因式分解的多种方法

因式分解的多种方法

编者按：很多同学在做因式分解的题目时，会觉得无从入手。而面临竞赛题目时，更加摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实，因式分解没有想象中的那么难。

1】提取公因式

这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

例一：2x^2-3x=0

解：x(2x-3)=0

x1=0,x2=3/2

这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。

2】公式法

将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

注意：使用公式法前，建议先提取公因式。

例二：x^2-4分解因式

分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2

解：原式=(x+2)(x-2)

3】十字相乘法

是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果

例三：把2x^2-7x+3分解因式.

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数)：

2＝1×2＝2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1

╳

2 3

1×3+2×1

=5

1 3

╳

2 1

1×1+2×3

=7

1 -1

╳

2 -3

1×(-3)+2×(-1)

=-5

1 -3

╳

2 -1

1×(-1)+2×(-3)

=-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解原式=(x-3)(2x-1).

总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c 2，排列如下：

a1 c1

╳

a2 c2

a1c2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx +c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+

c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。

4】分组分解法

也是比较常规的方法。

一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来

需要可持续性！

例四：x^2+4x+4y^2-y^2

可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式

解：原式=（x+2）^2-y^2

=(x+2+y)(x+2-y)

总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。

5】换元法

整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上

例五：（x+y）^2-2(x+y)+1分解因式

考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y

那么原式=a^2-2a+1

=(a-1)^2

回代

原式=（x+y-1）^2

6】主元法

这种方法要难一些，多练即可

即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数

例六：因式分解16y+2x^2(y+1)^2+(y-1)^2x^4

分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。

原式=(y-1)^2x^4+2(y+1)^2x^2+16y---------------------【主元法】

=(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x^2+2)---------------------【十字相乘法】

可见，十字相乘十分重要。

7】双十字相乘法

难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如ax^2＋bxy＋cy^2＋dx＋ey＋f 的二次六项式

在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）

要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，

例七：ab＋b^2＋a－b－2分解因式

解：原式＝0×1×a^2＋ab＋b^2＋a－b－2

＝（0×a＋b＋1）（a＋b－2）

＝（b＋1）（a＋b－2）

8】待定系数法

将式子看成方程，将方程的解代入

这时就要用到1】中提到的知识点了

当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式

例八：x^2+x-2

该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法

我们可以把它当方程做，x^2+x-2=0

一眼看出，该方程有一根为x=1

那么必有一因式为(x-1)

结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）

一次项系数必为1（因为与1相乘要为1）

所以另一因式为（x+2）

分解为(x-1)(x+2)