第4讲一元二次方程的解法-因式分解法

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一元二次方程的解法—因式分解法

可以利用“如果ab=0，那么a=0或b=0”来求解。
因式分解法：
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫因式分解法。
【想一想】
你能用几种方法解方程x -4=0,(x+1) -25=0。
二、范例学习、讲授新知
例：解下列方程。
1. 5x =4x 2. x-2=x(x-2)
三、随堂练习、巩固新知
1、5x -15x=0 2. x +4x=0
问题，提高学习数学的热情和积极性.
教学重点
掌握解一元二次方程
教学难点
灵活运用因式分解法解一元二次方程
教具准备
教学过程
教师活动
学生活动
一、课堂小测、回顾交流
【课堂小测】
解下列一元二次方程。
1. 4x2－1＝0
2. (25-2x）2-400 题
一元二次方程的解法—因式分解法
课型
新授
教学目标
知识
与技能
会用因式分解（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
过程
与方法
能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的
多样性。
情感
与态度
培养学生独立思考、积极探索的思维品质，善于用数学知识解决身边的数学
五、布置作业、拓展延伸
P42 4
教学后记：
学生练习。
概念：课本议一议，让学生自己理解。
解：（1）原方程可变形为：
5x2－4x=0
x(5x－4)=0
x=0或5x=4=0
∴x1=0或x2=
(2)原方程可变形为
x－2－x(x－2)=0
(x－2)(1－x)=0

一元二次方程的四种解法

一元二次方程的四种解法
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龙文教育个性化辅导教案提纲
教师:陈燕玲学生：年级九日期: 星期: 时
三、本次课后作业：
四、学生对于本次课的评价：
○ 特别满意○ 满意○ 一般○ 差
学生签字:
五、教师评定：
1、学生上次作业评价: ○非常好○好○ 一般○ 需要优
化
2、学生本次上课情况评价：○非常好○好○ 一般○ 需要优
化
教师签字：
教务主任签字： ___________
龙文教育教务处。

一元二次方程的解法因式分解法知识点总结

一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1)x 2+3x+1=0；(2)2241x x =-； (3)2x 2+3x-1=0．【答案与解析】(1)a=1，b=3，c=1∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得22410x x -+=．∵2a =，4b =-，1c =，∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>．∴42221222x ±==±⨯，即1212x =+，2212x =-．(3)∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0∴x=∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x 2﹣3x ﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==， ∴x 1=，x 2=．2．用公式法解下列方程： (1)（2014•武汉模拟）2x 2+x=2；(2)（2014秋•开县期末）3x 2﹣6x ﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x===，∴x 1=，x 2=．(2)∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x==，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=；【答案】解：移项，得22210x x +-=．∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>，∴ 21213222x -±-±==⨯， ∴ 1132x --=，2132x -+=．类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0；（3）x （2x+1）=8x ﹣3．【思路点拨】用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程. 【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0， ∴ x 1＝1，x 2＝-4．（3）去括号，得：2x 2+x=8x ﹣3，移项，得：2x 2+x ﹣8x+3=0合并同类项，得：2x 2﹣7x+3=0， ∴（2x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴2x﹣1=0或 x ﹣3=0，∴，x 2=3．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即2(23)0x +=， ∴ 1232x x ==-． (2)移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3(21)42x x x +=+【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0 X 1=-6,x 2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=01212,23x x =-=.5．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程两个根二次三项式因式分解 x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2 x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1） 2x 2+5x+2=0x 1=﹣，x 2=﹣2 2x 2+5x+2=2（x+）（x+2）4x 2+13x+3=0 x 1= ，x 2= 4x 2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x 2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax 2+bx+c=0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2+bx+c=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题 1．（2014•泗县校级模拟）下列方程适合用因式方程解法解的是（） A ．x 2﹣3x+2=0 B ．2x 2=x+4 C ．（x ﹣1）（x+2）=72 D ．x 2﹣11x ﹣10=02．方程(1)2x x -=的解是( )A ．1x =-B ．2x =-C ．11x =-，22x =D ．11x =，22x =-3．一元二次方程2340x x +-=的解是( ) A ．11x =；24x =- B ．11x =-；24x = C ．11x =-；24x =- D ．11x =；24x =4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝7 6．已知210x x --=，则3222012x x -++的值为 ( )A ． 2011B ．2012C ． 2013D ．2014 二、填空题7．（2015•厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____； 8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________．12．已知y ＝(x-5)(x+2)．(1)当x 为值时，y 的值为0； (2)当x 为值时，y 的值为5.三、解答题 13．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程（1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法）（3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法）（4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14.用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0．（2）(2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15(2)请观察上表，结合24b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ；【解析】解：根据分析可知A 、B 、D 适用公式法．而C 可化简为x 2+x ﹣72=0，即（x+9）（x ﹣8）=0，所以C 适合用因式分解法来解题．故选C ．2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0.3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝04.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6，∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27x =6.【答案】C ；【解析】由已知得x 2-x ＝1，∴ 322222012()20122012120122013x x x x x x x x 2-++=--++=-++=+=．二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0．∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1． 8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解． 9．【答案】2320x x -+=；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2． 12．【答案】 (1) x ＝5或x ＝-2；(2) 3692x +=或3692x -=．【解析】(1)当y ＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴ x-5＝0或x+2＝0，∴ x ＝5或x ＝-2．(2)当y ＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴ 23150x x --=，3941(15)369212x ±-⨯⨯-±==⨯，∴ 3692x +=或3692x -=．三、解答题13.【解析】解：（1）（x ﹣3）2=4x ﹣3=2或x ﹣3=﹣2，解得，x 1=1或x 2=5；（2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x ﹣3）2﹣5（2x ﹣3）=0，因式分解得，（2x ﹣3）（2x ﹣3﹣5）=0，，x 2=4；（4）化简得，x 2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x 1=﹣4，x 2=﹣5．14.【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0，∴ 18x =，22x =-．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当1y =-时，211x +=-，1x =-；当2y =-时，212x +=-，32x =-． ∴ 原方程的解为11x =-，232x =-．15.【解析】(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； ②当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；③当240b ac -<时，方程没有实数根． (3)242015b ac m -=-，①当原方程有两个不相等的实数根时，2420150b ac m -=->，即34m >且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即34m =； ③当原方程没有实数根时， 2420150b ac m -=-<，即34m <．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a--=②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m ≠0，n ≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m ≠0，解得x ＝1．(2)当m+n ≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 2243624|6|2()2()n m m n m m x m n m n -±-±==++， ∴ 11x =，25n m x m n-=+．【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+= ∵1,3,2,a m b m c =-=-=∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 23(1)3(1),2(1)2(1)m m m m x m m -±+-±+==-- ∴ 122, 1.1x x m==- 2．用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ 24(2)56221b b ac m a -±---±==⨯22141142±==±， ∴ 1114m =+，2114m =-．【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-= ∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥ ∴23322m m m m x ±±== ∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x 2﹣1=2（x+1）．【答案与解析】解：∵x 2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣3）=0，∴x 1=﹣1，x 2=3．【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.举一反三：【变式】解方程（2015·茂名校级一模）（1）x 2-2x-3=0；（2）（x-1）2+2x(x-1)=0．【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0∴x-3=0，x+1=0∴x 1=3,x 2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x ）=0∴x-1=0，3x-1=0∴x 1=1,x 2=13.4．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)∴ z ＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。

《解一元二次方程》一元二次方程PPT(因式分解法)

分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法.
〔3〕9〔x+1〕2＝〔2x-5〕2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
〔4〕9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝〔-12〕2-4×9×〔-1〕＝ 144+36
(x + m) 〔x + n〕＝0
解法选择根本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时〔ax2+c=0〕，应选用直接开平方法； 2.假设常数项为0〔 ax2+bx=0〕，应选用因式分解法； 3.假设一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0〕，先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，假设容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
不过现在教同学们一个小办法，左边我为大家准备了一张视力保健“远眺图” ，看看图就能缓解眼疲劳，起到远眺解乏的作用。
远眺图是利用心理学空间知觉原理，在一张二维空间平面上，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，远视和视力良好的人在长时间近距离用眼情况下引起的视力疲劳，可以通过此种方法获得一定的缓解。
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置，熟悉一下最远处几个框细微的纹路，
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注，开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层的绿白线条。

第四讲一元二次方程的解法

第4讲一元二次方程的解法一、一元二次方程的定义一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数， c 为常数项．二、一元二次方程的解法：⑴直接开平方法：适用于解形如2()(0)x a b b +=≥的一元二次方程． ⑵配方法：解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程，一般步骤是：①二次项系数化1．②常数项右移．③配方(两边同时加上一次项系数一半的平方)．④化成2()x m n +=的形式．⑤若0n ≥，选用直接开平方法得出方程的解．⑶公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是x =．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①把方程化为一般形式②确定a 、b 、c 的值．③计算24b ac -的值．④若240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤若240b ac -<，则方程无解．⑷因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．常用解法直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．⑴ 因式分解法适用于右边为0(或可化为0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法． ⑵ 公式法适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算24b ac -的值． ⑶ 直接开平方法用于缺少一次项以及形如2ax b =或()()20x a b b +=≥或()2ax b +=()2cx d +的方程，能利用平方根的意义得到方程的解． ⑷ 配方法配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=(a 、b 、c 为常数，0a ≠)转化为它的简单形式2Ax B =，这种转化方法就是配方，具体方法为：2ax bx c ++22222244424b b b b ac b a x x c a x a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以方程20ax bx c ++=(a 、b 、c 为常数，0a ≠)就转化为224024b ac b a x a a -⎛⎫++= ⎪⎝⎭的形式，即222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．典例分析：知识点1：一元二次方程的定义例1:（1）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+2y=1 B．x3﹣2x=3 C．x2+=5 D．x2=0（2）方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6、2、5 B．2、﹣6、5 C．2、﹣6、﹣5 D．﹣2、6、5（3）下面关于x的方程中：①（a2+1）x2+x+2=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④x2﹣a=0（a为任意实数）；⑤x2﹣3x+8=（x+1）（x﹣1），一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4（4）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a2﹣4）x+8=0不含一次项，则a=．（5）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣5m+4=0，常数项为0，则m值等于（）A．1 B．4 C．1或4 D．0（6）关于x的方程（4﹣a）x﹣ax﹣5=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（）A．﹣1 B．1 C．4 D．4或﹣1（7）把方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项，一次项及常数项．（8）已知关于x的方程（2k+1）x2+k﹣4kx+（k﹣1）=0．（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？求这个一元一次方程的根；（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．知识点2:利用一元二次方程的根求值例2：（1）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．2018（2）已知m是方程x2﹣2009x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2008m++11的值等于（）A．2016 B．2017 C．2018 D．2019（3）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定知识点3：一元二次方程的解法之直接开平方法例3：（1）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=．（2）解方程：1. 16x2﹣81=0；2. x2﹣144=0．3.（x﹣1）2=9．4.（2x﹣3）2=9；5. 25x2+=5x6. x2﹣8x+16=（5﹣2x）2知识点4：一元二次方程的解法之配方法例4：（1）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（）A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4（2）已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的（）A．（x﹣p）2=5 B．（x﹣p）2=9 C．（x﹣p+2）2=9 D．（x﹣p+2）2=5（3）若方程4x2﹣（m﹣2）x+1=0的左边是一个完全平方式，则m的值是（）A．﹣6或﹣2 B．﹣2 C．6或﹣2 D．2或6（4）用配方法解下列方程，配方正确的是（）A．2y2﹣4y﹣4=0可化为（y﹣1）2=4 B．x2﹣2x﹣9=0可化为（x﹣1）2=8C．x2+8x﹣9=0可化为（x+4）2=16 D．x2﹣4x=0可化为（x﹣2）2=4（5）填上适当的数,使下列等式成立.(1)x2＋12x＋＝(x＋6)2;(2)x2-4x＋＝(x-)2;(3)x2＋8x＋＝(x＋)2.在上面等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系?（6）用配方法解下列方程.(1)x2-4x＝5; (2)x2-100x-101＝0;(3)x2＋8x＋9＝0; (4)y2＋2y-4＝0.（7）用配方法解下列方程.(1)3x2-4x-2＝0;(2)2x2＋3x-2＝0;(3)4(x-3)2＝225;(4)2x2＋1＝3x;(5)3y2-y-2＝0; (6)3x2-4x＋1＝0;(7)2x2＝3-7x. (x-2)2-4(x-2)-5＝0（8）用配方法求解下列问题.(1)求—2x2-2x＋2的最大值;(2)求3x2＋4x＋5的最小值.知识点5：一元二次方程的解法之公式法例5：（1）用公式法解下列方程.(1)3x 2-x-2＝0; (2)2x 2＋1＝3x ; (3)4x 2-3x-1＝x-2; (4)3x (x-3)＝2(x-1)(x ＋1).(5) 25720x x -+= (6) 22310x x +-=（7）2362x x =- （8）2952n n =-知识点6：一元二次方程的解法之因式分解法例6：因式分解法解方程：（1）21904x -= （2）281030x x +-=（3）26x -= （4）2670x x --=（5）()()23430x x x -+-= （6）222320x mx m mn n -+--= (m 、n 为常数)知识点7：一元二次方程的解法的选用例7：选择适当的方法解一元二次方程（1）﹣3x 2+4x +1=0；（2）x （x +4）=﹣3（x +4）．（3）7x 2﹣23x +6=0．（4）（x ﹣1）（x +3）=12（5）（x+2）2=2（x2+3）（6）3x2+5（2x+1）=0．（7）5x2﹣4x﹣12=0 （8）2x2+x﹣6=0．知识点8：利用方程的解法解决综合问题例8:(1)用配方法说明：无论实数x取何值，代数式﹣2x2+8x﹣15的值为负，并求出当x取何值时代数式的值最大，最大是多少？（2）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2﹣2ac﹣8a﹣2b+17=0，试判断此三角形的形状．（3）若0是关于x的方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．（4）已知x2+y2﹣6x+10y+34=0，求3x﹣2y的值夯实基础：1.方程（m﹣2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠22.用公式法解一元二次方程3x2﹣2x+3=0时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（）A．a=3，b=2，c=3 B．a=﹣3，b=2，c=3C．a=3，b=2，c=﹣3 D．a=3，b=﹣2，c=33.若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．24.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八，九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50+50（1+x2）=196 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=196C．50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=1965.已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M，N的大小关系为（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不能确定6.把一元二次方程x（x+5）=5（x﹣2）化为一般形式；它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为7.解方程（1）x2﹣10x+25=7．（2）2x2+3x﹣7=0（3）﹣x2+3x+4=2．（4）3x（x﹣1）=2﹣2x（5）x2+8x﹣9=0 （6）（x﹣3）2=（2x+1）28.已知关于x的方程22-=-是一元二次方程，求a的取值范围()(2)x a ax9.解方程:2560--=x x10.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状．11.已知a2+b2+c2+ab﹣3b+2c+4=0，求a+b+c的值。

一元二次方程的解法因式分解法

分解因式法解一元二次方程教案赵县第二中学李进锐教学目标：1、知识与技能：会使用因式分解的方法解某些一元二次方程2、过程与方法：经历分解因式法把一元二次方程化为两个一元一次方程的过程，体会“降次”思想、“转化”思想。

3、情感态度与价值观：体验方法的优劣，激发探索的欲望，感受数学学习的乐趣，增加学习数学的兴趣。

教学重点与难点：教学重点：用因式分解法解某些一元二次方程教学难点：根据方程特点选择合适的因式分解的方法教学过程设计：一：复习回顾1、我们已经学过几种解一元二次方程的方法？哪几种？三种，分别是：（1）直接开平方法（2）配方法（3）公式法2、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。

3、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。

4、选择合适的方法解下列方程：①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0让学生回答用什么方法，然后师生共同写出解答过程。

解：（1）x2－6x = 7x2－6x+9 = 7+9(x－3)2 = 16x－3 = ±4x－3 =4或x－3 =－4∴x1=7，x2=－1(2) 3x2＋8x－3＝0a=3,b=8,c=－3b2 －4ac=82 －4×3×(－3)=100＞0∴原方程有两个不相等的实数根x1= 1/3 , x2 =－3二、新课讲解引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演三个学生的的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程，当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用第三个同学的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法。

1．复习提问：如果AB=0，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．“至少”有下列三层含义①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0 2、复习提问：（1）什么叫因式分解？（2）因式分解有几种方法？哪几种？叫两个同学分别回答这两个问题，然后老师补充纠正。

第四节一元二次方程的解法因式分解

第二十一章一元二次方程21.2.3因式分解【知识点梳理】1、定义：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成_______________________________，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

2、因式分解法的步骤：①移项：_________________________________左边，右边化为0；①化积：把方程的左边分解成__________________________________；②转化：令______________________________，得到一元一次方程；③解：解____________________，即可得到原方程的解。

3,因式分解常见类型：①___________________②__________________③_______________________。

【知识点训练】知识点一、因式分解法解方程1.方程（x-1）(x+2)=0的两根分别是（）。

A. x1=-1， x2=2 B. x1=1, x2=2 C. x1=-1，x2=-2 D. x1=1， x2=-22.方程x2-3x=0的解是（）。

A. x= 0B. x= 3C. x1=0，x2=-3 D. x1=0， x2=33.下列命题：①kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2 =x与x=1是同解方程；④由（x-1）（x+1）=3可得x-1=3或 x+1=3；其中正确的命题有（）个。

A. 0B.1C. 2D.34.已知三角形ABC的两条边长分别是3与6，第三边长是方程（x-2）（x-4）=0的一个根，则三角形ABC的周长是（）。

A. 11B.13C. 11或13D.不确定5．x2-5x因式分解结果为_________________； 2x(x-3)-5(x-3)因式分解结果为_____________________。

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法汇总1．直接开方法解一元二次方程(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：（点击图片可放大阅览）要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤:①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：（点击图片可放大阅览）类型二、因式分解法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．（点击图片可放大阅览）【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y 的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。

一元二次方程的解法(4)因式分解法课件全面版

右化零左分解
两因式各求解
布置作业 1、家庭作业：练习册17.2（5） 2、课堂作业:课本习题17.2第4题； 3、预学下一课时内容。
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时

第04讲一元二次方程的解法(因式分解法)-2024年新九年级数学暑假提升讲义(人教版学习新知)

第04讲一元二次方程的解法（因式分解法）（2个知识点+5个考点+易错分析）模块一思维导图串知识1．认识用因式分解法解方程的依据．模块二基础知识全梳理（吃透教材）2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测知识点1：因式分解法（重难点）（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）(1)在一元二次方程的四种解法中,优先选取顺序依次为直接开平方法→因式分解→公式法→配方法,若没有特别说明,一般不采用配方法.(2)对于复杂的一元二次方程,一般不急于化为一般形式,应先观察其特点,看能否用直接开平方法或因式分解法,若不能,再化为一般形式用公式法求解。

考点1：利用提公因式法分解因式解一元二次方程【例1】用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋5x ＝0；(2)(x －5)(x －6)＝x －5.【变式1-1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）方程(1)x x x +=的解是（）A ．=1x -B ．1x =C ．0x =D ．1x =或0x =【变式1-2】（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）一元二次方程260x x -=的根是（）A ．126x x ==B ．126x x ==-C ．126,0x x ==D ．126,0x x =-=【变式1-3】解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）230x -=；（2）7(3)39x x x -=-．考点2：利用公式法分解因式解一元二次方程【例2】用因式分解法解下列方程：(1)x 2－6x ＝－9；(2)4(x －3)2－25(x －2)2＝0.【例2-1】用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．【变式2-2】解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；【变式2-3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）一个菱形的边长是方程29180x x -+=的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为．【变式2-4】．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）解方程：2560x x -+=．【变式2-5】解下列关于x 的方程：（1）2(1(30x x +-++；（2）2(35)5(35)40x x +-++=；考点3：选择合适的方法解一元二次方程【例3】用适当的方法解下列方程：（1）22((1x +=-；（2）2x x =；（3）(3)(1)5x x +-=；（4）2()()0()b a x a c x c b a b -+-+-=≠．【变式3-1】.解关于x 的方程（合适的方法）：（1）2110464x x -+=；（2）22((1x +=+．【变式3-2】解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +-=；（2）2(41)10(14)240x x -+--=．【变式3-3】（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）用合适的方法解下列方程：(1)22980x x -+=(2)22990x x --=(3)2410x x -+=(4)22310x x -+=考点4：用因式分解法解决问题【例4】若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 、b 、c 满足a 2－ac －ab ＋bc ＝0，试判断△ABC 的形状．【变式4-1】（23-24九年级上·重庆江津·期中）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2560x x -+=的两根，则此直角三角形的面积为（）A ．2B ．3C D ．6【变式4-2】．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程27120x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）AB ．3C ．5D ．9【变式4-3】．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2540x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长为（）A ．9B ．6C ．1或4D ．9或6【变式4-4】．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若菱形两条对角线的长度是方程29200x x -+=的两根，则该菱形的面积为．考点5：新定义问题【例5】．（23-24九年级上·广东汕头·期末）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号{}min ,a b 表示a 、b 中的较小值．如：{}min 2,33-=-，按照这个规定，方程{}2,13-=-min x x x 的解为【变式5-1】．（23-24九年级上·山东聊城·期末）若规定两数a ，b ，通过运算“∆”可得3ab ，即3a b ab ∆=，如2632636∆=⨯⨯=，若2240x x x ∆+∆-∆=，则x 的值为．【变式5-2】．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）对于实数a b ，，定义运算“※”：()()2a b a b a b b a a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩※．例如24※，因为42>，所以42422=-=※．若1x ，2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x =※．【变式5-3】．（23-24九年级上·河北保定·期末）新定义：如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）方程2680x x -+=“倍根方程”（填“是”或“不是”）；（2）若()()80x x n --=是“倍根方程”，则n =．易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。

解一元二次方程--因式分解法

(2x +1)(2x −1) = 0.
4x2 −1 = 0,
例4、用分解因式法解方程、用分解因式法解方程: (1)5x (2)x-2=x(x(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2);
(1)解: 5x − 4x = 0,
2
∴x = 0,或 x − 4 = 0. 5
4 ∴x1 = 0; x2 = . 5
问题1 问题
你学过哪几种解一元二次方程的方法? 你学过哪几种解一元二次方程的方法解一元二次方程的方法 (1)直接开平方法 x2=a (a≥0) 直接开平方法: 直接开平方法 (2)配方法配方法: 配方法
(x+h)2=k (k≥0)
2
−b ± b − 4ac 2 (3)公式法 x = 公式法: 公式法 . b − 4ac ≥ 0 . 2a
(
)
问题2、什么叫分解因式什么叫分解因式? 什么叫分解因式
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式. 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式整式乘积的形式叫做分解因式
问题3、分解因式的方法有那些的方法有那些? 问题、分解因式的方法有那些（1）提取公因式法: ）提取公因式法 am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2. ± x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
提示: 提示: 1.用分解因式法的条件是方程左边易于分解, 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 关键是熟练掌握因式分解的知识 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 理论依旧是 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零. 少有一个因式等于零.”

一元二次方程的解法(4)--因式分解法课堂实录

22.2 一元二次方程的解法（4）——因式分解法课堂实录师：前面我们学习了几种一元二次方程的解法？直接开平方法配方法公式法。

那么我们掌握得怎样，还有其他方法解一元二次方程吗？今天，我们就一起来学习一元二次方程的解法（4）——因式分解法。

首先我们来复习配方法公式法解一元二次方程师：看下面的问题：（投影）【活动1】解下列方程：（配方法） (1) X 2－8x+15＝0(2)3X 2-5x+2＝0学生解方程，教师巡视，适当辅导。

一位学生上台书写详细过程，有示范作用，注意学生解题准确率。

【活动2】解下列方程：（公式法法） (1) 2X 2－x-3＝0(2) X 2+6x-7＝0老师：1. 复习求根公式2.学生解方程，教师巡视，适当辅导。

学生：一位学生上台板演,其他学生学出详细过程。

【活动3】问题：要使两个数的乘积为零要满足什么条件？--------------师：问题中选择以提问作为本课的开端，有益于培养学生的思维。

通过猜想，发现问题，可以激发如果 a b=0,那么1=1例:解方程 x(x-5)=0，x 2=x =1例2:方程( x+3)(2x-8)=0的解是x 2=x充分调动学生的思维，鼓励学生大胆猜想，引入因式分解法解一元二次方程。

例3 解下列方程：师：例3（1）题老师板书，然后投影。

（2）叫一位学生上台书写详细过程。

老师巡视辅导个别学生，注意及时发现问题。

生：一位学生上台书写详细过程，其他学生学出详细过程进一步熟练因式分解【活动4】归纳因式分解法的含义：象这样通过因式分解把一元二次方程化为（ a x +b) (cx+d) =0,(即一边为两个一次因式相乘，另一边为0),再分别使各一次因式等于0，从而达到降次的目的来解一元二次方程的方法，叫做因式分解法.师生共同总结：归纳因式分解法的含义例4 用因式分解法解方程：师：例4（1）题老师先分析与例3的不同之处，然后投影。

生：进一步体会因式分解时整体思想的应用。

一元二次方程四大解法

解一元二次方程有四种常见的方法，分别是：
1. 因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，将方程化简为两个一次方程相乘的形式，然后解出方程的根。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，然后解出x 的值为-2 和-3。

2. 完全平方法：将一元二次方程表示成完全平方的形式，然后解方程。

例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以写成(x + 3)^2 = 0，然后解出x 的值为-3。

3. 公式法：利用求根公式解一元二次方程。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 是已知常数，而x 是未知数。

根据求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)，可以计算出方程的根。

需要注意的是，当判别式b^2 - 4ac 小于0 时，方程没有实数根。

4. 完全平方差法：将一元二次方程表示成两个平方数之差的形式，然后解方程。

例如，对于方程x^2 - 4x - 5 = 0，可以写成(x - 2)^2 - 9 = 0，然后解出x 的值为 2 ±3。

以上是解一元二次方程的四种常见方法。

根据具体的方程形式和求解需求，选择适合的方法进行求解。

希望以上信息对你有所帮助。

用因式分解法解一元二次方程详细

用因式分解法解一元二次方程【主体知识概括】1．因式分解法若一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式时，比如，x 2－ 9＝0，这个方程可变形为 ( ＋ 3)( － 3) ＝ 0，要 ( x ＋ 3)( x －3) 等于 0，一定并且只需 ( x ＋ 3) 等于 0 或( x － 3) 等于 0，x x所以，解方程 ( x ＋ 3)( x － 3) ＝ 0 就相当于解方程 x ＋ 3＝ 0 或 x －3＝ 0 了，经过解这两个一次方程便可获得原方程的解．这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的重点是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论依据是：若A ·B ＝0 A ＝ 0 或B ＝ 0．【基础知识解说】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0 的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要依据状况灵巧运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法能够说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特别形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简易，有的用因式分解法简易．所以，在碰到一道题时，应选择适合的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实质解一元二次方程时，一般不用配方法．而在此后的学习中，会经常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例 1：用因式分解法解以下方程：(1)y 2＋7 ＋ 6＝ 0； (2)t (2 t － 1) ＝ 3(2 t － 1) ；(3)(2 x －1)( x － 1) ＝ 1．y解：(1) 方程可变形为 ( y ＋ 1)( y ＋ 6) ＝ 0， y ＋ 1＝ 0 或 y ＋ 6＝ 0，∴ y 1＝－ 1， y 2＝－ 6． (2) 方程可变形为 t (2 t －1)－3(2 t －1)＝0，(2 t －1)( t －3)＝0，2t －1＝0或 t －3＝0，∴ t 1＝1， t 22＝ 3．(3) 方程可变形为 2x 2－ 3x ＝0．x (2 x － 3) ＝ 0，x ＝ 0 或 2x － 3＝ 0． ∴ x 1＝0， x 2＝3．2说明： (1) 在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，假如左侧的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右侧为零时，则可令每一个一次因式为零，获得两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如 ( x－a)( x－b) ＝c的方程，其左侧是两个一次因式之积，但右侧不是零，所以应转变为形如( x－e)( x－f ) ＝0 的形式，这时才有x1＝ e， x2＝ f ，不然会产生错误，如(3) 可能产生以下的错解：原方程变形为：2x－ 1＝1 或x－ 1＝ 1．∴x1＝ 1，x2＝ 2．(3) 在方程 (2) 中，为何方程两边不可以同除以(2 t－1) ，请同学们思虑？例 2：用适合方法解以下方程：(1) 3 (1－ x)2＝ 27 ；(2) x2－6x－19＝0；(3)3 x2＝4x＋1；(4) y2－15＝2y；(5)5 x( x－3)－( x－3)( x＋1) ＝ 0；(6)4(3 x＋ 1) 2＝ 25( x－ 2) 2．解析：方程 (1) 用直接开平方法，方程(2) 用配方法，方程(3) 用公式法，方程(4) 化成一般式后用因式分解法，而方程(5) 、 (6) 不用化成一般式，而直接用因式分解法就能够了．2 ＝9 ，( x－1) 2 ＝ 3，x－ 1＝±3 ，∴ x ＝1＋ 3 ， x ＝1－ 3 ．解： (1)(1 － x)1 2(2) 移项，得x 2－ 6 ＝ 19，配方，得x2－ 6x＋ ( － 3) 2＝ 19＋( － 3) 2， ( － 3) 2＝ 28，－ 3＝± 27，x x x∴ x1＝3＋2 7 ， x2＝3－2 7 ．(3)移项，得 3x2－4x－ 1＝0，∵ a＝3， b＝－4， c＝－1，∴ x＝( 4)( 4)2 43 ( 1) 2 7 ，2 3 3∴ x1＝2 7，x2＝27 ．3 3(4) 移项，得y2－ 2y－ 15＝0，把方程左侧因式分解，得( y－ 5)( y＋ 3) ＝ 0；∴ y－5＝0或 y＋3＝0，∴ y1＝5， y2＝－3．(5)将方程左侧因式分解，得 ( x－ 3) ［ 5x－( x＋ 1) ］＝ 0， ( x－ 3)(4 x－ 1) ＝ 0，∴ x－3＝0或4x－1＝0，∴x1＝3， x2＝1．4(6)移项，得 4(3 x＋ 1) 2－ 25( x－ 2) 2＝ 0，［ 2(3 x＋ 1) ］2－［ 5( x－ 2) ］2＝ 0，［2(3 x＋ 1) ＋ 5( x－ 2) ］·［ 2(3 x＋ 1) － 5( x－2) ］＝ 0，(11 x－8)( x＋ 12) ＝ 0，∴11x－ 8＝ 0 或x＋ 12＝ 0，∴x1＝8，x2＝－ 12．11说明： (1) 对于无理系数的一元二次方程解法同有理数同样，只可是要注意二次根式的化简．(2) 直接因式分解就能转变成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这类形式的方程就不用要整理成一般式了．例 3: 解对于x的方程： ( a2－b2) x2－ 4abx＝a2－b2．解： (1) 当a2－b2＝0，即｜a｜＝｜b｜时，方程为－4abx＝ 0．当 a＝b＝0时， x 为随意实数．当｜a｜＝｜ b｜≠0时， x＝0．(2)当 a2－ b2≠0，即 a＋ b≠0且 a－ b≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［ ( a＋b) x＋ ( a－b) ］［ ( a－b) x－ ( a＋b) ］＝ 0，∵ a＋ b≠0且 a－ b≠0，∴ x1＝b a， x2＝ab ．a b a b说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不一样状况分别求解．此题其实是分三种状况，即①a＝ b＝0；②｜ a｜＝｜ b｜≠0；③｜ a｜≠｜ b｜．2 2x 2 2xy 5 y 2例 4: 已知x－xy－ 2y＝ 0，且x≠ 0，y≠ 0，求代数式x 2 2xy 5 y 2 的值．解析：要求代数式的值，只需求出 x、y 的值即可，但从已知条件中明显不可以求出，要求代数式的分子、分母是对于 x、 y 的二次齐次式，所以知道x 与 y 的比值也可．由已知x2－ xy－2y2＝0因式分解即可得 x 与 y 的比值．解：由 x2－ xy－2y2＝0，得( x－2y)( x＋y)＝0，∴ x－2y＝0或 x＋y＝0，∴ x＝2y 或 x＝－ y．当 x＝2y 时，x22xy 5y 2 (2y) 2 2 2y y 5y 2 5y 2 5 ．x 2 2xy 5y 2 (2y ) 2 2 2y y 5y 2 13y 2 13当 x＝－ y 时，x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 2 2y 2 1．x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 4y 2 2说明：因式分解法表现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不单可用来解一元二次方程，并且在解一元高次方程、二元二次方程组及相关代数式的计算、证明中也有着宽泛的应用．【同步达纲练习】 1．选择题(1) 方程 ( x － 16)(x ＋8)＝0的根是 ()A ．x 1＝－ 16，x 2＝ 8B ．x 1＝ 16，x 2＝－ 8C ．x 1＝16，x 2＝ 8D ．x 1＝－ 16，x 2＝－ 8(2) 以下方程 4x 2－3x － 1＝0， 5x 2－ 7x ＋ 2＝ 0，13x 2－ 15x ＋2＝ 0 中，有一个公共解是 ( )A ．． x ＝1B ． x ＝ 2C ． x ＝ 1D ．x ＝－ 12(3) 方程 5 x ( x ＋3) ＝ 3( x ＋ 3) 解为 ( )1＝ 3 2B ． x ＝ 3A ． x 5 ， x ＝ 35C ． x 1＝－ 3， x 2＝－ 3D ． x 1＝ 3， x 2＝－ 355(4) 方程 ( y － 5)( y ＋ 2) ＝1 的根为 ( )A ． y 1＝5， y 2＝－ 2B ． y ＝ 5C ． y ＝－ 2D ．以上答案都不对(5) 方程 ( x － 1) 2－4( x ＋ 2) 2＝ 0 的根为 ( )A ． x 1＝1， x 2＝－ 5B ． x 1＝－ 1， x 2＝－ 5C ． x 1＝ 1， x 2＝ 5D ． x 1＝－ 1， x 2＝ 5(6) 一元二次方程 x 2＋ 5x ＝ 0 的较大的一个根设为 m ， x 2－ 3x ＋ 2＝ 0 较小的根设为 n ，则 m ＋ n 的值为( )A ． 1B ． 2C ．－ 4D ． 4(7) 已知三角形两边长为4 和 7，第三边的长是方程x 2－ 16x ＋ 55＝ 0 的一个根，则第三边长是( ) A ． 5 B ． 5 或 11 C ． 6D ． 11(8) 方程 x 2－3| x －1|＝1的不一样解的个数是( ) A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 2．填空题(1) 方程 t ( t ＋3)＝28的解为_______．(2) 方程 (2 x ＋ 1) 2＋ 3(2 x ＋1) ＝ 0 的解为 __________ ． (3) 方程 (2 y ＋ 1) 2＋ 3(2 y ＋1) ＋ 2＝ 0 的解为 __________．(4)对于 x 的方程 x2＋( m＋n) x＋ mn＝0的解为__________．(5)方程 x( x－ 5 )＝ 5 － x 的解为__________．3．用因式分解法解以下方程：(1) x2＋12x＝ 0；(2)4 x2－ 1＝ 0；(3) x2＝ 7x；(4) x2－4x－ 21＝0；(5)(x－1)( x＋3)＝12；(6)3 x2＋ 2x－ 1＝ 0；(7)10 x2－x－ 3＝0；(8)(x－1)2－4( x－1)－21＝0．4．用适合方法解以下方程：(1) x2－4x＋ 3＝ 0；(2)(x－2)2＝256；(3) x2－ 3x＋ 1＝0；(4) x2－2x－ 3＝ 0；(5)(2 t＋ 3) 2＝ 3(2 t＋ 3) ；(6)(3 －y) 2＋y2＝ 9；(7)(1 ＋2 ) x2－(1－2 ) x＝0；(8) 5 x2－ (5 2＋ 1) x＋10 ＝0；(9)2 x2－8x＝ 7( 精准到 0．01) ； (10)( x＋ 5) 2－2( x＋ 5) － 8＝ 0．5．解对于x 的方程：(1) x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2) x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；2222(3) x －2mx － 8m ＝ 0； (4) x ＋ (2 m ＋ 1) x ＋ m ＋ m ＝0． 6．已知x 2＋ 3xy －4y 2＝ 0( y ≠ 0) ，试求x y的值．x y7．已知 ( x 2＋y 2)( x 2－ 1＋y 2) － 12＝ 0．求x 2＋y 2的值． 8．请你用三种方法解方程：x ( x ＋12)＝864．9．已知x 2＋ 3x ＋ 5 的值为 9，试求 3x 2＋ 9x － 2 的值．10．一跳水运动员从 10 米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系式 h ＝－5( t －2)( t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程 ( x 2－ 1) 2－ 5( x 2－1) ＋ 4＝0，我们能够将 x 2－1 视为一个整体，而后设x 2－ 1＝ y ，则 y 2＝( x 2－ 1) 2，原方程化为2－ 5 ＋ 4＝0，解此方程，得y 1＝ 1， y 2＝ 4．y y当 y ＝1时， x 2－1＝1， x 2＝2，∴ x ＝±2 ．当 y＝4时， x2－1＝4， x2＝5，∴ x＝± 5 ．∴原方程的解为 x1＝－ 2 ， x2＝ 2 ， x3＝－ 5 ， x4＝ 5 ．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，表现了转变的思想．(1)运用上述方法解方程： x4－3x2－4＝0．(2)既然能够将 x2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参照答案【同步达纲练习】1． (1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2． (1) t 1＝－ 7，t 2＝ 4(2) x 1＝－1 2， 2＝－2(3) y 1＝－1， y 2＝－3 (4) x 1＝－， 2＝－ n (5) x 1＝ 5 ， 2＝－1 x 2m x x3．(1) x 1＝0，x 2＝－ 12；(2) x 1＝－1，x 2＝1；(3) x 1＝0，x 2＝ 7；(4) x 1＝ 7，x 2＝－ 3；(5) x 1＝－ 5，x 2＝3；(6) x 1＝－ 1，22x 2＝1；3(7) x 1＝3，x 2＝－1；(8) x 1＝8， x 2＝－2．524． (1) x 1＝ 1， x 2＝ 3； (2) x 1＝ 18， x 2＝－ 14； (3) x 1＝35， x 2 ＝35； (4) x 1 ＝3， x 2＝－ 1；22(5) t 1＝0， t 2＝－3； (6) y 1＝ 0，y 2 ＝ 3； (7) x 1＝ 0，x 2＝ 22 － 3；2(8) x1＝5 x2＝ 10； (9) x 1≈， x 2＝－； (10)xx＝－ 7．，1＝－ 1，255． (1) x 2－ 4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，( x － 2a ) 2＝ ( a － 1) 2， ∴ x －2a ＝±( a －1)，∴ x 1＝3a －1， x 2＝ a ＋1．(2) x 2＋(5－2k ) x ＋ k 2－5k －6＝0， x 2＋(5－2k ) x ＋( k ＋1)( k －6)＝0，［ x －( k ＋1)］［ x －( k －6)］＝0， ∴ x 1＝ k ＋1，x 2＝( k －6)．(3) x 2－2 ＋ 2＝ 9 2 ，( x － ) 2＝ (3 ) 2mx m m m m ∴ x 1＝4m ， x 2＝－2m(4) x 2＋(2 m ＋1) x ＋m ( m ＋ 1) ＝ 0， ( x ＋m ) ［x ＋ ( m ＋ 1) ］＝ 0，∴ x 1＝－ m ，x 2＝－ m －16． ( x ＋ 4y )( x －y ) ＝ 0，x ＝－4y 或 x ＝y当 x＝－4y 时，xy ＝ 4 y y 5 ；x y 4 y y 3当 x＝ y 时，xy ＝ yy＝ 0．x y y y7． ( x2＋y2)( x2＋y2－ 1) － 12＝ 0，( x2＋y2 ) 2－ ( x2＋y2) －12＝0，( x2＋y2－ 4)( x2＋y2＋ 3) ＝ 0，∴ x2＋ y2＝4或 x2＋ y2＝－3(舍去)8．x1＝－ 36，x2＝ 249．∵x2＋ 3x＋ 5＝9，∴x2＋ 3x＝ 4，∴3x2＋9x－2＝ 3( x2＋ 3x) － 2＝ 3×4－ 2＝ 10 10． 10＝－ 5( t－ 2)(t ＋1)，∴ t ＝1( t ＝0舍去) 11． (1)x1＝－2，x2＝2(2)(x2－2)( x2－5)＝0，( x＋2 )(x－ 2 )(x＋ 5 )(x－5 )＝0。