计算方法上机作业
（完整版）数值计算方法上机实习题答案
（完整版）数值计算⽅法上机实习题答案1．设?+=105dx xx I nn ，（1）由递推公式nI I n n 151+-=-，从0I 的⼏个近似值出发，计算20I ；解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为：I=0.182; for n=1:20I=(-5)*I+1/n; end I输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2）粗糙估计20I ，⽤nI I n n 515111+-=--，计算0I ；因为 0095.056 0079.01020201020≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2120=+=I 程序为：I=0.0087; for n=1:20I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I0I = 0.0083（3）分析结果的可靠性及产⽣此现象的原因(重点分析原因)。
⾸先分析两种递推式的误差；设第⼀递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍⼊误差不计。
并记nn n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。
因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。
⽽在第⼆种递推式中n n E E E )51(5110-==-=Λ，误差在缩⼩，所以此递推式是可靠的。
出现以上运⾏结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制，即算法是否数值稳定。
2．求⽅程0210=-+x e x的近似根，要求41105-+?<-k k x x ，并⽐较计算量。
（1）在[0，1]上⽤⼆分法；程序：a=0;b=1.0;while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2;if exp(c)+10*c-2>0 b=c; else a=c; end end c结果：c =0.0903（2）取初值00=x ，并⽤迭代1021x k e x -=+；程序：x=0; a=1;while abs(x-a)>5*1e-4 a=x;x=(2-exp(x))/10; end x结果：x =0.0905（3）加速迭代的结果；程序：x=0; a=0;b=1;while abs(b-a)>5*1e-4 a=x;y=exp(x)+10*x-2; z=exp(y)+10*y-2;x=x-(y-x)^2/(z-2*y+x); b=x; end x结果：x =0.0995（4）取初值00=x ，并⽤⽜顿迭代法；程序：x=0; a=0;b=1;while abs(b-a)>5*1e-4 a=x;x=x-(exp(x)+10*x-2)/(exp(x)+10); b=x; end x结果： x =0.0905（5）分析绝对误差。
计算方法上机题答案
2.用下列方法求方程e^x+10x-2=0的近似根，要求误差不超过5*10的负4次方，并比较计算量（1）二分法（局部，大图不太看得清，故后面两小题都用局部截图）（2）迭代法（3）牛顿法顺序消元法#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>int main(){ int N=4,i,j,p,q,k; double m;double a[4][5]; double x1,x2,x3,x4; for (i=0;i<N ;i++ )for (j=0;j<N+1; j++ )scanf("%lf",&a[i][j]);for(p=0;p<N-1;p++) {for(k=p+1;k<N;k++){m=a[k][p]/a[p][p];for(q=p;q<N+1;q++)a[k][q]=a[k][q]-m*a[p][q];}}x4=a[3][4]/a[3][3];x3=(a[2][4]-x4*a[2][3])/a[2][2];x2=(a[1][4]-x4*a[1][3]-x3*a[1][2])/a[1][1];x1=(a[0][4]-x4*a[0][3]-x3*a[0][2]-x2*a[0][1])/a[0][0];printf("%f,%f,%f,%f",x1,x2,x3,x4);scanf("%lf",&a[i][j]); （这一步只是为了看到运行的结果）}运行结果列主元消元法function[x,det,flag]=Gauss(A,b)[n,m]=size(A);nb=length(b);flag='OK';det=1;x=zeros(n,1);for k=1:n-1 max1=0;for i=k:nif abs(A(i,k))>max1max1=abs(A(i,k));r=i;endendif max1<1e-10flag='failure';return;endif r>kfor j=k:nz=A(k,j);A(k,j)=A(r,j);A(r,j)=z;endz=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;det=-det; endfor i=k+1:nm=A(i,k)/A(k,k);for j=k+1:nA(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j);endb(i)=b(i)-m*b(k);enddet=det*A(k,k);enddet=det*A(n,n)if abs(A(n,n))<1e-10flag='failure';return;endx(n)=b(n)/A(n,n);for k=n-1:-1：1for j=k+1:nb(k)=b(k)-A(k,j)*x(j);endx(k)=b(k)/A(k,k);end运行结果：雅可比迭代法function y=jacobi(a,b,x0) D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);B=D\(L+U);f=D\b;y=B*x0+f;n=1;while norm(y-x0)>1e-4 x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endyn高斯赛德尔迭代法function y=seidel(a,b,x0) D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;y=G*x0+f;n=1;while norm(y-x0)>10^(-4) x0=y;y=G*x0+f;n=n+1;endynSOR迭代法function y=sor(a,b,w,x0)D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);lw=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U); f=(D-w*L)\b*w;y=lw*x0+f;n=1;while norm(y-x0)>10^(-4) x0=y;y=lw*x0+f;n=n+1;endyn1.分段线性插值：function y=fdxx(x0,y0,x)p=length(y0);n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);for j=1:n-1if z<x0(j+1)break;endendy(i)= y0(j)*(z-x0(j+1))/(x0(j)-x0(j+1))+y0(j+1)*(z-x0(j))/(x0(j+1)-x0(j));fprintf('y(%d)=%f\nx1=%.3fy1=%.3f\nx2=%.3fy2=%.3f\n\n',i,y(i),x0(j),y0(j),x0(j+1),y0(j+1));endend结果0.39404 0.38007 0.356932.分段二次插值：function y=fdec(x0,y0,x)p=length(y0);n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);for j=1:n-1if z<x0(j+1)break;endendif j<2j=j+1;elseif (j<n-1)if (abs(x0(j)-z)>abs(x0(j+1)-z))j=j+1;elseif ((abs(x0(j)-z)==abs(x0(j+1)-z))&&(abs(x0(j-1)-z)>abs(x0(j+2)-z)))j=j+1;endendans=0.0;for t=j-1:j+1a=1.0;for k=j-1:j+1if t~=ka=a*(z-x0(k))/(x0(t)-x0(k));endendans=ans+a*y0(t);endy(i)=ans;fprintf('y(%d)=%f\n x1=%.3f y1=%.3f\n x2=%.3f y2=%.3f\n x3=%.3f y3=%.3f\n\n',i,y(i),x0(j-1),y0(j-1),x0(j),y0(j),x0(j+1),y0(j+1));endend结果为0.39447 0.38022 0.357253.拉格朗日全区间插值function y=lglr(x0,y0,x)p=length(y0);n=length(x0);m=length(x);for t=1:mans=0.0;z=x(t);for k=1:np=1.0;for q=1:nif q~=kp=p*(z-x0(q))/(x0(k)-x0(q));endendans=ans+p*y0(k);endy(t)=ans;fprintf('y(%d)=%f\n',t,y(t));endend结果为0.39447 0.38022 0.35722function [p,S,mu] = polyfit(x,y,n)if ~isequal(size(x),size(y))errorendx = x(:);y = y(:);if nargout > 2mu = [mean(x); std(x)];x = (x - mu(1))/mu(2);endV(:,n+1) = ones(length(x),1,class(x));for j = n:-1:1V(:,j) = x.*V(:,j+1);end[Q,R] = qr(V,0);ws = warning;p = R\(Q'*y); warning(ws);if size(R,2) > size(R,1)warning;elseif warnIfLargeConditionNumber(R)if nargout > 2warning;elsewarning;endendif nargout > 1r = y - V*p;S.R = R;S.df = max(0,length(y) - (n+1));S.normr = norm(r);endp = p.';function flag = warnIfLargeConditionNumber(R) if isa(R, 'double')flag = (condest(R) > 1e+10);elseflag = (condest(R) > 1e+05);endx=[1,3,4,5,6,7,8,9,10];y=[10,5,4,2,1,1,2,3,4];p=polyfit(x,y,2);y=poly2sym(p);a=-p(1)/p(2)*0.5;xa=-p(2)/(2*p(1));min=(4*p(1)*p(3)-p(2)^2)/(4*p(1)); yxamin运行截图运行结果function [I] = CombineTraprl(f,a,b,eps)if(nargin ==3)eps=1.0e-4;endn=1;h=(b-a)/2;I1=0;I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>epsn=n+1;h=(b-a)/n;I1=I2;I2=0;for i=0:n-1x=a+h*i;x1=x+h;I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym( f),findsym(sym(f)),x1));endendI=I2;程序：>> [q]=CombineTraprl('(1-exp(-x))^0.5/x'10^-12,1)结果：q =1.8521欧拉方法function [x,y]=euler(fun,x0,xfinal,y0,n);if nargin<5,n=50;endh=(xfinal-x0)/n;x(1)=x0;y(1)=y0;for i=1:nx(i+1)=x(i)+h;y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i));end程序：[x,y]=euler('doty',0,1,1,10)结果：改进欧拉方法function [x,y]=eulerpro(fun,x0,xfinal,y0,n); if nargin<5,n=50;endh=(xfinal-x0)/n;x(1)=x0;y(1)=y0;x(i+1)=x(i)+h;y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i));y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1);y(i+1)=(y1+y2)/2;end程序：>> [x,y]=eulerpro('doty',0,1,1,10)结果：经典RK法function [x,y]=RungKutta4(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2);y(1)=y0;for n=1:length(x)-1k1=feval(dyfun,x(n),y(n));k2=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+h/2*k1);k3=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+h/2*k2);k4=feval(dyfun,x(n+1),y(n)+h*k3);y(n+1)=y(n)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; end程序：dyfun=inline('(2*x*y^-2)/3');[x,y]=RungKutta4(dyfun,[0,1],1,0.1)标准函数x(1)=0;h=0.1;for i=1:10y(i)=(1+x(i)^2)^(1/3); endxY结果：。
计算方法上机作业——龙格库塔法
计算方法上机作业——龙格库塔法龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种常用于求解常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）的数值解法。
它是由德国数学家卡尔·龙格（Carl Runge）和马丁·威尔海姆·库塔（Martin Wilhelm Kutta）在20世纪初提出的。
龙格库塔法的基本思想是通过数值逼近来计算微分方程的近似解。
在讲解龙格库塔法之前，我们先来简单回顾一下ODE的一阶常微分方程的基本形式：y′(y)=y(y,y)其中，y(y,y)是已知函数。
龙格库塔法的核心是使用差分逼近计算函数的斜率。
假设我们要求解的方程为：y′(y)=y(y,y),y(y)=y₀所需计算的点为y₀,y₁,...,yy，对应的函数值为y₀,y₁,...,yy，其中y是步长的个数。
龙格库塔法通过递推关系式来计算估计值，并不断更新当前点的函数值。
接下来以龙格库塔法的经典四阶形式为例进行说明。
该方法的基本方程如下：yy+1=yy+(y₁+2y₂+2y₃+y₄)/6y₁=ℎy(yy,yy)y₂=ℎy(yy+ℎ/2,yy+y₁/2)y₃=ℎy(yy+ℎ/2,yy+y₂/2)y₄=ℎy(yy+ℎ,yy+y₃)其中y表示当前步骤，ℎ表示步长，yy表示当前点的函数值，y₁,y₂,y₃和y₄则表示对应的斜率。
使用龙格库塔法，我们可以通过不断递归计算来求得指定区间（例如[y,y]）上的函数值。
具体步骤如下：1.确定求解区间[y,y]和初始点(y₀,y₀)以及步长ℎ。
2.初始化：设置yy=y₀，yy=y₀。
3.对所有y=0,...,y−1：计算y₁,y₂,y₃和y₄，根据上述递推关系式。
根据递推关系式计算yy+1更新当前点的函数值，即yy+1=y(yy+1)。
更新当前点的y值，即yy+1=yy+ℎ。
4.返回结果：最终求得的函数值。
需要注意的是，选择适当的步长对最终结果的精度和计算效率都有重要影响。
数值计算方法上机实验报告
数值计算方法上机实验报告
一、实验目的
本次实验的主要目的是熟悉和掌握数值计算方法，学习梯度下降法的
原理和实际应用，熟悉Python语言的编程基础知识，掌握Python语言的
基本语法。
二、设计思路
本次实验主要使用的python语言，利用python下的numpy，matplotlib这两个工具，来实现数值计算和可视化的任务。
1. 首先了解numpy的基本使用方法，学习numpy的矩阵操作，以及numpy提供的常见算法，如矩阵分解、特征值分解等。
2. 在了解numpy的基本操作后，可以学习matplotlib库中的可视化
技术，掌握如何将生成的数据以图表的形式展示出来。
3. 接下来就是要学习梯度下降法，首先了解梯度下降法的主要原理，以及具体的实际应用，用python实现梯度下降法给出的算法框架，最终
可以达到所期望的优化结果。
三、实验步骤
1. 熟悉Python语言的基本语法。
首先是熟悉Python语言的基本语法，学习如何使用Python实现变量
定义，控制语句，函数定义，类使用，以及面向对象编程的基本概念。
2. 学习numpy库的使用方法。
其次是学习numpy库的使用方法，学习如何使用numpy库构建矩阵，学习numpy库的向量，矩阵操作，以及numpy库提供的常见算法，如矩阵分解，特征值分解等。
3. 学习matplotlib库的使用方法。
东南大学计算方法与实习上机实验一
东南大学计算方法与实习实验报告学院：电子科学与工程学院学号：06A*****姓名：***指导老师：***实习题14、设S N=Σ(1)编制按从大到小的顺序计算S N的程序；(2)编制按从小到大的顺序计算S N的程序；(3)按两种顺序分别计算S1000，S10000，S30000，并指出有效位数。
解析：从大到小时，将S N分解成S N-1=S N-,在计算时根据想要得到的值取合适的最大的值作为首项；同理从小到大时，将S N=S N-1+ ，则取S2=1/3。
则所得式子即为该算法的通项公式。
(1)从大到小算法的C++程序如下：/*从大到小的算法*/#include<iostream>#include<iomanip>#include<cmath>using namespace std;const int max=34000; //根据第(3)问的问题，我选择了最大数为34000作为初值void main(){int num;char jus;double cor,sub;A: cout<<"请输入你想计算的值"<<'\t';cin>>num;double smax=1.0/2.0*(3.0/2.0-1.0/max-1.0/(max+1)),temps;double S[max];// cout<<"s["<<max<<"]="<<setprecision(20)<<smax<<'\n';for(int n=max;n>num;){temps=smax;S[n]=temps;n--;smax=smax-1.0/((n+1)*(n+1)-1.0);}cor=1.0/2.0*(3.0/2.0-1.0/num-1.0/(num+1.0)); //利用已知精确值公式计算精确值sub=fabs(cor-smax); //double型取误差的绝对值cout<<"用递推公式算出来的s["<<n<<"]="<<setprecision(20)<<smax<<'\n';cout<<"实际精确值为"<<setprecision(20)<<cor<<'\n';cout<<"则误差为"<<setprecision(20)<<sub<<'\n';cout<<"是否继续计算S[N],是请输入Y，否则输入N！"<<endl;cin>>jus;if ((int)jus==89||(int)jus==121) goto A;}(2)从小到大算法的C++程序如下：/*从小到大的算法*/#include<iostream>#include<iomanip>#include<cmath>using namespace std;void main(){int max;A: cout<<"请输入你想计算的数，注意不要小于2"<<'\t';cin>>max;double s2=1.0/3.0,temps,cor,sub;char jus;double S[100000];for(int j=2;j<max;){temps=s2;S[j]=temps;j++;s2+=1.0/(j*j-1.0);}cor=1.0/2.0*(3.0/2.0-1.0/j-1.0/(j+1.0)); //利用已知精确值公式计算精确值sub=fabs(cor-s2); //double型取误差的绝对值cout<<"用递推公式算出来的s["<<j<<"]="<<setprecision(20)<<s2<<'\n';cout<<"实际精确值为"<<setprecision(20)<<cor<<'\n';cout<<"则误差为"<<setprecision(20)<<sub<<'\n';cout<<"是否继续计算S[N],是请输入Y，否则输入N！"<<endl;cin>>jus;if ((int)jus==89||(int)jus==121) goto A;}(3)(注：因为程序中setprecision(20)表示输出数值小数位数20，则程序运行时所得到的有效数字在17位左右)ii.选择从小到大的顺序计算S1000、S10000、S30000的值需要计算的项S1000S10000S30000计算值0.74900049950049996 0.74966672220370571 0.74996666722220728实际精确值0.74900049950049952 0.74990000499950005 0.74996666722220373误差 4.4408920985006262*10-16 5.6621374255882984*10-15 3.5527136788005009*10-15有效数字17 17 17附上部分程序运行图：iii.实验分析通过C++程序进行计算验证采用从大到小或者从小到大的递推公式算法得到的数值基本稳定且误差不大。
应用计算方法
结果分析：比较发现，经过两种改进迭代法，求重根时迭代速度明显加快。
3-4 试验目的体验 Steffensen’s method 加速技巧 试验内容：先用 Newton 法求解方程 x-tanx=0 再用 Steffensen 法求解，比较迭代步数。精确到 10-4。 迭代公式： P(k+1)=P(k)-(P(k)-tan(P(k)))/(1-(sec(P（k）))^2) 初值 P0=1 Newton 法： function [ p,k ]=fnewton( p0,max,tol ) for k=1:max p=p0-(p0-tan(p0))/(1-(sec(p0))^2); if abs(p-p0)<tol break; end p0=p; end disp(p); disp(k) % fnewton( 1,100,10^(-4) ) Steffensen 法： function [ p1,k ]=steffensen( p0,max,tol ) n=1; p(1)=p0; while n<=max for k=1:2 p(k+1)=p(k)-(p(k)-tan(p(k)))/(1-(sec(p(k)))^2); end p1=p(1)-(p(2)-p(1))^2/(p(3)-2*p(2)+p(1)); f0=p1-(p1-tan(p1))/(1-(sec(p1))^2); if abs(f0)<tol break; end n=n+1; p(1)=p1; end disp(p1); disp(n) % steffensen( 1,100,10^(-4) ) >> steffensen( 1,100,10^(-4) ) -1.3387e-07 3
3-2 试验目的:考察 Newton 法求单根的收敛速度 应用 Newton 迭代法求 3-1 中的方程，并与 3-1 中的迭代法相比较，考察收敛速度。精确到时 10-4 迭代公式： P(k+1)= P(k)-(2P(k)-eP(k)+3)/(2- eP(k)) 初值 P0=1 和-1。 Newton 法: function [ p,k ] = fnewton( p0,max,tol ) for k=1:max p=p0-(2*p0-exp(p0)+3)/(2-exp(p0)); if abs(p-p0)<tol break; end
计算方法上机作业
计算方法上机报告姓名：学号：班级：上课班级：说明：本次上机实验使用的编程语言是Matlab 语言，编译环境为MATLAB 7.11.0，运行平台为Windows 7。
1. 对以下和式计算：∑∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=0681581482184161n n n n S n，要求：①若只需保留11个有效数字，该如何进行计算； ②若要保留30个有效数字，则又将如何进行计算； （1） 算法思想1、根据精度要求估计所加的项数，可以使用后验误差估计，通项为：142111416818485861681n n na n n n n n ε⎛⎫=---<< ⎪+++++⎝⎭；2、为了保证计算结果的准确性，写程序时，从后向前计算；3、使用Matlab 时，可以使用以下函数控制位数： digits(位数)或vpa(变量，精度为数)（2）算法结构1.;0=s⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-+=681581482184161n n n n t n ；2.for 0,1,2,,n i =⋅⋅⋅if 10mt -≤end;3.for ,1,2,,0n i i i =--⋅⋅⋅;s s t =+（3）Matlab 源程序clear; %清除工作空间变量 clc; %清除命令窗口命令m=input('请输入有效数字的位数m='); %输入有效数字的位数s=0;for n=0:50t=(1/16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6));if t<=10^(-m) %判断通项与精度的关系break;endend;fprintf('需要将n值加到n=%d\n',n-1); %需要将n值加到的数值for i=n-1:-1:0t=(1/16^i)*(4/(8*i+1)-2/(8*i+4)-1/(8*i+5)-1/(8*i+6));s=s+t; %求和运算ends=vpa(s,m) %控制s的精度（4）结果与分析当保留11位有效数字时，需要将n值加到n=7，s =3.1415926536；当保留30位有效数字时，需要将n值加到n=22,s =3.14159265358979323846264338328。
计算方法上机实习作业
如图所示，在两端出现龙格现象，并且阶数越高龙格现象越明显。 若在区间［0，5］进行插值，是否还存在龙格现象？
Matlab 程序如下： x0=0:0.1:5; y0=1./(1+x0.^2); plot(x0,y0,'r'); hold on; for i=3:2:11 x=linspace(-0,5,i); y=1./(1+x.^2); p=polyfit(x,y,i-1); xx=0:0.1:5; yy=polyval(p,xx); plot(xx,yy,'b'); hold on; grid on; end;
0
1
2
3
4
Matlab 程序如下： clear;clc; x=0:0.1:2.5; y=sin(x); y1=x; y2=x-x.^3/6; y3=x-x.^3/6+x.^5/120; plot(x,y,'b',x,y1,'g',x,y2,'r',x,y3,'k')
输出结果如图：
1.500000000000000 1.414213562374690 1.414213562373095
1.416666666666667 1.414213562373095
2.000000000000000 1.732050810014727 1.732050807568877
1.750000000000000 1.732050807568877
x 2 n 1 ，编写程序实 ( 2n 1)! k 1 现如下功能：对 n=1，2，3，绘制出区间[0，2.5 ]上的近似函数的图形以及 sin x 本身的图
4.由正弦函数的 Tylor 展开式取前 n 项，得 sin x ( 1) n1
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计算方法上机报告姓名：学号：班级：上课班级：说明：本次上机实验使用的编程语言是Matlab 语言，编译环境为MATLAB 7.11.0，运行平台为Windows 7。
1. 对以下和式计算：∑∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=0681581482184161n n n n S n，要求：2. ① 若只需保留11个有效数字，该如何进行计算；3. ② 若要保留30个有效数字，则又将如何进行计算；（1） 算法思想1、根据精度要求估计所加的项数，可以使用后验误差估计，通项为： 142111416818485861681n n n a n n n n n ε⎛⎫=---<< ⎪+++++⎝⎭； 2、为了保证计算结果的准确性，写程序时，从后向前计算； 3、使用Matlab 时，可以使用以下函数控制位数： digits(位数)或vpa(变量，精度为数)（2）算法结构1. ;0=s⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-+=681581482184161n n n n t n； 2. for 0,1,2,,n i =⋅⋅⋅ if 10m t -≤end;3. for ,1,2,,0n i i i =--⋅⋅⋅;s s t =+（3）Matlab源程序clear; %清除工作空间变量clc; %清除命令窗口命令m=input('请输入有效数字的位数m='); %输入有效数字的位数s=0;for n=0:50t=(1/16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6));if t<=10^(-m) %判断通项与精度的关系break;endend;fprintf('需要将n值加到n=%d\n',n-1); %需要将n值加到的数值for i=n-1:-1:0t=(1/16^i)*(4/(8*i+1)-2/(8*i+4)-1/(8*i+5)-1/(8*i+6));s=s+t; %求和运算ends=vpa(s,m) %控制s的精度（4）结果与分析当保留11位有效数字时，需要将n值加到n=7，s =3.1415926536；当保留30位有效数字时，需要将n值加到n=22,s =3.14159265358979323846264338328。
通过上面的实验结果可以看出，通过从后往前计算，这种算法很好的保证了计算结果要求保留的准确数字位数的要求。
4.某通信公司在一次施工中，需要在水面宽度为20米的河沟底部沿直线走向铺设一条沟底光缆。
在铺设光缆之前需要对沟底的地形进行初步探测，从而估计所需光缆的长度，为工程预算提供依据。
已探测到一组等分点位置的深度数据(单位:米)如下表所示：深度 11.18 12.26 13.28 13.32 12.61 11.29 10.22 分点 14 15 16 17 18 1920深度9.157.907.958.869.8110.80 10.93① 请用合适的曲线拟合所测数据点；② 预测所需光缆长度的近似值，作出铺设河底光缆的曲线图；（1）算法思想如果使用多项式差值，则由于龙格现象，误差较大，因此，用相对较少的插值数据点作插值，可以避免大的误差，但是如果又希望将所得数据点都用上，且所用数据点越多越好，可以采用分段插值方式，即用分段多项式代替单个多项式作插值。
分段多项式是由一些在相互连接的区间上的不同多项式连接而成的一条连续曲线，其中三次样条插值方法是一种具有较好“光滑性”的分段插值方法。
在本题中，假设所铺设的光缆足够柔软，在铺设过程中光缆触地走势光滑，紧贴地面，并且忽略水流对光缆的冲击。
海底光缆线的长度预测模型如下所示，光缆从A 点铺至B 点，在某点处的深度为i h 。
海底光缆线的长度预测模型计算光缆长度时，用如下公式：20()L f x ds =⎰20'20()1()f x f x dx =+⎰191(k kk f x +==∑⎰=（2）算法结构1. For n i ,,2,1,0⋅⋅⋅=1.1 i i M y ⇒2. For 2,1=k2.1 For k n n i ,,1, -=2.1.1 i k i i i i M x x M M ⇒----)/()(13. 101h x x ⇒-4. For 1-,,2,1n i =4.1 11++⇒-i i i h x x4.2 b a c c h h h i i i i i i ⇒⇒-⇒+++2;1;)/(11 4.3 i i d M ⇒+165. 0000;;c M d M d n n ⇒⇒⇒λn n n b a b ⇒⇒⇒2;;20μ6. 1111,γμ⇒⇒d b7. 获取M 的矩阵元素个数，存入m 8. For m k ,,3,2 =8.1 k k k l a ⇒-1/μ 8.2 k k k k c l b μ⇒⋅-1- 8.3 k k k k l d γγ⇒⋅-1- 9. m m m M ⇒μγ/10. For 1,,2,1 --=m m k10.1 k k k k k M M c ⇒⋅-+μγ/)(1 11. 获取x 的元素个数存入s 12. k ⇒113. For 1,,2,1-=s i13.1 if i x x ≤~then k i ⇒；break else k i ⇒+114. xx x x x x h x x k k k k ˆ~;~;11⇒-⇒-⇒--- y h x h M y x h M y x M x M k k k k k k ~/]ˆ)6()6(6ˆ6[2211331⇒-+-++---（3）Matlab 源程序clear;clc;x=0:1:20; %产生从0到20含21个等分点的数组 X=0:0.2:20;y=[9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93]; %等分点位置的深度数据 n=length(x); %等分点的数目 N=length(X);%% 求三次样条插值函数s(x) M=y;for k=2:3; %计算二阶差商并存放在M 中 for i=n:-1:k;M(i)=(M(i)-M(i-1))/(x(i)-x(i-k+1)); end endh(1)=x(2)-x(1); %计算三对角阵系数a,b,c 及右端向量d for i=2:n-1;h(i)=x(i+1)-x(i);c(i)=h(i)/(h(i)+h(i-1)); a(i)=1-c(i); b(i)=2;d(i)=6*M(i+1); endM(1)=0; %选择自然边界条件 M(n)=0;b(1)=2;b(n)=2;c(1)=0;a(n)=0;d(1)=0;d(n)=0;u(1)=b(1); %对三对角阵进行LU分解y1(1)=d(1);for k=2:n;l(k)=a(k)/u(k-1);u(k)=b(k)-l(k)*c(k-1);y1(k)=d(k)-l(k)*y1(k-1);endM(n)=y1(n)/u(n); %追赶法求解样条参数M(i)for k=n-1:-1:1;M(k)=(y1(k)-c(k)*M(k+1))/u(k);ends=zeros(1,N);for m=1:N;k=1;for i=2:n-1if X(m)<=x(i);k=i-1;break;elsek=i;endendH=x(k+1)-x(k); %在各区间用三次样条插值函数计算X点处的值x1=x(k+1)-X(m);x2=X(m)-x(k);s(m)=(M(k)*(x1^3)/6+M(k+1)*(x2^3)/6+(y(k)-(M(k)*(H^2)/6))*x1+(y(k+1)-(M(k+1)*(H^2)/6))*x2 )/H;end%% 计算所需光缆长度L=0; %计算所需光缆长度for i=2:NL=L+sqrt((X(i)-X(i-1))^2+(s(i)-s(i-1))^2);enddisp('所需光缆长度为L=');disp(L);figureplot(x,y,'*',X,s,'-') %绘制铺设河底光缆的曲线图xlabel('位置','fontsize',16); %标注坐标轴含义ylabel('深度/m','fontsize',16);title('铺设河底光缆的曲线图','fontsize',16);grid;（4）结果与分析铺设海底光缆的曲线图如下图所示：仿真结果表明，运用分段三次样条插值所得的拟合曲线能较准确地反映铺设光缆的走势图，计算出所需光缆的长度为L=26.4844m。
3. 假定某天的气温变化记录如下表所示，试用数据拟合的方法找出这一天的气温变化的规律；试计算这一天的平均气温，并试估计误差。
时刻0123456789101112平均气温15141414141516182020232528时刻131415161718192021222324平均气温313431292725242220181716（1）算法思想在本题中，数据点的数目较多。
当数据点的数目很多时，用“多项式插值”方法做数据近似要用较高次的多项式，这不仅给计算带来困难，更主要的缺点是误差很大。
用“插值样条函数”做数据近似，虽然有很好的数值性质，且计算量也不大，但存放参数Mi 的量很大，且没有一个统一的数学公式来表示，也带来了一些不便。
另一方面，在有的实际问题中，用插值方法并不合适。
当数据点的数目很大时，要求)(x p 通过所有数据点，可能会失去原数据所表示的规律。
如果数据点是由测量而来的，必然带有误差，插值法要求准确通过这些不准确的数据点是不合适的。
在这种情况下，不用插值标准而用其他近似标准更加合理。
通常情况下，是选取i α使2E 最小，这就是最小二乘近似问题。
在本题中，采用“最小二乘法”找出这一天的气温变化的规律，使用二次函数、三次函数、四次函数以及指数型函数2)(c t b ae C --=，计算相应的系数，估算误差，并作图比较各种函数之间的区别。
（2）算法结构本算法用正交化方法求数据的最小二乘近似。
假定数据以用来生成了G ，并将y 作为其最后一列（第1+n 列）存放。
结果在a 中，ρ是误差22E 。
I 、使用二次函数、三次函数、四次函数拟合时1. 将“时刻值”存入i x ，数据点的个数存入m2. 输入拟合多项式函数)(x p 的最高项次数1-=n h ，则拟合多项式函数为)()()()(2211x g x g x g x p n n ααα+⋅⋅⋅++= , 根据给定数据点确定G For1,,2,1,0-⋅⋅⋅=n jFor m i ,,2,1⋅⋅⋅=2.1 1,+⇒j i ji g x 2.2 1,+⇒n i i g y 3. For n k ,,2,1⋅⋅⋅=3.1 [形成矩阵k Q ]3.1.1 σ⇒-∑=mki ikkk g g 2/12))(sgn( 3.1.2 k kk g ωσ⇒-3.1.3 For m k k j ,,2,1⋅⋅⋅++=3.1.3.1 j jk g ω⇒ 3.1.4 βσω⇒k 3.2 [变换1-k G 到k G ] 3.2.1 kk g ⇒σFor 1,,,2,1+⋅⋅⋅++=n n k k j 3.2.2 t g mk i ij i ⇒∑=βω/)(3.2.3 For m k k i ,,1,⋅⋅⋅+=3.2.3.1 ij i ij g t g ⇒+ω4. [解三角方程1h Ra =] 4.1nnn n n a g g ⇒+/1.4.2 For 1,,2,1⋅⋅⋅--=n n i 4.2.1iii ni j j ijn i a g x gg ⇒-∑+=+/][11.5. [计算误差22E ]ρ⇒∑+=+mn i n i g121,II 、使用指数函数拟合时现将指数函数进行变形： 将y C =,x t=代入2)(c t b aeC --=得:2)(c x b aey --=对上式左右取对数得: 222ln ln bx bcx bc a y -+-=令b bc bc a y z -==-==21202ln ln ααα，，，则可得多项式: 2210x x z ααα++=（3）Matlab 源程序clear; %清除工作空间变量 clc; %清除命令窗口命令 x=0:24; %将时刻值存入数组 y=[15,14,14,14,14,15,16,18,20,20,23,25,28,31,34,31,29,27,25,24,22,20,18,17,16]; [~,m]=size(x); %将数据点的个数存入m T=sum(y(1:m))/m;fprintf('一天的平均气温为T=%f\n',T); %求一天的平均气温 %% 二次、三次、四次函数的最小二乘近似h=input('请输入拟合多项式的最高项次数='); %根据给定数据点生成矩阵G n=h+1; G=[];for j=0:(n-1)g=x.^j; %g(x)按列排列 G=vertcat(G,g); %g 垂直连接G endG=G'; %转置得到矩阵Gfor i=1:m %将数据y 作为G 的最后一列（n+1列） G(i,n+1)=y(i); endG;for k=1:n %形成矩阵Q(k) if G(k,k)>0; sgn=1;elseif G(k,k)==0; sgn=0; else sgn=-1; endsgm=-sgn*sqrt(sum(G(k:m,k).^2)); w=zeros(1,n); w(k)=G(k,k)-sgm; for j=k+1:m w(j)=G(j,k); endbt=sgm*w(k);G(k,k)=sgm; %变换Gk-1到Gk for j=k+1:n+1t=sum(w(k:m)*G(k:m,j))/bt; for i=k:m;G(i,j)=G(i,j)+t*w(i);endendendA (n)=G(n,n+1)/G(n,n); %解三角方程求系数Afor i=n-1:-1:1A (i)=(G(i,n+1)-sum(G(i,i+1:n).*A (i+1:n)))/G(i,i);ende=sum(G(n+1:m,n+1).^2); %计算误差efprintf('%d次函数的系数是：',h); %输出系数a及误差edisp(A);fprintf('使用%d次函数拟合的误差是%f：',h,e);t=0:0.05:24;A=fliplr(A); %将系数数组左右翻转Y=poly2sym(A); %将系数数组转化为多项式subs(Y,'x',t);Y=double(ans);figure(1)plot(x,y,'k*',t,Y,'r-'); %绘制拟合多项式函数图形xlabel('时刻'); %标注坐标轴含义ylabel('平均气温');title([num2str(n-1),'次函数的最小二乘曲线']);grid;%% 指数函数的最小二乘近似yy=log(y);n=3;G=[];GG=[];for j=0:(n-1)g=x.^j; %g(x)按列排列G=vertcat(G,g); %g垂直连接Ggg=t.^j; %g(x)按列排列GG=vertcat(GG,gg); %g垂直连接GendG=G'; %转置得到矩阵Gfor i=1:m %将数据y作为G的最后一列（n+1列）G(i,n+1)=yy(i);endG;for k=1:n %形成矩阵Q(k)if G(k,k)>0;sgn=1;elseif G(k,k)==0;sgn=0;else sgn=-1;endsgm=-sgn*sqrt(sum(G(k:m,k).^2));w=zeros(1,n);w(k)=G(k,k)-sgm;for j=k+1:mw(j)=G(j,k);endbt=sgm*w(k);G(k,k)=sgm; %变换Gk-1到Gkfor j=k+1:n+1t=sum(w(k:m)*G(k:m,j))/bt;for i=k:m;G(i,j)=G(i,j)+t*w(i);endendendA(n)=G(n,n+1)/G(n,n); %解三角方程求系数A for i=n-1:-1:1A (i)=(G(i,n+1)-sum(G(i,i+1:n).*A (i+1:n)))/G(i,i);endb=-A(3);c=A(2)/(2*b);a=exp(A(1)+b*(c^2));G(n+1:m,n+1)=exp(sum(G(n+1:m,n+1).^2));e=sum(G(n+1:m,n+1).^2); %计算误差efprintf('\n指数函数的系数是：a=%f,b=%f,c=%f',a,b,c); %输出系数及误差e fprintf('\n使用指数函数拟合的误差是：%f',e);t=0:0.05:24;YY=a.*exp(-b.*(t-c).^2);figure(2)plot(x,y,'k*',t,YY,'r-'); %绘制拟合指数函数图形xlabel('时刻'); %标注坐标轴含义ylabel('平均气温');title(['指数函数的最小二乘曲线']);grid;（4）结果与分析a、二次函数：一天的平均气温为：21.20002次函数的系数: 8.3063 2.6064 -0.0938使用2次函数拟合的误差是：280.339547二次函数的最小二乘曲线如下图所示：b、三次函数：一天的平均气温为：21.20003次函数的系数: 13.3880 -0.2273 0.2075 -0.0084使用3次函数拟合的误差是：131.061822三次函数的最小二乘曲线如下图所示：c、四次函数：一天的平均气温为：21.20004次函数的系数: 16.7939 -3.7050 0.8909 -0.0532 0.0009使用4次函数拟合的误差是：59.04118四次函数的最小二乘曲线如下图所示：d、指数函数：一天的平均气温为：21.2000指数函数的系数是：a=26.160286，b=0.004442，c=14.081900使用指数函数拟合的误差是：57.034644指数函数的最小二乘曲线如下图所示：通过上述几种拟合可以发现，多项式的次数越高，计算拟合的效果越好，误差越小，说明结果越准确；同时，指数多项式拟合的次数虽然不高，但误差最小，说明结果最准确。