高中数学导数典型例题精讲(详细版)

导数经典例题精讲

导数知识点

导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(１）1

lim

0n n

→∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →=

.

两个重要的极限

：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x

x e x →∞⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

（ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0

lim ()x x f x a →=，0

lim ()x x

g x b →=,则 (１)()()0

lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦;（2)()()0

lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;（3)()()()0

lim 0x x

f x a

b g x b

→=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞

==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b

→∞⋅=⋅（3)()lim

0n n n a a

b b b

→∞

=≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅（ c 是常数)

)(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商）

000000()()()lim lim

x x x x f x x f x y

f x y x x

=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. .瞬时速度：00()()

()lim lim

t t s s t t s t s t t t

υ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 瞬时加速度：00()()

()lim lim

t t v v t t v t a v t t t

∆→∆→∆+∆-'===∆∆. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()()

lim lim

x x y f x x f x x x

∆→∆→∆+∆-==∆∆. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数

(1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -='

(4）

x x 1

)(ln =

'；e a x x

a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='． 导数的运算法则

(1）'

'

'

()u v u v ±=±．（2)'

'

'

()uv u v uv =+.（3)''

'2

()(0)u u v uv v v v

-=≠. 复合函数的求导法则

设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数

''()u y f u =,则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''

x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=．

【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数,则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力．

[解答过程] ()2

2()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=

故填3.

例2.设函数()1

x a f x x -=-,集合Ｍ＝{|()0}x f x <，P='{|()0}x f x >,若ＭP ,则实数a 的取值范围是 ( )

Ａ.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,＋∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力． [解答过程]由0,,1;, 1.

1

x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时

()()()

/

/2211,0.11111.

x x a x a x a a y y x x x x a ------⎛⎫=∴===> ⎪--⎝⎭--∴> 综上可得M Ｐ时， 1.a ∴>

考点2 曲线的切线

（1)关于曲线在某一点的切线

求曲线y ＝f(x)在某一点P （x ，y ）的切线，即求出函数y ＝ｆ(x)在Ｐ点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题

例3．已知函数32

11()32

f x x ax bx =++在区间[11)

-，，(13]，内各有一个极值点． (I)求24a b -的最大值;

（I Ｉ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ,若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象(即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动,经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式． 思路启迪:用求导来求得切线斜率． 解答过程:（Ｉ）因为函数32

11()32

f x x ax bx =

++在区间[11)

-，,(13]，内分别有一个极值点,所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，,(13]，内分别有一个实根,

设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=

-2104x x <-≤．于是

2044a b <-，20416a b <-≤，且当11x =-，

23x =，即2a =-,3b =-时等号成立.故24a b -的最大值是1６.

(ＩI ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是

(1)(1)(1)y f f x '-=-,即21

(1)32

y a b x a =++--,

因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21

()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++-

-在1x =两边附近的函数值异号,则 1x =不是()g x 的极值点.

而()g x 321121

(1)3232

x ax bx a b x a =

++-++++，且