三重积分计算法
三重积分计算方法
三重积分计算方法
三重积分是数学中的一种重要的计算方法，用于计算三维空间中某个区域内的物理量。
它在物理学、工程学、计算机图形学等领域中具有广泛的应用。
三重积分可以理解为对一个三维区域进行体积的累加。
在直角坐标系下，三重积分可以表示为f(x, y, z)dV，其中f(x, y, z)为被积函数，dV表示微元体积。
计算三重积分的方法有多种，常见的方法包括直接计算法、柱坐标法和球坐标法。
直接计算法是最基本的计算方法，即将三重积分的积分区域分成小立方体，并对每个小立方体进行积分，然后将这些小立方体的积分结果相加。
这种方法适用于积分区域较简单的情况，但对于复杂的积分区域来说，计算量较大。
柱坐标法是一种将直角坐标系转换为柱坐标系进行计算的方法。
通过将积分区域转换为柱坐标系下的一个圆柱体，可以简化积分的计算过程。
这种方法尤其适用于具有旋转对称性的问题。
球坐标法是一种将直角坐标系转换为球坐标系进行计算的方法。
通过
将积分区域转换为球坐标系下的一个球体，可以进一步简化积分的计算过程。
这种方法尤其适用于具有球对称性的问题。
除了以上提到的方法外，还有其他一些积分变换方法，如椭球坐标法、柱坐标系下的旋转变换等，根据具体情况选择合适的方法进行计算。
需要注意的是，对于一些复杂的积分区域，可能需要将其分解为多个简单的子区域，然后对每个子区域进行积分。
此外，在实际计算中，还需要注意积分的顺序以及积分限的确定，以避免出现错误结果。
综上所述，三重积分是一种重要的计算方法，通过选择合适的计算方法和注意计算细节，可以有效地求解三维空间中的问题。
三重积分的计算方法小结与例题
三重积分的计算方法介绍:三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。
从顺序看：Z2如果先做定积分f (x, y, z)dz，再做二重积分 F (x, y)d；「，就是“投Z i D影法”也即“先一后二”。
步骤为：找0及在xoy面投影域D。
多D上一点(x,y) “穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完Z2成“后二”这一步。
III f (x, y, z)dv 二[f (x, y, z)dz]dcQ D z iC2如果先做一重积分11 f (x, y, z)d；二再做定积分F (z)dz，就是“截面D z q法”也即“先二后一”。
步骤为：确定。
位于平面z = °与z=c2之间，即z • [C1,C2]，过z作平行于xoy面的平面截门，截面D z。
区域D z的边界曲面都是z的函数。
计算区域D z上的二重积分i if(x, y,z)d二，完成D zC2了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分.F(z)dz，完成“后C iC2一”这一步。
H I f(x,y,z)dv = [ f (x, y,z)d；「]dzQ C i D z当被积函数f (z)仅为z的函数(与x,y无关)，且D z的面积二⑵容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域「投影到xoy面，得投影区域D(平面)(1) D是X型或丫型，可选择直角坐标系计算(当门的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)(2)D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2・y2),fd)时,x 可选择柱面坐标系计算(当「为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算)(3)门是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2• y2z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种，它是对三维空间内的函数进行积分运算。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们需要掌握一定的方法和技巧，下面将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看看三重积分的计算公式。
对于函数f(x, y, z)，其在空间区域V 上的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dV。
其中，∭表示三重积分的符号，f(x, y, z)是被积函数，dV表示体积元素。
在直角坐标系中，体积元素dV可表示为dxdydz，因此三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dxdydz。
接下来，我们将介绍三种常见的计算方法，直角坐标系下的三重积分、柱坐标系下的三重积分和球坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为x、y、z的函数，然后按照一定的积分次序进行计算。
通常情况下，我们会先对z进行积分，再对y 进行积分，最后对x进行积分。
这样可以将三重积分转化为三次一重积分的计算，简化计算过程。
在柱坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为ρ、θ、z的函数，其中ρ表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上的极角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为柱坐标系下的三重积分，从而简化计算。
在球坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为r、θ、φ的函数，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在xy平面上的极角，φ表示点与z轴的夹角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为球坐标系下的三重积分，从而简化计算。
除了上述的常见计算方法外，我们在进行三重积分的计算时，还需要注意积分区域的确定、被积函数的合理选择、积分次序的调整等问题。
在实际应用中，我们还可以利用对称性、奇偶性等性质简化计算过程。
总之，三重积分是多元函数积分的一种重要形式，它在实际问题中有着广泛的应用。
掌握三重积分的计算方法，对于深入理解多元函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
三重积分计算方法
三重积分计算方法三重积分是多重积分中的一种，用于计算三维空间中的体积、质量、重心等物理量。
本文将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们需要了解三重积分的定义。
给定一个定义在三维空间上的函数f(x,y,z)，我们要计算其在一些区域V内的积分。
这个区域V可以用一组不等式给出，比如x的取值范围是a到b，y的取值范围是c到d，z的取值范围是e到f。
则三重积分的定义如下：∭f(x, y, z) dV = ∬∫f(x, y, z) dx dy dz其中，dV 表示体积元素，dx dy dz 分别表示 x、y、z 方向上的微小长度。
积分号的上方是积分的区域 V，下方是被积函数 f(x, y, z)。
下面我们将介绍三重积分的计算方法。
1.直角坐标系下的三重积分计算方法:在直角坐标系中，我们可以利用变量分离的方法计算三重积分。
假设要计算的函数f(x,y,z)可以分离为三个只与一个变量有关的函数，即f(x,y,z)=g(x)h(y)i(z)。
则三重积分可以分解为三个单重积分的乘积：∭f(x, y, z) dV = ∫g(x)dx * ∫h(y)dy * ∫i(z)dz这种方法适用于函数可以分离的情况，但是实际上很少遇到这种情况。
2.柱面坐标系下的三重积分计算方法:在柱面坐标系中，我们用(ρ,φ,z)表示点的坐标，其中ρ表示点到z轴的距离，φ表示点到x轴的夹角，z表示点在z轴上的高度。
在柱面坐标系中，体积元素dV可以表示为：dV = ρ dρ dφ dz因此，柱面坐标系下的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(ρ cos φ, ρ sin φ, z) ρ dρdφ dz这种方法适用于具有柱面对称性的函数，即函数在ρ和φ方向上具有分离变量的特点。
3.球面坐标系下的三重积分计算方法:在球面坐标系中，我们用(r,θ,φ)表示点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点到z轴的夹角，φ表示点到x轴的夹角。
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种形式，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算三维空间中某个区域内的函数取值总和，而三重积分就是用来描述这种情况的工具。
在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法，包括直角坐标系下的三重积分和柱坐标系、球坐标系下的三重积分计算方法。
首先，我们来看直角坐标系下的三重积分计算方法。
设函数为f(x, y, z)，积分区域为V，那么三重积分的计算公式为：∫∫∫V f(x, y, z) dV。
其中，dV表示微元体积。
在直角坐标系下，微元体积可以表示为dV = dx dy dz，因此三重积分可以表示为：∫∫∫V f(x, y, z) dx dy dz。
这样，我们就可以按照一定的积分顺序，依次对x、y、z进行积分，从而计算出三重积分的值。
在实际计算中，我们需要根据具体的问题选择合适的积分顺序，以简化计算过程。
接下来，我们来看柱坐标系下的三重积分计算方法。
在柱坐标系下，积分区域V可以用柱坐标表示，即V={(ρ, φ, z) | (ρ, φ, z) ∈ D, α ≤ ρ ≤ β, α1 ≤ φ ≤ β1, γ1 ≤ z ≤γ2}。
这时，三重积分的计算公式变为：∫∫∫V f(ρ, φ, z) ρ dρ dφ dz。
在柱坐标系下，微元体积可以表示为dV = ρ dρ dφ dz，因此三重积分可以表示为：∫∫∫V f(ρ, φ, z) ρ dρ dφ dz。
通过将函数用柱坐标表示，并按照一定的积分顺序，依次对ρ、φ、z进行积分，我们也可以计算出三重积分的值。
最后，我们来看球坐标系下的三重积分计算方法。
在球坐标系下，积分区域V可以用球坐标表示，即V={(r, θ, φ) | (r, θ, φ) ∈ D, α ≤ r ≤ β, α1 ≤ θ ≤ β1, α2 ≤ φ ≤β2}。
这时，三重积分的计算公式变为：∫∫∫V f(r, θ, φ) r^2 sinφ dr dθ dφ。
8.3 三重积分的计算法
v1, v2,…, vn,
其中vi表示第i个小闭区域，也表示它的体积。
在每个vi上任取一点( i , i, i) ，作乘积 f (
i
,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
i 1
如果当各小闭区域直径的最大值趋于零时
1
1)
dv, 其中
:
x2 y2 z2 1 。
13
解 (1) ( x y z)dv 空间区域 如图所示。
z C (0,0,1)
由于空间区域 对三个变量
是对称的, 并且被积函数也是对
o
称的。因此有 :
x A (1,0,0)
xdv ydv zdv
6
f (x, y, z)
b
dx
2 ( x) dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a
1 ( x )
z1( x , y )
公式(2)把三重积分化为先对z、次对y、最 后对x的三次积分。
f ( x, y, z)dv dxdy z2 (x, y) f ( x, y, z)dz
化为三次积分形式, 其中 为
(1) : x2 z2 R2 , y 0, y H;
(2) : x 1 y2 z2 , x 0 。
解 (1)及在zox面上的投影如下图
z
z
R
o x
Hy
Dzx
o Rx
10
z R o x
Hy
z
Dzx
o Rx
f
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是微积分中的重要内容，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对三维空间中的某些物理量进行积分运算，而三重积分就是用来描述这种三维空间中的积分运算的工具。
下面，我们将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看三重积分的定义。
对于空间中的一个有界闭区域V，如果函数f(x, y, z)在V上有定义且在V上可积，那么三重积分∬∬∬_{V}f(x,y,z)dxdydz的计算方法如下：1. 将积分区域V投影到xy平面上，得到投影区域D。
2. 在D上选择一个合适的坐标系，通常选择直角坐标系或极坐标系。
3. 再在D上选择一个曲线坐标系，通常选择柱坐标系或球坐标系。
4. 根据选择的坐标系，写出积分的累次积分式。
5. 按照累次积分的顺序依次进行积分运算。
在实际计算中，我们通常会遇到一些复杂的积分问题，下面我们来看一些常见的计算方法。
首先是直角坐标系下的三重积分计算。
在直角坐标系下，积分区域V可以用不等式形式表示，利用三次积分的性质，可以将三重积分化为三个一重积分的累次积分。
这样就可以分别对x、y、z进行积分，从而简化计算。
其次是极坐标系下的三重积分计算。
在极坐标系下，积分区域V通常是某个平面区域在z轴上的投影区域，利用极坐标系的性质，可以将三重积分化为一个二重积分和一个一重积分的累次积分。
这样就可以利用极坐标系的简洁性，简化计算过程。
最后是球坐标系下的三重积分计算。
在球坐标系下，积分区域V通常是一个球体或球体的一部分，利用球坐标系的性质，可以将三重积分化为一个球面上的二重积分和一个一重积分的累次积分。
这样就可以利用球坐标系的简洁性，简化计算过程。
总之，三重积分的计算方法是多样的，我们可以根据具体的问题选择合适的坐标系和积分顺序，从而简化计算过程。
在实际问题中，我们需要灵活运用不同的计算方法，以便高效地解决问题。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
三重积分的计算方法
关于三重积分，是数一的内容。
三重积分核心也就是选对三重积分三大类方法，做什么题适合什么样的方法比较简便。
先总结关于三重积分的方法三重积分的计算方法：总结三种坐标形式1.直角坐标法①先一后二（先对z求积分，再对xy求积分）需要注意的是，在对xy积分的时候，积分区域是在xoy上面的投影②先二后一（先对xy积分，再对z积分）这里对z的积分的时候，积分区域是垂直z轴平面所截的区域适合先二后一：①被积函数：只含有x，y，z其中一个②积分区域：用 z=z0 截取后面积易求直角坐标系下求三重积分“先二后一”2.柱坐标{x=rcosθy=rsinθz=z公式∭Ωf(x,y,z)=∭Ωf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdzx2+y2=r2注意：什么时候适合柱坐标①被积函数：出现x2+y2②积分区域：积分区域在xoy面上能用极坐标表示用柱面坐标计算三重积分3.球坐标{x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=zcosφ,公式∭Ωf(x,y,z)dv=∭Ωf(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r2sinφdrdθdzx2+y2+z2=r2注意：什么时候适合球坐标①被积函数出现x2+y2+z2②积分区域是一个球或者是一个锥体θ就是投影在xoy的角度范围，φ就是过原点，引一条射线,向下转，转出积分区域范围就是φ的范围用球面坐标计算三重积分4.一些常见积分区域的几何图形① z=x2+y2② z=x2+y2③ z=a−x2−y2④ z=a−x2−y25.更换三重积分的次序这里常见的是两种问题，一种是累次积分交换次序，另一种是计箅累次积分，计算累次积分通常也是通过交换累次积分次序来进行.交换三重累次积分次序本应像二重累次积分一样，先画域，然后再重新定限，然而，这里画域往往比较困难，通常利用二重积分交换次序逐步实现三重累次积分交换次序。
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
第三节三重积分的计算方法
解 将 向 xoy 面作投影,则
: 0 x 1,0 y 1 x ,0 z 1 x 2y
2
1
1 x
1x2 y
xdxdydz 0 dx0 2 dy0 xdz
1
1 x
dx 2 x(1 x 2y)dy 00
1 1(x 2x2 x3)dx 1
40
48
计算三重积分时也要注意积分次序的选择
P
常数 过 z 轴的半平面
z 常数 平行于xoy面的平面
体积元素 dv rdrddz
这是因为: 如果用三组坐标面划分 ,大部分子域为小柱体, 近似看作长方体,则:
f (x, y, z)dv f (r cos , r sin , z)rdrddz
化成三次积分
前面例2 计算 zdxdydz
: 0 2 ,0 ,0 r R,
z2dv
2
d
d
R r 2 cos2 r 2 sin2 dr
0
0
0
R5
2
d
cos2 sin d
50
0
4 R5
15
例4 计算 x2dv 其中 由 z x2 y2 与 z R2 x2 y2 围成.
: 0 2 ,0 ,0 r R,
例2 计算 zdxdydz
其中 由 z x2 y2 及 z 4 围成
: 2 x 2, 4 x2 y 4 x2 , x2 y2 z 4,
zdxdydz
2
4x2
4
dx dy zdz
2 4x2
x2 y2
64
3
计算过程繁琐
能否把极坐标结合到空间坐标系内?
4 柱面坐标系
0
0
5
三重积分的几种计算方法
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
0
y= OPsin = rsin sin
yy
z= r cos
三重积分计算法
柱面坐标法
柱坐标系
将直角坐标系中的点表示为柱坐标形式，适用于具有圆柱对称性的三重积分。
积分顺序
通常按照先对半径进行积分，再对角度进行积分，最后对高度进行积分的顺序 进行计算。
球面坐标法
球坐标系
将直角坐标系中的点表示为球坐标形式 ，适用于具有球对称性的三重积分。
VS
积分顺序
通常按照先对半径进行积分，再对天顶角 进行积分，最后对方位角进行积分的顺序 进行计算。
计算质心坐标
质心坐标的定义
质心是物体质量的中心，其坐标可通过三重积分计算 得到。
质心坐标的计算公式
在直角坐标系下，质心坐标的计算公式为质量密度函 数对坐标的三重积分除以物体总质量。
质心坐标的应用
质心坐标在物理学、工程学等领域有广泛应用，如计 算物体的转动惯量、稳定性分析等。
计算转动惯量
转动惯量的定义
计算曲面面积
参数曲面面积的计算
对于由参数方程表示的曲面，可利用参数方 程求导得到曲面的法向量，进而计算曲面面 积。
显式曲面面积的计算
对于由显式方程表示的曲面，可利用偏导数求得曲 面的法向量，进而计算曲面面积。
隐式曲面面积的计算
对于由隐式方程表示的曲面，可利用隐函数 的求导法则求得曲面的法向量，进而计算曲 面面积。
02
三重积分的计算方法
先一后二法
投影法
将三重积分转化为二重积分，通过投 影确定积分区域。
截面法
通过截面确定被积函数在不同区间的 表达式，进而计算三重积分。
先二后一法
逆序法
将三重积分转化为累次积分，先对两 个变量进行积分，再对第三个变量进 行积分。
变量替换法
通过变量替换简化被积函数和积分区 域，进而计算三重积分。
三重积分的各种计算方法
x 2 + y 2 dz
= dx
−1
1
1− x 2
− 1− x 2
x 2 + y 2 (1 − x 2 + y 2 )dy
=
6
（注：可用柱坐标计算。 ）
解法二： “截面法” 1. 画出 。
0 2 : 0 r z 0 z 1
2. z [0,1] 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 D z ： x 2 + y 2 z 2
c1
c2
完成“后一”这一步，即
f ( x, y, z)dxdydz = [ f ( x, y, z ) d ] dz
c1 Dz
c2
当被积函数 f ( z ) 仅为 z 的函数（与 x，y 无关） ，且 D z 的面积 ( z) 容易求出时， “截 面法”尤为方便。
_____________________________________________________________________
0 2 Dz ： 0 r z
下面用柱坐标计算积分结果 3. 计算：
x + y dxdydz = [ x 2 + y 2 dxdy ]dz
2 2 0 Dz
1
= [ d r 2 dr ]dz
0 0 0
1
2
z
1 2 z = 2 [ r 3 ]0 dz = z 3dz 3 3 0 0
2 2
三重积分的计算方法例题：
补例 1：计算三重积分 I
= zdxdydz ，其中 为平面 x + y + z = 1 与三个坐标面 x = 0，y = 0，z = 0
三重积分计算方法
(1 y z )2
Dyz
1 dy
0
1
x
1 1 y -(1-y )2 (1 e )dy 0 4e 2
1
y
0
(1 y )(1 y z )e
-(1-y-z )2
例4 计算 ( z 2 x )dv， : x 2 y 2 z 2 R 与
于是引力F在三个坐标方向上的分量为
m ( x , y , z )( x a ) Fx G dv, 3 r V m ( x , y , z )( y b) Fy G dv, 3 r V m ( x , y , z )( z c ) Fz G dv. 3 r V
,
M zx y M
y ( x , y, z )dV ( x , y, z )dV
x
, z M xy M
o x
z
dV y
y
z ( x , y, z )dV ( x , y, z )dV
(二) 转动惯量
(1) 平面薄片的转动惯量
y
y
I x y 2 ( x , y )d
x 2 y 2 2az 所围成立体的表面积. z
a
o
x
y
例10 求半球面 z 3a 2 x 2 y 2与旋转抛物面
x 2 y 2 2az 所围成立体的表面积. z
S = S1 S2
S1
S2
. .
o
D
.
2a
y
z 3a 2 x 2 y 2 D: 2 2 x y 2az x 2 y 2 2a 2 即 z 0
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法
计算三重积分的方法主要包括直接计算、分离变量法和曲面边界法。
下面将对这些方法逐一介绍。
1. 直接计算法：
首先要确定积分的积分区域，并将其表示为三个变量的范围。
然后，可以选择合适的坐标系来描述该区域，并将被积函数转化为所选坐标系中的函数表达式。
下一步，可以将积分区域分成小块，对每一个小块进行积分。
当小块足够小的时候，可以近似将积分区域看作是直角坐标系中的长方体，这样就可以直接应用三重积分的定义式进行计算。
2. 分离变量法：
分离变量法适用于被积函数可以分离成三个变量的乘积形式
的情况。
首先，将被积函数分别对三个变量进行积分，得到三个独立的一重积分。
然后，将这些一重积分结果相乘，即可得到三重积分的值。
3. 曲面边界法：
曲面边界法适用于积分区域可以被曲面围成的情况。
首先，
需要找到这个曲面，然后对其进行参数化描述。
接下来，可以通过对参数化曲面的法向量和被积函数进行点乘，来得到被积函数在曲面上的投影。
最后，对该投影在参数域内的面积进行二重积分，即可得到三重积分的值。
以上是三重积分的计算方法的简要介绍。
具体的计算步骤和技
巧会因具体问题的不同而有所变化。
需要根据具体问题的要求和特点，选择适合的方法进行计算。
三重积分的几种计算方法
适用范围：适用于积分区 域复杂的情况
步骤：选择适当的坐标系， 进行坐标变换
优点：简化计算过程，提 高计算效率
奇偶性法
定义：利用奇偶函数的性质简化三重积分的计算 适用范围：被积函数或其变量具有奇偶性时 步骤：判断奇偶性，选择合适的坐标系和积分顺序，简化计算 示例：计算三重积分时，利用奇偶性法可以简化计算过程
添加标题
三重积分的几何意义：三重积分可以理解为三维空间中一个函数与一个封闭曲面所围成 的区域的体积。
添加标题
三重积分的计算方法：三重积分可以通过累次积分的方法计算，即先对一个变量进行积 分，再对另一个变量进行积分，最后对第三个变量进行积分。
添加标题
三重积分的物理应用：三重积分在物理学中有广泛的应用，如计算物体的质量、质心、 转动惯量等物理量。
对于每个微元体，我们可以计算其上的函数值与微元体的体积的乘积，即 微元体的质量。
将所有微元体的质量相加，即可得到整个积分区域上的函数值与体积的乘 积，即三重积分的结果。
利用微元法计算三重积分时，需要注意每个微元体的形状和大小，以及函 数值在微元体上的变化情况。
三重积分的计算技 巧
坐标变换法
定义：将三重积分转化为 容易计算的形式
近似计算法
近似计算法：利用泰勒级数展开或数值积分方法，将三重积分转化为数值计算，适用于复 杂函数或高维空间的积分计算。
坐标变换法：通过坐标变换简化积分计算，适用于某些特殊函数或几何形状的积分计算。
分部积分法：将三重积分转化为多个一元或二元积分的和或差，适用于具有易于计算积分 的部分的三重积分计算。
计算三维物体的体积 计算三维物体的表面积 计算三维物体的质心 计算三维物体的转动惯量
在工程中的应用
计算复杂几何体 的质量、质心和 转动惯量
三重积分概念及其计算
三重积分概念及其计算三重积分是多重积分的一种，它用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
在本文中，我们将详细介绍三重积分的概念和计算方法。
一、三重积分的概念三重积分是对三维空间中的函数进行求和的一种数学运算。
它可以用于计算空间中的体积、质量、质心等物理量。
三重积分通常表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是定义在三维空间中的函数，dV表示微小体积元素。
二、三重积分的计算方法1.直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，三重积分的计算可以采用分步积分的方法。
具体而言，首先需要确定积分区域的边界，然后分别对x、y、z进行积分。
设积分区域为V，边界为S。
根据积分的基本原理，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV=∫∫∫_Vf(x,y,z)dV其中V表示积分区域的体积，dV表示微小体积元素。
假设积分区域可以被表示为：V:a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x),p(x,y)≤z≤q(x,y)那么，三重积分可以分步计算为：∭f(x,y,z)dV = ∫∫∫_V f(x,y,z)dxdydz= ∫_a^b∫_(g(x))^(h(x)) ∫_(p(x,y))^(q(x,y)) f(x,y,z) dzdydx依次对x、y、z进行积分即可得到结果。
2.柱坐标系中的三重积分在柱坐标系中，三重积分的计算可以采用柱坐标系下的坐标变换公式。
具体而言，用柱坐标r、θ、z替换直角坐标系中的x、y、z，然后对新的坐标进行积分。
设柱坐标系下的积分区域为V，边界为S。
根据柱坐标系下的坐标变换公式，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ其中 r 表示到原点的距离，θ 表示与正 x 轴的夹角，z 表示垂直于 xy 平面的坐标。
积分区域 V 在柱坐标系下的表示方式为：V:α≤θ≤β,g(θ)≤r≤h(θ),p(r,θ)≤z≤q(r,θ)根据这个表示，可以将三重积分计算为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ= ∫_α^β ∫_(g(θ))^(h(θ)) ∫_(p(r,θ))^(q(r,θ))f(rcosθ,rsinθ,z) zdrdθ依次对θ、r、z进行积分即可得到结果。
三重积分的积分方法和积分公式
三重积分的积分方法和积分公式积分是数学中重要的一部分，它有许多不同的形式和方法。
三重积分作为三维空间上积分的一种形式，也有其独特的积分方法和积分公式。
一、 Cartesian 坐标系下的三重积分在 Cartesian 坐标系下，三重积分可以写作：$$ \iiint\limits_D f(x,y,z) dV $$其中 $D$ 是一个三维空间上的区域，$f(x,y,z)$ 是一个定义在$D$ 上的实函数，$dV$ 表示一个体积元素。
三重积分可以通过积分区域的划分来实现，比如将 $D$ 划分为小立方体，并在每个立方体中选取一个点作为积分点。
这样，三重积分可以近似计算为：$$ \iiint\limits_D f(x,y,z) dV \approx \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i, z_i)\Delta V_i $$其中 $n$ 是被划分的立方体数量，$(x_i, y_i, z_i)$ 是第 $i$ 个立方体中的积分点，$\Delta V_i$ 是第 $i$ 个立方体的体积。
当立方体数量趋近于无限大时，上式将会趋近于真实值。
然而，这种方法的计算量非常大，而且精确度也不高。
因此，我们需要寻求更加高效和准确的计算方法。
二、柱坐标系下的三重积分柱坐标系下的三重积分可以写作：$$ \iiint\limits_D f(r,\theta,z) r dz dr d\theta $$其中 $D$ 是一个柱形体，$f(r,\theta,z)$ 是一个定义在 $D$ 上的实函数，$r$、$\theta$ 和 $z$ 分别表示极径、极角和高度。
柱坐标系下的三重积分可以通过区域的分割和替换坐标系来计算。
具体来说，我们将 $D$ 划分为小柱形体，并在每个柱形体中选择一个点作为积分点。
然后，使用下列公式来计算三重积分：$$ \iiint\limits_D f(r,\theta,z) r dz dr d\theta \approx \sum_{i=1}^nf(r_i, \theta_i, z_i) r_i \Delta r_i \Delta \theta_i \Delta z_i $$其中 $n$ 是被划分的柱形体数量，$(r_i, \theta_i, z_i)$ 是第$i$ 个柱形体中的积分点，$\Delta r_i$、$\Delta \theta_i$ 和 $\Delta z_i$ 分别是第 $i$ 个柱形体的半径、极角和高度。
三重积分的计算方法与例题
三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。
多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。
dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
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如图,将 设 如图 将 向xoy面投影， 面投影 得 D xy ,以 D xy 的边界为准 以 线母线平行于z轴的柱面 线母线平行于 轴的柱面 分为下上两个边界： 把 分为下上两个边界：
O
z
z = z2 ( x, y) z2 S2
z = z1 ( x , y ) , z = z2 ( x , y )
0
xdz
= ∫ dx ∫
0
1 0
D 1
= ∫ xdx ∫
1 x 2 0 1 x 2 0
dy ∫
1 x 2 y
0
xdz
(1 x 2 y )dy
1 1 1 2 3 = ∫ ( x 2 x + x )dx = 4 0 48
例2 将 ∫∫∫ f (x, y, z)dv 化为直角坐标系下的
三次积分， 三次积分，其中 是由平面 x＋y＋z＝1， ＋ ＋＝ ， x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1围成的区域。 ＋ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ 围成的区域 围成的区域。 解 ， 的投影 Dxy 是x+y=1， y
Dρθ
1(
2 ( ρ,θ )
, )
f (ρ cosθ, ρ sinθ, z)dz
若 Dρθ : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ ) , α ≤ θ ≤ β 则三重积分化为柱面坐标的三次积分：
∫∫∫ f ( x, y, z )dv
= ∫ dθ ∫
α
β
ρ 2 (θ ) ρ1 (θ )
ρd ρ ∫
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫∫ [∫
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz ]dxdy
根据D是 型域或 型域或Y型域确定二重积分的 根据 是X型域或 型域确定二重积分的 积分限，就得到三重积分公式 积分限，就得到三重积分公式. 型域， 若D为X型域，则有 为 型域
三组坐标面：
z
M( x, y, z) M ( ρ ,θ , z )
θ ＝常数 （半平面） 半平面） z ＝常数 （水平平面） 水平平面）
由图可知 柱面与直角坐标的关系是 x
O
ρ＝常数 （圆柱面） 圆柱面）
z
θ
ρ
P(ρ,θ ) P(x, y)
y
x = ρ cosθ y = ρ sinθ z = z (0 ≤ ρ < +∞,0 ≤ θ ≤ 2π , ∞ < z < +∞)
第三节 三重积分的计算法
一、利用直角坐标计算三重积分 二、利用柱面坐标计算三重积分 三、利用球面坐标计算三重积分
∫ f ( P ) dg = ∫∫∫ f ( x , y, z )dv
G
三重积分
∫∫∫ f ( x, y, z )dv
其 中 是空 间有 界 闭区 域 .
计算方法是将三重积分化为三次积分 计算方法是将三重积分化为三次积分. 三重积分化为三次积分 可以用直角坐标、柱面坐标和 可以用直角坐标、柱面坐标和球面 直角坐标 坐标来计算 坐标来计算. 来计算
在柱面坐标系下
∫∫∫ f ( x, y, z)dv = ∫∫∫ f (ρ cosθ , ρ sinθ , z)ρd ρdθ dz
设 : z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z2 ( x , y ) , ( x , y ) ∈ Dxy
则积分区域在柱面坐标系下的表示为： 则积分区域在柱面坐标系下的表示为：
D xy : x + y ≤ 3
2 2
z = 4 ρ
2
z = 4 x2 y2
z
3 D O 2 2 x x +y 2 2 ： ≤ z ≤ 4 x y , 3 2 2 Dxy : x + y ≤ 3 柱面坐标 2 0 ≤ ρ ≤ 3 ρ 2 , ： ≤ z ≤ 4 - ρ , Dρθ : 3 0 ≤ θ ≤ 2π
解
2
采用柱面坐标
2 2
Qx + y = z
z = ρ,
π
2
z=a
z
∴ : ρ ≤ z ≤ a, ( ρ ,θ ) ∈ Dρθ ,
2 ( ρ ,θ )
1 ( ρ ,θ )
f ( ρ cos θ , ρ sin θ , z )dz
例4 计算 ∫∫∫ zdv ,其中 是由上半球面
x + y + z = 4 ( z ≥ 0) 和旋转抛物面
2 2 2
x + y = 3 z 所围成的区域 所围成的区域.
2 2
面投影， 解 将积分区域 向xoy面投影，得 面投影
: 1 ( ρ ,θ ) ≤ z ≤ 2 ( ρ ,θ ) , ( ρ ,θ ) ∈ Dρθ
2 ( ρ,θ )
1(
因此
区域由直角变为柱面坐标表示
, )
∫∫∫ f (x, y, z)dv = ∫∫ ρdρdθ ∫ ρ θ
Dρθ
f (ρ cosθ, ρ sinθ, z)dz
∫∫∫ f (x, y, z)dv = ∫∫ ρdρdθ ∫ ρ θ
2
2
2
c和 c
2
z
，即
a
O
D0
c ≤ z ≤ c
2 2
x
b
y
c
x y z Dz : 2 + 2 ≤ 1 2 - c ≤ z ≤ c) （ a b c
∫∫∫ z dxdydz = ∫ dz∫∫ z dxdy = ∫
2 2
c
c
Q ∫∫ dxdy = Dz 的面积为
Dz
c
Dz
c
z dz∫∫ dxdy
2 Dz
z z z π a 1 2 b 1 2 = π ab(1 2 ) c c c 2 c z 2 2 ∴ ∫∫∫ z dxdydz = ∫ z π ab(1 2 )dz c c 4 c z 4 2 3 = π ab ∫ ( z 2 )dz = π ab c c 15
2
2
2
二
用柱面坐标计算三重积分
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫
b
a
dx ∫
2 ( x )
1 ( x )
dy ∫
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz
这是先对z，次对 ，最后对x的三次积分 这是先对 ，次对y，最后对 的三次积分
例1 计算
其中 ∫∫∫ xd v,其中 为三个坐标面
x + y =1
=
∫∫ dxdy ∫
Dxy
1 1 x 0 0
1
1 x y
1
f ( x , y , z )dz
0
f ( x , y , z )dz
Dxy
1 x
= ∫ dx ∫
dy ∫
1 x y
1）投影法（先一后二） ）投影法（先一后二）
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫∫ [∫
D
一、 利用直角坐标计算三重积分
用平行于坐标面的平面族： 用平行于坐标面的平面族： x = 常数， y = 常数， z = 常数 常数， 常数， 去分割积分区域 , 除边界外每个小块都 是一个长方形， 是一个长方形，于是得到体积元素
dv = dxdydz
即∫∫∫ f ( x , y , z )dv = ∫∫∫ f ( x , y , z )d xdydz
Dxy
x=0，y=0围成的三角形域 ， 围成的三角形域， 围成的三角形域 的下底是x＋ ＋ ＝ ， 的下底是 ＋y＋z＝1， 上底是z＝1， 上底是 ＝ ，
x + y =1
0
1 x
0 ≤ y ≤ 1 x : 1 x y ≤ z ≤ 1, Dxy : 0≤ x≤1 y f ( x , y , z )dv ∫∫∫
z
设M（x,y,z）为空间 （ ） 一点，如果将 一点，如果将x，y，z 改用另外三个数 ρ , θ , z 来表示， 来表示，则称（ρ ,θ , z） 为点M 柱面坐标。 为点 的柱面坐标。
O
x θ
M( x, y, z)
z
ρ
y
P(ρ,θ )
就是极坐标. 在xoy面上 ( ρ ,θ ) 就是极坐标 面上
及平面x＋ ＋ ＝ 所围成的区域 所围成的区域。 及平面 ＋2y＋z＝1所围成的区域。 z
z = 1 x 2y
C (0, 0,1)
解 在xoy面上的投影为 D xy 面上的投影为
: 0 ≤ z ≤ 1 x 2 y , ( x , y ) ∈ Dxy
O
1 B (0, , 0) 2
D xy
y
( x, y )
dz ∫∫ f ( x , y, z )dxdy
Dz
先求出 DZ上的二重积分再求定积分. 此法常用于 Dz上的二重积分易求的情形
例3 计算 ∫∫∫ z dxdydz ，其中 是由椭球
2
x y z 所围成的空间闭区域。 面 2 + 2 + 2 = 1 所围成的空间闭区域。 z a b c c Dz 解 z的最小值和最大值为 的最小值和最大值为
0 0
2π
D
ρ
2
4
ρ
2 1 2π 2 = ∫ dθ ∫ ρ (16 ρ )d ρ 0 2 0
1 ρ 2 64 2 = 2π [8 ρ ]0 = π 2 6 3
2
例6 计算 I = ∫∫∫ ( x + y )dv 其中
2 2
由锥面x + y = z , x = 0, y = 0和
2 2 2
z = a ( a > 0 ) 所围成第一卦限部分.
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )