苏州大学高等代数

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08
07化二次型
()123122313,,222f x x x x x x x x x =-+为标准型,并给出所用的非退化线性替换.
一, 求三阶矩阵12
61725027-⎛⎫
⎪ ⎪
⎪--⎝

的Jordan 标准型. 二, 设,n
R αβ∈且长度为2,矩阵T T n A E ααββ=++求A 的特征多项式.
三, 设A 是n 阶反对称矩阵,n E 为单位矩阵.证明:a E A +可逆设,()()
1
Q=E+A b E A --设 求证Q 是正交阵.
四, 设
A 是3阶对称矩阵,且A 的各行元素之和都是3,向量()()
0,1,1,1,2,1T
T
αβ=-=--是0AX =的解,求矩阵A 的特征值,特
征向量,求正交阵Q 和矩阵B 使得T
Q BQ A =
五, 设
P
是一个数域,
()
P x 是
[]P x 中次数大于0的多项式,证明:如果对于任意的
()
f x ,
()
g x ,若有
()()()|P x f x g x ()()()()||p x f x p x g x ⇒
或者,那么()P x 是不可约多项式. 六, 设欧氏空间中有12,0.n βαααβ
≠ ,,,,()112,,,,n W L ααα= ()212,,,,n W L βααα= 证明:
如果,0i βα=,那么2
1dim dim W W ≠设σ是n 维欧氏空间中的一个对称变换,则()ker V V σσ=⊕.
苏州大学2007年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答
1. 解 所给二次型的矩阵为
011101110A ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
其特征多项式为2()||(1)(2)f E A λλλλ=-=-+.故特征值为121,2λλ==-.
11λ=,解对应的特征方程()0E A X -=得1(110)T X =,2(101)T X =.
22λ=-,解对应的特征方程(2)0E A X --=得3(111)T X =-.
以123,,X X X 作为列向量作成矩阵C .则C 可逆,且T
C AC 为对角阵. 这时做非退化线性替换
112
213
3
123y x x y x x y x x x
=+⎧⎪
=+⎨⎪=-++⎩得222123123(,,)2f y y y y y y =+-.■ 2. 解 12
61725027E A λλλλ+--⎛⎫ ⎪
-=--- ⎪ ⎪+⎝⎭,将其对角化为
210001000(1)(1)λλ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭
.故A 的若当标准形为100110001-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
.■ 3. 解 A 的特征多项式为()||n f E A λλ=- (1)T T
n E λααββ=--- (1)()T
T n E αλαββ⎛⎫=--
⎪⎝⎭
2
2(1)
(1)()T n T E αλλα
ββ-⎛⎫
=--- ⎪ ⎪⎝⎭
2
2(1)
(1)T T n T
T
E αα
αβλλβαββ-⎛⎫
=--- ⎪⎝⎭
2
1(1)
1T T n T T
λαααβλβαλββ
----=--- 222
(1)(1025())n T λλλαβ-=--++.■ 4. 证 ⑴ A 是反对称实矩阵,故其特征值为零或纯虚数.其实,假定λ是A 的特征值,ξ是相应的特征向量.则
()()()T T T T T
T T T A A A A A ξλξξξξ=⇒==⇒=-=-=-,又
T
T
A ξξλξξ=,故λλ=-,这说明λ是零或纯虚数.由此得||0E A +≠,因而E A +可逆.
⑵ 由⑴知E A -可逆,这说明Q 有意义.而1()()T Q E A E A -=+-,因此
11()()()()T Q Q E A E A E A E A --=+-+- 11()()()()E A E A E A E A --=++--E =.故Q 是正交矩阵. ■
5. 解 依题意有
011003121003111003A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因而1
003011111003121111003111111A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
其特征多项式为2()||(3)f E A λλλλ=-=-.故特征值为120,3λλ==.
⑴10λ=,解特征方程0AX -=得()11,0,1T
X =-,()21,1,0T
X =-.特征向量为1122l X l X +. ⑵23λ=,解特征方程(3)0E A X -=得()31,1,1T X =.特征向量为33l X .
以上123,,l l l R ∈.把向量12,X X
正交并单位化得1(η=
,2η⎛= ⎝.把向量3X 单位化

3η=.以123,,ηηη作为列向量作成矩阵P ,则P 为正交矩阵且000000003T P AP B ⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭
.0T Q P ⎛⎫ ⎪ == ⎪
⎪⎝

,则Q 满足T Q BQ A =.■ 6. 证 假设()p x 可约,不妨设12()()()p x p x p x =,其中120((),())(())p x p x p x <∂<∂.这时显然有
12()|()()p x p x p x ,但不可能有1()|()p x p x 或者2()|()p x p x .这与题设矛盾,故假设错误.因而()p x 不可约. ■
7. 证 依题显然有12W W ⊂,假设21dim dim W W =,则12W W =.于是1W β∈ ,这说明β可被12,,,n ααα 线性表出.记1122n n l l l βααα=+++
给上式两边同时计算
,ββ得,0ββ=,于是0β=,与题设矛盾,故假设错误, 原
命题21dim dim W W ≠成立. ■
8. 证 对于任意的ker ασ∈及任意的V σβσ∈,有
,,0ασββ==,于是有
ker V σσ⊥,因而ker {0}V σσ= .又dim ker dim V n σσ+=,于是
dim(ker )V n σσ+=,故ker V V σσ=⊕.■
06一,用正交线性替换将实三元二次型222
123112132233
(,,)44282f x x x x x x x x x x x x =-+-+-变成标准形,并写出所用的非退化线性变换。

二、设212254115A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

A 是否相似于一个对角阵?如果相似,则求出可逆矩阵C ,使得1
C AC -为对角阵,且写出此对角阵。

三、设
1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 是一个整系数多项式,证明:如果0n a a + 是一个奇数,则()f x 不能被x-1整除,
也不能被x+1整除。

四、设A 是一个n n ⨯矩阵,证明:如果A 的秩等于
2A 的秩,则齐次线性方程组AX=0与齐次线性方程组2A X=0同解。

五、设V 是有理数域Q 上的线性空间,id 是V 的恒等变换。

又设δ是V 的一个线性变换,证明:如果3
25id δδδ=++,则δ
没有
特征值。

六、设 A 是n n ⨯实对称矩阵,b 是A 的最大的特征值。

证明:对任意n 维非零的实列向量α,都有
(,)
(,)
A b αααα≤。

七、设V=5[]F x 是F 上全体次数<5的多项式及零多项式构成的线性空间。

()f x V ∀∈,定义映射(())()f x r x δ=,其中2()(1)()()f x x q x r x =-+,()r x =0或deg(())2r x <
a) 证明映射δ是V 的一个线性变换。

b)
求δ在基{1,x,
2x ,3x ,4x }下的矩阵。

8.设A,B 都是n n ⨯矩阵,并且AB=BA 。

证明:如果A,B 都相似于对角矩阵,则A+B 也相似于对角矩阵。

051、(20分)设A,B 均为n 阶方阵,A 中的所有元素均为1,B 中的除元素为1外,其余元素均为0.问A,B 是否等价?是否合同?是否相似?为什么?
2、(20分)设A=。

v 是的A 最大的特征值。

求A 的属于v 的特征子空间的基。

3、(20分)设f (x )是一个整系数多项式。

证明:如果存在一个偶数m 和一个奇数n 使得f (m )和f (n )都是奇数,则f (x )没有整数根。

4、(20分)设A 是一个2n ×2n 的矩阵。

证明:如果对于任意的2n ×2矩阵B ,矩阵方程AX =B 都有解,则A 是可逆的。

5、(20分)证明实系数线性方程组AX=B 有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B 与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间
正交。

6、(20分)设A,B是n×n实对称矩阵,且A+B=E,E为单位矩阵。

证明下列结论等价:
(1)AB=O,O为零矩阵(2)秩(A)+秩(B)=n
7、(20分)设V是复数域上的n维线性空间,q,p是V上的两个可对角化的线性变换,且qp=pq。

证明:
(1)如果k是q的特征值,那么V(k)是的不变子空间。

(2)存在一组基使得q、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。

8、(10分)设A,B,C分别是m×m,n×n,m×n矩阵(m>n),且AC=CB,C的秩为r.
证明: A和B至少有r个相同的特征值。

注意:7题中V(k)在原题中k为V的下标。

1
11
115'1011210102135010102125
2353
12
0110111102122210210
110112101521010213501031010102X X X ----⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
-⎝

⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭一()求满足下列条件的解;1
101021102411511222-⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭ ⎪
⎝⎭
--⎛⎫
⎪= ⎪-
⎝⎭
15∂∂1212i 12二(‘)设P 是一个数域,p (x)是P[x]中次数大于0的多项式,
证明:如果对于任何多项式f(x),g(x),由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x),那么p(x)是不可约多项式。

证明:假设p(x)是可约多项式,则存在p (x),p (x)使得p(x)=p (x)p (x),且(p (x))<(p(x)),i=1,2取f(x)=p (x),g(x)=p (x),因此f(x)g(x)=p(x)则p(x)|f(x)g(x)
但p(x)不整除f(x)且不整除g(x)与题设矛盾!所以p(x)是不可约多项式
21
112112510{|}200()()0
00{|}
P n V V V V σσσσασαασστσστσττσ
ασασασασασασαασασσασααβσ-----==-∈=⊕∀∈-==-∈⇒⊇-∈∈三(’)设是数域上的维向量空间的一个线性变换,,证明:
()()()()()(V)
(3)如果是V 的线性变换,(),(V)都是的不变子空间,则有=证明:(1)V,则(())=()-()-则()()()()又取1211111120()0,{|}0{|}0{|}2,0000V V V V V σβββσββασαασασαασασαααασασαασασασσσσβσσσβαβσαβσασασσασ-------==-⇒∈-∈⇒⊆-∈=-∈∀∈-∈-∈++∈⋂∀∈==(),()()()()所以()()()则()()=()+()()(V)即V=()(V)
任取()(V),则()=0
,使得()
从而()=()=(())=(1111100000V βσσσσσστασβσγγαβ
ταστβσσταστβτβστγστγσταβστατβστβτβσασββτσγ-----⋂=⊕∀∈∈∈∈∈==)=0
所以()(V)={0}因此()(V)
(3)因为(),(V)是的不变子空间(),(V),V ,且=+()(),()(V),(())=0,(())=()()(())=((+))=(()+())=(())=()()=0,()=()τσγτσαβτσασβτβστγτσγσττσ
⇒=(())=((+))=(()+())=()从而()=()
11212120,s s
s i i σασλααασλααααασλαασααλααααα==+=i+1i i+1i i+1i i+112s i 四(20)设是数域P 上的向量空间V 的一个线性变换,是属于特征值
的特征向量,向量组,,……满足关系(-E )=,i=1,2 … s-1,其中E 是恒等变换
证明:,,
证明:因为(-E )=所以(),i=1,2 … s-1设k + k +
… + k 即 k 1121111
1
1
111
1
11
1
1
1
1
120()0
()()0,0
0,0
,s
s s i i s s i i i i s s s
i i i i i i s i i s So σααασασαλααλαλααααααα-+=--+==-===-==
=+=⇒++=⇒+==⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑12s 1i+11i+1i+1i i+1i i+123s-1k + k +
… + k k k i=1,2 … s-1
k k k k k 由于 k k k + k + … + k 1212111211120()0
000
000
s s s s σααααααααααααααα-=======⇒====23s-134s-2s s 12s-1s-1s-112s k + k +
… + k 重复上述过程可得k + k + … + k 继续重复上述过程,我们有k ,因为显然不为,所以k 从而我们有k + k + … + k 再继续上面步骤,可得k k 由归纳法得k k
… + k 因此,,…… 线性无关
21,231,212(20),122224242||0
122
224(2)(7)0242
2,7
2(0,1,1),(2,0,1)E A λλλλλλξξ-⎛⎫ ⎪
-- ⎪
⎪-⎝⎭
-=---=-+=-==-===222123123121323五用正交线性替换三元二次型
f(x ,x ,x )=x -2x -2x -4x x +4x x +8x x 为标准型并给出所用的正交线性替换.解:设A 为二次型矩阵,A=令即对应于的特征向量为对3112221113222
1237(1,2,2)(0,1,1)
()11
(2,,)
(,)22
(1,2,2)
0211
1221122200020007)()''227C C AC X CY
CY A CY Y C ACY y y y λξααξαξαααα=-=-=-=-
=-=-⎛⎫ ⎪ ⎪

=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪
'= ⎪
⎪-⎝⎭=''==+-3123应于的特征向量为正交化令从而令从而令则f(x ,x ,x )=X AX=(
*
*
**(15),,()()1,1
()()1,()()1
,0,0
A B n r A r B n n r A r B n so r r because AA A E BB B E A B ==->==-======⇒******六设为两个阶方阵其中齐次线性方程组AX=0与BX=0同解,证明:A 的非零列与B 的非零列的非零列成比例,其中A ,B 分别是A,B 的伴随矩阵.证明:since A B 的列向量是AX=0的解,的列向量是BX=0的解For,AX=0与BX αβαβ
⇒**=0同解
设是A 的非零列,是B 的非零列=k
,,((),)(,()),:(,())((),)(0,)0
()()...............................................(1),(),(V V V and V σταβσαβατβστασσαατβσαββατστβτβ⊥⊥⊥∈=∀∈⇒===⇒∈⇒⊆∀∈⇒七(15)设,是n 维欧式空间V 的线性变换,对任意都有证明的核等于的值域的正交补证明:ker , so,()=0ker ,())0
((),)(,())0()0()....................................................................(2)(1)(2)()V According and WeCanSee
V τβσβββτβσββστστσ
⊥⊥=⇒==⇒=⇒∈⇒⊆=ker ,ker ker
121122
11111112(15)(1),(),()[]((),())1(),(),,,0,0,0.
:(1),0()0()()()()0(2),(M P n n f x g x P x f x g x A f M B g M W W W ABX AX BX c W W A f M AB f M g M g M f M W W W W W W
because αααααααα>∈======∀∈∈=⇒=⇒===⇒∈⇒⊆⊆⇒+⊆12八设是数域上的阶方阵且分别是方程组的解空间,证明:证明同样W W (),())1,,(),()[]()()()()1()()()(),0,0,()0,()0(()()()())0{0}(3)sin ,,dim()dim()
,{0}dim(f x g x so u x v x P x u x f x v x g x u M f M v M g M E A B f M g M u M f M v M g M E ce W so W Also αααααααα=∃∈+=⇒+=∀∈⋂==⇒==⇒+=⇒=⇒⋂=+⊆+≤⋂=⇒12121212121W W W W W W W W W W W )dim()dim()
dim()dim()dim()....................................................(1),()()()
dim()dim()dim()
dim()dim()dim().........................W Still r A r B n r AB n n n n W W +=+⇒+≤+≤+⇒-+-≤+-⇒+≥212121212W W W W W W W W W ...........................(2),(1)(2),
dim()dim()dim(){0}{0}
From and W +=⋂=⇒⋂=121212W W also,W W W W
1(10),..........(,(1,2..........)(())()(n V n i n στστστσσστσστλσαλατασταστατσα-⇒===2i i i i i i i i 九设是数域P 上的n 维线性空间,,是V 的线性变换,有n 个互异的特征值,证明:与可交换的充分必要条件是:是E,,的线性组合,其中E 是恒等变换.
证明:因为=,设是的个互异的特征值,是属于的特征向量则也是的特征向量
事实上对于每个有222(((((),)1,(1,2..........),(),(1,2..........)
,.........),..........),.....i i i n n V V i n u V u u i n λλτσατλαλταταλατταλλσααααααλτααα∈==∃∈==⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
i i i i i i i i i i i 1211n 1)=))=)=)从而由于互异,所以dim(故也是的特征向量)
从而使于是有(((2111
),.........)1121212 (1)
..............................................n n n n n u u u n n n x x x u x x x u x x x u αααλλλλλλλ---⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
++=++=++= 121n (考虑方程组111
222
n n n
由于系数行列式(){11
211121121
121()0(1.........,(1,2..........)..................n n i j i i j n n n n n i i
n i n i i a a u i n a a u a a λλλλλλλλλλλλααεσασατα--≤<≤---=-≠'++==++=++∏ 112n n 12n i i i i i i 互异)
则方程组有唯一解,设为(a ,a ......a )则a 即(a )得(a ()())=()
由于12121,.................,..........n n i n i n V a a ααατεσασατσσσ--++12是的一组基,因此=a ()()
所以是E,,的线性组合
037.设P 是一个数域,V 是P 上n 维的线性空间,A 是V
的一个线性变换,记
{|}W a a V =A ∈.证明:5236A =A -A ,则V
是A 的核与W 的直和.
8.设
12(),(),,()n f x f x f x 是[0,1]上的连续函数.称12(),(),,()n f x f x f x 在[0,1]上线性相关,若存在不全为零的常数
12,,n
c c c ,使得
1
()0,[0,1]n
j
j j c
f x x =≡∈∑.证明:12(),(),,()
n f x f x f x 在
[0,1]
上线性相关的充要条件是
1
d e t ((()()))0i j n n
f x f x d x ⨯=⎰其中det()A 是
A 的行列式.
021.(15分)设A =1
11
1
10
1111001110001100001⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,12310122
10
01320001200
01n n n n n n B -⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪
--= ⎪
⎪ ⎪

⎪⎝

都是
n n ⨯矩阵。

解矩阵方程AX B =。

2.(20分)设
143253442A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
,A 是否相似于对角矩阵?如果相似于对角矩阵,求可逆矩阵C ,使得1C AC -是一个对角矩阵。

3.(10分)设
,,,k m r s 都是非负整数。

设23()1,f x x x x =+++4414243()k m r s g x x x x x +++=+++。

证明:
()f x 整除()g x 。

4.(10分)设A ,B 都是n n ⨯矩阵,G 是n m ⨯矩阵,并且G 的秩是n 。

证明:如果AG BG =,则A B =。

5.(10分)设A 是n n ⨯矩阵,并且A 是可逆的。

证明:如果A 与1A -的所有的元素都是整数,则A 的行列式是-1或1。

6.(10分)设A 是n n ⨯反对称矩阵,证明:2A -是半正定的。

7.(15分)设A 是n n ⨯矩阵。

如果2n A E =,并且()n A E -的秩是r ,A 是否相似于一个对角矩阵?如果是,求这个对角矩阵。

8.(10分)设
V 是有理数域 上的线性空间,V 的维数是
n ,A 与B 是V 的线性变换。

其中B 可对角化,并且AB BA A -=。

证明:存在正整数
m ,使得m A 是零变换。

001.(14分)设f (x),g (x),h (x)都是数域P 上的一元多项式,并且满足:
4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x ++-+-= (1) 4(1)()(1)()(2)()0
x f x x g x x h x +++++= (2)
证明:4
1x
+能整除()g x 。

证明:1
(2)(1):2()4()
0()()2g x h x h x g x -+=⇒=- (3)
将(3)带入(1)中,得到:4
1(1)()()2
x f x xg x +=-
441()x x x g x ∴+ +1与互素,.
注:本题也可以把g,h 作为未知量对线性方程求解,用克莱姆法则导出结果。

2.(14分)设A 是n ⨯r 的矩阵,并且秩(A )= r ,B ,C 是r ⨯m 矩阵,并且AB=AC ,证明:B=C 。

证明:,()0.AB AC A B C =
∴-=
(),A n r R A r A ⨯=∴ 是的矩阵,是列满秩的矩阵,即方程0AX =只有零解. 0,B C B C
∴-==即
3(15分)求矩阵
321222361A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
的最大的特征值0λ,并且求A 的属于0λ的特征子空间的一组基。

解:()()2
24E A λλλ-=-+,02λ∴=
当02λ=时,求出线性无关的特征向量为()()1210101
2ξξ==,,',,,', 则()120,,L
ξξλ构成的特征子空间12ξξ,是0λ的特征子空间的一组基.
4(14分)设⨯-2,3,-1是33矩阵A的特征值,计算行列式611n
A A E -+3.
解:⨯ -2,3,-1是33矩阵A的特征值,不妨设1232,3,1,λλλ=-==-
则矩阵611n A A E -+3对应的特征值为:12315,20,16ξξξ===

6111520164800n A A E -+=⨯⨯=3
5(14分)设A,B 都是实数域R 上的n n ⨯矩阵,证明:AB,BA 的特征多项式相等. 证明:要证明AB,BA 的特征多项式相等,只需证明:E A E B
λλ-=-
利用构造法,设0λ
≠,令1
E B
H A
E
λ=,
1101
0E B
E E
B A E A E E AB λ
λλ⎛


⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪

- ⎪ ⎪⎝⎭-

⎝⎭⎝⎭
,两边取行列式得 1
1
()n H E AB E AB
λλ
λ
=-
=-.(1)
11100E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛
⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,两边取行列式得
1
1
()n H E BA E BA
λλ
λ
=-
=-.(2)
由(1),(2)两式得1
(
)n E AB
λλ
-=1
(
)n E BA
λλ
-
E AB E BA λλ∴-=-.(3) 上述等式是假设了0λ
≠,但是(3)式两边均为λ的n 次多项式,有无穷多个值使它们成立(0λ≠),从而一定是恒等式.
注:此题可扩展为A是m n ⨯矩阵,B是n m ⨯矩阵,AB,BA的特征多项式有如下关系:n
m m n E AB E BA λλλλ-=-,这
个等式也称为薛尔佛斯特(Sylvester )公式. 6.(14分)设A 是n n ⨯实对称矩阵,证明:
257n A A E -+是一个正定矩阵.
证明:A 是实对称矩阵,则A的特征值均为实数. 设λ为A的任意特征值,则257n A A E -+的特征值为2253
57()024
ξλλλ=-+=-+>.

257n A A E -+是一个正定矩阵.
7.(15分)设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,设1
,n V A
α-∈≠使0,但是()n A α=0,其中n>1.证明:
21{,,,,}n A A A αααα- 是V的一组基.并且求线性变换A在此基下的矩阵,以及A的核的维数.
证明:1
n n A A α-≠ 0,=0.令()()10110n n l l A l A ααα--+++= .
(1) 用
1n A -左乘(1)式两边,得到10()0n l A α-=.
由于
1n A -≠0,00l ∴=,带入(1)得()()1110n n l A l A αα--++= .(2) 再用
2n A -左乘(2)式两端,可得10l =.
这样继续下去,可得到0110n l l l -==== .
21,,,,n A A A αααα-∴ 线性无关.
21,,,,)n A A A A αααα- (=21,,,,)n A A A αααα- (0000100001000010⎛


⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

∴A在此基下的矩阵为00
001
00001000010⎛⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭
, 可见,()1R A n =-,dimker (1)1A n n ∴=--=
即A 的核的维数为1.。

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