差分方程基本知识

确定系数 B0 , B1 , Bn .
例7
求差分方程 yt 1 2 yt 3t
2
的通解。
解 对应齐次差分方程的通解为 Y A2t . 由于 a 2 1 , 故可设其特解为 代入方程，得
B C (t 1) D(t 1)2 2B 2Ct 2Dt 2 3t 2 ,
即
a.
t 1 a t 0
分别称为方程
yt 1 ayt 0
和
a
(4)
的特征方程和特征根. 故
yt a t
是方程 (4) 的解. 再由解的结构及通解的定义知：
yt Ca t (C 为任意常数)
是齐次方程的通解.
例4 求 2 yt 1 yt 0 的通解.
t
t
解 对应齐次差分方程的通解为
1 5 由于 a , b , a b, 2 2
故可设其特解为： yt* kbt .
c 1 , 代入方程，解得： k ba 2
故原差分方程通解为：
1 1 5 yt Y y A . 2 2 2
* t t t


a t 1 .
a t y0 c 1 a a 2


a 1, y0 ct , t yt 1 a t y a 0 c 1 a , a 1.
2)一般法求解：设差分方程 具有形如 yt* kt s
yt 1 ayt c
是n阶常系数齐次线性差分方程
yt n a1 yt n1
an1 yt 1 an yt 0
(2)
的k个特解，则线性组合
y( t ) C1 y1 ( t ) C2 y2 ( t ) C k yk ( t )
也是该差分方程的解，其中 C1 , C2 , , Ck 为任意常数.
(c、b 1为常数)， 则方程为
yt 1 ayt cb t (6)
设差分方程 (6) 具有形如
y kt b
* t
s t
(b a 时取 s 0 ; b a 时取 s 1. )
的特解。
(1) 当 b a 时，令 yt* kbt , 代入方程 (6) , 得
kb
于是
t 1
akb cb
t
t
即 k (b a ) c ,
c y bt . ba
* t
(2) 当 b a 时，令 yt* ktbt 代入方程 (6) , 得：
k (t 1)bt 1 aktbt cbt
即 k ( t 1)b akt c ,
c 解得 k . a
(4)
为一阶常系数齐次线性差分方程.
若 f (t ) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性
差分方程.
1. 常系数齐次线性差分方程的通解 对于一阶常系数齐次线性差分方程
yt 1 ayt 0 (4)
通常有如下两种解法.
则 (1) 迭代法求解： 设 y0 已知，
yn ayn1 a(ayn 2 ) a 2 yn 2
例如
F ( x , yt , y t 1 , , yt n ) 0,
G( x , yt , yt ,
差数称为差分方程的阶.
, n yt ) 0.
差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之
差分方程的不同形式之间可以相互转化.
例如，
yt 2 2 yt 1 yt 3t
3
4
(ayt bzt ) a( yt ) b(zt );
( yt zt ) zt 1yt yt zt yt 1zt zt yt ;
yt zt yt yt zt zt 1yt yt 1zt . 5 zt zt 1 zt zt 1 zt
对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为
初始条件.满足初始条件的解称之为特解. 如果差分
方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差
分方程的阶数，则称它为差分方程的通解.
例如，y 2t 1 是差分方程 yt 1 yt 2的特解， y 2t A 是差分方程 yt 1 yt 2的通解，
3 ( yt ) ( 2 yt ) (2) 2 2 0.
例2 设 yt a (0 a 1), 求 ( yt ).
t
解
( yt ) a
t 1
a a t (a 1).
t
定义2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方
程就称为差分方程.
n yt (n1 yt )
且有
i n yt C n ( 1)i yt n i . i 0 n
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．
性质1 当
a , b, C 是常数， y t , z t 是函数时，
有以下结论成立：
1
2
(C ) 0;
(Cyt ) C( yt );
yt 2 yt 1 yt 2 3t 2 ,
2 yt 2 yt 3t .
定义3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边 恒等，则称此函数为差分方程的解.
例： y 2t A 是差分方程 yt 1 yt 2的解，
其中A为任意常数.
我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，
例1 求 (t 2 ), 2 (t 2 ), 3 (t 2 ).
2 y t ,则 解 设 t
yt ( t 2 ) (t 1)2 t 2 2t 1, 2 ( yt ) 2 ( t 2 ) ( yt ) (2t 1)
2( t 1) 1 (2t 1) 2,
在本书中． 我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法．
二、 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt 1 ayt f (t )，
其中 a 0 为常数，f ( t ) 为已知函数.
当 f ( t ) 0 时，称方程
(3)
yt 1 ayt 0
(a 0)
的通解与它自己本身的一个特解之和，即通解等于
Y C1 y1 ( t ) C2 y2 (t )
C n yn (t ) y ( t ),
*
* 其中 y ( t ) 是它自己本身的一个特解.
以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差 分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常
重要的基础知识．
其中A为任意常数.
3. 常系数线性差分方程及解的性质 定义4 形如
yt n a1 yt n1 an1 yt 1 an yt f ( x )
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 ,
, an 为常数，且 an 0, f ( t )为已知函数.
差分方程
一、差分方程的基本概念
二、一阶常系数线性差分方程 三、差分方程的简单应用
一、 差分方程的基本概念 1. 差分的定义 定义1 设函数
yt f ( t ),
t 0, 1, 2,
, n,
.
我们称
yt yt 1 yt f (t 1) f (t )
为函数 yt 的一阶差分；
n a n1 y1 a y0 ,
一般地，
yt a t y0 (t 0,1,2, ).
yt 1 ayt 0
(4)
(2) 特征方程法求解：设
Y t ( 0)
是方程 (4) 的解，代入(4)，得
t 1 a t 0 ( 0)，
化简得：
a 0,
B C D 2B 0
yt* B Ct Dt 2
其中 C1 , C2 ,, Cn 为任意常数．
C n yn (t ),
定理3 n阶非齐次线性差分方程
yt n a1 yt n1
它对应的齐次方程
an1 yt 1 an yt f (t )
yt n a1 yt n1
an1 yt 1 an yt 0
定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个
线性无关的特解．若
y1 ( t ), y2 ( t ),
, yn ( t )
是方程
yt n a1 yt n1 an1 yt 1 an yt 0
的n个线性无关的解，则方程 的通解为
Y C1 y1 (t ) C2 y2 (t )
称
2 yt ( yt ) yt 1 yt
( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 2 2 yt 1 yt
为函数 yt 的二阶差分. 同样，称
3 yt ( 2 yt )
为三阶差分.
依此类推，函数的 n 阶差分定义为：
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt 1 yt 2 3t 2.
如果将原方程的左边写为
( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为
2 yt 3 t .
又如： 可化为
yt 2 2 yt 1 yt 3t ,
(5)
(a 1 时取 s 0 ; a 1 时取 s 1. )
的特解.
* 令 y (1) 当 a 1 时， t k 代入方程 (5) , 得：
k ak c 即
c y k ; 1 a
* t
(2) 当 a 1 时，令 yt* kt 代入方程 (5) , 得：
k (t 1) akt c 即 k c .
例5
求差分方程 yt 1 3 yt 2 的通解.
解 对应齐次差分方程的通解为
Y A3 ,
t
由于 a 3 1 ,
* y 故可设其特解为： t k ,
代入方程，解得： k 1 ,
故原差分方程通解为：
yt Y
* yt
A3 1 .
t
(二) f (t ) cbt
当 f ( t ) 0时，差分方程(1)称为齐次的， 否则称为非齐次的. 当 f ( t ) 0 时，与差分方程 (1)
对应的齐次差分方程为
yt n a1 yt n1
an1 yt 1 an yt 0.
(2)
定理1 设
y1 ( t ), y2 ( t ),
, yk ( t )
(三) f (t ) ct n (c为常数)， 则差分方程为
yt 1 ayt ct n
设差分方程(7) 具有形如
(7)
yt* t s ( B0 B1t Bn t n )
(a 1 时取 s 0 ; a 1 时取 s 1. ) 的特解.
将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数
yt 1 ayt c，
1) 采用迭代法求解： 给定初值 y0， 有迭代公式
yt ayt 1 c a ayt 2 c c
2 a a yt 2 c 1 a ayt 3 c c 1 a
2
a 3 yt 3 c 1 a a 2
于是
* t
c t y tb ctbt 1 . a
当 b a 和 b a 时，方程 (6) 的通解分别为：
c t yt b Aa t 和 ba
yt ctbt 1 Aa t .
例6 求差分方程
1 5 yt 1 yt 的通解。 2 2
1 Y A . 2
解 特征方程为
2 1 0,
从而特征根为
1 . 2
于是原方程的通解为
1 t yt C ( ) , 2
其中C为任意常数.
考虑差分方程
yt 1 ayt f ( t )
的右端项为某些特殊形式的函数时的特解.
( 一) f ( t ) c (c为任意常数),
则差分方程为
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