中考数学圆的综合综合题附答案解析

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：

（1）求证：CD 是⊙O 的切线；

（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．

【答案】（1）证明见解析（2）24

【解析】

试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．

试题解析：（1）证明：连接OD ，

∵OD=OA ，

∴∠ODA=∠A ，

∵四边形OABC 是平行四边形，

∴OC ∥AB ，

∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ，

∴∠EOC=∠DOC ，

在△EOC 和△DOC 中，

OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△EOC ≌△DOC （SAS ），

∴∠ODC=∠OEC=90°，

即OD ⊥DC ，

∴CD 是⊙O 的切线；

（2）由（1）知CD 是圆O 的切线，

∴△CDO 为直角三角形，

∵S △CDO =

12

CD•OD ， 又∵OA=BC=OD=4，

∴S△CDO=1

2

×6×4=12，

∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24．

2．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x

=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x

=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

（3）设MBN

∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析

【解析】

试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；

（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．

试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，

∴OA旋转了45°．

∴OA在旋转过程中所扫过的面积为

2

452

3602ππ

⨯

=．

（2）∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．

∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．

又∵BA=BC，∴AM=CN．

又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．

∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON ）=12

（90°-45°）=22.5°． ∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为45°-22.5°=22.5°． （3）在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．

证明：延长BA 交y 轴于E 点，

则∠AOE=45°-∠AOM ，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM ，

∴∠AOE=∠CON ．

又∵OA=OC ，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN ．

∴△OAE ≌△OCN ．

∴OE=ON ，AE=CN ．

又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM ，

∴△OME ≌△OMN ．∴MN=ME=AM+AE ．

∴MN=AM+CN ，

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．

∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．

考点：旋转的性质.

3．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．

（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）若AE ＝8，⊙O 的半径为5，求DE 的长．

【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切（2）4

【解析】

试题分析：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴EAD OAD ∠∠＝，∵OA OD ＝，∴ODA OAD ∠∠＝，∴ODA EAD ∠∠＝，∴EA ∥OD ，∵DE ⊥EA ，∴DE ⊥OD ，又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切

（2）

如图1，作DF ⊥AB ，垂足为F ，∴DFA DEA 90∠∠︒＝＝，

∵EAD FAD ∠∠＝，AD AD ＝，∴△EAD ≌△FAD ，∴AF AE 8＝＝，DF DE ＝，∵OA OD 5＝＝，∴OF 3＝，在Rt △DOF 中，22DF 4OD OF -＝＝，∴AF AE 8＝＝ 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系

点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．

4．如图，△ABC 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，∠PAC=∠B ，AD 为⊙O 的直径，过C 作CG ⊥AD 于E ，交AB 于F ，交⊙O 于G ．

（1）判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）求证：AG 2=AF·

AB ； （3）若⊙O 的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG 的面积.

【答案】（1）PA 与⊙O 相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3.

【解析】

试题分析：（1）连接CD ，由AD 为⊙O 的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D ，由已知∠PAC=∠B ，可证得DA ⊥PA ，继而可证得PA 与⊙O 相切．

（2）连接BG ，易证得△AFG ∽△AGB ，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.

（3）连接BD ，由AG 2=AF•AB ，可求得AF 的长，易证得△AEF ∽△ABD ，即可求得AE 的长，继而可求得EF 与EG 的长，则可求得答案．

试题解析：解：（1）PA 与⊙O 相切．理由如下：

如答图1，连接CD ，

∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD=90°.