安徽省安庆市高一上学期数学期末调测试卷
2022-2023学年安徽省安庆市高一上数学期末教学质量检测试题含解析
【详解】（1）依题意可设 ，因为线段 被点 平分，所以 ，
则 ，解得 ， ，即 ，
又 过点 ，易得 方程为
（2）设圆 半径为 ，则 ，其中 为弦心距，
，可得 ，
故所求圆的方程为 .
20、 (1) ， ；(2) .
【解析】(1)利用诱导公式化简f(α)即可；
故选：B
9、B
【解析】利用函数 是偶函数，可得 ，解出 ．再利用二次函数的单调性即可得出单调区间
【详解】解： 函数 是偶函数，
，
，
化为 ，
对于任意实数 恒成立，
，
解得 ；
，
利用二次函数的单调性，
可得其单调递增区间为
故选：B
【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性的应用，熟练掌握函数的奇偶性和二次函数的单调性是解题的关键.
12．设 ，用 表示不超过 的最大整数.则 称为高斯函数.例如： ， ，已知函数 ，则 的值域为___________.
13．已知函数 则 ________
14．若函数 （常数 ），对于任意两个不同的 、 ，当 、 时，均有 （ 为常数， ）成立，如果满足条件的最小正整数 为 ，则实数 的取值范围是___________.
连接 交 于 ，连接 ，
因为四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为点E是PD的中点，
所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ，
【小问2详解】
因为 ∥ ， ，
所以 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
在直角 中， ，
安徽省安庆市高一数学上学期期末调研检测试题(B卷)新人教A版
安庆市2012-2013学年度第一学期期末调研检测高一数 学 试 题B 卷：人教版必修1、必修5本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则U B C A U 为（ ） A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,42. 不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -等于（ ）A ．10-B ．10C ．14-D ．143. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A .1y x =+ B. 3y x =- C .1y x=D .||y x x = 4.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a =（ ）A 、12B 、2CD 、25. 已知0)](log [log log 237=x ，那么21-x等于（ ）A.31B.63C.33D.426. 设1a b 0<<<，则下列不等式成立的是( )A.1b ab 2<< B.1ab a 2<< C.222a b >> D.0a log b log 2121>>7. 在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是︒30、ο60,则塔高为( ) A ．m 3400B ．m 33200 C ．m 33400 D ．m 32008. 已知数列{}n a ，若点()()*∈Nn a n n ,在一次函数4)8(+-=x k y 的图象上，则数列{}n a 的前15项和=15S （ ）A ．12B ．32C ．60D ．1209. 有如下命题：①若01,0,1xa x a <<<>对任意则；②若函数log (1)1a y x =-+的图象过定点(,)P m n ，则log 0m n =；③函数1y x-=的单调递减区间为(,0)(0,)-∞⋃+∞，④函数x y 2=与x y 2log =互为反函数，其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410. 正项数列{}n a 满足：221111,4n n n a a a a +==++，则12231111n n a a a a a a ++++=L （ ）A.422n -+ B.212n -+ C.241n -+ D.421n -+ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数)4lg(2)(x x x f -+-=的定义域是 .12. 已知实数,x y 满足20,0,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最小值是 . 13. 2log 31=a ，21)31(=b ，21)32(=c ，则c b a ,,的大小关系为 .14. 已知2是n 2与m2的等比中项，其中0,>n m , 则11m n+的最小值是 ． 15. 已知函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在区间为(,1),()k k k Z +∈，则k = .三、解答题（本题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （本题满分12分）已知集合{}73|<≤=x x A ,{}102|<<=x x B ,{}a x a x C <<-=5|.（1）求B A Y ,()A B R I ð;（2）若()B A C Y ⊆,求a 的取值范围. 17. （本题满分12分）在ABC ∆内，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，c b a ,,成等差数列，且c a 2=.（1）求A cos 的值；（2）若4153=∆ABC S ，求b 的值。
2019-2020学年安徽省安庆市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年安徽省安庆市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集{}2357111319U 71=，，，，，，，,集合{}2711A =，，,集合{}51113B =，，,则()UA B ⋂=ð( )A ．{}5B ．{}13C ．{}513，D ．{}1113， 【答案】C【解析】根据补集和交集定义,即可求得()U A B ⋂ð答案. 【详解】{}2357111319U 71=，，，，，，，,{}2711A =，，∴ {}U 3,5,13,17,19A =ð则(){}U 5,13A B ⋂=ð. 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算,在集合运算比较复杂时,可以使用韦恩图来辅助分析问题.2．计算:33log 2log 6-=( ) A ．1 B ．1-C ．3log 2-D ．32log 2-【答案】B【解析】根据log log log a a a MM N N-=,化简33log 2log 6-即可求得答案. 【详解】log log loga a a M M N N-= 则333321log 2log 6log log 163-===- ∴ 33log 2log 61-=-故选:B. 【点睛】本题考查了对数运算.掌握对数公式log log log a a aMM N N-=,是解本题关键,属于基础题.3．已知幂函数()()222af x a a x =--⋅在区间()0,∞+上是单调递增函数,则a 的值为( ) A ．3 B ．1- C ．3- D ．1【答案】A【解析】因为()()222af x a a x =--⋅是幂函数,则2221a a --=,解得3a =或1a =-,结合()f x 在区间()0,∞+上是单调递增函数,即可求得a 的值.【详解】()()222af x a a x =--⋅是幂函数,则2221a a --=解得3a =或1a =- 又()f x 在区间()0,∞+上是单调递增函数∴ 3a =故选:A. 【点睛】本题考查了幂函数相关知识,掌握幂函数基础知识是解题关键,属于基础题. 4．在ABC 中,已知sin 2sin cos A B C =,则此三角形一定为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形【答案】C【解析】将sin 2sin cos A B C =,化简为()sin sin sin cos cos sin 2sin cos A B C B C B C B C =+=+=,即()sin 0B C -=,即可求得答案. 【详解】sin 2sin cos A B C =∴ ()sin sin sin cos cos sin 2sin cos A B C B C B C B C =+=+=故sin cos cos sin 0B C B C -=,即()sin 0B C -=∴ B C =,故此三角形是等腰三角形故选:C. 【点睛】本题考查三角形形状的判定,考查诱导公式与正弦两角和公式,考查运算能力与推理能力,属于中档题.5．若实数m ,n 满足22m n <,则下列不等关系成立的是( )A ．22log log m n <BC ．11m n> D ．33m n <【答案】D【解析】根据22m n <可得:m n <,逐一验证每个选项,即可得出答案. 【详解】22m n m n <\<对于A,因为无法判断,m n 的正负性,故无法保证22log ,log m n 真数有意义,故A 错误; 对于B, 因为无法判断,m n 的正负性,故无法保证二次根式下非负,故B 错误; 对于C, 因为当1m =-,1n =满足m n <,此时11m n<,故C 错误; 对于D, 因为3y x =在R 上单调递增,所以可得33m n <,故D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查了指数函数的单调性，考查了对数和二次根式的定义，考查了幂函数的单调性，掌握基本初等函数的性质和利用特殊值法是解题关键,考查了分析能力,属于基础题. 6．下列关系式一定正确的是( ) A ．sin20<B ．cos30>C ．()sin π3sin3-=- D ．sin 22sin αα≤【答案】D【解析】根据诱导公式,正弦二倍角公式等基础知识,逐项判断,即可得出答案. 【详解】对于A,因为2弧度的角是第二象限角,所以sin20>,故A 错误; 对于B,因为3弧度的角是第二象限角,所以cos30<,故B 错误; 对于C,因为根据诱导公式可得:()sin 3sin3π-=,故C 错误; 对于D,因为sin 22sin cos 2sin αααα=≤,故D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查了判断三角函数象限符号,诱导公式和正弦二倍角公式.掌握三角函数基础知识是解本题关键,属于基础题.7．若函数sin 2y x =的图像经过点()00,P x y ,则其图像必经过点( ) A ．()00,x y - B ．00,2x y π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．00,2x y π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()00π,x y -【答案】C【解析】因为函数sin 2y x =的图像经过点()00P x y ，,可得00sin 2y x =,根据诱导公式逐项检验,即可得出答案. 【详解】函数sin 2y x =的图像经过点()00,P x y ,∴ 可得:00sin 2y x =对于A,将()00,x y -代入sin 2y x =,可得()000sin 2sin 2x x y -=-=-,则函数sin 2y x =不一定经过点()00,x y -,故A 错误;对于B,将00,2x y π⎛⎫+⎪⎝⎭代入sin 2y x =,可得()0000sin 2sin 2sin 22x x x y ππ⎛⎫+=+=-=- ⎪⎝⎭,则函数sin 2y x =不一定经过点00,2x y π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故B 错误; 对于C,将00,2x y π⎛⎫-⎪⎝⎭代入sin 2y x =,可得()0000sin 2sin 2sin 22x x x y ππ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭,则函数sin 2y x =经过点00,2x y π⎛⎫- ⎪⎝⎭,故C 正确;对于D,将()00π,x y -代入sin 2y x =,可得()()0000sin 2sin 22sin 2x x x y ππ-=-=-=-,则函数sin 2y x =不一定经过点()0π,x y -,故D 错误.故选:C. 【点睛】本题考查了判断点是否在已知直线上,熟练使用诱导公式是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8．已知tan 2α=,则tan tan 24παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭( ) A ．1- B ．1C ．53D ．1715【答案】A【解析】根据tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+和22tan tan21tan ααα=- ,化简tan tan 24παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,结合已知,即可求得答案.【详解】 根据tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+和22tan tan21tan ααα=- 化简2tan 12tan 2122tan tan 241tan 1tan 1214παααααα--⨯⎛⎫-+=+=+ ⎪+-+-⎝⎭ 14133=-=-. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数化简求值,掌握正切的差角公式和二倍角公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.9．函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0,0,A ωϕπ>><)的图像如图所示,则ω,ϕ的值为( )A ．3ω=,π4ϕ=B ．3ω=,π4ϕ=- C ．6ω=,π2ϕ=- D ．6ω=,π2ϕ=【答案】A【解析】由函数的图像的顶点坐标求出A ,由周期求出ω, 点,04π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上,结合已知即可求得答案. 【详解】由函数()f x 的图像的顶点坐标,可求得1A =541246T πππ=-= ∴ 223T ππω==，故3ω=，又点,04π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，知34πϕπ+=解得4πϕ=,符合ϕπ<.故选:A.【点睛】本题主要考查由函数()()sin f x A x =+ωϕ的部分图像求解析式,由函数的图像的顶点坐标求出A ,由周期求出ω,考查了分析能力,属于中档题. 10．某数学课外兴趣小组对函数()12x f x -=的图像与性质进行了探究,得到下列四条结论：① 该函数的值域为()0,∞+; ② 该函数在区间[)0,+∞上单调递增;③ 该函数的图像关于直线1x =对称;④ 该函数的图像与直线()2y a a R =-∈不可能有交点.则其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】画出()12x f x -=,逐项判断,即可求得答案.【详解】 画出()12x f x -=如图:对于①,根据()f x 图像可知,函数()f x 的值域为[)1,+∞,①错误;对于②, 根据()f x 图像可知,函数()f x 在区间[)0,1上单调递减,在[)1,+∞上单调递增,②错误;对于③, 根据()f x 图像可知,函数()f x 的图像关于直线1x =对称,③正确;对于④,因20y a =-≤,所以函数()f x 的图像与直线()2y aa R =-∈不可能有交点,④正确.综上所述,正确结论的个数为2 故选:B. 【点睛】本题考查根据函数解析式画出函数图像.掌握函数的基础知识和数形结合是解题关键,考查了分析能力,属于基础题. 11．函数2019sin log 22x xxy -=-在区间[)(]3,00,3-上的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 令()2019sin log 22x xxf x -=-（[)(]3,00,3x -∈），()()2019sin log 22x xxf x f x --=-=--，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，由此排除A,D 两个选项. 当3x =时，2019sin 363log 8y =，而3为第二象限角，所以sin30>，而201963log 08>，所以2019sin 3063log 8y =>，由此排除C 选项.故B 选项符合.故选：B. 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，判断函数的图像，属于基础题.12．已知函数()f x 是定义在R 上的函数,()11f =.若对任意的1x ,2x R ∈且12x x <有()()12123f x f x x x ->--,则不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为( ) A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．24,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】因为等式()()12123f x f x x x ->--可化为()()()12123f x f x x x -<--,即()()112233f x x f x x +<+,令函数()()3F x f x x =+,根据函数()F x 是R 上的增函数,即可求得答案. 【详解】不等式()()12123f x f x x x ->--可化为()()()12123f x f x x x -<--即()()112233f x x f x x +<+令函数()()3F x f x x =+,由()()112233f x x f x x +<+ 可得()()21>F x F x ,结合12x x <∴ 函数()()3F x f x x =+是R 上的增函数又()14F =不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦∴ ()()2log 321F x F -<⎡⎤⎣⎦ ∴ ()2log 321x -<,即0322x <-<∴2433x << 不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为:24,33⎛⎫⎪⎝⎭. 故选:C. 【点睛】利用函数性质解抽象函数不等式,解题关键是根据已知构造函数,利用对应函数单调性进行求解函数不等式,考查了转化能力和分析能力,属于中档题.二、填空题13．函数()()2lg 12f x x x =++-的定义域为______________. 【答案】()()1,22,-+∞U【解析】根据对数函数真数大于零和分式分母不为零,列出不等式组,即可求得()f x 的定义域. 【详解】根据对数函数真数大于零和分式分母不为零∴ 得1020x x +>⎧⎨-≠⎩,解得1x >-且2x ≠,故其定义域为()()1,22,-+∞U . 故答案为:()()1,22,-+∞U . 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解,其中解答中熟记函数的定义域的概念,以及根据函数的解析式有意义,列出相应的不等式组是解答的关键. 14．计算：sin39cos21sin51sin 21︒︒+︒︒=____________.【解析】根据诱导公式和正弦的和角公式,化简sin39cos 21sin51sin 21+,即可求得答案. 【详解】根据诱导公式()sin 90sin αα︒-=则sin 51=cos39化简sin39cos 21sin51sin 21sin39cos 21cos39sin 21+=+()3sin 3921sin 60=+==故答案为:2. 【点睛】本题考查了三角函数化简求值,掌握诱导公式和正弦的和角公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题. 15．已知函数()2tan 41xf x x =++,则()()()()()21012f f f f f -+-+++=________.【答案】5【解析】因为()2tan 41x f x x =++,故()020tan 0141f =+=+,()()()22tan tan 24141x xf x f x x x -+-=+++-=++,即可求得答案. 【详解】()2tan41x f x x =++故()020tan 0141f =+=+ ∴ ()()()22tan tan 4141x x f x f x x x -+-=+++-++22424141xx x ⨯=+=++ ()()()()22112f f f f ∴-+=-+= ()()()()()210125f f f f f ∴-+-+++=故答案为:5. 【点睛】本题考查了已知函数解析式求函数值,解题关键是求出()()f x f x +-是定值,考查了分析能力和计算能力.16．若A 为不等边ABC 的最小内角,则()2sin cos 1sin cos A Af A A A=++的值域为____________.【答案】(1⎤⎦【解析】因为A 为不等边ABC 的最小内角,得0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设sin cos t A A =+,故(sin cos 4t A A A π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭,22sin cos 1A A t =-,化简()2sin cos 1sin cos A Af A A A=++,即可求得答案.【详解】A 为不等边ABC 的最小内角∴ 得0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设sin cos t A A =+∴ (sin cos 4t A A A π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭ 得:22sin cos 1A A t =-∴()(22sin cos 1111sin cos 1A A t f A t A A t -⎤===-∈⎦+++故答案为:(1⎤⎦. 【点睛】本题考查了辅助角公式与正弦函数的单调性,以及换元法的应用和基本不等式的应用,考查了分析能力和计算能力,属于中档题目．三、解答题17．已知集合{}|1A x x =≥,集合{}|33,B x a x a a R =-≤≤+∈. （1）当4a =时,求AB ；（2）若B A ⊆,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[)1,-+∞（2）(],2-∞【解析】（1）当4a =时,[]1,7B =-,根据并集定义,即可求得AB ;（2）因为B A ⊆,分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当4a =时,[]1,7B =-∴ 又[)1,A =+∞,则[)1,A B ⋃=-+∞（2）因为{}|1A x x =≥, B A ⊆当B =∅时,33a a ->+,解得0a < 当B ≠∅时,3331a aa -≤+⎧⎨-≥⎩,解得02a ≤≤综上所述,实数a 的取值范围为(],2-∞. 【点睛】本题考查了并集运算和子集运算.本题的解题关键是掌握当B A ⊆时,分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.18．已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴非负半轴重合,终边经过点()3,4P -. （1）求sin cos αα-的值；（2）求()()()sin cos 2cos 2sin ππααπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭++-的值.【答案】（1）75-（2）87【解析】（1）因为角α的终边经过点()3,4P -,则5OP ==,根据三角函数的定义,即可求得答案;（2）根据诱导公式化简()()()sin cos 2cos 2sin ππααπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭++-,结合已知,即可求得答案.【详解】 （1）角α的终边经过点()3,4P -∴5OP ==根据三角函数的定义可知43sin ,cos 55αα=-=∴437sin cos 555αα-=--=-故7sin cos 5αα-=-.（2）根据诱导公式化简:则()()()sin sin co sin cos 2cos 2si s in n s ππααπαααααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭++---=-4822sin 855734cos sin 7555ααα⎛⎫-⨯- ⎪-⎝⎭====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴ ()()()sin cos 2cos 2sin ππααπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭++-的值为:87. 【点睛】本题考查三角函数定义和诱导公式.在三角求值时,充分利用相关公式和已知条件进行化简,着重考察学生对三角公式的掌握和应用水平,属于中等题. 19．已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭图像两条相邻对称轴间的距离为π2. （1）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间; （2）将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位后得到函数()y g x =的图像,求函数()y g x =图像的对称中心坐标.【答案】（1）20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）(),024k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）化简()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭,得()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,根据正弦最小正周期:222T πππω==⨯=,结合已知解得2ω=,则()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,结合正弦函数单调区间即可求得答案; （2）将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位后得到函数()y g x =,得()sin 2cos 266y g x x x ππ⎡⎤⎛⎫==++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即可求得()y g x =图像的对称中心坐标.【详解】（1）化简1()sin cos sin cos cos 622f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭1cos sin 226x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 根据正弦最小正周期:222T πππω==⨯=∴02ωω>∴=,则()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭根据正弦函数单调性其单调增区间为:222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈∴解得:()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈又[]0,x π∈,∴ 函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间为:20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（2）将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位后得到函数()y g x = ∴ ()sin 2cos 266y g x x x ππ⎡⎤⎛⎫==++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦令22x k =+ππ，解得,24k x k Z =+∈ππ∴ 故()y g x =图像的对称中心坐标为(),024k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭【点睛】本题考查了三角函数的单调区间和求三角函数的对称中心, 解题关键是掌握辅助角公式:()sin cos a x b x x ϕ+=+ ,(tan baϕ=),考查了分析能力和计算能力,属于基础题.20．已知函数()24f x ax bx =++,其中,a b ∈R ,且0a ≠.（1）若函数()y f x =的图像过点()3,1-,且函数()f x 只有一个零点,求函数()f x 的解析式;（2）在（1）的条件下,若a Z ∈,函数()()ln g x f x kx =-⎡⎤⎣⎦在区间[)2,+∞上单调递增,求实数k 的取值范围.【答案】（1）()244f x x x =++或()214493f x x x =++（2）(),8-∞ 【解析】（1）因为()24f x ax bx =++,根据函数()y f x =的图像过点()31，-,且函数()f x 只有一个零点,联立方程即可求得答案;（2）因为a Z ∈,由（1）可知:()244f x x x =++,可得()()()2ln ln 44g x f x kx x k x ⎡⎤=-=+-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦,根据函数()g x 在区间[)2,+∞上单调递增,即可求得实数k 的取值范围. 【详解】 （1）()24f x ax bx =++根据函数()y f x =的图像过点()31，-,且函数()f x 只有一个零点 ∴ 可得22(3)341160a b b a ⎧--+=⎨∆=-=⎩,整理可得23116b a b a =+⎧⎨=⎩,消去b ∴ 得291010a a -+=,解得1a =或19a =∴ 当1a =时,4b =,()244f x x x =++当19a =时,43b =,()214493f x x x =++ 综上所述,函数()f x 的解析式为:()244f x x x =++或()214493f x x x =++ （2）当a Z ∈,由（1）可知:()244f x x x =++∴ ()()()2ln ln 44g x f x kx x k x ⎡⎤=-=+-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦要使函数()g x 在区间[)2,+∞上单调递增∴则须满足()242224240kk -⎧-≤⎪⎨⎪+-⨯+>⎩解得8k <,∴ 实数k 的取值范围为(),8-∞.【点睛】本题考查了求解二次函数解析式和已知复合函数单调区间求参数范围.掌握复合函数单调性同增异减是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.21．某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快．．．．．．.开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间()x x N ∈个月的关系有两个函数模型()0,1xy k ak a =⋅>>与()0y q p =>可供选择.（1）试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式;（2）问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍?(参考数据1.73,lg 20.30,lg 30.48≈≈≈≈) 【答案】（1）答案见解析（2）17 【解析】（1）因为函数()0,1xy k ak a =⋅>>中,y 随x 的增长而增长的速度越来越快,而函数()0y q p =>中,y 随x 的增长而增长的速度越来越慢,根据已知条件应选()0,1xy k ak a =⋅>>更合适,结合已知,即可求得该模型的函数解析式;（2）由（Ⅰ）知,当0x =时,8y =,所以原先投放的此生物的面积为8平方米,设经过x个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,则有38810002x⎛⎫⋅=⨯ ⎪⎝⎭,即可求得答案. 【详解】 （1）函数()0,1xy k ak a =⋅>>中,y 随x 的增长而增长的速度越来越快,而函数()0y q p =>中,y 随x 的增长而增长的速度越来越慢,根据已知条件应选()0,1xy k ak a =⋅>>更合适由已知得231827k a k a ⎧⋅=⎨⋅=⎩,解得328a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴函数解析式为()382xy x N ⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭（2）由（1）知,当0x =时,8y =,所以原先投放的此生物的面积为8平方米; 设经过x 个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,∴ 有38810002x⎛⎫⋅=⨯ ⎪⎝⎭解得lg1000317lg3lg 20.480.30x =≈≈--∴ 约经过17个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍.【点睛】本题考查了求解模型解析式和求解指数方程,解题关键是掌握函数的基础知识解题关键,考查了分析能力和计算能力.22．已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭.（1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()()20f x mf x m --≤恒成立,求实数m 的取值范围; （2）是否同时存在实数a 和正整数n ,使得函数()()g x f x a =-在[]0πn ，上恰有2019个零点?若存在,请求出所有符合条件的a 和n 的值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）)2,⎡+∞⎣（2）答案见解析【解析】（1）化简()f x 得:()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,20,42x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 要使()()20f x mf x m --≤对任意,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立,令()t f x =,则t ⎡∈⎣,()20h t t mt m =--≤对任意t ⎡∈⎣恒成立,即可求得答案.（2）若同时存在实数a 和正整数n 满足条件,函数()()g x f x a =-在[]0,n π上恰有2019个零点,即函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2019个交点,对a 进行讨论,即可求得答案. 【详解】（1）化简:()cos 14f x x x π⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭sin cos cos sin cos 144x x x ππ⎫=+⋅-⎪⎭22sin cos 2cos 1sin 2cos 2x x x x x =+-=+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,20,42x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,∴ []sin 20,14x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()f x ⎡∈⎣要使()()20fx mf x m --≤对任意,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立,令()t f x =,则t ⎡∈⎣,()20h t t mt m =--≤对任意t ⎡∈⎣恒成立, 只需()0020h m h m ⎧=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩∴解得2m ≥,∴实数m的取值范围为)2,⎡+∞⎣.（2）假设同时存在实数a 和正整数n 满足条件,函数()()g x f x a =-在[]0,n π上恰有2019个零点,即函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2019个交点 当[]0,x π∈时,92,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, ①当a >a <,函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上无交点,②当a =a =,函数()y f x =与直线y a =在[0,]π上仅有一个交点,此时要使函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2019个交点,则2019n =; ③当1a <或1a <<时,函数()y f x =与直线y a =在[0,]π上有两个交点,此时函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上有偶数个交点,不可能有2019个交点,不符合;④当1a =时,函数()y f x =与直线y a =在[0,]π上有2个交点,此时要使函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2019个交点,则1009n =; 综上所述,存在实数a 和正整数n 满足条件:当a =,2019n =;当a =,2019n =; 当1a =时,1009n =. 【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数和求函数交点个数问题.掌握函数的单调性的应用和函数的最值求法,数形结合是解题关键,考查等价转化思想方法与分析能力,属于中档题.。
2023-2024学年安徽省安庆市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年安徽省安庆市高一上册期末数学试题一、单选题1．集合{}N 5215A x x =∈-<-<的子集个数为（）．A ．4B ．7C ．8D ．16【正确答案】C【分析】解出集合A ，再计算集合的子集个数.【详解】因为{}{}{}N |5215N|230,1,2A x x x x =∈-<-<=∈-<<=，所以该集合的子集的个数为328=，故选：C ．2．命题“5x ∀>，5log 1x >”的否定是（）．A ．5x ∀>，5log 1x ≤B ．05x ∃>，50log 1x ≤C ．5x ∀≤，5log 1x ≤D ．05x ∃≤，50log 1x ≤【正确答案】B【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】含全称量词的命题的否定是含存在量词的命题，命题“5x ∀>，5log 1x >”的否定是05x ∃>，50log 1x ≤．故选：B ．3．下列各式中，与5πsin 3的值相等的是（）．A ．πcos6B ．2πsin3C ．4πsin3D ．7πsin3【正确答案】C【分析】结合诱导公式求出各三角函数值后可得．【详解】因5ππsin sin 33=-=πcos 6=，2πsin 3=4ππsin sin 33=-=-7ππsinsin 332==，故选：C ．4．“角α是第三象限角”是“sin tan 0αα⋅<”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可.【详解】当角α是第三象限角时，sin 0α<，tan 0α>，于是sin tan 0αα⋅<，所以充分性成立；当2sin sin tan 0cos αααα⋅=<，即cos 0α<时，角α是第二或第三象限角，所以必要性不成立，故选：A ．5．已知函数()11cos 33xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则其图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】计算函数值(π)f 后可得．【详解】由条件知()ππ1111πcos π03333f ⎛⎫⎛⎫=+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 符合，其它均不符合，故选：A ．6．已知tan 2a =，31log 3b =，20.99c =-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b<c<a【正确答案】A【分析】结合正切函数性质、指数函数性质，借助中间值1-比较可得．【详解】因23πtan 2tan 10.990.98014a b c =<=-=<=-=-，故选：A ．7．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m/s ）与3log 100x成正比，其中x 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速为1.5m/s ．若一条鲑鱼的游速提高了1m/s ，则它的耗氧量的单位数是原来的（）倍．A ．4B ．8C ．9D ．27【正确答案】C【分析】根据初始值求得比例系数k ，然后设原来的耗氧量的单位数为1x ，提速后的耗氧量的单位数为2x ，由速度差列等式求解．【详解】根据条件设3log 100x v k =，当2700x =时， 1.5v =，代入得327001.5log 3100k k ==，解得12k =，所以31log 2100x v =，设原来的耗氧量的单位数为1x ，提速后的耗氧量的单位数为2x ，则2123331111log log log 1210021002x x xx -==，所以22139x x ==，故选：C ．8．已知函数()ln 2f x x x =+-的零点为0x ，则下列说法错误的是（）．A ．()01,2x ∈B ．020e ex x =C ．()0021xx -<D ．0201x x -<【正确答案】D【分析】由零点存在定理及单调性确定零点0(1,2)x ∈，再利用零点的性质结合对数函数与指数函数性质判断各选项．【详解】由条件知函数()f x 在其定义域内单调递增，所以其最多有一个零点，又()110f =-<，()2ln 20f =>，于是()01,2x ∈，A 正确；所以000l 2n x x +-=，整理得()0000ln ln e ln e 2x x x x +==，所以020e e x x =，B 正确；因()01,2x ∈，所以()020,1-∈x ，于是()0021xx -<，0201x x ->，C 正确，D 错误，故选：D ．二、多选题9．下列各式中，其中运算结果正确的是（）．A π4=-B ．()233log 937⨯=C ．lg 4lg 252+=D ．42log 9log 3=【正确答案】BCD【分析】利用开偶次方的性质以及对数的运算性质逐项分析即可.【详解】A π44π=-=-，A 错误；B 选项：()23733log 93log 37⨯==，B 正确；C 选项：2lg 4lg 25lg100lg102+===，C 正确；D 选项：22422log 9log 3log 3==，D 正确．故选：BCD ．10．已知函数()πtan 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列叙述中，正确的是（）．A ．函数()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()y f x =的最小正周期为π2D ．函数()y f x =是偶函数【正确答案】AB【分析】由正切函数性质判断AB ，利用特殊值及周期性、奇偶性的定义判断CD ．【详解】π()tan 004f -==，A 正确；ππ(,44x ∈-时，ππ(0,)42x +∈，因此此时()f x 递增，B 正确；π(04f -=，但π()4f 不存在，C ，D 均不正确，故选：AB ．11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C ．函数()f x 图象向右平移π6个单位可得函数2sin y x =的图象D ．若方程()()R f x m m =∈在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上有两个不等实数根1x ，2x ，则()121cos 2x x +=．【正确答案】AB【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．【详解】由图可知2A =，πππ43124T =-=，所以2ππT ω==，于是A 正确，所以2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，将点π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=+，Z k ∈，又2πϕ<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，因为5π5ππ2sin 21263f ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为最小值，所以函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称，故B 正确；对于C ，将函数()f x 图象向右平移π6个单位，可得函数ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 错误；对于D ，由条件结合图象可知12π212x x +=，于是12π6x x +=，所以()12πcos cos 6x x +==故D 错误．故选：AB ．12．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则下列关于函数()y f x =的判断中，其中正确的判断是（）．A ．函数()y f x =的最小正周期为4B ．11124f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()y f x =在[]2,4上单调递增D ．不等式()0f x ≥的解集为[]()4,42Z k k k +∈．【正确答案】ABD【分析】由奇函数的性质与对称性得出函数的周期性，结合周期性、奇偶性、对称性及函数在[0,1]上的解析式可得函数的性质，从而判断各选项．【详解】由()()11f x f x +=-得()()2f x f x +=-，于是()()()()()422f x f x f x f x f x +=--=-+=--=，所以函数()y f x =的最小正周期为4，A 正确；211311122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 正确；()f x 在[0,1]上递增，由()f x 是奇函数得()f x 在[1,0]-上递增，即在[1,1]-上递增，又()f x 图象关于直线1x =对称（∵(1)(1)f x f x +=-），因此()f x 在[1,3]上递减，而()f x 是周期为4的周期函数，因此()f x 在[3,5]上递增，C 错误；由选项C 的讨论，可得到不等式()0f x ≥的解集为[]()4,42Z k k k +∈，D 正确．故选：ABD ．三、填空题13．已知23x =，则2222x x -+=________．【正确答案】829##199【分析】根据指数幂的运算法则计算即可．【详解】由已知得()()22221822222999x x xx --+=+=+=．故829．14．已知函数11x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点P ，且点P 在角α的终边上，则sin cos αα=________．【正确答案】25-【分析】先由指数型函数过定点的性质求得P 的坐标，再利用三角函数的定义即可求得sin ,cos αα，从而得解.【详解】因为函数11x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点P ，令10x +=，则1,2x y =-=，所以()1,2P -，于是sin α===cos α=-所以2sin cos 555αα⎛==- ⎝⎭．故答案为.25-四、双空题15．已知幂函数()23my m x =-在()0,∞+上单调递增，则实数m =________；函数()212log y x mx =-+的单调递增区间为________．【正确答案】2[)1,2（或()1,2）【分析】先利用幂函数的定义与单调性求得m 的值，再利用对数函数与复合函数的单调性即可求得()212log y x mx =-+的单调递增区间.【详解】因为()23my m x =-是幂函数，所以231m -=，解得2m =±，又()23my m x =-在()0,∞+上单调递增，所以0m >，则2m =；于是()()221122log log 2y x mx x x =-+=-+，由220x x -+>，解得02x <<，则()212log 2y x x =-+的定义域为()0,2，又()2221x x x μ=-+=--，其开口向下，对称轴为1x =，所以22x x μ=-+在(]0,1（或()0,1）上单调递增，在[)1,2（或()1,2）上单调递减，又12log y μ=在其定义域内单调递减，所以()212log y x mx =-+的单调递增区间为[)1,2（或()1,2）．故2；[)1,2（或()1,2）．五、填空题16．已知a ，b ，c 均为正实数，且1a b +=，则3241ac c b ab c +++的最小值为________．【正确答案】18【分析】先化简提公因式再应用1a b +=，a ，b 应用基本不等式，()246161c c ++-+再应用基本不等式，确定取等条件成立取得最小值即可.【详解】由条件知()232432411a b ac c a c b ab c b ab c ⎡⎤+++=++⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()4242424242266161111a b c c c c b a c c c c ⎛⎫⎛⎫=+++≥+=+=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭618≥-=，当且仅当4a b b a =，()24611c c +=+，又因为1a b +=，即13a =，23b =，1c =时，3241ac c b ab c +++的最小值为18．故18.六、解答题17．已知集合{}25,R A x x x a a =-≤∈，集合{}2log 1B x x =≤．(1)当4a =-时，求A B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)[]1,2A B = (2)[)0,a ∈+∞．【分析】（1）解不等式确定集合,A B ，然后由交集定义计算；（2）由并集的结论得B A ⊆，转化为25a x x ≥-对(]0,2x ∀∈恒成立，求出25x x -在2(]0,x ∈时的取值范围后可得参数范围．【详解】（1）当4a =-时，2540x x -+≤，解得14x ≤≤，所以[]1,4A =,{}(]2log 10,2B x x =≤=，所以[]1,2A B = ．（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，又(]0,2B =，所以25a x x ≥-对(]0,2x ∀∈恒成立，当(]0,2x ∈时，[)2252556,024x x x ⎛⎫-=--∈- ⎪⎝⎭．所以0a ≥，于是实数a 的取值范围为[)0,a ∈+∞．18．已知函数()2f x x bx c =++（b ，c ∈R ）是定义在R 上的偶函数，且满足()104f f ⎡⎤=-⎣⎦．(1)求函数()f x 的解析式；(2)试判断函数()()()023axg x a f x =>+在[)1,+∞上的单调性并证明．【正确答案】(1)()212f x x =-(2)函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，证明见解析【分析】（1）由偶函数的定义，利用恒等式知识求解；（2）根据单调性的定义证明．【详解】（1）由条件可知()()f x f x -=，即()()22x b x c x bx c -+-+=++对任意的x ∈R 恒成立，所以0b =．于是()2f x x c =+，所以()()2104f f f c c c ⎡⎤==+=-⎣⎦，解得12c =-，所以函数()f x 的解析式为()212f x x =-．（2）由（1）可知()()22322ax axg x f x x ==++，当0a >时，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减．证明如下：设1x ∀，[)21,x ∈+∞且12x x <，所以()()()()()()()()()()221221211212122222221212121112222211211a x x x x a x x x x ax ax g x g x x x x x x x ⎡⎤+-+--⎣⎦-=-==++++++，因121x x ≤<，所以210x x ->，1210x x ->，()()2212110x x ++>，又0a >，所以()()120g x g x ->即()()12g x g x >，因此当0a >时，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减．19．在△ABC 中，3tan 4A =-．(1)求()sin B C +，()cos B C +的值；(2)求sincos 22sin cos22AAAA +-的值．【正确答案】(1)()3sin 5B C +=，()4cos 5B C +=(2)2【分析】（1）由同角间的三角函数关系求得sin ,cos A A ，再由诱导公式可得结论；（2）由正切的二倍角公式求得tan 2A，然后由弦化切求值．【详解】（1）由3tan 04A =-<知角A 为钝角，所以sin 0A >，cos 0A <因sin 3tan cos 4A A A ==-，22sin cos 1A A +=，解得3sin 5A =，4cos 5A =-，于是()()3sin sin πsin 5B C A A +=-==，()()4cos cos πcos 5B C A A +=-=-=．（2）由22tan32tan 41tan 2AA A ==--，整理得23tan 8tan 3022A A --=，解得tan 32A =或1tan 23A =-，因ππ422A <<，所以tan 32A =．所以sin cos tan 131222231sin cos tan 1222A A A A A A +++===---．20．已知函数()e e 2x x f x --=，()e e 2x x g x -+=，其中e 是自然对数的底数．(1)求证：()()()222g x f x g x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(2)求函数()()()722h x g x g x =-的零点．【正确答案】(1)证明见解析(2)零点为(ln 2，(ln 2-．【分析】（1）分别计算(2)g x 和22[()][()]f x g x +可证；（2）用换元法解方程()0h x =可得．【详解】（1）由条件知()22e e 22x xg x -+=，()()2222222222e e e e e 2e e 2e e e 22442x x x x x x x x x xf xg x -----⎛⎫⎛⎫-+-++++⎡⎤⎡⎤+=+=+= ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以()()()222g x f x g x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．（2）因()()()()22222e e 222e e221222x xx x g x g x g x --+-⎡⎤-+⎣⎦⎡⎤====-⎣⎦，令()0h x =，则()()272102g x g x ⎡⎤--=⎣⎦即()()24720g x g x ⎡⎤--=⎣⎦，即()()2410g x g x ⎡⎤⎡⎤-⋅+=⎣⎦⎣⎦，解得()2g x =或()14g x =-，又()e e 12x xg x -+==，当且仅当e e x x -=，即0x =时取等号，所以()2g x =，于是e e 22x x-+=整理得2e 4e 10x x -+=，于是e 2x =+e 2x =-，解得(ln 2x =或(ln 2x =，所以函数()()()722h x g x g x =-的零点为(ln 2，(ln 2．21．2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如期开幕，全球32支参赛队伍，将在64场比赛中争夺世界足球的最高荣誉大力神杯！某体育用品商店借此良机展开促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示：x（万元）235y（万元）145494(1)根据表中数据，分别用模型()logay x m b=++（0a>且1a≠）与y d=建立y 关于x的函数解析式；(2)已知当9x=时， 3.3y=，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．（参考数据：7.55≈）【正确答案】(1)()()21log124y x x=-+≥，()124y x=-≥(2)选用模型()()21log124y x x=-+≥更合理，理由见解析【分析】（1）根据已知数据列方程组求解即得；（2）9x=代入两个模型计算后比较可得．【详解】（1）若选用()logay x m b=++，则依题意可得()()()1log245log349log54aaam bm bm b⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得2a=，1m=-，14b=，则()()21log124y x x=-+≥．若选用yd=+，则依题意可得145494ddd⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得c=158n=-，14d=-，则()124y x =≥．（2）对于函数()21log 14y x =-+，当9x =时，13 3.254y ==（万元）；对于函数14y =，当9x =时，1 3.5254y =≈（万元）；因3.525 3.3 3.25 3.3->-，所以选用模型()()21log 124y x x =-+≥更合理．22．已知函数()()2sin 2cos R f x x x a a =-+∈，且满足________．从①函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 的图象经过点π3⎛ ⎝．这三个条件中任选一个补充到上面的横线上，并解答下面的问题：(1)求实数a 的值并求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知函数()()22lg lg R g x x m x m m =--∈，若对任意的1ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]21,100x ∈，使得()()12f x g x ≤，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)a =()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)[]3,1-．【分析】（1）由二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，选①，由π(06f =求得a ，再由正弦函数性质得单调增区间；选②，由结合正弦函数的最大值求得a ，再由正弦函数的单调性求得增区间；选③，由π()3f =a ，再由正弦函数的单调性得增区间；（2）求出(),()f x g x 的最大值，由()()max max f x g x ≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦可得参数范围．【详解】（1）由条件知())2sin 22cos 1f x x x a=--sin 22x x a =--π2sin 23x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭若选①，则π06f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得a =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．若选②，则函数()f x 的最大值为22a +=，解得a =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．若选③，则πππ2sin 2333f a a ⎛⎫⎛⎫=⨯-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以a =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由题意可知只需()()max max f x g x ≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即可．当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此函数()f x 的最大值为1．令lg x t =，则[]0,2t ∈，则()22g x t mt m=--当12m ≤即2m ≤时，函数()g x 的最大值为242m m --，于是2421m m --≥，整理得2230m m +-≤，解得31m -≤≤，均满足2m ≤，所以31m -≤≤；当12m >即>2m 时，函数()g x 的最大值为2m -，于是21m -≥，无实解；综上所述，实数m 的取值范围为[]3,1-．。
2023-2024学年安徽省安庆一中高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省安庆一中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本题共8小题总分40分） 1．sin600°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√322．函数f(x)=√log 2(1−x)的定义域是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（0，+∞）C ．（0，1）D ．（﹣∞，0]3．已知集合A ＝{x ∈Z |﹣1≤x ＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．（0，4）4．若x 1=π4，x 2=3π4是函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（ ）A ．2B ．32C ．1D ．125．函数f （x ）=1+e x1−e xcos x 的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．6．“关于x 的不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．0＜a ＜12D ．a ＞27．已知ω＞0，函数f(x)=3sin(ωx +π4)−2在区间[π2，π]上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，12]B ．（0，2]C ．[12，34]D ．[12，54]8．已知函数f （x ）={log 2(x +2)，−2＜x ≤0x 2−2x +1，x ＞0，若函数g （x ）＝[f （f （x ））]2﹣（a +1）•f （f （x ））+a （a ∈R ）恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1）B ．[0，1]C ．（0，+∞）D ．[0，+∞）二、多选题（本题共4小题总分20分） 9．下列说法不正确的是（ ）A ．命题p ：∃x ∈R 使得x 2+2x +3＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +3＞0B ．若g （x ）是奇函数，则一定有g （0）＝0C ．已知函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)ax (x ＞1)在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[﹣3，﹣1]D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]10．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．φ=π3B ．函数f （x ）的图象关于(16，0)对称C ．函数f （x ）在[16，23]的值域为[﹣2，5]D ．要得到函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象，可将函数f （x ）的图象向左平移14个单位11．下列式子中最小值为4的是（ ） A ．sin 2x +4sin 2xB ．2x +22﹣xC ．8+log 2(2x)⋅log 2x8D ．1sin 2x +1cos 2x12．已知f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，则（ ）A ．若f （x +1）+f （1﹣x ）＝2，则f （x ）的图象关于点（1，1）中心对称B ．函数y ＝f （x ﹣1）与y ＝f （1﹣x ）的图象关于y 轴对称C ．若g （x +1）＝﹣g （x ），则函数g （x ）是周期函数，其中一个周期T ＝2D ．若方程x ﹣g （f （x ））＝0有实数解，则f （g （x ））不可能是x 2+x +1 三、填空题（本题共4小题总分20分） 13．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m﹣1在区间（0，+∞）上单调递增，则m ＝ ．14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°，若m 2+n ＝4，则m+√nsin63°= ．．15．对于函数f （x ），若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f （x ）为“倒戈函数”，设函数f （x ）＝3x +tan x ﹣2m +1（m ∈R ）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是 ． 16．对于函数f （x ），如果存在区间[m ，n ]，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调的；②当f （x ）的定义域是[m ，n ]时，f （x ）的值域是[3m ，3n ]，则称[m ，n ]是该函数的“倍值区间”．若函数f(x)=√x +1+a 存在“倍值区间”，则a 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共6小题总分70分）17．（10分）（1）求(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+√1.53×√126×√3的值； （2）已知2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1，α∈(−32π，−π)，求2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9cosα的值．18．（12分）设函数f(x)=cos(2x +π3)+2sin 2x ．（1）求函数f （x ）的对称中心；（2）若α∈(π4，π2)，且f(α)=25，求sin2α的值．19．（12分）已知函数f(x)=xx 2+4． （1）判断f （x ）在[﹣2，2]上的单调性，并用定义证明；（2）设g （x ）＝kx 2+2kx +1（k ≠0），若对任意的x 1∈[﹣2，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数k 的取值范围．20．（12分）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC （AC ＞5米）的C 点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE ．如图所示，广告牌底部点E 正好为DC 的中点，电梯AC 的坡度∠CAB ＝30°．某人在扶梯上点P 处（异于点C ）观察广告牌的视角∠DPE ＝θ．当人在A 点时，观测到视角∠DAE 的正切值为√39． （1）求扶梯AC 的长；（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP 的长．21．（12分）设定义域为R 的奇函数f(x)=2−a−2x2x+1+2a，（其中a 为实数）．（1）求a 的值；（2）是否存在实数k 和x ∈[﹣1，3]，使不等式f （x 2﹣kx ）+f （2﹣x ）＞0成立？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）设m 为给定的实常数，若函数y ＝f （x ）在其定义域内存在实数x 0，使得f （x 0+m ）＝f （x 0）+f （m ）成立，则称函数f （x ）为“G （m ）函数”．（1）若函数f （x ）＝2x 为“G （2）函数”，求实数x 0的值； （2）证明：函数h （x ）＝2x +x 2为“G （1）函数”； （3）若函数f(x)=lg ax 2+1为“G （1）函数”，求实数a 的取值范围．2023-2024学年安徽省安庆一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题总分40分） 1．sin600°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32解：sin600°＝sin （720°﹣120°）＝﹣sin120°＝﹣sin （180°﹣60°）＝﹣sin60°=−√32，故选：D ．2．函数f(x)=√log 2(1−x)的定义域是（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（0，+∞）C ．（0，1）D ．（﹣∞，0]解：由{1−x ＞0log 2(1−x)≥0，得{1−x ＞01−x ≥1，解得x ≤0，所以函数的定义域为（﹣∞，0]．故选：D ．3．已知集合A ＝{x ∈Z |﹣1≤x ＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．（0，4）解：A ＝{x ∈Z |﹣1≤x ＜4}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{x |0≤x ≤4}，所以A ∩B ＝{0，1，2，3}． 故选：C ．4．若x 1=π4，x 2=3π4是函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（ ）A ．2B ．32C ．1D ．12解：∵x 1=π4，x 2=3π4是函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）两个相邻的极值点，∴T ＝2（3π4−π4）＝π=2πω∴ω＝2，故选：A ． 5．函数f （x ）=1+e x1−e xcos x 的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵f （﹣x ）=1+e −x 1−e −x •cos （﹣x ）=e x +1e x −1•cos x =−1+e x1−e xcos x ＝﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数，排除选项A 和C ；当0＜x ＜1时，e x ＞1，cos x ＞0，∴f （x ）＜0，排除选项B ， 故选：D ．6．“关于x 的不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．0＜a ＜12D ．a ＞2解：当a ＝0时，不等式化为﹣2x +1＞0，解得x ＜12，在R 上不恒成立；当a ≠0时，若不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 恒成立，则{a ＞0Δ=4−4a ＜0，解得a ＞1．综上所述，“关于x 的不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 上恒成立”的充要条件为“a ＞1”，因此，所求必要不充分条件，对应的范围应该真包含（1，+∞），对照各项可知A 项“a ＞0”符合题意． 故选：A ．7．已知ω＞0，函数f(x)=3sin(ωx +π4)−2在区间[π2，π]上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，12]B ．（0，2]C ．[12，34]D ．[12，54]解：由2kπ+π2≤wx +π4≤2kπ+3π2，k ∈Z ，得2kπw +π4w ≤x ≤2kπw +5π4w，k ∈Z ， 即函数的单调递减区间为[2kπw +π4w ，2kπw +5π4w]，k ∈Z ， 令k ＝0，则函数f （x ）其中一个的单调递减区间为：[π4w ，5π4w]， 函数f （x ）在区间[π2，π]内单调递减，则满足{5π4w ≥ππ4w ≤π2，得{ω≥12ω≤54，所以w 的取值范围是[12，54]． 故选：D ．8．已知函数f （x ）={log 2(x +2)，−2＜x ≤0x 2−2x +1，x ＞0，若函数g （x ）＝[f （f （x ））]2﹣（a +1）•f （f （x ））+a （a ∈R ）恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．[0，1]C ．（0，+∞）D ．[0，+∞）解：由g （x ）＝[f （f （x ））]2﹣（a +1）•f （f （x ））+a ＝0得[f （f （x ））﹣1][f （f （x ）﹣a ]＝0， 则f （f （x ））＝1或f （f （x ））＝a ，作出f （x ）的图象如图，则若f （x ）＝1，则x ＝0或x ＝2，设t ＝f （x ），由f （f （x ））＝1得f （t ）＝1， 此时t ＝0或t ＝2，当t ＝0时，f （x ）＝t ＝0，有两个根，当t ＝2时，f （x ）＝t ＝2，有1个根， 则必须有f （f （x ））＝a ，（a ≠1）有5个根， 设t ＝f （x ），由f （f （x ））＝a 得f （t ）＝a ，若a ＝0，由f （t ）＝a ＝0得t ＝﹣1，或t ＝1，f （x ）＝﹣1有一个根，f （﹣x ）＝1有两个根，此时有3个根，不满足条件．若a ＞1，由f （t ）＝a 得t ＞2，f （x ）＝t 有一个根，不满足条件． 若a ＜0，由f （t ）＝a 得﹣2＜t ＜﹣1，f （x ）＝t 有一个根，不满足条件． 若0＜a ＜1，由f （t ）＝a 得﹣1＜t 1＜0，或0＜t 2＜1或1＜t 3＜2，当﹣1＜t 1＜0时，f （x ）＝t 1，有一个根，当0＜t 2＜1时，f （x ）＝t 2，有3个根， 当1＜t 3＜2时，f （x ）＝t 3，有一个根，此时有1+3+1＝5个根，满足条件． 故0＜a ＜1，即实数a 的取值范围是（0，1）， 故选：A ．二、多选题（本题共4小题总分20分） 9．下列说法不正确的是（ ）A ．命题p ：∃x ∈R 使得x 2+2x +3＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +3＞0B ．若g （x ）是奇函数，则一定有g （0）＝0C ．已知函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)ax (x ＞1)在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[﹣3，﹣1]D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]解：根据题意，依次分析选项：对于A ，命题p ：∃x ∈R 使得x 2+2x +3＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +3≥0，故A 不正确； 对于B ，若奇函数g(x)=1x，x ＝0时，g （x ）无意义，故B 不正确；对于C ，已知函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)a x (x ＞1) 在 R 上是增函数，首先当x ＞1时，f(x)=ax单调递增，则a ＜0，其次当x ≤1时，f （x ）＝﹣x 2﹣ax ﹣5（对称轴为x =−a 2）单调递增，则−a2≥1，即a ≤﹣2，但若要保证函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)a x (x ＞1)在 R 上是增函数，还需满足−12−a ×1−5≤a1，即a≥﹣3，所以实数a 的取值范围是[﹣3，﹣2]，故C 不正确；对于D ，若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域满足﹣2≤2x ﹣1≤2，解得−12≤x ≤32，故D 正确． 故选：ABC ．10．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．φ=π3B ．函数f （x ）的图象关于(16，0)对称C ．函数f （x ）在[16，23]的值域为[﹣2，5]D ．要得到函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象，可将函数f （x ）的图象向左平移14个单位解：对于A ，由图可知A =2，T 4=13−112=14，所以T ＝1，又因为T =2πω， 所以ω＝2π，所以f （x ）＝2sin （2πx +φ）， 又函数图象最高点为(112，2)， 所以f(112)=2sin(π6+φ)=2，即sin(π6+φ)=1， 所以π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=π3+2kπ，k ∈Z ，由题意|φ|＜π2，所以只能k ＝0，此时φ=π3，故A 选项正确；对于B ，由A 选项分析可知f(x)=2sin(2πx +π3)，因为f(16)=2sin(π3+π3)=√3≠0，所以函数f （x ）的图象不关于(16，0)对称，故B 选项错误；对于C ，当x ∈[16，23]时，2πx ∈[π3，4π3]，所以t =2πx +π3∈[2π3，5π3]，而函数y ＝2sin t 在[2π3，3π2]上单调递减，在[3π2，5π3]上单调递增，所以当x ∈[16，23]时，−2=2×(−1)≤f(x)≤2×√32=√3，所以函数f （x ）在[16，23]的值域为[−2，√3]，故C 选项正确；对于D ，若将函数f(x)=2sin(2πx +π3)的图象向左平移14个单位，则得到的新的函数解析式为h （x ）＝2sin[2π（x +14）+π3]＝2sin[（2πx +π3）+π2]＝2cos （2πx +π3）＝g （x ），故D 选项正确． 故选：ACD ．11．下列式子中最小值为4的是（ ） A ．sin 2x +4sin 2xB ．2x +22﹣xC ．8+log 2(2x)⋅log 2x8D ．1sin 2x +1cos 2x解：对于A ：sin 2x +4sin 2x≥2|sinx|⋅|2sinx |=4，当且仅当|sinx|=|2sinx|，即当且仅当sinx =±√2时等号成立， 但sinx =±√2不成立，所以sin 2x +4sin 2x的最小值取不到4，故选项A 错误； 对于B ：因为2x ＞0，2﹣x ＞0，则2x +22−x ≥2√2x ⋅22−x =4， 当且仅当2x ＝22﹣x ，即x ＝1时，等号成立，所以2x +22﹣x的最小值为4，故选项B 正确；对于C ：8+log 2(2x)⋅log 2x=8+(1+log 2x)(log 2x −3)=log 22x −2log 2x +5=(log 2x −1)2+4，当x ＝2时，取得最小值4，故选项C 成立；对于D ：由题意sin 2x ＞0，cos 2x ＞0， 则1sin 2x+1cos 2x=(sin 2x +cos 2x )(1sin 2x+1cos 2x)=cos 2x sin 2x+sin 2x cos 2x+2≥2√cos 2x sin 2x ⋅sin 2x cos 2x+2=4，当且仅当cos 2x sin 2x=sin 2x cos 2x，即tan x ＝±1时，等号成立，故选项D 正确．故选：BCD ．12．已知f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，则（ ）A ．若f （x +1）+f （1﹣x ）＝2，则f （x ）的图象关于点（1，1）中心对称B ．函数y ＝f （x ﹣1）与y ＝f （1﹣x ）的图象关于y 轴对称C ．若g （x +1）＝﹣g （x ），则函数g （x ）是周期函数，其中一个周期T ＝2D ．若方程x ﹣g （f （x ））＝0有实数解，则f （g （x ））不可能是x 2+x +1解：对于A 选项，由f （x +1）+f （1﹣x ）＝2，得f （x +1）﹣1+f （﹣x +1）﹣1＝0，设F （x ）＝f （x +1）﹣1，则F （x ）+F （﹣x ）＝0，所以F （x ）是奇函数，图象关于（0，0）对称，所以根据函数图象变换的知识可知f （x ）的图象关于点（1，1）中心对称，A 选项正确；对于B 选项，y ＝f （x ）与y ＝f （﹣x ）的图象关于y 轴对称，所以y ＝f （x ﹣1）与y ＝f [﹣（x ﹣1）]＝f （1﹣x ）的图象关于直线x ＝1对称，B 选项错误；对于C 选项，g （x +2）＝g （x +1+1）＝﹣g （x +1）＝g （x ），所以g （x ）是周期函数，其中一个周期T ＝2，C 选项正确；对于D 选项，设x 0是方程x ﹣g （f （x ））＝0的一个解， 则x 0﹣g （f （x 0））＝0， 所以x 0＝g （f （x 0））， 所以f （x 0）＝f [g （f （x 0））]， 令t ＝f （x 0）， 则t ＝f （g （t ）），即方程x ＝f （g （x ））有解，当f （g （x ））＝x 2+x +1时，方程x ＝x 2+x +1无解，所以D 选项正确． 故选：ACD ．三、填空题（本题共4小题总分20分） 13．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m﹣1在区间（0，+∞）上单调递增，则m ＝ 3 ．解：m 2﹣2m ﹣2＝1，解得m ＝3或﹣1，当m ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣2，不满足在区间（0，+∞）上单调递增，舍去，当m ＝3时，f （x ）＝x 2，满足f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意， 故m ＝3． 故答案为：3．14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°，若m 2+n ＝4，则m+√nsin63°= 2√2 ．解：∵m ＝2sin18°，∴由m 2+n ＝4，得n ＝4﹣m 2＝4﹣4sin 218°＝4cos 218°， 则m+√n sin63°=2sin18°+2cos18°sin63°=2√2sin(45°+18°)sin63°=2√2sin63°sin63°=2√2，故答案为：2√215．对于函数f （x ），若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f （x ）为“倒戈函数”，设函数f （x ）＝3x +tan x ﹣2m +1（m ∈R ）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是： [1，43] ．解：因为函数f （x ）＝3x +tan x ﹣2m +1（m ∈R ）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”， 所以存在x 0∈[﹣1，1]，使f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）， 即−3x 0−tanx 0+2m −1=3−x 0+tan(−x 0)−2m +1， 即4m −2=3x 0+3−x 0，令t =3x 0，则t ∈[13，3]，所以4m −2=t +1t≥2，当且仅当t ＝1，即x 0＝0时取等号， 解得m ≥1，m ＝1时，存在两点关于原点对称，∴m ≥1， 当t =13或t ＝3时，(4m −2)max =3+13=103，解得m ≤43，所以1≤m ≤43．故答案为：[1，43]．16．对于函数f （x ），如果存在区间[m ，n ]，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调的；②当f （x ）的定义域是[m ，n ]时，f （x ）的值域是[3m ，3n ]，则称[m ，n ]是该函数的“倍值区间”．若函数f(x)=√x +1+a 存在“倍值区间”，则a 的取值范围是 (−3712，−3] ． 解：由函数f(x)=√x +1+a 单调递增，且函数f （x ）存在“倍值区间”， 存在﹣1≤m ＜n ，使得{3m =√m +1+a3n =√n +1+a，设{u =√m +1≥0v =√n +1＞0，则0≤u ＜v ，且{m =u 2−1n =v 2−1，所以{3u 2−u −3−a =03v 2−v −3−a =0，因此二次函数g （x ）＝3x 2﹣x ﹣3﹣a 在[0，+∞）上有两个零点u ，v 且u ＜v ， 则{g(0)=−3−a ≥012×3＞0Δ=1+12(3+a)＞0，解得−3712＜a ≤−3． 故答案为：(−3712，−3]． 四、解答题（本题共6小题总分70分）17．（10分）（1）求(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+√1.53×√126×√3的值； （2）已知2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1，α∈(−32π，−π)，求2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9cosα的值．解：（1）(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+√1.53×√126×√3=lg2(lg2+lg50)+2lg5+313×2−13×316×213×312=lg2×lg100+2lg5+313+16+12=2(lg2+lg5)+3=2×lg10+3=5.（2）因为2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1， 所以cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α+cos 2α﹣1＝0，所以cos 2α+3cos αsin α﹣4sin 2α＝0⇒（cos α﹣sin α）（cos α+4sin α）＝0， 所以cos α＝sin α或cos α＝﹣4sin α，即tan α＝1或tanα=−14，又α∈(−32π，−π)，α为第二象限角，所以tan α＜0，所以tanα=−14；所以2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9cosα=2sinα−3cosα4sinα−9cosα=2tanα−34tanα−9=2×(−14)−34×(−14)−9=720． 18．（12分）设函数f(x)=cos(2x +π3)+2sin 2x ．（1）求函数f （x ）的对称中心；（2）若α∈(π4，π2)，且f(α)=25，求sin2α的值．解：（1）f(x)=12cos2x −√32sin2x +1−cos2x =−sin(2x +π6)+1，由2x +π6=kπ，得x =kπ2−π12，k ∈Z ， 所以f （x ）的对称中心为(kπ2−π12，1)，k ∈Z ； （2）由f(α)=25，得1−sin(2α+π6)=25，即sin(2α+π6)=35，由α∈(π4，π2)，2α+π6∈(23π，76π)，知cos(2α+π6)=−45，所以sin2α=sin[(2α+π6)−π6]=sin(2α+π6)cos π6−cos(2α+π6)sin π6=35⋅√32−(−45)⋅12=3√3+410．19．（12分）已知函数f(x)=xx 2+4． （1）判断f （x ）在[﹣2，2]上的单调性，并用定义证明；（2）设g （x ）＝kx 2+2kx +1（k ≠0），若对任意的x 1∈[﹣2，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）设﹣2≤x 1＜x 2≤2， f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x 2x 22+4=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4)， 因为﹣2≤x 1＜x 2≤2，所以x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＜4⇒x 1x 2﹣4＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0， 即f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在[﹣2，2]单调递增；（2）由于对任意的x 1∈[﹣2，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立， 所以函数f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集，由（1）知f （x ）在[﹣2，2]单调递增，f(−2)=−14，f(2)=14，所以f （x ）的值域为[−14，14]，当k ＞0时，g （x ）在[﹣1，2]单调递增，g （﹣1）＝1﹣k ，g （2）＝8k +1， 所以g （x ）∈[1﹣k ，8k +1]，由{1−k ≤−1414≤8k +1，解得：k ≥54， 当k ＜0时，g （x ）在[﹣1，2]单调递减，g （﹣1）＝1﹣k ，g （2）＝8k +1， 所以g （x ）∈[8k +1，1﹣k ]，由{8k +1≤−1414≤1−k ，解得：k ≤−532， 综上所述，k ∈（﹣∞，−532]∪[54，+∞）．20．（12分）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC （AC ＞5米）的C 点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE ．如图所示，广告牌底部点E 正好为DC 的中点，电梯AC 的坡度∠CAB ＝30°．某人在扶梯上点P 处（异于点C ）观察广告牌的视角∠DPE ＝θ．当人在A 点时，观测到视角∠DAE 的正切值为√39． （1）求扶梯AC 的长；（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP 的长．解：（1）设|BC |＝a ．∵∠CAB ＝30°，则|AB |=√3a ． tan ∠EAB =5+b 3b ，tan ∠DAB =10+b3b． ∴tan ∠DAE =√39=tan （∠DAB ﹣∠EAB ）=√3b −√3b 1+10+b √3b ⋅5+b √3b．化为：2b 2﹣15b +25＝0，解得b ＝5或52．∵AC ＞5．∴b ＝5．∴AC ＝10．（2）设AP →=k AC →，A （﹣5√3，0），C （0，5）． 则P （5√3k ﹣5√3，5k ）．（0≤k ≤1）． 作PF ⊥BC ，垂足为F 点，则F （0，5k ）． ∴tan ∠DPF =DF PF =15−5k 5√3(1−k)，tan ∠EPF =EF PF =10−5k5√3(1−k)． tan θ＝tan （∠DPF ﹣∠EPF ）=tan∠DPF−tan∠EPF1+tan∠DPFtan∠EPF =√3(1−k)4k 2−11k+9=f （k ），f ′（k ）=2√3(2k 2−4k+1)(4k 2−11k+9)2，k =2−√22时， f （k ）取得最大值，CP =√(5√3k −5√3)2+(5k −5)2=10（1﹣k ）＝5√2．21．（12分）设定义域为R 的奇函数f(x)=2−a−2x2x+1+2a，（其中a 为实数）．（1）求a 的值；（2）是否存在实数k和x∈[﹣1，3]，使不等式f（x2﹣kx）+f（2﹣x）＞0成立？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由f（x）是定义在R的奇函数，则有f（0）＝0，得a＝1，把a＝1代入函数得f(x)=1−2x2x+1+2，而f(−x)=1−2−x2−x+1+2=(1−2−x)2x(2−x+1+2)2x=2x−12+2x+1=−f(x)，所以a＝1符合题意；（2）f(x)=1−2x2x+1+2=−2x−1+22(2x+1)=−12+12x+1，因为函数2x+1＞0且在R单调递增，所以y=12x+1在R上单调递减，从而f（x）在R上单调递减．f（x2﹣kx）+f（2﹣x）＞0⇔f（x2﹣kx）＞f（x﹣2），因为f（x）在R上单调递减．得x2﹣kx＜x﹣2，即x2﹣（k+1）x+2＜0，令f（x）＝x2﹣（k+1）x+2，x∈[﹣1，3]，则依题意只需g（x）min＜0，易得g（x）的对称轴是x=k+1 2，①当k+12≥3，即k≥5时，g（x）在[﹣1，3]上单减，g（x）min＝g（3）＝8﹣3k＜0，即k＞83，所以k≥5；②当−1＜k+12＜3，即﹣3＜k＜5时，由g(x)min=g(k+12)=2−(k+1)24＜0，解得：k＜−1−2√2或k＞−1+2√2，所以−1+2√2＜k＜5；③当k+12≤−1，即k≤﹣3时，g（x）在[﹣1，3]上单增，g（x）min＝g（﹣1）＝4+k＜0，即k＜﹣4，所以k＜﹣4，综上知：存在实数k∈(−∞，−4)∪(−1+2√2，+∞)满足题设．22．（12分）设m为给定的实常数，若函数y＝f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+m）＝f（x0）+f（m）成立，则称函数f（x）为“G（m）函数”．（1）若函数f（x）＝2x为“G（2）函数”，求实数x0的值；（2）证明：函数h（x）＝2x+x2为“G（1）函数”；（3）若函数f(x)=lgax2+1为“G（1）函数”，求实数a的取值范围．解：（1）由f（x）＝2x为“G（2）函数”，得f（x0+2）＝f（x0）+f（2），即2x0+2=2x0+22，解得x0=log243，故实数x0的值为log243．（2）证明：由h（x）＝2x+x2，则ℎ(x0+1)=2x0+1+(x0+1)2，ℎ(x0)+ℎ(1)=2x0+x02+3，令2x0+1+(x0+1)2=2x0+x02+3，得2x0=−2x0+2，设y＝2x，g（x）＝﹣2x+2，如图可知，两函数由一个交点，即存在实数x0，使得h（x0+1）＝h（x0）+h（1）成立，所以函数h（x）＝2x+x2为“G（1）函数”．（3）函数f(x)=lgax2+1有意义，则a＞0，定义域为R，因为函数f(x)=lgax2+1为“G（1）函数”，所以存在实数x0使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，即存在实数x0使得lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2，所以存在实数x0使得2x02+2(x0+1)2+1=a成立，即(a−2)x02+2ax0+2a−2=0，所以当a＝2时，x0=−12，满足题意；当a≠2时，Δ＝4a2﹣4（a﹣2）（2a﹣2）≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得3−√5≤a≤3+√5且a≠2，所以实数a的取值范围是[3−√5，3+√5]．。
2023—2024学年安徽省部分学校高一上学期期末质量检测数学试卷
2023—2024学年安徽省部分学校高一上学期期末质量检测数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知幂函数的图象经过点，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 若，则为（）A．第一、二象限角B．第二、三象限角C．第一、三象限角D．第一、四象限角(★★) 4. 已知函数是奇函数，则（）A．B．1C．D．2(★★) 5. 函数的值域为（）A．B．C．D．(★★★) 6. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，）A．33B．35C．37D．39(★★) 7. 已知函数，则（）A．4047B．4048C．4049D．4050(★★★) 8. 已知数若且，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 已知，则下列结论成立的是（）A．B．若．则C．若，则D．(★★★) 10. 下列计算结果正确的是（）A．B．C．若，则D．若，则(★★★)11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．的一个单调递增区间为C．函数的图象关于点对称D．若函数在上没有零点，则(★★★) 12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，有一个用其名字命名的“高斯函数”；设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如，则下列说法正确的是（）A．是周期函数B．函数在区间上单调递增C．关于x的不等式的解集为D．若函数，则函数的值域是三、填空题(★) 13. 已知集合，，若，则的取值范围是 ______ .(★★) 14. 已知实数m，n满足，则 _________ .(★★) 15. 已知，则 _________ .(★★★) 16. 已函数则函数的零点个数为 _________ .四、解答题(★★★)17. 设函数的定义域为集合A，集合．(1)求；(2)设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围.(★★★) 18. 已知，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．(1)求(2)设函数，求的最小正周期．(★★★) 19. （1）已知正数a，b满足，若．求的最小值；（2）求的解集．(★★★) 20. 已知函数分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足．(1)求的解析式；(2)设函数，求在上的最小值，并求对应的的值．(★★★) 21. 对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中.(1)若是函数的好区间，求实数m，n的值；(2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围.(★★★) 22. 已知函数在区间上单调递增，且直线和为函数的图象的两条对称轴．(1)求的一个解析式；(2)将的的象先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数p的取值范围．。
安徽省安庆市高一上学期期末教学质量调研检测数学---精校精品解析Word版
安庆市高一年级第一学期期末教学质量调研检测数学试题一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1.设集合集合，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合A，B，然后求交集即可.【详解】集合,集合,∴故选：D【点睛】本题考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．2.已知角的终边经过点，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【详解】解：角α的终边经过点，则sinα，故选：B．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.已知函数则A. 3B. 1C. -1D. -2【答案】C【解析】【分析】根据函数的表达式求出f（16）和f（）的值，求和即可．【详解】∵函数∴，∴故选：C【点睛】本题考查了求函数值问题，考查分段函数，是一道基础题．4.式子的符号为A. 正B. 负C. 零D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】先判断所给角位于的象限，进而判断正负即可.【详解】∵弧度为第一象限角，弧度为第二象限角，弧度为第三象限角，∴∴故选：B【点睛】本题考查三角函数值的符号，及角所在象限的判断，属于基础题.5.下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二分法求函数零点的条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x轴，分析选项可得答案．【详解】解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有A、C、D能满足此条件，B不满足．故选：B．【点睛】本题考查二分法的定义，体现了数形结合的数学思想，是一道基础题．6.已知一扇形的半径为2，弧长为4，则此扇形的圆心角的弧度数和此扇形的面积分别为A. 2，4B. 4，4C. 2，8D. 4，8【答案】A【解析】【分析】由弧长公式及扇形面积公式得到结果.【详解】∵一扇形的半径为2，弧长为4，∴此扇形的圆心角的弧度数为，此扇形的面积为，故选：A【点睛】本题考查扇形面积公式及弧长公式，考查熟练掌握公式及灵活转化运算的能力，属于中档题．7.函数的定义域是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】解：函数，∴，解得，即﹣1＜x≤2且x≠0；∴f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，2]．故选：C．【点睛】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．8.已知角满足，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系把要求的式子化为，计算求得结果．【详解】由题意可得，∴，故选：D【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，考查弦化切的方法，属于基础题．9.函数的大致图象是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】去掉绝对值，根据函数的单调性即可判断．【详解】解：当x＞0时，y＝a x，因为，所以函数y＝a x单调递减，当x＜0时，y＝﹣a x，因为，所以函数y＝﹣a x单调递增，故选：A．【点睛】本题考查了函数图象和识别，关键掌握函数的单调性，属于基础题10.若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先跟别判断出所在的范围，然后再比较大小．详解：∵，∴．∴，∴．故选A．点睛：比较幂和对数的大小时，由于面对的是两类不同的数，因此比较时可先判定出数所在的范围，从而可得大小关系；若仍无法比较，则选取适当的中间量（如0或1），根据各数与中间量的大小关系得到所求结论．11.若函数的图象的一部分如图（1）所示，则图（2）所对应的的函数解析式可以是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】观察图象确定函数的周期的变化，以及图象的平移，即可确定选项．【详解】解：由图1和图2可知：函数的周期减半，就是f（x）→f（2x），图1→图2说明图象向右平移单位，得到y＝f（2x﹣1）的图象．故选：B．【点睛】本题考查函数图象的变换，涉及到横坐标的伸缩变换及左右平移变换，属于基础题.12.已知函数，若满足，则下列结论正确的是A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称C. 函数在区间上单调递增D. 存在，使函数为偶函数【答案】C【解析】【分析】根据函数f（x）的性质，求出f（x）的解析式，利用解析式判断选项中的命题是否正确即可．【详解】∵函数的最大值为1，又，∴与对应函数的最大值1∴，，即，又∴，，∴，又∴，故当时，，∴A错误；当时，，∴B错误；当时，，∴函数在区间上单调递增，∴C正确；若函数为偶函数，则，即，∴，当k=0时，，当k时，，∴不存在，使函数为偶函数，∴D错误.故选：C【点睛】本题考查正弦型函数解析式的确定，正弦型函数的图象与性质，属于中档题.二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上）13.函数的最小正周期为_______________.【答案】【解析】【分析】利用正切函数的周期公式即可解决问题．【详解】解：由正切函数的周期公式得：．故答案为：．【点睛】本题考查正切函数的周期性，易错点在于而不是，属于基础题．14.已知，则_________________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简条件与结论即可得到结果.【详解】由可得由，而故答案为：【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，属于基础题.15.定义域为的函数满足，且，则___________.【答案】【解析】【分析】利用赋值法及条件，即可得到结果.【详解】解：因为，且f（1）＝1，令x＝1，则f（3）＝＝；令x＝3，则．令x＝5，则．故答案为：．【点睛】本题考查抽象函数及其应用，灵活赋值是关键，属于中档题．16.某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量（单位：万斤）与年份（记2015年为第1年）之间的关系统计如下：则近似符合以下三种函数模型之一：①；②；③.则你认为最适合的函数模型的序号是_______________.【答案】①【解析】【分析】把给出的三个模型分别验证，即可找出一个比较适合的模型.【详解】符合条件的是f（x）＝ax+b，若模型为f（x）＝2x+a，则由f（1）＝2+a＝4，得a＝2，即f（x）＝2x+2，此时f（2）＝6，f（3）＝10，f（4）＝18，与已知相差太大，不符合．若模型为f（x），则由f（1）＝＝4，得＝3，即f（x）＝，此时f（2）＝7，f（3）＝12，f（4）＝17，与已知相差太大，不符合．由已知得，解得a，b，∴f（x）x，（x＝1，2，…，6，7）经验证x＝2，4，符合的比较好．故答案为：①【点睛】熟练掌握建立模型的方法、不同函数模型的单调性等性质及正确计算是解题的关键．三.解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.（1）计算：；（2）已知，试用表示.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】利用指数与对数的运算法则及性质即可得到结果.【详解】（1）（2）.【点睛】本题主要考查指数和对数的运算法则及性质，属于基础题．18.已知集合.（1）若，求实数的值；（2）若集合，且，求.【答案】（1）4；（2）【解析】【分析】（1）将代入方程即可得到a值；（2）由知，代入逐一检验即可.【详解】（1）由条件知将代入方程，得，解得.（2）由知.将代入方程，得，解得.解方程，得或，此时.将代入方程，得，解得.解方程，得或，此时.所以.【点睛】本题以集合为载体，考查集合之间的关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求函数的单调减区间；（2）当时，求函数的最大值和最小值，并指出此时的的值.【答案】（1）；（2）见解析【分析】(1)利用三角恒等变换知识函数可化简为，由对称轴间距得到值，从而得到函数的单调区间；(2)利用正弦型函数的图象与性质得到函数的最大值和最小值及相应的x值.【详解】（1）,,.因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的最小正周期为，即，得，所以.由得，所以函数的单调递减区间为.（2）当时，，所以当即时，函数的最大值为；当即时，函数的最小值为.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质，涉及到周期性，单调性与最值，属于中档题.20.某生产厂家生产一种产品的固定成本为4万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元.已知销售收入（万元）满足（其中是该产品的月产量，单位：百台），假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？【答案】（1）；（2）当月产量为8百台时，公司所获利润最大，最大利润为万元.【解析】(1) 由题可得成本函数G（x）＝4+,通过f（x）＝R（x）-G（x）得到解析式；(2) 当x＞10时，当0≤x≤10时，分别求解函数的最大值即可．【详解】（1）由条件知成本函数G（x）＝4+可得（2）当时，，当时，的最大值为万元；当时，万元，综上所述，当月产量为8百台时，公司所获利润最大，最大利润为万元.【点睛】本题考查实际问题的应用，分段函数的应用，函数的最大值的求法，考查转化思想以及计算能力．21.已知函数（其中均为常数，）的图象经过点与点（1）求的值；（2）设函数，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)代入已知点，建立方程组，即可得到的值；(2)记函数的值域为，函数的值域为，则，列出不等式组，从而得到实数的取值范围.【详解】（1）由已知得，消去得，即，又，，解得.（2）由（1）知函数的解析式为. .当时，函数单调递增，其值域为；令，当时，，于是.设函数，则函数的值域为，根据条件知，于是，解得.所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了函数值域的求法，考查了函数与方程思想与等价转化思想，属于中档题.22.如图，在平面直角坐标系中，角的顶点是坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆于点（1）若，求的值；（2）分别过向轴作垂线，垂足分别为，记△，△的面积分别为.若，求角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1) 由A点的横坐标，结合OA在第一象限求得A点的纵坐标，从而得到sinα，cosα，代入两角和的余弦公式求得x2；(2)表示△，△的面积分别为，由，建立关于角的方程，从而得到结果. 【详解】（1）由已知得，所以.（2）根据条件知，，因为，所以，于是，，解得.【点睛】本题考查三角函数的定义，考查了三角函数的化简求值，解答的关键是理解并熟练运用三角函数线，是中档题．。
安徽省安庆市2019-2020学年高一数学上学期期末教学质量监测试题(含答案)
安徽安庆市2019～2020学年度第一学期高一期末教学质量调研监测数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集{}235711131719U ，，，，，，，=，集合{}2711A ，，=，集合{}51113B ，，=，则()=B A C U IA. {}5B. {}13C. {}513，D. {}1113， 2. 计算： 33log 2log 6-=A. 1B. 1-C. 3log 2-D. 32log 2- 3. 已知幂函数()()ax a a x f ⋅--=222在区间()+∞,0上是单调递增函数，则a 的值为A. 3B. 1-C. 3-D. 1 4. 在△ABC 中，已知sin 2sin cos A B C =，则此三角形一定为A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形 5. 若实数m ，n 满足22m n <，则下列不等关系成立的是A. 22log log m n <C.m 1>n1D. 33m n < 6. 下列关系式一定正确的是A. sin20<B. cos30>C. ()sin π3sin3-=- D. ααsin 22sin ≤ 7. 若函数sin 2y x =的图象经过点()00P x y ，，则其图象必经过点 A.()00,x y - B.⎪⎭⎫⎝⎛+00,2y x π C. ⎪⎭⎫⎝⎛-00,2y x π D. ()00πx y ，- 8. 已知2tan =α，则=+⎪⎭⎫⎝⎛-απα2tan 4tanA. 1-B. 1C.53 D. 17159. 函数()()ϕω+=x A x f sin （其中πϕω<>>,0,0A ）的图象如图所示，则ω，ϕ的值为A ．3ω=，π4ϕ=B ．3ω=，π4ϕ=-C ．6ω=，π2ϕ=-D ．6ω=，π2ϕ=10. 某数学课外兴趣小组对函数()12x f x -=的图象与性质进行了探究，得到下列四条结论：① 该函数的值域为()+∞,0； ② 该函数在区间[)+∞,0上单调递增；③ 该函数的图象关于直线1x =对称；④ 该函数的图象与直线()R a a y ∈-=2不可能有交点.则其中正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4 11．函数2019sin log 22x xxy -=-在区间[)(]3,00,3-U 上的图象为A ．B ．C ．D ．12. 已知函数()f x 是定义在R 上的函数，()11f =. 若对任意的1x ，R x ∈2且12x x <有()()12123f x f x x x ->--，则不等式()[]()23log 316log 23log 222--<-x x f 的解集为A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-34,C. ⎪⎭⎫⎝⎛34,32 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,34第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分,将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效．．．．．．．．．．。
2023-2024学年安徽省安庆市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x∈R||x|＞1}，则A∩B＝（）A．{3，4}B．（1，4]C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}2．函数f（x）＝ln（x﹣2）+x﹣4的零点所在区间为（）A．（2，3）B．（3，4）C．（4，5）D．（5，6）3．log23⋅log34−10lg3=（）A．2B．1C．﹣1D．04．命题∀x∈[1，2]，2x+x﹣5≥a”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]5．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为2π3，则该扇面的面积为（）A．4π3B．8π3C．10π3D．16π36．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，f（1）＝2，则f（﹣2）＝（）A．﹣1B．0C．1D．27．已知a＝log23，b＝log35，c=32，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b8．已知关于x的不等式（4x﹣2x+1﹣8）（ax+b）≥0（其中a≠0）在R上恒成立，则有（）A．a＜0B．b＞0C．a+b＞0D．a﹣2b＞0二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知实数a，b满足a＞|b|＞0，则（）A．lga＞lgb B．a2＞b2C．a3＞b3D．1a＜1b10．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．ω=45B ．φ=9π10C ．点(π4，0)是函数f （x ）图象的一个对称中心D ．直线x =−74π是函数f （x ）图象的一条对称轴11．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，则下列关于函数f （x ）＝sin[sin 2x ]+cos[cos 2x ]的判断，其中正确的是（ ）A ．函数f （x ）是以π为周期的周期函数B ．函数f （x ）的最大值为√2C ．函数f （x ）在(π2，π)上单调递减D ．当x ∈(−π2，0)时，f （x ）＝112．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，双曲正弦函数sinℎ(x)=e x −e −x2，双曲余弦函数cosℎ(x)=e x +e −x2（其中e 为自然对数的底数），则下列判断正确的是（ ） A ．sinh （x ）为奇函数，cosh （x ）为偶函数B ．sinh （2x ）＝sinh （x ）•cosh （x ）C ．函数cosh （x ）在R 上的最小值为1D ．函数g （x ）＝cosh （2x ）﹣cosh （x ）在R 上只有一个零点 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={x 2，x ≤1log 4x ，x ＞1，则f [f （﹣2）]＝ ．14．已知关于x 的不等式ax 2+bx ＞c （x ﹣2）的解集为{x |1＜x ＜3}，则关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为 ．15．若函数f(x)=2sin(ωx +π6)(ω＞0)在[0，π]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是 ．16．（3分）已知x ，y ∈R 且2x 2+2y 2＝1+xy ，则x 2+y 2的最大值为 ，最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分。
2023届安徽省安庆市市示范中学数学高一上期末质量检测模拟试题含解析
解得 ,即 的取值范围为 .
（2）因为 ,
解得
所以由圆心到直线距离公式可得 .
解得 或 .
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系判断,直线与圆相交时的弦长关系及垂径定理应用,属于基础题.
19、（1）2；（2）(1，3].
【解析】（1）根据函数是奇函数求得 的解析式，比照系数，即可求得参数 的值；
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、 ##
【解析】由扇形面积公式可直接求得结果.
【详解】扇形面积 .
故答案为： .
14、6
【解析】利用弧长公式以及扇形周长公式即可解出弧长和半径，再利用扇形面积公式即可求解.
【详解】设扇形的半径为 ，弧长为 ，则 ，解得 ，所以 ，
分档
户年用水量（立方米）
水价（元/立方米）
第一阶梯
0-180（含）
5
第二阶梯
181-260（含）7Βιβλιοθήκη 第三阶梯260以上
9
假设居住在北京的某户家庭2021年的年用水量为 ，则该户家庭2021年应缴纳的水费为（）
A.1800元B.1400元
C.1040元D.1000元
2．下列关系中，正确的是
A. B.
C. D.
故选：
8、B
【解析】根据题意和补集的运算可得 ，利用交集的概念和运算即可得出结果.
【详解】由题意知，
所以 .
故选：B
9、C
【解析】设
,故选C.
考点：解三角形.
10、C
【解析】根据题意，分析可得函数 为奇函数，当 时，有 ，利用排除法分析可得答案.
详解】解：根据题意，对于函数 ，
安徽省安庆市_学年高一数学上学期期末考试试题【含答案】.docx
安庆市 2016—2017 学年度第一学期期末教学质量调研检测高一数学试题（ A 卷）（必修一、四）（考试时间： 120 分钟，满分：150 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每 小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知全集 U 1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合 A2,3,5,6 ，集合 B 1,3,4,6 ，则 A C U B（）A ． 2,5B． 2,5,7,8C． 2,3,5,6,7,8D． 1,2,3,4,5,62. 下列说法正确的是（）A ．三 角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的 角终边一定不相同D ．若角 ,满足k 360 kZ ，则 和 终边相同3. 下列函数中，与函数f x1的定义域相同的函数是（）3xA ． y xx e xB． ysin x C ． yx D． yln xxsin xx4. 点 A sin 2017 ,cos2017 位于（）A ．第一象限B ．第二象限C.第三象限 D．第四象限5. 已知函数 f x 满足 f 2x 2 f x ，且当 1 x2 时， f xx 2 ，则f3 =（）A ．9B．9C.9 D． 92486. 已知 O, A, B,C 为同一半面内的四个点，若 2 ACCB 0 ，则向量 OC 等于（）A ．2OA 1 OB B． 1 OA 2 OBC.2OA OBD． OA2OB3 33 37. 已知 fx ax 2bx 是定义在 a 1,2a 上的偶函数，那么 a b 的值是（）11C.1 D ． 1A ．B． 32238. 若 sin cos1 cos 的值是（ ），则 tansin2A． 2B． 2 C.2D．129. 幂函数y f x 的图像过点4,2 ，则幂函数 y f x 的图像是（）A．B． C.D10.计算sin110sin 20的值为（sin2cos2 155155A．1B1C. 2．211.函数 y 1 2sin 2 x3是（4．）3D．3 22）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为2的奇函数 D.最小正周期为2的偶函数12. 已知函数 f x1 2a x3a, x 1的值域为 R ，则实数a的取值范围是（）ln x, x11B．1C.1D．, 1A． 1,1,0,222第Ⅱ卷（共 90分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量 a 与 b 满足 a2,1 ， b3,4 ，则 3a4b．14. 如图，函数f x 的图像是曲线OAB，其中点 O, A, B 的坐标分别为0,0 , 1,2 , 3,11，则 ff 3的值等于．15.若锐角,满足tan tan3 3 tan tan，则．16. 定义新运算：当a b 时， a b b2，则函数 f x 1 x x 2 x ， x2,2 的最大值等于．三、解答题（本大题 共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）17. （本小题满分 10 分） 已知 a4, b 8, a 与 b 的夹角是 120 .（ 1）计算 a b ；（ 2）当 k 为何值时，a 2b ka b ？18. （本小题满分 12 分） 已知集合 Ax ax a 8 ， Bx x1或x 5 .（ 1）当 a 0 时，求 AB ， AC R B ；（ 2）若 A ∪ B B ，求实数 a的取值范围 . 19. （本小题满分 12 分）x 2 1,x 1已知函数 f x log 1 x, x 1 .2（ 1）在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像；（ 2）直接写出函数 y f x 的值域、单调增区间及零点 .20. （本小题满分 12 分）已知函数 f xsin x（其中0,0 2）的最小正周期为3（ 1）求当 fx 为偶函数时的值；（2）若 f x的图像过点, 3，求f x的单调递增区间6 221.（本小题满分 12 分）已知函数 f x ax2bx 1 （a,b为实数，a0, x R）（ 1）若函数f x 的图像过点2,1 ，且函数 f x有且只有一个零点，求 f x 的表达式；（ 2）在（ 1）的条件下，当x1,2 时， g x f x kx 是单调函数，求实数k 的取值范围22.（本小题满分 12 分）已知角 a 的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P3,3.（ 1）求 sin 2tan的值；（ 2）若函数f x cos x a cosa sin x a sin a ，求函数g x 3 f2x 2 f 2 x 在区间220,上的值域3安庆市 2016— 2017 学年度第一学期期末教学质量调研检测高一数学试题（ A 卷）（必修一、四）一、选择题（每小题 5 分，共 60分）题号123456789101112答案C D B C A C B B C B A A二、填空题（每小题 5 分，共 20分）13.6,1914.215.16.63三、解答题17. （本题满分10 分）解：由已知得，a116 b 4 82（ 1）2a22a b b216216 64 48 ， a b 4 3 (5)a b分（ 2） a 2b ka b , a 2b ka b 0 ，ka22k 1 a b2b20即 16k16 2k1 2 640k7即 k7 时， a2b 与 ka b 垂直········ 10 分18.（本题满分 12 分）解：（ 1）当 a0时，A0,8，A B5,8 ，C R B1,5,A C R B1,8 ，········· 6 分（2）由 A B B 得A B于是 a8 1 或 a 5 ，解得 a9 或 a5故实数 a 的取值范围是, 95,·········· 12 分19.（本题满分 12 分）解：（ 1）函数草图（略）：······· 6 分得分要点 f x x2 1 x 1 过点1,0f x x2 1 x 1 过点0, 1f x x2 1 x1与 f x log 1x x 1 都过点1,02f x log 1x x1过点2,12（ 2）y f x的值域： Ry f x的单调增区间：0,1（或0,1 、0,1 、 0,1）y f x的零点为 1, 1·········12 分20. （本小题满分12 分）解：f x 的最小正周期为，则 T 2, 2 (2)分f x sin2x（ 1）当f x为偶函数时，f x f x ，sin 2x sin2x，将上式展开整理得sin 2 xcos0，由已知上式对x R 都成立，cos0,02···· 6 分,32（ 2）由f x的图像过点,3时， sin 23，即 sin3362622又03,,2,，f x sin2x2333333令 2k2x2k, k Z ，得 k 5x k, k Z2312212f x 的单调递增区间为k5, k, k Z ······· 12 分121221.（本题满分 12 分）（ 1）因为f 2 1，即4a 2b11，所以 b2a因为函数 f x有且只有一个零点，所以 b 24a0 ，所以 4a 2 4 a0 ，所以a1,b 2 .所以 f x x21 ······ 6 分22（ 2） g x f x kx x22x 1 kx x2k 2 x 1 x k 2k 2 124由 g x 的图像知，要满足题意，则k22 或k26 或 k0 ，221 ，即 k∴所求实数k 的取值范围为,06,，······12 分22.（本题满分 12 分）解：（ 1）角 a 的终边经过点P3,3，sin a 13,tan a3 2,cos a32sin 2a tan a2sin a cos a tana333······· ··· 6 分236（ 2）f x cos x a cosa sin x a sina cosx, x Rg x3cos 2 x2cos 2 x3sin 2 x1cos2 x2sin 2 x1260x2, 2 x6736612 x1,22sin2x11sin626故函数 g x 3 f 2 x 2 f 2 x在区间0,2上的值域是2,1 ，·······12 分23。
安徽省安庆市2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
安庆市2023-2024学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}1B x x =∈>R ，则A B = （）A.{}3,4 B.(]1,4 C.{}2,3,4 D.{}1,2,3,4【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，再利用交集的定义可求A B ⋂.【详解】{|1B x x =<-或1}x >，故{}2,3,4A B = ，故选：C ．2.函数()()ln 24f x x x =-+-的零点所在区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.()4,5 D.()5,6【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理进行求解即可.【详解】由条件知函数()f x 在()2,∞+上单调递增，又()310f =-<，()4ln 20f =>，根据零点存在性定理知该函数的零点所在区间为()3,4，故选：B3.lg323log 3log 410⋅-=（）A.2B.1C.1- D.0【答案】C 【解析】【分析】利用换底公式和指对数运算公式即可.【详解】lg323lg 3lg 42lg 2log 3log 41033231lg 2lg 3lg 2⋅-=⋅-=-=-=-，故选：C ．4.命题“[]1,2,25xx x a ∀∈+-≥”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.(],1-∞- C.(],2-∞ D.(],1-∞【答案】A 【解析】【分析】求解出函数25x y x =+-在区间[]1,2上的最小值，然后根据恒成立条件得出结果.【详解】解：因为命题“[]1,2,25xx x a ∀∈+-≥”为真命题，所以()min25xx a +-≥，因为函数25x y x =+-在区间[]1,2上单调递增，所以当1x =时，()min252xx +-=-，所以只需2a ≤-.故选：A ．5.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为2π3，则该扇面的面积为（）A.4π3B.8π3C.10π3D.16π3【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算即得.【详解】依题意，该扇面的面积为22128(31)233ππ-⨯=.故选：B6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()1,12f x y f x f y f +=+-=，则()2f -=（）A.1-B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法进行求解即可.【详解】在()()()1f x y f x f y +=+-中，令1,0x y ==，得()()()(1)10101f f f f =+-⇒=，令1x y ==，得()()()21112213f f f =+-=+-=，令2,2-==y x ，()()()02211f f f =+--=，解得：()21f -=-，故选：A7.已知233log 3,log 5,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.a c b>> C.b a c>> D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】结合对数函数的单调性计算即可得.【详解】由条件知223log 3log 2a c =>==，333log 5log 2b c =<=，因此a c b >>.故选：B ．8.已知关于x 的不等式()()14280xx ax b +--+≥（其中0a ≠）在R 上恒成立，则有（）A.0a <B.0b > C.0a b +> D.20a b ->【答案】D 【解析】【分析】将已知不等式化为()()()22240xxax b +-+≥，结合函数()24x f x =-在R 上单调性，即可判断各选项的正误.【详解】由题意得原不等式可化为()()()22240xxax b +-+≥，因220x +>，所以()()240xax b -+≥在R 上恒成立，又函数()24xf x =-在R 上单调递增，且()20f =，当2x >时，()0f x >；当2x <时，()0f x <．于是20a b +=且0a >，于是0b <，0a b a +=-<，250a b a -=>，故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知实数,a b 满足0a b >>，则（）A.lg lg a b >B.22a b > C.33a b > D.11a b<【答案】BC 【解析】【分析】A 由对数的真数大于0可以排除；B 由二次函数的性质可得；C 由简单幂函数的性质可得；D 可通过简单例子进行排除.【详解】因为0a b >>，所以b 的正负无法判断，所以A 可能无意义；2220a b b >=>，故B 正确；由于3y x =为定义域R 上的单调递增函数，又因为0a b >>，所以a b >，所以33a b >，故C 正确；当2,1a b ==-时，0a b >>，但是11112a b=>=-，故D 错误；故选：BC.10.已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）A.45ω=B.9π10ϕ=C.点π,04⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D.直线7π4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴【答案】ABD 【解析】【分析】结合图象即可求出三角函数的解析式，则AB 可解；将π4x =代入函数()f x 的解析式即可验证C 选项；将7π4x =-代入函数()f x 的解析式即可验证D 选项.【详解】根据图象和题目条件可知1A =，3π5π2π244T =-=，所以5π2π2T ω==，解得45ω=，A 正确；将3π4x =代入，可得43π3π542ϕ⨯+=，解得9π10ϕ=，B 正确；所以()49πsin 510f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令π4x =得，π4π911πsin sin 04541010f π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误，令7π4x =-得，7π47π9ππsin sin 1454102f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故7π4x =-是函数()f x 的一条对称轴，D 正确，故选：ABD ．11.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，则下列关于函数()22sin sin cos cos f x x x ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦的判断，其中正确的是（）A.函数()f x 是以π为周期的周期函数 B.函数()f x C.函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.当π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()1f x =【答案】AD 【解析】【分析】根据周期函数的定义判断选项A 的正确与否；取特殊值可判断出选项B 的正确与否；根据函数定义可判断出选项C 的正确与否；由函数的周期和选项C 的结论得出选项D 的正确性.【详解】选项A ：因()22sinπsin x x +=，()22cos πcos x x +=，所以()()πf x f x +=，于是函数()f x 是以π为周期的周期函数，选项A 正确；选项B ：由函数周期可得，只需考虑[)0,πx ∈的情况，而ππsin1cos 0sin11sin 126f ⎛⎫=+=+>+>⎪⎝⎭B 错误；选项C ：当ππ2x <<时，()()sin 0,1,cos 1,0x x ∈∈-，所以22sin cos 0x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦，则()sin 0cos 01f x =+=，此时函数()f x 是常数函数，所以选项C 错误；选项D ：根据周期性以及选项C 的结论，可知当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()1f x =，所以选项D 正确．故选：AD.12.双曲函数是一类与三角函数类似的函数，双曲正弦函数()e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数()e e cosh 2x xx -+=（其中e 为自然对数的底数），则下列判断正确的是（）A.()sinh x 为奇函数，()cosh x 为偶函数B.()()()sinh 2sinh cosh x x x =⋅C.函数()cosh x 在R 上的最小值为1D.函数()()()cosh 2cosh g x x x =-在R 上只有一个零点【答案】ACD 【解析】【分析】由函数的奇偶性即可验证A ；由题干给的定义式进行化简即可验证B ；由基本不等式即可验证C ；由题干给的定义式，结合换元法求解零点可得D.【详解】()e e sin h 2x x x --=，定义域为R ，()()e e e e sin h sin h 22x x x xx x -----==-=-，所以()sin h x 为奇函数，()e e cos h 2x x x -+=，定义域为R ，()()e e cos h cos h 2x x x x -+-==-，所以()cos h x 为偶函数，故A 正确；()()22e e e e e e e +e e e sinh(2)22sinh()cosh()2222x x x x x x x x x xx x x -----+---===⨯⨯=，B 错误；因为()e e cosh 12x xx -+=≥=，当且仅当0x =时，函数()f x 在R 上的最小值为1，C 正确；由题意得：()()()()222e e 2e e e e e e cosh 2cosh 2222xxxxx xx xg x x x ----+-+++=-=-=-令e e x x t -+=，结合C 选项可得2t ≥，于是由()0g x =，得21022t t--=，解得2t =或1t =-（舍去），于是0x =，因此函数()g x 在R 上只有一个零点0x =，D 正确，故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()24,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦______．【答案】1【解析】【分析】根据分段函数性质，直接代入计算即可.【详解】因()()2224f -=-=，所以()()424log 41f f f -===⎡⎤⎣⎦，故答案为：1.14.已知关于x 的不等式()22ax bx c x +>-的解集为{}13x x <<，则关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为______．【答案】()3,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意首先得出,,a b c 的关系，进一步结合a<0即可求解.【详解】由已知，不等式()220ax b c x c +-+>的解集为{}13x x <<，故a<0，且11x =，23x =为方程()220ax b c x c +-+=的两根，所以423b c a c a-⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5232b a c a⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故不等式20ax bx c ++<为253022ax ax a -+<，即253022x x -+>，解得1x <或32x >.故答案为：()3,1,2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭．15.若函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是______．【答案】1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】[]0,πx ∈时,πππ66π6x ωω⎡⎤⎢⎥+∈+⎣⎦，结合正弦函数的图像和性质，确定ππ6ω+的范围，由不等式求解ω的取值范围.【详解】因0πx ≤≤，0ω>，所以ππππ666x ωω≤+≤+，因函数()f x 在[]0,π上有且仅有三个零点，所以π3ππ4π6ω≤+<，解得172366ω≤<．则ω的取值范围是1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.已知,R x y ∈且22221x y xy +=+，则22x y +的最大值为______，最小值为______．【答案】①.23②.25##0.4【解析】【分析】直接利用基本不等式可得222222112x y x y xy ++=+≤+，即可求得22x y +的最大值，将22221x y xy +=+化为22221()x y x y +=--，再利用基本基本不等式，即可求得22x y +的最小值.【详解】由,R x y ∈,222222112x y x y xy ++=+≤+可得2223x y +≤，当且仅当22221x y x y xy =⎧⎨+=+⎩，即3x y ==±时取到等号,即22xy +的最大值为23；2222221()12x y x y x y ++=--≥-，可得2225x y +≥，当且仅当22221x y x y xy -=⎧⎨+=+⎩，即,55x y ==-或,55x y =-=时取到等号，即22xy +的最小值为25；故答案为：23；25四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合(){}225400A x x ax a a =-+<≠，集合(){}ln 2B x y x ==-．（1）当1a =时，求A B ⋃；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(),4A B =-∞ （2）()1,00,2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）当1a =时，解集合A 中的不等式，求集合B 中函数的定义域，得到这两个集合，再由并集的定义求A B ⋃；（2）由题意，集合A 是集合B 的真子集，分类讨论解集合A 中的不等式，由包含关系求实数a 的取值范围．【小问1详解】当1a =时，{}2|540A x x x =-+<=()1,4，(){}{}|ln 2|20B x y x x x ==-=->(),2=-∞，所以(),4A B =-∞ ．【小问2详解】因“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集．当0a >时，(),4A a a =，所以只需42a ≤，解得102a <≤；当a<0时，()4,A a a =是集合B 的真子集，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是()1,00,2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦．18.已知()0,πα∈，且3cos210cos 10αα--=．（1）求sin α的值；（2）求ππcos 63αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【答案】（1）3（2）3-【解析】【分析】（1）根据余弦二倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据诱导公式，结合辅助角公式进行求解即可.【小问1详解】由题意可知，()232cos 110cos 10αα---=，展开整理可得23cos 5cos 20αα--=，即()()3cos 1cos 20αα+-=，解得1cos 3α=-（cos 2α=舍去）.因为()0,πα∈，所以sin 3α===．【小问2详解】ππcos 63αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππcos())233αα=+--ππsin()33αα=----ππ2sin()2sin 333αα=--+=-=-．19.已知幂函数()()()25mf x m m xm =+-⋅∈R 是定义在R 上的偶函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当1,813x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()()()33log 2log 2g x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的最值，并求对应的自变量x 的值．【答案】（1）()2f x x =（2）当9x =时，函数()g x 的最小值为2-；当13x =时，函数()g x 的最大值为7【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和函数的奇偶性，求出m 的值，得函数解析式；（2）求出函数()g x 的解析式，由定义域结合解析式，利用配方法求最值.【小问1详解】根据题意可得251m m +-=，即260m m +-=，所以()()320m m +-=，解得32m m =-=或，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()22,m f x x ==，即函数()f x 的解析式为()2f x x =．【小问2详解】由（1）可知()()()33log 2log 2g x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦()()2223333log 2log 2log 4log 2x x x x =-+=-+()23log 22x =--因1,813x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]3log 1,4x ∈-，所以当3log 2x =，即19,813x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，函数()g x 的最小值为2-；当13x =时，3log 1x =-，函数()g x 的最大值为7．20.将函数()cos2(0)f x x ωω=>的图象向右平移π6ω个单位得到函数()g x 的图象，且使()()122g x g x -=成立的12x x -的最小值为π2．（1）求函数()g x 的单调递减区间；（2）设函数()()2sin f x h x x =+，求函数()h x 的最大值．【答案】20.()π2ππ,πZ 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦21.8-【解析】【分析】（1）由图象平移得()g x 的解析式，根据已知得函数周期求出ω，整体代入法求单调递减区间；（2）由()h x 解析式，通过换元，利用基本不等式求最大值.【小问1详解】由题意可知()ππcos 2cos 263g x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是函数()g x 最大值为1，最小值为1-，根据使()()122g x g x -=成立的12x x -的最小值为π2，则12,x x 是相邻的最大值点和最小值点，函数()g x 的最小正周期T 满足π22T =，解得πT =，所以2ππ2ω=，解得1ω=，所以()πcos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，于是()π2π22ππZ 3k x k k ≤-≤+∈，解得()π2πππZ 63k x k k +≤≤+∈，因此函数()g x 的单调递减区间()2,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由（1）知()2cos 212sin 2sin 2sin x x h x x x-==++，令2sin t x =+，则[]1,3t ∈，于是()()22212212sin 2877282sin t x t t h x t x t t t ----+-⎛⎫====-++ ⎪+⎝⎭88≤-+=-，所以当且仅当72t t =，即[]1,32t =∈时，函数()h x 的最大值为8-21.茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵奇葩！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌．立德中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，小明同学用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为100℃，经过1分钟测得其温度变为80℃，再经过1分钟测得其温度变为65℃．小明想利用上述数据建立这杯茶的温度y （单位：℃）随经过的时间t （单位：分钟）的函数关系式，选用了两种函数模型：①t y a b c =⋅+（,,a b c 为常数，0,0a b ≠>且1b ≠）；②2y pt qt r =++（,,p q r 为常数，0p ≠）．（1）请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型；（2）现代研究结果显示，饮茶温度不要超过60℃，请利用（1）中选出的模型该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多长时间？（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈）【答案】21.38020,04ty t ⎛⎫=⨯+≥ ⎪⎝⎭22.2.5分钟【解析】【分析】（1）分别代入0,1,2t t t ===得到函数模型，结合生活实际进行判断即可；（2）根据（1）求出的函数模型解不等式即可.【小问1详解】若选用①，根据条件可得012100,80,65,a b c a b c a b c ⎧⋅+=⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩，解得803420a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以38020,04ty t ⎛⎫=⨯+≥ ⎪⎝⎭．此时，y 随着t 的增大而减小，符合生活实际；若选用②，根据条件可得100,80,4265,r p q r p q r =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得10052452r p q ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以2545100,022y t t t =-+≥．又225455939510022228y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当92t ≥时，y 随着t 的增大而增大，不符合生活实际，应舍去．所以该函数模型为38020,04ty t ⎛⎫=⨯+≥ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由（1），令38020604t y ⎛⎫=⨯+≤ ⎪⎝⎭，于是3142t ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，两边取常用对数得31lg lg 42t ≤，又3lg lg104<=，故1lglg 2lg 20.302 2.53lg 3lg 42lg 2lg 320.300.48lg 4t -≥==≈=--⨯-，所以该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分钟．22.已知函数()1(03x f x a a =>+且1)a ≠过点13,30⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）判断()()2f x f x +-是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，请说明理由；（2）若方程()()41f x mf x -=有两不等实数根()1221,x x x x >，且213022log 2x x <-<-，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()()2f x f x +-是定值，定值为13（2）1(0,)2【解析】【分析】（1）代入点13,30⎛⎫ ⎪⎝⎭可计算出函数解析式，结合指数运算可计算出()()2f x f x +-；（2）由题意可转化为31xm -=有两不等实数根()1221,x x x x >，结合绝对值进行分类讨论可得2213(1)2log 1m x x m+-=-，结合题意计算即可得m 的取值范围.【小问1详解】由题意可知()3113330f a ==+，所以327a =，解得3a =，故()133x f x =+，则()()2f x f x +-2113333x x -=+++()213331333333333x x x x x +=+==++⋅+，所以()()2f x f x +-是定值，定值为13．【小问2详解】由4()1()f x mf x -=，即413333x x m -=++，即有433x m --=，即31x m -=，令31,0()3131,0x xx x g x x ⎧-+<=-=⎨-≥⎩，因为()g x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0)+∞，上单调递增，方程31xm -=有两不等实数根，所以120,0x x <>且01m <<，于是：11331log (1)x m x m -+=⇒=-，22331log (1)x m x m -=⇒=+，所以，2213(1)2log 1m x x m+-=-，由213022log 2x x <-<-得2(1)9112m m +<<-，又01m <<，解得102m <<，。
2018-2019学年安徽省安庆市高一上学期期末教学质量调研考试数学试题(答案+解析)
安徽省安庆市2018-2019学年高一上学期期末教学质量调研检测数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|10,A x x =∈+>Z 集合{}02|≤-=x x B ，则=B A I （） A.)2,1(-B.]2,1(-C.{}2,1-D.{}2,1,02.已知角α的终边经过点)1,2(-P ，则=αsin （）A.55 B.55-C.552 D.552- 3.已知函数,0,3log 0,)(21⎩⎨⎧>-<=-x x x x x f 则=-+)21()16(f f （） A.3 B.1 C.-1 D.-2 4.式子4tan 2cos 1sin ⋅⋅的符号为（）A.正B.负C.零D.不能确定 5.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）6.已知一扇形的半径为2，弧长为4，则此扇形的圆心角的弧度数和此扇形的面积分别为（） A.2，4 B.4，4C.2，8D.4，87.函数)1lg(2)(+-=x xx f 的定义域是（）A.]2,1(-B.]2,0()0,1[Y -C.]2,0()0,1(Y -D.]2,0(8.已知角α满足ααcos 2sin =，则=α2cos （）A.54 B.54-C.53D.53- 9.函数)10(||)(<<=a a xx x f x的大致图象是（）10.已知1ln ln 1(e ,1),ln ,(),e 2xx x a x b c -∈===（e 是自然对数的底数），则c b a ,,之间的大小关系是（）A.a c b >>B.a b c >>C.c a b >>D.c b a >>11.若函数)(x f y =的图象的一部分如图（1）所示，则图（2）所对应的的函数解析式可以是（）A.)212(-=x f y B.)12(-=x f yC.)2121(-=x f yD.)121(-=x f y12.已知函数π()sin()(08,||)2f x x ωϕωϕ=+<<<，若)(x f 满足3π11π()()21616f f +=，则下列结论正确的是（） A.函数)(x f 的图象关于直线π16x =对称 B.函数)(x f 的图象关于点7π(,0)16对称 C.函数)(x f 在区间ππ[,]1616-上单调递增D.存在π(0,]8m ∈，使函数)(m x f +为偶函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数x y 2tan =的最小正周期为_______________.14.已知1sin(π)3α+=，则πcos()2α+=_________________. 15.定义域为R 的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f -=+，且1)1(=f ，则=)7(f ___________. 16.某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量)(x f （单位：万斤）与年份x （记2015年为第1年）之间的关系统计如下：则)(x f 近似符合以下三种函数模型之一：①b ax x f +=)(；②a x f x+=2)(； ③b x x f +=2)(.则你认为最适合的函数模型的序号是_______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）（1）计算：43213)161(38log log ---；（2）已知b a ==7lg ,5lg ，试用b a ,表示49log 28.18.（本题满分12分）已知集合{}2|30,A x x ax a =-+=∈R . （1）若A ∈1，求实数a 的值；（2）若集合{}2|20,B x x bx b b =-+=∈R ，且{}3=B A I ，求B A Y .19.（本题满分12分）已知函数π()sin cos()(0)6f x x x ωωω=++>的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2. （1）求函数)(x f y =的单调区间；（2）当π[0,]2x ∈时，求函数)(x f y =的最大值和最小值，并指出此时的x 的值.20.（本题满分12分）某生产厂家生产一种产品的固定成本为4万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元.已知销售收入)(x R （万元）满足,)10(44)100(4.106.0)(2⎩⎨⎧>≤≤+-=x x x x x R （其中x 是该产品的月产量，单位：百台），假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题： （1）将利润表示为月产量x 的函数)(x f y =；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？21．（本题满分12分）已知函数b x x f a +=log )(（其中b a ,均为常数，10≠>a a 且）的图象经过点)5,2(与点)7,8(. （1）求b a ,的值； （2）设函数2)(+-=x xab x g ，若对任意的]4,1[1∈x ，存在]5log ,0[22∈x ，使得m x g x f +=)()(21成立，求实数m 的取值范围.22.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角ππ()62αα<<的顶点是坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点),(11y x A ，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转π3，交单位圆O 于点),(22y x B（1）若531=x ，求2x 的值； （2）分别过B A ,向x 轴作垂线，垂足分别为D C ,，记△AOC ，△BOD 的面积分别为21,S S .若212S S =，求角α的大小.--☆ 参 考 答 案 ☆--一、选择题 1.D[解析]由已知得{}{}2|,1|≤=->∈=x x B x Z x A ，则{}2,1,0=⋂B A .故选D. 2.B[解析]根据正弦函数的定义得()5551121sin 22-=-=-+-=α.故选B. 3.C[解析]由已知得()134316log 162=-=-=f ，221211-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--f ，所以()1212116-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+f f .故选C.4.B[解析]因为1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，所以sin10>，cos20<，tan 40>，故选B. 5.B[解析] A ，C ，D 中的图象均可用二分法求函数的零点. 故选B. 6. A[解析]此扇形的圆心角的弧度数为224=，面积为42421=⨯⨯. 故选A. 7.C[解析]由201011x x x -≥⎧⎪+>⎨⎪+≠⎩，得12x -<≤且0x ≠. 故选C.8.D[解析]将ααcos 2sin =代入1cos sin22=+αα，解得51cos 2=α，根据二倍角公式知531cos 22cos 2-=-=αα. 故选D.9. A[解析]0()0x xxa x xf x a x a x ⎧>⎪==⎨-<⎪⎩，，.故选A. 10.A[解析]因为1e 1x -<<，所以1ln 0a x -<=<，ln 1122xb ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1ln e e 1x c x -<==<.故选A. 11.B[解析]函数()f x 先整体往右平移1个单位，得到(1)y f x =-，再将所有点的横坐标压缩为原来的12倍，得到()12-=x f y .故选B ． 12.C[解析]设函数()x f 的最小正周期为T ，根据条件知21631611πππ=-=nT ，其中n 为正整数，于是ωππ22==n T ，解得n 4=ω，又80<<ω，则4=ω，()()ϕ+=x x f 4sin ，将163π=x 代入，又2πϕ<知4πϕ-=，所以()⎪⎭⎫⎝⎛-=44sin πx x f ，经验算C 答案符合题意. 故选C ． 二、填空题 13.π2[解析]因为函数tan y x ω=的最小正周期为πω，所以函数tan 2y x =的最小正周期为π2. 14.13[解析]由()31sin =+απ，得31sin =-α，即31sin -=α， 所以3131sin 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπ. 15.8-[解析]()()()()()()()8182143423252257-=-=+==+-=-=+=f f f f f f f . 16. ①[解析]若模型为②，则()421=+=a f ，解得2=a ，于是()22+=xx f ，此时()()()184,103,62===f f f ，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则()411=+=b f ，解得3=b ，于是,3)(2+=x x f ()()()194,123,72===f f f 此时，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得⎩⎨⎧=+=+734b a b a ，解得25,23==b a ，经检验是最适合的函数模型. 三、解答题17.解：（Ⅰ）3421281log 3log 316-⎛⎫-- ⎪⎝⎭()34222log 3log 8log 316=+--38=-5=-.（Ⅱ）28lg 49log 49lg 28=2lg 72lg 2lg 7=+()2221lg 522b bb a b==-+-+.18.解：（Ⅰ）由条件知将1=x 代入方程032=+-ax x ，得031=+-a ，解得4=a . （Ⅱ）由{}3=⋂B A 知B A ∈∈3,3.将3=x 代入方程032=+-ax x ，得0339=+-a ，解得4=a .解方程0342=+-x x ，得1=x 或3=x ，此时{}3,1=A . 将3=x 代入方程022=+-b bx x ，得0318=+-b b ，解得9=b . 解方程09922=+-x x ，得23=x 或3=x ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧=3,23B . 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋃3,23,1B A . 19.解：（Ⅰ）π()sin cos 6f x x x ωω⎛⎫=++⎪⎝⎭1sin cos sin 22x x x ωωω=+-1sin 2x x ωω=πsin 3x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为函数()y f x =图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以函数()y f x =的最小正周期为π，即2ππω=，得2ω=，所以π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤+≤+∈得π7πππ()1212k x k k +≤≤+∈Z ， 所以函数()y f x =的单调递减区间为π7πππ+()1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ，. （Ⅱ）当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，ππ4π2333x ≤+≤， 所以当ππ232x +=即π12x =时，函数()y f x =的最大值为1；当π4π233x +=即π2x =时，函数()y f x =的最小值为-20.解：（Ⅰ）由条件知20.610.40.84,010()4440.8,10x x x x f x x x ⎧-+--≤≤=⎨-->⎩20.69.64,010400.8,10x x x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩. （Ⅱ）当010x ≤≤时，()22()0.69.640.6834.4f x x x x =-+-=--+，当8x =时，()y f x =的最大值为34.4万元；当10x >时，()400.840832y f x x ==-<-=万元，综上所述，当月产量为8百台时，公司所获利润最大，最大利润为34.4万元. 21．解：（Ⅰ）由已知得⎩⎨⎧=+=+78log 52log b b aa ，消去b 得24log 2log 8log ==-a a a ，即42=a ，又0>a ，1≠a ，解得4,2==b a .（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数()x f 的解析式为()4log 2+=x x f .分()224+-=x xx g .当[]4,1∈x 时，函数()4log 2+=x x f 单调递增，其值域为[]6,4=A ； 令t x=2，当[]5log ,02∈x 时，[]5,1∈t ，于是()()42424222--=-=-=+t t t x g x x []5,4-∈. 设函数()()m x g x h +=，则函数()x h 的值域为[]m m B ++-=5,4， 根据条件知B A ⊆，于是⎩⎨⎧≤+-≥+4465m m ，解得81≤≤m .所以实数m 的取值范围为[]8,1.22.解：（Ⅰ）由已知得54531cos 1sin ,53cos 221=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-===αααx ，所以10343235421533sin sin 3cos cos 3cos 2-=⨯-⨯=-=⎪⎭⎫⎝⎛+=παπαπαx .（Ⅱ）根据条件知ααα2sin 41cos sin 211==S ， ⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=322sin 413cos 3sin 212παπαπαS ，因为212S S =，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=32sin 2cos 32cos 2sin 2322sin 22sin παπαπαααα2cos 32sin -=，于是02cos =α，22πα=，解得4πα=.。
2023届安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会数学高一上期末调研试题含解析
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1．已知三个函数 f x 2x x 2 ， g x x3 8 ， h x log2 x x 2的零点依次为 a 、 b 、 c ，则 a b c
A. 6
B. 5
C. 4 2．已知 sin A. 4
3 3
C.
4
D. 3 4 ，并且 P(1,m) 是 终边上一点，那么 tan 的值等于 5
1
1
20．（1）计算：
2
7 9
2
+lg5
64 3 27
+lg2+sin
25 6
tan
15 4
cos
17 3
.
cos2
cos
（2）若 tan
2，求
cos
sin
2
sin
3 2
cos
sin
3 2
1
的值.
21．已知 f sin2 2 msin cos 8
（1）当
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
【解析】由题意得： 4 5
m m 4 tan m 4
1 m2
3
1 3
，选 A.
3、A 【解析】根据集合的交集运算直接可得答案.
【详解】集合 A x | 0 x 4) ， B 2,3,4 ，
则 A B {2,3},
安徽省安庆市大观区第一中学2023届高一上数学期末统考试题含解析
解得 x 1或 x 3 ， 所以不等式不等式 2 x1 4 的解集是 (, 1) (3, ) .
故答案为：7
13、（3）（4）
【解析】对于（1）对角取特殊值即可验证；对于（2）采用数形结合即可得到答案；对于（3）把函数进行化简为关于
tan x 的函数，再利用基本不等式即可得到答案；对于（4）用整体的思想，求出单调增区间为
[ 2k , 2 2k ], k Z ，再让 2 即可得到答案.
7、C
【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣ 1 ． 2
故选 C．
8、A
【解析】 当 0 m 1时， g x m 1在 1, 上递减，hx x 1在 ,1递减，且 g 1 h1, f x在
x
, 上递减，任意 x1 x2 都有 f x1 f x2 ，充分性成立；若 m 0, g x 在 1, 上递减， h x 在
D. (0,1)
4．已知全集U 1, 2,3, 4,5,6,集合 A 1,3 ，集合 B 4,5,6，则 CU A B
A.2，4，6
B.4，5
C.4，5，6
D.2，4，5，6
5．一个扇形的弧长与面积都是 5，则这个扇形圆心角的弧度数为
A. 2rad
C.1rad
B. 3 rad 2
D. 5 rad 2
x1
1 3
，
x3
0
，并判断
x2
0
，进而可得到答案
【详解】因为
f
(x)
log3
x
3x
在
0,
上递增，当
x
1 3
时，
f
1 3
log3
1 3
安徽省安庆市2021-2022学年高一上学期期末教学质量监测数学试题(含答案)
安庆市2021—2022学年度第一学期期末教学质量调研监测高一数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}0|Z >∈=x x A ，集合{}065|R 2<--∈=x x x B ，则=B AA.()6,0B. {}5,4,3,2,1C.{}2,1D.{}3,2,1 2.命题“0≥∀x ，012≥-x”的否定为A.0<∃x ，012<-xB. 0≥∃x ，012≥-xC.0≥∃x ，012<-xD. 0≥∀x ，012<-x3.已知函数()⎩⎨⎧≥-<=0,0,πcos x x x x x f ，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛94f f A.21-B.23- C.21D. 234.已知2lg =a ，3lg =b ，用a ，b 表示5log 36，则=5log 36 A.a b a -+122 B. b a a +-21 C. b a a +-22 D. ba a221+-5.在用二分法求方程01023=-+x x在)2,1(上的近似解时，构造函数()1023-+=x x f x，依次计算得()051<-=f ，()032>=f ，()05.1<f ，()075.1>f ，()0625.1<f ，则该近似解所在的区间是A. ()5.11， B. ()625.15.1， C. ()75.1625.1， D. ()275.1，6. 函数()e esin x xy x -=-的部分图象可能是A.B.C.D.7. 若4log ),R (cos sin ,22132=∈+==c x x x b a ，则c b a ,,的大小关系为A. c b a >>B. c a b >>C. b c a >>D.无法确定 8.已知()3215sin =+α，则()=-α2240sinA.9142 B. 9142- C.95 D. 95- 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9.若b a >，则一定有A.b a >B.()()1ln 1ln +>+b aC.33b a > D.ba01.101.1>10. 已知函数()x x f tan =，则下列关于函数()x f 的图象与性质的叙述中，正确的有A.函数()x f 的最小正周期为πB.函数()x f 在()Z 2ππ,π∈⎪⎭⎫⎝⎛+k k k 上单调递增 C. 函数()x f 的图象关于直线2π=x 对称 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛5π45πf f 11. 已知函数()xx f 12=，则下列关于函数()x f 的判断中，正确的有A.函数()x f 的定义域为()()+∞∞-,00,B.函数()x f 的值域为()()+∞,11,0C. 函数()x f 在其定义域内单调递减D. 函数()x f 的图象关于原点对称.12. 已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,log 0,142x x x x x f ，若()a x f =有四个不同的解4321,,,x x x x 且4321x x x x <<<，则有A.221-=+x xB. 143=⋅x xC.()1,0∈aD.()2432141x x x x x ++的最小值为431- 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知幂函数()()mx m m x f 422++-=在()+∞,0上单调递减，则实数=m __________.14.已知函数)10(5359log ≠>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a a x y a 且其中的图象经过定点A ,若角α的终边恰好经过点A ，则=-ααcos sin 2______________. 15.将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=6π2sin x x f 的图象向右平移6π个单位后得到函数()x g y =的图象，则函数()x g y =的解析式为()=x g _____________________，若函数()x g y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a 23,12π与⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π4,4a 上均单调递增，则实数a 的取值范围是_______________（第1空2分，第2空3分）16.已知0,0,0>>>z y x 且2222=++z y x ，则zxy23-的最小值为___________.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合{}5121|≤-≤=x x A ，集合()(){}0121|≥-++-=a x a x x B ，其中实数1>a .（Ⅰ）当3=a 时，求()B C A R ；（Ⅱ）若“A x ∈”是“B x ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18. 从①()552πsin =+α，②()55π2cos =-α，③532cos -=α，这三个已知条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.问题：已知角α是第四象限角，且满足____________________. （Ⅰ）求⎪⎭⎫⎝⎛+α3πcos 的值； （Ⅱ）若()71tan =+βα，求ββ2sin 2cos -的值.19.已知函数()()R ,031∈>++=b a b ax f x是定义在R 上的奇函数，其图象经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-52,2.（Ⅰ）求实数b a ,的值； （Ⅱ）求不等式()05232<--x x f 的解集.20. 已知函数()()0cos sin 2sin22>⋅+=ωωωωx x x x f 的图象两相邻对称轴之间的距离为2.（Ⅰ）求函数()x f 的解析式；（Ⅱ）将函数()x f 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()x g 的图象，若()0<-m x g 对任意的[]4,0∈x 恒成立，求实数m 的取值范围.21. 由中国发起成立的全球能源互联网发展合作组织于2021年3月18日在京举办中国碳达峰碳中和成果发布暨研讨会.会议发布了中国2030年前碳达峰、2060年前碳中和、2030年能源电力发展规划及2060年展望等研究成果，在国内首次提出通过建设中国能源互联网实现碳减排目标的系统方案.为积极响应国家节能减排的号召，某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场调查分析：全年需投入固定成本2500万元.每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()x C 万元，且()⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<<+=40,1260025001001,400,300102x x x x x x x C ，由市场调研知，每辆车售价10万元，且生产的车辆当年能全部销售完.（Ⅰ）请写出利润()x L （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式.（利润=收入-成本）；（Ⅱ）当年产量为多少百辆时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.22. 立德中学高一数学兴趣小组利用每周五开展课外探究拓展活动，在最近的一次活动中，他们定义一种新运算“⊕”：()yx y x 1010lg +=⊕，R ,∈y x ，通过进一步探究，发现该运算有许多优美的性质：如x y y x ⊕=⊕，()()z y x z y x ⊕⊕=⊕⊕等等. （Ⅰ）对任意实数c b a ,,，请判断()()()c b c a c b a -⊕-=-⊕是否成立？若成立请证明，若不成立，请举反例说明；（Ⅱ）已知函数()()x x x f -⊕=，函数()()()x x x g -⊕⊕=1，若对任意的R ∈1x ，存在R ∈2x ，使得()()2123lg x f m x g +-=，求实数m 的取值范围.安庆市2021—2022学年度第一学期期末教学质量调研监测高一数学试题参考答案与评分标准一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出得四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.B 解析：由条件知{}{}61|R 065|R 2<<-∈=<--∈=x x x x x B ，所以{}5,4,3,2,1=B A ，故选B.2.C 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题3.A 解析：因329494-=-=⎪⎭⎫⎝⎛f ， 所以213πcos 3π2cos 3π2cos 3294-=-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f ，故选A. 4.D 解析：由题意知()ba a2213lg 2lg 22lg 136lg 5lg 5log 36+-=+-==，故选D. 5.C 解析：根据零点存在定理和二分法可知该近似解所在的区间是()75.1625.1，. 6.B 解析：由解析式可知该函数是偶函数，排除A ，C ；当()π,0∈x 时，()0>x f ，故选B.7.A 解析：由已知得2222132=>=a ，[]2,24πsin 2cos sin -∈⎪⎭⎫⎝⎛+=+=x x x b ，2-=c ，于是c b a >>，故选A.8. D 解析：由已知可得()()[]()ααα230cos 230270sin 2240sin +-=+-=-()951322115sin 222-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-+=α ，故选D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.CD 解析：因实数b a ,的正负未知，所以无法判断A ，B 是否正确，根据幂函数3x y =与指数函数xy 01.1=在R 上均为单调递增函数，于是可知C,D 正确.10.ABC 解析：作出函数()x x f tan =的大致图象，结合图象不难判断A,B,C 均正确，又5πtan5πtan 5π4πtan 5π4tan 5π4,5πtan 5π=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，所以⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛5π45πf f ，于是D 错误. 11.AB 解析：由已知得函数()x f 的定义域为()()+∞∞-,00, ，值域为()()+∞,11,0 ，A ，B 均正确；函数()x f 在()()+∞∞-,00,，单调递减，C 错误；函数()x f 是非奇非偶函数，D 错误.12.ABD 解析：由题意，当0x ≤时，2()(1)f x x =+；当01x <<时，4()log f x x =-；当1≥x 时，4()log f x x =．作出函数()f x 的图象，如下图所示，易知()f x 与直线1y =有四个交点，分别为()2,1-，()0,1，1,14⎛⎫⎪⎝⎭，()4,1，因为()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x 且4321x x x x <<<，所以10≤<a ，12210x x -≤<-<≤，且122x x +=-，341144x x ≤<<≤， 又343()log f x x a =-=，444()log f x x a ==，所以4344log log x x -=，即()4344434log log log 0x x x x +=⋅=，则341x x ⋅=．所以()44243214121x x x x x x x +-=++，且414≤<x ， 构造函数()12g x x x=-+，且41≤<x ，可知()g x 在(]4,1上单调递减，且()43141424-=+⨯-=g ，所以()2432141x x x x x ++的最小值为431-.于是A ，B ，D 正确，C 错误. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.1-解析：根据幂函数的定义知1422=++-m m ，即0322=--m m ，解得3=m 或1-=m ，又()x f 在()+∞,0上单调递减，所以1-=m .14.2 解析：由已知得⎪⎭⎫ ⎝⎛-5354，A ，所以54cos ,53sin -==αα，254532cos sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛--⨯=-αα.15. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2sin x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡9π224π5， 解析：根据条件可知()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-=6π2sin 6π6π2sin x x x g ，令2ππ26π22ππ2+≤-≤-k x k ，解得()Z 3ππ6ππ∈+≤≤-k k x k ，令1,0=k ，得单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3π,6π，⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π4,6π5，结合条件可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤<-3π446π53π2312πa a ，解得9π224π5≤≤a . 16.2 解析：由题意得xy y x z 22222≥+=-，于是()zz z xy 22323--≥-2121=⋅≥+=zz z z ，当且仅当22,1===y x z 时，z xy 23-的最小值为2.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解：（Ⅰ）由条件知[]3,1=A ,(][)+∞-∞-=,25, B ，……………2分 所以()2,5-=B C R ，……………3分()(]35，-=B C A R .……………4分（Ⅱ）由题意知集合A 是集合B 的真子集. ……………5分当1>a 时，()023121>-=+---a a a ，于是121+->-a a ，而且112-<+-a ， 所以(][)+∞-+-∞-=,112,a a B ，……………8分又[]3,1=A则只需11≤-a ，又1>a ，解得21≤<a 所以实数a 的取值范围为(]2,1.……………10分18.解：（Ⅰ）若选①，则由题意得552sin -=α，……………1分 又角α是第四象限角，所以555521sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=αα，……………3分于是αααsin 3πsin cos 3πcos 3πcos -=⎪⎭⎫⎝⎛+101525552235521+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯=.……………5分若选②，则由题意得55cos =α，……………1分 又角α是第四象限角，所以552551cos 1sin 22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=αα，………3分 于是αααsin 3πsin cos 3πcos 3πcos -=⎪⎭⎫⎝⎛+101525552235521+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯=.……………5分 若选③，则由题意得53sin212cos 2-=-=αα，解得552sin -=α，……………1分 又角α是第四象限角，所以555521sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=αα，……………3分于是αααsin 3πsin cos 3πcos 3πcos -=⎪⎭⎫⎝⎛+101525552235521+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯=.……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知255552cos sin tan -=-==ααα，……………6分 所以()[]αβαβ-+=tan tan ()()()()32711271tan tan 1tan tan =-⨯+--=++-+=αβααβα.……………8分 于是ββββββcos sin 2sin cos2sin 2cos 22--=-……………9分βββββββββ222222tan 1tan 2tan 1sin cos cos sin 2sin cos +--=+--=……………11分5731323122-=+⨯--=.……………12分 或由3tan =β得ββcos 3sin =，代入1cos sin 22=+ββ，解得101cos 2=β，……9分 于是ββββββcos sin 2sin cos2sin 2cos 22--=-……………10分57cos 14cos 6cos 9cos 2222-=-=--=ββββ.……………12分19.解：（Ⅰ）根据条件()x f 是R 上的奇函数，所以()00=f ，即011=++b a，……2分 又()52912-=++=b a f ……………3分 解得21,1-==b a ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()21131-+=xx f ，于是()x f 在R 上单调递减，……………6分 又()522-=f ，于是不等式()05232<--x x f 可化为()()0232<+-f x x f因()x f 是R 上的奇函数，所以()()()2232-=-<-f f x x f ……………9分于是232->-x x ，即0232>+-x x ，解得2>x 或1<x ……………11分 所以原不等式的解集为()()+∞∞-,21, .……………12分 20.解：（Ⅰ）由已知得()x x x x x x f ωωωωω2sin 2cos 1cos sin 2sin22+-=⋅+=14π2sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x ω，……………3分因该函数图象两相邻对称轴之间的距离为2，所以该函数的最小正周期为4，…………4分 于是42π2=ω，解得4πω=，……………5分 所以函数()x f 的解析式为()14π2πsin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x f .……………6分 （Ⅱ）由题意可知()14π4πsin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x g ，……………8分 当[]4,0∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-4π3,4π4π4πx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,224π4πsin x ， ()[]12,0+∈x g ，……………10分要使()0<-m x g 对任意的[]4,0∈x 恒成立，只需()[]max x g m >， 所以12+>m ，因此实数m 的取值范围为()+∞+,12.……………12分21.解：（Ⅰ）当400<<x 时，()250030010100102---⨯=x x x x L2500700102-+-=x x ；……………2分当40≥x 时，()2500126002500100110010-+--⨯=xx x x L ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x 250010100；……………4分 所以()⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<<-+-=40,250010100,400,2500700102x x x x x x x L .……………5分 （Ⅱ）当400<<x 时，()()975035102+--=x x L ， 当35=x 时，()975035=L ；……………7分当40≥x 时，()100002500210100250010100=⋅-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x x L ； 当且仅当xx 2500=，即50=x 时，等号成立. ……………10分 因10000>9750，所以当50=x 时，即年生产50百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为10000万元. ……………12分22.解：（Ⅰ）()()()c b c a c b a -⊕-=-⊕成立，……………1分证明如下：由条件可知()()c c b a b a -+=-⊕1010lg ，……………2分 ()()()()[]()c b a c b a c b c a c b c a ----++=⨯+=+=-⊕-10lg 1010lg 101010lg 1010lg ()c b a -+=1010lg ，……………4分所以()()()c b c a c b a -⊕-=-⊕成立. ……………5分（Ⅱ）由题意知()()()x x x x x f -+=-⊕=1010lg ……………6分()()()()x x x x x g -++=-⊕⊕=101010lg 1……………7分当R x ∈时，2101021010=⋅≥+--x x x x （当且仅当0=x 时等号成立）所以函数()x g 的值域为[)+∞=,12lg A ，……………8分函数()x f 的值域为[)+∞,2lg令()()x f m x h +-=23lg ，则函数()x h 的值域为[)+∞-+=,23lg 2lg m B ，………9分 由已知可得B A ⊆，……………10分 于是23lg 2lg 12lg -+≥m ，所以6lg 23lg ≤-m ，6230≤-<m ， 解得3834≤≤-m 且32≠m ， 因此实数m 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-38,3232,34 .……………12分。
2018-2019学年安徽省安庆市高一上学期期末教学质量调研检测数学试卷
2018-2019学年安徽省安庆市高一上学期期末教学质量调研检测数学试卷（时间：120分钟 满分：150分）第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内） 1、设集合{},01|>+∈=x Z x A 集合{}02|≤-=x x B ，则=B A I A 、)2,1(- B 、]2,1(- C 、{}2,1- D 、{}2,1,0 2、已知角α的终边经过点)1,2(-P ，则=αsinA 、55 B、55- C 、552 D 、552- 3、已知函数,0,3log 0,)(21⎩⎨⎧>-<=-x x x x x f 则=-+)21()16(f fA 、3B 、1C 、-1D 、-2 4、式子4tan 2cos 1sin ⋅⋅的符号为A 、正B 、负C 、零D 、不能确定 5、下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是6、已知一扇形的半径为2，弧长为4，则此扇形的圆心角的弧度数和此扇形的面积分别为 A 、2，4 B 、4，4 C 、2，8 D 、4，87、函数)1lg(2)(+-=x xx f 的定义域是A 、]2,1(-B 、]2,0()0,1[Y -C 、]2,0()0,1(Y -D 、]2,0( 8、已知角α满足ααcos 2sin =，则=α2cosA 、54 B 、54- C 、53 D 、53- 9、函数)10(||)(<<=a a xx x f x的大致图象是10、已知x x e c b x a e x ln ln 1,)21(,ln ),1,(===∈-（e 是自然对数的底数），则c b a ,,之间的大小关系是A 、a c b >>B 、a b c >>C 、c a b >>D 、c b a >> 11、若函数)(x f y =的图象的一部分如图（1）所示，则图（2）所对应的的函数解析式可以是A 、)212(-=x f y B 、)12(-=x f yC 、)2121(-=x f yD 、)121(-=x f y12、已知函数)2||,80)(sin()(πϕωϕω<<<+=x x f ，若)(x f 满足2)1611()163(=+ππf f ，则下列结论正确的是A 、函数)(x f 的图象关于直线16π=x 对称B 、函数)(x f 的图象关于点)0,167(π对称C 、函数)(x f 在区间]16,16[ππ-上单调递增 D 、存在]8,0(π∈m ，使函数)(m x f +为偶函数第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上） 13、函数x y 2tan =的最小正周期为_______________. 14、已知31)sin(=+απ，则=+)2cos(απ_________________. 15、定义域为R 的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f -=+，且1)1(=f ，则=)7(f ___________. 16、某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量)(x f （单位：万斤）与年份x （记2015年为第1年）之间的关系统计如下：则)(x f 近似符合以下三种函数模型之一：①b ax x f +=)(；②a x f x+=2)(；③b x x f +=2)(.则你认为最适合的函数模型的序号是_______________.三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）（1）计算：43213)161(38log log ---；（2）已知b a ==7lg ,5lg ，试用b a ,表示49log 28.已知集合{}R a ax x x A ∈=+-=,03|2. （1）若A ∈1，求实数a 的值；（2）若集合{}R b b bx x x B ∈=+-=,02|2，且{}3=B A I ，求B A Y .19.（本题满分12分）已知函数)0)(6cos(sin )(>++=ωπωωx x x f 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）求函数)(x f y =的单调区间； （2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f y =的最大值和最小值，并指出此时的x 的值.某生产厂家生产一种产品的固定成本为4万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元.已知销售收入)(x R （万元）满足,)10(44)100(4.106.0)(2⎩⎨⎧>≤≤+-=x x x x x R （其中x 是该产品的月产量，单位：百台），假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题： （1）将利润表示为月产量x 的函数)(x f y =；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？21．（本题满分12分）已知函数b x x f a +=log )(（其中b a ,均为常数，10≠>a a 且）的图象经过点)5,2(与点)7,8(（1）求b a ,的值； （2）设函数2)(+-=x xab x g ，若对任意的]4,1[1∈x ，存在]5log ,0[22∈x ，使得m x g x f +=)()(21成立，求实数m 的取值范围.22. （本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角)26(παπα<<的顶点是坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点),(11y x A ，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π，交单位圆O 于点),(22y x B （1）若531=x ，求2x 的值； （2）分别过B A ,向x 轴作垂线，垂足分别为D C ,，记△AOC ，△BOD 的面积分别为21,S S .若212S S =，求角α的大小.安庆市2018—2019学年度第一学期期末教学质量调研检测高一数学试题参考答案第Ⅰ卷二、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1.D 解析：由已知得{}{}2|,1|≤=->∈=x x B x Z x A ，则{}2,1,0=⋂B A . 故选D.2.B 解析：根据正弦函数的定义得()5551121sin 22-=-=-+-=α. 故选B. 3.C 解析：由已知得()134316log 162=-=-=f ，221211-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--f ，所以()1212116-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+f f . 故选C.4.B 解析：因为1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，所以sin10>，cos20<，tan 40>，故选B.5.B 解析： A ，C ，D 中的图象均可用二分法求函数的零点. 故选B.6. A 解析：此扇形的圆心角的弧度数为224=，面积为42421=⨯⨯. 故选A. 7.C 解析：由201011x x x -≥⎧⎪+>⎨⎪+≠⎩，得12x -<≤且0x ≠. 故选C.8.D 解析：将ααcos 2sin =代入1cos sin 22=+αα，解得51cos 2=α，根据二倍角公式知531cos 22cos 2-=-=αα. 故选D. 9. A 解析：0()0x xxa x xf x a x a x ⎧>⎪==⎨-<⎪⎩，，. 故选A. 10.A 解析：因为1e 1x -<<，所以1ln 0a x -<=<，ln 1122xb ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1ln e e 1x c x -<==<. 故选A.11.B 解析：函数()f x 先整体往右平移1个单位，得到(1)y f x =-，再将所有点的横坐标压缩为原来的12倍，得到()12-=x f y . 故选B ． 12.C 解析：设函数()x f 的最小正周期为T ，根据条件知21631611πππ=-=nT ，其中n 为正整数，于是ωππ22==n T ，解得n 4=ω，又80<<ω，则4=ω，()()ϕ+=x x f 4sin ，将163π=x 代入，又2πϕ<知4πϕ-=，所以()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=44sin πx x f ，经验算C 答案符合题意. 故选C ．第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上） 13.π2解析：因为函数tan y x ω=的最小正周期为πω，所以函数tan 2y x =的最小正周期为π2. 14.13解析：由()31sin =+απ，得31sin =-α，即31sin -=α， 所以3131sin 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⎪⎭⎫⎝⎛+ααπ. 15.8-解析：()()()()()()()8182143423252257-=-=+==+-=-=+=f f f f f f f . 16. ①解析：若模型为②，则()421=+=a f ，解得2=a ，于是()22+=xx f ，此时()()()184,103,62===f f f ，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则()411=+=b f ，解得3=b ，于是,3)(2+=x x f ()()()194,123,72===f f f 此时，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得⎩⎨⎧=+=+734b a b a ，解得25,23==b a ，经检验是最适合的函数模型. 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分） 解：（Ⅰ）3421281log 3log 316-⎛⎫-- ⎪⎝⎭()34222log 3log 8log 316=+-- ………3分（注：每项1分）38=- ………4分 5=-. ………5分（Ⅱ）28lg 49log 49lg 28=……6分 2lg 72lg 2lg 7=+ ………8分()2221lg 522b bb a b==-+-+. ………10分18. （本题满分12分）解：（Ⅰ）由条件知将1=x 代入方程032=+-ax x ，得031=+-a ，解得4=a .…………5分（Ⅱ）由{}3=⋂B A 知B A ∈∈3,3.将3=x 代入方程032=+-ax x ，得0339=+-a ，解得4=a . ………6分解方程0342=+-x x ，得1=x 或3=x ，此时{}3,1=A . ………8分 将3=x 代入方程022=+-b bx x ，得0318=+-b b ，解得9=b . .………9分 解方程09922=+-x x ，得23=x 或3=x ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧=3,23B . ………11分 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋃3,23,1B A . ………12分19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）π()sin cos 6f x x x ωω⎛⎫=++⎪⎝⎭1sin cos sin 22x x x ωωω=+-1sin 2x x ωω= πsin 3x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. .………2分因为函数()y f x =图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以函数()y f x =的最小正周期为π，即2ππω=，得2ω=，所以π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. .………4分由ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤+≤+∈得π7πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈， 所以函数()y f x =的单调递减区间为π7πππ+(Z)1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，. .………6分 （Ⅱ）当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，ππ4π2333x ≤+≤， 所以当ππ232x +=即π12x =时，函数()y f x =的最大值为1； ………9分当π4π233x +=即π2x =时，函数()y f x =的最小值为- ………12分 20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由条件知20.610.40.84,010()4440.8,10x x x x f x x x ⎧-+--≤≤=⎨-->⎩ ………4分20.69.64,010400.8,10x x x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩ ………6分 （Ⅱ）当010x ≤≤时，()22()0.69.640.6834.4f x x x x =-+-=--+，当8x =时，()y f x =的最大值为34.4万元； ………9分当10x >时，()400.840832y f x x ==-<-=万元， ………10分 综上所述，当月产量为8百台时，公司所获利润最大，最大利润为34.4万元. …12分21．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得⎩⎨⎧=+=+78log 52log b b aa ， ………2分 消去b 得24log 2log 8log ==-a a a ，即42=a ，又0>a ，1≠a ，解得4,2==b a . ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知函数()x f 的解析式为()4log 2+=x x f . .………5分()224+-=x x x g . ………6分 当[]4,1∈x 时，函数()4log 2+=x x f 单调递增，其值域为[]6,4=A ； ………7分 令t x=2，当[]5log ,02∈x 时，[]5,1∈t ， 于是()()42424222--=-=-=+t t t x g x x []5,4-∈. ………8分 设函数()()m x g x h +=，则函数()x h 的值域为[]m m B ++-=5,4， ………9分 根据条件知B A ⊆，于是⎩⎨⎧≤+-≥+4465m m ，解得81≤≤m . 所以实数m 的取值范围为[]8,1. ………12分22. （本题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得54531cos 1sin ,53cos 221=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-===αααx ， ……2分 所以10343235421533sin sin 3cos cos 3cos 2-=⨯-⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=παπαπαx . …………5分（Ⅱ）根据条件知ααα2sin 41cos sin 211==S ， …………6分⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=322sin 413cos 3sin 212παπαπαS ， …………8分 因为212S S =，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=32sin 2cos 32cos 2sin 2322sin 22sin παπαπαα αα2cos 32sin -=， …………10分 于是02cos =α，22πα=，解得4πα=. …………12分。
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安徽省安庆市高一上学期数学期末调测试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分）设，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是（）（下列数据仅供参考：=1.41，=1.73，=1.44，=1.38）
A . 38%
B . 41%
C . 44%
D . 73%
3. （2分） (2016八下·曲阜期中) 函数y=2cos2(x－)－1是（）
A . 最小正周期为π的奇函数
B . 最小正周期为2π的奇函数
C . 最小正周期为π的偶函数
D . 最小正周期为2π的偶函数
4. （2分） (2016高一上·哈尔滨期中) 下面四个函数：（1）y=1﹣x；（2）y=2x﹣1；（3）y=x2﹣1；（4）y=
，其中定义域与值域相同的函数有（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
5. （2分） A={小于的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（）
A . {锐角}
B . {小于的角}
C . {第一象限的角}
D . 以上都不对
6. （2分） (2017高一上·山东期中) 已知 = = = ,则的大小关系是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高一上·清远期末) 已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（|x|）的图象（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）设函数y=f(x）的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1,则a=（）
A . -1
B . 1
C . 2
D . 4
10. （2分） (2019高二下·大庆月考) 已知是定义在上的奇函数，且满足，当
时，，则（）
A . 0
B . 1
C .
D .
二、填空题 (共1题；共1分)
11. （1分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β为非零常数．若f（2009）=﹣1，则f（2010）=________．
三、解答题 (共5题；共25分)
12. （5分） (2020高一下·林州月考) 已知函数 .
（1）若角的终边经过点，求的值；
（2）若 .且角为第三象限角，求的值.
13. （5分）用单位圆及三角函数线证明：正弦函数在[0， ]上是增函数．
14. （5分）(2019高一上·仁寿期中) 已知集合或，，
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围.
15. （5分） (2019高三上·和平月考) 已知函数，为的导数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数
的取值范围.
16. （5分） (2017高一上·中山月考) 已知函数的最小值为．
（1）求的值；（2）求的解析式．
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共1题；共1分)
11-1、
三、解答题 (共5题；共25分)
12-1、
12-2、
13-1、
14-1、
14-2、
15-1、
16-1、16-2、。