平顶山学院大一期末试题

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高等数学(下册)考试试卷(一)

一、填空题(每小题3分,共计24分)

1、 z =)0()(log 2

2>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分

⎰⎰

≤++1

||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()

()

(βαψϕ≤≤⎩⎨

⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为92

2

=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰

ds y x )12

2( 。

6、微分方程x y

x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04)

4(=-y y

的通解为 。

8、级数

∑∞

=+1

)1(1

n n n 的和为 。

二、选择题(每小题2分,共计16分)

1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续;

(B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在;

(C ) y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(2

2→∆+∆y x 时,是无穷小;

(D )0)

()(),(),(lim

2

2

00000

=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x y

y x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y

u

y x u x ∂∂+∂∂等于( )

(A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,12

2

2

≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω

=

zdV I 等于( )

(A )4

⎰⎰2

201

3

cos sin π

π

ϕϕϕθdr r d d ;(B )⎰⎰⎰20

1

2

sin π

πϕϕθdr r d d ;

(C )

⎰⎰ππ

ϕϕϕθ20

20

10

3cos sin dr r d d ;

(D )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20

1

3cos sin dr r d d 。

4、球面2

2

2

2

4a z y x =++与柱面ax y x 22

2

=+所围成的立体体积V=( )

(A )⎰

⎰-2

cos 20

2

244

π

θθa dr r a d ; (B )⎰⎰

-20

cos 20

2244π

θθa dr r a r d ;

(C )⎰

-20

cos 20

2

248

π

θθa dr r a r d ; (D )⎰

-

-22

cos 20

224π

πθθa dr r a r d 。

5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成,L 取正向,函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数,则

⎰=+L

Qdy Pdx )(

(A )

⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy x Q y P )(

; (B )⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(; (C )

⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy y Q x P )(

; (D )⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy y P x Q )(。 6、下列说法中错误的是( ) (A ) 方程022

=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程; (B ) 方程x y dx

dy

x dx dy y

sin =+是一阶微分方程; (C ) 方程0)3()2(2

2

2

3

2

=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程; (D )

方程

x

y x dx dy 221=+是伯努利方程。 7、已知曲线)(x y y =经过原点,且在原点处的切线与直线062=++y x 平行,而)(x y 满足微分方程

052=+'-''y y y ,则曲线的方程为=y ( )

(A )x e x

2sin -; (B ))2cos 2(sin x x e x

-; (C ))2sin 2(cos x x e x

-; (D )x e x

2sin 。

8、设0lim =∞

→n n nu , 则

∑∞

=1

n n

u

( )

(A )收敛; (B )发散; (C )不一定; (D )绝对收敛。 三、求解下列问题(共计15分)

1、(7分)设g f ,均为连续可微函数。)(),,(xy x g v xy x f u +==,

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