三重积分计算法

( x, y ) ∈ Dxy , z从z1 ( x, y )
b
z1 S1 z = z1 ( x, y)
y
y = y1( x) Dxy ( x, y) y = y2 ( x)
变到z2 ( x, y ) , 于是
: z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z2 ( x , y ) , ( x , y ) ∈ Dxy
dz ∫∫ f ( x , y, z )dxdy
Dz
先求出 DZ上的二重积分再求定积分. 此法常用于 Dz上的二重积分易求的情形
例3 计算 ∫∫∫ z dxdydz ，其中 是由椭球
2
x y z 所围成的空间闭区域。 面 2 + 2 + 2 = 1 所围成的空间闭区域。 z a b c c Dz 解 z的最小值和最大值为 的最小值和最大值为
如图,将 设 如图 将 向xoy面投影， 面投影 得 D xy ,以 D xy 的边界为准 以 线母线平行于z轴的柱面 线母线平行于 轴的柱面 分为下上两个边界： 把 分为下上两个边界：
O
a
z
z = z2 ( x, y) z2 S2
z = z1 ( x , y ) , z = z2 ( x , y )
2 ( ρ ,θ )
1 ( ρ ,θ )
f ( ρ cos θ , ρ sin θ , z )dz
例4 计算 ∫∫∫ zdv ,其中 是由上半球面
x + y + z = 4 ( z ≥ 0) 和旋转抛物面
2 2 2
x + y = 3 z 所围成的区域 所围成的区域.
2 2
面投影， 解 将积分区域 向xoy面投影，得 面投影
三组坐标面族去分割空间区域 三组坐标面族去分割空间区域 一小块的体积 v 可以 近似看成以 为底， 近似看成以ρ d ρ dθ 为底， 为高的柱体体积。 dz 为高的柱体体积。 体积元素
o
x dθ
z
，其任
ρdθ
dρ
ρ
dz
dv = ρ d ρ dθ dz
y
f ∫∫∫ f ( x, y, z)dv = ∫∫∫ （ρ cosθ , ρ sinθ , z)ρd ρdθ dz
z
设M（x,y,z）为空间 （ ） 一点，如果将 一点，如果将x，y，z 改用另外三个数 ρ , θ , z 来表示， 来表示，则称（ρ ,θ , z） 为点M 柱面坐标。 为点 的柱面坐标。
O
x θ
M( x, y, z)
z
ρ
y
P(ρ,θ )
就是极坐标. 在xoy面上 ( ρ ,θ ) 就是极坐标 面上
2 Dz
z z z π a 1 2 b 1 2 = π ab(1 2 ) c c c 2 c z 2 2 ∴ ∫∫∫ z dxdydz = ∫ z π ab(1 2 )dz c c 4 c z 4 2 3 = π ab ∫ ( z 2 )dz = π ab c c 15
2
2
2
二
用柱面坐标计算三重积分
及平面x＋ ＋ ＝ 所围成的区域 所围成的区域。 及平面 ＋2y＋z＝1所围成的区域。 z
z = 1 x 2y
C (0, 0,1)
解 在xoy面上的投影为 D xy 面上的投影为
: 0 ≤ z ≤ 1 x 2 y , ( x , y ) ∈ Dxy
O
1 B (0, , 0) 2
D xy
y
( x, y )
x
积分区域可表示为
: z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z2 ( x , y ) , ( x , y ) ∈ Dxy
则
∫∫∫
Dxy
f ( x , y, z )dv
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
(先一后二） 先一后二） 先一后二
= ∫∫ [ ∫
f ( x , y, z )dz ]dxdy
三组坐标面：
z
M( x, y, z) M ( ρ ,θ , z )
θ ＝常数 （半平面） 半平面） z ＝常数 （水平平面） 水平平面）
由图可知 柱面与直角坐标的关系是 x
O
ρ＝常数 （圆柱面） 圆柱面）
z
θ
ρ
P(ρ,θ ) P(x, y)
y
x = ρ cosθ y = ρ sinθ z = z (0 ≤ ρ < +∞,0 ≤ θ ≤ 2π , ∞ < z < +∞)
第三节 三重积分的计算法
一、利用直角坐标计算三重积分 二、利用柱面坐标计算三重积分 三、利用球面坐标计算三重积分
∫ f ( P ) dg = ∫∫∫ f ( x , y, z )dv
G
三重积分
∫∫∫ f ( x, y, z )dv
其 中 是空 间有 界 闭区 域 .
计算方法是将三重积分化为三次积分 计算方法是将三重积分化为三次积分. 三重积分化为三次积分 可以用直角坐标、柱面坐标和 可以用直角坐标、柱面坐标和球面 直角坐标 坐标来计算 坐标来计算. 来计算
13 = π [2ρ ]0 = π 4 54 4
2 3
ρ
4
ρ
6
例5 计算 ∫∫∫ zdxdydz , 其中 是由曲面
z = x + y 与平面 z = 4 围成的区域.
2 2
面上的投影区域为圆域: 解 在xoy面上的投影区域为圆域 面上的投影区域为圆域 z 2 2 Dxy : x + y ≤ 4 z=4
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫∫ [∫
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz ]dxdy
根据D是 型域或 型域或Y型域确定二重积分的 根据 是X型域或 型域确定二重积分的 积分限，就得到三重积分公式 积分限，就得到三重积分公式. 型域， 若D为X型域，则有 为 型域
Dxy
x=0，y=0围成的三角形域 ， 围成的三角形域， 围成的三角形域 的下底是x＋ ＋ ＝ ， 的下底是 ＋y＋z＝1， 上底是z＝1， 上底是 ＝ ，
x + y =1
0
1 x
0 ≤ y ≤ 1 x : 1 x y ≤ z ≤ 1, Dxy : 0≤ x≤1 y f ( x , y , z )dv ∫∫∫
x + y =1
=
∫∫ dxdy ∫
Dxy
1 1 x 0 0
1
1 x y
1
f ( x , y , z )dz
0
f ( x , y , z )dz
Dxy
1 x
= ∫ dx ∫
dy ∫
1 x y
1）投影法（先一后二） ）投影法（先一后二）
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫∫ [∫
D
一、 利用直角坐标计算三重积分
用平行于坐标面的平面族： 用平行于坐标面的平面族： x = 常数， y = 常数， z = 常数 常数， 常数， 去分割积分区域 , 除边界外每个小块都 是一个长方形， 是一个长方形，于是得到体积元素
dv = dxdydz
即∫∫∫ f ( x , y , z )dv = ∫∫∫ f ( x , y , z )d xdydz
2
2
2
c和 c
2
z
，即
a
O
D0
c ≤ z ≤ c
2 2
x
b
y
c
x y z Dz : 2 + 2 ≤ 1 2 - c ≤ z ≤ c) （ a b c
∫∫∫ z dxdydz = ∫ dz∫∫ z dxdy = ∫
2 2
c
c
Q ∫∫ dxdy = Dz 的面积为
Dz
c
Dz
c
z dz∫∫ dxdy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz ]dxdy
2）截面法（先二后一） ）截面法（先二后一） 计算三重积分时， 计算三重积分时，先求一个二重积 分，再求一个定积分的方法
2）截面法（先二后一） ）截面法（先二后一） 设区域 的z值的最大值 值的最大值 c 和最小值为 c1和 c2， 内任一点z， 过 ( c1 , c2 ) 内任一点 ，作水 z 平平面与 交出截面 DZ， 就 是二重积分的积分区域. 是二重积分的积分区域
: 1 ( ρ ,θ ) ≤ z ≤ 2 ( ρ ,θ ) , ( ρ ,θ ) ∈ Dρθ
2 ( ρ,θ )来自百度文库
1(
因此
区域由直角变为柱面坐标表示
, )
∫∫∫ f (x, y, z)dv = ∫∫ ρdρdθ ∫ ρ θ
Dρθ
f (ρ cosθ, ρ sinθ, z)dz
∫∫∫ f (x, y, z)dv = ∫∫ ρdρdθ ∫ ρ θ
0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π
z=ρ
2
z=x +y
2
2
y
x
D
: ρ ≤ z ≤ 4,0 ≤ ρ ≤ 2,0 ≤ θ ≤ 2π
2
: ρ ≤ z ≤ 4,0 ≤ ρ ≤ 2,0 ≤ θ ≤ 2π
2
所以
zdxdydz = ∫∫ ρ d ρ dθ ∫ 2 zdz ∫∫∫
4
= ∫ dθ ∫ ρ d ρ ∫ 2 zdz
0
xdz
= ∫ dx ∫
0
1 0
D 1
= ∫ xdx ∫
1 x 2 0 1 x 2 0
dy ∫
1 x 2 y
0
xdz
(1 x 2 y )dy
1 1 1 2 3 = ∫ ( x 2 x + x )dx = 4 0 48
例2 将 ∫∫∫ f (x, y, z)dv 化为直角坐标系下的
三次积分， 三次积分，其中 是由平面 x＋y＋z＝1， ＋ ＋＝ ， x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1围成的区域。 ＋ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ 围成的区域 围成的区域。 解 ， 的投影 Dxy 是x+y=1， y
解
2
采用柱面坐标
2 2
Qx + y = z
z = ρ,
π
2
z=a
z
∴ : ρ ≤ z ≤ a, ( ρ ,θ ) ∈ Dρθ ,
xy
z=
ρ
2
x +y z= 3
2
2
y
： ≤ z ≤ 4 - ρ , 0 ≤ ρ ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π 3
2
ρ
2
∫∫∫ zdv = ∫∫∫ zρd ρdθ dz
= ∫ dθ ∫
0
2π
2π
3
0
3
ρd ρ ∫ρ
4 ρ 2
2
zdz
3
4
1 ρ 2 = ∫ dθ ∫ (4 ρ )ρd ρ 0 2 0 9
0 0
2π
D
ρ
2
4
ρ
2 1 2π 2 = ∫ dθ ∫ ρ (16 ρ )d ρ 0 2 0
1 ρ 2 64 2 = 2π [8 ρ ]0 = π 2 6 3
2
例6 计算 I = ∫∫∫ ( x + y )dv 其中
2 2
由锥面x + y = z , x = 0, y = 0和
2 2 2
z = a ( a > 0 ) 所围成第一卦限部分.
D xy : x + y ≤ 3
2 2
z = 4 ρ
2
z = 4 x2 y2
z
3 D O 2 2 x x +y 2 2 ： ≤ z ≤ 4 x y , 3 2 2 Dxy : x + y ≤ 3 柱面坐标 2 0 ≤ ρ ≤ 3 ρ 2 , ： ≤ z ≤ 4 - ρ , Dρθ : 3 0 ≤ θ ≤ 2π
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫
b
a
dx ∫
2 ( x )
1 ( x )
dy ∫
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz
这是先对z，次对 ，最后对x的三次积分 这是先对 ，次对y，最后对 的三次积分
例1 计算
其中 ∫∫∫ xd v,其中 为三个坐标面
在柱面坐标系下
∫∫∫ f ( x, y, z)dv = ∫∫∫ f (ρ cosθ , ρ sinθ , z)ρd ρdθ dz
设 : z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z2 ( x , y ) , ( x , y ) ∈ Dxy
则积分区域在柱面坐标系下的表示为： 则积分区域在柱面坐标系下的表示为：
Dρθ
1(
2 ( ρ,θ )
, )
f (ρ cosθ, ρ sinθ, z)dz
若 Dρθ : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ ) , α ≤ θ ≤ β 则三重积分化为柱面坐标的三次积分：
∫∫∫ f ( x, y, z )dv
= ∫ dθ ∫
α
β
ρ 2 (θ ) ρ1 (θ )
ρd ρ ∫
x
z
Dz
2
c1
O
上对x,y积分然后在 上对z积分 积分. 先在 Dz 上对 积分然后在[ c1 , c2 ] 上对 积分
y
: ( x , y ) ∈ DZ , c1 ≤ z ≤ c2
: ( x , y ) ∈ DZ , c1 ≤ z ≤ c2
这样得到
先二后一
c2 c1
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫
看成X型域 型域， 若 D xy 看成 型域，则
x
A(1, 0, 0)
: 0 ≤ z ≤ 1 x 2 y , ( x , y ) ∈ Dxy
1 x y= 2
∫∫∫ xdv = ∫∫ dxdy ∫
1 x 0 ≤ y ≤ : 0 ≤ z ≤ 1 x 2 y , Dxy : 2 0≤ x≤1 1 x 2 y