3多目标规划M详解
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多目标优化模型
一、多 目 标 优 化 简 介
• 优化(Optimization) : 从若干可能的方案中寻求某 种意义下的最优方案
•多目标规划（Multiple Objectives Programming） 是数学规划的一个分支，研究多于一个目标函数在给 定区域上的最优化，又称多目标最优化，通常记为 VMP。
每条线路中的景点可以全部参观，也可以参观其中之一。 不仅如此，一起参观景点的人数越多，每人承担的费用也会越 小。车费与车型、乘客人数、路程种类及公里数有关。
主办方在会议开始前对所有参会的100位代表 旅游意向进行了调查，充分考虑这些代表的意愿， 为主办方设计代表们合适的旅游路线，使他们在会 议结束后的10天时间内花最少的钱游尽可能多的地 方。 目标一：宾客参观意愿满意度尽可能高 目标二：宾客所花费用尽可能少 目标三：宾客游尽可能多的景点
约束条件
最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课。
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
目标函数 选修课程总数最少
9
Min Z xi i 1
x1 x2 x3 x4 x5 2
x3 x5 x6 x8 x9 3 x4 x6 x7 x9 2
2. 线性加权和法：按照m个目标 fi(x) 的重要
ห้องสมุดไป่ตู้程度，分别乘以一组权系数，然后相加作
为目标函数。
m
m
u f x i fi x i 1
i 1
i 1
转化单目标法
3. 极大极小点法
min
1im
u
f
x
min
xX
max
1im
fi
x
4. 范数理想点法
1
d p
f x, f ;
m
i
fix fi
p p
i1
转化单目标法
5. 评价函数法 以上的各种方法都是由 fi (x)归结成一
个目标其可看作是 fi ( x) 的函数 U( x) u( f ( x))
我们可统一称其为评价函数，显然其 具有很大的概括性，它不仅包括以上的 一些方法，还可以构造新的方法。当然 这种构造也不是随意的，一般要根据问 题的具体背景和几何意义来构造
转化为单目标的具体方法介绍：
1. 主要目标法 在多目标优化问题中，根据问题的实际
情况，确定一个目标为主要目标，而把其余目 标作为次要目标，并且根据决策者的经验，选 取一定的界限值。这样就可以把次要目标也作 为约束来处理，于是就将原多目标问题转化为 在新的约束下，求主要目标的单目标优化问题。
转化单目标法
s.t. Q( X ) b F(X) M
X O
X O
min Q( X ) (1 ) R( X )
s.t. F ( X ) M
X O
为目标权重或偏好系数。
a,b, 均可看成参数，对不同的参数值求出
最优解，然后加以讨论，选出满意解。
例 选课策略
课号
课名
学分
0-1规划模型
课号
课名
先修课要求
1
微积分
2
线性代数
3
最优化方法 微积分；线性代数
4
数据结构
计算机编程
5
应用统计 微积分；线性代数
6
计算机模拟
计算机编程
7
计算机编程
8
预测理论
应用统计
9
数学实验 微积分；线性代数
线性多目标规划模型---线性加权和法
例： 一个生产问题，有关数
据如表。问如何安排生产可 使总利润最大，产量之和最 小。要求第二种原料用完。
原单料耗品 产 甲
A4
B4
C1 单位利润 80
乙
5
2
0 100
总量
80 48 6
解 设 x1, x2为甲，乙的产量
则
min max
z1 x1 x2 z2 80x1 100x2
求解算法
转化为单目标
实例2：旅游路线设计
今年暑假，我校要召开“××学术会议”，届时来自国内 外的许多著名学者都会相聚成都。在会议结束后，主办方希望 能安排这些远道而来的贵宾参观四川省境内的著名自然和人文 景观，初步设想有如下线路可供选择： 一号线：九寨沟、黄龙； 二号线：乐山、峨嵋； 三号线：四姑娘山、丹巴； 四号线：都江堰、青城山； 五号线：海螺沟、康定；
为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？
选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
0-1规划模型
决策变量
课号
课名
所属类别
1
微积分
数学
2
线性代数
数学
3 最优化方法 数学；运筹学
4
数据结构
数学；计算机
5
应用统计
数学；运筹学
6 计算机模拟 计算机；运筹学
7 计算机编程
计算机
8
预测理论
运筹学
9
数学实验 运筹学；计算机
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
线性代数
4
数学
3
最优化方法
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
4
数据结构
3
数学；计算机
计算机编程
5
应用统计
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
6
计算机模拟
3
计算机；运筹学
计算机编程
7
计算机编程
2
计算机
8
预测理论
2
运筹学
应用统计
9
数学实验
3
运筹学；计算机 微积分；线性代数
要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课
矛 盾 的
s.t. 4x1 5x2 80
4x1 2x2 48
x1
6
x1, x2 0
一般形式： min Q( X ) max R( X ) s.t. F ( X ) M
X O
双目标规划模型
化成单目标规划模型
化法一 化法二
min Q( X )
max R( X )
s.t. R( X ) a 或 F(X) M
求解算法
转化为单目标
实例1：投资的收益和风险
市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si ( i=1,…n) 供 投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作 一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评 估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率，并预测出购 买Si的风险损失率。考虑到投资越分散，总的风险越小，公 司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所 投资的Si中最大的一个风险来度量。 购买Si要付交易费，费率已知，并且当购买额不超过最低限 额时，交易费按购买最低限额计算（不买当然无须付费）。 另外，假定同期银行存款年利率是1%, 且既无交易费又无风 险。试给该公司设计一种投资组合方案 目标一：使净收益尽可能大； 目标二：而总体风险尽可能小。
一、多 目 标 优 化 简 介
• 优化(Optimization) : 从若干可能的方案中寻求某 种意义下的最优方案
•多目标规划（Multiple Objectives Programming） 是数学规划的一个分支，研究多于一个目标函数在给 定区域上的最优化，又称多目标最优化，通常记为 VMP。
每条线路中的景点可以全部参观，也可以参观其中之一。 不仅如此，一起参观景点的人数越多，每人承担的费用也会越 小。车费与车型、乘客人数、路程种类及公里数有关。
主办方在会议开始前对所有参会的100位代表 旅游意向进行了调查，充分考虑这些代表的意愿， 为主办方设计代表们合适的旅游路线，使他们在会 议结束后的10天时间内花最少的钱游尽可能多的地 方。 目标一：宾客参观意愿满意度尽可能高 目标二：宾客所花费用尽可能少 目标三：宾客游尽可能多的景点
约束条件
最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课。
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
目标函数 选修课程总数最少
9
Min Z xi i 1
x1 x2 x3 x4 x5 2
x3 x5 x6 x8 x9 3 x4 x6 x7 x9 2
2. 线性加权和法：按照m个目标 fi(x) 的重要
ห้องสมุดไป่ตู้程度，分别乘以一组权系数，然后相加作
为目标函数。
m
m
u f x i fi x i 1
i 1
i 1
转化单目标法
3. 极大极小点法
min
1im
u
f
x
min
xX
max
1im
fi
x
4. 范数理想点法
1
d p
f x, f ;
m
i
fix fi
p p
i1
转化单目标法
5. 评价函数法 以上的各种方法都是由 fi (x)归结成一
个目标其可看作是 fi ( x) 的函数 U( x) u( f ( x))
我们可统一称其为评价函数，显然其 具有很大的概括性，它不仅包括以上的 一些方法，还可以构造新的方法。当然 这种构造也不是随意的，一般要根据问 题的具体背景和几何意义来构造
转化为单目标的具体方法介绍：
1. 主要目标法 在多目标优化问题中，根据问题的实际
情况，确定一个目标为主要目标，而把其余目 标作为次要目标，并且根据决策者的经验，选 取一定的界限值。这样就可以把次要目标也作 为约束来处理，于是就将原多目标问题转化为 在新的约束下，求主要目标的单目标优化问题。
转化单目标法
s.t. Q( X ) b F(X) M
X O
X O
min Q( X ) (1 ) R( X )
s.t. F ( X ) M
X O
为目标权重或偏好系数。
a,b, 均可看成参数，对不同的参数值求出
最优解，然后加以讨论，选出满意解。
例 选课策略
课号
课名
学分
0-1规划模型
课号
课名
先修课要求
1
微积分
2
线性代数
3
最优化方法 微积分；线性代数
4
数据结构
计算机编程
5
应用统计 微积分；线性代数
6
计算机模拟
计算机编程
7
计算机编程
8
预测理论
应用统计
9
数学实验 微积分；线性代数
线性多目标规划模型---线性加权和法
例： 一个生产问题，有关数
据如表。问如何安排生产可 使总利润最大，产量之和最 小。要求第二种原料用完。
原单料耗品 产 甲
A4
B4
C1 单位利润 80
乙
5
2
0 100
总量
80 48 6
解 设 x1, x2为甲，乙的产量
则
min max
z1 x1 x2 z2 80x1 100x2
求解算法
转化为单目标
实例2：旅游路线设计
今年暑假，我校要召开“××学术会议”，届时来自国内 外的许多著名学者都会相聚成都。在会议结束后，主办方希望 能安排这些远道而来的贵宾参观四川省境内的著名自然和人文 景观，初步设想有如下线路可供选择： 一号线：九寨沟、黄龙； 二号线：乐山、峨嵋； 三号线：四姑娘山、丹巴； 四号线：都江堰、青城山； 五号线：海螺沟、康定；
为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？
选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
0-1规划模型
决策变量
课号
课名
所属类别
1
微积分
数学
2
线性代数
数学
3 最优化方法 数学；运筹学
4
数据结构
数学；计算机
5
应用统计
数学；运筹学
6 计算机模拟 计算机；运筹学
7 计算机编程
计算机
8
预测理论
运筹学
9
数学实验 运筹学；计算机
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
线性代数
4
数学
3
最优化方法
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
4
数据结构
3
数学；计算机
计算机编程
5
应用统计
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
6
计算机模拟
3
计算机；运筹学
计算机编程
7
计算机编程
2
计算机
8
预测理论
2
运筹学
应用统计
9
数学实验
3
运筹学；计算机 微积分；线性代数
要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课
矛 盾 的
s.t. 4x1 5x2 80
4x1 2x2 48
x1
6
x1, x2 0
一般形式： min Q( X ) max R( X ) s.t. F ( X ) M
X O
双目标规划模型
化成单目标规划模型
化法一 化法二
min Q( X )
max R( X )
s.t. R( X ) a 或 F(X) M
求解算法
转化为单目标
实例1：投资的收益和风险
市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si ( i=1,…n) 供 投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作 一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评 估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率，并预测出购 买Si的风险损失率。考虑到投资越分散，总的风险越小，公 司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所 投资的Si中最大的一个风险来度量。 购买Si要付交易费，费率已知，并且当购买额不超过最低限 额时，交易费按购买最低限额计算（不买当然无须付费）。 另外，假定同期银行存款年利率是1%, 且既无交易费又无风 险。试给该公司设计一种投资组合方案 目标一：使净收益尽可能大； 目标二：而总体风险尽可能小。