第一章思考练习题

思考与练习1、试论述空穴具有下述的主要特征： 1) 空穴浓度等于价带中空状态浓度。

2) 空穴所带的正电荷等于电子电荷。

J=（-qV ）=0，即 J=+qV3) 空穴的有效质量*p m 等于原空状态内电子有效质量的负值*p m =-*n m >0。

价带顶电子有效质量小于0，所以空穴有效质量*p m >0。

4) 空穴的波失p k 等于原状态内电子波失n k 的负值，即n p k k -=。

价带顶电子***()1pn n n n phk hk h k dE v h dk m m m -====-5) 空穴的能量p E 等于原空状态内电子能量n E 的负值，即n p E E -=。

电子*222nn m k h E =p p p n nn E m k h m k h E ==-=-*22*22222、某半导体晶体价带顶附近能量E 可表示为：)(10)(226max erg k E k E -=，现将其中一波失i k710=的电子移走，试求此电子留下的空穴的有效质量，波矢及速度。

制）s g cm erg J ⋅⋅=(1017，普朗克常数346.6210h J s -=⨯⋅ 解：由题中条件可知，()26222max ()10()x yz E k E k k k erg =-++，显然，价带顶附近等能面为球面，有效质量各向同性，即是一个标量。

(1)222*11dkEd h m n =，所以 ()122**2272722616.6210 2.210()210p n E m m h g k ----⎛⎫∂⎛⎫=-=-=⨯⨯-=⨯ ⎪ ⎪∂⨯⎝⎭⎝⎭(2)由速度()1Ev k h k∂=∂可得 2611(210)x xx E v k h k h-∂==⨯-⨯∂，2611(210)y yy E v k h k h-∂==⨯-⨯∂，2611(210)z z z E v k h k h-∂==⨯-⨯∂；当710/k i cm = 时，即710=x k ，0==z y k k ；对于空穴i k x 710)(-=空)/(1002.310)102(1)(7726s cm i i h k v ⨯=⨯⨯-⨯-=-(3)n p k k -= )(/107cm i k p -=∴3、在各向异性晶体中，电子能量E 可用波矢k 的分量表示成：222z y x k Ck Bk Ak E ++=试导出类似牛顿方程220dtrd m F =的电子运动方程。

解：dkdEh v 1=222)1()(1)(1)(1)(1dkE d hF dk dE h dk d h F Fv dt d h dt ds F dt d h dt dE dt d h dk dE dt d h dt dv a ======= 令222*11dkE d h m n =，得出dt dv mF n *= 由于晶体各向异性，222*11xnx k E h m ∂∂=A h 212⋅= =*1ny m B hk E h y 2112222⋅=∂∂C hk E h m z nz 21112222*⋅=∂∂= dt dv A h F x x 22=，dtdv B h F yy 22=，dt dv C h F z z 22=4、证明：对于能带中的电子，k 状态和-k 状态的电子速度大小相等，方向相反。

即v(k)=-v(-k)，并解释为什么无外场时，晶体总电流等于零。

解：k 状态电子速度 ])()()([1)(k k k E j k k E i k k E h k v z y x ∂∂+∂∂+∂∂= (1)-k 状态电子速度 ])()()([1)(k k k E j k k E i k k E h k v z y x ∂-∂+∂-∂+∂-∂=- (2)从一维情况容易看出，xx k k E k k E ∂∂-=∂-∂)()(，同理：y y k k E k k E ∂∂-=∂-∂)()(，zz k k E k k E ∂∂-=∂-∂)()( (3) (3)代入(2)即得：v(-k)=-v(k)，因为电子占据某个状态的几率只同该状态的能量有关，又因为E(k)=E(-k),且v(k)=-v(-k)，即两个状态上的电子电流互相抵消，晶体中总电流为零。

5、(书上P32，习题1)设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量)(k E c 和价带极大值附近能量)(k E v 分别为：)(k E c =0212022)(3m k k h m k h -+和)(k E v =022021236m kh m k h -，0m 为电子惯性质量，1k =1/2a ，a=0.314nm.试求： ①. 禁带宽度。

②. 导带底电子有效质量。

③. 价带顶电子有效质量。

④. 价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。

解：①. 禁带宽度由)(k E c 和)(k E v 的关系式 （令0=dkdE确定极值点位置） c E 位于4/31k k =处。

属于间接带隙半导体。

22221100,46c v h k h k E E m m ==()()22102343121019126.63101129.1104 3.14101.02100.64g c v h k E E E m J eV----=-=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=②. 2*220()1183c n d E k m m h dk ==得，28280339.110 3.411088n m g m g -*-⨯⨯===⨯ ③. 2*220()1160v n d E k m m h dk==-<得，280 1.52106n m m g *-=-=-⨯ ④. 价带顶k=0处，导带底1'43k k =处。

准动量的变化为34'25111033 6.63107.910..442 3.1410hk hk hk kg m s ----⨯-==⨯=⨯⨯⨯6．（课本习题2）晶格常数为nm 25.0的一维晶格，当外加m V /102，m V /107的电场时，试分析计算电子自能带底运动到能带项所需的时间。

解：qE dtdkhF == （取绝对值） dk qEhdt =∴⎰⎰==∴atdk qEh dt t 2100 )(103.8105.2106.121062.6216101934s E E S J a qE h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯==E=m V /102时，)(103.88s t -⨯= E=m V /107时，)(103.813s t -⨯=7、课后习题4：n 型Ge 导带极值在[111]轴上及相应的对称方向上，回旋共振的实验结果应如何？讨论：要利用的重要结果*1nm =x ，k y ，k z 系—第五节(1-55)*ntm m =1，k 2，k 3系—第六节(1-58) 即有效质量与磁场和椭球长轴方向的夹角有关。

若B 表示为B=b 1i +b 2j +b 3k ，若B 为单位矢量, 有b 12+b 22+b 32=1，椭球长轴方向表示为k=k 1i +k 2j +k 3k ，则磁场B 和椭球长轴方向的夹角的余弦有：cos cos B k B k b k b k b k θθ∙=++=对于本题，共有八个椭球，长轴方向为[]111,111,111,111,111,111,111,111⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦◆ B 沿着[100]方向，即b 1=B, b 2=b 3=0，此时，对八个长轴，均有()222122212311cos 1113k k k k θ±===++++ 代入(1-58)即得n tm m *=◆ B 沿着[110]方向，即b 1=b 2=B 12， b 3=0，此时，()2122cos 23k k θ+=⨯k 1+k 2=2，0，-2，(k 1+k 2)2=4，0，所以cos 2θ有两个值2/3和0。

代入(1-58)即得n tm m *=*n m =◆ B 沿着[111]方向，即b 1=b 2=b 3=B 123，此时，()21232cos 33k k k θ++=⨯k 1+k 2+k 3=3，1，-1，-3，(k 1+k 2+k 3)2=9和1，所以cos 2θ有两个值1/9和1。

代入(1-58)即得n tm m *=*n t m m =两个吸收峰◆ B 沿着任意方向，即b 1≠b 2≠b 3，此时，cos θ=()21122332cos 3b k b k b k θ++=四个吸收峰。