山东大学《高等数学》期末复习参考题 (1)

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数学高数期末试题及答案

数学高数期末试题及答案第一部分：选择题1. 设函数 $f(x) = e^x + \ln x$，则 $f'(1) =$ ( )A. $e$B. $e+1$C. $1$D. $0$2. 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，则 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 在该点的值为 ( )A. $f_x(1,2)$B. $f_y(1,2)$C. $0$D. $f(1,2)$3. 设平面$2x+y+z=2$，直线$L$ 过点$(1,1,1)$，且与该平面平行，则直线 $L$ 的方程为 ( )A. $x=y=z$B. $2x+y+z=4$C. $x=y=z=1$D. $x+y+z=3$第二部分: 简答题1. 解释什么是极限？极限是一个函数在某一点或者无穷远处的值或趋近于的值。

对于一个给定的函数，当自变量趋近某一特定值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。

2. 什么是导数？导数是函数在某一点的切线斜率。

在数学中，导数表示函数在给定点的变化率。

第三部分: 解答题1. 计算函数 $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值。

首先，我们求解导数 $f'(x)$，然后令其等于零，解得$x=\frac{\pi}{4}$。

此时，我们可以计算得到 $f(\frac{\pi}{4}) =\sqrt{2}-1$。

另外，我们可以计算 $f(0) = 1$ 和 $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}-1$。

所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $\sqrt{2}-1$。

2. 计算二重积分 $\iint_D x^2 y \,dA$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=1$ 所围成的区域。

大一高数c期末考试题及答案

大一高数c期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义中，当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于该点的极限值，下列哪个选项是正确的？A. 函数值可以无限接近但不等于极限值B. 函数值必须等于极限值C. 函数值可以等于也可以不等于极限值D. 函数值必须等于极限值，且只能等于一个值答案：A2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫x^3 dx = x^4 + CD. ∫x^4 dx = x^5 + C答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 2 + 3 + 4 + ...答案：B5. 以下哪个选项是正确的二阶导数？A. f''(x) = 2xB. f''(x) = 2x + 3C. f''(x) = 2D. f''(x) = 3x^2答案：C6. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用？A. ∫0/0 形式的极限可以通过洛必达法则求解B. ∫∞/∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解C. ∫0×∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解D. ∫∞-∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解答案：B7. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开？A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：A8. 以下哪个选项是正确的定积分计算？A. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3B. ∫[0,1] x^3 dx = 1/4C. ∫[0,1] x^4 dx = 1/5D. ∫[0,1] x^5 dx = 1/6答案：A9. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数？A. ∂f/∂x = 2x + 3yB. ∂f/∂y = 3x + 2yC. ∂f/∂z = 4x + 5yD. ∂f/∂w = 6x + 7y答案：A10. 以下哪个选项是正确的曲线积分？A. ∫C x ds = ∫C x dsB. ∫C y ds = ∫C y dsC. ∫C z ds = ∫C z dsD. ∫C xy ds = ∫C xy ds答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是________。

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

五、设函数由方程确定,求.（8分）六、若有界可积函数满足关系式，求。

(8分）七、求下列各不定积分（每题6分，共12分）（1）.八、设求定积分。

（6分）九、讨论函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（10分)十、求方程的通解（6分)十一、求证：.（5分）第一学期高等数学（上)（A）卷分标准题3分，共15分）2。

B 3。

D 4。

B 5.D分，共18分）为任意常数)，4. 2 , 5。

6。

分 (6)分解：………………3分…………….6分 (8)导 (3)数）…………6分分解：（1）。

……。

.3分 (6)分分=……………6分时有极大值2,有极小值。

在上是凸的,在上是凹的，拐点为(0,0）………10分十、解；…………………..3分设方程（1）的解为代入（1)得………5分…………………….6分十一、证明：令………………1 分又…。

3分的图形是凸的，由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。

,所以…………。

5分.（2010至2011学年第一学期)一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当时，下列函数为无穷小量的是( ）(A）（B) （C）（D)2．函数在点处连续是函数在该点可导的（）（A）必要条件（B）充分条件（C)充要条件（D)既非充分也非必要条件3．设在内单增，则在内（）（A）无驻点(B）无拐点(C）无极值点(D）4．设在内连续，且,则至少存在一点使（）成立。

（A）（B）（C）(D）5．广义积分当( ）时收敛。

（A) （B) (C）(D）二、填空题（15分，每小题3分）1、若当时，，则;2、设由方程所确定的隐函数,则；3、函数在区间单减;在区间单增；4、若在处取得极值，则;5、若，则；三、计算下列极限.（12分,每小题6分）1、2、四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、,求2、，求五、计算下列积分(18分，每小题6分）1、2、3、设，计算六、讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。

（7分)七、证明不等式:当时，（7分）八、求由曲线所围图形的面积。

山大高数期末考试题及答案

山大高数期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在x=2处的导数是：A. -1B. 0B. 1D. 22. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1,4)处的切线斜率是：A. -6B. -4C. 0D. 43. 曲线y=sin(x)在区间[0, π/2]上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=45. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 16. 函数f(x)=e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：A. 1+x+x^2/2B. 1+x+x^2C. 1+x+x^2/6D. 1+x+x^2/37. 曲线y=ln(x)在x=e处的切线方程是：A. y=x-1B. y=x-eC. y=1D. y=x8. 函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-2x+1的拐点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=49. 函数f(x)=1/x在区间(0,1)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增10. 定积分∫[1,e] e^x dx的值是：A. e^e - eB. e^e - 1C. e^e - e^2D. e^e - e^2 + 1二、填空题（每题2分，共20分）11. 若f(x)=2x-1，则f'(x)=________。

12. 函数g(x)=x^2+3的最小值点是x=________。

13. 曲线y=cos(x)在x=π/3处的导数是-________。

14. 函数h(x)=x^3-3x^2+2x的拐点是x=________。

15. 定积分∫[-1,1] |x| dx的值是________。

16. 函数p(x)=sin(x)+cos(x)的泰勒展开式在x=0处的前两项是1+________。

山东大学网络教育期末考试试题及答案-高等数学(1)模拟试卷

《高等数学》模拟题（1）年级_____________ 姓名_______________ 学号________________ 成绩__________第一题名词解释1．区间：2. 邻域;3. 函数的单调性：4. 导数：5. 最大值与最小值定理：第二题选择题1．函数21arccos1++-=x x y 的定义域是（）(A)1≤x ； (B)13≤≤-x ；(C))1,3(-； (D){}{}131≤≤-⋂<x x x x .2、函数)(x f 在点0x 的导数)(0x f '定义为（）（A ）xx f x x f ∆-∆+)()(00；（B ）xx f x x f x x ∆-∆+→)()(lim 000；（C ）xx f x f x x ∆-→)()(lim 00；（D ）0)()(lim 0x x x f x f x x --→； 3、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A ）它们都给出了ξ点的求法 .（B ）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

（C ）它们都先肯定了ξ点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 .（D ）它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . 4、设)(,)(21x F x F是区间I 内连续函数)(x f 的两个不同的原函数，且0)(≠x f ,则在区间I 内必有（）(A) C x F x F =+)()(21；（B ） C x F x F =⋅)()(21；(C) )()(21x CF x F =； (D) C x F x F =-)()(21.5、=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→2222221lim n n n n n n nn Λ ( ) （A ）0；（B ）21；（C ）4π；（D ）2π .6、曲线xyln =与直线ex 1=，e x=及0=y 所围成的区域的面积=S （）；（A ）)11(2e-；（B ）e e 1-；（C ）e e 1+；（D ）11+e.7、若→a ，→b 为共线的单位向量，则它们的数量积 =⋅→→b a （）.（A ） 1；（B ）-1；（C ） 0；（D ）),cos(→→b a . 8、二元函数22221arcsin 4ln y x y x z +++=的定义域是( ).（A ）4122≤+≤y x ；（B ）4122≤+<y x ；（C ）4122<+≤y x ；（D ）4122<+<y x .9、⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(=(D )(A)⎰⎰-110),(dx y x f dy x ； (B)⎰⎰-xdx y x f dy 101),(；(C)⎰⎰11),(dx y x f dy ； (D)⎰⎰-ydx y x f dy 101),(.10、设L 为230,0≤≤=y x x ,则⎰Lds 4的值为( B).(A)04x ， (B),6 (C)06x .第三题.)16(log 2)1(的定义域求函数x y x -=-第四题).0(),100()2)(1()(f x x x x x f '---=求设Λ第五题.)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题.4932⎰-dx xx xx 求第七题.2sin 120⎰-πdx x 求《高等数学》模拟试卷（1）参考答案第四题).0(),100()2)(1()(f x x x x x f '---=求设Λ第五题解)0()(lim)0(0--='→x f x f f x )100()2)(1(lim 0---=→x x x x Λ!100=.)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题.4932⎰-dx xx xx 求第七题解.2的次数为分子关于x Θ515)51(51x x +=+∴)()5()151(51!21)5(51122x o x x +⋅-⋅++=)(2122x o x x +-+=)1()](21[lim2220x x o x x x x +-+-+=→原式.21-=⎰-=dxxx1)23()23(2原式解⎰-=1)23()23(23ln 12x xd ⎰-123ln 12t dt ⎰+--=dt t t )1111(23ln21Ct t ++--=11ln )2ln 3(ln 21.2323ln )2ln 3(ln 21C xx xx ++--=tx =)23(令解 ]5)1[ln(2'+++x x Θ,112x+=]5)1[ln(5)1ln(22+++⋅+++=⎰x x d x x 原式.]5)1[ln(32232C x x ++++=)1221(1122xx xx ++⋅++=1. .2sin 120⎰-πdx x 求解⎰-=20cos sin πdxx x 原式⎰⎰-+-=2440)cos (sin )sin (cos πππdxx x dx x x .222-=。

山东大学网络学院高等数学考试一二三答案

高等数学模拟卷1一求下列极限1 1limsin n n n→∞ =0 2 求0lim x x x→ = 1 ，x →+0 -1 ,x →-03 求10lim xx e → =∞0sin 4lim sin5x x x x x →++ =1/3二 a 取什么值，0()0xe xf x a x x ⎧<=⎨+≥⎩连续解：)i 0x <，0x >时，()f x 均连续)ii 0x =时，(0)f a =(00)1f -=(00)f a +=所以1a =时(0)(0)1f f ±==，()f x 在0x =处连续综上所述，a=1时()f x 连续三计算下列各题1 已知2sin ln y x x =⋅ 求,y解：y ’=2cosx.lnx+2sinx.(1/x)2 (),()x f x y f e e y =⋅已知，求解：y ’ =f ’(e x ).e x .e f(x)+f(e x ).e f(x).f(x)23x xe dx⎰求解：原式=1/2∫e x2d(x 2)=1/2(e x2+C)四、若202tan()sec x y x x y tdt ---=⎰，求dy dx解：两边对x 求导，其中y 是x 的函数 2'2'2sec ()(1)sec ()(1)x y y x y y --⋅-=-⋅-2'2sec ()(1)2x y y -⋅-='21(1)sec ()y x y -=- 所以'221cos ()sin ()y x y x y =--=-五求y x =，2y x =和2y x =所围平面图形的面积解：12201223(2)(2)121101231814123376A x x dx x x dx x x x =-+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=+--+=⎰⎰高等数学模拟卷 2一求下列极限1 1lim cos n n n→∞=02 求22lim 2x x x →--=2222lim 22lim 22lim 2x x x x x x x x x→→→-⎧⎪-⎪-⎨--⎪⎪-⎩－＋＝1＝＝-1 3 求10lim 2x x →=110100lim 2lim 2lim 20x x x x x x +-→→→⎧=∞⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 02sin 4lim 3sin x x x x x →++求2sin 3lim 3sin 4x x x x x →++解＝ sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩二讨论在 x=0 处的连续性答：因为f(x)在0点的左右极限都为1，不等于其在0点的函数值，所以f(x)在0点不连续三计算下列各题1 ,ln[ln(ln )]y x y =求 ,1111.[ln(ln )]..[ln(ln )][ln(ln )]ln y x x x x x'== 2 ,,yx x y y =求,ln ln .ln .ln 1.ln ln ..ln ln ln ln y xx y y x x yy y x y y x x yx y y x y y xyy x y x x y =='+=+⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭-'∴=-解： 22220100220100490480cos lim sin cos lim 22cos lim 101cos lim 50x x x x x x x t dt xx t dt x x x x x x x →→→→--=-⋅=-=⎰⎰四求解原式34704sin 1lim 4010x x x x →== 五求225y x =-和4y x =-所围平面图形的面积解：)8002(4)A x dx =+--⎰⎰28331242222126323218x x ⎫=+-+⎪⎭=+-+=六 22(1)24dy x xy x dx++= 解：此方程为一阶非齐次线性微分方程 22()1x P x x =+ 224()1x Q x x =+2222231122414()()113x x dx dx x x x y e e dx c c x x x -++⎰⎰=+=+++⎰ 所以原方程通解为3214()13y c x x =++ 高等数学模拟卷3一求下列极限1 1lim n tgn n→∞ 解：不存在2 求lim x a x a x a →--=lim 1lim lim 1x a x a x a x a x a x a a x x a x a→→→-⎧⎪-⎪-⎨--⎪=-⎪-⎩＋－＝＝ 3 求120lim x x e →=121021020lim lim lim 0x x x x x x e e e +-→→→⎧=∞⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 00sin 4lim lim sin x x mx mx m nx nx n →→==20()0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩二已知，讨论f （x ）在0x =处的导数 ()()()()0020000lim lim 100lim lim 0()0x x x x f x f x x xf x f x x xf x x ∆→∆→∆→∆→+∆-∆==∆∆+∆-∆==∆∆∴=＋＋--解：在不可导三计算下列各题1、3,tan (ln )y x y =已知求 ()2213tan (ln ).sec ln .y x x x'=解： 2、2,()y f x y =已知，求 2().2y f x x ''解：＝四 232001()()2a a x f x dx xf x dx =⎰⎰证明，(0)a >，其中()f x 在讨论的区间连续。

《高等数学基础》期末试题及答案

《高等数学基础》期末试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数f(x) = x² - 2x + 1在x = 1处的导数是（）A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A2. 函数y = ln(e²x)的导数是（）A. 2xB. 2C. e²xD. 1答案：A3. 下列极限中，正确的是（）A. lim(x→0) sinx/x = 0B. lim(x→0) sinx/x = 1C. lim(x→0) sinx/x = ∞D. lim(x→0) sinx/x = -1答案：B4. 函数y = x²e²x的极值点为（）A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：C5. 定积分∫(0→1) x²dx的值是（）A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数y = 2x³ - 3x² + 2x + 1的一阶导数是______。

答案：6x² - 6x + 27. 函数y = x²e²x的二阶导数是______。

答案：4x²e²x + 4xe²x8. 极限lim(x→∞) (1 + 1/x)²ⁿ = ______。

答案：e9. 定积分∫(0→π) sinx dx的值是______。

答案：210. 定积分∫(0→π/2) eˣdx的值是______。

答案：eπ/2 - 1三、解答题（每题25分，共75分）11. 设函数f(x) = x³ - 3x² + 4，求f'(x)和f''(x)。

解：f'(x) = 3x² - 6x，f''(x) = 6x - 6。

12. 求函数f(x) = x²e²x的极值点和极值。

山东大学《高等数学》期末复习参考题 (11)

0 0 0
2
k
1− r 2
(7 分)
= 4πabc ∫ r 1 − r 2 d r
0
k
4πabc 2 = 1 − 1 − k 3
(
)
3 2

(10 分)
2、解： n = ±{5,−1,−1} ,cos α = ±

5 1 1 ,cos β = ∓ ,cos γ = ∓ 27 27 27
x2 y2 5、函数 f ( x , y ) = x 4 + y 4 0
(A)连续但不可微； (C)可导但不可微； 1、设Ω是由分 I=
( x , y ) ≠ (0,0) ( x , y ) = (0,0)
在点(0,0)处(
)
(B)可微； (D)既不连续又不可导。 ≤1 及所确定的闭区域，(a,b,c>0;0<k≤1),试求积
《数学分析 III》期末试卷 11 答案与评分标准
一、填空题（共 10 小题，40 分）
1、π 2、 3、 − ( x + y ) ≤ z ≤ x + y ，且 x + y ≠ 0
2 2 2 2 2 2
4、
μ(x,y)dσ(或
μ(x,y)dxdy).
5、I=24 6、 2 2 π 2 7、 3x + 2 y − z = 11 8、 x + 2 y + z + 2 = 0 9、
三、计算题（共 3 小题，30 分）
.
2
2、求函数 u = x ln( y + 3z ) 在点（1，2，2）处沿平面 5x − y − z = 1 法线方向的方向导数。 3、求函数 u = z ⋅ y 在点（1,2,1）处沿 a = {3,3,−2} 方向的方向导数。

高数期末考试题及答案选择

高数期末考试题及答案选择一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 $ f(x) = x^2 $ 在 $ x = 0 $ 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 4答案： A2. 定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. $ \frac{2}{3} $D. $ \frac{3}{4} $答案： A3. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} $ 存在，则$ \lim_{x \to 0} f(x) $ 与 $ \lim_{x \to 0} g(x) $ 必须：A. 都存在B. 都不存在C. 至少有一个存在D. 至少有一个不存在答案： D4. 函数 $ y = \sin(x) $ 的周期是：A. $ 2\pi $B. $ \pi $C. $ \frac{\pi}{2} $D. $ \frac{1}{2} $答案： A5. 根据泰勒公式，函数 $ e^x $ 在 $ x = 0 $ 处的泰勒展开式为：A. $ 1 + x $B. $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $C. $ 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots $D. $ 1 + x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \cdots $答案： B6. 级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $ 收敛于：A. $ \frac{1}{2} $B. $ \frac{\pi^2}{6} $C. $ \frac{e}{2} $D. $ \frac{1}{e} $答案： B7. 若 $ \lim_{x \to \infty} f(x) = L $，则函数 $ f(x) $ 必须：A. 在 $ x $ 足够大时，值接近 $ L $B. 在 $ x $ 足够大时，值等于 $ L $C. 在 $ x $ 足够大时，值小于 $ L $D. 在 $ x $ 足够大时，值大于 $ L $答案： A8. 函数 $ y = x^3 - 3x^2 + 2x $ 的拐点是：A. $ x = 0 $B. $ x = 1 $C. $ x = 2 $D. $ x = 3 $答案： B9. 若 $ f(x) $ 在区间 $ I $ 上连续，则 $ \int_{a}^{b}f(x) dx $ 存在，其中 $ a, b $ 是区间 $ I $ 上的任意两点：A. 正确B. 错误答案： A10. 函数 $ y = \ln(x) $ 的定义域是：A. $ x > 0 $B. $ x < 0 $C. $ x \geq 0 $D. $ x \leq 0 $答案： A二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在 $ x = 1 $ 处的导数是_______。

山大2011级高数上期末试题及答案

11-12高数上期末：一、填空题（共5小题，每题4分，共20分）1. 设0 < a < b , 则()1lim .nnnn ab--→∞+=2. 2232ln (1)d ()d x t t yy y x x y t t=-+⎧==⎨=+⎩设函数由参数方程所确定，则________.3. 100()()d x x x x x ϕϕ=⎰设是到离最近的整数的距离，则.4. 322A y x x x x =-++曲线与轴所围图形的面积=________.5.3s in (),()d x f x x f x x x'=⎰已知的一个原函数为则_________.一、选择题（共5小题，每题4分，共20分） 6.下列命题中正确的一个是( )(A) 若0lim ()lim ()0x x x x f x g x δ→→≥⇒∃>,当00x x δ<-<时，有()()f xg x ≥；(B) 若0δ∃>,当00x x δ<-<时有()()f xg x >且0lim(),x x f x →0lim ()x x g x →都存在,则0lim()lim ()x x x x f x g x →→>(C)若0δ∃>,当00x x δ<-<时恒有()()f xg x >，则lim ()lim ()x x x x f x g x →→≥;(D)若0lim ()lim ()0x x x x f x g x δ→→>⇒∃>,当00x x δ<-<时有()()f xg x >7.0000(2)()()lim()2h f x h f x f x x h→--=设在处可导，则0000(A )()(B )()(C )()(D )2()f x f x f x f x ''''--000(3)0()()''()0()0y f x x f x f x fx '===<8.设在点的某邻域内具有连续的三阶导数,若，且，则()''00000(A )()()(B )()()(C )()()(D )(,())()f x f x f x f x f x f x x f x y f x =是的极大值是的极大值是的极小值为曲线的拐点9. 设2s in ()es in d ,x txf x t t π+=⎰则()F x ______.(A )为正常数 (B )为负常数 (C )恒为零 (D )不为常数10. 若连续函数()f x 满足关系式20()()d ln 2,2xt f x f t =+⎰则()f x =______(A )e ln 2x2(B )eln 2x()e ln 2xC + 2(D )eln 2x+三、解答题（共6道小题，4个学分的同学选作5道小题，每题12分，共60分；5个学分的同学6道题全做，每题10分，共60分）11. 求极限201(1)lim s inx x x→10(2)l i m,,,0.3xxx xx ab c a b c →⎛⎫++> ⎪⎝⎭其中(),012.(),()0(0)0,,0(0)(0)0,(),()0g x x f x g x x g x x g g f x f x x ⎧≠⎪''==⎨⎪=⎩'''===设函数其中可导,且在处二阶导数存在，且试求并讨论在处的连续性.[]110()0,1(0,1)(1)=e()d xk f x f k x f x x-⎰13.已知函数在上连续,在内可导,且满足(1).k >其中 1(0,1),()(1)().f f ξξξξ-'∈=-证明：至少存在一点使得14.()()d xf tg x t t -⎰求(0),x ≥0x ≥其中当时，(),f x x =s in ,02.0,2x x x x ππ⎧≤<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩而g ()=15. 求微分方程243(1)22x y x y x y '++=满足初始条件 01|2x y ==的特解2s in s in s in 16.(1)lim 1112n n nn n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭.计算 (2).()[0,1]1()2,f x f x ≤≤设函数在连续,且证明：1119()d d .()8f x x x f x ≤⎰⎰一．填空题1.1a2.(65)(1)t t t++ 3. 25 4.37125. 22ln ln x x C -+二．选择题6. D7. A8. D9. A 10. B 三．解答题 11. 21(1)lim s inx x x→2211s in1,lim 0lim s in0x x xx xx→→≤=∴=有界10(2)l i m,,,0.3xxx xx ab c a b c →⎛⎫++> ⎪⎝⎭其中()()0013131(1)(1)(1)1ln 1lim 1limln ln ln 33333lim eeeex x xx x x x x xx x a b c a b c a b c a b c x x xx a b c →→⎛⎫⎛⎫++-++--+-+-⋅+ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→=====原极限2222()(0)()()1()(0)1(0)limlimlimlim(0)222()(),0()1(0),02()()()(0)(lim ()limlimlim(0)l x x x x x x x x f x f g x g x g x g f g xxxxx g x g x x xf xg x x g x g x g x g g x f x xxxg →→→→→→→→'''--'''====='-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩'''--'==-''=-12.解：）0()1im(0)(0)22()0x g x g f xf x x →''''=='∴=在处连续1-11-1111113.[0,],(1)e().11, 1.(0,1).()e (),()[0,](0,)(1)=(1)e ()().(0,)()e()e()e()0,e0,xf f kk kF x x f x F x F f f F F f f f f ηηξξξξηηηηηηηηηηξξξξξξξ-----∃∈=><∈===''=-+=>由积分中值定理，使得得则令由题意知在上连续，内可导且由罗尔中值定理，在内存在一点，使得得-1()()()0()(1-)().(0,1).f f f f ξξξξξξξξξ''-+=⇒=∈其中20014.,d d .()()d ()()d ()()d ;()()d =()s in d s in ;2()()d ()s in d 0 1.2s in 2()()d =12xxxx x xxu x t u t f t g x t t f x u g u u f x u g u u x f x u g u u x u u u x x x f x u g u u x u u u x x x x f t g x t t x x πππππ=-=--=--=-≤<--=-≥-=-+=--≤<--≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则于是当0时，当时,，0所以，⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩4322342222222d 2215.,d 3(1)3(1)d d ,3d d 1d 22d 22-,--(1)3d 3(1)3(1)d 11d 2-0,(1)z (1)(d 1y x x yyxx x z y z y yxxz xx zxx z z xx x x xxzxz z C x x u x x ----+=++==-+==++++==+=++讲方程改写为：这是贝努里方程.令则，代入上述方程得：即，这是一阶线性非齐次方程，它对应的齐次方程为它的通解为，令22222222203321)d d (1)2(),(1)d d d 22d 2(1)2()(1)()-,-,d 11d 11,(1)1(1),1111(1).|81,7.2(78).x x z u x x u x xxu x x u x x x u x x u x xxxxxu C z C x xC x y C C yy x =--=++++-+==+++=+=+++=++==+==+则将其代入得即积分得即的通解为从而原方程的通解为由初始条件，有故所求的特解为11112s ins ins in 12116.(1)(s ins ins in )s in111212lims ins in ()d .2s ins ins in 121(s ins ins in )s in111112limni nn i ni n i n nn nnnnnn n ni x x nnn i n nn n nnn nnn n nnn πππππππππππππππππ=→∞==→∞+++<+++=+++==+++>+++=++++++∑∑⎰∑而另一方面且1112s in=s in ()d .12.ni i x x nnππππ===∑⎰所以由夹逼准则知原式111011100(2)1()2(()1)(()2)0,(()1)(()2)10()d 2d 3()()1d 3()19()d d .()8f x f x f x f x f x f x x x f x f x xx f x f x xx f x ≤≤∴--≤--≤+≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰得，即，得到从而整理得：。

山大高数复习测试题二及答案

高数测试题二 (导数及应用).)arctan 2(lim )3();cot 1(lim )2(;sin 4cos lim)1(.12203x x x x x x xxxx x π+∞→→→--求求求极限：._____)(2)()(lim)(''.22=--++=→h a f h a f h a f a x x f h 点附近连续，则在设.),0()11()(..3的单调性在函数讨论+∞+=x xx f也是极小值是极小值，也是极大值是极大值，是极大值是极小值，是极小值是极大值，，下列命题中正确的是设)2()0()D ()2()0()C ()2()0()B ()2()0()A (._____cos sin )(.4ππππf f f f f f f f x x x x f +=.)()2();0()1(0,arctan 0,)(.53的单调增减区间确定，求：设x f f x x x x x x f '⎩⎨⎧≥<-=拐点；函数图形的凹凸区间及；函数的增减区间及极值，求已知函数)2()1()1(.623-=x x y(D)3(C)1(B)2(A)._____33ln 2.7=-===-+=y y y y xx y 的水平渐近线方程为函数 .,1)3,1(.823b a bx ax y 的拐点，求是曲线设++= 何者更大，为什么？和，问设22212121e e 20.9x x x x x x <<< .)(e 0.10x a a a x a a x +<+>>，证明：，常数设.0)(')1,0(:).0(d )(3)1,0(]1,0[)(.11132==⎰ξξf f x x f x f ，使得内存在一点在证明内可导，且上连续，在在设函数)(')(2)('),1,0(.0)0()1,0(]1,0[)(.12ξξξξξf f f f x f =+∈=使试证：至少存在一点内可导，且上连续，在在设还是极小值点？，的极值点，是极大值点为的极值点？如果是否是试判定，，且的一个解，若是方程设)()(0)('0)(04'2'')(..130000x f x x f x x f x f y y y x f y =>=+-=.03.143出根的值有两个互异实根，并指，使方程求=+-q x x q.8,0)(.152面积为最大相交所围成的三角形的切线与直线上求一点，使过该点的第一象限部分在抛物线===x y x y答案.8124112124cos lim 12124cos sin 2lim12sin cos 1lim 4cos lim sin 4cos lim)1.(100002003030=+=+=+=+-=-=-→→→→→x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x 解xx x x x x x x x x x x x 2222202220220sin cos sin lim )sin cos 1(lim )cot 1(lim )2(-=-=-→→→解.6131213sin cos cos lim 21cos sin limcos sin lim )cos )(sin cos (sin lim200030040=⋅=+-=-⋅+=-+=→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x.eeeelim )arctan 2(lim .e 1)3(2)(11arctan 1lim 1)arctan 2ln(lim)arctan 2ln()(ln 22ππππ--⋅+⋅+∞→+∞→+∞====+∞→+∞→x x x xx x x x xx x f x x x 故形式求解型，可转化成属于解).('').(''2)('')(''lim 2)(')('lim )(2)()(lim)(')(''.200020a f a f h a f h a f h h a f h a f h a f h a f h a f x f x f h h h 故应填有存在，利用洛必达法则存在，则因为解=-++=--+=--++→→→)A (),0()(),0(0)(01111ln )(),,0(011)11ln(lim ),0()(0)1(1)1(1111)(11)11ln()(11)11ln(11)(.322故应选上单增。

高等数学期末复习题库

高等数学期末复习题库一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x-2在区间[-5, 4]上的最大值是：A. 0B. 2C. 10D. 162. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在点(2,5)处的切线斜率是：A. 1B. -1C. 3D. -33. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 14. 幂级数Σ(n=1 to ∞) x^n/n 收敛的区间是：A. (-1, 1)B. (-∞, ∞)C. [1, ∞)D. [0, 1]5. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. π/4二、填空题6. 函数f(x)=x^3-2x^2+x-3在x=______处取得极小值。

7. 若f(x)=e^x，g(x)=ln(x)，则f(g(x))=______。

8. 函数y=x^2-4x+3的图像与x轴的交点坐标是(1, 0)和(______, 0)。

9. 若定积分∫(a,b) f(x) dx = 5，且a=1，f(x)=x^2，则b=______。

10. 利用泰勒公式展开e^x在x=0处的前三项是______。

三、解答题11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

12. 证明：对于任意的正整数n，有1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。

13. 解微分方程dy/dx + 2y = x^2，初始条件为y(0)=1。

14. 求定积分∫(0,π/2) sin(x) dx。

15. 利用傅里叶级数展开函数f(x)=x^2在区间[-π, π]上的周期延拓。

四、证明题16. 证明函数f(x)=x^3在R上是严格递增的。

17. 证明定积分∫(0,1) x ln(x) dx = -1/4。

18. 证明级数Σ(n=1 to ∞) (1/n^2)是收敛的。

五、应用题19. 一个物体从静止开始，以初速度为0，加速度为常数a=2m/s^2，求物体在t=3秒时的位置。

山东建筑大学《高等数学》2021-2022学年期末试卷(1)

一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30 分）1.过点M (1,2,3)且与平面x y z -+=2350垂直的直线方程是 .2. 微分方程y y y ''-'+=320的通解是 .3. 3lim 23x y xy y →→∞-= . 4. 已知向量AB →=1,0,2}{且点B 坐标为(1,2,3)，则点A 坐标为． 5. 幂级数11+=∞∑n n x n n 的收敛半径R = ． 6. 若函数=+++32(,)2f x y x y ax y 在点-(1,1)处取得极值，则a = ．7. 曲线z y x 2==⎧⎨⎩绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程是 .8. 若a →=1,2,2,}{ 则a →= ． 9. 已知幂级数1=∞∑a x n n n的收敛区间为-(1,1)，则幂级数=∞∑-1(2)a x n n n 的收敛区间为．10. 已知=+-x z xy y 223，则z y∂∂= ．山东建筑大学《高等数学》2021-2022学年第一学期期末试卷二、求解下列各题(共10道小题，每小题5分，共50分）1.求微分方程x y 2=''的通解.2.求函数222z y x u ++=在点)32,1(，处的全微分.3. 设D 是由曲线122=+y x 及422=+y x 所围的环形闭区域，计算二重积分 σd y xD ⎰⎰+)(22.4.求通过点)32,1(，且与直线321121-=-+=z y x L ：和直线122012-+==-z y x L ：都平行的平面方程. 5 .已知L 是直线x y =上点O )0,0(与点B )1,1(之间的一段弧，计算ds x L⎰.6 .一曲线通过点)2,1(，且曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程.7. 计算dxdy z ⎰⎰∑+）（1，其中∑为平面1=++z y x 在第一卦限的上侧. 8. 判断级数∑∞=13n n n 的敛散性. 9. 计算⎰-Lxdy ydx ,其中L 为三顶点分别为O )0,0(、A )0,3(和B )2,3(的三角形正向边界(可使用格林公式).10.计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由三个坐标面、平面1=x 、平面1=y 及平面1=z 所围成的闭区域.三、应用题（本大题2道题，每小题10分，共20分）1. 要造一个体积为8个单位的长方体有盖的水池，应如何选择水池的长x 、宽y 和高z ，方可使它的表面积最小.2.计算曲面Σ：2222y x z --=上点)4,1,1(-M 处的切平面以及该切平面和三坐标面所围成立体的体积.。

重大高数期末试题及答案

重大高数期末试题及答案第一章：微分学1. 求函数$f(x)=3x^2-2x+5$的导数。

解答：对于函数$f(x)=3x^2-2x+5$，利用导数的定义可以求得其导数为$f'(x)=6x-2$。

2. 计算曲线$y=e^x$在点$(0,1)$处的切线方程。

解答：首先求得曲线$y=e^x$的导数为$y'=e^x$。

然后通过点斜式切线方程的公式$y-y_1=y'(x-x_1)$，代入点$(0,1)$和导数$y'=e^x$，可得切线方程为$y-1=e^x(x-0)$。

第二章：积分学1. 计算定积分$\int_0^1 (2x^3-3x^2+4x-1)dx$。

解答：对于多项式函数$2x^3-3x^2+4x-1$，我们可以按照幂次递减的顺序进行积分。

首先对$x^3$进行积分可得$\frac{1}{4}x^4$，对$x^2$进行积分可得$\frac{1}{3}x^3$，对$x$进行积分可得$2x$，对常数$-1$进行积分可得$-x$。

将这些结果依次代入积分的上下限进行计算，最终得到定积分的结果为$\int_0^1 (2x^3-3x^2+4x-1)dx=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+2-1=\frac{5}{12}$。

2. 求解微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，其中$y(0)=3$。

解答：对于微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，我们可以通过直接积分的方法求解。

对方程两边同时进行积分可得$y=x^2+C$，其中$C$为常数。

由于已知$y(0)=3$，代入初始条件可得$3=0^2+C$，解得$C=3$。

于是原微分方程的解为$y=x^2+3$。

第三章：级数1. 判断级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的收敛性。

解答：对于级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$，我们可以利用比较判别法来判断其收敛性。

山东大学网络教育期末考试试题及答案-高等数学(2)模拟试卷

《高等数学》模拟题（2）年级_____________ 姓名_______________ 学号________________ 成绩__________第一题名词解释1. 邻域;2. 函数的单调性：3. 导数：4. 最大值与最小值定理：5. 定积分的几何意义：第二题选择题1、如果)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 可导，c为介于b a ,之间的任一点，那么在),(b a （）找到两点12,x x ，使)()()()(1212c f x x x f x f '-=-成立.（A ）必能；（B ）可能；（C ）不能；（D ）无法确定能 .2、下列结论正确的是（）（A ）初等函数必存在原函数；（B ）每个不定积分都可以表示为初等函数；（C ）初等函数的原函数必定是初等函数；（D ）C B A ,,都不对 .3、定积分⎰1dx e x的值是（）（A ）e ；（B ）21；（C ）21e；（D ）2 .4、由球面9222=++z y x 与旋转锥面2228z y x =+之间包含z 轴的部分的体积=V ( )；（A ）π144；（B ）π36；（C ）π72；（D ）π24 . 5、设平面方程为0=++D Cz Bx ，且0,,≠D C B ，则平面（）.(A) 轴平行于x ； (B) 轴平行于y ；(C) 轴经过y ； (D) 轴垂直于y .6、函数),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x 存在是),(y x f 在该点可微的( ).（A ）充分条件,但不是必要条件；（B ）必要条件,但不是充分条件；（C ）充分必要条件；（D ）既不是充分条件,也不是必要条件. 7、设Ω是由三个坐标面与平面z y x -+2=1所围成的空间区域,则⎰⎰⎰Ωxdxdydz=( ).(A) 481 ； (B) 481-；(C) 241 ； (D) 241- .8、设),(,),(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数,则在D 内与⎰+LQdy Pdx 路径无关的条件 D y x yP xQ ∈∂∂=∂∂),(,是( ).(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.9、部分和数列{}ns有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的 ( )(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 10、方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=；(B)322121sin C x C x C x y +++=；(C)1cos C x y +=；(D)x y2sin 2=.第三题).(.1,0,2)1()(x f x x x xx f x f 求其中设≠≠=-+第四题.,1111ln 411arctan 21222y x x x y '-+++++=求设第五题1. .)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题.cos 1)sin 1(⎰++dx xx e x 求第七题.cos sin sin 2⎰+πdx xx x求《高等数学》模拟试卷（2）参考答案第四题2. .,1111ln 411arctan 21222y x x x y '-+++++=求设第五题1. .)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题 2..cos 1)sin 1(⎰++dx xx e x 求解,12x u +=设,11ln 41arctan 21-++=u u u y 则)1111(41)1(212-++++='u u u y uΘ411u -=,2142x x --=)1(2'+='x u x ,12xx +=.1)2(123x x x y x ++-='∴解.2的次数为分子关于x Θ515)51(51x x +=+∴)()5()151(51!21)5(51122x o x x +⋅-⋅++=)(2122x o x x +-+=)1()](21[lim2220x x o x x x x +-+-+=→原式.21-=第七题.cos sin sin 2⎰+πdx xx x求解⎰+=dx x xx e x 2cos 2)2cos 2sin 21(2原式⎰+=dx xe x e x x)2tan 2cos 21(2]2tan )2(tan [(⎰+=x x de xx d e ⎰=)2tan (xe d x .2tan C xe x +=解,cos sin sin 20⎰+=πdx xx xI 由,cos sin cos 2⎰+=πdx xx xJ 设,220ππ==+⎰dx J I 则⎰+-=-2cos sin cos sin πdxxx xx J I ⎰++-=2cos sin )sin (cos πxx x x d .0=,22π=I 故得.4π=I 即。

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山东大学《数学分析III 》期末复习参考题
一、选择题（共 5 小题，20 分）
1、若曲线x t y t z t ===cos ,sin ,22在对应于t =π
2
点处的一个切向量与oz 轴正方向成钝角，则此向量与yz 平面夹角的正弦值为（）
（A ）
112
+π
（B ）-
+112
π
（C ）
ππ
12
+
（D ）-
+ππ
12
2、设L 是圆周 x 2+y 2=a 2 (a >0)负向，则
( )
3、设u y x =arctan ，则∂∂∂∂2222
u x u
y +＝（
）
(A)
4222
xy
x y ()+
(B)
-+4222
xy
x y () (C) 0
(D)
2222
xy
x y ()+
4、曲面x y z xyz x z 2
2
2
2426-+--+=在点(,,)012处的切平面方程为（）（A ）31223110()()x y z -+--+= （B ）3234x y z +-= （C ）
x y z 312230+-+--= （D ）x y z 31223
=-=-- 5、设u f r =(),而r x y z =
++222，f r ()具有二阶连续导数，则
∂∂∂∂∂∂222222
u x u y u
z ++
=（） (A)f r r f r "
'()()+
1 (B)f r r f r "'()()+
2 (C) 112r f r r f r "'()()+ (D) 122r
f r r f r "'
()()+
二、填空题（共 10 小题，40 分）
1、函数f x y e x y x (,)sin()=+-2在点（0，π
4
）处沿y 轴负向的方向导数是。

2、曲面xe y e
z e e
y
z
x ++=
+2
2332
1在点(,,)210-处的法线方程为。

3、设u x y =2，则∂∂∂2u
x y
= 。

4、设f (x ,y )在
具有连续的二阶偏导数，L 是椭圆周
的顺时针方
向，则
的值等于 ________________.
5、设u x y z
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
1/，则
∂∂u z
(,,)
111= 。

6、曲面arctan
y xz 14
+=π
在点(,,)-210处的切平面方程是。

7、设L 为xoy 面上有质量的曲线，在曲线L 上的点(x ,y )处的质量线密度为ρ(x ,y )。

则这条曲线L 的质量的计算表达式为_______________.
8、设
是M (1，3)沿圆(x －2)2+(y －2)2=2到点N (3，1)的半圆，则积
分 .
9、设
是由A (－2，3)沿y =x 2－1到点M (1，0)，再沿y =2(x －1)到B (2，2)的路
径，则
________.
10、设
，根据二重积分的几何意义，
三、计算题（共 3 小题，30 分）
1、设y y x =()由方程arctan()xy y -=20所确定，求d d y x。

2、计算曲线积分
其中r 是从点O (0，0，0)
到A (1，2，3)的直线段。

3、求函数u x y z =
++22223在点（1,1,4）处沿曲线⎪⎩
⎪
⎨⎧+===1332t z t y t x 在该点切线方向的
方向导数。

四、证明题（10 分）
设z x
y
=arctan
，其中x u v y u v =+=-,，求证 ∂∂∂∂z u z v u v u v +=-+22.
《数学分析III 》期末试卷01答案与评分标准
一、选择题（共 5 小题，20 分）
AACAB
二、填空题（共 10 小题，40 分）
1、0
2、e
z
e y x 22212=-+=-
3、-
23
y
4、6π
5、0
6、y z +=21
7、
8、0 9、10 10、
π
三、计算题（共 6 小题，30 分）
1、解：
y xy xy y +'
+-'=1202
()
（8分）
d d y x y
x y x =+-2222
（10分）
2、解：1032:≤≤⎪⎩
⎪
⎨⎧===t t z t
y t x r （3分）
原式＝()()()dt t t dt t t dt t t -+-+-⎰233210
（7分）
＝
2
3
310
=
⎰
tdt （10分） 3、{}
{}t t
t =±=±=1291292
1
,,,,
cos cos cos αβγ=±
=±
=±
186
286
986
（4分）
()()
51
1
324,1,12
224,1,1=
++=
z y x x
x u ∂∂
()()
51
2
3224,1,12224,1,1=
++=
z y x y
y u ∂∂ ()()
51
12
3234,1,12
224,1,1=
++=z y x z
z u ∂∂ （7分） ()
∂∂u a =±⋅++=±⋅15118614108113
5186
（10分）四、证明题（10 分）
证明：
∂∂z u y x y x
x y =++
-+2222
（4分）
∂∂z v y x y x
x y
=+++2222
（8分）
故
∂∂∂∂z u z v y x y u v u v u v u v
u v
+=+=-++-=-+22222222
()()() （10分）。