第一章思考练习题

思考与练习

1、试论述空穴具有下述的主要特征： 1) 空穴浓度等于价带中空状态浓度。

2) 空穴所带的正电荷等于电子电荷。J=（-qV ）=0，即 J=+qV

3) 空穴的有效质量*p m 等于原空状态内电子有效质量的负值*p m =-*

n m >0。

价带顶电子有效质量小于0，所以空穴有效质量*p m >0。 4) 空穴的波失p k 等于原状态内电子波失n k 的负值，即n p k k -=。

价带顶电子**

*()1p

n n n n p

hk hk h k dE v h dk m m m -====-

5) 空穴的能量p E 等于原空状态内电子能量n E 的负值，即n p E E -=。

电子*

222n

n m k h E =

p p p n n

n E m k h m k h E ==-=-*22*2

222

2、某半导体晶体价带顶附近能量E 可表示为：)(10)(226max erg k E k E -=，现将其中一

波失i k

710=的电子移走，试求此电子留下的空穴的有效质量，波矢及速度。

制）

s g cm erg J ⋅⋅=(1017，普朗克常数346.6210h J s -=⨯⋅ 解：由题中条件可知，()2622

2max ()10()x y

z E k E k k k erg =-++，显然，价带顶附近等能面为球面，有效质量各向同性，即是一个标量。

(1)2

22*11dk

E

d h m n =，所以 ()1

2

2**22727

226

16.6210 2.210()210p n E m m h g k ----⎛⎫∂⎛⎫=-=-=⨯⨯-=⨯ ⎪ ⎪∂⨯⎝⎭

⎝⎭

(2)由速度()1E

v k h k

∂=

∂可得 2611

(210)x x

x E v k h k h

-∂=

=⨯-⨯∂，

2611

(210)y y

y E v k h k h

-∂=

=⨯-⨯∂，

2611

(210)z z z E v k h k h

-∂=

=⨯-⨯∂；

当710/k i cm = 时，即7

10=x k ，0==z y k k ；对于空穴i k x 710)(-=空

)/(1002.310)102(1)(7

726s cm i i h k v ⨯=⨯⨯-⨯-=-

(3)n p k k -= )(/107

cm i k p -=∴

3、在各向异性晶体中，电子能量E 可用波矢k 的分量表示成：22

2z y x k Ck Bk Ak E ++=

试导出类似牛顿方程220dt

r

d m F =的电子运动方程。

解：dk

dE

h v 1=

2

22)1()(1)(1)(1)(1dk

E d h

F dk dE h dk d h F Fv dt d h dt ds F dt d h dt dE dt d h dk dE dt d h dt dv a ======= 令2

22*11dk

E d h m n =，得出dt dv m

F n *= 由于晶体各向异性，2

22

*11x

nx k E h m ∂∂=A h 21

2⋅= =*1ny m B h

k E h y 21

12222⋅=∂∂

C h

k E h m z nz 21

112222*

⋅=∂∂= dt dv A h F x x 22=，dt

dv B h F y

y 22=，dt dv C h F z z 22=

4、证明：对于能带中的电子，k 状态和-k 状态的电子速度大小相等，方向相反。即v(k)=-v(-k)，并解释为什么无外场时，晶体总电流等于零。

解：

k 状态电子速度 ])

()()([1)(k k k E j k k E i k k E h k v z y x ∂∂+∂∂+∂∂= (1)

-k 状态电子速度 ])

()()([1)(k k k E j k k E i k k E h k v z y x ∂-∂+∂-∂+∂-∂=- (2)

从一维情况容易看出，

x

x k k E k k E ∂∂-

=∂-∂)

()(，同理：

y y k k E k k E ∂∂-=∂-∂)()(，z

z k k E k k E ∂∂-

=∂-∂)()

( (3) (3)代入(2)即得：v(-k)=-v(k)，因为电子占据某个状态的几率只同该状态的能量有关，又因为E(k)=E(-k),且v(k)=-v(-k)，即两个状态上的电子电流互相抵消，晶体中总电流为零。

5、(书上P32，习题1)设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量)(k E c 和价带

极大值附近能量)(k E v 分别为：)(k E c =0212022)(3m k k h m k h -+和)(k E v =0

2

202

1236m k

h m k h -

，0m 为电子惯性质量，1k =1/2a ，a=0.314nm.试求： ①. 禁带宽度。

②. 导带底电子有效质量。 ③. 价带顶电子有效质量。

④. 价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。 解：

①. 禁带宽度

由)(k E c 和)(k E v 的关系式 （令

0=dk

dE

确定极值点位置） c E 位于4/31k k =处。属于间接带隙半导体。

2222

1100,46c v h k h k E E m m ==

()

()

22

10

2

3431

2

1019126.63101

129.1104 3.1410

1.02100.64g c v h k E E E m J eV

----=-=

⨯=

⨯

⨯⨯⨯⨯=⨯=

②. 2*22

0()1183c n d E k m m h dk ==得，2828

0339.110 3.411088n m g m g -*-⨯⨯===⨯ ③. 2*22

0()1160v n d E k m m h dk

==-<得，280 1.52106n m m g *-=-=-⨯ ④. 价带顶k=0处，导带底1'4

3

k k =

处。