【附加15套高考模拟试卷】浙江省2020届高三高考模拟训练评估卷(3)数学(文)试题含答案

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浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷及解析word版

浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝，tan2α＝．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是，剩余部分表面积是．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝，S 5＝． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误．故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ，解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]，则|a →|∈[0，2]．故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移直线y ＝﹣3x +z ，由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上，解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2．故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ，由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426．故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ，所以sin （A ﹣B ）＝0，故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0，由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12．故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π．因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ，则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)，可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。

【精品高考数学】[2020年浙江高考仿真模拟卷-数学]+答案

2020年浙江高考仿真模拟卷数学2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若复数，则在复平面内对应的点位于 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．D．4．已知双曲线的一条渐近线过点，则C的离心率为A．B．C．D．35函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．6．已知α，β，γ为平面，是直线，若α∩β＝，则“α⊥γ，β⊥γ”是“⊥γ”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知随机变量的分布列如下表：X -1 0 1P a b c其中.若的方差对所有都成立，则( )A． B． C． D．8．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面平面，则四面体中，下列结论不正确的是（）A．平面B．异面直线与所成的角为C．异面直线与所成的角为D．直线与平面所成的角为9．已知是边长为的正三角形，且，，设，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．10．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．12．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积等于______，的取值范围是______.13．在 ABC 中，C＝45°，AB＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD＝5，BD＝3 ，则cos B＝_____ ，AC＝_____．14．若的展开式中，的系数为6，则______，常数项的值为______．15．已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．16．某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从名获得一等奖的同学中选出名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_____．（用数字作答）17．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间[]上的最大值和最小值.19．如图，三棱柱中，分别为棱的中点.（1）在上确定点M，使平面，并说明理由.（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.20．已知等差数列的前项和为，，公差，且，，成等比数列，数列满足，的前项和为.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，试比较与的大小.21．已知抛物线，准线方程为，直线过定点，且与抛物线交于两点，为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当时，设，记，求的最小值及取最小值时对应的．22．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若不等式时恒成立，求的取值范围．2020年浙江高考仿真模拟卷数学2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【解析】选B.2．若复数，则在复平面内对应的点位于 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】＝，对应的点为（），在第四象限故选：D3．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．D．【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为；所以对应不规则几何体的体积为．故选：B．4．已知双曲线的一条渐近线过点，则C的离心率为A．B．C．D．3 【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，可得，则双曲线的离心率为．故选：C．5函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解析】由题知，的定义域为，且，所以是奇函数，排除C和D，将代入得，排除B,故选A.6．已知α，β，γ为平面，是直线，若α∩β＝，则“α⊥γ，β⊥γ”是“⊥γ”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由α⊥γ，β⊥γ，在γ内任取一点P，过P作a垂直于α，γ的交线，则a⊥α，又α，则a⊥，同理，在γ内过P作b垂直于β，γ的交线，则b⊥，可推出l⊥γ，反过来，若l⊥γ，α∩β＝l，根据面面垂直的判定定理，可知α⊥γ，β⊥γ，故“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的充要条件，故选：C．7．已知随机变量的分布列如下表：X -1 0 1P a b c其中.若的方差对所有都成立，则( )A． B． C． D．【解析】由的分布列可得：的期望为，，所以的方差，因为所以当且仅当时，取最大值，又对所有都成立，所以只需，解得，所以.故选D8．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面平面，则四面体中，下列结论不正确的是（）A．平面B．异面直线与所成的角为C．异面直线与所成的角为D．直线与平面所成的角为【解析】A选项：因为，分别为和两边中点，所以，即平面，A正确；B选项：因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故B正确；C选项：取边中点，连接，，则，所以为异面直线与所成角，又，，，即，故C错误，D选项：因为平面平面，连接，则所以平面，连接FC，所以为异面直线与所成角，又，∴,又， sin=，∴,D正确，故选C.9．已知是边长为的正三角形，且，，设，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【解析】由题得，=，所以当时，的最大值为.故选：C10．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】由题意得，则，等差数列的公差，.由，得，则不等式恒成立等价于恒成立，而，问题等价于对任意的，恒成立.设，，则，即，解得或.故选:A.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．【解析】设共有人，由题意知，解得，可知商品价格为53元.即共有7人，商品价格为53元.12．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积等于______，的取值范围是______.【解析】不等式组表示的可行域如图，三条直线围成的三角形，可得C（1，0），可得B（1，4），解得A（0，1）区域面积为：×4×1＝2．目标函数,根据图像得到过点A时取得最小值1，过点B时取得最大值6.故答案为：(1)2;(2).13．在 ABC 中，C＝45°，AB＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD＝5，BD＝3 ，则cos B＝_____ ，AC＝_____．【解析】∵AB＝6，AD＝5，BD＝3，在△ABD中，余弦定理cos B，∴sin B．正弦定理：，可得：AC．故答案为：，．14．若的展开式中，的系数为6，则______，常数项的值为______．【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得的系数为，．令，求得，可得常数项的值为，故答案为：1；15．15．已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．【解析】由题意，因为，是偶函数，若恰有4个零点，等价为当时，有两个不同的零点，是奇函数，由，得，是单调函数，，即，当时，有两个根即可，当时，等价为，，设，要使当时，有两个根，则，即，即实数a的取值范围是，故答案为：16．某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从名获得一等奖的同学中选出名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_____．（用数字作答）【解析】第一步：先选人，甲、乙至少有一人参加，用间接法，有第二步，将人排序，有故不同发言顺序的种数为.故答案为：17．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．【解析】连结，可得是边长为2的等边三角形，所以，可得直线的斜率，直线的斜率为，因此，直线的方程为，直线的方程为，设，由解得，因为圆与直线相切于点，所以，因此，故直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，解得或，因为直线交椭圆于与点，设，可得，由此可得.故答案为三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间[]上的最大值和最小值.【解析】解(Ⅰ)====.所以的最小正周期为.（Ⅱ）因为,所以.于是,当,即时,取得最大值;当,即时,取得最小值.19．如图，三棱柱中，分别为棱的中点.（1）在上确定点M，使平面，并说明理由.（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.【解析】(1)取BC中点M,连接AM,则AM∥平面PQB1；如图所示，取BB1中点N，连结AM,AN，为平行四边形，点N,P为中点，则，由线面平行的判定定理可得平面PQB1，同理可得，平面PQB 1，据此可得平面AMN∥平面PQB1，故平面.(2)作QO⊥平面ABB1A1,与A1A延长线交于O,则，，，，，，.作PN∥C1A1,则直线A1C1与平面PQB1所成角即直线PN与平面PQB1所成角，.设N到平面PQB1的距离为h,则，∴直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值为：.20．已知等差数列的前项和为，，公差，且，，成等比数列，数列满足，的前项和为.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，试比较与的大小.【解析】（Ⅰ）由已知得，即，又，∴，∴，.由得.时，.∴，显然也满足，∴.（Ⅱ），，，当时，，，当时，，，当时，，∴.综上，当时，；当时.21．已知抛物线，准线方程为，直线过定点，且与抛物线交于两点，为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当时，设，记，求的最小值及取最小值时对应的．【解析】（1）……①（2）设，据题意知直线的斜率存在，设②联立①②得，=.由于T（0，t）为定点，故t为定值，为定值. （3）,,,,由（2）知，，且，又，当时，，，，；当时，，符合上式.，令，则，，当即时，22．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若不等式时恒成立，求的取值范围．【解析】（l），①若，，在上单调递增；②若,当时，，当时，，所以是函数的单调递增区间，是函数的单调减区间，综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由题意可知，不等式可转化为在时恒成立，令，，①若，则，在上单调递减，所以，不等式恒成立等价于，即；②若，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意；③若，当时，，在上单调递增，所以，不符合题意；综上所述，.。

2020年浙江杭州萧山区高考模拟数学试卷(三)-学生用卷

2020年浙江杭州萧山区高考模拟数学试卷（三）-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第1题4分已知集合A ={x|y =√lg⁡x}，B ={−1,0,1,2}，则∁B (A ∩B )=（）． A. {−1,0,1} B. {2} C. {−1,0} D. {1,2}2、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第2题4分焦点位于x 轴，离心率为√3的双曲线的渐近线方程为（）． A. y =±x B. y =±√2x C. y =±√3x D. y =±2x3、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第3题4分已知实数x ，y 满足约束条件{x −2y +2⩽0x +y −4⩽03x +y ⩾0，则z =3x +2y 的最大值是（）．A. 3B. 4C. 10D. 64、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第4题4分已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积为（）．A. 60cm3B. 80cm3C. 100cm3D. 120cm35、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第5题4分设0<p<12，随机变量ξ的分布列如下表所示，则当p在(0,12)内增大时，（）．A. E(ξ)先减小后增大B. E(ξ)先增大后减小C. D(ξ)先减小后增大D. D(ξ)先增大后减小6、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第6题4分已知log2(a+4b)=2log2(2√ab)，则a+b的最小值是（）．A. 2B. √2+1C. 94D. 527、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第7题4分2020年浙江绍兴诸暨市高三下学期高考模拟（6月适应性考试）第7题4分已知a，b∈R，则“(a−1)2+b2⩽1”是“a24+b23⩽1”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第8题4分2020年浙江绍兴诸暨市高三下学期高考模拟（6月适应性考试）第8题4分若函数f(x)=2sin⁡(ωx+π3)(ω>0)在区间[−π4,π4]单调递增，则ω的取值范围是（）．A. (0,103]B. (0,23]C. c[23,10 3]D. [103,+∞)9、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第9题4分2017年江西宜春高三二模理科第12题5分已知f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数，若对任意的x∈(0,+∞)，都有f[f(x)+log13x]=4，且方程|f(x)−3|=x3−6x2+9x−4+a在区间(0,3]上有两解，则实数a的取值范围是（）．A. 0<a⩽5B. a<5C. 0<a<5D. a⩾510、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第10题4分已知数列{a n }满足a n+1=a n +na n(n ∈N ∗)，a 1>0，则当n ⩾2时，下列判断不一定正确的是（）． A. a n ⩾nB. a n+2−a n+1⩾a n+1−a nC. a n+2an+1⩽a n+1a nD. 存在正整数k ，当n ⩾k 时，a n ⩽n +1恒成立二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第11题6分复数z =(a +i )(1−i )(a ∈R )，i 是虚数单位，若a =2，则|z |= ;若z =−1+3i ，则a = ．12、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第12题6分已知a 是正数，二项式(ax 2√2x)5的展开式第二次项与第四项的系数相等，则a = ，常数项是．13、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第13题6分 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴市第一中学高三下学期高考模拟第14题6分 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三下学期高考模拟第14题6分 2020年浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高三下学期高考模拟第14题6分 2020年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高三下学期高考模拟第14题6分已知在△ABC 中，cos⁡B =13，AB =3√6，AC =8，延长BC 至D ，使CD =2，则AD = ，sin⁡∠CAD = ．14、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第14题6分已知圆C:(x −a )2+(y −a +1)2=1，直线l:y =−x +2与x 轴交于点A ．若a =1，则直线l 截圆C 所得弦的长度为；若过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为Q ，且|PA |=√2|PQ |，则实数a 的取值范围是．15、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第15题4分 2021年陕西咸阳武功县高三二模理科第15题5分为了积极稳妥的做好疫情期间的复学工作，市教育局抽调5名机关工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务，每个学校至少去1人，若甲，乙两人不能去同一所学校，则不同的分配方法种数为．16、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第16题4分 2020年浙江绍兴诸暨市高三下学期高考模拟（6月适应性考试）第16题4分已知P 、M 是△ABC 所在平面内的两点，满足PA →+2PB →+3PC →=0→，直线PC 与AB 交于点D ，PM →=λPA →+(1−2λ)PB →，若M 在△PBD 内（不含边界），则实数λ的取值范围是．17、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第17题4分 2020年浙江绍兴诸暨市高三下学期高考模拟（6月适应性考试）第17题4分已知四面体ABCD 的所有棱长都相等，E ，F 分别是棱AC ，AD 上的点，满足AEAC =DFDA =λ(λ<12)，若EF 与平面BCD 所成角为π4，则λ= ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第18题14分已知f(x)=sin⁡(2x +π6)+sin 2⁡x −12cos⁡2x ． (1) 求f(x)的单调区间．(2) 求f(x)在[−20,20]内的零点个数．19、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第19题如图，在几何体ABC−A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，四边形A1ACC1是正方形，B1C1//BC，Q是A1B的中点，且AC=BC=2B1C1，∠ACB=2π3．(1) 证明：B1Q//平面A1ACC1．(2) 求直线AB与平面A1BB1所成角的正弦值．20、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第20题设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，2S nn =a n+1−13n2−n−23，n∈N∗．(1) 求a2的值．(2) 求证：数列{a nn}是等差数列．(3) 证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+⋯+1a n<74．21、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第21题2018~2019学年浙江绍兴上虞区高三上学期期末第21题15分如图抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，A为抛物线上一点（A在x轴上方），AF=5，A点在y 轴的距离为4．(1) 求抛物线方程及点A的坐标．(2) 是否存在y轴上的一个点M，过点M有两条直线l1，l2，满足l1⊥l2，l1交抛物线C于D，E两点，l2与抛物线相切于点B（B不为坐标原点），有|MB|2=|MD|⋅|ME|成立，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．22、【来源】 2020年浙江杭州萧山区高考模拟（三）第22题2018~2019学年5月浙江宁波高三下学期月考十校联考第22题15分已知函数f(x)=12(x+a)2+bln⁡x，a，b∈R．(1) 若直线y=ax是曲线y=f(x)的切线，求a2b的最大值．(2) 设b=1，若函数f(x)有两个极值点x1与x2，且x1<x2，求f(x2)x1的取值范围．1 、【答案】 C;2 、【答案】 B;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 A;8 、【答案】 B;9 、【答案】 A;10 、【答案】 C;11 、【答案】√10;−2;12 、【答案】1;54;13 、【答案】2√21;√714;14 、【答案】√2;[3−√32,3+√32];15 、【答案】 114; 16 、【答案】 (0,14); 17 、【答案】 7−√2114;18 、【答案】 (1) f(x)的单调递增区间是(−π6+kπ,π3+kπ)，单调递减区间是(π3+kπ,5π6+kπ)，k ∈Z ．;(2) 26个． ;19 、【答案】 (1) 证明见解析． ; (2) √3131．;20 、【答案】 (1) 4． ;(2) 证明见解析． ;(3) 证明见解析． ;21 、【答案】 (1) y 2=4x ，A (4,4)． ;(2) 存在点M 满足题意，此时M (0,±1)． ;22 、【答案】 (1) a 2b 得最大值是0． ; (2) f(x 2)x 1的取值范围是(12,+∞)． ;。

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷数学(浙江专用)试题(三)含解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(三)(时间：120分钟；满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{－1，1，2}，B ＝{x ∈N |－1<x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{1，2} B ．{－1，1，2} C ．{0，1，2}D ．{－1，0，1，2}2．已知i 是虚数单位，复数z ＝(3－i)(1＋3i)，则复数z 的实部为( ) A. 3 B ．2 3 C ．0D ．23．已知α∈[0，π]，则“α＝π4”是“sin α＝22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y －2≥0，y ≥－1，则z ＝2x ＋3y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．5D ．1325．函数y ＝cos 2x ·ln|x |的图象可能是( )6．已知0＜a ＜14，随机变量ξ的分布列如下：当a 增大时，( ) A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大 B ．E (ξ)减小，D (ξ)增大 C ．E (ξ)增大，D (ξ)减小D ．E (ξ)减小，D (ξ)减小7．已知△ABC 外接圆圆心为O ，半径为1，2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A.12 B ．32 C ．－12D ．－328．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．6B ．6 2C ．14D ．1429．已知a ∈R ，函数f (x )满足：存在x 0>0，对任意的x >0，恒有|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |，则f (x )可以为( ) A ．lg x B ．－x 2＋2x C ．2xD ．sin x10．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( ) A ．10 B ．15 C ．20D ．25第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|a ＋2b |＝23，则|b |＝________，a·b ＝________． 12．若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是________，最短弦长为________．13．设(2x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，其中a i (i ＝0，1，…，8)是常数，则a 3＝________，a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝________．14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )为偶函数，则φ的值为________，此时函数f (x )在区间(0，π3)上的值域是________．15．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足：CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________．16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．17．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝3，AD ＝1，AF ⊥平面ABC ，且AF ＝3.E 为线段DC 上一点，沿直线AE 将△DAE 翻折成△D ′AE ，M 为BD ′的中点，则三棱锥M －BCF 体积的最小值是________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题满分14分)如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD ＝3DB ，cos A ＝45，cos ∠ACB ＝513，BC ＝13.(1)求cos B 的值； (2)求CD 的长．19.(本题满分15分)如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上一点，且BD ＝BA ，沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC ′，使AC ′⊥BD .(1)证明：平面AMC ′⊥平面ABD ；(2)求直线C ′D 与平面ABD 所成的角的正弦值．20．(本题满分15分)设函数f (x )＝23＋1x (x >0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1，n ∈N *，且n ≥2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1，若S n ≥3t4n 恒成立，求实数t 的取值范围．21.(本题满分15分)如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .(1)设A (x 0，x 20)(x 0≠0)，求直线AB 的方程； (2)求|OB ||OD |的值．22．(本题满分15分)已知函数f(x)＝ln xx2＋x.(1)求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)证明：f(x)＜12e＋e(e为自然对数的底数)．高考仿真模拟卷(三)1．解析：选D.因为A ＝{－1，1，2}，B ＝{x ∈N |－1<x ≤2}＝{0，1，2}，所以A ∪B ＝{－1，0，1，2}，故选D.2．解析：选B.复数z ＝(3－i)(1＋3i)＝3－3i 2－i ＋3i ＝23＋2i ，所以复数z 的实部为2 3. 3．解析：选A.若α＝π4，则sin α＝22，故充分性成立；因为α∈[0，π]，所以若sin α＝22，则α＝π4或α＝3π4，故必要性不成立．故“α＝π4”是“sin α＝22”的充分不必要条件．4．解析：选D.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝12，故A (52，12)．作出直线2x ＋3y ＝0并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点(52，12)时，z ＝2x ＋3y 取得最大值，故z max ＝2×52＋3×12＝132.5．解析：选D.由于函数y ＝cos 2x ·ln|x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，因此可以排除A ，B 两个选项；当0<x <π4时，y ＝cos 2x ·ln|x |<0，所以排除C ，故选D.6．解析：选A.E (ξ)＝－34＋a ，a 增大时，E (ξ)增大，D (ξ)＝Eξ2－(Eξ)2＝－a 2＋52a ＋316＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2816，当a ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，a 增大，D (ξ)增大．故选A. 7．解析：选A.因为AB →＋AC →＝2AO →，所以点O 为BC 的中点，因为O 是三角形的外心，所以△ABC 是直角三角形，且A 是直角，OA ＝BO ，因为|OA →|＝|AB →|，所以△ABO 是正三角形，所以BA →在BC →方向上的投影等于|BA →|·cos 60°＝12.8．解析：选A.将几何体放入长、宽、高分别为4，4，3的长方体中，可知该几何体的直观图如图中四棱锥A BCDE 所示，故S 四边形BCDE ＝12×4×4－12×2×2＝6，四棱锥A BCDE 的高h ＝3，故该几何体的体积V ＝13S 四边形BCDE h ＝13×6×3＝6，故选A. 9．解析：选D.对于选项A ，由于f (x )＝lg x 在x >0上是增函数，值域是R ，所以不满足|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |恒成立；对于选项B ，f (x )＝－x 2＋2x 在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，值域是(－∞，1]，所以不满足|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |恒成立；对于选项C ，f (x )＝2x 在(0，＋∞)上是增函数，值域是(1，＋∞)，所以不满足|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |恒成立；对于选项D ，f (x )＝sin x 在x >0时的值域为[－1，1]，总存在x 0>0，对任意的x >0，恒有|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |，故选D.10．解析：选C.由题意可得，a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，由S 8－2S 4＝5可得S 8－S 4＝S 4＋5，由等比数列的性质可得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，则S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝（S 4＋5）2S 4＝S 4＋25S 4＋10≥2S 4×25S 4＋10＝20，当且仅当S 4＝5时等号成立．所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.选C.11．解析：由|a ＋2b |2＝|a |2＋4|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝4＋4|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝1，所以a·b ＝|a |·|b |cos 〈a·b 〉＝1.答案：1 112．解析：直线l 过定点(0，1)，圆C 可化为(x －1)2＋y 2＝4.当过定点(0，1)和圆心(1，0)的直线与l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短，易知此时k ＝1，故直线l 的方程为y ＝x ＋1.所以圆心到直线的距离为d ＝|1－0＋1|2＝2，故最短弦长为24－（2）2＝2 2. 答案：y ＝x ＋1 2213．解析：(2x －1)8展开式的通项T r ＋1＝C r 8(2x )8－r ·(－1)r ，当8－r ＝3，即r ＝5时，a 3＝C 58×23×(－1)5＝－448.令x ＝1，得a 8＋a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝1，令x ＝－1，得a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0＝(－3)8＝6 561，两式相减可得，2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝－6 560，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－3 280.答案：－448 －3 28014．解析：由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，可得函数的最小正周期T ＝2×π2＝π，即2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由题意可得g (x )＝f (x ＋π3)＝2sin[2(x ＋π3)＋φ]＝2sin[2x ＋(2π3＋φ)]，因为g (x )为偶函数，所以2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以k ＝0，φ＝－π6，所以f (x )＝2sin(2x －π6)．设t ＝2x －π6，因为x ∈(0，π3)，所以t ∈(－π6，π2)，故sin t ∈(－12，1)，所以函数f (x )在区间(0，π3)上的值域为(－1，2)．答案：－π6(－1，2)C (0，0)，A (23，15．解析：通解：如图，以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，则0)，B (3，3)，所以CA →＝(23，0)，CB →＝(3，3)，所以CM →＝16(3，3)＋23(23，0)＝(332，12)，所以M (332，12)，MA →＝(32，－12)，MB →＝(－32，52)，所以MA →·MB →＝32×(－32)＋(－12)×52＝－2. 优解：MA →·MB →＝(CA →－CM →)·(CB →－CM →)＝(13CA →－16CB →)·(56CB →－23CA →)＝718CA →·CB →－29CA →2－536CB →2＝718×23×23cos60°－29×(23)2－536×(23)2＝－2.答案：－216．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，结合图象可知，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个零点，则关于f (x )的一元二次方程2[f (x )]2＋2bf (x )＋1＝0在(0，1)上有2个不相等的实根．设t ＝f (x )，则方程转化为2t 2＋2bt ＋1＝0，设两个根分别为t 1，t 2，则由根与系数的关系知，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8>0，0<t 1，t 2<1，即⎩⎪⎨⎪⎧b <－2或b >2，0<t 1＋t 2<2，0<（t 1－1）（t 2－1）<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b <－2或b >2，0<－b <2，0<12－（－b ）＋1<1，得－32<b <－2.答案：⎝⎛⎭⎫－32，－2 17．解析：三棱锥M BCF 的底面三角形BCF 是固定的，又AF ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AF ⊥BC .又在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，AB ∩AF 以S △BCF ＝12＝A ，所以BC ⊥平面ABF .又BF ⊂平面ABF ，所以BF ⊥BC ，所BC ·BF ＝3，所以要求三棱锥M BCF 体积的最小值，只需求点M到平面BCF 的距离h 的最小值即可．因为M 为BD ′的中点，所以点M 到平面BCF 的距离是点D ′到平面BCF 的距离h ′的一半．因为E 为DC 上的动点．且AD ′＝1，所以D ′的轨迹为以A 为球心，1为半径的球面的一部分．作AG ⊥BF交BF于点G，当D′为AG与球面的交点时，h′最小，此时h′＝AG－AD′＝32－1＝12，所以V MBCF≥13×12×12×3＝312.答案：31218．解：(1)在△ABC中，cos A＝45，A∈(0，π)，所以sin A＝1－cos2A＝1－（45）2＝35.同理可得，sin∠ACB＝1213.所以cos B＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)＝sin A sin∠ACB－cos A cos∠ACB＝35×1213－45×513＝1665.(2)在△ABC中，由正弦定理得，AB＝BCsin A×sin ∠ACB＝1335×1213＝20.又AD＝3DB，所以BD＝14AB＝5.在△BCD中，由余弦定理得，CD＝BD2＋BC2－2BD·BC cos B＝52＋132－2×5×13×1665＝9 2.19．解：(1)由题意知AM⊥BD，又因为AC′⊥BD，所以BD⊥平面AMC′，因为BD⊂平面ABD，所以平面AMC′⊥平面ABD.(2)在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接FD.由(1)知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面ABD所成的角．设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝3，MD＝2－3，DC＝DC′＝33－2，AD＝6－ 2.在Rt△C′MD中，MC′2＝C′D2－MD2＝(33－2)2－(2－3)2＝9－4 3.设AF ＝x ，在Rt △C ′F A 中，AC ′2－AF 2＝MC ′2－MF 2，即4－x 2＝(9－43)－(x －1)2，解得，x ＝23－2，即AF ＝23－2. 所以C ′F ＝223－3.故直线C ′D 与平面ABD 所成角的正弦值为C ′FAF ＝23－33－1.20．解：(1)由a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1an －1得，a n －a n －1＝23，n ∈N *，n ≥2，所以{a n }是首项为1，公差为23的等差数列．所以a n ＝1＋23(n －1)＝2n ＋13，n ∈N *.(2)因为a n ＝2n ＋13，所以a n ＋1＝2n ＋33，所以1a n a n ＋1＝9（2n ＋1）（2n ＋3）＝92⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3.则S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1＝92⎝⎛⎭⎫13－12n ＋3＝3n2n ＋3.故S n ≥3t 4n 恒成立等价于3n 2n ＋3≥3t 4n ，即t ≤4n 22n ＋3恒成立．令g (x )＝4x 22x ＋3(x >0)，则g ′(x )＝8x （x ＋3）（2x ＋3）2>0，所以g (x )＝4x 22x ＋3(x >0)为单调递增函数．所以当n ＝1时，4n 22n ＋3取得最小值，且⎝⎛⎭⎫4n 22n ＋3min ＝45. 所以t ≤45，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，45. 21．解：(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，所以直线AB 的方程y －x 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.(2)由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20，所以AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 02，0. 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋12x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12x 0y ＝x 2，联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋14x 20＝0. 因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2. 所以（1－mx 0）216m 4＝x 2012m 2，解得mx 0＝－3±23，所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝⎪⎪⎪⎪y B y D ＝43±6. 22．解：(1)f ′(x )＝x ＋1－（2x ＋1）ln x （x 2＋x ）2. (2)设g (x )＝x ＋12x ＋1－ln x ＝12＋14x ＋2－ln x ，则函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，且g (e)>0，g (e)<0，所以存在x 0∈(e ，e)，使g (x 0)＝0，即x 0＋12x 0＋1－ln x 0＝0，所以x 0＋1－(2x 0＋1)ln x 0＝0，所以f ′(x )＝0，且f (x )在区间(0，x 0)上单调递增，在区间(x 0，＋∞)上单调递减．所以f (x )≤f (x 0)＝ln x 0x 0（x 0＋1）＝1x 0（2x 0＋1）<12e ＋e.。

2020年浙江省高考数学高考综合模拟卷(三)及解析

2020年浙江省高考数学高考综合模拟卷（三）★祝考试顺利★一、选择题(本题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．港珠澳大桥于2018年10月23日正式开通，这座当今世界里程最长、施工难度最大的跨海大桥使用了大量的各类材料：路面使用了进口的湖底天然沥青和混凝土、承台和塔座等部位使用了双相不锈钢钢筋、抗震方面使用了新型高阻尼橡胶和钢板。

关于这些材料的说法错误的是( )A．沥青主要成分是有机物，也可以通过石油分馏得到B．混凝土中含有的水泥、沙子都属于无机非金属材料C．不锈钢是通过改变材料结构的途径防锈蚀D．橡胶一定属于合成高分子材料答案 D解析沥青是石油分馏后剩余的固态烃，所以沥青可以通过石油分馏得到，故A 正确；混凝土中含有的水泥、沙子的主要成分都是二氧化硅及其硅酸盐，是传统无机非金属材料，故B正确；不锈钢是通过改变材料的内部结构达到防锈蚀的目的，故C正确；橡胶有天然橡胶、合成橡胶之分，则橡胶不一定属于合成高分子材料，故D错误。

2．下列有关化学用语的表示正确的是( )A．中子数为20的Ar原子：2018ArB．Na2O的电子式：C．F－的结构示意图：D．NaHCO3的电离方程式：NaHCO3===Na＋＋HCO－3答案 B解析A项，中子数为20的Ar原子为3818Ar，错误；B项，Na2O是由Na＋与O2－通过离子键形成的离子化合物，电子式正确；C项，F－的结构示意图为，错误；D项，NaHCO3的电离方程式为：NaHCO3===Na＋＋HCO－3，HCO－3H＋＋CO2－3，错误。

3．含有极性键且分子中各原子都满足8电子稳定结构的化合物是( )A．CH4B．CH2==CH2C．CO2D．N2答案 C解析A、B两项中的氢原子都只满足2电子稳定结构；D项，N2是单质而不是化合物。

4．下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是( )A．食盐水中：Fe2＋、NH＋4、Cl－、SO2－4B．氯化铁溶液中：Mg2＋、K＋、Cl－、SCN－C．苏打溶液中：Ca2＋、Al3＋、Cl－、NO－3D．白醋中：K＋、Na＋、CO2－3、SO2－4答案 A解析食盐水中Fe2＋、NH＋4、Cl－、SO2－4之间均不反应，可以大量共存，故A符合题意；氯化铁溶液中的Fe3＋与SCN－能反应，不能大量共存，故B不符合题意；白醋显酸性，碳酸根离子不能大量共存，故D不符合题意；苏打溶液中含有碳酸根离子，Ca2＋、Al3＋均不能大量共存，故C不符合题意。

2020年浙江省高考数学模拟试卷及答案

2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（） A ．(−154，0]B ．(−154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝． 14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝． 15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|k PB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°， CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值；（Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ．（1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A•y B为常数；（3）是否存在t，使得y A•y B＝1且y P•y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当x∈[0，π3]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e2x恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}， ∴所以A ∩B ＝{1，2，3}，故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵z =2+3i i =(2+3i)(−i)−i2=3−2i ， ∴z =3+2i ．故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方．取得最小值：(6−24+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α=13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α=±√33，则cos2α=13”是“sin α=√33”的不充分条件；若sin α=√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sin α=√33”的必要条件；综上所述：“cos2α=13”是“sin α=√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为对于任意的x ∈R ，f （x ）＝x 2+e |x |＞0恒成立，所以排除A ，B ，由于f （0）＝02+e |0|＝1，则排除D ，故选：C ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，在A 中，当Q 为线段B 1C 1中点时，线段PQ 与平面CDD 1C 1平行，故A 正确；在C 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1， ∴线段PQ 与DD 1所成角为∠C 1DD 1=π4，故B 正确；在C 中，PQ ≥√2AB ，当且仅当Q 为线段B 1C 1的中点时取等号，故C 正确；在D 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1，CD 1与PQ 垂直，故D 错误．故选：D ．7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增【解答】解：依题可知{E(ξ)=−13+b a +b =23，∴E(ξ)=−13+23−a ，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（） A ．(−154，0] B ．(−154，2] C ．[﹣4，+∞） D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2，不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4， ﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故−154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ． ∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)，若a n ＜﹣2，则a n +1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n +1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B ．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12）．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入双曲线可得：{x 12−y 122=λx 22−y 222=λ，两式相减可得：y 1−y 2x 1−x 2=2(x 1+x 2)y 1+y 2，而由题意可得，x 1+x 2＝2×1＝2，y 1+y 2＝2×1＝2，所以直线AB 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=2×22=2，所以直线AB 的方程为：y ﹣1＝2（x ﹣1），即y ＝2x ﹣1，代入双曲线的方程可得：2x 2﹣4x +1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：λ＜12，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 9 ．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V =13×12(2+4)×3×3=9，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ 15 ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ 64 ．【解答】解：由（1﹣x ）6的通项为T r+1=C 6r (−x)r 可得，令r ＝2，即x 2项的系数a 2为C 62=15，即a 2＝15，由（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，取x ＝﹣1，得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64． 14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝ √2 ．【解答】解：∵a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74， ∴sin C =√1−cos 2C =√74，可得√74=12ab sin C =√78ab ，解得ab ＝2，∴b ＝2，∴由余弦定理可得c =2+b 2−2abcosC =√12+22−2×1×2×34=√2．故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|k PB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为2√23．【解答】解：设P （x 0，y 0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，+b ），由|kPB 1−kPB 2|=89，|y 0−b x 0−y 0+b x 0|=89，∴|x 0|=94b ，由题意得圆M 的圆心在x 轴上，设圆心（t ，0），由题意知：t 2+b 2＝2b 2∴t 2＝b 2， ∴MP 2＝2b 2＝（x 0﹣t ）2+y 02，∴y 02=716b 2，P 在椭圆上，所以81b 216a +716=1， ∴a 2＝9b 2＝9（a 2﹣c 2），∴e 2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23． 16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴，过点D 做DP ⊥x 轴，过点D 做DQ ⊥y 轴，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，CB =CD =2√3， ∴B （0，0），A （2，0），C （0，2√3），D （3，√3），设M （0，a ），则AM →=（﹣2，a ），DM →=（﹣3，a −√3），故AM →•DM →=6+a （a −√3）=(a −√32)2+214≥214，故答案为：214．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令g （x ）＝xf （x ），x ∈（0，+∞）．g ′（x ）＝f （x ）+xf '（x ）＞0， ∴函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增．不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）即不等式（x +1）f （x +1）＞（x 2﹣1）f （x 2﹣1），x +1＞0． ∴x +1＞x 2﹣1＞0，解得：1＜x ＜2．∴不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值；（Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13， ∴sin A =√1−cos 2A =2√23， ∵△ABC 的面积为12bc •sin A =bc 2•2√23=√23bc ＝2√2，∴bc ＝6，∴b ＝3，c ＝2， ∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅13=3．再根据正弦定理可得a sinA=c sinC，即2√23=2sinC，∴sin C =4√29．（Ⅱ）∴sin2A ＝2sin A cos A =4√29，cos2A ＝2cos 2A ﹣1=−79，故 cos （2A −π6）＝cos2A cos π6+sin2A sinπ6=−79•√32+4√29•12=4√2−7√318． 19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ．（1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC 中点O ，连结BO ，DO ， ∵AD ＝CD ，AB ＝BC ，∴AC ⊥BO ，AC ⊥DO ， ∵BO ∩DO ＝O ，∴AC ⊥平面BOD ，又BD ⊂平面BOD ，∴AC ⊥BD ．（2）解：由（1）知∠BOD 是二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角，∴∠BOD ＝150°， ∵AC ⊥平面BOD ，∴平面BOD ⊥平面ABC ，在平面BOD 内作Oz ⊥OB ，则Oz ⊥平面ABC ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB ＝4，在△BOD 中由余弦定理得OD ＝4√3，∴A （0，﹣4，0），B （4，0，0），C （0，4，0），D （﹣6，0，2√3），∴M （﹣3，2，√3），BM →=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量n →=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=√356=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q +2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）c n =a b n =2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝n c n +n ＝n •2n +1，则d n ＝2n •（﹣2）n ，前项和为T n ＝2•（﹣2）+4•4+6•（﹣8）+…+2n •（﹣2）n ，﹣2T n ＝2•4+4•（﹣8）+6•16+…+2n •（﹣2）n +1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n •（﹣2）n +1＝﹣4+2•4(1−(−2)n−1)1−(−2)−2n •（﹣2）n +1，化简可得T n =−49−6n+29•（﹣2）n +1． 21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A •y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2， ∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p =12，∴M 与焦点的距离为MF =x M +p 2=2+14=94．（2）证明：设M （y 02，y 0），直线PM ：y ﹣1=y 0−1y 02−1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，y A =y 0−1y 0+1，直线QM ：y +1=y 0+1y 02−1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =−y 0−1y 0−1，∴y A y B ＝﹣1， ∴y A •y B 为常数﹣1．（3）解：设M （y 02，y 0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=y 0−y A y 02−t （x ﹣y 02），联立y 2＝x ，得y 2−y 02−t y 0−y A y +y 02−t y 0−y A y 0−y 02=0，∴y 0+y p =y 02−t y 0−y A ，即y P =y 0y A −t y 0−y A，同理得y Q =y 0y B −1y 0−y B，∵y A •y B ＝1，∴y P y Q =y 02−ty 0(y A +y B )+t 2y 02−y 0(y A +y B )+1，要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cos x ，g （x ）＝e 2x ﹣2ax ．（1）当x ∈[0，π3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e 2x 恒成立（f '（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cos x ﹣e x sin x ＝e x （cos x ﹣sin x ）．令f '（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）＝0，得x =π4∈[0，π3]．当x ∈(0，π4)时，f '（x ）＞0，当x ∈(π4，π3)时，f '（x ）＜0，所以f(x)max =f(π4)=√22e π4，f(x)min =min{f(0)，f(π3)}．因为f(π3)=e π32＞e 332=e 2＞1=f(0)，所以f （x ）min ＝1，所以f （x ）的值域为[1，√22e π4]．（2）由g(x)≥f′(x)e 2x 得e 2x −2ax ≥cosx−sinx e x ，即sinx−cosxe +e 2x −2ax ≥0．设ℎ(x)=sinx−cosx e x +e 2x −2ax ，则ℎ′(x)=2cosx e x +2e 2x −2a ．设φ（x ）＝h '（x ），则φ′(x)=4e 3x −2√2sin(x+π4)e x．当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2sin(x +π4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0．所以φ（x ）即h '（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h '（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。

【精准解析】浙江省名校2020届高三仿真训练卷数学(三)

概率 Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1, 2,…, n)
台体的体积公式V
1 3
S1
S1S2 S2 h ，其中 S1 ， S2 分别表示台体的上下底面积， h 表
示台体的高
柱体的体积公式V Sh ，其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高
锥体的体积公式V 1 Sh ，其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 3
11.已知等差数列 an 中，a1 a3 7 ，设其前 n 项和为 Sn ，且 S4 S6 ，则其公差 d ________，
-7-
其前 n 项和为 Sn 取得最大值时 n ________．
【答案】 (1). 1 (2). 5
【解析】
【分析】
根据题意，列出方程组，求得 a1
9 2
,d
3.某几何体的三视图如图（单位： m ），则该几何体的体积是（）．
A. 2 m3 3
【答案】A
B. 4 m3 3
C. 2m3
D. 4m3
【解析】
【分析】
由三视图得到该几何体是以俯视图为底面的一个三棱锥，结合三视图中的数据，利用体积公
式，即可求解.
【详解】由给定的几何体的三视图，该几何体为一个三棱锥，如图所示，
【答案】 (1). 720 (2). 1
【解析】
【分析】
利用二项展开式 (a b)n 的通式 Tr1 Crnanrbr 可求出 a2 ；令
( 2 x)10 a0 a1x a2 x2 a10 x10 中的 x 1 ， x 1 得两个式子，代入
a0 a2 a4 a10 2 a1 a3 a5 a9 2 可得结果.

【附加15套高考模拟试卷】浙江省2020届高三6月普通高中学业水平模拟考试数学试题含答案

浙江省2020届高三6月普通高中学业水平模拟考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在矩形ABCD 中的曲线是sin y x =，cos y x =的一部分，点,02B π⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)D ，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．4(31)π-B ．4(21)π-C ．4(31)π-.D ．4(21)π-2．已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=->的图像与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图像，则()y g x =是减函数的区间为（）．A ．,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个顶点分别为,A B ，点P 为双曲线上除,A B 外任意一点，且点P 与点,A B 连线的斜率分别为1k 、2k ，若123k k =，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A ．y x =± B ．2y x =±C ．3y x =±D ．2y x =±4．空气质量指数是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（）A ．该地区在该月2日空气质量最好B ．该地区在该月24日空气质量最差C ．该地区从该月7日到12日持续增大D ．该地区的空气质量指数与这段日期成负相关5．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（）A ．283πB ．323π C ．523π D ．563π6．在区间[1,2]-上随机取一个数k ，使直线(4)y k x =-与圆224x y +=相交的概率为（）A ．3B ．3C ．23D ．37．若函数()222,2log (),2x x f x x a x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为（）A ．0a <B ．0a >C ．0a ≤D ．0a ≥8．设实数x ，y 满足约束条件202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是（）A ．[]4,1- B ．33,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．(][),31,-∞-+∞U D ．[]3,1-9．一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，是的中点，则三棱锥的高为（）A ．B ．C ．D ．10．设变量x ，y 满足约束条件2302401x y x y y --≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则11a b+的最小值为（） A ．726+ B ．722+C ．326+ D ．322+11．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 为（）A ．4B ．2C ．0D ．1412．已知51(1)(2)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．80- B ．40- C ．40 D ．80二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年浙江省高考数学模拟试卷及答案

2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x|的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为4C ．≥√2D ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a bA．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为（）A．(-154，0]B．(-154，2]C．[﹣4，+∞）D．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γB．α≤β，β≤γC．α≥β，β≥γD．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n}满足a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），若存在常数λ，使得a n≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）n d n＝nc n+n，求数列{d n}的前项和为T n．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A y B为常数；（3）是否存在t，使得y A y B＝1且y P?y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cosx，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当??∈[0，]时，求f（x）的值域；3恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．（2）当x∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1，2，3}，故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵??=2+3??=(2+3??)(-??)-??2=3-2??，∴??=3+2??．故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方．取得最小值：(6-2√4+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α＝13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α＝±√33，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的不充分条件；若sin α＝√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α＝13，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要条件；综上所述：“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为4C．≥√2D．CD1与PQ不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，在A中，当Q为线段B1C1中点时，线段PQ与平面CDD1C1平行，故A正确；在C中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，∴线段PQ与DD1所成角为∠C1DD1=4，故B正确；在C中，PQ≥√2AB，当且仅当Q为线段B1C1的中点时取等号，故C正确；在D中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，CD1与PQ垂直，故D错误．故选：D．7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a b A．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增【解答】解：依题可知{()=-13+??+??=23，∴??(??)=-13+23-??，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（）A ．(-154，0]B ．(-154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2，不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4，﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故-154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：??+1-????=????2+????-2=(????+2)(????-1)，若a n ＜﹣2，则a n+1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n+1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12）．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线可得：{12-122=??22-222=??，两式相减可得：1-??2??1-??2=2(??1+??2)??1+??2，而由题意可得，x1+x2＝2×1＝2，y1+y2＝2×1＝2，所以直线AB的斜率k=1-??21-??2=2×２2=2，所以直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，代入双曲线的方程可得：2x2﹣4x+1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：??＜12，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V=13×12(2+4)×3×3=9，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为??+1=??6(-??)??可得，令r＝2，即x2项的系数a2为??62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝√2．【解答】解：∵a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，∴sinC=√１-2??=√74，可得√74=12absinC=√78ab，解得ab＝2，∴b＝2，∴由余弦定理可得c=√??2+??2-2=√12+22-2×1×2×34=√2．故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为2√23．【解答】解：设P（x0，y0），B1（0，﹣b），B2（0，+b），由|k1-k2|=89，|0-??-??0+????0|=89，∴|x0|=94b，由题意得圆M的圆心在x轴上，设圆心（t，0），由题意知：t2+b2＝2b2∴t2＝b2，∴MP2＝2b2＝（x0﹣t）2+y02，∴y02=716??2，P在椭圆上，所以81??216??2+716=1，∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），∴e2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，==2√3，∴B（0，0），A（2，0），C（0，2√3），D（3，√3），设M（0，a），则→=（﹣2，a），→=（﹣3，a-√3），故→→=6+a（a-√3）=(??-√32)2+214≥214，故答案为：214．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞）．g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）即不等式（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），x+1＞0．∴x+1＞x2﹣1＞0，解得：1＜x＜2．∴不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，∴sinA=√１-2=2√23，∵△ABC的面积为12bc?sinA=22√23=√23bc＝2√2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，∴a=√??2+??2-2=√9+4-2?3?2?13=3．再根据正弦定理可得=??，即32√23=2，∴sinC=4√29．（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA=4√29，cos2A＝2cos2A﹣1=-79，故cos（2A-6）＝cos2Acos6+sin2Asin??6=-79√32+4√29?12=4√2-7√318．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连结BO，DO，∵AD＝CD，AB＝BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BOD，又BD?平面BOD，∴AC⊥BD．（2）解：由（1）知∠BOD是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴∠BOD＝150°，∵AC⊥平面BOD，∴平面BOD⊥平面ABC，在平面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB＝4，在△BOD中由余弦定理得OD＝4√3，∴A（0，﹣4，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（﹣6，0，2√3），∴M（﹣3，2，√3），→=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量??→=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ＝|??→→||??→|?|→|=√3√56=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）nd n ＝nc n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q+2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）??=?????=2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝nc n +n ＝n?2n+1，则d n ＝2n?（﹣2）n ，前项和为T n ＝2?（﹣2）+4?4+6?（﹣8）+…+2n?（﹣2）n ，﹣2T n ＝2?4+4?（﹣8）+6?16+…+2n?（﹣2）n+1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n?（﹣2）n+1＝﹣4+2?4(1-(-2)-1)1-(-2)-2n?（﹣2）n+1，化简可得T n =-49-6??+29（﹣2）n+1．21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A y B ＝1且y P ?y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2，∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p=12，∴M 与焦点的距离为MF =??+2=2+14=94．（2）证明：设M （??02，??0），直线PM ：y ﹣1=0-102-1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，??=0-10+1，直线QM ：y+1=??0+102-1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =-??0-1??0-1，∴y A y B ＝﹣1，∴y A y B 为常数﹣1．（3）解：设M （??02，??0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=0-????02-??（x ﹣y 02），联立y 2＝x ，得??2-02-??0-??????+??02-????0-??????0-??02=0，∴y 0+y p =??02-????0-????，即y P =??0????-????0-????，同理得y Q =0????-10-????，∵y A ?y B ＝1，∴y P y Q =??02-0(????+????)+??202-??0(????+????)+1，要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A ?y B ＝1且y P ?y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cosx ，g （x ）＝e 2x﹣2ax ．（1）当??∈[0，3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??恒成立（f'（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cosx ﹣e x sinx ＝e x （cosx ﹣sinx ）．令f'（x ）＝e x （cosx ﹣sin x ）＝0，得??=4∈[0，??3]．当??∈(0，4)时，f'（x ）＞0，当??∈(??4，??3)时，f'（x ）＜0，所以??(??)=??(4)=√22??4，??(??)={??(0)，??(??3)}．因为??(3)=??32＞??332=??2＞1=??(0)，所以f （x ）min ＝1，所以f （x ）的值域为[1，√224]．（2）由??(??)≥′(??)2??得??2??-2≥-，即-+??2??-2≥0．设(??)=-+??2??-2，则?′(??)=2????+2??2??-2??．设φ（x ）＝h'（x ），则??′(??)=4??3??-2√2(??+4)．当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2(??+4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0．所以φ（x ）即h'（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h'（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h'（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。

【精品】2020届高考数学模拟试卷(浙江省)

2020届高考数学模拟试卷（浙江省）一、单选题1．已知双曲线的左顶点与抛物线的22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的虚轴长为（） A ．1B ．2C ．4D．2．若43()5a =，33()5b =，335c log =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c3．已知向量a ，b 满足()1,1a =，1b =，且22b a -=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（）A ．2B ．3C ．4D ．54．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若471027aa a ++=，则13(S = )A ．52B ．78C ．117D ．2085．在复平面内，复数z=(1-i)（i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．函数()()23cos 2cos x xf x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-++在[],ππ-的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．7．已知集合{}2|430,{|215}M x x x N x x =-+<=+<，则M N ⋃=（） A ．{}|3x x > B ．{}|2x x > C ．{}|3x x < D ．{}|2x x <8．函数()()221f x x a x =-+- 与()11a g x x -=+这两个函数在区间[]12，上都是减函数的一个充分不必要条件是实数a 的范围是 ( )A ．()()2,11,2--⋃B ．()()1,00,2-⋃C ．()1,2D ．(]1,29．下列命题中错误的是（）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 10．设数列｛n a ｝的前n 项和n s =2n ，则8a 的值为 A ．15 B ．16C ．49D ．64二、双空题11．如图，高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型，它是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行，水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央，从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉，如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球，那么，小球落入1号容器的概率是______，若取4个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为x ，则x 的数学期望是______.12．计算cos 75=________；sin14cos16sin 76cos74+的值是_________. 13．已知6625601256(1)(2)x x a a x a x a x a x +-+=+++++，则6a =_____，01256a a a a a +++++=_______.14．设变量x 、y 满足约束条件202010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥⎩，则目标函数24=y x z 的最大值为______，最小值为______.三、填空题15．设,,a b c 是正实数，满足b c a +≤，则()2bca b +的最大值为_______．16．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与其准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足||||PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________.17．3476A C -=______．四、解答题18．设函数()1xaf x e x=+-，()0,x ∈+∞，e 为自然对数的底数. （1）讨论()f x 的极值点个数；（2）当12a ≥，()0,x ∈+∞时，证明：()()1a x f x x-<. 19．（本小题满分13分）已知椭圆：（）的右焦点为，且过点(2√3,0)．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l:y =x +m(m ∈R)与椭圆交于不同两点、，且|AB|=3√2．若点P(x 0,2)满足|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，求x 0的值． 20．已知函数()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）若点(1,P 在角α的终边上,求sin α和6f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求使()1f x ≥成立的x 的取值集合；（3）若对任意实数,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围. 21．已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PB 上任意一点，O 为菱形对角线的交点，如图所示．（1）求证：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若60BAD ∠=︒，当四棱锥的体积被平面EAC 分成3:1两部分时，若二面角B AE C --的大小为45︒，求:PD AD 的值．22．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS )和严重急性呼吸综合征(SARS )等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒(nCoV )是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有()*n n ∈N 份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n 次.方式二：混合检验，将其中*(k k N ∈且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p (0<p <1).现取其中*(k k N ∈且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验，方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ. （1）若12()()E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式p =f (k ). （2）若p 与干扰素计量n x 相关，其中12,,,,(n x x x n ≥2)是不同的正实数，满足x 1=1且13122311()n nn n x x e ex x -++-=-. (i )求证：数列{}n x 为等比数列； (ii )当1p =次数的期望值更少，求k 的最大值.参考答案1．B根据交点坐标可确定准线，从而求得p ；利用双曲线左顶点与抛物线焦点的距离可求得a ；将交点坐标代入渐近线方程可求得b ，进而得到所求虚轴长. 由题意知：22p-=- 4p ∴= 设双曲线方程为：()222210,0x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为：b y x a =±242pa a ∴+=+= 2a ∴= 将()2,1--代入渐近线方程b y x a=得：1b -=-，即1b = 将()2,1--代入渐近线方程b y x a=-得：1b =-，舍去∴双曲线的虚轴长为：22b =本题正确选项：B本题考查抛物线、双曲线性质的应用问题，属于基础题. 2．D已知43()5a =，33()5b =，底数相同，故可以构造函数3()5xy = ，这个函数是减函数，x 越大函数值越小，故0b a >＞，而335c log =，底数和真数异侧，故0c < ，故得到b ＞a ＞c. 故答案选D. 3．A先求出向量a 的模，然后对22b a -=两边平方，得到向量的数量积，最后根据夹角公式求解.解：因为()1,1a =，所以=2a ，因为22b a -=，所以22442b a b a -⋅+=，即22442b a b a -⋅+=，因为=2a ，1b =，所以4422a b -⋅+=，得1a b ⋅=，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos 22a b a bθ⋅===，故选：A此题考查平面向量的夹角的计算，属于基础题. 4．C由等差数列{}n a 的性质可得：471073aa a a ++=，解得7.a 再利用求和公式即可得出．由等差数列{}n a 的性质可得：47107273aa a a ++==，解得79a =．则()11313713131172a a S a +===．故选C ．本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．C由复数与复平面内的点一一对应，即可求出结果. 由1z i =-知其对应点为()1,1P -，而点P 在第三象限；故正确答案为C本题考查复数的几何意义，熟记几何意义即可，属于基础题型. 6．D化简函数的解析式，判断函数的奇偶性，排除选项，通过特殊值判断选项即可．函数()()223cos sin 2cos cos x xx x f x x x x x ππ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==-+++，函数是奇函数，排除选项A ，当2x π=时，()21204f x ππ+=>，排除选项C ：当x π=时，()201f x ππ=>-，排除选项B .所以函数的图象只有D 满足故选：D .本题考查函数的图象的判断与应用，诱导公式的应用，考查转化思想以及计算能力． 7．C利用一元二次不等式的解法化简集合M ，再由交集的意义,取M 、N 的公共部分,可得答案. 因为{}2|430{|13}M x x x x x =-+<=<<,215x +<的解为2x <，,则{}{}|215|2N x x x x =+<=<,由交集的意义,可得{}|3M N x x =<.故选C.本题考查交集的运算,这是集合内容的基本要求,注意计算必须准确,其次集合的形式表示必须正确. 8．C根据二次函数和反比例函数的性质得a-1且a-1>0，取交集即可. 函数()()221f x x a x =-+- 与()11a g x x -=+这两个函数在区间[]12，上都是减函数则根据二次函数的性质得到a-11≤,根据反比例函数的性质得到a-1>0两者取交集得到12a <≤,充分不必要条件是实数a 的范围比12a <≤这一范围小就可以了. 故可以是：()1,2.故答案为：C这个题目考查了函数单调性的应用，考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，难度中档；注意二次函数的单调性和对称轴有关，反比例和x 的系数有关. 9．D 由题意可知：A 、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B 、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C 、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l 的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l 平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D 、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．故选D ． 10．A利用887a S S =-求解即可. 因为数列｛｝的前n 项和n s =2n ，所以878644915a S S =-=-=，故选：A.本题主要考查本题主要考查数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.11．1161 要使小球落入1号容器，则每一层小球必须向左，而每一层小球向左、向右的概率均为12；小球落入4号容器，则四层中小球有三层向右，一层向左，故每个小球落入4号容器的概率为34411()24C =，写出随机变量所有可能的取值，再算出相应的概率，利用期望公式计算即可.要使小球落入1号容器，则每一层小球必须向左，故概率为411216⎛⎫= ⎪⎝⎭；小球落入4号容器，则四层中小球有三层向右，一层向左，故每个小球落入4号容器的概率为34411()24C =，由题意知，0,1,2,3,4x =. 4181(0)(1)4256P x ==-=，13411108(1)(1)44256P x C ==⨯⨯-=; 22241154(2)()(1)44256P x C ==-=，33141112(3)()(1)44256P x C ==-=；44411(4)()4256P x C ===. 10854121()12341256256256256E x =⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为： (1). 116； (2). 1 本题考查独立事件的概率以及离散型随机变量的期望，考查学生的运算求解能力，是一道中档题. 1212空1；根据两角和的余弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；空2：根据诱导公式，逆用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可. 空1：231cos 75cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-⨯= 空2：1sin14cos16sin 76cos74sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin 30.2+=+=+==；12本题考查了余弦两角和公式的应用，考查了逆用两角和的正弦公式求值，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力. 13．0 665根据其特点可知6a 为6x 的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令1x =即可求解．因为6625601256(1)(2)x x a a x a x a x a x +-+=+++⋯++，令1x =可得：660125623665a a a a a +++⋯⋯++=-=-. 所以：666660a C C =-=；060066263a C C =-⋅=-； 1511662186a C C =-=-； 22422662225a x C C +=-=-；……5556626a C C =-⋅=-； 60666620a C C =-⋅=；故0125601256665a a a a a a a a a a +++++=------=.故答案为：0，665.本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题． 14．8116作出不等式组所表示的可行域，平移直线2t y x =-，观察该直线在y 轴截距最大和最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.作出不等式组202010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立120x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，即点()1,1C -；联立200x y y +-=⎧⎨=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩，即点()2,0A .令2t y x =-，则22224yy x t x z -===，平移直线2t y x =-，当直线2t y x =-经过可行域的顶点A 时，直线2t y x =-在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即022min 1216z -⨯==；当直线2t y x =-经过可行域的顶点C 时，直线2t y x =-在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即()121max 28z -⨯-==.故答案为：8；116. 本题考查指数型线性目标函数最值的求解，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 15．18由题意可得2222()(2)4448a b b c b bc c bc bc +≥+=++≥=，当且仅当224b c =且+=b c a ，即2bc 且+=b c a 时等号成立。

2020年浙江师大附中高考数学模拟试卷(三)(附答案详解)

2020年浙江师大附中高考数学模拟试卷（三）1. 已知i 为虚数单位，则z =−i1+2i =( )A. −25−15iB. −25+15iC. 25−15iD. 25+15i2. 设集合U ={x ∈Z|1<x <6}，A ={3,5}，B ={x|x 2−3x −4<0}，∁U (A ∩B )=( )A. {2,4}B. {2,4,5}C. {2,3,4,5}D. {2,3,4,6}3. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是线段AE 上靠近点A 的三等分点，则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗−56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 已知函数f(x)={x 2,x ≤0−x 2,x >0，则下列结论中不正确的是( )A. f(−2)=4B. 若f(m)=9，则m =±3C. f(x)是奇函数D. f(x)在R 上单调函数5. 已知函数f(x)=sin(2x −π6)，则“b −a >π2”是“函数f(x)在(a,b)上不单调”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若(2x 2−3x )5的展开式中不含x a (a ∈R)项，则a 的值可能是( )A. −5B. 1C. 2D. 77. 某师范院校为响应国家教育脱贫攻坚号召，决定每年安排5名师范生到某贫困县的3所学校进行支教，要求每所学校至少安排1名师范生，且1名师范生只去一所学校，则不同的安排方法有( )A. 90种B. 120种C. 150种D. 180种8. 在正四面体ABCD 中，已知E ，F 分别是AB ，CD 上的点(不含端点)，则( )A. 不存在E ，F ，使得EF ⊥CDB. 存在E ，使得DE ⊥CDC. 存在E ，使得DE ⊥平面ABCD. 存在E ，F ，使得平面CDE ⊥平面ABF9. 已知双曲线C ：x 23−y 2=1的左焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线C 的左、右两支分别于点Q ，P ，若|FQ|=t|QP|，则实数t 的取值范围是( )A. (0,2√3−36]B. (2√3−36,1]C. (−∞,2√3−36]D. (2√3+36,2] 10. 已知函数f(x)={|log 2(−x)|,x <0−log 2|1−x|,x ≥0，若f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，且x 1<x 2<x 3<x 4，则下列结论：①x 1x 2=1，②x 3+x 4=1，③0<x 1x 2x 4<1，④x 1+x 2+x 3+x 4<0，其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3且P =(ξ=k)=log a k(k =1,2,3)，则a = (1) ，E(ξ)= (2) ．12. 如图所示为某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长均为1，则该几何体的体积为 (1) ，表面积为 (2) ．13. 已知直线l ：y =x −1经过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点，且与抛物线C 交于点A ，B 两点，则p = (1) ，|AB|= (2) ．14. 定义max{a,b}={a,a ≥bb,a <b，已知实数x ，y 满足不等式组{|x|≤2|y|≤2max{x,y}≥0，则目标函数z =x +2y 的最大值为______．15. 已知数列{a n }，{b n }，且a 1=b 1=1，a n+1=a n +1，b n+1=b n +2n ，则b n = (1) ；设c n =b n +1a n2，则c n 的最小值为 (2) ．16. 已知f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f′(x)是f(x)的导函数，且满足xf′(x)−2f(x)>0，若f(x)是偶函数，f(1)=1，则不等式f(x)>x 2的解集为______． 17. 在△ABC 中，BC =√3AC,∠BAC =π3，点D 与点B 分别在直线AC 的两侧，且AD =1，DC =√3，则BD 的长度的最大值是______． 18. 已知函数f(x)=sin(2x +π6)+12cos 2(x −π6)．(1)求f(x)的最小正周期以及f(π12)的值；(2)若g(x)=f(π2−x)，求g(x)在区间[−π4,π6]上的最值．19.如图，△ABC为正三角形，半圆O以线段BC为直径，D是圆弧BC上的动点(不包括B，C点)平面ABC⊥平面BCD．(1)是否存在点D，使得BD⊥AC？若存在，求出点D的位置，若不存在，请说明理由；(2)∠CBD=30°，求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．20.已知S n为数列{a n}的前n项和，且a2=2，2S n=na n+n，数列{b n}的通项公式为b n=3a n，(1)证明：数列{a n}为等差数列；(2)设数列{b n}前n项的和为T n，n∈N∗，若C n=(−1)n+14T n+3T n⋅T n+1，且对于任意的正整数n，C1+C2+⋯+C n<√m−1−m+4112恒成立，求实数m的取值范围．21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x22+y2=1，C2：x24+y22=1，设直线l与椭圆C1切于点M，交椭圆C2于点A，B，设直线l1平行于l，且与椭圆C2切于点N．(1)求证：直线MN恒过原点O；(2)若点M为线段ON上一点，求四边形OANB的面积．22.已知函数f(x)=x−alnx(a∈R)．(1)当a=−1时，若存在唯一的实数x使得f(x)=x3−2ex2+tx成立，求t的值；(2)若函数f(x)有2个零点x1，x2(x1≠x2)，求a的取值范围，并证明：1x1+1x2<1．答案和解析1.【答案】A【解析】解：z =−i1+2i =−i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−25−15i ．故选：A ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.【答案】B【解析】解：集合U ={x ∈Z|1<x <6}={2,3,4,5}， B ={x|x 2−3x −4<0}=(−1,4)，因为A ={3,5}，则A ∩B ={3}，则∁U (A ∩B )={2,4,5}，故选：B ．先求B ，再求交集，再求补集．本题考查集合交并补，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由可知，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选：C ．利用平面向量的基本定理，用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 线性表示DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 向量即可．本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性表示，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵f(x)={x 2,x ≤0−x 2,x >0，A ：f(−2)=4，故正确；B ：若f(m)=9则m 2=9，则m =−3，故B 错误；C ：由f(x)={x 2,x ≤0−x 2,x >0可得f(−x)={−x 2,x ≤0x 2,x >0，∴−f(x)={−x 2,x ≤0x 2,x >0=f(−x)，故正确；D ：结合分段函数的性质及二次函数的性质可知f(x)在R 上单调递增，故正确．故选：B ．由已知结合分段函数的性质及函数的奇偶性及单调性的定义即可分别判断．本题主要考查了分段函数的性质及函数的奇偶性及单调性的定义的应用，属于基础试题．5.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(2x −π6)的周期T =π，b −a >T2，故函数f(x)在(a,b)不单调，充分性；又函数f(x)在(a,b)上不单调，只需满足(a,b)包含最值点，故不必要．故选：B ．由b −a >T2可知函数f(x)在(a,b)不单调，充分性；又函数f(x)在(a,b)上不单调，只需满足(a,b)包含最值点，故不必要，得到答案．本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力．6.【答案】C【解析】解：由题意可得，二项展开式的通项为：T r+1=∁5r (2x 2)5−r⋅(−3x )r =(−3)r ⋅∁5r ⋅25−r⋅x 10−3r ； ∵r =0，1，2，3，4，5，∴10−3r =10，7，4，1，−2，−5， ∴a 的值可能是2．故选：C ．先求二项展开式的通项为T r+1=∁5r (2x 2)5−r ⋅(−3x )r =(−3)r ⋅∁5r ⋅25−r⋅x 10−3r ，然后根据r 的可能取值，可求10−3r 的值，进而可判断a ．本题主要考查了利用二项展开式的通项求解二项展开式的项，解题的关键是熟练应用基本公式．7.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将5名师范生分成3组，若分为1、1、3的三组，有C 53=10种方法，若分为1、2、2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种方法，则有10+15=25种分组方法；②将分好的三组全排列，安排到3所学校，有A 33=6种情况，则25×6=150种安排方法；故选：C ．根据题意，分2步进行分析：①将5名师范生分成3组，②将分好的三组全排列，安排到3所学校，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：(1)对于A ，D 选项，取E ，F 分别为AB ，CD 的中点如图：因为A −BCD 是正四面体，所以它的各个面是全等的等边三角形．所以CE =DE ，所以EF ⊥CD ，同理可证EF ⊥AB.故A 错误；又因为AB ⊥CE ，AB ⊥DE ，且CE ∩DE =E ，故AB ⊥平面CED ，又AB ⊂平面ABF ，所以平面ABF ⊥平面CED.故D 正确．(2)对于B 选项，将C 看成正三棱锥的顶点，易知当E 在AB 上移动时，∠CDE 的最小值为直线CD 与平面ABD 所成的角，即(1)中的∠CDE ，显然为锐角，最大角为∠CDB =∠CDA =60°，故当E 在AB 上移动时，不存在E ，使得DE ⊥CD.故B 错误．(3)对于C 选项，将D 看成顶点，则由D 向底面作垂线，垂足为底面正三角形ABC 的中心，不落在AB 上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在E ，使得DE ⊥平面ABC ，故C 错误．故选：D ．对于A ，D 两项：当E ，F 分别是AB ，CD 的中点时，易证EF ⊥CD ，且平面CDE ⊥平面ABF ．对于B ：可利用E 在AB 上移动时，∠CDE 的范围判断．对于C ：可将D 看成三棱锥的顶点，则过D 做底面的垂线只有一条，即高线，从而否定C ．本题考查了空间线线垂直、线面垂直以及面面垂直之间的相互转化．同时也考查了正四面体的性质，以及学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．属于中档题．9.【答案】A【解析】解：根据条件可得F(−2,0)，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)，QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 2,y 1−y 2)，因为|FQ|=t|QP|，则(x 2+2,y 2)=t(x 1−x 2,y 1−y 2)，所以x 2=tx 1−21+t，y 2=ty11+t ，又因为P 、Q 都在双曲线上，所以{x 12−3y 12=3(tx 1−2)2−3(ty 1)2=3(1+t)2，整理可得x 1=1−6t4t ，易知x 1≥√3，所以1−6t 4t≥√3，又t >0，所以0<t ≤2√3−36，即实数t 的取值范围是(0,2√3−36)，故选：A ．设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，利用坐标向量法表示可得x 2=tx 1−21+t，y 2=ty11+t ，带入双曲线可得x 1=1−6t 4t≥√3，解得即可．本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力．10.【答案】B【解析】解：函数f(x)的图象如右图所示：若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则x1<−1<x2<0<x3<1<x4<2．由f(x1)=f(x2)可得：log2(−x1)=−log2(−x2)，即log2(−x1)+log2(−x2)=log2(x1x2)=0，∴x1x2=1，故①正确；由f(x3)=f(x4)可得：−log2(1−x3)=−log2(x4−1)，即1−x3=x4−1，∴x3+x4=2，故②错误；又x1x2x4=∈(1,4)，故③错误；∵x1<−1<x2<0，x1x2=1，x3+x4=2，∴x1+x2+x3+x4=1x2+x2+2，∵x2∈(−1,0)，∴−x2+1−x2>2，∴1x2+x2<−2，∴x1+x2+x3+x4<−2+2=0，故④正确．所以正确的个数为2．故选：B．由已知画出图象，求得x1x2=1，x3+x4=2，再把x1x2x4与x1+x2+x3+x4分别转化为x4与x2的关系式，进而判断出正确的个数，选出正确选项．本题考查数形结合、对数运算及基本不等式的应用，属于中档题．11.【答案】65log62【解析】解：由随机变量分布列的性质可知，P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1，即log a1+log a2+log a3=1，解得a=6．∴E(ξ)=1×log61+2×log62+3×log63=log632=5log62.故答案为：6，5log62.先根据分布列的性质，概率和为1，可以得出a的值，再根据数学期望的算法即可得解．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】48+3√5+√13【解析】解：由正视图和俯视图均为三角形可知该几何体是锥体，再结合侧视图可以确定是一个四棱锥．如图所示：可以将该四棱锥O−ABCD(图中蓝线部分对应的四棱锥)置于长、宽都为2，高为3的长方体ABCD−MNPQ中，其中O为MN的中点．故V=13S矩形ABCD⋅AM=13×2×3×2=4．易知△AOD，△COB是全等的直角三角形，AO=BO=√22+12=√5，∴S△AOD=S△BOC=12×√5×3=3√52．△COD底边CD上的高为DM=√32+22=√13，S△COD=12CD×DM=12×2×√13=√13．S△AOB=12AB×AM=12×2×2=2．底面矩形ABCD的面积为AB×AD=2×3=6．故该四棱锥的表面积为S△AOB+S△COB+S△COD+S△AOD+S矩形ABCD=8+3√5+√13．故答案为：4，8+3√5+√13．将这个几何体放在一个长方体中，容易找出它的直观图，是一个一个侧面水平放置的四棱锥．然后计算其体积与表面积即可．本题考查了三视图的视图问题，以及空间四棱锥的体积及表面积的计算问题．同时考查了学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算等数学核心素养．13.【答案】28【解析】解：根据条件得到抛物线的焦点为(p2,0)，故0=p2−1，解得p =2，所以抛物线方程为y 2=4x ，联立{y 2=4x y =x −1，整理可得x 2−6x +1=0，则x A +x B =6，所以|AB|=x A +x B +2=6+2=8，故答案为2，8．焦点为(p 2,0)，带入直线方程即可求出p ，联立直线与抛物线方程，结合抛物线的定义可得|AB|=x 1+x 2+p ，并结合x 1+x 2=6，即可得到弦长AB ．本题考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．14.【答案】6【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：A(2,2)目标函数z =x +2y 过A(2,2)时z 取得最大值，最大值是6，故答案为：6．先画出满足条件的平面区域，求出面积即可，再结合图象分别求出3x +2y 和x +3y 的最大值，从而求出答案．本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题．15.【答案】2n −189【解析】解：因为a 1=b 1=1，a n+1=a n +1，b n+1=b n +2n ，所以：a n −a n−1=1；所以：数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列；∴a n=1+(n−1)=n；∵b n+1=b n+2n⇒b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b2−b1)+b1=2n−1+ 2n−2+⋯+21+20=1×(1−2n)1−2=2n−1；即b n=2n−1；∴c n=b n+1a n2=2nn2；∵c n+1−c n=2n+1(n+1)2−2nn2=2n⋅(n2−2n−1)(n+1)2⋅n2；因为：f(n)=n2−2n−1=(n−1)2−2；对称轴为n=1，开口向上，其最小值为f(1)=−2，且f(2)=−1，f(3)>0即数列{c n}前三项递减，从第三项开始其递增；故c n的最小值为c3=2332=89．故答案为：2n−1；89．根据递推关系式找到数列{a n}，{b n}的规律，即可求其通项；进而得到数列{c n}的通项，相邻项作差判断其单调性即可求解结论．本题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，同时考查等比数列前n项和，考查推理能力，属于中档题．16.【答案】(−∞,−1)∪(1,+∞)【解析】解：令g(x)=f(x)x2(x≠0)，则g′(x)=x2f′(x)−2xf(x)x4=xf′(x)−2f(x)x3，因为足xf′(x)−2f(x)>0，所以，当x>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增．又f(x)是偶函数，故g(x)=f(x)x2(x≠0)也是偶函数，而f(1)=1，故g(1)=f(1)12=f(1)=1，因此，f(x)>x2⇔f(x)x2>1，即g(x)>g(1)，即g(|x|)>g(|1|)所以，|x|>1，解得：x>1或x<−1．则不等式f(x)>x2的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)，故答案为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．构造函数g(x)=f(x)x 2(x ≠0)，依题意可知它是偶函数且在(0,+∞)上单调递增，于是f(x)>x 2等价转化为g(x)>g(1)，即g(|x|)>g(|1|)⇒|x|>1，从而可得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数g(x)=f(x)x 2(x ≠0)，并判断它为偶函数且在(0,+∞)上单调递增是关键，考查等价转化思想与逻辑思维能力及运算能力，属于中档题．17.【答案】3√3【解析】解：在三角形ABC 中，设AC =x ，则BC =√3x ，且√3−1<x <√3+1．由正弦定理得AC sinB =BCsin π3，解得sinB =12，显然B 为锐角，故B =π6． ∴∠ACB =π2．设∠ACD =α，∴∠BCD =π2+α．∴在△BCD 中，BD 2=(√3x)2+√32−2×√3×√3xcos(π2+α) =3(x 2+1)+6xsinα……①．又∵在△ACD 中，cosα=x 2+3−12√3x=x 2+22√3x．∴sinα=√−x 4+8x 2−42√3x.代入①式得：BD 2=3(x 2+1)+√3√−x 4+8x 2−4．令t =x 2+1，则上式可化为y =3t +√3×√−t 2+10t −13，(5−2√3<t <5+2√3)……②． ∴y′=3+√3(−2t+10)2√−t 2+10t−13，令y′=0得√3=t−5√−t 2+10t−13，可见t >5．即t 2−10t +16=0，∴t =8或t =2(舍)将t =8代入②式得BD 2=27，故BD =3√3.(因为开区间内唯一的极值点即为该函数的最值点) 故答案为：3√3．根据BC =√3AC,∠BAC =π3可分析出△ABC 是直角三角形，画出图形，可设∠ACD =α，借助于余弦定理在三角形BCD 中表示出BD 2，然后再利用三角形ACD 借助于余弦定理找到x与α角的关系，代入BD2表达式，利用导数研究函数最值的方法求解．本题考查了利用正余弦定理解三角形的问题，同时也考查了导数在实际优化问题中的应用．还考查了学生的逻辑推理能力和数学运算能力．难度较大，18.【答案】解：(1)f(x)=sin(2x+π6)+12cos2(x−π6)=sin(2x+π6)+12×1+cos(2x−π3)2=(√32sin2x+12cos2x)+14(12cos2x+√32sin2x)+14=5√38sin2x+58cos2x+14=54sin(2x+π6)+14；所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π，f(π12)=54sin(2×π12+π6)+14=54×√32+14=5√3+28；(2)由g(x)=f(π2−x)=54sin[(π−2x)+π6]+14=54sin(2x−π6)+14，当x∈[−π4,π6]时，2x−π6∈[−2π3,π6]，所以sin(2x−π6)∈[−1,12]，所以54sin(2x−π6)+14∈[−1,78]，所以g(x)在区间[−π4,π6]上的最小值为−1，最大值为78．【解析】本题考查了三角函数的恒等变换与性质，也考查了运算求解能力，是中档题．(1)化函数f(x)为正弦型函数，求出函数f(x)的最小正周期和f(π12)的值；(2)根据g(x)=f(π2−x)求出函数g(x)的解析式，再求g(x)在区间[−π4,π6]的最小值与最大值．19.【答案】解：(1)D 是圆弧BC 上的动点(不包括B ，C 点)，假设存在点D ，使得BD ⊥AC ．过点D 作DE ⊥BC ，∵平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD =BC ．∴DE ⊥平面ACB ，AC ⊂平面ABC ， ∴DE ⊥AC ，又DE ∩BD =D ，∴AC ⊥平面BCD ，而∠ACB =60°，得出矛盾． ∴假设不正确．因此不存在点D ，使得BD ⊥AC ．(2)设圆心为点O ，连接OA ，分别以OC ，OA ，为y 轴作空间直角坐标系．设OC =1，O(0,0,0)，A(0,0,√3)，B(0,−1,0)，D(√32,12,0)，C(0,1,0)．BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3)，设平面ABD 的法向量为：n ⃗ =(x,y,z)，则n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴y +√3z =0，√32x +32y =0，取n ⃗ =(3,−√3,1)，∴直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值=|cos <n ⃗ ，CA⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3√13×2=√3913．【解析】(1)D 是圆弧BC 上的动点(不包括B ，C 点)，假设存在点D ，使得BD ⊥AC.过点D 作DE ⊥BC ，利用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理得出矛盾，即可判断出结论．(2)设圆心为点O ，连接OA ，分别以OC ，OA ，为y 轴作空间直角坐标系．设平面ABD 的法向量为：n ⃗ =(x,y,z)，则n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得n ⃗ .利用直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值=|cos <n ⃗ ，CA⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |即可得出．本题考查了线面面面垂直的性质定理、法向量的应用、数量积运算性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：∵2S n =na n +n ，∴当n =1时，2S 1=a 1+1，解得a 1=1.当n =3时，2S 3=3a 3+3=2(a 1+a 2+a 3)，又a 2=2，解得a 3=3.所以猜想a n =n.下面用数学归纳法证明猜想： ①当n =1，2，3时，通过前面运算有a n =n ：②假设当n =k(k ≥3，且k ∈N)，有a k =k ，∵2S n =na n +n ，∴2S k =ka k +k =k 2+k，解得S k=k2+k2．又2S k+1=(k+1)a k+1+(k+1)=2(S k+a k+1)=k2+k+2a k+1，∴a k+1=k+1.这说明当n=k+1时也成立．综合①②知：a n=n．又a n+1−a n=1，故数列{a n}为等差数列．(2)解：由(1)知：a n=n，又b n=3a n，∴b n=3n，T n=3(1−3n)1−3=3(3n−1)2．若C n=(−1)n+14T n+3T n⋅T n+1，则C n=(−1)n+1×43×2×3n−1(3n−1)(3n+1−1)=(−1)n+1×23(13n−1+13n+1−1)，∴C1+C2+⋯+C n=23{(131−1+132−1)−(132−1+133−1)+(133−1+134−1)−(134−1+135−1)+⋯+(−1)n+113n−1+13n+1−1}=23[131−1+⋯(−1)n+113n+1−1]=23[12+⋯(−1)n+113n+1−1].①当n=2k−1(k∈N+)时，C1+C2+⋯+C n=23(12+13n+1−1)≤C1=512；②当n=2k(k∈N+)时，C1+C2+⋯+C n=23(12−13n+1−1)<13；故(C1+C2+⋯+C n)max=512．又对于任意的正整数n，C1+C2+⋯+C n<√m−1−m+4112恒成立，所以512<√m−1−m+4112.解之得1≤m<5．所以m的取值范围为[1,5)．【解析】(1)可先求出数列的前几项，然后猜想出数列{a n}的通项公式，借助于数学归纳法证明猜想，再证明其为等差数列；(2)先求出等比数列{b n}前n项的和为T n，接着求出C n，利用裂项相消法求出C1+C2+⋯+C n，再求出其最大值，然后求解含m的不等式，解出m的取值范围．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项相消法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)证明：①当直线l的斜率不存在或为0时，显然有直线；②当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l：y=kx+t，直线l1：y=kx+m，由{y =kx +t x 22+y 2=1联立得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2(t 2−1)=0，又∵△1=16k 2t 2−8(t 2−1)(1+2k 2)=0，∴t 2=1+2k 2，x M =−2kt 1+2k 2=−2k t∴M(−2k t,1t)；由{y =kx +m x 24+y 22=1联立得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2(m 2−2)=0，又∵△2=16k 2m 2−8(m 2−2)(1+2k 2)=0，∴m 2=2+4k 2， x N =−2km1+2k 2=−4k m ，∴N(−4k m,2m )，∴直线MN ：y =1−2k x 必恒过原点O ；综合①②知直线MN 恒过原点O ；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx +t x 24+y 22=1联立得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2(t 2−2)=0，∴△=16k 2t 2−8(t 2−2)(1+2k 2)=8(4k 2+2−t 2)>0， x 1+x 2=−4kt1+2k 2，x 1x 2=2(t 2−2)1+2k 2，∴|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√2√1+k 2√4k 2+2−t 21+2k 2=2√2√1+k 2|t|，又设点O 、N 到直线AB 的距离为d 1与d 2，则d 1=√1+k 2，d 2=√1+k 2，又∵t 2=1+2k 2，m 2=2+4k 2， ∴m =√2t ，∴四边形OANB 的面积为12|AB|⋅(d 1+d 2)=√2(|t|+|t−m|)|t|=2．【解析】(1)可对直线l 分以下两种情况进行证明：①当直线l 的斜率不存在或为0时，显然有直线；②当直线l 的斜率存在且不为0时； (2)先由{y =kx +t x 24+y 22=1联立得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2(t 2−2)=0，∴△=16k 2t 2−8(t 2−2)(1+2k 2)=8(4k 2+2−t 2)>0，x 1+x 2=−4kt1+2k 2，x 1x 2=2(t 2−2)1+2k 2，求出|AB|，再计算出点O 、N 到直线AB 的距离为d 1与d 2，从而求出四边形OANB 的面积．本题主要考查椭圆与直线的位置关系及利用弦长公式、点线距离公式求解面积问题，属于一道较难的题．22.【答案】解：(1)由x+lnx=x3−2ex2+tx，得lnxx=x2−2ex+t−1，即lnxx−(x−e)2+(1+e2−t)=0．令g(x)=lnxx −(x−e)2+(1+e2−t)，g′(x)=1−lnxx2−2(x−e)．当x∈(0,e)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(e,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴若存在唯一的实数x使得f(x)=x3−2ex2+tx成立，则g(e)=0，即t=1+e2+1e；(2)证明：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−ax =x−ax(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不存在2个零点；当a>0时，由f′(x)=0，解得x=a，当x∈(0,a)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,a)上单调递减，当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(a,+∞)上单调递增，从而f(x)在x=a处求得最小值且最小值为f(a)=a−alna．要使函数f(x)有两个零点，则必有a>0，且f(a)=a−lna<0，解得a>e．下面证明a>e是f(x)有两个零点的充分条件．∵f(1)=1>0，f(a)=a−alna<a−alne=0，∴由函数零点存在定理可得，f(x)在(1,a)内有一个零点．取n0=e2a，则f(n0)=e2a−2a2>12(2a)2−2a2=0，且e2a>2a+1>a．∴函数f(x)在(a,n0)内有一个零点，则当a>e时，f(x)有两个零点．故a的取值范围为(e,+∞)；不妨设x1<x2，则f(x)在(x2,+∞)上单调递增，由f(x1)=f(x2)=0，可得x1=alnx1，x2=alnx2，则x1+x2=aln(x1x2)，易知x1>1，则x1x2>x2．于是x1x2−(x1+x2)=x1x2−aln(x1x2)=f(x1x2)>f(x2)=0．故x1x2−(x1+x2)>0，即x1+x2<x1x2，可得1x1+1x2<1．【解析】(1)由x+lnx=x3−2ex2+tx，变形得lnxx−(x−e)2+(1+e2−t)=0，令g(x)=lnxx−(x−e)2+(1+e2−t)，利用导数求其最小值，结合已知可得g(e)=0，从而得到t=1+e2+1e；(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，求其导函数，可得当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不存在2个零点；当a>0时，利用导数求其最小值为f(a)=a−alna，可得要使函数f(x)有两个零点，则必有a>0，且f(a)=a−lna<0，解得a>e，再证明a>e 是f(x)有两个零点的充分条件；不妨设x1<x2，则f(x)在(x2,+∞)上单调递增，结合f(x1)=f(x2)=0，可得x1=alnx1，x2=alnx2，证明x1x2−(x1+x2)>0，即x1+x2<x1x2，从而得到1x1+1x2<1．本题考查利用导数求函数的最值，考查化归与转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，本题第二问考生容易漏掉检验a>e是f(x)有两个零点的充分条件，取n0= e2a，证明函数f(x)在(a,n0)内有一个零点是难点，该题是难题．。

2020年浙江师大附中高考数学模拟试卷(三) (含答案解析)

2020年浙江师大附中高考数学模拟试卷(三)一、单项选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.2−3i1+i=()A. 12−52i B. −12−52i C. 12+52i D. −12+52i2.设集合U={x∈N|2<x<9}，A={4,5，6}，B={5,6，7}，则∁U(A∩B)=()A. {3,4，7}B. {3,4，8}C. {3,4，7，8}D. {3,8}3.在△ABC中，D是AB边上靠近点A的三等分点，E是CD的中点，则BE⃗⃗⃗⃗⃗ =A. −56AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ B. 56AB⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13AB⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. −13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗4.已知函数y=f(x)为定义在R上的奇函数，则下列结论中不正确的是()A. f(x)在(−∞,0]和[0,+∞)上的单调性相反B. 图象过原点，且关于原点对称C. f(2018)+f(−2018)=f(0)D. 如果x>0时，有f(x)>0成立，那么x<0时，f(x)<0也成立5.函数f(x)=cos(2x+ϕ)的图象关于点(π3,0)成中心对称的充要条件是()A. ϕ=5π6+kπ,k∈Z B. ϕ=π6+kπ,k∈ZC. ϕ=−2π3+kπ,k∈Z D. ϕ=4π3+kπ，k∈Z6.在(x2−2x)7的展开式中，x5的系数为()A. −35B. 35C. −280D. 2807.某县政府分派4名干部到甲、乙、丙三个贫困村开展“精准扶贫”工作，要求每名干部只去一个贫困村，且每个贫困村至少安排一名干部，则不同的分配方案种数有()A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种8.如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，则()A. 存在点G，使PG⊥EF成立B. 存在点G，使FG⊥EP成立C. 不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立D. 不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立9.已知F1、F2分别为双曲线C：x29−y227=1的左、右焦点，点A为双曲线上一点，∠F1AF2的平分线交x轴于点(2,0)，则|AF2|=()A. 3B. 6C. 8D. 1010.设函数f(x)=−2+log2x(x≥1)，则f(x)的值域是()A. RB. [−2,+∞)C. [1,+∞)D. (0,1)二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.已知某离散型随机变量ξ的数学期望E(ξ)=76，ξ的概率分布列如下表：ξ0123P a 131 6b则a=________.12.某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为______ ．13.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(14,0)，则p=______．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 已知数列{a n }，a 1=3，a 2=6，a n +2=a n +1−a n ，则a 2019=________． 16. 函数f(x)的定义域为R ，若对任意的x ∈R ，f(x)+xf′(x)>0，且f(2)=12，则不等式(x 2+1)f(x 2+1)>1的解集为______．17. 如图，在Rt △BAC 中，∠A =90°，D ，E 分别是AC ，BC 上的点，且满足∠ADB =∠CDE =30°，BE =4CE ，若CD =√3，则△BDE 的面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 18. 已知函数f(x)=4sinx ⋅cos(x −π6)．(Ⅰ)求f(π4)的值及函数f(x)的最小正周期； (Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间．19.如图，△ABC的外接圆O的半径为√5，CD⊥圆O所在的平面，BE//CD，CD=4，BC=2，且BE=1，tan∠AEB=2√5．(1)证明：平面ADC⊥平面BCDE；(2)试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为2？若存在，确7定点M的位置，若不存在，请说明理由．a n(n∈N∗).数列{b n}是等差数列，且b2=a2，b20=20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n+32a4．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(Ⅱ)求数列{b na n−121.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x24−y22=1有相同的焦点，且椭圆C过点P(2,1)，若直线l与直线OP平行且与椭圆C相交于点A，B．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)求三角形OAB面积的最大值．22.已知函数f(x)=ln(x+ax−2)(a>0)(I)当1<a<4时，函数f(x)在[2,4]上的最小值为ln32，求a；(Ⅱ)若存在x0∈(2,+∞)，使得f(x0)<0，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：2−3i1+i =(2−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−52i ．故选：B ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.答案：C解析：本题考查了集合的交集运算，补集运算，属于基础题．首先把全集转化为U ={3,4,5,6,7,8}，再根据A ∩B ={5,6}，再由补集定义即可解．解：由集合U ={x ∈N|2<x <9}得U ={3,4,5,6,7,8}， ∵A ={4,5，6}，B ={5,6，7}， ∴A ∩B ={5,6}，则∁U (A ∩B )={3,4,7,8}．故选C ．3.答案：A解析：本题考查平面向量的基本定理和线性运算，属基础题，难度不大．根据向量加减法运算法则可得．解：由已知可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为E 是CD 的中点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选A ．4.答案：A解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，若f(x)为奇函数，则f(x)在(−∞,0]和[0,+∞)上的单调性相同，A错误；对于B，若f(x)为定义在R上奇函数，则其图象过原点，且关于原点对称，B正确；对于C，若f(x)为奇函数，则f(−2018)=−f(2018)，则f(−2018)+f(2018)=0，C正确；对于D，若x>0时，有f(x)>0成立，那么x<0时，f(x)=−f(−x)<0，C正确；故选：A．根据题意，结合函数单调性的定义和性质依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．5.答案：A解析：由题意得f(π3)=0，即cos(2π3+ϕ)=0，所以ϕ=5π6+kπ,k∈Z，故选A...6.答案：C解析：解：二项式(x2−2x)7的展开式的通项公式为T r+1=∁7r⋅(x2)7−r⋅(−2x)r=(−2)r⋅∁7r⋅x14−3r，令14−3r=5，解得r=3；∴展开式中x5的系数为：(−2)3⋅∁73=−280．故选：C．利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中x5的系数．本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题7.答案：B解析：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．根据题意，分2步进行分析：①将4名干部分为3组，②将分好的三组安排甲、乙、丙三个贫困村，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将4名干部分为3组，有C42=6种分组方法，②将分好的三组安排甲、乙、丙三个贫困村，有A33=6种情况，则有6×6=36种不同的分配方法，故选：B．8.答案：C解析：解：正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，在A中，不存在点G，使PG⊥EF成立，故A错误；在B中，不存在点G，使FG⊥EP成立，故B错误；在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误．故选：C．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：B解析：解：双曲线C：x29−y227=1的a=3，b=3√3，c=√a2+b2=6，则F1(−6,0)，F2(6,0)，∠F1AF2的平分线交x轴于点M，可得|F1M||F2M|=|AF1||AF2|=48=12，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；故选：B．求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理，以及双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|= 6，进而可得所求；本题考查双曲线的方程和定义，考查角平分线的性质定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．10.答案：B解析：∵x≥1时log2x≥0，∴−2+log2x≥−2，∴函数f(x)=−2+log2x(x≥1)的值域是[−2,+∞)．11.答案：13解析：本题主要考查离散型随机变量ξ的数学期望，属于基础题．根据分布列的性质及数学期望公式求解即可．解：E(ξ)=76=0×a+1×13+2×16+3b⇒b=16，又P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1⇒a+13+16+16=1⇒a=13．故答案为13．12.答案：3解析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高为2，底面是直角边长度为3的等腰直角三角形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．此题考查了由三视图求面积、体积，解题的关键是得到该几何体的形状．解：由已知中三棱锥的三视图，可得该三棱锥的直观图如下所示：其高为2，底面是直角边长度为3的等腰直角三角形，∴其底面面积S=12×3×3=92，高ℎ=2，则体积V=13×92×2=3，故答案为：313.答案：12解析：解：抛物线y 2=2px(p >0)的焦点坐标为(14,0)， ∴p 2=14，解得p =12．故答案为：12．根据抛物线的焦点坐标求得p 的值．本题考查了抛物线的简单几何性质的应用问题，是基础题．14.答案：[0,5)解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大，联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z 的取值范围是[0,5)．故答案为：[0,5)．15.答案：3解析：本题考查数列的递推关系式的应用，周期数列的应用，考查计算能力．利用数列的递推关系式，求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解a2019即可．解：由递推关系，得a1=3，a2=6，a3=3，a4=−3，a5=−6，a6=−3，a7=3，a8=6，知数列{a n}是周期数列，周期为6，得a2019=a336×6+3=a3=3．故答案为3．16.答案：(−∞,−1)∪(1,+∞)解析：构造函数g(x)=xf(x)，求导后由已知可知函数为增函数，把原不等式转化为g(x2+1)>g(2)求解．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题．解：令g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0，可得g(x)在(−∞,+∞)上为增函数，由f(2)=12，得g(2)=2f(2)=1，∴不等式(x2+1)f(x2+1)>1化为g(x2+1)>g(2)，又g(x)在(−∞,+∞)上为增函数，∴x2+1>2，得x<−1或x>1．∴不等式(x2+1)f(x2+1)>1的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)．故答案为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．17.答案：4√35解析：本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题．过点E作EF⊥AC于点F，设EF=x，表示出BA、BD和AD，利用勾股定理和余弦定理，列方程求得x的值，再计算△BDE的面积．解：过点E 作EF ⊥AC 于点F ，如图所示；由∠A =90°知，EF//BA ，再由BE =4EC ，得BA =5EF ；设EF =x ，则BA =5x ；又∠ADB =∠CDE =30°，得BD =10x ，DE =2x ， AD =5√3x ，∠BDE =120°；由勾股定理，得BC 2=25x 2+(√3+5√3x)2=100x 2+30x +3；又由余弦定理，得BE 2=(10x)2+(2x)2−2×10x ⋅2x ⋅cos120°=124x 2；又BE =4EC ，所以BC =54BE ，所以BC 2=2516BE 2， 100x 2+30x +3=2516×124x 2，解得x =25或x =−225(舍去)，所以△BDE 的面积为S △BDE =12BD ⋅DE ⋅sin120°=12×10×25×2×25×√32=4√35．故答案为：4√35． 18.答案：解：(Ⅰ)函数，所以所以函数的最小正周期为T =2π 2=π ．(Ⅱ)令，解得．所以函数的单调递增区间为[−π 6+kπ ,kπ +π 3](k∈Z)解析：本题考查三角函数公式的运用，求正弦型函数的值，周期和单调区间，属于中档题．(Ⅰ)利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式等对f(x)进行整理化简，得到正弦型函数的形式，然后求出f(π4)和最小正周期；(Ⅱ)令−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解出x的范围，得到f(x)的单调递增区间．19.答案：(1)证明：∵CD⊥平面ABC，BE//CD，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB，∵BE=1，tan∠AEB=2√5，AE=√21，AB=√AE2−BE2=2√5，AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，又∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面BCDE，∴平面ADC⊥平面BCDE．(2)解：假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，作MF⊥CB 于F，连结AF，∵平面ADC⊥平面BCDE，∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角，设MN=x，计算易得，DN=32x，MF=4−32x，故A M=√AF2+MF2=√AC2+CF2+MF2=√16+x2+(4−32x)2，sin∠MAN=MNAM =√16+x+(4−32x)=27，解得：x=−83(舍去)，x=43，故MN=23CB，从而满足条件的点M存在，且DM=23DE，且点M的坐标为(0,43,2)．解析：本题考查面面垂直的判定及直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)由已知中CD ⊥⊙O 所在的平面，BE//CD ，易得BE ⊥平面ABC ，则BE ⊥AB ，由BE =1，tan∠AEB =2√5，AB 是⊙O 的直径，则AC ⊥BC 由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理可得平面ADC ⊥平面BCDE ；(2)过点M 作MN ⊥CD 于N ，连接AN ，作MF ⊥CB 于F ，连接AF ，可得∠MAN 为MA 与平面ACD 所成的角，设MN =x ，则由直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为27，构造关于x 的方程，解方程即可求出x 值，进而得到点M 的位置．20.答案：解：(1)由S n =n +32a n ，①当n ≥2时，S n−1=n −1+32a n−1，②两式相减得a n =1+32a n −32a n−1，即a n =3a n−1−2.当n ≥2时，a n −1an−1−1=3a n−1−2−1a n−1−1=3为定值，由S n =n +32a n ，令n =1，得a 1=−2.所以数列{a n −1}是等比数列，公比是3，首项为−3．所以数列{a n }的通项公式为a n =1−3n .(4分)(2)∴b 2=−8，b 20=−80.由{b n }是等差数列，求得b n =−4n ． ∵T n =b 1a 1−1+b 2a 2−1+⋯+b n−1a n−1−1+b n a n −1=4[131+232+⋯+(n−1)3n−1+n 3n]，而13T n =4[132+233+⋯+(n−1)3n+n3n+1]，相减得23T n =4(131+132+⋯+13n −n3n+1)，即T n =2(130+131+⋯+13n−1)−2n3n ，则T n =21−(13)n1−13−2n 3n =3−2n+33n.(12分)解析：(I)根据已知中S n =n +32a n (n ∈N ∗).结合a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2，即可求出数列{a n }的通项公式；(II)结合(I)中结论即数列{b n }是等差数列，且b 2=a 2，b 20=a 4.我们可以求出数列{b na n −1}的通项公式，我们易写出列{b nan −1}的前n 项和T n 的表达式，进而利用错位相消法，即可求出答案．本题考查的知识点是数列的递推公式及数列的求和，如果已知中已知S n ，求a n ，公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2是最常用的方法． 21.答案：解：(Ⅰ)双曲线x 24−y 22=1的焦点为(±√6,0)，即椭圆标准方程中c =√6， a 2=b 2+c 2=b 2+6，将P(2,1)代入椭圆方程x 2b 2+6+y 2b 2=1中，得4b 2+6+1b 2=1，解得：b 2=2，a 2=8， ∴椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1；(Ⅱ) 由直线l 平行于OP ，且k OP =12，设直线l 的方程为y =12x +m ，由{y =12x +mx 28+y 22=1，消去y 得x 2+2mx +2m 2−4=0；设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−2m ，x 1+x 2=2m 2−4，由l 与椭圆C 有不同的两点，则△>0，即△=4m 2−4(2m 2−4)>0，解得−2<m <2，且m ≠0，又|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√52⋅√4m 2−4(2m 2−4)=√5⋅√4−m 2，点O 到直线l 的距离为 d =√(2)2+(−1)2=√5，∴△OAB 的面积为S =12⋅d ⋅丨AB 丨=|m|⋅√4−m 2=√m 2(4−m 2)≤m 2+(4−m 2)2=2，当且仅当m 2=4−m 2，即m =±√2时取等号，此时△OAB 的面积最大，且最大值为2．解析：(Ⅰ)由双曲线的性质求出c =√6，得出a 2=b 2+c 2=b 2+6，将P(1,2)代入椭圆方程求得a 和b ，即得椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)根据题意，设直线l 的方程为y =12x +m ，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，即可求得△OAB 面积的最大值．本题考查了椭圆方程的求法以及求三角形面积的最大值和直线方程的求法，韦达定理以及基本不等式的性质应用问题，是综合性题目．22.答案：解：(Ⅰ)令g(x)=x+ax−2，∴g′(x)=1−ax2=x2−ax2，∵x∈[2,4]，1<a<4，∴x2−a>0，∴g′(x)>0，∴g(x)在[2,4]上单调递增，∴f(x)在[2,4]上单调递增，∴f(x)min=f(2)=ln(2+a2−2)=ln32，∴a=3，(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，函数f(x)在(2,+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(2)=ln(2+a2−2)=ln a2，∵存在x0∈(2,+∞)，使得f(x0)<0，∴ln a2<0=ln1，∴0<a<2故a的取值范围为(0,2)解析：(Ⅰ)令g(x)=x+ax−2，利用导数判断g(x)的单调性，再根据符合函数判断f(x)的单调性，根据函数的单调性即可求出函数的最值，即可求出a的值，(Ⅱ)由由(Ⅰ)可知，函数f(x)在(2,+∞)上单调递增，求出函数的最小值，根据存在x0∈(2,+∞)，使得f(x0)<0，得到a的取值范围．本题考查了导数的综合应用及存在性问题的应用以及复合函数的单调性，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．。

2020年浙江省新高考名校交流模拟卷数学试题(三)(解析版)

20．已知正项数列满足：，，其中是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据数列递推关系得到：与，，两式相减可得数列是等差数列，再代入通项公式，即可得答案；
（2）利用裂项相消法求和，即可证明不等式；
【详解】
【详解】
（1），
令，，得，，
故函数的单调递增区间为，；
令，，得，，
故函数的单调递减区间为，．
（2）由，得，则，
故当，即，的最大值为1，
当，即，的最小值为．
【点睛】
本题考查了二倍角的正弦公式，考查了降幂公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦函数的单调区间，考查了正弦函数的最值，属于中档题.
8．已知正实数，满足，则的最小值是（）
A． B．6C． D．
【答案】C
【解析】利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
当且仅当，时取等号．
故选：C
【点睛】
本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
9．已知双曲线：，是坐标原点，若存在过左焦点的弦，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（）
【详解】
解：（1）设直线方程，设，，
联立方程，∴ ，解得，
所以直线的方程为．
（2）设，，，设直线方程，
不妨令，联立方程，整理得，
则，，
∴ ，由题知，
，所以，同理可得，∴ ，
由解得，故
．
当且仅当时取等号，所以面积最小值为16．
【点睛】