx的图象上∴-4＝2k解得：k＝-2；（2）结合（1）的结论得：正比例函数的解析式为y＝-2x∵点（-1，m）在函数y＝-2x的图象上∴当x＝-1时，m＝-2×（-1）＝2．【点睛】本题考查了正比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、坐标的性质，从而完成求解．24．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为1y千米，出租车离甲地的距离为2y千米，两车行驶的时间为x小时，12,y y关于x的图象如图所示：（1）客车的速度是千米/小时，出租车的速度是千米小时：（2）根据图象，分别直接写出12,y y关于x的关系式；（3）求两车相遇的时间；（4）x 为何值时，两车相距100千米．解析：（1）60，100；（2）y 1=60x （0≤x≤10），y 2=-100x+600（0≤x≤6）；（3）两车相遇的时间为154小时；（4）258小时或358小时． 【分析】（1）根据速度=路程÷时间，列式进行计算即可得解；（2）根据两函数图象经过的点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （3）由12y y =列出方程，求出即可；（4）由两车相距100千米，可得|y 1-y 2|=100，即可求解．【详解】解：（1）由图可知，甲乙两地间的距离为600km ，所以，客车速度=600÷10=60（km/h ），出租车速度=600÷6=100（km/h ），故答案为：60，100；（2）设客车的函数关系式为y 1=k 1x ，则10k 1=600，解得k 1=60，所以，y 1=60x （0≤x≤10），设出租车的函数关系式为y 2=k 2x+b ，则206600k b b +⎧⎨=⎩＝， 解得2100600k b =-⎧⎨=⎩， 所以，y 2=-100x+600（0≤x≤6），故答案为：y 1=60x （0≤x≤10），y 2=-100x+600（0≤x≤6）；（3）当出租车与客车相遇时，60x=-100x+600，解得x=154． 所以两车相遇的时间为154小时； （4）由题意可得：|-100x+600-60x|=100，∴x=258或358， 答：x 为258小时或358小时，两车相距100千米． 【点睛】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．25．在平面直角坐标系中，()1,5C -，()3,1D -，经过原点的直线m 上有一点()3,2，平移线段CD ，对应线段为EF （C 对应E ），若点E 、F 分别恰好在直线m 和x 轴上，则E 点坐标为_______．解析：()6,4--或()6,4 【分析】先求出直线m 的解析式为23y x =，由题意得：C ，D ，E ，F 构成以CD 为边的平行四边形，再分以CE 是平行四边形对角线时和以CF 为平行四边形对角线时分别求解即可．【详解】设m 的解析式为：y kx =，把()3,2代入得：23k =， m ∴的解析式为：23y x =， 由题意得：C ，D ，E ，F 构成以CD 为边的平行四边形，设2,3E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0F b ， 则①以1CE 为平行四边形对角线时，由中点坐标公式可得1111C E D F CE DF x x x x y y y y +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 即1325103a b a -+=-+⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 解得：64a b =-⎧⎨=-⎩， 即()16,4E --；②以2CF 为平行四边形对角线时，同理可得1325013b a a -+=-+⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 解得64a b =⎧⎨=⎩， 即()26,4E ，综上所述：()16,4E --或()26,4E ．故答案为：()6,4--或()6,4．【点睛】本题考查坐标与图形变化−平移，解题的关键是理解题意，利用一次函数与平行四边形的性质进行求解．26．如图，直线1l ：1y x =+与直线2l ：2y x n =-+相交于点()1,P b ．（1）求点P 的坐标；。
培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)高一数学同步教学题型(人教A版2019必修第一册)
培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x=-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【分析】（1）由题意可得0c =，再代入(1)()21f x f x x +-=-到2()(0)f x ax bx a =+≠，化简可求出,a b ，从而可求出()f x 的解析式.（2）求出抛物线的对称轴，然后分1,21t t ≥+≤和11t t <<+三种情况求解函数的最小值.【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数()f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．(3)若()f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；(2)当函数()f x 的定义域是[,1]t t +时，求函数()f x 的最大值()g t .【例4】已知函数()f x 为二次函数，不等式()0f x >的解集是()1,5，且()f x 在区间[1,4]-上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为()g t ，求()g t 的表达式.【答案】(1)()265f x x x =-+-(2)()224,24,2365,3t t tg t t t t t ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪-+-≥⎩【分析】（1）根据题意，设()()1(5)f x a x x =--，可得函数的对称轴3x =，再根据函数在[]1,4-上的最小值，求出a ，可得函数()f x 数的表达式；（2）分13t + 时、3t 时和23t <<时三种情况，分别讨论函数的单调性，可得相应情况下函数的最大值，最后综合可得()g t 的表达式．。
一次函数的性质与应用问题(真题5道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】
专题11一次函数的性质与应用问题（北京真题5道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢考点考查年份考查频率一次函数的性质与应用问题（大题）2016.2019.2020.2021.2022 5年4考1.一次函数综合题（1）一次函数与方程、不等式之间的关系：利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与x轴和y 轴交点、不等式的解集、一次函数的平移、参数的确定等、（2）一次函数与几何图形的面积问题:首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（3）一次函数的优化问题:通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（4）用函数图象解决实际问题:从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．2.一次函数的应用（1）分段函数问题：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．（2）函数的多变量问题：解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．（3）常见题型：行程问题、表格问题、图象问题、最大利润问题、方案问题常用的解题思路：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(4,3)，(−2,0)，且与y轴交于点A．(1)求该函数的解析式及点A的坐标；(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．x 【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m 的取值范围．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2016·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(−6,0)的直线l1与直线l2:y=2x相交于点B(m,4)．（1）求直线l1的表达式；（2）过动点P(n,0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，写出n的取值范围．2．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+1(k≠0)与直线x=k，直线y=−k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=−k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；①若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．3.（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1，2)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京房山·二模）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=ax+b(a≠0)经过点A（1，2），与x轴交于点B（3，0）．(1)求该直线的解析式；(2)过动点P(0，n)且垂直于y轴的直线与直线l交于点C，若PC≥AB，直接写出n的取值范围．2．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，且经过点（2，2）．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．(k≠0)经过点A(2,−1)，直线l：3．（2022·北京东城·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kxy=−2x+b经过点B(2,−2)．(1)求k,b的值；(k≠0)交于点C，与直线l交于点D．(2)过点P(n,0)(n>0)作垂直于x轴的直线，与双曲线y=kx①当n=2时，判断CD与CP的数量关系；①当CD≤CP时，结合图象，直接写出n的取值范围．4．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=−x的图象平移得到，且经过点(1,1)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．5．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象向下平移4个单位长度得到．(1)求这个一次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A，函数y=mx(m<0)的图象与一次函数y=kx+b的图象的交点为B，记线段OA，AB，BO围成的区域（不含边界）为W，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若区域W内恰有2个整点，直接写出m的取值范围．6．（2022·北京密云·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,−3)和点B(5,2)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x≥2时，对于x的每一个值，函数y=mx+2(m≠0)的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m 的取值范围．7．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b的图象与x轴交于点(4,0)，且与的图象在第四象限的交点为(n,−1)．反比例函数y=mx(1)求b，m的值；<y p<4，连接OP，结合函数图象，直(2)点P(x p,y p)是一次函数y=−x+b图象上的一个动点，且满足m xp接写出OP长的取值范围．x平移8．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12得到，且过点(0,−1)．(1)求这个一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式；(2)当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx+1的值大于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，求m的取值范围．9．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．10．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)与直线y=x平行，且过点(2,1)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)直线y=kx+b(k≠0)分别交x，y轴于点A，点B，若点C为x轴上一点，且S△ABC=2，直接写出点C的坐标．x，11．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象平行于直线y=12且经过点A(2,2)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x<2时，对于x的每一个值，一次函数y=kx+b(k≠0)的值大于一次函数y=mx−1(m≠0)的值，直接写出m的取值范围．x+b与直线l2:y=2x交于点A(m,n)．12．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=12(1)当m=2时，求n，b的值；(2)过动点P(t,0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别是C，D．当t≤1时，点C位于点D上方，直接写出b的取值范围．13．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1,2)，Q(−2,2)，函数y=mx．(1)当函数y=mx的图象经过点Q时，求m的值并画出直线y=－x－m．(2)若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组{y>mxy<−x−m（m<0），求m的取值范围．14．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，1）．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．15．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)，B(3,m)．(1)如果点A，B均在反比例函数y1=k的图象上，求m的值；x(2)如果点A，B均在一次函数y2=ax+b的图象上，①当m=2时，求该一次函数的表达式；①当x≥3时，如果不等式mx−1>ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．(k≠0)的两个交点分别为16．（2022·北京一七一中一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y=kxA(−3,−1)，B(1,m).(1)求k和m的值；(2)求直线l的解析式；(k≠0)于点Q.当点Q位于点P的左侧时，(3)点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y=kx求点P的纵坐标n的取值范围.17．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数x的图象向上平移3个单位长度得到．y=12(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．18．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（0，2）．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．19．（2022·北京门头沟·一模）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P到原点O的距离为a，点M到点P的距离是a的整数倍，那么点M就是点P的k倍关联点．(1)当点P1的坐标为(−1.5,0)时，①如果点P1的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是；①如果点M(x，y)是点P1的k倍关联点，且满足x=−1.5，−3≤y≤5．那么k的最大值为________；(2)如果点P2的坐标为(1,0)，且在函数y=−x+b的图象上存在P2的2倍关联点，求b的取值范围．20．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:y≡kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．(1)如图1，⊙O的半径为1，当k=1,b=1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；(2)点M的坐标为(1,0)，√5，求k的取值范围；①如图2，若⊙M的半径为1，当b=1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于45①如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．21．（2022·北京房山·一模）如图1，一次函数y=kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点C（2，m）．(1)当m=9时，求一次函数的解析式并求出点A的坐标；2(2)当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=x的值大于一次函数y=kx+4k（k≠0）的值，求k的取值范围．22．（2022·北京房山·一模）如图1，①I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交①I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为①I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为①I关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的①O与两坐标轴交于点A，B，C，D．①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则①O关于直线m的“远点”是点__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），①O关于直线m的“特征数”为_____________；①若直线n的函数表达式为y=√3x+4，求①O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√3为半径作①F．若①F与直线l相离，点N（–1，0）是①F关于直线l的“远点”，且①F关于直线l的“特征数”是6√6，直接写出直线l的函数解析式．23．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|；若|x1−x2|<|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1−y2|．,0)，B为y轴上的一个动点，(1)已知点A(−12①若点A与点B的“非常距离”为4，直接写出点B的坐标：；①求点A与点B的“非常距离”的最小值；x+2上的一个动点，(2)已知C是直线y=12①若点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；①若点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．24．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；①设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．(k>0)的图象交于A，B 25．（2022·北京通州·一模）已知一次函数y1=2x+m的图象与反比例函数y2=kx两点．(1)当点A的坐标为(2,1)时．①求m，k的值；①当x>2时，y1______y2（填“>”“=”或“<”）．(2)将一次函数y1=2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，使得点A，B关于原点对称，求m的值26．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=kx+b与坐标轴分别交于A(2,0)，B(0,4)两点．将直线l1在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线l2:y=m(x−4)(m≠0)分别交于点C，D．(1)求k，b的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．①当m=1时，区域W内有______个整点；①若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．27．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．28．（2022·北京十一学校一分校一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=k的图象与直线y＝mx交于点Ax（2，2）．(1)求k，m的值；(2)点P的横坐标为n，且在直线y＝mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交函数y=k（xx＞0）的图象于点N．①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由；①若0<PN≤3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．29．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x1,y1)，给出如下定义：当点Q(x2,y2)满足x1+x2=y1+y2时，称点Q是点P的等和点．已知点P(2,0)．(1)在Q1(0,2)，Q2(−2,−1)，Q3(1,3)中，点P的等和点有______；(2)点A在直线y=−x+4上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；(3)已知点B(b,0)和线段MN，对于所有满足BC=1的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的取值范围．30．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝ax（a≠0）过点A（﹣2，1），直线l2：y＝mx+n过点B（﹣1，3）．(1)求直线l的解析式；(2)用含m的代数式表示n；(3)当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝ax的值小于函数y＝mx+n的值，求m的取值范围．。
专题一 培优点1 切线放缩
所 以 G(x) 在 ( － ∞ ， 0) 上 单 调 递 减 ， 在 (0 ， ＋ ∞) 上 单 调 递 增 ， 所 以 G(x)≥G(0)＝0， 所以f(x)≥t(x)恒成立，所以f(x2)≥t(x2)， 设t(x)＝m的根为x4，则x4＝m， 又函数t(x)单调递增， 且m＝t(x4)＝f(x2)≥t(x2)，所以x4≥x2， 所以 x2－x1≤x4－x3＝m－－1＋1e－me
则 F′(x)＝(x＋2)ex－1e， 令 m(x)＝F′(x)＝(x＋2)ex－1e， 则m′(x)＝(x＋3)ex， 所以当x<－3时，m′(x)<0； 当x>－3时，m′(x)>0， 所以F′(x)在(－∞，－3)上单调递减， 在(－3，＋∞)上单调递增，
当 x→－∞时，F′(x)→－1e，又 F′(－1)＝0， 所以当x<－1时，F′(x)<0，F(x)单调递减； 当x>－1时，F′(x)>0，F(x)单调递增， 所以F(x)≥F(－1)＝0，所以f(x)≥h(x)恒成立，则f(x1)≥h(x1)， 设 h(x)＝m 的根为 x3，则 x3＝－1＋1e－me， 又h(x)单调递减， 且m＝h(x3)＝f(x1)≥h(x1)，
培优点1 专题一 函数与导数 切线放缩
专题一 函数与导数
在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用 常规方法求解，也可以用切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实 用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律，更能使 问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果.
规 该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两
律
方 个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入 法 一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递
专题01 反比例函数的图像和性质(专项培优训练)教师版
专题01 反比例函数的图像和性质（专项培优训练）满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.46试卷说明：本套试卷结合人教版数学九年级下册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2分）（2023秋•香坊区校级期中）在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）A．k＞3B．k＞0C．k≥3D．k＜3解：∵在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，∴3﹣k＞0，∴k＜3．故选：D．2．（2分）（2023秋•九龙坡区校级月考）反比例函数的图象经过点A（2，﹣4），则当x＝﹣2时，y的值为（ ）A．﹣4B．C．D．4解：因为反比例函数的图象是双曲线，且关于坐标原点成中心对称，又点A（2，﹣4）在反比例函数的图象上，所以点A关于坐标原点的对称点也在该反比例函数的图象上．又点A关于坐标原点的对称点的坐标为（﹣2，4），即x＝﹣2时，y＝4．故选：D．3．（2分）（2023•任丘市二模）如图，把函数和函数的图象画在同一平面直角坐标系中，则坐标系的原点可能是（ ）A．点M B．点N C．点P D．点Q解：在函数和函数的中，∵1＞0，﹣2＜0，∴函数的图象在第三象限，函数的图象在第二象限，∵|﹣2|＞|1|，∴当x取相同的值时，的图象更靠近坐标轴，∴坐标系的原点可能是Q．故选：D．4．（2分）（2023春•德化县期中）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）A．点（﹣2，1）在它的图象上B．它的图象在第二，第四象限C．图象关于原点对称D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2解：反比例函数的关系式为：y＝﹣，即xy＝﹣2，点（﹣2，1）坐标满足关系式，因此A选项不符合题意；由于k＝﹣2，因此图象位于第二，第四象限，因此B不符合题意；根据反比例函数的对称性，图象关于原点对称，因此C选项不符合题意；若点A（x1，y1），B（x2，y2）不在同一象限，由x1＜x2，得出y1＞y2，因此D选项符合题意．故选：D．5．（2分）（2023•长兴县二模）运用你学习函数的经验，判断下列哪个函数的图象如图所示（ ）A．B．y＝C．D．解：选项A中的函数y＝的x不能等于﹣1，与题干中的图象不符，故选项A不符合题意；选项B中的函数y＝的x不能等于﹣1，与题干中的图象不符，故选项B不符合题意；选项C中的函数y＝的图象与题干中的图象相符，故选项C符合题意；选项D中的函数y＝的x不能等于﹣1，与题干中的图象不符，故选项D不符合题意；故选：C．6．（2分）（2023•武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）A．图象位于第二、四象限B．图象与坐标轴有公共点C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小D．图象经过点（a，a+2），则a＝1解：反比例函数，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，B选项错误；反比例函数，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，故C选项正确；反比例函数图象经过点（a，a+2），∴a（a+2）＝3，解得a＝1或a＝﹣3，故D选项错误，故选：C．7．（2分）（2023•奉贤区二模）下列函数图象中，可能是反比例函数的图象的是（ ）A．B．C ．D ．解：∵中，k ＝6＞0，∴该函数图象在第一、第三象限，故选：C ．8．（2分）（2022秋•梁山县期末）如图，A （0，1），B （1，5）曲线BC 是双曲线的一部分．曲线AB 与BC 组成图形G ．由点C 开始不断重复图形G 形成一条“波浪线“．若点P （2025，m ），Q （x ，n ）在该“波浪线上，则m 的值及n 的最大值为（ ）A ．m ＝1，n ＝1B ．m ＝5，n ＝1C ．m ＝1，n ＝5D ．m ＝1，n ＝4解：∵B （1，5）在y ＝的图象上．∴k ＝1×5＝5．当x ＝5时，y ＝＝1．∴C （5，1）．又因为2025÷5＝405．∴m ＝1．∵Q （x ，n ）在该“波浪线”上．∴n 的最大值是5．故选：C ．9．（2分）（2023秋•洪江市校级月考）下列反比例函数图象一定在二、四象限的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A．反比例函数中﹣k不一定小于零，故A选项不符合题意；B．反比例函数中﹣（k+1）不一定小于零，故B选项不符合题意；C．反比例函数中﹣（k2+1）一定小于零，故C选项符合题意；D．反比例函数中﹣（k﹣1）不一定小于零，故D选项不符合题意；故选：C．10．（2分）（2021秋•房县期末）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2＝10π．解得：r＝2．∵点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝（k＜0）与⊙O的一个交点．∴﹣2a2＝k且＝r．∴a2＝8．∴k＝﹣2×8＝﹣16，则反比例函数的解析式是：y＝﹣．故选：D．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.11．（2分）（2023•北京二模）反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象如图所示，已知点A的坐标为（3，1），写出一个满足条件的k的值 2（答案不唯一） ．解：假设点A（3，1）在反比例函数第一象限的图象上，则，∴k＝3，但是点A在反比例函数（k≠0）第一象限的图象上方，∴0＜k＜3，∴满足条件的k的值可以是2．故答案为：2（答案不唯一）．12．（2分）（2023春•姑苏区校级期末）若反比例函数y＝（m+1）的图象在每个象限内随着x的增大而增大，则m的值为 ﹣2 ．解：∵反比例函数y＝（m+1）的图象在每个象限内随着x的增大而增大，∴m+1＜0且3﹣m2＝﹣1，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．13．（2分）（2023•武功县模拟）已知反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，且当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k的值为 ﹣6 ．解：∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，∴k＜0，∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，∴，解得：k＝﹣6．故答案为：﹣6．14．（2分）（2023秋•洪江市校级月考）若反比例函数y＝的图象不经过第一象限，则k的取值范围是 k＞ ．解：∵反比例函数y＝的图象不经过第一象限，∴反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，∴1﹣3k＜0，∴k＞，故答案为：k＞．15．（2分）（2023春•广陵区月考）已知反比例函数y＝图象位于一、三象限，则m的取值范围是 m＞﹣6 ．解：∵反比例函数图象位于一、三象限，∴m+6＞0，解得：m＞﹣6．故答案为：m＞﹣6．16．（2分）（2023•开阳县模拟）反比例函数y＝的图象分布情况如图所示，则k的值可以是 0（答案不唯一） ．（写出一个符合条件的k值即可）解：由反比例函数y＝的图象位于第二，四象限可知，k﹣1＜0，∴k＜1，∴k的值可以是0，故答案为：0（答案不唯一）．17．（2分）（2022秋•鹤山市期末）已知反比例函数y＝的图象在第二、第四象限，则m的取值范围是 m ＜﹣7 ．解：∵反比例函数y＝的图象在第二、第四象限，∴m+7＜0，即m＜﹣7．故答案为：m＜﹣7．18．（2分）（2022秋•永丰县期末）反比例函数y＝（x＞0）的图象中，函数值y随着x的增大而减小，则m的取值范围是 m＞1 ．解：∵反比例函数y＝（x＞0）的图象中，函数值y随着x的增大而减小，∴m﹣1＞0，∴m＞1，故答案为m＞1．19．（2分）（2023春•灌云县期末）若反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 m ＞ ．解：∵反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，∴2m﹣3＞0，解得m＞．故答案为：m＞．20．（2分）（2022•衢州二模）如图，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，AO＝AB，函数y＝（x＞0）的图象分别交AO，AB于点C，D，若OC＝3，BD＝1，则OA的长为 5 ；当OD⊥AB时，k的值为 ．解：如图，过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，过点A作AG⊥OB于点G，设OB＝m，∴CE ∥DF ∥AG ，OG ＝BG ＝m ．∴∠OEC ＝∠BFD ＝90°，∵AO ＝AB ，∴∠AOB ＝∠ABO ，∴△COE ∽△DBF ，∴＝＝＝3．设C （a ，b ），∴OE ＝a ，CE ＝b ，∴BF ＝a ，DF ＝b ，∴D （m ﹣a ，b ），∵反比例函数y ＝（x ＞0）的图象分别交边AO ，AB 于点C ，D ，∴k ＝ab ＝（m ﹣a ）•b ，解得a ＝m ，∴EG ＝m ﹣m ＝m ，BF ＝a ＝m ，∴OF ＝m ﹣m ＝m ．∵CE ∥AG ，∴OC ：OA ＝CE ：AG ＝OE ：OG ，即3：OA ＝m ：m ，∴OA ＝5．若OD ⊥AB ，则∠ODB ＝90°．由射影定理可得DF 2＝OF •BF ．∴b 2＝m •m ＝m 2，即b ＝m ，在Rt△OCE中，由勾股定理可得，OE2+CE2＝OC2，∴（m）2+（m）2＝32，整理得m2＝10．∴k＝ab＝m2＝．故答案为：5；．三、解答题：本大题共8小题，21-22题每小题6分，23-28题每小题8分，共60分．21．（6分）（2022秋•顺德区期末）反比例函数．（1）画出反比例函数的图象；（2）观察图象，当y≥﹣1时，写出x的取值范围．解：（1）反比例函数．列表：x⋯﹣4﹣2﹣1124⋯y⋯﹣1﹣2﹣4421描点、连线，反比例函数的图象如图，；（2）由图象可知，当y≥﹣1时，自变量x的取值范围是x≤﹣4或x＞0．22．（6分）（2023秋•利津县月考）已知反比例函数y＝（m为常数）（1）若函数图象经过点A（﹣1，6），求m的值；（2）若函数图象在二、四象限，求m的取值范围；（3）若x＞0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．解：（1）∵函数图象经过点A（﹣1，6），∴m﹣8＝xy＝﹣1×6＝﹣6，解得：m＝2，∴m的值是2；（2）∵函数图象在二、四象限，∴m﹣8＜0，解得：m＜8，∴m的取值范围是m＜8；（3）∵若x＞0时，y随x的增大而减小，∴m﹣8＞0，解得：m＞8，∴m的取值范围是m＞8；23．（8分）（2020春•江都区期末）在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究函数性质﹣﹣利用图象解决问题”的学习过程．我们可以借鉴这种方法探究函数y＝的图象性质．（1）补充表格，并画出函数的图象．①列表：x…﹣3﹣10235…y…﹣1﹣2﹣441…②描点并连线，画图．（2）观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征： 当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小 ；（3）函数y＝的图象是由函数y＝的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为 （1，0） ；（4）根据上述经验，猜一猜函数y＝+2的图象大致位置，结合图象直接写出y≥3时，x的取值范围 1＜x≤5 ．解：（1）①x＝3时，y＝＝2．②图象如图所示：（2）当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小．故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小．（3）函数y＝的图象是由函数y＝的图象向右平移1个单位得到．y＝的对称中心为（1，0）．故答案为（1，0）（4）数y＝+2的图象是由y＝的图象向上平移2个得到，y≥3时，1＜x≤5．故答案为1＜x≤5．24．（8分）（2019春•长春期中）已知反比例函数y＝，（k为常数，k≠1）．（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；（3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上，∴k﹣1＝1×2，解得k＝3；（2）∵在函数y＝图象的每一支上，y随x的增大而增大，∴k﹣1＜0，解得k＜1；（3）点C不在这个函数的图象上，理由如下：∵k＝13，有k﹣1＝12，∴反比例函数的解析式为y＝．将点B的坐标代入y＝，可知点B的坐标满足函数关系式，∴点B在函数y＝的图象上，将点C的坐标代入y＝，由5≠，可知点C的坐标不满足函数关系式，∴点C不在函数y＝的图象上．25．（8分）（2017•商水县二模）数学李老师给学生出了这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小斌根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小斌的探究过程，请您补充完成：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是： x≠﹣1 （2）列出y与x的几组对应值，请直接写出m的值，m＝ 3 ．x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣﹣012m45…y… 2 3﹣10…（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出函数y＝的一条性质．解：（1）∵x+1≠0，∴x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．（2）当y＝＝时，x＝3．故答案为：3．（3）描点、连线画出图象如图所示．（4）观察函数图象，发现：函数y＝在x＜﹣1和x＞﹣1上均单调递增．26．（8分）（2016春•怀柔区期末）有这样一个问题，探究函数y＝的图象和性质．小强根据学习一次函数的经验，对函数y＝的图象和性质进行了探究．下面是小强的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 x≠2 ；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，他通过列表描点画出了函数y＝图象的一部分，请结合自变量的取值范围，补出函数图象的另一部分；（3）进一步探究发现，该函数图象有一条性质是：在第一象限的部分，y随x的增大而 减小 ；（4）结合函数图象，写出该函数图象的另外一条性质．解：（1）由已知得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．（2）补出函数图象的另一部分，如图．（3）∵在y＝中k＝3＞0，∴该函数在第一象限的部分，y随x的增大而减小．故答案为：减小．（4）在第三、四象限的部分，y随x的增大而减小．27．（8分）（2016春•延庆县期末）有这样一个问题：探究函数y＝+x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝+x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝+x的自变量x的取值范围是 x≠1 ；（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣102345…y…﹣﹣﹣﹣1﹣﹣3m…求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： 该函数没有最大值，也没有最小值 ．解：（1）x≠1，故答案为x≠1；（2）令x＝4，∴y＝+4＝；∴m＝；（3）如图（4）该函数的其它性质：该函数没有最大值，也没有最小值；故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．28．（8分）（2022春•镇平县期中）已知反比例函数y＝的图象经过A（2，﹣4）．①求k的值．②这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？③画出函数的图象．④点B（﹣2，4），C（﹣1，5）在这个函数的图象上吗？解：①∵反比例函数y＝的图象经过点A（2，﹣4），∴1﹣k＝2×（﹣4）＝﹣8；解得：k＝9；②∵k＝﹣8＜0，∴图象位于二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大；③图象为：④∵﹣2×4＝﹣8、﹣1×5＝﹣5≠﹣8，∴B（﹣2，4）在反比例函数的图象上，C（﹣1，5）不在反比例函数的图象上。
三角函数与解三角形(培优)
第8讲 三角函数的图象与性质【题型精讲】题型（一）三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系1．（2021·湖北·高三月考）已知点()5,P m -为角α终边上一点，2αβ=，且1cos 2tan sin 2βββ++=，则m =（ ）A ．2B ．2±C ．1D ．±12．（2021·全国·模拟预测（文））已知点(,P x 是角α终边上一点，且1cos 3α=-，则πcos()6α+等于（ ）A ．BC D3．（2021·河南·高三月考（理））已知sin cos θθ+=tan tan 2πθθ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（ ） A ．97-B ．187-C ．718 D ．794．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设0απ<<，7sin cos 13αα+=，则1tan 1tan αα-+的值为（ ）A ．177B ．717C ．177-D ．717-5．（2021·江苏省镇江中学高三月考）若tan 2θ=-，则()sin cos sin 1sin 2θθθθ+=+（ ） A ．56-B ．52C ．52-D ．566．（2021·全国·高三月考）已知sin 2sin 026ππαα⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2cos 12cos ααα⋅+=__________．题型（二）三角函数的图象与解析式1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知()()()0,0,f x Asin x A ωϕωωπ=+>><的一段图象如图所示，则（ ）A ．()324f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 的单调递增区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数()f x 的图象向左平移58π个单位后得到的是一个奇函数的图象 2．（2021·安徽·高三开学考试（理））如图是函数()sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的图象，将()f x 的图象上所有的点向右平行移动4π个单位长度可得()g x 的图象，则()g x =（ ）A ．sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．cos 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．（2021·全国全国·模拟预测（理））已知函数()sin cos f x x x =-经过变换可得()sin 2cos2g x x x =+，则下列变换正确的是（ ）A ．先将()f x 的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍B ．先将()f x 的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍C ．先将()f x 的图象向左平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍D ．先将()f x 的图象向左平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍题型（三）三角函数的性质及应用1．（2021·北京十五中高三期中）设函数()21cos cos 2f x x x x =-，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的一个周期为πB ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称 C ．将函数cos2y x =的图象向左平移6π个单位可以得到函数()f x 的图象 D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减2．（2021·天津·静海一中高三月考）已知函数()2cos 21f x x x =-+，下列结论中正确的有_______（1）()f x 的图象关于,112π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称（2）()f x 在511,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减（3）()f x 的图象关于3x π=对称（4）()f x 的最大值为33．（2021·宁夏·平罗中学高三月考（理））已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，()sin(2)g x A x ωϕ=-，给出以下说法：①将()y f x =的图象向左平移34个单位长度可以得到()g x 的图象；②()g x 的图象关于直线x =1对称；③()g x 的图象关于点5(,0)2成中心对称；④()g x 在719(,)44上单调递减.其中所有正确说法的编号是___________【课后精练】一、单选题1．（2021·全国·高三月考（理））玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该壁画的扇面面积约为（ ）A ．21600cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm2．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（ ）A B C D 3．（2021·全国·高三专题练习）我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为23π，AB 长为403π，CD 长为10π，则扇面ABCD 的面积为（ ）A ．1753πB ．3503πC ．21759πD ．23509π4．（2021·江西柴桑·高三月考（理））函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ）．A ．B ．C ．D ．5．（2021·全国·高三月考）已知函数()()2sin ),2(f x x o πωϕωϕ=+>≤图象相邻两条对称轴间的距离为π，且对任意实数x ，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．将函数()y f x =图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则关于函数()()y f x g x =+描述不正确的是（ ）A ．最小正周期是2πBC ．函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．图象关于直线4x π=对称6．（2021·全国·高三月考（理））已知(0,)απ∈，且2cos2cos 1αα+=，则tan α=（ ）A B ．53C D 7．（2021·河南·高三月考（文））将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()cos2y g x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A B ．2- C ．D ．32-第9讲 三角函数中参数ω专题【题型精讲】题型(一）ω的取值范围与单调性相结合1．（2021·甘肃·西北师大附中高三期中）已知0>ω，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．35,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．35,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．（2021·全国·高三专题练习）函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，则ω的最大值为（ ） A ．12B ．74C ．52D ．6题型(二）ω的取值范围与对称性相结合1．（2021·安徽·定远县育才学校高三开学考试（理））已知函数()sin()(0),||2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．12．（2021·全国·模拟预测（文））已知函数()2cos2sin 1222xxxf x ωωω=+-(0>ω)的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象关于坐标原点对称，则ω的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4题型(三）ω的取值范围与三角函数的最值相结合1．（2019·湖南师大附中（理））将函数()()[]()sin 20,0,2f x x ωϕωϕπ=+>∈图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x ，函数()g x 的部分图象如图所示，且()g x 在[]0,2π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则ω的取值范围是（ ）A ．713,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1117,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦2．（2019·湖南怀化·（理））将函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移32πω个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()()()F x f x g x =的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为 A ．13B ．12C ．1D ．2题型(四）ω的取值范围与三角函数的零点相结合1．（2021·广西桂林·（文））函数()sin (0)g x x ωω=>的图象向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ，()f x 在[0,2]π上有且只有5个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．812,55⎫⎛ ⎪⎝⎭B ．812,55⎫⎡⎪⎢⎣⎭C ．1229,510⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．（2020·陕西省宝鸡市长岭中学（理））已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是 A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2935,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2935,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦题型(五）ω的取值范围与三角函数的极值相结合1．（2021·四川·石室中学（文））函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在()0,π内有且仅有一个极大值点，则ω的取值范围为（ ）A ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．110,33⎛⎤ ⎥⎝⎦2．（2019·云南曲靖·（文））已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=-（0>ω）在区间(0,)π内无极值点，则ω的取值范围为 A ．110,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．50,24⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．511,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【课后精练】一、单选题1．（2021·全国·模拟预测（理））已知函数()cos x f x x ωω=(0>ω)在ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的最大值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．102．（2021·四川·泸州老窖天府中学高三月考（文））已知函数()cos()(0)3f x x πωω=+>的一条对称轴为6x π=，一个对称中心为7(,0)24π，则ω有（ ） A ．最小值4 B ．最小值2 C ．最大值4D ．最大值23．（2021·陕西·高三月考（理））已知函数()()sin 0f x x x ωωω+>的图象关于3x π=对称，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．12C ．2D ．324．（2021·全国·）将函数()sin f x x =的图像先向右平移3π个单位，再把所得函数图象横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．20,9⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．280,,199⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦5．（2020·安徽·马鞍山二中（理））已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．4(0,]9B ．48[,]99C ．48(,]99D ．8(0,]96．（2020·全国·）将函数44()sin cos f x x x =+的图象向左平移8π个单位长度后，得到()g x 的图象，若函数()y g x ω=在[,]124ππ-上单调递减，则正数ω的最大值为 A ．12B ．1C ．32D ．237．（2020·宁夏长庆高级中学（理））若将函数sin 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0>ω)的图象向左平移6π个单位长度后，与函数cos 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ω的最小值为（ ） A ．1B ．32C ．2D ．38．（2020·全国·）已知函数()()sin 02g x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，把函数()g x 的图象向右平移2πω得到函数()f x 的图象，函数()f x 在区间22,93ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在210,39ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω=（ ） A ．34B ．94C ．13D ．439．（2021·天津滨海新·一模）将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．2280,,939⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．80,9 ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．280,,199⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦D ．(]0,110．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数()cos f x x x ωω+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，在2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则实数ω的取值范围为（ ）A ．(]1,2B ．5,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[]1,2D ．4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦11．（2021·全国·）已知函数()sin (sin cos )(0)ωωωω=+>f x x x x 在区间(0,)π上恰有2个最大值点，则ω的取值范围是（ ）A ．1119,88⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1119,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1119,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1119,44⎛⎤ ⎥⎝⎦12．（2021·全国·（文））已知函数()()cos 0f x x x ωωω->在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个最大值点和3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．1316,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1316,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1417,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1417,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭13．（2020·四川省泸县第二中学（文））已知112ω>，函数()πsin 24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π3π(,)22内没有最值，则ω的取值范围（ ） A ．11[,]62B ．511,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,112⎡⎤⎢⎥⎣⎦第10讲 三角恒等变换、解三角形【题型精讲】 题型一:三角恒等变换1．（2021·福建宁德·高三期中）已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（ ）A ．79-B ．79C ．29-D ．292．（2021·全国·高三月考（文））已知1sin 263θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C ．9-D ．93．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．89-B ．CD ．89题型二：利用正余弦定理解三角形1．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22226,3c ab a b C π+=++=，则ABC 的面积为（ ）A B C ．1D 12．（2021·河南·高三月考（文））在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,2,b B C ==则a c +的取值范围为（ ）A ．(B ．()4C ．(0,D ．()3．（2021·江苏省苏州第十中学校高三月考）ABC 中，D 为边BC 的中点，8AB =，17AC =，7.5AD =，则ABC 的面积为___________.4．（2021·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，角75A B C ===︒，2BC =，则AB 的取值范围是__________．题型三：正余弦定理的实际应用1．（2021·湖北·高三月考）如图，在凸四边形ABCD 中，1DA DC ==，AB ，若2B π=，则四边形ABCD 面积的最大值为________．2．（2021·河南·高三月考（文））如图所示，公园直立的路灯杆BC 正前方有棵挺拔的小树NH ，在路灯杆前的点A （BC ，NH ，点A 在同一平面内）处测得路灯顶点B 处和小树顶点N 处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M ，此时M ，N ，B 三点在同一条直线上.在点M 处测得MH =1m ，小树顶点N 处的仰角为60°，则路灯杆BC 的长为___________m .3．（2021·全国·高三月考（文））如图，设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2b ac =，π3B =，D 是ABC 外一点，3AD =，2CD =，则四边形ABCD 面积的最大值是___________.4．（2021·安徽省舒城中学三模（理））如图，某湖有一半径为1km 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2km 的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且90BAC ∠=︒，AB AC =．定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设AOB θ∠=．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．【课后精练】一、单选题1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则图2中菱形的一个锐角的余弦值为（ ）A ．725B ．35C ．45D ．24252．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12⎡⎢⎣B ．⎣C ．[]0,1D ．2⎤⎥⎣⎦3．（2021·全国·高三专题练习）1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高90m ，山高160m ，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（ ）A ．12B ．941C ．1625D ．9164．（2021·辽宁·高三月考）人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC 就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得sin54︒=（ ）A B C D 5．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知13sin()()4444πππϕϕ-=--<<，则cos 2ϕ=（ ）A ．B ．78-C ．78 D6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知ππsin cos 66αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（ ）A ．1-B ．1C ．12D ．12- 7．（2021·北京市第十三中学高三期中）从长度分别为1,2,3,4,5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（ ）A ．可能是锐角B ．一定是直角C ．可能大于23πD ．一定小于56π 8．（2021·陕西渭南·高三月考（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22(32)(54)0a b a c -+-=，则ABC 最小内角的正弦值为（ ）A ．45B ．34C ．35D 9．（2021·河南·高三月考（理））已知锐角三角形的三边长分别为2，5，m ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()3,7B ．C ．)D ．( 10．（2021·福建·莆田第二十五中学高三月考）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π ，则其面积是（ ）A ．23πB ．2π+C ．23πD ．2π-11．（2021·全国·高三专题练习）旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M 山峰和N 山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是300m ，从B 点测得M 点的仰角π4ABM ∠=，N 点的仰角π6CBN ∠=以及cos MBN ∠=间的距离MN =（ ）A ．300m B． C ．600m D．12．（2021·辽宁·模拟预测）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC 的三条边长分别为a ，b ，c ，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点121212,,,,,A C B A C B 仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（ ）A ．9πB ．143πC ．283πD ．323π 二、填空题 13．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）若33sin π3sin π44x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2sin 2sin cos 2sin cos 2x x x x x ++=__________． 14．（2021·广西桂林·高三月考（文））下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π.②函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线1112x π=对称；③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点.④把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象.其中真命题的序号是___________（写出所有真命题的编号）15．（2021·广东茂名·高三月考）某学生在劳动技术课活动中设计了如图所示的几何图形，其中12O O ，为半圆的圆心，则该图形的面积为_________2cm .16．（2021·全国·高三专题练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点之一.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为)151米，在它们之间的地面上的点M （B 、M 、D 三点共线）处测得楼顶A ．教堂顶C 的仰角分别是15和60，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米．。
三角函数专题能力培优(含答案)
三角函数专题能力培优(含答案)三角函数专题能力培优（含答案）一、正弦函数1. 定义正弦函数是一个周期为 $2\pi$ 的函数，其定义域为实数集。
正弦函数用符号 $\sin x$ 表示，表示角 $x$ 的正弦值。
2. 周期性质正弦函数是一个周期函数，其最小正周期为 $2\pi$。
3. 奇偶性质正弦函数为奇函数，即 $\sin(-x) = -\sin x$。
二、余弦函数1. 定义余弦函数是一个周期为 $2\pi$ 的函数，其定义域为实数集。
余弦函数用符号 $\cos x$ 表示，表示角 $x$ 的余弦值。
2. 周期性质余弦函数是一个周期函数，其最小正周期为 $2\pi$。
3. 奇偶性质余弦函数为偶函数，即 $\cos(-x) = \cos x$。
三、正切函数1. 定义正切函数是一个周期为 $\pi$ 的函数，在定义域内不存在$k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbb{Z})$，即其极限值不存在。
正切函数用符号 $\tan x$ 表示，表示角 $x$ 的正切值。
2. 周期性质正切函数是一个周期函数，其最小正周期为 $\pi$。
3. 奇偶性质正切函数为奇函数，即 $\tan(-x) = -\tan x$。
四、反三角函数1. 定义反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的定义如下：- $\arcsin x$ 表示满足 $-\frac{\pi}{2}\leq\arcsin{x}\leq\frac{\pi}{2}$ 且 $\sin\arcsin{x}=x$ 的实数；- $\arccos x$ 表示满足 $0\leq\arccos{x}\leq\pi$ 且$\cos\arccos{x}=x$ 的实数；- $\arctan x$ 表示满足 $-\frac{\pi}{2}<\arctanx<\frac{\pi}{2}$ 且 $\tan\arctan{x}=x$ 的实数。
2. 基本性质反三角函数是三角函数的反函数，其定义域和值域与三角函数相反。
八年级数学培优专题一、一次函数培优训练经典题型精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版一次函数培优经典题型（最新）一、正比例函数的定义1、若y＝（m+1）x+m2﹣1是关于x的正比例函数，则m的值为．2、已知函数y＝（m+2）x﹣m2+4（m是常数）是正比例函数，则m＝．二、一次函数的图象1、在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣b与y＝bx+k的图象不可能是（）A．B．C．D．2、如果ab＞0，bc＜0，则一次函数y＝﹣x+的图象的大致形状是（）A．B．C．D．3、一次函数y＝kx+k的图象可能是（）A．B．C．D．4、如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，请用“＞”表示a，b，c的不等关系．三、一次函数的性质1、已知直线y＝kx+b过点A（﹣3，y1），B（4，y2），若k＜0，则y1与y2大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定2、当1≤x≤10时，一次函数y＝﹣3x+b的最大值为17，则b＝．3、已知一次函数y＝mx﹣2m（m为常数），当﹣1≤x≤3时，y有最大值6，则m的值为（）A．﹣B．﹣2C．2或6D．﹣2或64、已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则k的值为（）A．3B．﹣3C．3或﹣3D．k的值不确定5、在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数且k≠0）．（1）当b＝3k+6时，该函数恒经过一点，则该点的坐标为；（2）当﹣2≤x≤2时，﹣8≤y≤4，则该函数的解析式为．6、一次函数y＝ax﹣a+1（a为常数，且a＜0）．（1）若点（2，﹣3）在一次函数y＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值2，求a的值．四、一次函数图象与系数的关系1、若一次函数y＝（m﹣2）x+m+1的图象经过一、二、四象限，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．m＜2C．﹣1＜m＜2D．m＞﹣12、一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象不经过第三象限，则k的取值范围是（）A．k＞0B．C．k≥0D．3、关于x的一次函数y＝（k﹣2）x+k2﹣4k+4，若﹣1≤x≤1时，y＞0总成立，则k的取值范围是（）A．k＜1或k＞3B．k＞1C．k＜3D．1＜k＜34、一次函数y＝（3﹣a）x+b﹣2在直角坐标系中的图象如图所示，化简：﹣|2﹣b|＝．5、关于x的一次函数y＝（2a+1）x+a﹣2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是．6、函数y＝3x+k﹣2的图象不经过第二象限，则k的取值范围是．7、设，则一次函数y＝kx﹣k的图象一定过第_________象限．五、一次函数图象与几何变换1、直线y＝﹣5x向上平移2个单位长度，得到的直线的解析式为（）A．y＝5x+2B．y＝﹣5x+2C．y＝5x﹣2D．y＝﹣5x﹣2 2、在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝﹣2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则该一次函数的解析式为（）A．y＝﹣2x+3B．y＝﹣2x+6C．y＝﹣2x﹣3D．y＝﹣2x﹣63、若直线l1：y＝kx+b（k≠0）是由直线l2：y＝4x+2向左平移m（m＞0）个单位得到，则下列各点中，可能在直线l1上的是（）A．（0，1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（3，0）4、在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（）A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣1D．y＝x﹣15、若一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+1的图象关于y轴对称，则k、b的值分别等于．六、待定系数法求一次函数解析式1、P（8，m），A（2，4），B（﹣2，﹣2）三点在同一直线上，则m的值为．2、已知y﹣2与x成正比例，且当x＝﹣1时y＝5，则y与x的函数关系式是．3、已知y﹣1与x成正比例，当x＝﹣2时，y＝4．（1）求出y与x的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a的值．4、已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝11，求y与x之间的函数表达式，并求当x＝2时y的值．5、已知y﹣3与2x+4成正比例，且当x＝﹣1时，y＝7．（1）求y与x的函数关系式；（2）求此函数图象与坐标轴围成的面积．七、一次函数与一元一次方程1、如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（）A．x＝15B．x＝25B．C．x＝10D．x＝202、如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx+b＝4的解是（）A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝43、如图，一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝kx的图象交于点P（﹣2，﹣1），则关于x的方程ax+b＝kx的解是．4、根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：（1）关于x的方程kx+b＝0的解；（2）代数式k+b的值；（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．八、一次函数中的面积问题1、若一次函数y＝2x+b与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为．2、直线y＝kx+b经过点（0，3），且与两坐标轴构成的直角三角形的面积是6，则k为．3、如图，一次函数y＝x﹣4的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，过点A作直线l将△ABO分成周长相等的两部分，则直线l的函数解析式为．4、如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（2，4），C（0，4）．若直线y＝kx﹣2k+1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为．5、如图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（12，5），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分．那么b＝．6、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝．九、一次函数的应用1、甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（）A．①②B．①③C．②④D．③④2、甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，40min后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．（1）a的值是，甲的速度是km/h．（2）求线段EF所表示的y与x的函数关系式；（3）若甲乙两车距离不超过10km时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为多少小时？十、一次函数综合题1、如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点C，D分别是AB，AO的中点，点P是y轴上一动点，则PC+PD的最小值是．2、若直线AB：y＝x+4与x轴、y轴分别交于点B和点A，直线CD：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点D和点C，线段AB与CD的中点分别是M，N，点P为x轴上一动点．（1）点M的坐标为；（2）当PM+PN的值最小时，点P的坐标为．3、如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x、y轴交于点A、B，点C在y轴上，AC平分∠OAB，则线段BC＝．4、如图，点C的坐标是（2，2），A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，点E是线段BC的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为．5、如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，3）和点B（2，0），以线段AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC使∠BAC＝90°（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C的坐标；（3）点P是y轴上一动点，当PC最小时，求点P的坐标．6、如图，直线l：y＝kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于点A，B，以OA为边在y＝8．轴的右侧作正方形AOBC，且S△AOB（1）求直线l的解析式；（2）如图1，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，∠ADE＝90°，AD ＝DE．①当AE+CE最小时，求E点的坐标；②如图2，点D是线段OB的中点，另一动点H在直线BE上，且∠HAC＝∠BAD，请求出点H的坐标．。
专题培优课1 函数性质的综合问题
可得 f(x)＝x－1＋x－1 1 ＋tan (x－1)＋2 的图象关于点(1，2)中心对称，
即当 x1＋x2＝2，可得 f(x1)＋f(x2)＝4，
设
M＝f2
1 022
＋f2
3 022
＋f2
5 022
…＋f42
043 022
M＝f42
043 022
＋f42
041 022
＋f42
039 022
又当 k＝1，0，5 时分别对应选项 A，B，D 可知 A，B，D 均为 g(x)的对称中
心．
探究 4 函数的周期性与对称性的综合
(2022·黑龙江大庆三模)已知定义域为 R 的偶函数满足 f(2－x)＝f(x)，当
0≤x≤1 时，f(x)＝e1－x－1，则方程 f(x)＝|x－1 1| 在区间[－3，5]上所有解的和为(
)
A．8 B．7 C．6 D．5
A 解析：因为函数 f(x)满足 f(2－x)＝f(x)，所以函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，
又函数 f(x)为偶函数，所以 f(2－x)＝f(x)＝f(－x)， 所以函数 f(x)是周期为 2 的函数， 又 g(x)＝|x－1 1| 的图象也关于直线 x＝1 对称， 作出函数 f(x)与 g(x)在区间[－3，5]上的图象，如图所示：
π 别为 M，m，则函数 g(x)＝(M＋m)x＋sin [(M＋m)x－ 3 ]图象的对称中心不可能是
()
A.π3 ，4π 3
B．π 12，π3
C．2π 3 ，8π 3
D．4π 3 ，163π
C 解析：设 h(x)＝f(x)－2＝4xx＋2＋si1n x ，则 h(－x)＝－4xx2－＋s1in x ＝－h(x)， 即 h(x)为奇函数，∴M＋m＝h(x)＋2＋h(－x)＋2＝4， ∴g(x)＝4x＋sin 4x－π3 ＝4x－π3 ＋sin 4x－π3 ＋π3 . 令 s(x)＝4x＋sin 4x， 则 s(x)＋skπ2 －x ＝4x＋sin 4x＋4kπ2 －x ＋sin (2kπ－4x)＝2kπ，k∈Z，
2020-2021学年浙教版八年级上册一次函数的图象与性质专题培优(附答案)
2020-2021学年浙教版八年级上册一次函数的图象与性质专题培优姓名 班级 学号基础巩固1.若点（m ，n ）在函数y = 2x + 1的图象上，则2 m - n 的值是（ ）. A .2B .- 2C .1D .-12.在一次函数y =21ax - a 中，y 随x 的增大而减小，则其图象可能是（ ）.3.若点M （- 7，m ），N （- 8，n ）都在函数y =-（k 2 + 2k + 4）x + 1（k 为常数）的图象上，则m 和n 的大小关系是（ ）. A .m > nB .m < nC .m = nD .不能确定4.如图，已知直线l :y =33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点 A 2…按此作法继续下去，则点A 4的坐标为（ ）. A .（0，64）B .（0，128）C .（0，256）D .（0，512）5.如图，已知A （5，0），直线y = x + b （b > 0）与y 轴交于点B ，连结AB ，∠ = 75°，则b 的值为（ ）. A .3B .335C .4D .435 6.直线y = 2x + 6与两坐标轴围成的三角形面积是 _________ .7.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线y=-34x上，则点B与其对应点B′间的距离为_________ .8.如图，在平面直角坐标系中，函数y = x和y =-12x的图象分别为直线l1， l2，过点A1（1，-12）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l于点A5……依次进行下去，则点A2018的横坐标为_________ .第8题第9题9.如图，在平面直角坐标系中，直线y= kx+ b与x轴、y轴分别交于点A（4，0），B（0，2），点C为线段AB上任意一点，过点C作CD⊥OA于点D，延长DC至点E使CE= DC，作EF⊥y 轴于点F，则四边形ODEF的周长为 _________ .10.已知函数y = （m + 1）x + 2 m- 6.（1）若函数图象过（ - 1，2），求此函数的解析式.（2）若函数图象与直线y = 2x + 5平行，求其函数的解析式.（3）求满足条件（2）的直线与直线y =-3x + 1的交点.11.小慧根据学习函数的经验，对函数y= |x- 1|的图象与性质进行了探究.下面是小慧的探究过程，请补充完成:（1）函数y = |x - 1|的自变量x的取值范围是 _________ .（2）列表，找出y与x的几组对应值:其中，b = _________ .（3）在如图的平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象.（4）写出该函数的一条性质: _________ .12.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y = 34x与一次函数y =-x + 7的图象交于点A.（1）求点A的坐标.（2）设x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交y = 34x和y =-x + 7的图象于点B，C，连结OC.若BC = 57OA，求△OBC的面积.13.如果一次函数y = kx + b的图象经过点（m，1）和点（-1，m），其中m > 1，那么k，b应满足的条件是（）.A.k > 0且b > 0B.k < 0且b > 1C.k > 0且b < 0D.k < 0且b < 114.已知一次函数y =-x + m和y = 2x + n的图象都经过A（- 4，0），且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积为（）.A.48B.36C.24D.1815.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，6），AB⊥y轴，垂足为点B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动.若点P与点Q的速度之比为1:2，则下列说法正确的是（）.A.线段PQ始终经过点（2，3）B.线段PQ始终经过点（3，2）C.线段PQ始终经过点（2，2）D.线段PQ不可能始终经过某一定点16.若四条直线y= kx-3，y=-1，y= 3和x= 1所围成的四边形的面积是12，则k的值为（）.A.1或-2B.2或-1C.3D.417.如图，在平面直角坐标系中，直线y =- 12x + 6分别与x轴、y轴交于点B，C，且与直线y = 21x交于点A，D是直线OA上的点，当△ACD为直角三角形时，点D的坐标为 _________ .18.如图，直线y= 43x+ 4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在OB上，若将△ABC沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上的点D处，则点C的坐标是 _________ .19.已知直线l:y =-n+1n x +1n（n是正整数）.当n = 1时，直线l1:y =-2x + 1与x轴和y轴分别交于点A1和B1，设△A1O B1（O是平面直角坐标系的原点）的面积为S1；当n=2时，直线l 2:y=-23x+21与x 轴和y 轴分别交于点A 2和B 2，设△A 2O B 2的面积为S 2…依此类推，直线l n 与x 轴和y 轴分别交于点A n 和B n ，设△A n O B n 的面积为S n . （1）求△A 1O B 1的面积S 1.（2）求S1 + S2 + S3+ … + S 2019的值.20.如图，在平面直角坐标系中，直线AB :y =-x + b 交y 轴于点A （0，4），交x 轴于点B . （1）求直线AB 的表达式和点B 的坐标.（2）直线l 垂直平分OB 交AB 于点D ，交x 轴于点E ，点P 是直线l 上一动点，且在点D 的上方，设点P 的纵坐标为n .①用含n 的代数式表示△ABP 的面积. ②当S △ABP = 8时，求点P 的坐标.③在②的条件下，以PB 为斜边在第一象限作等腰直角△PBC ，求点C 的坐标.拓展提优1.已知将直线y = x -1向上平移2个单位长度后得到直线y = kx + b ，则下列关于直线y = kx + b 的说法正确的是（ ）. A .经过第一、二、四象限 B .与x 轴交于点（1，0） C .与y 轴交于点（0，1）D .y 随x 的增大而减小2.已知一系列直线y = a k x + b （a k 均不相等且不为零，a k 同号，k 为大于或等于2的整数，b > 0）分别与直线y = 0相交于一系列点A k ，设A k 的横坐标为x k ，则对于式ji j i x x a a --（1≤i ≤k ，1≤j ≤k ，i ≠j ），下列一定正确的是（ ）. A .大于1B .大于0C .小于-1D .小于03.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（1，3），（n ，3），若直线y = 2x 与线段 AB 有公共点，则n 的值可以为 _________ .（写出一个即可）4.如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3，…和B 1，B 2，B 3，…分别在直线y = 51x + b 和x轴上.△O A 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形.如果点A1（1，1），那么点 A 2018的纵坐标是 _________ .5.在平面直角坐标系中，一次函数y = kx + b （k ，b 都是常数，且k ≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）.（1）当 - 2 < x ≤3时，求y 的取值范围.（2）已知点P （m ，n ）在该函数的图象上，且m - n = 4，求点P 的坐标.6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-12x+ 5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）.（1）求m的值及l2的函数表达式.（2）求S△AOC-S△BOC的值.（3）一次函数y = kx + 1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值.冲刺重高1.将函数y = 2x + b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y = |2x + b|（b为常数）的图象.若该图象在直线y = 2下方的点的横坐标x满足0 < x < 3，则b的取值范围是（）.A.-4≤b≤- 2B.- 6≤b≤2C.-4≤b≤2D.-8≤b≤-22.已知直线AB 的方程为y = kx + m ，且经过点A （a ，a ），B （b ，8b ）（a > 0，b > 0），当 ba 为整数时，满足条件的整数k 有（ ）. A .1个B .2个C .3个D .4个3.2002年在北京召开的世界数学大会的会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”.若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B 1，B 2，B 3，…，B n ，和C 1，C 2，C 3，…，C n ，分别在直线y =-21x + 3 + 1和x 轴上，则第n 个阴影正方形的面积为 _________ .第3题 第4题4.如图，多边形OABCDE 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 和点E 分别在y 轴和x 轴上，其中AB ∥CD ∥x 轴，DE ∥BC ∥y 轴，已知点B （4，6），点D （6，4），若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式为 _________ .5.在平面直角坐标系中，O 为原点，直线l :x = 1，点A （2，0），点E ，F ，M 都在直线l 上，且点E 和点F 关于点M 对称，直线EA 与直线OF 交于点P . （1）若点M 的坐标为（1，- 1）.①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标.②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式.（2）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，连结OQ，当OQ= PQ时，试用含t的式子表示m.。
初中数学培优专题之——一元二次方程与二次函数的关系
初中数学培优专题之一元二次方程与二次函数的关系方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程（组）解决函数问题，也可以利用函数解决方程（组）问题.我们知道，二次函数的一般形式是c bx ax y ++=2)0(≠a ，而一元二次方程的一般形式是02=++c bx ax )0(≠a .显然当二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 中0=y 时就能得到一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系.一、知识链接 透彻理解数学概念，提升你的数学内涵 ！1.利用一元二次方程解决二次函数问题：（1）对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：①当042>-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；②当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）； ③当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点（抛物线要不全部在x 轴上方，要不全部在x 轴下方）.(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与x 轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -=+21，1x ·acx =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为： AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224aacb -=a ∆=（公式①）. （3）推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与c bx ax y ++=2与直线b kx y +=（当0≠k 时为一次函数的图像，当0=k 时为平行于x 轴或与x 轴重合的一条直线b y =）的交点情况.2.利用二次函数解决一元二次方程问题一方面，反过来，我们可以根据抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点情况去判断一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.二、典例精讲 参与数学解题过程，品味数学内在魅力 ！例1 （2010年福州市中考题）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0分析：a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点情况，抛物线的对称轴由a 、b 共同决定，b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况．本题中，由于抛物线开口方向向下，因此a ＜0；抛物线与y 轴的交点（0，c ）在x 轴上方，因此c ＞0；由于抛物线对称轴在y 轴右侧，所以x=－b2a＞0，所以b ＞0；由于抛物线与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＞0．a ＋b ＋c 是x ＝1时的函数值，而图像上点（1，a ＋b ＋c ）在x 轴上方，所以a ＋b ＋c ＞0．答案：D ．技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题．解决这类问题就应熟练掌握a 、b 、c 、x ＝－b2a、a ＋b ＋c 、b 2－4ac 等与抛物线的位置特征之间的关系．例2 （2010年徐州市中考题）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位分析：因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x 轴交于点（2008，0）和（2009，0），这两点间的距离为1，而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到．答案：B ．技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点（2009，4）、（2008，4），这两点的距离围为1，要将这两点平移到x 轴上，应将图像向下平移4个单位．研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析．例3 （2010年镇江市中考题）已知实数x ，y 满足x 2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最 大值为 .分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x 2＋3x ＋y －3＝0得，x ＋y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，所以当x ＝－1时，x ＋y 最大值为4；也可以尝试用换元法解决，设k y x =+，则原方程可化为0322=-++k x x ，因为这个关于x 必有实数根，所以0)3(44≥--=∆k ，解得4≤k ，所以k （即x ＋y ）的最大值为4.答案：4.技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于x 的二次方程，也是关于y 的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“x＋y”关于x 的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于x 的一元二次方程的参数k 的取值范围问题来解决，有异曲同工之效．例4 （2010年日照市中考题）如图10-2，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 .分析：由于已知了抛物线与x 轴的一交点为A （3，0），且与对称轴x ＝1的距离为2，所以根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的另一交点应在对称轴左侧，且与直线x ＝1的距离也为2，其坐标应为（－1，0）.观察图像可知，当－1＜x ＜3时，抛物线在x 轴下方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是－1＜x ＜3答案:－1＜x ＜3.技巧提升：不等式ax 2＋bx ＋c ＞ 0 （或＜ 0 ）的解集就是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象在 x 轴上（下）方的点所对应的 x 的取值范围，因此不等式ax 2＋bx ＋c ＞ 0 （或＜ 0 ）的解集与抛物线与x 轴的交点的横坐标有关，所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x 轴的交点坐标．例5 （2010年咸宁市中考题）已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）．（1）证明243c b =；（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．分析：本题是二次函数问题，可借助一元二次方程与二次函数的关系来解决． 解：（1）证明：法一：依题意，m ，3m -是一元二次方程20x bx c +-=的两根．根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=-，(3)m m c ⨯-=-．∴2b m =，23c m =， ∴224312c b m ==．法二：由题意得⎩⎨⎧=--=-+039022c bm m c bm m ，①—②得0482=+-bm m ，因为0m ≠，所以m b 2=．代入①得0222=-+c m m ，所以23m c =，所以2124m c =，22123m b =，所以243b c =．法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为2)3(2m m b x -+=-=，可得m b 2=（下同法二）．（2）解：法一：依题意，12b-=，∴2b =-． 由（1）得2233(2)344c b ==⨯-=．∴2223(1)4y x x x =--=--． ∴二次函数的最小值为4-．法二：因为函数图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0），所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线m x -=，所以1=-m ，所以1-=m ，故抛物线与x 轴的两交点为)0,1(-、)0,3(，所以抛物线的解析式为32)3)(1(2--=-+=x x x x y ， 当1=x 时，4321-=--=最小y ，∴二次函数的最小值为4-．技巧提升：本题两小题都给出了不同的解法，应注意体会不同解法的异同．一题多解，多中选优，平时解题的思考会带来解题能力的提升．例6 （2010年杭州市中考题）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m<0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④分析：把m ＝－3代入[2m ，1–m , –1–m]，得a ＝－6，b ＝4，c ＝2，函数解析式为y ＝－6x 2+4x+2，易求出其图像顶点为(31，38)，故①正确；当a=2m 、b=1-m 、c=-1-m 时，△=b 2－4ac ＝(1－m)2－4×2m×(－1－m)＝(3m+1)2，根据公式①可知函数图象截x 轴所得的线段长度为21x x -a ∆=mm 2)13(2+==m m 213+，当m ＞0时，21x x -=m m m 2123213+=+＞32，故②正确；∵m ＜0，∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x ＝－2b a＝122m m --⨯＝1144m-，∴在对称轴左侧，即当m x 4141-<时，y 随x 的增大而增大，对称轴右侧，即当m x 4141->时，y 随x 的增大而减小.在∵14<1144m-,所以当x >41时，图像有可能一部分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；对于抛物线y=2mx 2+(1-m)x-1-m 时，当x=1时，y=2m+1－m+(－1－m)＝0，∴当m≠0时，抛物线一定经过(1，0)这个点，故④正确．答案：B.技巧提升：本题综合考查了二次函数的各个方面的知识，比如二次函数图像顶点公式、二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与x 轴交点之间的距离等.其中第③个问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识，应引起重视.例7 （2008年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．分析：这是一个一元二次方程问题，如果直接用一元二次方程的根来列不等式组，需要列5个不等式，也就是：0402>-=∆a 、04402>-+-a a 、14402<-+-a a 、04402>---a a 、14402<---a a ，这样将会很麻烦．那么如何解才能比较简单呢？如果我们利用二次函数图像来帮助分析，解法将简单得多．令522++=ax x y ，如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像．根据图像对称轴在y 轴右侧，可知04>-a ，解得0<a ．再根据0402>-=∆a 可得102-<a ．根据图像特征可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数，所以可得⎩⎨⎧>+⋅+⨯>+⋅+⨯052220511222a a ，可解得213->a ．这样就能得到a 的取值范围是102213-<<-a ．答案：102213-<<-a ． 技巧提升：利用一元二次方程解决二次函数问题，这种题型比较多，也容易想到.而反过来，利用二次函数解决一元二次方程问题，这种题型就比较少了，遇到的时候也不容易想到.以后遇到一元二次方程问题，用方程知识不好解决时，可以尝试用用二次函数．例8 （2010年潍坊市中考题）已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图10-4，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．－12 ＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32分析：当y 1＜y 2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方，也就是两函数图像两个交点之间的部分，所以我们要求出这两个函数图像的交点．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==3212x y x y 解得⎩⎨⎧=-=4211y x 、⎪⎩⎪⎨⎧==492322y x ，因此满足要求的自变量x 的取值范围应该是－2＜x ＜32．答案：C ．技巧提升：作为选择题，解答本题时，也可以不解方程组．先根据直线在抛物线的上方排除答案B 、D ，再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴（y 轴）可排除答案A ．例9 （2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是 ．分析：要注意抛物线()233y x a x =+-+与线段AB 恰有一个交点应包含两种情况：⑴抛物线()233y x a x =+-+与x 轴只有一个交点，这个交点恰好在线段AB 上．由判别式012)3(2=--=∆a 0∆=解得3a =±．当3a =+时，12x x ==3a =-12x x ==意．⑵抛物线()233y x a x =+-+与x 轴有两个交点，其中只有一个在线段AB 上．设抛物线与x 轴的两个交点为C （0,1x ）、D )0,(2x （21x x <），则321=x x ．若只有点D 在线段AB 上，则101<<x ，212≤≤x ，显然321<x x ，不合题意；若只有点C 在线段AB 上，则211≤≤x ，22>x ．当点D 与点A 、B 都不重合时，函数如图10-5所示，从图像可以看出，图像上横坐标为1的点在x 轴上方，横坐标为2的点在x 轴下方，所以⎩⎨⎧<+-+>+-+03)3(2403)3(1a a ，解得112a -<<-．当当点D 与点A 重合时，由031)3(12=+⨯-+a ，得1a =-，此时11=x ，32=x ，符合题意；当点D 与点B 都重合时，由032)3(22=+⨯-+a ，得12a =-，此时21=x ，232=x ，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是1-≤12a <-，或者3a =-答案：1-≤12a <-，或者3a =-技巧提升：本题中要注意对不同情况进行分类讨论，既要考虑到一般情况，还要考虑到特殊情况．例10 （2010年全国初中数学联合竞赛试题）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．分析：函数图象与x 轴两交点的横坐标就是方程04)1(2=-+++p k px x 的两根，可考虑利用一元二次方程根与系数的关系来解决．解：由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数． 由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -． （2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数. 又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即41)1(=-++mk p m ②如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根． 综上所述，1=k ．技巧提升：由于方程两根之和为质数p ，所以只要有一个根是整数，则另一个根也必然是整数.我们也可以从方程根的特征来分析．根据一元二次方程求根公式可知方程04)1(2=-+++p k px x 的根应为216)1(42++-±-=p k p p x ，要使得其根为整数，根的判别式16)1(42++-p k p 的值必须是完全平方数．由于p 是质数，因此当16)1(42++-p k p 的值是完全平方数时，关于p 的二次三项式16)1(42++-p k p 必然等于2)(n p ±（n 为非负整数），也就是说16)1(42++-p k p 应成为关于p 的一个完全平方式，因此可得其064)1(162=-+=∆k ，可解得11=k ，32-=k （舍去）．三．学力训练1．选择题：2104（图10-8）.其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①③ （3）（“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）A ．512 B ．49 C ．1736D ．12 （4）(2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y ＝－x 2＋6x －274的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 2．填空题：（1）（2010年新疆维吾尔自治区中考题）抛物线y ＝-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_______．（2）（2010年玉溪市中考题）如图10-9是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c ＞0；② a +b +c ＜0；③ 2a -b ＜0；④b 2+8a ＞4a c 中正确的是（填写序号） ．（3）（2006年全国初中数学联合竞赛辽宁卷）函数y = x 2 -2006|x |+ 2008的图象与x 轴交点的横坐标之和等于__________．(4)（2010年全国初中数学联合竞赛题）二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3. （2010年佛山市中考题）（1）请在坐标系中画出二次函数x x y 22-=的大致图象；（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程122=-x x 的根在图上近似的表示出来（描点）；（3）观察图象，直接写出方程122=-x x 的根．（精确到0.1）（图10-10）4.（2010年长沙市中考题）已知：二次函数22y ax bx =+-的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中a>b>0且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，求12||x x -的范围．5.（2010年肇庆市中考题）已知二次函数12+++=c bx x y 的图象过点P （2，1）． （1）求证：42--=b c ；（2）求bc 的最大值；（3）若二次函数的图象与x 轴交于点1(x A ，)0，2(x B ，)0，ABP ∆的面积是43， 求b ．6． (2007年全国初中数学联合竞赛试题)设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mtx mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.7.（2009年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.8．（2010年全国初中数学联合竞赛试题）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.第10讲．一元二次方程与二次函数的关系 参考答案1．选择题：（1）D ；（2）C ；（3）C ；（4）C ； 2．填空题：（1）－3＜x ＜1；(2) ②、④；（3）0；(4) 19． 3.解：（1）如图所示；（2）如图所示，抛物线x x y 22-=与直线y=1的两个交点的横坐标就是方程122=-x x 的两根，也就是x 轴上点C 、点D 所表示的数；（3）方程的122=-x x 根为≈1x -0.4、≈2x 2.4. 4.解：（1）设一次函数的表达式为y ＝kx(k 为常数，k≠0) ．∵一次函数图象经过原点和点（1，－b ），∴把点（1，－b ），代入y ＝kx ，得－b ＝k,即k ＝－b ．∴一次函数的表达式为y ＝－bx ．（2）∵y=ax 2+bx －2过（1，0）即a+b=2由2(2)2y bxy b x bx =-⎧⎨=-+-⎩得22(2)20ax a x +--=①∵△＝224(2)84(1)120a a a -+=-+>∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解， ∴两函数有两个不同的交点．（3）∵两交点的横坐标x 1、x 2分别是方程①的解 ∴122(2)24a a x x a a--+==122x x a -=∴12x x -== 或由求根公式得出∵a>b>0，a+b=2， ∴2>a>1 令函数24(1)3y a=-+， ∵在1<a<2时y 随a 增大而减小，∴244(1)312a<-+<，∴2<<∴122x x <-< 5.解：（1）∵12+++=c bx x y 的图象过点P （2，1） ∴1241+++=c b ∴42--=b c（2）)42(--=b b bc 2)1(2)2(222++-=+-=b b b 当1-=b 时，2-=c此时，=∆)1(42+-c b 0541)12(4)1(2>=+=+---= ∴当1-=b 时，bc 有最大值，最大值为2。
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培优点1 函数性质间的相互联系
函数的对称性、奇偶性、周期性及单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，求解时要研究函数各性质间的相互联系，对性质进行综合、灵活地应用． 例 (1)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1＋x )为偶函数，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )
A ．－50
B ．0
C ．2
D ．50
答案 C
解析 由已知f (1＋x )＝f (1－x )＝－f (x －1)，
∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )的周期为4.
∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0.
∵f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，
f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，
f (4)＝f (0)＝0.
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (50)＝f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2.
(2)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，设a ＝ln 1π
，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，则( )
A ．f (a )>f (b )>f (c )
B ．f (b )>f (a )>f (c )
C ．f (c )>f (b )>f (a )
D ．f (c )>f (a )>f (b )
答案 D
解析 依题意得，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且其图象关于y 轴对称，
则f (a )＝f (－a )＝f ⎝
⎛⎭⎫－ln 1π＝f (ln π)， f (c )＝f (ln π)＝f ⎝⎛⎭⎫12ln π，而0<12
ln π<ln π<(ln π)2， 所以f ⎝⎛⎭
⎫12ln π>f (ln π)>f [(ln π)2]， 即f (c )>f (a )>f (b )．
(3)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )
＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________. 答案－8
解析∵f(x)是奇函数且f(x－4)＝－f(x)，
∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，
即f(x)＝f(4－x)且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，
即y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
并且此函数是周期为8的周期函数．
∵f(x)在[0,2]上是增函数，
∴f(x)在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上是减函数．
据此可画出y＝f(x)图象的草图(如图)(设x1<x2<x3<x4)：
其图象也关于直线x＝－6对称，
∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，
∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8.
函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定函数在另一个区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
1．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于() A．2 B．－2 C．－98 D．98
答案 B
解析因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
2．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log2 5.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()
A．a<b<c B．c<b<a
C．b<a<c D．b<c<a
答案 C
解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，g(x)为偶函数．
∴g(－log2 5.1)＝g(log2 5.1)．
∵f(x)在R上单调递增，
∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增．
而20.8<2<log2 5.1<3，
∴g(20.8)<g(log2 5.1)<g(3)，
∴b<a<c.
3．已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)＋22，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝2，则f(2 025)＝________.
答案 2
解析由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．又由f(x＋4)＝－f(x)＋22，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋22＝f(x)，∴f(x)是周期为8的偶函数．
∴f(2 025)＝f(1＋253×8)＝f(1)＝f(－1)＝2.。