递归算法的优缺点
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if (i > n) { for (int j = 1; j <= n; j++) bestx[j] = x[j]; bestf = f; }
else for (int j = i; j <= n; j++) { f1+=M[x[j]][1];
f2[i]=((f2[i-1]>f1)?f2[i-1]:f1)+M[x[j]][2];
单源最短路径问题: void shortestpaths(v)
{ MinHeap H[1000];
//定义最小堆 MinHeapNode<type> E; E.i=v; E.length=0; Dist[v]=0; //搜索问题界空间 while(true) { for(j=1;j<=n;j++) if((c[E.i][j]<inf)&&
线性规划基本定理：如果线性规划问题有最优解，则必有一基本可行最优解。 单纯形算法的特点是： （1）只对约束条件的若干组合进行测试，测试的每一步都使目标函数的值增加； （2）一般经过不大于 m 或 n 次迭代就可求得最优解。
单纯形算法的基本思想就是从一个基本可行解出发，进行一系列的基本可行解的变换。每次 变换将一个非基本变量与一个基本变量互调位置，且保持当前的线性规划问题是一个与原问
回溯算法解 0-1 背包问题(解空间：子集树): template<class Typew, class Typep> Typep Knap<Typew, Typep>::Bound(int i) {// 计算上界
Typew cleft = c - cw; // 剩余容量 Typep b = cp; // 以物品单位重量价值递减序装入物品 while (i <= n && w[i] <= cleft) {
以比较为基础的排序算法的最坏倩况时间复杂性下界为 0(n·log2n)。
回溯法以深度优先的方式搜索解空间树 T，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的 方式搜索解空间树 T。
舍伍德算法设计的基本思想: 设 A 是一个确定性算法，当它的输入实例为 x 时所需的计算时间记为 tA(x)。设 Xn 是
回溯算法解批处理作业调度(解空间：排列 树):
f+=f2[i]; if (f < bestf) {
Swap(x[i], x[j]); Backtrack(i+1); Swap(x[i], x[j]); } f1- =M[x[j]][1]; f- =f2[i]; } } 所以在最坏的情况下，整个算法的计算时间 复杂性为 O(n!)
①图 G 的每个顶点对应于 f 中的每个文字(多次出现的重复计算)。 ②若 G 中两个顶点其原对应的文字不相互补且不出现于同一于句中，则将其连线。
设 f 有 n 个子句，则 f 可满足当且仅当 f 对应的图 G 中有 n 个顶点的团。 这是因为： (a)若 f 可满足，即有某种赋值使得 f 取值为真，它等价于使得每个 ci 中都至少有一个文字为 真，这 n 个文字(每个 ci(1＜i<n)中一个)对应的图 G 中的 n 个顶点就构成一个团。 (b)若图 G 中有一 n 个顶点的团，则取给出使得这 n 个顶点对应的文字都为真的赋值，则 f 的取值为真(这由图 G 的定义易证)。 显见，上述构造图 G 的方法是多项式界的，因此 SAT 团问题。 由(a)、(b)有，团问题 NPC。证毕。
if (t>n) { sum++; for (int i=1; i<=n; i++) cout << x[i] << ' '; cout << endl; } else for (int i=1;i<=m;i++) {
x[t]=i; if (Ok(t)) Backtrack(t+1); } } bool Color::Ok(int k) {// 检查颜色可用性 for (int j=1;j<=n;j++) if ((a[k][j]==1)&&(x[j]==x[k])) return false; return true;
Type Minout[N+1]； //计算 Minout[i]=顶点 i 的最小出边费 用 Type Minsurn=0；//最小出边费用和 for（i=1;i＜＝n；i++）{
Min=NoEdge； for（ j=1；j＜＝n；j++）
if（a[i][j]!=NoEdge＆＆(a[i][j]<Min || Min==NoEdge) Min=a[i][j]；
if ( bound(i+1)>bestp ) backtrack(i+1); //x[i]=0
} 由于上界函数 Bound()需要 O(n)的时间，在 最坏的情况下有 O(2n)个右儿子结点需要计 算上界函数，所以 0-1 背包问题的回溯算法 Backtrack()所需要的时间是 O(n2n)。
回溯算法解图的 m 着色问题: void Color::Backtrack(int t) {
v[i+ 1]=E.x[i]； while (true){ //释放最小堆中所有结点
delete(H, E. x)； DeleteMin(H,E)；} //取下一扩展结点 if (堆已空) break； //堆已空
}
.
.
return(bestc)； } void Flowshop::Backtrack(int i) {
.
递归算法的优缺点： ○1 优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计 算法、调试程序带来很大方便。 ○2 缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归 算法要多。
边界条件与递归方程是递归函数的二个要素
应用分治法的两个前提是问题的可分性和解的可归并性
cleft -= w[i]; b += p[i]; i++; } // 装满背包 if (i <= n) b += p[i]/w[i] * cleft; return b; } void backtrack(i)
{ if( i>n ) { bestp=cp; return; }
if(cw+w[i]<=c)//x[i]=1 { cw+=w[i] ;cp+=p[i]; backtrack(i+1); cw-=w[i] ;cp-=p[i]; }
}来自百度文库
} delete(H,E.x)； }//完成结点扩展 DeleteMin(H,E)；} //取下一扩展结点
if (堆已空) break； //堆已空
} if（bestc==NoEdge）return( NoEdge)； //无回路 //将最优解复制到 v[l：n] for（i=0；i＜n；i++)
具体实例 x 求解成功或求解失败所需的平均时间，则有：t(x) p(x)s(x) (1 p(x))(e(x) t(x))
解此方程可得：
t( x)
s( x)
1
p( x) e( x)
p( x)
蒙特卡罗(Monte Carlo)算法的基本思想: 设 p 是一个实数，且 1/2<p<1。如果一个蒙特卡罗算法对于问题的任一实例得到正确解的概 率不小于 p，则称该蒙特卡罗算法是 p 正确的，且称 p-1/2 是该算法的优势。 如果对于同一实例，蒙特卡罗算法不会给出 2 个不同的正确解答，则称该蒙特卡罗算法是一 致的。
.
.
题完全等价的标准线性规划问题。
图灵机由以下几部分组成：一条无限长的带（有无穷个格子）、一个读写头、一个有限状态 控制器以及一个程序。
NPC 形式化定义： 定义 1：语言 L 是 NP 完全的当且仅当（1） L【NP；（2）对于所有 L’【NP 有 L’ ～pL。
如果有一个语言 L 满足上述性质(2),但不一定满足性质（1），则称该语言是 NP 难的。 所有 NP 完全语言构成的语言类称为 NP 完全语言类，就是 NPC。
算法 A 的输入规模为 n 的实例的全体，则当问题的输入规模为 n 时，算法 A 所需的平均时
间为 t A (n) t A (x) / | X n | xX n
这显然不能排除存在 x∈Xn 使得t A ( x) t A (n) 的可能性。希望获得一个随机化算法 B，使得对问题的输入规模为 n 的每一个实例均有 t B ( x) t A (n) s(n)
拉斯维加斯( Las Vegas )算法的基本思想:
设 p(x)是对输入 x 调用拉斯维加斯算法获得问题的一个解的概率。一个正确的拉斯维加斯算
法应该对所有输入 x 均有 p(x)>0。
设 t(x)是算法 obstinate 找到具体实例 x 的一个解所需的平均时间 ,s(x)和 e(x)分别是算法对于
Type b=cc+rcost； //下界 if（b＜ bestc||bestc== NoEdge )
{ //子树可能含最优解 for（j= 0； j＜ n； j++) N.x[j]=E.x[j]；
N.x[E.s+1]=E.x[i]； N.x[i]=E.x[E.s+1]； N.cc=cc； N.s= E.s+1； N.lcost=b； N.rcost＝rcost； Insert（H,N）；
a[E.x[n-2]][E.x[n-1]]+a[E.x[n-1]][1]< bestc || bestc==NoEdge）{
//费用更小的回路
bestc=Ecc+a[E.x[n-2]][E.x[n-1]] +a[E.x[n-1]][1]；
E.c＝bestc； E.lcost=bestc； E.s++；
(E.length+c[E.i][j]<dist[j])) {dist[j]=E.length+c[E.i][j];
prev[j]=E.i; //加入活结点优先队列 MinHeapNode <type> N; N.i=j; N.length=dist[j]; H.Insert(N); } //取下一个扩展结点 try { H.DeleteMin(E); } //优先队列为空 catch (OutOfBounds) {break;} } }
if（Min==NoEdge） return(NoEdge)； //无回路
MinOut[i]= Min； MinSum+=Min；
} //初始化
MinHeapNode E； for（i= 0；i＜ n；i++）
E.x［i］= i+ 1； E.s=0； E.cc=0； E.rcost=MinSum； Bestc=NoEdge； while（E.s＜n-1) //非叶结点 if（E.s<n-1）{ //当前扩展结点是叶结点的父 结点 if （ a[E.x[n-2][E.x[n-1]]!=NoEdge ＆ ＆ a[E.x[n-2][1]!=NoEdge&&（E.cc+
.
.
(1)数值随机化算法: 求解数值问题,得到近似解 (2)Monte Carlo 算法: 问题准确性,但却无法确定解正确性 (3)Las Vegas 算法: 获得正确解,但存在找不到解的可能性 (4)Sherwood 算法: 保证能获得正确解
旅行售货员问题:(优先队列式分支限界法)
Type Travding (int v[]) { MinHeapNode H(1000)；
.
.
}
回溯法总的时间耗费是 O(m^n *n)
回溯算法解最大团问题（解空间：子集树）：
void Clique::Backtrack(int i) {// 计算最大团
Insert（H,E）；} else delete(E.x) ；} //舍弃扩展结点 else { //产生当前扩展结点的儿子结点 for（ i＝E.s+1；i＜n；i++＝
if（a[E.x[E.s]][E.x[i]]!=NoEdge） { //可行儿子结点
Type cc＝E.cc+a[E.x[E.s]][E.x[i]]； Type rcost=E.rcost-MinOut[E.x[E.s]]；
定理 1 设 L 是 NP 完全的，则（1）L P 当且仅当 P＝NP；（2）若 L p L1，且 L1 NP， 则 L1 是 NP 完全的。
团问题: 任给图 G 和整数 k．试判定图 G 中是否存在具有 k 个顶点的团？ 1)团问题 NP。显然，验证 G 的一个子图是否成团只需多项式时间即可。 2)SAT 团问题。 任给表达式 f．构造一个相应的图 G 如下：
else for (int j = i; j <= n; j++) { f1+=M[x[j]][1];
f2[i]=((f2[i-1]>f1)?f2[i-1]:f1)+M[x[j]][2];
单源最短路径问题: void shortestpaths(v)
{ MinHeap H[1000];
//定义最小堆 MinHeapNode<type> E; E.i=v; E.length=0; Dist[v]=0; //搜索问题界空间 while(true) { for(j=1;j<=n;j++) if((c[E.i][j]<inf)&&
线性规划基本定理：如果线性规划问题有最优解，则必有一基本可行最优解。 单纯形算法的特点是： （1）只对约束条件的若干组合进行测试，测试的每一步都使目标函数的值增加； （2）一般经过不大于 m 或 n 次迭代就可求得最优解。
单纯形算法的基本思想就是从一个基本可行解出发，进行一系列的基本可行解的变换。每次 变换将一个非基本变量与一个基本变量互调位置，且保持当前的线性规划问题是一个与原问
回溯算法解 0-1 背包问题(解空间：子集树): template<class Typew, class Typep> Typep Knap<Typew, Typep>::Bound(int i) {// 计算上界
Typew cleft = c - cw; // 剩余容量 Typep b = cp; // 以物品单位重量价值递减序装入物品 while (i <= n && w[i] <= cleft) {
以比较为基础的排序算法的最坏倩况时间复杂性下界为 0(n·log2n)。
回溯法以深度优先的方式搜索解空间树 T，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的 方式搜索解空间树 T。
舍伍德算法设计的基本思想: 设 A 是一个确定性算法，当它的输入实例为 x 时所需的计算时间记为 tA(x)。设 Xn 是
回溯算法解批处理作业调度(解空间：排列 树):
f+=f2[i]; if (f < bestf) {
Swap(x[i], x[j]); Backtrack(i+1); Swap(x[i], x[j]); } f1- =M[x[j]][1]; f- =f2[i]; } } 所以在最坏的情况下，整个算法的计算时间 复杂性为 O(n!)
①图 G 的每个顶点对应于 f 中的每个文字(多次出现的重复计算)。 ②若 G 中两个顶点其原对应的文字不相互补且不出现于同一于句中，则将其连线。
设 f 有 n 个子句，则 f 可满足当且仅当 f 对应的图 G 中有 n 个顶点的团。 这是因为： (a)若 f 可满足，即有某种赋值使得 f 取值为真，它等价于使得每个 ci 中都至少有一个文字为 真，这 n 个文字(每个 ci(1＜i<n)中一个)对应的图 G 中的 n 个顶点就构成一个团。 (b)若图 G 中有一 n 个顶点的团，则取给出使得这 n 个顶点对应的文字都为真的赋值，则 f 的取值为真(这由图 G 的定义易证)。 显见，上述构造图 G 的方法是多项式界的，因此 SAT 团问题。 由(a)、(b)有，团问题 NPC。证毕。
if (t>n) { sum++; for (int i=1; i<=n; i++) cout << x[i] << ' '; cout << endl; } else for (int i=1;i<=m;i++) {
x[t]=i; if (Ok(t)) Backtrack(t+1); } } bool Color::Ok(int k) {// 检查颜色可用性 for (int j=1;j<=n;j++) if ((a[k][j]==1)&&(x[j]==x[k])) return false; return true;
Type Minout[N+1]； //计算 Minout[i]=顶点 i 的最小出边费 用 Type Minsurn=0；//最小出边费用和 for（i=1;i＜＝n；i++）{
Min=NoEdge； for（ j=1；j＜＝n；j++）
if（a[i][j]!=NoEdge＆＆(a[i][j]<Min || Min==NoEdge) Min=a[i][j]；
if ( bound(i+1)>bestp ) backtrack(i+1); //x[i]=0
} 由于上界函数 Bound()需要 O(n)的时间，在 最坏的情况下有 O(2n)个右儿子结点需要计 算上界函数，所以 0-1 背包问题的回溯算法 Backtrack()所需要的时间是 O(n2n)。
回溯算法解图的 m 着色问题: void Color::Backtrack(int t) {
v[i+ 1]=E.x[i]； while (true){ //释放最小堆中所有结点
delete(H, E. x)； DeleteMin(H,E)；} //取下一扩展结点 if (堆已空) break； //堆已空
}
.
.
return(bestc)； } void Flowshop::Backtrack(int i) {
.
递归算法的优缺点： ○1 优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计 算法、调试程序带来很大方便。 ○2 缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归 算法要多。
边界条件与递归方程是递归函数的二个要素
应用分治法的两个前提是问题的可分性和解的可归并性
cleft -= w[i]; b += p[i]; i++; } // 装满背包 if (i <= n) b += p[i]/w[i] * cleft; return b; } void backtrack(i)
{ if( i>n ) { bestp=cp; return; }
if(cw+w[i]<=c)//x[i]=1 { cw+=w[i] ;cp+=p[i]; backtrack(i+1); cw-=w[i] ;cp-=p[i]; }
}来自百度文库
} delete(H,E.x)； }//完成结点扩展 DeleteMin(H,E)；} //取下一扩展结点
if (堆已空) break； //堆已空
} if（bestc==NoEdge）return( NoEdge)； //无回路 //将最优解复制到 v[l：n] for（i=0；i＜n；i++)
具体实例 x 求解成功或求解失败所需的平均时间，则有：t(x) p(x)s(x) (1 p(x))(e(x) t(x))
解此方程可得：
t( x)
s( x)
1
p( x) e( x)
p( x)
蒙特卡罗(Monte Carlo)算法的基本思想: 设 p 是一个实数，且 1/2<p<1。如果一个蒙特卡罗算法对于问题的任一实例得到正确解的概 率不小于 p，则称该蒙特卡罗算法是 p 正确的，且称 p-1/2 是该算法的优势。 如果对于同一实例，蒙特卡罗算法不会给出 2 个不同的正确解答，则称该蒙特卡罗算法是一 致的。
.
.
题完全等价的标准线性规划问题。
图灵机由以下几部分组成：一条无限长的带（有无穷个格子）、一个读写头、一个有限状态 控制器以及一个程序。
NPC 形式化定义： 定义 1：语言 L 是 NP 完全的当且仅当（1） L【NP；（2）对于所有 L’【NP 有 L’ ～pL。
如果有一个语言 L 满足上述性质(2),但不一定满足性质（1），则称该语言是 NP 难的。 所有 NP 完全语言构成的语言类称为 NP 完全语言类，就是 NPC。
算法 A 的输入规模为 n 的实例的全体，则当问题的输入规模为 n 时，算法 A 所需的平均时
间为 t A (n) t A (x) / | X n | xX n
这显然不能排除存在 x∈Xn 使得t A ( x) t A (n) 的可能性。希望获得一个随机化算法 B，使得对问题的输入规模为 n 的每一个实例均有 t B ( x) t A (n) s(n)
拉斯维加斯( Las Vegas )算法的基本思想:
设 p(x)是对输入 x 调用拉斯维加斯算法获得问题的一个解的概率。一个正确的拉斯维加斯算
法应该对所有输入 x 均有 p(x)>0。
设 t(x)是算法 obstinate 找到具体实例 x 的一个解所需的平均时间 ,s(x)和 e(x)分别是算法对于
Type b=cc+rcost； //下界 if（b＜ bestc||bestc== NoEdge )
{ //子树可能含最优解 for（j= 0； j＜ n； j++) N.x[j]=E.x[j]；
N.x[E.s+1]=E.x[i]； N.x[i]=E.x[E.s+1]； N.cc=cc； N.s= E.s+1； N.lcost=b； N.rcost＝rcost； Insert（H,N）；
a[E.x[n-2]][E.x[n-1]]+a[E.x[n-1]][1]< bestc || bestc==NoEdge）{
//费用更小的回路
bestc=Ecc+a[E.x[n-2]][E.x[n-1]] +a[E.x[n-1]][1]；
E.c＝bestc； E.lcost=bestc； E.s++；
(E.length+c[E.i][j]<dist[j])) {dist[j]=E.length+c[E.i][j];
prev[j]=E.i; //加入活结点优先队列 MinHeapNode <type> N; N.i=j; N.length=dist[j]; H.Insert(N); } //取下一个扩展结点 try { H.DeleteMin(E); } //优先队列为空 catch (OutOfBounds) {break;} } }
if（Min==NoEdge） return(NoEdge)； //无回路
MinOut[i]= Min； MinSum+=Min；
} //初始化
MinHeapNode E； for（i= 0；i＜ n；i++）
E.x［i］= i+ 1； E.s=0； E.cc=0； E.rcost=MinSum； Bestc=NoEdge； while（E.s＜n-1) //非叶结点 if（E.s<n-1）{ //当前扩展结点是叶结点的父 结点 if （ a[E.x[n-2][E.x[n-1]]!=NoEdge ＆ ＆ a[E.x[n-2][1]!=NoEdge&&（E.cc+
.
.
(1)数值随机化算法: 求解数值问题,得到近似解 (2)Monte Carlo 算法: 问题准确性,但却无法确定解正确性 (3)Las Vegas 算法: 获得正确解,但存在找不到解的可能性 (4)Sherwood 算法: 保证能获得正确解
旅行售货员问题:(优先队列式分支限界法)
Type Travding (int v[]) { MinHeapNode H(1000)；
.
.
}
回溯法总的时间耗费是 O(m^n *n)
回溯算法解最大团问题（解空间：子集树）：
void Clique::Backtrack(int i) {// 计算最大团
Insert（H,E）；} else delete(E.x) ；} //舍弃扩展结点 else { //产生当前扩展结点的儿子结点 for（ i＝E.s+1；i＜n；i++＝
if（a[E.x[E.s]][E.x[i]]!=NoEdge） { //可行儿子结点
Type cc＝E.cc+a[E.x[E.s]][E.x[i]]； Type rcost=E.rcost-MinOut[E.x[E.s]]；
定理 1 设 L 是 NP 完全的，则（1）L P 当且仅当 P＝NP；（2）若 L p L1，且 L1 NP， 则 L1 是 NP 完全的。
团问题: 任给图 G 和整数 k．试判定图 G 中是否存在具有 k 个顶点的团？ 1)团问题 NP。显然，验证 G 的一个子图是否成团只需多项式时间即可。 2)SAT 团问题。 任给表达式 f．构造一个相应的图 G 如下：