(完整版)必修5解三角形知识点归纳总结,推荐文档
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a、b． 2. 已知两边和夹角（如 a、b、c），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定
理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = π ， 求另一角．
3.已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A），应用正弦定理求 B，由
A+B+C = π 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种 情况．
三.余弦定理 1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它 们夹角的余弦的积的 2 倍，即
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
2.变形： cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
必修 5
第一章 解三角形
1.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于 外接圆的直径，即 a b c 2R （其中 R 是三角形外接圆的半径）
sin A sin B sinC
2.变形：1）
abc sin sin sin C
a sin Fra Baidu bibliotek
b sin
例：已知角 B,C,a，
解法：由 A+B+C=180o a sin A ; 求出 b 与 c
，求角 A,由正弦定理 a sin A ; b sin B
b sin B ; c sin C
c sin C ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边 a,b,A,
解法：由正弦定理 a sin A 求出角 B,由 A+B+C=180o 求出角 C，再使用
4) 三角形内的诱导公式：
sin( A B) sin C, cos( A B) cos C, tan( A B) tan C,
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宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850
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C
tan
A
B 2
tan( 2
C
) 2
sin( cos(
4. 已知三边 a、b、c，应用余弦定理求 A、B，再由 A+B+C = π ， 求角 C．
5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方
向旋转到目
视线
标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度
， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.
6. 俯角和仰角的概念：在铅视线与水平仰线角所成的角中,视线在水平线上
5) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1) sin 2α＝2sin α c o s α .
(2) cos 2 α＝ c o s 2 α － s i n 2 α＝ 2 c o s 2 α－ 1 ＝ 1 － 2 s i n 2 α.
方的角叫仰角,视线在水平线直下方的角叫俯角.
线
水平线
俯角
视线
5、三角形中常见的结论
1）三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
2 三角形三边关系：
两边之和大于第三边：
，
，
；
两边之差小于第三边：
，
，
；
3 在同一个三角形中大边对大角： A B a b sin A sin B
b sin B 正弦定理 a sin A 求出 c 边
c sin C
4.△ABC 中，已知锐角 A，边 b，则
① a b sin A 时，B 无解；
b
② a b sin A 或 a b 时，B 有一个解；
A
③ b sin A a b 时，B 有两个解。
b sinA
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3 ,求 B (有一个解)
2 2) C )
22
C cos( 2)
C sin( )
2
5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β .
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. tan α ± tan β
(3)tan(α±β)＝1 ∓ tan αtan β.
4）化角为边： sin A a ;
sin B b 5）化角为边： sin A a ,
2R
sin B b ; sin A a ;
sin C c sin C c
sin B b , sin C c
2R
2R
3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
②已知 A 60 ,b 2, a 2 3 ,求 B (有两个解)
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注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
二.三角形面积 1. S 1 ab sin C 1 bc sin A 1 ac sin B
c sin C
．
2）化边为角： a : b : c sin A : sin B : sin C ；
a sin A ; b sin B ; a sin A ; b sin B c sin C c sinC
3） 化边为角： a 2R sin A, b 2R sinB, c 2R sin C
，
所以 为钝角，则
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是钝角三角形
4. 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 1） 已知三边，求三个角 2） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
四、应用题 1.已知两角和一边（如 A、B、C），由 A+B+C = π 求 C，由正弦定理求
cos C a2 b2 c 2 2ab
注意整体代入，如： a 2 c 2 b 2 ac cos B 1 2
3. 利用余弦定理判断三角形形状： 设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边，则：
①若， ②若c2 b2 a2 A为直角
，所以 为锐角
③若
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2 ABC
2
2
2.
S ABC
1 (a b c)r ,其中r 是三角形内切圆半径. 2
3. S ABC
p( p a)( p b)( p c), 其中 p 1 (a b c) , 2
4. S abc ,R 为外接圆半径
ABC 4R
5. SABC 2R2 sin Asin B sin C ,R 为外接圆半径
理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = π ， 求另一角．
3.已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A），应用正弦定理求 B，由
A+B+C = π 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种 情况．
三.余弦定理 1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它 们夹角的余弦的积的 2 倍，即
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
2.变形： cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
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第一章 解三角形
1.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于 外接圆的直径，即 a b c 2R （其中 R 是三角形外接圆的半径）
sin A sin B sinC
2.变形：1）
abc sin sin sin C
a sin Fra Baidu bibliotek
b sin
例：已知角 B,C,a，
解法：由 A+B+C=180o a sin A ; 求出 b 与 c
，求角 A,由正弦定理 a sin A ; b sin B
b sin B ; c sin C
c sin C ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边 a,b,A,
解法：由正弦定理 a sin A 求出角 B,由 A+B+C=180o 求出角 C，再使用
4) 三角形内的诱导公式：
sin( A B) sin C, cos( A B) cos C, tan( A B) tan C,
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C
tan
A
B 2
tan( 2
C
) 2
sin( cos(
4. 已知三边 a、b、c，应用余弦定理求 A、B，再由 A+B+C = π ， 求角 C．
5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方
向旋转到目
视线
标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度
， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.
6. 俯角和仰角的概念：在铅视线与水平仰线角所成的角中,视线在水平线上
5) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1) sin 2α＝2sin α c o s α .
(2) cos 2 α＝ c o s 2 α － s i n 2 α＝ 2 c o s 2 α－ 1 ＝ 1 － 2 s i n 2 α.
方的角叫仰角,视线在水平线直下方的角叫俯角.
线
水平线
俯角
视线
5、三角形中常见的结论
1）三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
2 三角形三边关系：
两边之和大于第三边：
，
，
；
两边之差小于第三边：
，
，
；
3 在同一个三角形中大边对大角： A B a b sin A sin B
b sin B 正弦定理 a sin A 求出 c 边
c sin C
4.△ABC 中，已知锐角 A，边 b，则
① a b sin A 时，B 无解；
b
② a b sin A 或 a b 时，B 有一个解；
A
③ b sin A a b 时，B 有两个解。
b sinA
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3 ,求 B (有一个解)
2 2) C )
22
C cos( 2)
C sin( )
2
5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β .
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. tan α ± tan β
(3)tan(α±β)＝1 ∓ tan αtan β.
4）化角为边： sin A a ;
sin B b 5）化角为边： sin A a ,
2R
sin B b ; sin A a ;
sin C c sin C c
sin B b , sin C c
2R
2R
3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
②已知 A 60 ,b 2, a 2 3 ,求 B (有两个解)
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注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
二.三角形面积 1. S 1 ab sin C 1 bc sin A 1 ac sin B
c sin C
．
2）化边为角： a : b : c sin A : sin B : sin C ；
a sin A ; b sin B ; a sin A ; b sin B c sin C c sinC
3） 化边为角： a 2R sin A, b 2R sinB, c 2R sin C
，
所以 为钝角，则
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是钝角三角形
4. 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 1） 已知三边，求三个角 2） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
四、应用题 1.已知两角和一边（如 A、B、C），由 A+B+C = π 求 C，由正弦定理求
cos C a2 b2 c 2 2ab
注意整体代入，如： a 2 c 2 b 2 ac cos B 1 2
3. 利用余弦定理判断三角形形状： 设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边，则：
①若， ②若c2 b2 a2 A为直角
，所以 为锐角
③若
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2 ABC
2
2
2.
S ABC
1 (a b c)r ,其中r 是三角形内切圆半径. 2
3. S ABC
p( p a)( p b)( p c), 其中 p 1 (a b c) , 2
4. S abc ,R 为外接圆半径
ABC 4R
5. SABC 2R2 sin Asin B sin C ,R 为外接圆半径