第一章 计算机基础知识
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可以有各种各样的编码方式，已被国际上普遍 接受的是美国国家信息交换标准代码（American Standard Code for Information Interchange)， 简称ASCII码。 ASCII码占7位二进制，选择了四类国际上用得 最多的字符共128种。因机内以8bit为一个长度单位， 存放一个ASCII码后还多余一位，有时被计算机用作 奇偶校验位。
5、字符编码 1） 非数值数据 计算机中数据的概念是广义的，机内 除了有数值的信息之外，还有字母、通用 符号、控制符号的字符信息，另外还有逻 辑信息、图象和语言信息等。
这些信息进入计算机都转变0、1表示 的编码，所以称为非数值数据。
2）ASCII编码
字符信息在计算机里必须以一组能够识别的二 进制编码形式存在，这种字符信息以什么样的规则 进行二进制0、1组合，完全是人为规定的。
第一章 计算机基础知识
现代计算Biblioteka Baidu是在微电子学高速发展与计算 数学日臻完善的基础上形成的，可以说现代计 算机是微电子学与计算数学相结合的产物。
微电子学的基本电路元件及其逐步向大规 模发展的集成电路是现代计算机的硬件基础， 而计算数学的数值计算方法与数据结构则是现 代计算机的软件基础。
1.1
数制
数制是人们利用符号来计数的科学方法。 无论使用哪种进位制，都包含两个基本要素： 1、基（Radix） 数制允许选用基本数字符号的个数称为基。 2、位权（Weight） 一个数字符号处在数的不同位置，它所代表的数 值不同的。位权的大小是以基数为底、数字符号所在 位置的序号为指数的整数次幂。
例如： 将二进制 110011011 转化成十六 进制形式。
1011→B 1001→9 0001→1
即 (110011011)2= (19B)16
思考题
2进制数 1101100 12.625 8进制数 10进制数 16进制数
思考题答案
2进制数
8进制数
10进制数
16进制数
1101100
1100.101
方法是：一位八进制数相当于三位二进制数。
例如：将二进制数11010001转化成八进制 形式。
001→1 010→2 011→3
即 (11010001)2= (321)8
方法是：将三位二进制数转换成一位八进制数。
（举例：1110111.1）
（3）十六进制数与二进制数之间的相互转换
例如: 将十六进制数3A2F转为二进制形式。 3→0011 A→1010 2→0010 F→1111 即 (3A2F)16= (0011101000101111)2 方法：一位十六进制数相当于四位二进 制数。
例 如 ： 将 十 进 制 数 47 转 化 为 二 进 制 形 式 。 即 (47)10=(101111)2
例如：
将十进制数0.625转化为二进制形式。 即：(0.625)10= (0.101)2
（2）八进制数与二进制数之间的相互转换
例如: 将八进制数327转成二进制形式。 3→011 2→010 7→111 即 (327)8= (011010111)2
2）
计算机补码定义 由于计算机中机器数受设备位数的限 制，是有限字长的数字系统，当一定位数的 计数器计满后便会产生溢出，又从头开始计 数，所以属于有模运算。产生溢出时的量就 是“模”。 计算机中将x对模M的补数称为x的补码。 对于整数来说，字长n位（含符号位）， 模是2n。真值x的补码定义如下：
注意：一个正数的补码与原码形式相同 3）求解补码方法 求解补码有三种方法：
1） 浮点数的机器表示 为了在位数有限的前提下扩大数值的表 示范围，又保持数的有效精度，计算机采用 浮点表示法。其形式为： N=±M•Re 其中 M —尾数，是数值的有效数字部分， 一般用定点小数表示； R — 底数，计算机中通常取2或16； e — 指数，称阶码，是有符号整数。
在计算机中浮点数的表示形式由阶码和 尾数两部分组成，底数是事先约定的，在机 器数中不出现。浮点数在机器中的表示形式 如下：
注意：对于任何一种进制数，整数部分最低位 位置的序号是0，每高一位位置，序号加1，而 小数部分位置序号为负值，每低一位位置，序 号减一。(1101.11) 3、为什么要用二进制 （1）技术上易实现。因为电子的、磁性的、光 学的基本器件具有两种不同的稳定状态。便于 存放、传送等操作。 （2）运算规则简单，与其它数制转换方便。 （3）二进制可以使计算机方便地进行逻辑运算。 因为二进制代码与逻辑代数中逻辑量吻合。
一般有两种方法，一种是约定所有机器 数的小数点隐含在某一个固定位置上，称为 定点表示法；另一种是小数点位置可以任意 浮动，称为浮点表示法。
（1）定点表示法（Fixed-Point） 定点表示法规定机器中所有数的小数点 位置固定不变，通常采用以下两种约定：
（2）浮点表示法（Floating-Point）
c、直接求补法(负数） 其基本作法是：已知某数x的原码，则 保持其符号位不变，数值部分从低位向高 位逐位进行，在遇到第一个1以前，包括第 一个1，按原码照写；第一个1后，逐位变 反。
d、求解补码的原码 已知x的补码，要求原码的简单方法是 利用互补的道理对补码再次求补即得到x的 原码。 如[x1]原=01000011 (+67) [x2]原=11000011 (-67) 则[[x1]补]补=[01000011]补 =01000011=[x1]原 [[x2]补]补=[10111101]补=11000011=[x2]原 可见，无论是正数还是负数，其补码的补码 等于原码。
（1）符号数的原码、反码表示法 1）原码定义 设x由符号“+”或“-”和有效数码 X1X2--- Xn-1两部分组成，n位原码的定义如 下：
原码的性质是： a、原码实际上是数值化的符号位加上真值 的绝对值。 b、真值0在原码中有两种形式： [+0]原=000----0 [-0]原= 100----0
思考题
真值
原码
反码
补码 11001101
00011011
思考题答案
真值
-51
原码
10110011
反码
11001100
补码
11001101
+27
00011011
00011011 00011011
3、机器数的定点与浮点表示
计算机处理的数据多数带有小数，小数 点在机器中不占二进制位，那么计算机中如 何表示小数点的位置，反映数值的大小呢？
4位二进制可以表达十六种状态，BCD码 只需10种，所以有6种冗余，从16种状态选取 10个状态表示十进制0~9的方法很多，可以产 生多种BCD码，其中8421码是最常用的。
8421码是指这种编码的各位所代表的“权”，最高位 的权是8、依次是4、2、1。因此我们又称为有权码。 而编码规则不符合每位上有固定的权则称无权码， 余3码(将8421码加上0011就得到余3码）为无权码。 例:将二进制数1011.01转换成相应的BCD码。 首先,将二进制数转换成十进制数： 1011.01B＝（1×23）＋（0×22）＋（1×21）＋ （1×20）＋（0×2-1）＋（1×2-2） ＝ 8＋0＋2＋1＋0＋0.25 ＝ 11.25D 然后，将十进制结果转换成BCD码 11.25D＝（0001 0001.0010 0101）BCD
c）机器数的位数受机器设备的限制。 机器内部设备能表示的二进制位数叫做机 器字长。一台机器的字长是固定的，所以机器 数所能表达的数值的精度亦受到限制，计算机 内常采用双倍或若干倍字长来满足要求。 （2）真值 因符号占据一位，机器数的形式值就不 等于真正的数值。为区别起见，带符号位的 机器数对应的数值称机器数的真值。
原码的优缺点： a、直观、真值转换方便、乘除运算比 较容易。 b、进行加减运算不方便。 2） 反码表示 规则：1）一个负数的原码符号位不动，其余 按位取反，就是机器数的反码表示。 2）一个正数的反码与原码形式相同。
（2）符号数的补码表示法 1） 补码的概念 计算机中补码的概念来源于数学上的 “模”和补数。在日常生活中也常遇到补码 的概念。 例1：手表的时针顺拨5点和倒拨7点亦 指在同一位置上，+5与-7等效的前提则是时 钟一圈表示12个钟头，超过12时，时钟重新 开始计时。
4、为什么要用十六进制 简化书写，便于记忆。 5、数制的转换方法 (1)二进制数与十进制数之间的相互转换 一个二进制的数向十进制转化十分简单， 只要把它按位权展开相加即可。 例如： (1011)2=1×23+0×22+1×21+1×20=(11)10 十进制数转化为二进制数时，整数和纯小 数的转化方法不同，而一个既有整数部分又有 小数部分的数，则须分成整数和小数两部分分 别转化。
例2：设圆心角A0B=30°，由圆心角几何知识 可知， 30°与-330°圆心角落在同一位置上。 但若是在数轴上+ 30°与- 330°不会是同一点。 这是因为一个圆心角旋转360°后又重新开始计 数，所以才能有+ 30°=- 330° 数学上把这个12点、 360°称为“模”， “模”是指一个计量系统的测量范围。 时钟以12为模时，+5和-7才有相等的关系， 记作 +5=-7 （Mod 12） 称作+5是-7对于模12的补数。
a、按定义来求解 [x]补= 2n -|x| ，x＜0 例如： 如x＝-1010111 n ＝8 则 [x]补＝28-|-1010111| =100000000-|1010111| =10101001 (mod 28) 这种方法因为要作一次减法很不方便， 一般不用
b、从原码求补码 这是更经常采用的简单而实用的方法 当x是正数时，[x]补= [x]原 当x是负数时，x的原码符号位保持“1”， 其余各位取反加1便得到补码。也就是取其 反码加1： [x]补= [x]反+1 举例： X=-1010111B 则 [x]原=11010111B [x]反=10101000B [x]补= [x]反+1=10101001B
154
14.5
108
12.625
6C
C.A
1.2、计算机数值数据的表示方法
1、机器数和真值 （1）机器数 数在计算机中的二进制表示形式称为 机器数。机器数有以下几个基本特点： A） 数的符号数值化 一般规定以0代表符 号“+”，1代表符号“-”。 B）计算机中通常只表示整数或小数，因此 约定小数点隐含在一个固定的位置，不再 占用一个位数。
1.3
逻辑代数初步
在数字计算机中存在着大量这样的逻辑电 路，逻辑关系非常复杂。逻辑代数是研究复杂 的逻辑关系的有力工具，人们也往往称之为布 尔代数或开关代数。 逻辑代数和一般代数不同，一般代数变量 的值是连续的，而逻辑代数中变量的值只有两 个：1和0。 它只代表某种物理量的状态，因此，逻辑 代数运算含义和普通代数完全不同。
（3）无符号数 当计算机字长的所有二进制位都用来表 示数值时，称为无符号数。一般在全部是正 数运算且不出现负值结果的场合使用，可以 省略符号位，使用无符号数表示。 说明：1）在计算机中无符号数通常用于表示 地址。 2）有符号数与无符号数的处理是有差 别的。
2、计算机符号数的表示方法 符号数值化之后，为了方便地对机器数 进行算术运算，提高运算速度，人们设计了 符号数的各种编码方法，最常见的有原码、 反码和补码。
圆心角在以360°为模时+ 30°与330°才有相等的关系，记作 + 30°=- 330°（Mod 360°） 称为+ 30°是- 330°对于360°的补数。 补数是绝对值小于模的一个数值，若设 模为M，一个数x的补数[x]补与模M的关系可 记作： [x]补=x+M |x|<M 计算机引入补码的概念正是想利用补数 的这个特点，来方便地执行正负任意两数的 加减运算。
阶码反映了数N的小数点位置。当底数 取2时，二进制数N的小数点每右移一位，阶 码减1；反之，小数点每左移一位，阶码加1。 小数点就可以浮动而保持数N的值不变。
4、二——十进制数字编码
计算机中还有一种数值数据的表示方法： 每一位十进制数用4位二进制表示，称为二进 制编码的十进制数——BCD（Binary Coded Decimal）或称二——十进制编码。 它具有二进制形式，又有十进制数的特点。 许多计算机备有 BCD码运算指令，有专门的线 路在BCD码运算时使每4位二进制之间按十进制 位处理。
5、字符编码 1） 非数值数据 计算机中数据的概念是广义的，机内 除了有数值的信息之外，还有字母、通用 符号、控制符号的字符信息，另外还有逻 辑信息、图象和语言信息等。
这些信息进入计算机都转变0、1表示 的编码，所以称为非数值数据。
2）ASCII编码
字符信息在计算机里必须以一组能够识别的二 进制编码形式存在，这种字符信息以什么样的规则 进行二进制0、1组合，完全是人为规定的。
第一章 计算机基础知识
现代计算Biblioteka Baidu是在微电子学高速发展与计算 数学日臻完善的基础上形成的，可以说现代计 算机是微电子学与计算数学相结合的产物。
微电子学的基本电路元件及其逐步向大规 模发展的集成电路是现代计算机的硬件基础， 而计算数学的数值计算方法与数据结构则是现 代计算机的软件基础。
1.1
数制
数制是人们利用符号来计数的科学方法。 无论使用哪种进位制，都包含两个基本要素： 1、基（Radix） 数制允许选用基本数字符号的个数称为基。 2、位权（Weight） 一个数字符号处在数的不同位置，它所代表的数 值不同的。位权的大小是以基数为底、数字符号所在 位置的序号为指数的整数次幂。
例如： 将二进制 110011011 转化成十六 进制形式。
1011→B 1001→9 0001→1
即 (110011011)2= (19B)16
思考题
2进制数 1101100 12.625 8进制数 10进制数 16进制数
思考题答案
2进制数
8进制数
10进制数
16进制数
1101100
1100.101
方法是：一位八进制数相当于三位二进制数。
例如：将二进制数11010001转化成八进制 形式。
001→1 010→2 011→3
即 (11010001)2= (321)8
方法是：将三位二进制数转换成一位八进制数。
（举例：1110111.1）
（3）十六进制数与二进制数之间的相互转换
例如: 将十六进制数3A2F转为二进制形式。 3→0011 A→1010 2→0010 F→1111 即 (3A2F)16= (0011101000101111)2 方法：一位十六进制数相当于四位二进 制数。
例 如 ： 将 十 进 制 数 47 转 化 为 二 进 制 形 式 。 即 (47)10=(101111)2
例如：
将十进制数0.625转化为二进制形式。 即：(0.625)10= (0.101)2
（2）八进制数与二进制数之间的相互转换
例如: 将八进制数327转成二进制形式。 3→011 2→010 7→111 即 (327)8= (011010111)2
2）
计算机补码定义 由于计算机中机器数受设备位数的限 制，是有限字长的数字系统，当一定位数的 计数器计满后便会产生溢出，又从头开始计 数，所以属于有模运算。产生溢出时的量就 是“模”。 计算机中将x对模M的补数称为x的补码。 对于整数来说，字长n位（含符号位）， 模是2n。真值x的补码定义如下：
注意：一个正数的补码与原码形式相同 3）求解补码方法 求解补码有三种方法：
1） 浮点数的机器表示 为了在位数有限的前提下扩大数值的表 示范围，又保持数的有效精度，计算机采用 浮点表示法。其形式为： N=±M•Re 其中 M —尾数，是数值的有效数字部分， 一般用定点小数表示； R — 底数，计算机中通常取2或16； e — 指数，称阶码，是有符号整数。
在计算机中浮点数的表示形式由阶码和 尾数两部分组成，底数是事先约定的，在机 器数中不出现。浮点数在机器中的表示形式 如下：
注意：对于任何一种进制数，整数部分最低位 位置的序号是0，每高一位位置，序号加1，而 小数部分位置序号为负值，每低一位位置，序 号减一。(1101.11) 3、为什么要用二进制 （1）技术上易实现。因为电子的、磁性的、光 学的基本器件具有两种不同的稳定状态。便于 存放、传送等操作。 （2）运算规则简单，与其它数制转换方便。 （3）二进制可以使计算机方便地进行逻辑运算。 因为二进制代码与逻辑代数中逻辑量吻合。
一般有两种方法，一种是约定所有机器 数的小数点隐含在某一个固定位置上，称为 定点表示法；另一种是小数点位置可以任意 浮动，称为浮点表示法。
（1）定点表示法（Fixed-Point） 定点表示法规定机器中所有数的小数点 位置固定不变，通常采用以下两种约定：
（2）浮点表示法（Floating-Point）
c、直接求补法(负数） 其基本作法是：已知某数x的原码，则 保持其符号位不变，数值部分从低位向高 位逐位进行，在遇到第一个1以前，包括第 一个1，按原码照写；第一个1后，逐位变 反。
d、求解补码的原码 已知x的补码，要求原码的简单方法是 利用互补的道理对补码再次求补即得到x的 原码。 如[x1]原=01000011 (+67) [x2]原=11000011 (-67) 则[[x1]补]补=[01000011]补 =01000011=[x1]原 [[x2]补]补=[10111101]补=11000011=[x2]原 可见，无论是正数还是负数，其补码的补码 等于原码。
（1）符号数的原码、反码表示法 1）原码定义 设x由符号“+”或“-”和有效数码 X1X2--- Xn-1两部分组成，n位原码的定义如 下：
原码的性质是： a、原码实际上是数值化的符号位加上真值 的绝对值。 b、真值0在原码中有两种形式： [+0]原=000----0 [-0]原= 100----0
思考题
真值
原码
反码
补码 11001101
00011011
思考题答案
真值
-51
原码
10110011
反码
11001100
补码
11001101
+27
00011011
00011011 00011011
3、机器数的定点与浮点表示
计算机处理的数据多数带有小数，小数 点在机器中不占二进制位，那么计算机中如 何表示小数点的位置，反映数值的大小呢？
4位二进制可以表达十六种状态，BCD码 只需10种，所以有6种冗余，从16种状态选取 10个状态表示十进制0~9的方法很多，可以产 生多种BCD码，其中8421码是最常用的。
8421码是指这种编码的各位所代表的“权”，最高位 的权是8、依次是4、2、1。因此我们又称为有权码。 而编码规则不符合每位上有固定的权则称无权码， 余3码(将8421码加上0011就得到余3码）为无权码。 例:将二进制数1011.01转换成相应的BCD码。 首先,将二进制数转换成十进制数： 1011.01B＝（1×23）＋（0×22）＋（1×21）＋ （1×20）＋（0×2-1）＋（1×2-2） ＝ 8＋0＋2＋1＋0＋0.25 ＝ 11.25D 然后，将十进制结果转换成BCD码 11.25D＝（0001 0001.0010 0101）BCD
c）机器数的位数受机器设备的限制。 机器内部设备能表示的二进制位数叫做机 器字长。一台机器的字长是固定的，所以机器 数所能表达的数值的精度亦受到限制，计算机 内常采用双倍或若干倍字长来满足要求。 （2）真值 因符号占据一位，机器数的形式值就不 等于真正的数值。为区别起见，带符号位的 机器数对应的数值称机器数的真值。
原码的优缺点： a、直观、真值转换方便、乘除运算比 较容易。 b、进行加减运算不方便。 2） 反码表示 规则：1）一个负数的原码符号位不动，其余 按位取反，就是机器数的反码表示。 2）一个正数的反码与原码形式相同。
（2）符号数的补码表示法 1） 补码的概念 计算机中补码的概念来源于数学上的 “模”和补数。在日常生活中也常遇到补码 的概念。 例1：手表的时针顺拨5点和倒拨7点亦 指在同一位置上，+5与-7等效的前提则是时 钟一圈表示12个钟头，超过12时，时钟重新 开始计时。
4、为什么要用十六进制 简化书写，便于记忆。 5、数制的转换方法 (1)二进制数与十进制数之间的相互转换 一个二进制的数向十进制转化十分简单， 只要把它按位权展开相加即可。 例如： (1011)2=1×23+0×22+1×21+1×20=(11)10 十进制数转化为二进制数时，整数和纯小 数的转化方法不同，而一个既有整数部分又有 小数部分的数，则须分成整数和小数两部分分 别转化。
例2：设圆心角A0B=30°，由圆心角几何知识 可知， 30°与-330°圆心角落在同一位置上。 但若是在数轴上+ 30°与- 330°不会是同一点。 这是因为一个圆心角旋转360°后又重新开始计 数，所以才能有+ 30°=- 330° 数学上把这个12点、 360°称为“模”， “模”是指一个计量系统的测量范围。 时钟以12为模时，+5和-7才有相等的关系， 记作 +5=-7 （Mod 12） 称作+5是-7对于模12的补数。
a、按定义来求解 [x]补= 2n -|x| ，x＜0 例如： 如x＝-1010111 n ＝8 则 [x]补＝28-|-1010111| =100000000-|1010111| =10101001 (mod 28) 这种方法因为要作一次减法很不方便， 一般不用
b、从原码求补码 这是更经常采用的简单而实用的方法 当x是正数时，[x]补= [x]原 当x是负数时，x的原码符号位保持“1”， 其余各位取反加1便得到补码。也就是取其 反码加1： [x]补= [x]反+1 举例： X=-1010111B 则 [x]原=11010111B [x]反=10101000B [x]补= [x]反+1=10101001B
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6C
C.A
1.2、计算机数值数据的表示方法
1、机器数和真值 （1）机器数 数在计算机中的二进制表示形式称为 机器数。机器数有以下几个基本特点： A） 数的符号数值化 一般规定以0代表符 号“+”，1代表符号“-”。 B）计算机中通常只表示整数或小数，因此 约定小数点隐含在一个固定的位置，不再 占用一个位数。
1.3
逻辑代数初步
在数字计算机中存在着大量这样的逻辑电 路，逻辑关系非常复杂。逻辑代数是研究复杂 的逻辑关系的有力工具，人们也往往称之为布 尔代数或开关代数。 逻辑代数和一般代数不同，一般代数变量 的值是连续的，而逻辑代数中变量的值只有两 个：1和0。 它只代表某种物理量的状态，因此，逻辑 代数运算含义和普通代数完全不同。
（3）无符号数 当计算机字长的所有二进制位都用来表 示数值时，称为无符号数。一般在全部是正 数运算且不出现负值结果的场合使用，可以 省略符号位，使用无符号数表示。 说明：1）在计算机中无符号数通常用于表示 地址。 2）有符号数与无符号数的处理是有差 别的。
2、计算机符号数的表示方法 符号数值化之后，为了方便地对机器数 进行算术运算，提高运算速度，人们设计了 符号数的各种编码方法，最常见的有原码、 反码和补码。
圆心角在以360°为模时+ 30°与330°才有相等的关系，记作 + 30°=- 330°（Mod 360°） 称为+ 30°是- 330°对于360°的补数。 补数是绝对值小于模的一个数值，若设 模为M，一个数x的补数[x]补与模M的关系可 记作： [x]补=x+M |x|<M 计算机引入补码的概念正是想利用补数 的这个特点，来方便地执行正负任意两数的 加减运算。
阶码反映了数N的小数点位置。当底数 取2时，二进制数N的小数点每右移一位，阶 码减1；反之，小数点每左移一位，阶码加1。 小数点就可以浮动而保持数N的值不变。
4、二——十进制数字编码
计算机中还有一种数值数据的表示方法： 每一位十进制数用4位二进制表示，称为二进 制编码的十进制数——BCD（Binary Coded Decimal）或称二——十进制编码。 它具有二进制形式，又有十进制数的特点。 许多计算机备有 BCD码运算指令，有专门的线 路在BCD码运算时使每4位二进制之间按十进制 位处理。