分类与整合思想

分类与整合思想、转化与化归思想

一、概念、定理分类整合

概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论．汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合．

1．若一条直线过点(5,2)，且在x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为( ) A ．x ＋y －7＝0 B ．2x －5y ＝0

C ．x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0

D ．x ＋y ＋7＝0或2y －5x ＝0

2．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A ．8 B ．10 C ．16

D ．32

3．已知集合A ＝⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫－1，12，B ＝{x |mx －1＝0，m ∈R }，若A ∩B ＝B ，则所有符合条件的实 数m 组成的集合是( ) A ．{0，－1,2} B.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫－12，0，1 C ．{－1,2}

D.⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫－1，0，12

4．已知函数f (x )＝x |x －a |－a ，a ∈R ，若对任意x ∈[3,5]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值 范围是________．

二、图形位置、形状分类整合

图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.

5．已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.833

B ．4 3 C.239

D ．43或

83

3

6．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区

域，则实数k 等于( ) A ．－1

2

B.12 C ．0

D ．0或－1

2

7．已知双曲线的离心率为23

3

，则其渐近线方程为______．

8．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三 角形，则这样的点P 的个数为________．

9．已知实数a ，x ，a >0且a ≠1，则“a x >1”的充要条件为( ) A ．01，x >0 C ．(a －1)x >0

D ．x ≠0

10．若函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，0)

D ．(0，＋∞)

11．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时 成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(7，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞) C ．(－∞，－2)

D ．(－∞，－2)∪(7，＋∞)

一、特殊与一般的转化

一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.

1．据统计某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天价格分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…， b n ，令M ＝{m |a m ＜b m ，m ＝1,2，…，n }，若M 中元素个数大于3

4n ，则称蔬菜A 在这n 天的

价格低于蔬菜B 的价格，记作：A ＜B ，现有三种蔬菜A ，B ，C ，下列说法正确的是( ) A ．若A ＜B ，B ＜C ，则A ＜C

B ．若A ＜B ，B ＜

C 同时不成立，则A ＜C 不成立

C ．A ＜B ，B ＜A 可同时不成立

D ．A ＜B ，B ＜A 可同时成立

2．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长

度分别为p ，q ，则1p ＋1

q 等于( )

A ．2a B.12a C ．4a D.4

a

3．已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在[－1,1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[12，＋∞) C ．[－1,12] D.⎣⎡⎦

⎤－3

2，12 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C

1＋cos A cos C

＝________.

5．若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2

－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实 数m 的取值范围是________．

6.如图所示，已知三棱锥P －ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三 棱锥P －ABC 的体积为( )

A ．40

B ．80

C ．160

D ．240

7．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是 ________________．

8．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3

x －1

的取值范围是________．

9．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为________． 10．在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20， 则点P 的横坐标的取值范围是________．

11．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足 －1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．

12．已知函数f (x )＝ln x ．若不等式mf (x )≥a ＋x 对所有m ∈[0,1]，x ∈⎣⎡⎦⎤

1e ，e 2都成立，则实数 a 的取值范围为________．

1．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( )