九年级数学 二次函数单元测试卷(含答案解析)

抛物线过点 A、B 两点，则 y＝a（x+1）（x﹣4），
将点 C 的坐标代入上式并解得：a＝ 1 ， 2
故抛物线的表达式为 y＝ 1 x2﹣ 3 x﹣2①； 22
（2）如图 2，过点 P 作 PH//y 轴交 BC 于点 H，
设点 P（x， 1 x2﹣ 3 x﹣2），则点 H（x， 1 x﹣2），
（3）根据题意分点 Q 在 BC 下方、点 Q 在 BC 上方两种情况，利用解直角三角形的方法， 求出点 H 的坐标，进而分析求解． 【详解】
解：（1）对于直线 y＝ 1 x﹣2， 2
令 x＝0，则 y＝﹣2，
令 y＝0，即 1 x﹣2＝0，解得：x＝4， 2
故点 B、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），
形，求得 NH NQ2 HQ2 8 8 4；设 N m, m2 6m 5 ，则 Gm,0 ，
H m, m 5 ，最后分点 N 在 x 轴上方时、点 N 在 x 轴下方且 m 5 时和 m 1三种情况
解答即可． 【详解】
解： 1 因为直线 y x n 经过 B、C 两点，且点 B 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上， ∵ Bn,0,C 0,n
在△ BOC 中，tan∠ OBC＝ OC ＝ 1 ＝tan∠ ROC＝ RC ，
OB 2
BC
则设 RC＝x＝QB，则 BC＝2x，则 RB＝ x2 (2x)2 ＝ 5 x＝BQ，
在△
QRB
中，S△RQB＝
1 2
×QR•BC＝
1 2
BR•QK，即
1 2
2x•2x＝
1 2
KQ•
5 x，
4x
解得：KQ＝ ，
（2）如图①，连接 PC，PB，设△PCB 的面积为 S，求 S 的最大值；
（3）如图②，抛物线上是否存在点 Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线 BQ 的
解析式及 Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝ 1 x2﹣ 3 x﹣2；（2）﹣1＜0，故 S 有最大值，当 x＝2 时，S 的最大值 22
为 4；（3）Q 的坐标为（ 5 ，﹣ 28 ）或（﹣ 11 ， 92 ）．
39
39
【解析】
【分析】
（1）根据题意先求出点 B、C 的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
（2）由题意过点 P 作 PH//y 轴交 BC 于点 H，并设点 P（x， 1 x2﹣ 3 x﹣2），进而根据 S 22
＝S△PHB+S△PHC＝ 1 PH•（xB﹣xC），进行计算即可求解； 2
九年级数学 二次函数单元测试卷（含答案解析）
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．图①，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点 A（﹣1，0），并且与直线 y＝ 1 x
2 ﹣2 相交于坐标轴上的 B、C 两点，动点 P 在直线 BC 下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
【答案】（1） y x2 6x 5 （2） t 2 ； 2 2 （3） 5 41 或 4 或 5 41
2
2
【解析】
【分析】
（1）先确定 A、B、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；
（2）先求出 AB、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点 P 到 BC 的高 d 为
5
4x
KQ
∴ sin∠ RBQ＝ ＝
BQ
5 ＝ 4 ，则 tanRBH＝ 4 ，
5
3
5x
在 Rt△ OBH 中，OH＝OB•tan∠ RBH＝4× 4 ＝ 16 ，则点 H（0，﹣ 16 ），
33
3
由点 B、H 的坐标得，直线 BH 的表达式为 y＝ 4 （x﹣4）②， 3
联立①②并解得：x＝4（舍去）或 5 ， 3
角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．
2．如图，抛物线 y ax2 bx 5a 0 经过 x 轴上的点 A 1,0 和点 B 及 y 轴上的点
C ，经过 B、C 两点的直线为 y x n ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点 P 从 A 出发，在线段 AB 上以每秒1个单位的速度向 B 运动，同时点 E 从 B 出 发，在线段 BC 上以每秒 2 个单位的速度向 C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也 停止运动．设运动时间为 t 秒，求 t 为何值时， △PBE 的面积最大并求出最大值． （3）过点 A 作 AM BC 于点 M ，过抛物线上一动点 N （不与点 B、C 重合）作直线 AM 的平行线交直线 BC 于点 Q ．若点 A、M、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求 点 N 的横坐标．
∴抛物线 y ax2 bx 5 经过点 A 1,0 ，点 Bn,0 ，点 C 0, n ，
当 x＝ 5 时，y＝﹣ 28 ，故点 Q（ 5 ，﹣ 28 ）；
3
9
39
②当点 Q 在 BC 上方时，
同理可得：点 Q 的坐标为（﹣ 11 ， 92 ）； 39
综上，点 Q 的坐标为（ 5 ，﹣ 28 ）或（﹣ 11 ， 92 ）．
39
39
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三
22
2
S＝S△PHB+S△PHC＝
1 2
PH•（xB﹣xC）＝
1 2
Baidu Nhomakorabea
×4×（
1 2
x﹣2﹣
1 2
x2+
3 2
x+2）＝﹣x2+4x，
∵ ﹣1＜0，故 S 有最大值，当 x＝2 时，S 的最大值为 4；
（3）①当点 Q 在 BC 下方时，如图 2，
延长 BQ 交 y 轴于点 H，过点 Q 作 QC⊥BC 交 x 轴于点 R，过点 Q 作 QK⊥x 轴于点 K， ∵ ∠ ABQ＝2∠ ABC，则 BC 是∠ ABH 的角平分线，则△ RQB 为等腰三角形， 则点 C 是 RQ 的中点，
d BP sin45 2 4 t ，则
2
S
PBE
1 BE d 2
1 2t 2
2 4t
2
2 t 4 t ，再根据二次函数的性质即可确定
2
最大值；
（3）先求出 AM AB sin45 4 2 2 2 ，过点 N 作直线 AM 的平行线交直线
2 BC 于点 Q, 则，再说明四边形 AMNQ 是平行四边形，得到 NQ AM 2 2 ；再过点 N 作 NH x 轴，交 x 轴于点 G, 交 BC 于点 H , 结合题意说明 NQH 为等腰直角三角