平顶山学院大一期末试题
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高等数学(下册)考试试卷(一)
一、填空题(每小题3分,共计24分)
1、 z =)0()(log 2
2>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分
⎰⎰
≤++1
||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()
()
(βαψϕ≤≤⎩⎨
⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为92
2
=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰
∑
ds y x )12
2( 。
6、微分方程x y
x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04)
4(=-y y
的通解为 。
8、级数
∑∞
=+1
)1(1
n n n 的和为 。
二、选择题(每小题2分,共计16分)
1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续;
(B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在;
(C ) y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(2
2→∆+∆y x 时,是无穷小;
(D )0)
()(),(),(lim
2
2
00000
=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x y
y x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y
u
y x u x ∂∂+∂∂等于( )
(A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,12
2
2
≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω
=
zdV I 等于( )
(A )4
⎰
⎰⎰2
201
3
cos sin π
π
ϕϕϕθdr r d d ;(B )⎰⎰⎰20
1
2
sin π
πϕϕθdr r d d ;
(C )
⎰
⎰⎰ππ
ϕϕϕθ20
20
10
3cos sin dr r d d ;
(D )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20
1
3cos sin dr r d d 。
4、球面2
2
2
2
4a z y x =++与柱面ax y x 22
2
=+所围成的立体体积V=( )
(A )⎰
⎰-2
cos 20
2
244
π
θθa dr r a d ; (B )⎰⎰
-20
cos 20
2244π
θθa dr r a r d ;
(C )⎰
⎰
-20
cos 20
2
248
π
θθa dr r a r d ; (D )⎰
⎰
-
-22
cos 20
224π
πθθa dr r a r d 。
5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成,L 取正向,函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数,则
⎰=+L
Qdy Pdx )(
(A )
⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy x Q y P )(
; (B )⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(; (C )
⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy y Q x P )(
; (D )⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy y P x Q )(。 6、下列说法中错误的是( ) (A ) 方程022
=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程; (B ) 方程x y dx
dy
x dx dy y
sin =+是一阶微分方程; (C ) 方程0)3()2(2
2
2
3
2
=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程; (D )
方程
x
y x dx dy 221=+是伯努利方程。 7、已知曲线)(x y y =经过原点,且在原点处的切线与直线062=++y x 平行,而)(x y 满足微分方程
052=+'-''y y y ,则曲线的方程为=y ( )
(A )x e x
2sin -; (B ))2cos 2(sin x x e x
-; (C ))2sin 2(cos x x e x
-; (D )x e x
2sin 。
8、设0lim =∞
→n n nu , 则
∑∞
=1
n n
u
( )
(A )收敛; (B )发散; (C )不一定; (D )绝对收敛。 三、求解下列问题(共计15分)
1、(7分)设g f ,均为连续可微函数。)(),,(xy x g v xy x f u +==,