初中数学 第30课时全等变换(二)
初二数学(下)导学案：5、平面图形的全等变换(2)
初二数学（下）导学案：5、平面图形的全等变换（2）
使用时间： 班级： 姓名： 序号：8 学习目标：能综合运用各种变换解决有关问题。
学习重点：图形之间的关系。
学习难点：各种变换的综合运用。
一、课前预习：
观察图中的图案（1）和（2），其中（2）可以看做是由（1）经过 和 得到的。
2
1
二、合作探究：（一）
如图，怎样将图中的甲图案通过变换与乙图案重合？
乙
B
知识拓展：还可以用什么方法解决以上问题？
三、合作探究：（二）
观察课本21页图8—32回答以下问题：
（1）你能分析小鱼⑤⑥⑦分别是由①经过怎样的变换得到的吗？
（2）小鱼①通过怎样的变换可以得到④（不考虑颜色）？
（3）小鱼①通过怎样的变换可以得到②（不考虑颜色）？还有没有其他方法。
（4）小鱼①通过怎样的变换可以得到③？同桌交流。
四、自主练习：随堂练习（21页）
1、
2、
五、当堂检测：习题8.9
1、
2、习题8.8 2、
六、教（学）小结：。
人教版八年级数学上册课件：全等的定义及全等变换
什么是全等形
能够完全重合的两个图形叫全等形
全等形能够完全重合，就说 明图形的形状大小完全相同
A
F
E
全等三角形
B
C
D
△ABC≌△DEF 用“ ≌”表示，读作“全等于” 能够完全重合的两个三角形
全等形只与图形的形Leabharlann 、大小 有关，与图形的位置方向无关
下列说法是否正确
所有的三角形都是全等形
× × ×
√
所有的正方形都是全等形
所有等腰三角形是全等三角形
边长是5cm的等边三角形是全等三角形
全等变换
如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不
同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．
解：
专题讨论 你能试着沿着虚线把图形分成两个全等图形吗？
中考数学第一轮复习(第30课全等变换(二)轴对称与中心对称)学案
第30课时全等变换（二）---轴对称与中心对称班级姓名学号学习目标：【知识与技能目标】让学生加深对中心对称图形、轴对称图形的概念和性质的理解；比较灵活地应用轴对称、中心对称的定义和性质来进行计算与作图.【过程与方法目标】通过知识的梳理、动手实践，积累数学活动的经验，能清晰地知道轴对称与中心对称的区别与联系，会解决一些数学问题.【情感与态度目标】欣赏生活中的轴对称图形、中心对称图形，体会轴对称、中心对称在生活中的广泛应用。
学习重点、难点灵活应用轴对称、中心对称的定义和性质解决代数和几何中的综合问题。
教学过程一、课前热身1.下列几何图形中,一定是轴对称图形的有 ( ).A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2.下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是图中的（）二、考点梳理1. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形，那么这两个图形成，这条直线就是，折叠后重合的对应点就是 .2. 把一个图形绕着某一个点旋转°，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这个点，这个点叫做．这两个图形中的对应点叫做关于中心的．3. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被对称中心所．关于中心对称的两个图形是图形.Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.4. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，即点),(y x P 关于原点的对称点1P 的坐标为 .三、典例精析例1.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A ．正三角形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．正六边形例2. 如图1，设M 、N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD 、BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，M 与N 恰好重合，则AE ∶BE 等于( )．A ．2∶1；B ．1 ∶2；C ．3 ∶2 ；D ．2∶3．图1 图2 例3.如图2，在直角坐标系xOy 中， A(一l ，5)，B(一3，0)，C (一4，3)．(1) 在图2中作出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△A ′B ′C ′；(2) 如果ABC △中任意一点M 的坐标为()x y ，，那么它的对应点N 的坐标是 ．四、随堂练习1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正三角形D ．矩形2.如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案.其中，是轴对称图形但不是中心对称的图形为（ ）A.①③B. ①④C.②③D.②④3.将一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中,O 为原点,C 在x 轴上,OA=6,OC=10.如下图，在OA 上取一点E ，将△EOC 沿EC 折叠，使O 落在AB 边上的D 点，求E 点的坐标。
七年级数学平面图形的全等变换知识点
七年级数学平面图形的全等变换知识点七年级数学平面图形的全等变换知识点一、平移1、定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为图形的平移。
2、平移的要素：平移的方向、平移的距离。
3、平移的特征：(1)不改变图形的形状和大小;(2)经过平移，对应点连接的线段互相平行或在同一直线上且相等;(3)对应线段平行(或在同一直线上)且相等;(4)对应角相等，它们的边互相平行且方向一至。
二、旋转1、定义：把一个图形绕某一点按一定方向旋转一定角度的图形运动，叫做图形的旋转。
2、旋转的要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。
3、旋转的特征：(1)不改变图形的形状和大小;(2)经过旋转，图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度;(3)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，且它们都相等;(4)对应线段、对应角都相等，对应点到旋转中心的距离相等。
第30课时全等变换(二)轴对称与中心对称一、轴对称1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。
(两个图形)2、轴对称图形定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴。
(一个图形)3、轴对称的性质：对应线段相等;对应角相等;对应点的连线被对称轴垂直平分。
4、画对称轴的方法：①连接一对对称点;②作这条线段的垂直平分线。
5、画轴对称图形：①先画出图形中的特殊点的对称点;(如三角形，画三个顶点的对称点)②连接所画对称点得到所要的图形。
二、中心对称1、中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180o，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。
这点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
(两个图形)2、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180o，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
三角形全等的判定第二课时 初中数学原创课件
三角
×
三边
√
两边一角
？
两角一边
完成任务
任务一：探究判定三角形全等的条件 两边及夹角 （1）(书37页下面~书38页上面长方框里的内容)，仿照视频进行 画图、猜想、验证、归纳出“边角边公理”.
完成任务
任务一：探究判定三角形全等的条件
两边及夹角 （2）在平板上用符号语言写出“边角边公理”. （3）边角边公理的应用：看书上38页例题，到黑板上写出过程. （4）回答例题右侧云图里的问题. （5）参考书上39页思考，在平板上画图，回答两边及其中一边 的对角对应相等的两个三角形是否全等.
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）我们是怎么探究出“SAS”判定方法的？用“SAS”判定 三角形全等应注意什么问题？
（3）到现在为止，你学到了几种证明两个三角形全等的方法？
典例训练
例1 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在 平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B的点C，连接 AC并延长至点D，使CD =CA，连接BC 并延长至点E，使CE
=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
证明 在△ABC和△DEC中，
CA=CD， ∠1=∠2， CB=CE， ∴△ABC≌△DEC（SAS）. ∴AB =DE.
12.2 三角形全等的判 定
第2课时 三角形全等的判定
复习引入
1.回顾三角形全等的判定方法1：
三边对应相等的两个三角形全等
A
（可以简写为“边边边”或“SSS”）.
2.符号语言表达：
在△ABC和△ DEF中， AB=DE，
B
D
全等三角形的图形全等变换
鼓励学生讨论、交流、探究，允许他们有不同的拼图方法和结论，培养其合作精神。
活动九
7.两个全等三角形的综合变换：
学生思考、探究解题思路和方法，小组合作交流;
师作图巡视、指导。
(1)一个长方形沿着一条对角线对折剪开,拼成如图位置的两个三角形,使点B、F、C、D在同一直线上.①求证:AB⊥DE;②若PB=BC,找出一对全等三角形,并证明出它们的正确性。
小结
学生谈感受和收获
培养学生的归纳总结能力
作业
教材P—114 （3）（5）（8）
选做题：上面活动九中的“迁移题”
分层次教学
板书
设计
略
注意渗透分类思想
活动七
5.两个全等三角形的“旋转”加“平移”变换：
学生演示，师作图指导。
特点：三角形旋转任一角度到不同位置再沿着某条直线平移到不同位置。（如图）
已知：等腰△ABC的直角顶点C放在直线a上,作AD⊥a于D,作BE⊥a于E.找出一对三角形,并证明它们是正确的结论.
结论: △ACD≌△CBE;
让学生从实践演示中探究三角形全等的结论，并迁移出其他正确结论。
活动四
2.两个全等三角形的“翻折”变换：
学生演示，师作图指导。
特点：沿着某条直线 “翻折1800”到不同位置。（如图）或沿着过某个点所在的直线“翻折”1800到不同位置。
结论：△ABC≌△ABD; △ABO≌△CDO.
迁移：连接CD,推导出CD被AB垂直平分;AB平分∠CAD。
全等三角形的图形全等变换
课 题
全等三角形的图形全等变换
讲课教师
学校
时间
九年级数学上册 第二章(图形的全等变换)教案 青岛版 教案
第二章《图形的全等变换》教案主题单元标题图形的全等变换作者姓名学科领域（在内打√表示主属学科，打+ 表示相关学科）思想品德音乐化学+ 信息技术劳动与技术语文美术生物科学√数学外语历史社区服务体育物理地理社会实践其他（请列出）：适用年级九年级所需时间7课时主题单元学习概述图形的全等变换是“空间与图形”领域中一块重要的内容，图形的变换主要包括图形的平移、图形的轴对称和图形的旋转等，通过将图形平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于在运动变化的过程中发现图形不变的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题、发现几何结论的有效工具。
“图形的变换”在教材中占有十分重要的地位，在各种图形的变换过程中有一个极为重要的基本结论：任何图形经过变换后，其形状，大小都保持不变，即对应边、对应角都相等，变化的只是图形的位置。
初中阶段的“图形的三大变换”恰恰与生活联系十分紧密；以“图形变换”为手段，以简单说理为基础，通过本章节的教学，可以培养学生运用所学知识解决现实生活、生产中的实际问题的能力。
主题单元规划思维导图主题单元学习目标【知识与技能】：1、通过观察生活中的实例,认识图形的平移、轴对称和旋转以及相关的对应点、对应角、对应线段等概念，能举出生活中与平移、轴对称、旋转相关的例子。
2、探索简单图形之间的位置变换关系，能按照要求作出简单平面图形平移、旋转或轴对称后的图形（只要求画一种图形运动，多种图形运动的组合不做要求）教学支撑环境：多媒体教室学习活动设计[活动一]问题：（1）观察实例（图23.1-1，23.1-2），回答问题：①钟表的指针在不停地旋转，从3时到5时，时针转动了多少度？②风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动了新的位置，这些现象有哪些共同特点？（2）巩固练习：教科书第56页练习1，2，3 [活动二]将一个已知△ABC围绕一个旋转中心转动后，得到△A’B’C’（图23.1-3）（1）线段OA与线段OA’间有什么关系？（2）∠AOA’与∠BOB’有什么关系？（3）△ABC与△A’B’C’的形状和大小有什么关系？[活动三]1、巩固练习：教科书第58页练习1，2，3。
中考复习全等变换(2)
中考复习——全等变换为了在2009年交上一份满意的答卷，我们备课组对2008年各地中考题作了分析，结合本校实际制定了中考复习计划。
我们在分析中发现几何题在整套中考题中所占的比率有所提高，以2008年山东省各市地中考题为例，省中考题中几何部分占了近65分，在各地市中考题中几何题都在55分左右，在中考中要想拿高分，必须重视几何复习，在扎扎实实复习基础知识的基础上，适当综合、拔高，培养学生解决几何问题的能力。
我们将在章节复习之后紧跟上复习最近几年中考的热点——全等变换。
现就这部分的复习方向向老师们做一下介绍，请批评指正。
数学因运动不再枯燥乏味，数学因运动而充满活力。
新课程改革更是推动运动类题目的发展，中考数学卷中运动类题目的形式精彩纷呈，亮点闪烁，而全等变换恰恰是运动类中最精彩的部分，现从2008年各地中考题中选取与此有关的题目加以浅析，希望对我们的中考复习有所帮助。
只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换，它包括平移、翻转、旋转等三种全等变换方法。
现分别举例说明：一、平移变换1、（2008山东青岛）如图，把图①中的△ABC 经过一定的变换得到图②中的A B C '''△，如果图①中△ABC上点P 的坐标为()a b ，，那么这个点在图②中的对应点P '的坐标为（ ）A ．(23)a b --，B ．(32)a b --，C ．(32)a b ++，D ．(23)a b ++， 此题是三角形在平面直角坐标系里的平移问题，要求平移后P 点的坐标就需要观察出这个三角形是如何平移的，而三角形的平移就是对应点的平移，可以观察三角形的某个顶点，如A 点，它是由（—3，—2）平移至（0，0），是向上平移两个单位，再向右平移三个单位，所以P 点也经过同样的平移，答案是C 。
解决这类问题需要我们找好对应，知道实际移动的是点。
2、（2008山东泰安）15、在如图所示的单位正方形网格中，将ABC △向右平移3个单位后得到A B C '''△（其中A B C ，，的对应点分别为A B C '''，，），则BA A '∠的度数是 ． 此题作为填空题的第三个属于中档题，解决此题首先要能画出平移后的图形，然后再根据网格中线段的长度求角度，体现了数形结合思想，考查了学生的动手画图能力和观察能力。
初中数学知识点精讲精析 平面图形的全等变换 (2)
第五节 平面图形的全等变换要点精讲1.平面图形的全等变换-------对称、平移、旋转我们知道，图形经过对称、平移、旋转后的图形的形状、大小都不变，即：图形全等，我们把这种变换称为全等变换。
2.全等变换的应用------设计图案典型例题【例1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，若将绕点逆时针旋转后，点到达点，则点的坐标是 ．【答案】B 1（，）【解析】全等变换类型-----旋转60°∵的顶点的坐标为 ∴OB＝ OB /＝ ∠B /OM ＝60°， ∴OM ＝ B 1M ＝∴B 1（，）【例2】如图，的直角边在轴上，点在第一象限内，，，若将绕点按顺时针方向旋转90°，则点的对应点的坐标是 ．Rt OAB △A OAB △O 60B B 'B '2323Rt OAB △A 33232349)23()3(22==-2323Rt OAB △OA y B 2OA =1AB =OAB △O B【答案】（2，－1）【解析】全等变换类型-----旋转90°∵ OA ′＝OA ＝2, A ′B ′＝AB ＝1 ∴点B ′的坐标是（2，－1）针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，是经过某种变换后得到的图形，观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系．在这种变换下，如果中任意一点的坐标为，那么它的对应点的坐标是 ．2．正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点按顺时针方向旋转90°后，B 点的坐标为（ ）A. B. C. D.3．已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．PQR △ABC △A P B Q C R ABC △M ()x y ，N (22)-，(41)，(31)，(40)，E ABCD AB D DF DE ⊥BC F DE DF =4．（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．求证：AF ⊥BE ．（2）把两个全等的含有30°角的直角三角板如图2放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．问AF 与BE 是否垂直？并说明理由．5．任画一个，其中，分别作出按如下条件旋转后或平移后的图形．（1）取三角形外一点为旋转中心，按逆时针方向旋转．（2）将平移，使得点的对应点为点．ABC Rt △90B ∠=ABC △P 180ABC △B A。
2015届九年级数学中考一轮复习教学案：第30课时全等变换(二)——轴对称与重心对称
第30课时全等变换（二）——轴对称与重心对称1．通过具体实例了解轴对称的概念，探索并理解它的基本性质，体会全等变换．2．能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形．3．了解轴对称图形的概念；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．4．了解中心对称、中心对称图形的概念，探索并理解它的基本性质．5．探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质．6．会运用图形的轴对称、旋转、平移和中心对称进行图案设计．【知识梳理】1．如果把一个图形沿某条直线对折，使两部分能够完全重合，那么就称这样的图形为_______；如果把一个图形沿着某条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形_______．2．轴对称的特征：对应线段_______，对应角_________，对应点的连线被对称轴_______．3．轴对称和轴对称图形的区别和联系：(1)轴对称是针对_______个图形而言，轴对称图形是针对_______个图形而言．(2)把成轴对称的两个图形看成一个整体时，它就成为一个轴对称图形．(3)都具有的特征：对应线段_______，对应角_______．4．画对称轴的方法：作连接对称点的线段的_______，此直线就是该图形的对称轴．5．画轴对称图形的方法：先画出图形中的特殊点的_______，然后连接．6．一个图形绕着某点旋转180°后能与自身重合，这种图形叫_______．7．把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形________．8．在成中心对称的两个图形中，连接对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心_______，反过来，如果两个图形的对应点所成的线段都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点_______．【考点例析】考点一对称图形的识别例1下列图形中，是轴对称图形的是( )提示把一个图形沿某直线折叠，直线两侧的部分能重合的图形为轴对称图形，判断能否重合的关键是在图形上确定关键点，看关键点是否存在对应点，若各点都能找到关于某直线的对应点，则此图形为轴对称图形．例2下面四个标志是中心对称图形的是( )提示根据中心对称图形的定义，旋转180°后能够与原图形完全重合，这种图形即是中心对称图形，判断即可得到答案．考点二对称性质的应用例3如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°．在BC、CD上分别找一个点M、N，使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为( ) A．130°B．120°C．110°D．100°提示根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A'、A"，连接A'A"交BC于M，交CD于N，即可得出∠AA'M＋∠A"＝∠HAA'＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA'M＋∠A")，从而得出答案．考点三利用轴对称作图例4如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）；(2)在(1)的条件下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．提示(1)根据对称点到对称轴的距离相等，分别作出A、B、C的对称点A1、B1、C1；(2)先判断出四边形BB1C1C是等腰梯形，然后根据梯形面积的计算公式即可求出其面积．考点四轴对称变换的应用例5把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是( )提示根据图③中小三角形的位置可知，以图③为基本图形进行轴对称变换，然后以图②为基本图形进行轴对称变换，就可以得出正确答案．【反馈练习】1．(宜昌)在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是( )2．在下列平面图形中，是中心对称图形的是( )3．如图，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( )A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形4．如图，在锐角△ABC中，BC＝42，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值是_______．5．如图，在方格纸中，画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．6．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图①，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法，他把管道l看成一条直线（如图②），问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B'；②连接AB'交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下面的问题．如图③，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．(1)在图③中作出点P(保留作图痕迹，不写作法)；(2)求出△PDE周长的最小值．参考答案【考点例析】1.C2.B3.B4.125.C【反馈练习】1.B2.B3.D4.4 5．略 6.(1)如图(2)8。
人教版初二(上)数学第30讲：全等三角形的判定(2)(教师版)——研究院杨楠
三角形全等的判定（2）__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、掌握直角三角形全等的判定方法：“斜边、直角边”；2、判断能证明三角形全等的条件；3、判断三角形全等能推出的结论；4、探索全等三角形判定的综合问题．1．斜边、直角边定理（HL ）文字描述：_______和一条______分别相等的两个直角三角形全等． 符号语言：在Rt △ABC 与Rt △DEF 中， ∠ABC=∠DEF=90°，AB DE BC EFAC DF ==⎧⎨=⎩或 ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）． 图示：2．探究三角形全等的思路 （1）已知两边→⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角找直角找另一边（2）已知一边一角→→⎧⎪→⎧⎪⎨⎪→→⎨⎪⎪⎪→⎩⎩一边为角的对边找另一角找夹角的另一边一边为角的一边找夹角的另一角找边的对角（3）已知两角→⎧⎨→⎩找夹边找其中一边的对边3.什么是开放题所谓开放题，即为答案不唯一的问题，其主要特征是答案的多样性和多层次性.由于这类题综合性强、解题方法灵活多变，结果往往具有开放性，因而需观察、实验、猜测、分析和推理，同时运用树形结合、分类讨论等数学思想. 4. 开放题问题类型及解题策略 （1）条件开放与探索型问题.从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析.（2）结论开放与探索型问题.从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论.（3）条件、结论开放与探索型问题.此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性. 参考答案：1、斜边 直角边 2、(1)SAS HL SSS (2)AAS SAS ASA AAS (3)ASA AAS1．利用HL 证全等【例1】（2014秋•合浦县期末）如图，已知∠A=∠D=90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB=CD ，BE=CF ．求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE ．【解析】由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．证明：∵BE=CF ，∴BE+EF=CF+EF ，即BF=CE. ∵∠A=∠D=90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形， 在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，BF CE AB CD ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）．点评：此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE=CF 通过等量代换得到BF=CE ． 总结：1．判定直角三角形全等共有五种方法：“SSS ”“ASA ”“AAS ”和“HL ”；一般先考虑利用“HL ”定理，再考虑利用一般三角形全等的判定方法；2．“HL ”定理是直角三角形所特有的判定方法，对于一般的三角形不成立；3．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已有“两个直角相等”的条件，只需再找两个条件，但所找条件中必须有一组边对应相等．练1．（2014秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt △ABC 和Rt △A′B′C′全等的条件是（ ）A ．AC=A′C′，BC=B′C′B ．∠A=∠A′，AB=A′B′C ．AC=A′C′，AB=A′B′D ．∠B=∠B′，BC=B′C′ 【解析】根据直角三角形全等的判定方法（HL ）即可直接得出答案．∵在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC 一定等于B′C′， Rt △ABC 和Rt △A′B′C′一定全等， 故选C ．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题． 练2．（2014秋•曹县期末）如图，已知AB ⊥CD ，垂足为B ，BC=BE ，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE ，则需要添加的一个条件是_______________．【解析】先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．AC=DE ，理由是：∵AB ⊥DC ， ∴∠ABC=∠DBE=90°， 在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，AC DEBE BC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DBE （HL ）． 故答案为：AC=DE ．点评：本题考查了全等三角形的判定定理，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL ． 2．利用HL 证全等，再证边角相等【例2】如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ．求证：CB=CD ．【解析】根据已知条件，利用“HL ”判定Rt △ABC ≌Rt △ADC ，根据全等三角形的对应边相等即可得到CB=CD ．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B=∠D=90°．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，AB ADAC AC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC ． ∴CB=CD ．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法“HL ”的理解及运用，常用的判定方法有“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”．总结：证明角或线段相等可以从证明角或线段所在的三角形全等入手. 在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对顶角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等关系． 练3．（2014春•常州期末）如图，MN ∥PQ ，AB ⊥PQ ，点A 、D 、B 、C 分别在直线MN 与PQ 上，点E 在AB 上，AD+BC=7，AD=EB ，DE=EC ，则AB=_____________．【解析】可判定△ADE ≌△BCE ，从而得出AE=BC ，则AB=AD+BC ．∵MN ∥PQ ，AB ⊥PQ ， ∴AB ⊥MN ，∴∠DAE=∠EBC=90°，在Rt △ADE 和Rt △BCE 中，DE ECAD BE=⎧⎨=⎩， ∴△ADE ≌△BEC （HL ）， ∴AE=BC ， ∵AD+BC=7，∴AB=AE+BE=AD+BC=7． 故答案为7．点评：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质是基础知识比较简单． 练4．已知如图，∠A=90°，∠D=90°，且AE=DE ，求证：∠ACB=∠DBC ．【解析】由图片和已知，可得△ABE ≌△DCE ，则BE=CE ，然后再证明Rt △ABE ≌Rt △DCE ，即可得证．证明：∵∠A=∠D=90°，AE=DE （已知），∠AEB=∠DEC （对顶角相等）， ∴△ABE ≌△DCE （ASA ）， ∴AB=DC ，在Rt △ABE 和Rt △DCE 中，AB DCBC CB=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △DCE ， ∴∠ACB=∠DBC ．点评：本题主要考查全等三角形全等的判定，注意需证明两次全等． 3．利用HL 解决实际问题【例3】（2014春•招远市期末）如图，A 、B 、C 、D 是四个村庄，B 、D 、C 三村在一条东西走向公路的沿线上，且D 村到B 村、C 村的距离相等；村庄A 与C ，A 与D 间也有公路相连，且公路 AD 是南北走向；只有村庄A 、B 之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AC=3千米，AE=1.2千米，BF=0.7千米．试求建造的斜拉桥至少有多少千米.【解析】根据BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，得出Rt△ADB≌Rt△ADC，进而得出AB=AC=3，即可得出斜拉桥长度．由题意，知BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，则Rt△ADB≌Rt△ADC（SAS），所以AB=AC=3千米，故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1（千米）．点评：此题主要考查了直角三角形全等的判定以及性质，根据已知得出Rt△ADB≌Rt△ADC是解决问题的关键．总结：对于实际问题，要善于转化为数学问题，充分运用题目条件、图形条件，寻找三角形全等的条件，从而证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求对应边长或对应角的大小．练5．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（）A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD=CD D．不能确定【解析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB=AC，又AD=AD，AD⊥BC，所以Rt△ABD≌Rt△ACD，所以BD=CD．∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，由AB=AC，AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴BD=CD．故选C．点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件．本题关键是证明Rt△ABD≌Rt△ACD．4．全等三角形——补充条件型问题【例1】（2014•漳州中学期中）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【解析】由已知先推出BC=EF，添加条件AC=DF，根据“SAS”可推出两三角形全等．证明：∵BF=EC ，∴BF ﹣CF=EC ﹣CF ， 即BC=EF.在△ABC 和△DEF 中12AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．总结：因为全等三角形的判定定理有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，所以此类问题答案是不唯一的. 对于条件添加型的题目，要根据已知条件并结合图形及判定方法来添加一个条件．练6．（2015•滕州市校级模拟）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ）A ．BD=CDB ．AB=AC C ．∠B=∠CD ．∠BAD=∠CAD 【解析】利用全等三角形判定定理ASA ，SAS ，AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案．A 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若BD=CD ，则△ABD ≌△ACD （SAS ）；B 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若AB=AC ，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD ；C 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若∠B=∠C ，则△ABD ≌△ACD （AAS ）； D 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若∠BAD=∠CAD ，则△ABD ≌△ACD （ASA ）； 故选：B ．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．练7．（2014秋•宜兴市校级月考）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，AD 与CE 交于点F ，请你添加一个适当的条件，使△ADB ≌△CEB ．【解析】要使△ADB ≌△CEB ，已知∠B 为公共角，∠BEC=∠BDA ，具备了两组角对应相等，故添加AB=BC 或BE=BD 或EC=AD 后可分别根据AAS 、ASA 、AAS 能判定△ADB ≌△CEB ．解：AB=BC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，B=∠B ∴△ADB ≌△CEB （AAS ）．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．点评：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．添加条件时，要首选明显的、简单的，由易到难． 5．全等三角形——结论探索型问题【例5】（2014•邵阳期中）如图，已知点A 、F 、E 、C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE=∠CDF ，AF=CE ．（1）从图中任找两组全等三角形； （2）从（1）中任选一组进行证明．【解析】（1）根据题目所给条件可分析出△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ；（2）根据AB ∥CD 可得∠1=∠2，根据AF=CE 可得AE=FC ，然后再证明△ABE ≌△CDF即可．解：（1）△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ； （2）∵AB ∥CD ，∴∠1=∠2， ∵AF=CE ， ∴AF+EF=CE+EF ， 即AE=FC.在△ABE 和△CDF 中，12AEB CDF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （AAS ）．总结：判定两个三角形全等的一般方法有：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”和“HL”．注意：“AAA”“SSA”不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．练8．（2014•陆川县校级模拟）如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=AC ，AE=AF ，则图中全等三角形的对数有（ ）A．5对B．6对C．7对D．8对【解析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．做题时要从已知条件开始，结合判定方法对选项逐一验证．解：∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∴BD=CD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，又AE=AF，AO=AO，∴△AOE≌△AOF，EO=FO，进一步证明可得△BOD≌△COD，△BOE≌△COF，△AOB≌△AOC，△ABF≌△ACE，△BCE≌△CBF，共7对．故选：C．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．6．全等三角形——条件和结论全开放型问题【例6】（2015•金溪县模拟）有下列四个判断：①AD=BF；②AE=BC；③∠EFA=∠CDB；④AE∥BC．请你以其中三个作为题设，余下一个作为结论，写出一个真命题并加以证明．已知：求证：证明：【解析】由已知AD=BF，证出AF=BD，再由平行线AE∥BC得出∠A=∠B，证明△AEF≌△BCD，即可得出∠EFA=∠CDB．解：已知：AD=BF，AE=BC，AE∥BC；求证：∠EFA=∠CDB；证明：∵AD=BF，∴AD+DF=BF+DF，即AF=BD.∵AE∥BC，∴∠A=∠B，在△AEF 和△BCD 中，AE BC A B AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△BCD （SAS ）， ∴∠EFA=∠CDB ．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及命题与定理；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．总结：条件和结论全开放的三角形全等问题，进一步加强了对SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 的考查．要熟练掌握全等三角形的证明思路：已知条件 证明思路两边SASHLSSS →→⎪⎨→⎧⎪⎩找夹角找直角找另一边 一边 一角AAS SAS ASA AAS →→→⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪→⎩⎨⎪→⎩边为角的对边找另一角找角的另一个邻边边为角的邻边→找边的另一个邻角找边的对角 两角ASAAAS →→⎧⎨⎩找夹边找其中一角的对边 练9．如图，AC 交BD 于点O ，有如下三个关系式：①OA=OC ，②OB=OD ，③AB ∥DC ．(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．(用序号写出命题书写形式，如：如果⊗、⊗，那么⊗)(2)选择(1)中你写出的—个命题，说明它正确的理由．【解析】（1）如果①、②，那么③，或如果①、③，那么②，如果②、③，那么①；（2）下面选择“如果①、②，那么③”加以证明． 证明：在△AOB 和△COD 中，,,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△COD ， ∴∠A ＝∠C ，∴AB ∥DC ．练10．（2014秋•德州期末）在△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，∠A=∠D ，若证△ABC ≌△DEF ，还需补充一个条件，错误的补充方法是（ ）A ．∠B=∠EB ．∠C=∠FC ．BC=EFD ．AC=DF【解析】根据已知及全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．解：A 、正确，符合判定ASA ；B 、正确，符合判定AAS ；C 、不正确，满足SSA 没有与之对应的判定方法，不能判定全等；D 、正确，符合判定SAS ．故选：C ．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS ，SAS ，SSS ，HL 等．练11．（2014•宁德）如图，已知等边△ABC ，AB=2，点D 在AB 上，点F 在AC 的延长线上，BD=CF ，DE ⊥BC 于E ，FG ⊥BC 于G ，DF 交BC 于点P ，则下列结论：①BE=CG ；②△EDP ≌△GFP ；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④【解析】由等边三角形的性质可以得出△DEB ≌△FGC ，就可以得出BE=CG ，DE=FG ，就可以得出△DEP ≌△FGP ，得出∠EDP=∠GFP ，EP=PG ，得出PC+BE=PE ，就可以得出PE=1，从而得出结论．解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠A=∠B=∠ACB=60°．∵∠ACB=∠GCF ，∵DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．在△DEB 和△FGC 中，DEB FGC GCF A BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△FGC （AAS ），∴BE=CG ，DE=FG ，故①正确；在△DEP 和△FGP 中，DEP FGP DPE FPG DE FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEP ≌△FGP （AAS ），故②正确；∴PE=PG ∠EDP=∠GFP≠60°，故③错误；∵PG=PC+CG ，∴PE=PC+BE ．∵PE+PC+BE=2，∴PE=1．故④正确．正确的有①②④，故选：D ．点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．练12．（2014•雁塔区校级模拟）如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB EA=AB=2BC ，D 为AB 中点，有以下结论：（1）DE=AC （2）DE ⊥AC （3）∠CAB=30°（4）∠EAF=∠ADE ，其中结论正确的是（ ）A ．（1），（3）B ．（2），（3）C ．（3），（4）D ．（1），（2），（4）【解析】本题条件较为充分，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA=AB=2BC ，D 为AB 中点可得两直角三角形全等，然后利用三角形的性质问题可解决．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．解：∵EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠EAB=∠ABC=90°Rt △EAD 与Rt △ABC∵D 为AB 中点，∴AB=2AD又EA=AB=2BC∴AD=BC∴Rt △EAD ≌Rt △ABC∴DE=AC ，∠C=∠ADE ，∠E=∠FAD又∠EAF+∠DAF=90°∴∠EAF+∠E=90°∴∠EFA=180°﹣90°=90°，即DE ⊥AC ，∠EAF+∠DAF=90°，∠C+∠DAF=90°∴∠C=∠EAF ，∠C=∠ADE∴∠EAF=∠ADE故选：D．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；全等三角形问题要认真观察已知与图形，仔细寻找全等条件证出全等，再利用全等的性质解决问题．1．（2014秋•隆化县校级期中）下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一条直角边和它所对的锐角对应相等D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等2．（2014春•揭西县校级月考）如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO ≌△AFO的依据是（）A．HL B．AAS C．SSS D．ASA3．（2015秋•镇江校级期中）已知：如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（）A．∠BAC=∠BAD B．BC=BD或AC=ADC．∠ABC=∠ABD D．AB为公共边4．（2014秋•江津区期中）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（）A．40°B．50°C．60°D．75°5．（2014•如东县模拟）如图1，已知△ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC 全等的图形是（）A．甲乙B．丙C．乙丙D．乙6．（2014秋•嘉荫县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC于点D，且点E、F在BC上，则图中全等的直角三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对7.（2014•徐州模拟）已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．（1）请你写出两个正确结论：①__________；②__________；（2）当∠B=60°时，还可以得出哪些正确结论？（只需写出一个）（3）请在图中过点D作于DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求证：△DBM≌△DCN．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．（2014秋•亭湖区校级期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件_____________．2．（2014秋•莆田期中）如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=_____________度．3．（2014秋•平定县期中）如图所示，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，滑梯BC与地面夹角∠ABC=35°，则滑梯EF与地面夹角∠DFE的度数是_______________．4．（2014•呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF ⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．5．（2015秋•溧水县校级月考）如图，这是建筑物上的人字架，已知：AB=AC，AD⊥BC，则BD与CD相等吗？为什么？6．（2015•金溪县模拟）请从以下三个等式中，选出一个等式天在横线上，并加以证明．等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，已知：AB∥CD，BE=DF，_______求证：△ABE≌△CDF．证明：参考答案：当堂检测1．【解析】A 、两条直角边对应相等，可利用全等三角形的判定定理SAS 来判定两直角三角形全等，故本选项正确；B 、两个锐角对应相等，再由两个直角三角形的两个直角相等，AAA 没有边的参与，所以不能判定两个直角三角形全等；故本选项错误；C 、一条直角边和它所对的锐角对应相等，可利用全等三角形的判定定理ASA 来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；D 、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等，可以利用全等三角形的判定定理ASA 或AAS 来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；故选B ．2．【解析】∵OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF ，AO 为公共边，∴△AEO ≌△AFO ．故选A ．3．【解析】需要添加的条件为BC=BD 或AC=AD ，理由为：若添加的条件为BC=BD ，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∵BC BD AB AB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）；若添加的条件为AC=AD ，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∵AC AD AB AB=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）．故选B ．4．【解析】∵∠B=∠D=90°，在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，BC CD AC AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC （HL ），∴∠2=∠ACB=90°﹣∠1=50°．故选B ．5．【解析】根据全等三角形的判定定理（SAS ，ASA ，AAS ，SSS ）逐个判断即可．解：已知图1的△ABC 中，∠B=50°，BC=a ，AB=c ，AC=b ，∠C=58°，∠A=72°，图2中，甲：只有一个角和∠B 相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和△ABC 不全等；乙：符合SAS 定理，能推出两三角形全等；丙：符合AAS 定理，能推出两三角形全等；故选：C ．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．6．【解析】如图，运用等腰三角形的性质证明BD=CD ，DE=DF ；证明△ABD ≌△ACD ，△AED ≌△AFD ，即可解决问题．解：如图，∵AB=AC ，AE=AF ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，DE=DF ；在△ABD 与△ACD 中，AD AD ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SAS ），同理可证△AED ≌△AFD ；故选：B ．点评：该题主要考查了全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质及其应用问题；灵活运用全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质是解题的关键．7.【解析】（1）根据中点的性质及全等三角形的判定，写出两个结论即可；（2）根据等边三角形的判定定理可得△ABC 是等边三角形；（3）先证明△ABD ≌△ACD ，再证明△DBM ≌△DCN ．解：（1）①BD=CD ；②△ABD ≌△ACD ；（2）∵AB=AC ，∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形．（3）在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠ABD=∠ACD ，在Rt △DBM 和Rt △DCN 中，MBD NCD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△DBM ≌△DCN ．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．家庭作业1．【解析】还需添加条件AB=AC ，∵AD ⊥BC 于D ，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，AD AD AB AC=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ），故答案为：AB=AC ．2．【解析】在直角△ABC 与直角△ADC 中，BC=DC ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC ，∴∠2=∠ACB ，在△ABC 中，∠ACB=180°﹣∠B ﹣∠1=50°，∴∠2=50°．故填50°3．【解析】在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，BC EF AC DF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ），∴∠DEF=∠ABC=35°，∴∠DFE=90°﹣35°=55°．故答案为：55°．4．【解析】（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC ．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA ，在△DBC 和△ECA 中，∵90D AECDBC ECA BC AC∠=∠⎧⎪∠==⎨⎪=⎩,∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE=CD ．（2）解：由（1）得AE=CD ，AC=BC ，在Rt △CDB 和Rt △AEC 中，AE CDAC BC =⎧⎨=⎩，∴Rt △CDB ≌Rt △AEC （HL ），∴BD=CE ，∵AE 是BC 边上的中线，∴BD=EC=BC=AC ，且AC=12cm ．∴BD=6cm ．5．【解析】BD=CD ，理由：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直定义），在Rt △ABD 与Rt △ACD 中，AB AC AD AD=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ），∴BD=CD （全等三角形的对应边相等）．6．【解析】先加上条件，再证明，根据所加的条件，利用证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠D ，在△ABE 和△CDF 中，AB CDB D BE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△CDF ．点评：本题是一道开放性的题目，考查了全等三角形的判定，是基础知识比较简单．课程顾问签字： 教学主管签字：。
中考数学总复习 第七单元 图形与变换 课时30 全等变换 平移、对称、旋转课件
在△ABB'和△ACD 中, ∠' = ∠,
= ,
∴△ABB'≌△ACD(AAS),∴BB'=CD,∴CD=2BE.
第八页，共四十页。
课前考点过关
6. [2018·岳阳] 已知在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,CD 为∠ACB 的平分线,将∠ACB 沿 CD 所在的直线对折,
= .
∵AB=BC·cos∠ABC=BCcos2α,AC=BC·sin∠ABC=BCsin2α,
' cos 2
∴
=
sin 2
,∴CD=
2sin 2
cos 2
BE.
图 30-6
第九页，共四十页。
课前考点过关
6. [2018·岳阳] 已知在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,CD 为∠ACB 的平分线,将∠ACB 沿 CD 所在的直线对折,
(1)如图 30-6①,若 AB=AC,求证:CD=2BE.
(2)如图②,若 AB≠AC,试求 CD 与 BE 的数量关系(用含 α 的式子表示).
(3)如图③,将(2)中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转(α+45°),得到线段 FC,
连接 EF 交 BC 于点 O,设△COE 的面积为 S1,△COF 的面积为 S2,
(-1,2),点A关于y轴的对称点的坐标为(
A. (1,2)
B. (-1,-2)
C. (1,-2)
D. (2,-1)
)
【答案】A
【解析(jiě
xī)】点A的坐标为(-1,2),点A关于y轴的对称
点的坐标为(1,2).故选A.
图30-2
第三页，共四十页。
第30课时全等变换(二) 中考第一轮复习 课件
图形，这个点就是它的
．
2020/9/26
例3.如图，在直角坐标系xOy中， A(-1，5)， B(-3，0)，C (-4，3)． (1) 在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′
(2) 如果△ABC中任意一点M 的坐标为 ( x， y ) ，
那么它的对应点 N 的坐标是___________
2020/9/26
随堂练习
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的 是（ ）
A．等腰梯形B．平行四边形
C．正三角形D．矩形
2.如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案.其中， 是轴对称图形但不是中心对称的图形为（ ）
②
A.①③ B. ①④
2020/9/26
③
④
C.②③
D.②④
3.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点, C在x轴上,OA=6,OC=10.如下图，在OA上取一点E， 将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上的D点， 求E点的坐标。
2020/9/26
课前热身
1.下列几何图形中,一定是轴对称图形的有( ).
A. 2个
B. 3个
C. 4个 D. 5个
2.下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是图中的（ ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
.．
.．
.．.．Βιβλιοθήκη 考点梳理1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ______________，那么这个图形就是 ， _______________
2. 这条直线就是它的 _______________
2. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个
图形 ，那么这两个图形成
，这条直线
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y
AD
B
E
O
C
x
课堂小结
谈谈这节课你有哪些收获？ 还有哪些疑问？
随堂练习
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的 是（ ）
A．等腰梯形B．平行四边形
C．正三角形D．矩形
2.如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案.其中， 是轴对称图形但不是中心对称的图形为（ ）
②
A.①③ B. ①④
③
④
C.②③
D.②④
3.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点, C在x轴上,OA=6,OC=10.如下图，在OA上取一点E， 将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上的D点， 求E点的坐标。
即点 P(x, y)关于原点的对称点P1的坐标为
.
例精析
例1.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形 的是（ ） A．正三角形 B．菱形 C．直角梯形 D．正六边形
例2. 如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、 BC的中点，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与 N恰好重合，则AE∶BE等于( )．
A．2∶1； B．1 ∶2； C．3 ∶2 ； D．2∶3．
DC M FN
A
EB
例3.如图，在直角坐标系xOy中， A(-1，5)， B(-3，0)，C (-4，3)． (1) 在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′
(2) 如果△ABC 中任意一点M 的坐标为 (x，y) ，
那么它的对应点 N 的坐标是___________
初中数学中考第一轮复习
（苏科版）
第30课时 全等变换（二）
----轴对称与中心对称
课前热身
1.下列几何图形中,一定是轴对称图形的有( ).
A. 2个
B. 3个
C. 4个 D. 5个
2.下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是图中的（ ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
.．
.．
.．
.．
考点梳理
1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ______________，那么这个图形就是 ， _______________
图形，这个点就是它的
．
5. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与
另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，
这个点叫做
．这两个图形中的对应点叫做关于
中心的 ．
6. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过
，而且被对称中心所
．关于中心对称的
两个图形是
图形.
7. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，
这条直线就是它的 _______________
2. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个
图形 ，那么这两个图形成
，这条直线
就是
，折叠后重合的对应点就是
.
3. 如果两个图形关于某直线成 是任何一对对应点所连线段的
对称，那么对称轴 .
4. 把一个图形绕着某一个点旋转
°，如果旋转
后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做