八年级初二数学 数学二次根式的专项培优练习题(附解析
部编数学八年级下册二次根式专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优【人教版】含答案
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题16.1专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•南湖区校级期中）要使二次根式有意义，x的值可以是（ ）A．4B．2C．1D．0【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣3≥0，再解即可．【解答】解：要使二次根式有意义，则x﹣3≥0，解得：x≥3，故x的值可以是4．故选：A．2．（2022秋•北碚区校级期中）要使式子有意义，则a的取值范围是（ ）A．a≠0B．a≥﹣2C．a＞﹣2且a≠0D．a≥﹣2且a≠0【分析】根据分子的被开方数不能为负数，分母不能为零，可得答案．【解答】解：由题意得，a+2≥0且a≠0，即a≥﹣2且a≠0，故选：D．3．（2022秋•惠山区期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的定义进行判断．【解答】解：A．被开方数为负数，不是二次根式，故此选项不合题意；B．根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意；C．a﹣1的值不确定，被开方数的符号也不确定，不能确定是二次根式，故此选项不合题意；D．被开方数恒为正数，是二次根式，故此选项符合题意．4．（2022秋•奉贤区期中）使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：2x﹣1＞0，解得：x＞，故选：B．5．（2022秋•南湖区校级期中）已知y＝++4，y x的平方根是（ ）A．16B．8C．±4D．±2【分析】根据二次根式有意义的条件可得，据此可得x的值，进而得出y的值，再代入所求式子计算即可．【解答】解：∵y＝++4，∴，解得x＝2，∴y＝4，∴y x＝42＝16．∴y x的平方根是±4．故选：C．6．（2022秋•通州区期中）已知n是一个正整数，且是整数，那么n的最小值是（ ）A．6B．36C．3D．2【分析】先把＝2，从而判断出6n是完全平方数，所以得出答案正整数n的最小值是6．【解答】解：＝2，则6n是完全平方数，∴正整数n的最小值是6，故选：A．7．（2022秋•新蔡县校级月考）已知x、y为实数，且y＝+1，则x+y的值是（ ）A．2022B．2023C．2024D．2025【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求出x的值，代入求得y的值，代入代数式求【解答】解：∵x﹣2023≥0，2023﹣x≥0，∴x﹣2023＝0，∴x＝2023，∴y＝1，∴x+y＝2023+1＝2024，故选：C．8．（2022春•东平县期中）已知a满足|2018﹣a|+＝a，则a﹣20182＝（ ）A．0B．1C．2018D．2019【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出a的取值范围，化简绝对值即可得出答案．【解答】解：根据题意得：a﹣2019≥0，∴a≥2019，∴原式可变形为：a﹣2018+＝a，∴＝2018，∴a﹣2019＝20182，∴a﹣20182＝2019．故选：D．9．已知a为实数，若在实数范围内有意义，那么等于（ ）A．a B．﹣a C．﹣1D．0【分析】根据非负数的性质与被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据非负数的性质a2≥0，所以，﹣a2≤0，又∵﹣a2≥0，∴﹣a2＝0，∴＝0．故选：D．10．（2022春•荣昌区校级期末）若二次根式有意义，且关于分式方程﹣3＝有正整数解，则符合条件的整数m的和是（ ）A．5B．3C．﹣2D．0【分析】根据二次根式有意义，可得m≤4，解出关于x的分式方程﹣3＝的解为x＝，解为正整数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．【解答】解：去分母得，2﹣3（x﹣1）＝﹣m，解得x＝，∵关于x的分式方程﹣3＝有正整数解，∴＞0，∴m＞﹣5，又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣2∴m≠﹣2，∵有意义，∴4﹣m≥0，∴m≤4，因此﹣5＜m≤4且m≠﹣2，∵m为整数且关于x的分式方程﹣3＝有正整数解，∴m可以为1，4，其和为5．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•南安市期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤4 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：12﹣3x≥0，解得x≤4，故答案为：x≤4．12．（2022秋•罗湖区校级期中）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x＜4 ．【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为0，即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意得：4﹣x＞0，故答案为：x＜4．13．（2022秋•海曙区校级期中）若，则x y＝ ．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而代入得出答案．【解答】解：∵，∴2x﹣3≥0且3﹣2x≥0，解得：x＝，则y＝2，则x y＝（）2＝．故答案为：．14．（2022秋•卧龙区校级月考）若y＝+﹣3，则点P（x，y）在第 四 象限．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，求出x的值，进而得到y的值，再根据点的坐标特征解答即可．【解答】解：根据题意，得x﹣4≥0且4﹣x≥0，．所以x＝4．所以y＝﹣3．所以P（4，﹣3），位于第四象限．故答案为：四．15．（2022春•东莞市校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 6 ．【分析】24＝22×6，所以要想能开平方，必须再乘一个6．【解答】解：＝2，∵是整数，∴满足条件的最小正整数n＝6．故答案为：6．16．（2022春•东平县期中）已知y＝++2022，则x2+y﹣3的值为 2023 ．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x2＝4，进而求出y的值，代入代数式求值即可．【解答】解：根据题意得：x2﹣4≥0，4﹣x2≥0，∴y＝2022，∴原式＝4+2022﹣3＝2023．故答案为：2023．17．（2022•沙坪坝区校级开学）已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，则该三角形的周长为 10 ．【分析】根据题意求出a、b的值，根据等腰三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此三角形的周长．【解答】解：由题意得，a﹣2≥0，2﹣a≥0，解得a≥2，a≤2，∴a＝2，则b＝4，∵2+2＝4，∴2、2、4不能组成三角形，∴该三角形的三边分别为2、4、4，∴此三角形的周长为2+4+4＝10．18．（2021春•南通期中）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，，b为整数，则a+b＝ ﹣2 ．【分析】通过识图可得a＜b＜，从而利用二次根式的性质进行化简．【解答】解：∵a＜b＜，∵|b﹣2|＝b﹣2，∵a+4≥0，b﹣2≥0，∴b≥2，∵b＜，∴2≤b＜，b为整数，∴b＝2，将b＝2代入|b﹣2|＝b﹣2，∴a+b＝﹣4+2＝﹣2，故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021春•新泰市期中）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；（2）若x，y都是实数，且y＝+8，求x+3y的立方根．【分析】（1）根据平方根的定义求出a、b的值，然后代入a+2b即可求出答案．（2）根据二次根式有意义的条件可求出x与y的值，然后代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2，∴a+2b＝5+4＝9，∴9的平方根是±3，即a+2b的平方根为±3．（2）由题意可知：，∴x＝3，∴y＝8，∴x+3y＝3+24＝27，∴27的立方根是3，即x+3y的立方根是320．（2019秋•松北区期末）已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4++3，求此三角形的周长．【分析】根据题意求出a、b的值，根据三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此三角形的周长．【解答】解：由题意得，3a﹣6≥0，2﹣a≥0，解得，a≥2，a≤2，则a＝2，则b＝4，∵2+2＝4，∴2、2、4不能组成三角形，∴此三角形的周长为2+4+4＝10．21．（2022秋•济南期中）已知实数a，b，c满足：．（1）a＝ ﹣3 ；b＝ 5 ；c＝ 2 ；（2）求﹣b﹣3a+2c的平方根．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求得b＝5，再根据绝对值以及算术平方根的非负性求得a与c．（2）将（1）中a、b与c的值代入，再求得﹣b﹣3a+2c的平方根．【解答】解：（1）由题意得，b﹣5≥0，5﹣b≥0．∴b＝5．∴|a+3|+＝0．∵|a+3|≥0，，∴a+3＝0，c﹣2＝0．∴a＝﹣3，c＝2．故答案为：﹣3；5；2．（2）由（1）得，a＝﹣3，b＝5，c＝2．∴﹣b﹣3a+2c＝﹣5+9+4＝8．∴﹣b﹣3a+2c的平方根是±＝．22．（2022秋•锦江区校级月考）（1）若m﹣2＝+，求n m的值；（2）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示：①用“＜”或“＞”填空：a+c ＜ 0，b﹣c ＞ 0；②化简：|a+c|﹣+．【分析】（1）利用二次根式有意义的条件得到n﹣3≥0且3﹣n≥0，则n＝3，所以m﹣2＝0，则m＝2，然后利用乘方的意义计算n m；（2）①利用数轴表示数的方法进行判断；②根据二次根式的性质和立方根的定义得到原式|＝|a+c|﹣|b﹣c|+b+c，再利用①中的结论去绝对值，然后取括号合并即可．【解答】解：（1）根据题意得n﹣3≥0且3﹣n≥0，解得n＝3，∴m﹣2＝0，解得m＝2，∴n m＝32＝9；（2）①a+c＜0，b﹣c＞0；故答案为：＜，＞；②|a+c|﹣+＝|a+c|﹣|b﹣c|+b+c＝﹣（a+c）﹣（b﹣c）+b+c＝﹣a﹣c﹣b+c+b+c＝﹣a+c．23．（2022春•定远县期末）在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论：结论①：若实数a≥0时，＝a；结论②：对于任意实数a，＝|a|．请根据上面的结论，对下列问题进行探索：（1）若m＜2，化简：+|m﹣3|．（2）若＝4，|b|＝8，且ab＞0，求a+b的值．（3）若A＝+|1﹣m|有意义，化简A．【分析】（1）先根据二次根式的性质和绝对值进行计算，再算加减即可；（2）先根据二次根式的性质和绝对值求出a、b的值，再求出a+b的值即可；（3）根据二次根式的性质得出m﹣2≥0，求出m≥2，再进行化简即可．【解答】解：（1）分为两种情况：①当m≤﹣3时，+|m﹣3|．＝|m+3|+|m﹣3|＝﹣m﹣3﹣m+3＝﹣2m，②当﹣3＜m＜2时，+|m﹣3|＝|m+3|+|m﹣3|＝m+3+3﹣m＝6；（2）∵，∴|a|＝4，∴a＝±4，∵|b|＝8，∴b＝±8，∵ab＞0，∴a＝4，b＝8或a＝﹣4，b＝﹣8，当a＝4，b＝8时，则a+b＝4+8＝12，当a＝﹣4，b＝﹣8时，则a+b＝﹣4﹣8＝﹣12，∴a+b＝±12；（3）∵有意义，∴m﹣2≥0，∴m≥2，∴1﹣m＜0，∴A＝m﹣2+m﹣1＝2m﹣3．24．（2022春•天门校级月考）二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果≥0，利用的双重非负性解决以下问题：（1）已知＝0，则a+b的值为 ﹣2 ；（2）若x，y为实数，且x2＝+9，求x+y的值；（3）已知实数m，n（n≠0）满足|2m﹣4|+|n+2|++4＝2m，求m+n的值．【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得a+b的值为﹣2；（2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得x+y的值；（3）是上两个题目的综合运用，利用（1）（2）可出得m+n的值．【解答】解：（1）∵，且，∴a﹣1＝0，且3+b＝0，∴a＝1，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2．（2）∵，∴y﹣5≥0且5﹣y≥0，∴y≥5且y≤5，∴y＝5，∴x2＝9，∴x＝±3，当x＝3时，x+y＝3+5＝8；当x＝﹣3时，x+y＝﹣3+5＝2．（3）∵|2m﹣4|+|n+2|++4＝2m，∴（m﹣3）n2≥0，∴m≥3，∴2m﹣4＞0，∴|2m﹣4|+|n+2|++4＝2m2m﹣4+|n+2|++4＝2m∴|n+2|+＝0，∵|n+2|≥0，≥0，∴n+2＝0，（m﹣3）n2＝0，∴n＝﹣2，m＝3，∴m+n＝3﹣2＝1．。
八年级初二数学数学二次根式的专项培优易错试卷练习题含答案
一、选择题1．下列式子为最简二次根式的是（ ）A B C D 2．下列计算正确的是（ ）A 2=±B 3=-C ．(25= D ．(23=-3．下列计算正确的是（ ）A =B ．2=C ．1=D =4．下列计算正确的是（ ）A =B 3=C =D ．21=5．已知：x ，y 1，求x 2﹣y 2的值（ ）A ．1B ．2C D ．6．=a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y+--+的值是( ) A ．3 B ．13C ．2D ．537．设1199++S 的最大整数[S]等于( ) A ．98B ．99C ．100D ．1018．2= ） A ．3B ．4C ．5D ．69．下列各式中，不正确的是（ ）A ><C > D 5=10．A ．﹣3B ．3C ．﹣9D ．9二、填空题11．设4 a,小数部分为 b.则1a b- = __________________________.12．使函数212y x x=+有意义的自变量x 的取值范围为_____________13．将2(3)(0)3a a a a-<-化简的结果是___________________.14．已知112a b +=，求535a ab b a ab b++=-+_____． 15．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=2[2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 16．设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，设12...n S S S S =+++，则S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为正整数)．17．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.18．若2x ﹣3x 2﹣x=_____． 19．化简二次根式2a 1a +-_____. 20．28n n 为________．三、解答题21．（1111242-=112393-=113416-=；……写出④ ；⑤ ；（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想． 【答案】（11142=52555-=115636-=；（22111n n n --=3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】解：（1）由例子可得，④5=25，6，（2）如果n 为正整数，用含n （3）证明：∵n 是正整数，n ．n．故答案为5=25n；(3)证明见解析. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.22．已知m ，n 满足m 4n=3+.【答案】12015【解析】 【分析】由43m n +=2﹣2）﹣3＝0，将，代入计算即可．【详解】解：∵4m n +＝3，)22﹣2）﹣3＝0，）2﹣23＝0，+13）＝0，＝﹣13，∴原式＝3-23+2012＝12015．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．23．先将2x -x 的值，代入后，求式子的值. 【答案】答案见解析. 【解析】 试题分析：先把除式化为最简二次根式，再用二次根式的乘法法则化简，选取的x 的值需要使原式有意义. 试题解析：原式==== 要使原式有意义,则x ＞2.所以本题答案不唯一,如取x ＝4.则原式＝224．阅读下面的解答过程，然后作答：m 和n ，使m 2+n 2=a 且，则a 可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）2例如：∵=）2+）2=）2∴请你仿照上例将下列各式化简（12【答案】（1）2-【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解：（1）∵22241(1+=+=，1=（2）∵2227-=-=，∴==25．）÷）（a ≠b ）．【答案】【解析】试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．试题解析：解：原式＝()()a b a b --+-222226．（1）计算：（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中14a =． 【答案】（1）2）82-a，【分析】（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）==；（2）(()8a a a a +--2228a a a =--+82a =-,当14a =时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭．【点睛】本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．27．(1)已知a 2+b 2=6，ab =1，求a ﹣b 的值； (2)已知b =，求a 2+b 2的值． 【答案】（1）±2；（2）2． 【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解． 【详解】（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4， （a-b ）2=4， a-b=±2．（2）a ===b ===22221111()223122222a b a b ab ⎛⎫+=+-=+-⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．28．2020(1)- 【答案】1 【分析】先计算乘方，再化简二次根式求解即可． 【详解】2020(1)-=1 =1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【详解】AB|a|，可以化简，故不是最简二次根式；C==，可以化简，故不是最简二次根式；D2故选：A．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质分别求解，即可得出答案．【详解】解：A，故A选项错误；B，故B选项错误；C选项：2=5，故C选项正确；D选项：2=3，故D选项错误，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确求解二次根式是解题的关键．3．D解析：D 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：AB 、无法计算，故此选项错误；C 、D ，正确． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．A解析：A 【分析】分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案． 【详解】解：======，原式计算错误；D. 2220=-=，原式计算错误； 故应选：A 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．5．D解析：D 【分析】先根据x 、y 的值计算x y +、x y -的值，再将所求式子利用平方差公式进行化简，然后代入求值即可． 【详解】∵1,1x y ==，∴11112x y x y +==-=-=，则22()()2x y x y y x -=+-== 故选：D ． 【点睛】本题考查了代数式的化简求值、二次根式的加减法与乘法，利用平方差公式对代数式进行化简是解题关键．6．B解析：B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x ，把y=-x 代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数，∴a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0， a （x-a ）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a （y-a ）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a 只能等于0，代入等式得，所以有x=-y ， 即：y=-x ，由于x ，y ，a 是两两不同的实数， ∴x ＞0，y ＜0． 将x=-y 代入原式得： 原式=()()()()2222313x x x x x x x x +---=--+-． 故选B ． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a 、x 、y 的值和代入求分式的值是解此题的关键．7．B解析：B 【分析】1111n n =+-+，代入数值，求出=99+1-1100，由此能求出不大于S 的最大整数为99． 【详解】∵==()211n n n n ++=+ =111+1n n-+， ∴=1111111+11122399100-++-+++- =199+1100-=100-1100，∴不大于S 的最大整数为99． 故选B. 【点睛】1111n n =+-+是解答本题的基础．8．C解析：C 【解析】2=，2222251510x x=-=--+=，5=.故选C.9．B解析：B 【解析】=-3，故A 正确；=4，故B 不正确；根据被开方数越大，结果越大，可知C 正确；5=，可知D 正确.故选B.10．B解析：B【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.【详解】﹣3|=3.故选B.二、填空题11．【分析】根据实数的估算求出a,b ，再代入即可求解.【详解】∵1＜＜2，∴-2＜-＜-1，∴2＜＜3∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-，∴==故填：.【点睛】此题主要考查无理解析：12- 【分析】根据实数的估算求出a,b ，再代入1a b -即可求解. 【详解】∵1＜2，∴-2＜＜-1，∴2＜43∴整数部分a=2,小数部分为4，∴1ab -=22==1故填：12-. 【点睛】 此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质.12．【分析】利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.【详解】根据题意，解得：①当时，解得：即：①当时，解得：即：故自变量x 的取值范围为【点睛】 解析：11,022x x -≤≤≠ 【分析】利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.【详解】根据题意，220x x +≠解得：0,2x x ≠≠-12||0x -≥①当0x >时，120x -≥ 解得：12x ≤ 即：102x <≤ ①当0x <时，120x +≥ 解得：21x ≥-即：102x -≤< 故自变量x 的取值范围为11,022x x -≤≤≠【点睛】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键. 13．．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴==．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．解析：【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴(a-=-=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．14．13【解析】【分析】由得a+b=2ab，然后再变形，最后代入求解即可.【详解】解：∵∴a+b=2ab∴故答案为13.【点睛】本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找解析：13【解析】【分析】由112a b+=得a+b=2ab，然后再变形535a ab ba ab b++-+，最后代入求解即可.【详解】a b ∴a+b=2ab∴()5353510ab3===132aba b aba ab b aba ab b a b ab ab+++++-++--故答案为13.【点睛】本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系. 15．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．16．【分析】先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n的式子表示其规律，再计算S的值即可．【详解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴；……∵，∴；∴．故答案为：【点睛】本题1n +【分析】n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．【详解】 解：∵1221191=124S =++311122===+-； ∵222114912336S =++=7111116623===+=+-； ∵32211169134144S =++=1311111121234===+=+-； …… ∵()()()222222111111n n n S n n n n ++=++=++，()()2111111111n n n n n n n n ++===+=+-+++；∴...S =1111111112231n n =+-++-++-+…+ 111n n =+-+． 221n n n +=+ 故答案为：221n n n ++ 【点睛】本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子()11111n n n n =-++的理解． 17．a+3【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2∵a＞0+3.a=a+3.【点睛】本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键.18．【解析】【分析】根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案．【详解】解：∵2x﹣1= ，∴（2x﹣1）2=3∴4x2﹣4x+1=3∴4（x2﹣x）=2∴x2﹣x=故答案为【点解析：1 2【解析】【分析】根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案．【详解】解：∵2x﹣，∴（2x﹣1）2=3∴4x2﹣4x+1=3∴4（x2﹣x）=2∴x2﹣x=12故答案为1 2【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．19．【解析】根据二次根式的性质，可知a≠0，-（a+1）≥0，因此可知a≤-1，因此可知a==.故答案为.解析：【解析】根据二次根式的性质，可知a≠0，-（a+1）≥0，因此可知a≤-1，因此可知=故答案为20．7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，∴若是整数，则n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式解析：7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
2023年八年级数学期末专题培优训练(二次根式)【含答案】
2023年八年级数学期末专题培优训练(二次根式)一、选择题(每题2分，共16分)1可化简成 ( )A ．一2B ．4C ．2D 2．下列计算中正确的是()A ．B +=3=C ．D =3=-3．下列式子一定是二次根式的是 ()A B C D ．4．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是 ()A B C D ．5．下列根式中，是最简二次根式的是 ()A B c D6有意义，那么的取值范围是 ( )x A ．≥0 B ．≠1C ．>0D ．≥0且≠1x x x x x7．已知1≤的结果是 ( )a 2- A ．B ．C ．3D ． 123a -23a +8．如图所示，将一张边长为8的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 的中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段MN 的长为 ( )A ．10B ．C ．D ．二、填空题(每题2分，共22分)9．函数中，的取值范围是 ．y =x10是同类二次根式的是 ．11．若=．y =12．已知：△ABC 中，，，则△ABC 的面积等于 ．13 ．+=14．如果，那么的取值范围是 ．1a +=a15．若最简二次根式．x -x =16．若整数满足条件，则的值是 ．m 1m =+m 17．实数=a 2-．18，则．0==19．已知为有理数分别表示，a b 、m 、n 7-24amn bn +=则= ．2a b +三、解答题(共54分)20．计算：(每题4分，共8分)(1) 293(3)π-⨯+-(2) 2-+÷+21．化简：(每题4分，共12分)(1) ≥3((b 0)＞x +0)(3)化简．40,0)a b 〉〉22．(本题6分)已知是正整数，且满足，求的平方根．x 41y x =+-x y +23．(本题6分)先化简，再求值，其中22()a b ab b a a a--÷-1a =+24．(本题6分)若实数在数轴上的位置如图所示，且，a b c 、、a b =化简．a a ++25．(本题8分)已知是△ABC 的三边，化简：a b c 、、．3a b c -+++26．(本题8分)阅读下列材料，然后回答问题：这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．1=-1(1)(2)+⋅⋅⋅+27．(本题8分)现有一组有规律排列的数：1、－11、－1、……其中，1、－ 1这六个数按此规律重复出现.问：（1）第50个数是什么数？（2）把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少？（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个数的平方相加？参考答案一、1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 7．A 8．B二、9．>3 10 11．12．13．一14．≤1 15．2 x 72a16．0 17．1 18． 19．4三、20．(1)4(2)521．(1) (2) （3)-- 22．∵Y 要有意义，∴2一≥0且一1≠0，∴≤2且≠l ，又∵是正整数，x x x x x∴=2，∴．当=2时，，，∴的平方根为．x 4y =6x y +=x y +23·原式，当，时，原式1a b=-1a =1b =24．由图得：，又，∴；原式0,0a b <>a b =0,0,0a b c a c +=-><=2a o c a c -+---2a c a c c =--++=2fff ：一口一c+口+2c—f ．25．∵a 、b 、C 是△ABC 的三边，∴，，．0a b c --<0a b c -+>0a b c +->∴原式=23a b c a b c a b c----+++-22233364a b c a b c a b c b c=-++-+-++-=-26．（1）方法一：原式=方法二：原式=（2）1-27．（1）∵50682÷= ∴第50个数是－1（2）∵2015÷6=335……5，(1(1)+-++=∴从第1个数开始的前2015（3）∵((2222221(1)12+-++++=，52012434÷= 且()222114+-+=∴ 43×6+3=261，即共有261个数的平方相加。
八年级初二数学 数学二次根式的专项培优练习题(附解析
八年级初二数学 数学二次根式的专项培优练习题(附解析一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．=1212⨯B ．4-3=1C ．63=2÷D ．8=2±2．若2a <，化简()223a --=（ ）A ．5a -B ．5a -C ．1a -D ．1a --3．下列计算结果正确的是（ ）A ．2+5=7B ．3223-=C ．2510⨯=D ．25105= 4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ． 1.5B ．13C ．10D ．275．下列各式中，运算正确的是（ ）A ．32222-=B ．8383-=-C ．2323+=D ．()222-=-6．下列式子中，是二次根式的是( ) A ．2B ．32C ．xD ．x 7．估计()123323+⨯的值应在 （ ） A ．4和5之间 B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间8．在函数y=2x +中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥－2且x≠3 B ．x≤2且x≠3 C ．x≠3 D ．x≤－29．下列运算正确的是（ ） A ．32-=﹣6 B ．31182-=-C ．4=±2D ．25×32=510 10．式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．0x <B ．0xC ．2xD ．2x11．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b 的结果是（ ）A ．1B ．b+1C ．2aD ．1﹣2a12．如果实数x ，y 满足23x y xyy =-，那么点(),x y 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第一象限或坐标轴上D ．第二象限或坐标轴上二、填空题13．已知a ，b 是正整数，且满足15152()a b+是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对． 14．已知a ＝﹣73+，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 15．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．16222a a ++的最小值是______．17．已知1＜x ＜2，171x x +=-11x x --_____．18．已知x ，y 为实数，y 22991x x -+-+求5x +6y 的值________.19．2m 1-1343m --mn ＝________． 20．2a ·8a (a ≥0)的结果是_________.三、解答题21．阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式a a a =，)21211=a a 2121互为有理化因式．（1）231的有理化因式是 ；（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：3233333==⨯， ()()25353521538215415535353++++====--+2323-+进行分母有理化．（3）利用所需知识判断：若a =，2b =a b ，的关系是 ． （4）直接写结果：)1= ．【答案】（1）1；（2）7-；（3）互为相反数；（4）2019 【分析】（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出； （2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式(2，化简即可； （3）将a =（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）∵()()1111=，∴1的有理化因式是1；（22243743--==--（3）∵2a ===，2b =-， ∴a 和b 互为相反数；（4）)1++⨯=)11⨯=)11=20201- =2019， 故原式的值为2019. 【点睛】本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．22．计算：10099+【答案】910【解析】 【分析】先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算 【详解】10099++=2100992-++++=991224-+-++-=1- =1110- =910【点睛】本题看似计算繁杂，但只要找到分母有理化这个突破口，就会化难为易。
八年级初二数学 数学二次根式的专项培优易错试卷练习题附解析
八年级初二数学数学二次根式的专项培优易错试卷练习题附解析一、选择题1．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简2 ||(-1)a a+的结果为（）A．1 B ．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣12．下列各式计算正确的是（）A．6232126()ba b a ba---⋅=B．（3xy）2÷（xy）=3xyC．23a a a+=D．2x•3x5=6x63．如图直线a，b都与直线m垂直，垂足分别为M、N，MN＝1，等腰直角△ABC的斜边，AB在直线m上，AB＝2，且点B位于点M处，将等腰直角△ABC沿直线m向右平移，直到点A与点N重合为止，记点B平移平移的距离为x，等腰直角△ABC的边位于直线a，b之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．4．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）12325672310A ．210B ．41C ．52D ．51 5．若a ab +有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．若a 、b 、c 为有理数，且等式成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是（ ） A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．不能确定 7．下列运算中错误的是（ ）A 235=B 236=C 822÷=D ．2 (3)3-=8．下列运算正确的是（ ）A 235=B ．(228-=C 112222=D ()21313-=9．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）A 1a +1a -B 3和13C 2a b 2abD 31810．下列各式计算正确的是（ ） A ．233= B ()255-=± C 523=D ．3223=11．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A 1-B 4xC 24a -D 2a 12．12+63的值应在（ ）A ．1和2之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间二、填空题13．2215x 19x 2+-=2219x 215x -+=________．14．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；⑵根据以上规律写出n a 的表达式．15．甲容器中装有浓度为a 的果汁40kg ，乙容器中装有浓度为b 的果汁90kg ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________．16．化简二次根式2a 1a a+-的结果是_____. 17．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.18．化简：3222＝_____．19．观察分析下列数据：0，36，-3，231532的规律得到第10个数据应是__________．20．4x -x 的取值范围是_____三、解答题 21．阅读下面问题：阅读理解：2221(21)(21)==++-1； 323232(32)(32)-==++-2==-．应用计算：（1（21（n 为正整数）的值．归纳拓展：（398++【答案】应用计算：（12 归纳拓展：（3）9．【分析】由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（1分母利用平方差公式计算即可，（2（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可．【详解】（1（2（3+98+，(+98+，++99-，=10-1，=9．【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．22．计算(1)2213113a a a a a a +--+-+-;(2)已知a 、b +b ＝0.求a 、b 的值(3)已知abc ＝1，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值【答案】（1）22223a a a ----；（2）a =－3，b ；（3）1. 【分析】（1）先将式子进行变形得到()()113113a a a a a a +--+-+-，此时可以将其化简为1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b =0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可. 【详解】解：（1）原式=()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ =1113a a --+- =()()()()3113a a a a -++-+- =22223a a a ----；（20b =，∴2a +6=0，b =0，∴a =－3，b ；（3）∵abc ＝1， ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++， ∴原式=1111a ab ab a ab a ab a ++++++++=11 a ab ab a++++=1.【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.23．像2)＝1＝a(a≥0)、﹣1)＝b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因+1﹣1，﹣因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：(1)；(2)+；(3)的大小，并说明理由．【答案】（1（2）（3）＜【解析】分析：（1=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；（2）确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理化后计算即可；（3与，，然后比较即可.详解：(1) 原式；（2）原式=2+=2+（3）根据题意，-==，><，>点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.24．）÷）（a ≠b ）． 【答案】【解析】试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．试题解析：解：原式＝()()a b a b --+-25．计算（1+（2+- （3÷（4）( 【答案】（1）234）7． 【分析】 （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘除法则运算；（4）利用平方差公式计算；【详解】（1+22=+=；（2==；（3÷=2b=；（4）((22=-=7【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了平方差公式．26．计算下列各式：（1；（2【答案】（12；（2）【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可.【详解】=-（1）原式22=；（2）原式==.【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，)0,0a b =≥≥=（a ≥0，b >0）.27．（1）计算：21)-（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =【答案】（1）5-2【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数，∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．28．计算：（1）13⎛+-⨯ ⎝⎭（2）)()2221+．【答案】（1）6-；（2）12-【分析】（1）原式化简后，利用二次根式乘法法则计算即可求出值；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值．【详解】解：（1）原式＝1(233⨯⨯-⨯＝-⨯＝3⎫⨯⎪⎪⎭＝6-；（2）原式＝3﹣4+12﹣＝12﹣．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．29．化简求值：212(1)211x x x x -÷-+++，其中1x =．【解析】分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 详解：原式2112,2111x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪++++⎝⎭2112,211x x x x x -+-=÷+++ ()211,11x x x x -+=⋅-+ 1.1x =+当1x =时，113x ==+点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.30．先阅读下面的解题过程，然后再解答.a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==±>.这里7m =，12n =，由于437+=，4312⨯=，所以22+==，2===..【答案】见解析【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【详解】根据题意，可知13m =，42n =，由于7613+=，7642⨯=，所以2213+=，====【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先由点a 在数轴上的位置确定a 的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可【详解】由数轴可知0＜a ＜1，所以，||1a a a =+-＝1，选A ．【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a 的大小2．D解析：D【分析】依据单项式乘以单项式、单项式除以单项式以及二次根式的加法法则对各项分别计算出结果，再进行判断即可得到结果．【详解】 A. 2321526()b a b a b a ---⋅=，故选项A 错误； B. （3xy ）2÷（xy ）=9xy ，故选项B 错误；C 错误；D. 2x •3x 5=6x 6，正确．故选：D ．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．D解析：D【解析】【分析】根据等腰直角△ABC 被直线a 和b 所截的图形分为三种情况讨论：①当0≤x ≤1时，y 是BM +BD ；②当1＜x ≤2时，y 是CP +CQ +MN ；当2＜x ≤3时，y ＝AN +AF ，分别用x 表示出这三种情况下y 的函数式，然后对照选项进行选择．【详解】①当0≤x ≤1时，如图1所示．此时BM ＝x ，则DM ＝x ，在Rt △BMD 中，利用勾股定理得BD x ，所以等腰直角△ABC 的边位于直线a ，b 之间部分的长度和为y ＝BM +BD ）x ，是一次函数，当x ＝1时，B 点到达N 点，y +1；②当1＜x≤2时，如图2所示，△CPQ是直角三角形，此时y＝CP+CQ+MN＝2+1．即当1＜x≤2时，y的值不变是2+1．③当2＜x≤3时，如图3所示，此时△AFN是等腰直角三角形，AN＝3﹣x，则AF＝2（3﹣x），y＝AN+AF＝（﹣1﹣2）x+3+32，是一次函数，当x＝3时，y＝0．综上所述只有D答案符合要求．故选：D．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的方法是动中找静，在不同的情况下找到y与x 的函数式．4．B解析：B【解析】【分析】由图形可知，第n()1 1232n nn+ +++=【详解】由图形可知，第n 行最后一个数为()11232n n n ++++=， ∴第8行最后一个数为89362⨯==6， 则第9行从左至右第5个数是36541+=， 故选B ．【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n 行最后一个数为()12n n +．5．A解析：A【解析】试题分析：根据二次根式的概念，可知a≥0，ab ＞0，解得a ＞0，b ＞0，因此可知A （a ，b ）在第一象限.故选A6．B解析：B【解析】因=，所以a =0，b =1，c =1，即可得2a ＋999b ＋1001c =999+1001=2000，故选B. 点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．7．A解析：A【分析】根据合并同类二次根式的法则对A 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断；根据二次根式的除法法则对C 进行判断；根据二次根式的性质对D 进行判断．【详解】2323236=⨯= 828242÷÷===，故此项正确，不符合要求；D. 2 (3)3-=，故此项正确，不符合要求；故选A ．【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．解析：B【分析】根据二次根式的性质及运算法则依次计算各项后即可解答．【详解】选项A A错误；选项B，(2428-=⨯=，选项B正确；选项C124==，选项C错误；选项D1，选项D错误．综上，符合题意的只有选项B．故选B．【点睛】本题考查了二次根式的性质及运算法则，熟练运用二次根式的性质及运算法则是解决问题的关键．9．B解析：B【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．【详解】解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;B3是同类二次根式；CD故选B．【点睛】本题考查的知识点是同类二次根式的定义，解题关键是熟记同类二次根式的定义．10．A解析：A【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得．【详解】A、23=此选项计算正确，符合题意；B、5=此选项计算错误，不符合题意；C-不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误，不符合题意；D、-=故选：A．【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算，准确利用二次根式的性质计算是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据二次根式的意义,如果一定是二次根式,则不论字母取何值,被开方数一定是非负数,逐一判断即可得．【详解】解:A,不是二次根式；B x＜0时无意义,不一定是二次根式；C在-2＜a＜2时,无意义,不一定是二次根式；D a2≥0,一定是二次根式；故选：D．【点睛】本题主要考查二次根式的定义,一般地,a≥0）的式子叫做二次根式．12．B解析：B【分析】原式利用多项式除以单项式法则计算，估算确定出范围即可．【详解】＝∵1＜2＜4，∴1＜2，即3＜＜4，则原式的值应在3和4之间．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．二、填空题13．【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m＝，n＝，那么m−n＝2①，m2＋n2＝()2＋()2＝34②．由①得，m＝2解析：13【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m n那么m−n＝2①，m2＋n2＝2＋2＝34②．由①得，m＝2＋n③，将③代入②得：n2＋2n−15＝0，解得：n＝−5（舍去）或n＝3，因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．n＋2m＝13．【点睛】此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．14．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an＝（n为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝．同理：AE＝2，EH＝2，解析：（1）a2，a3＝2，a4＝；（2）a n n为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．∴在Rt△ABC中，ACAE＝2，EH＝，…，即a2a3＝2，a4＝（2）an n为正整数）．15．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg，乙容器解析：5【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利=，求出m即可．【详解】，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，，=，整理得，-6b=5ma-5mb，∴（a-b）=5m（a-b），．∴m=5故答案为：5【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．16．【解析】根据二次根式的性质，可知a≠0，-（a+1）≥0，因此可知a≤-1，因此可知a==.故答案为.解析：【解析】根据二次根式的性质，可知a≠0，-（a+1）≥0，因此可知a≤-1，因此可知=故答案为17．【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第解析：【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，∴(5，4)与(9，4)故答案为18．【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．解析：【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：=．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．19．6【分析】通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．【详解】解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，∴第13个答案为：．故答案为6．解析：6【分析】 通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，可以得到第13个的答案．【详解】 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，∴第13个答案为：131(1)3(131)6．故答案为6．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． 20．x≥4【解析】试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.故答案为x≥4.点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然解析：x≥4【解析】试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4. 故答案为x≥4.点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然后列不等式求解即可，是一个中考常考的简单题.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。
初二数学《二次根式》竞赛培优精选题(含解析)
二次根式竞赛培优题（含解析）一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．39940002．计算：=（）A．B．C．D．3．的结果是（）A．B．C．D．4．的值是（）A．B．C．1D．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共24小题）6.已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为．7．化简=．8．化简．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为．10．方程的解是x=11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=．12．计算：=（其中a＞0）13．的值为．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=．15．若n为整数，且是自然数，则n=．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：．20．计算﹣20062的结果是．21．设=．22．若，，则x6+y6的值是．23．当时，的值为．24．已知，，则k=．25．当1≤x≤2时，经化简等于．26．计算=．27．已知x=，那么+1的值是．28．化简：，得到．29．=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．二次根式竞赛培优题（含解析）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．3994000【分析】设1998=a，把被开方数变形后，利用多项式的乘法法则计算后，加上a2再减去a2，前三项结合提取a2，剩下的三项利用完全平方公式化简，接着三项合并后提取2a，整体再利用完全平方公式化简，从而得到被开方数为一个数的完全平方，利用化简公式=|a|及a大于0即可得到最后结果．【解答】解：设1998=a，则1997×1998×1999×2000+1=（a﹣1）a（a+1）（a+2）+1=a4+2a3+a2﹣a2﹣a2﹣2a+1=a2（a+1）2﹣2a（a+1）+1=[a（a+1）﹣1]2，所以==1998×1999﹣1=3994001．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，考查了换元的思想，本题的技巧性比较强，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点，同时注意利用凑项的方法构造满足公式的特征，以及注意二次根式的化简公式=|a|的运用．2．计算：=（）A．B．C．D．【分析】根据每个加数的特点，推出一般规律为，将所得式子化简，分别取n=1，2，3，…，40，寻找抵消规律，得出结论．【解答】解：∵=（）=（）=（）=（﹣）∴分别取n=1，2，3， (40)原式=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，观察式子的特点，得出一般规律，将一般规律化简代值，再观察抵消规律是解题的关键．3．的结果是（）A．B．C．D．【分析】把每个加数分母有理化，然后通分计算即可．【解答】解：=（）=．故选：D．【点评】主要考查二次根式的分母有理化．主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．4．的值是（）A．B．C．1D．【分析】认真观察式子的特点，总结规律，可发现，，，据此作答．【解答】解：由题意可知第k项是∴原式=（++=1﹣=1﹣=．故选：B．【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律答题．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6【分析】找到1000＜5×x2＜2000中符合x的整数值即可得出答案．【解答】解：由题意得：与=20，是同类二次根的被开方数一定为5，由此及题意可：1000＜5×x2＜2000，x可取15、16、17、18、19，共5个．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的知识，有一定难度，关键是根据同类二次根式的形式得出的同类二次根式应该满足．二．填空题（共24小题）6．已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为3998000．【分析】由等式可知=x1，=x2，…解得x1=x2=x3=…=x1999=2，由此代入求得数值即可．【解答】解：∵，∴=x1，=x2，…∴x1=x2=x3=…=x1999=2，∴x1+2x2+3x3+…+1999x1999=2×（1+2+3+ (1999)=2×（1999+1）×1999÷2=3998000．故答案为：3998000．【点评】此题考查二次根式的化简求值，解答此题的关键是找出对应关系，求出x1、x2、x3、…、x1999的值．7．化简=2011．【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质得到=，然后根据同样的方法由内到外依次化简即可得到答案．【解答】解：∵=，∴原式=======2011．故答案为2011．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了平方差公式．8．化简后2．【分析】由于===﹣1，其他根式也可以进行同样的化简，然后合并同类二次根式即可求解．【解答】解：=﹣1+﹣++++++=3﹣1=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式化简二次根式从而达到化简题目的目的．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为10．【分析】利用不等式≤，结合S1+S2+S3+…+S n ＞10，解不等式即可．【解答】解：∵S i表示第i个三角形的面积，由不等式≤n，得≤n=n，而S1+S2+S3+…+S n=，S1+S2+S3+…+S n＞10，∴n＞10，即n2（n+1）＞800，n为正整数，n的最小值为9．但n=9时，代入S1+S2+S3+…+S n＜10，不符合题意，故n=10．【点评】本题考查了二次根式的运用．利用均值不等式和不等式的传递性解题．10．方程的解是x=2011【分析】将各分式中的分母有理化，再通分，注意观察抵消规律．【解答】解：原方程化为：+++…+=，通分得=，解得x=2011．故答案为：2011．【点评】本题考查了二次根式的化简在解方程中的运用．关键是将各分式的分母有理化，寻找抵消规律．11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=﹣．【分析】首先将M式中各个分式进行分母有理化，再求出N式的值，代入代数式求值即可解答．【解答】解：将M分母有理化可得M=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣1．N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994=（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+┉+（1993﹣1994）=﹣1×997=﹣997，∴==﹣．故答案为﹣．【点评】本题主要考查分母有理化的方法，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．12．计算：=4（其中a＞0）【分析】仔细观察会发现有以下规律：第1项加上第8项等于1，第2项加上第7项等于1，依此类推最后求得的结果4．【解答】解：第一项与最后一项相加得：+，=+，=，=1，同理可得：第二项与倒数第二项的和也是1；第三项与倒数第三项的和也是1；所以原式=1+1+1+1=4．故应填：4．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，同时也考查了学生的逻辑思维能力，是一道不错的规律型问题．13．的值为1998999.5．【分析】本题涉及数字大且数字之间有联系，可用换元法解题，设k=2000，将所求算式转化为关于k的算式，将被开方数配成完全平方式，开平方，再将k的值代入即可．【解答】解：设k=2000，原式=====，当k=2000时，原式=1998999.5．故本题答案为：1998999.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，当算式数字较大，并且数字之间有联系时，用换元法解题，可使运算简便．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=8．【分析】读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．【解答】解：∵，∴+，即1﹣，∴，解得k=8．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．15．若n为整数，且是自然数，则n=﹣14或﹣7或﹣2或5．【分析】设=p，再把等式两边同时乘以4，利用平方差公式把等式左边化为两个因式积的形式，列出关于p、n的方程组，求出n 的值即可．【解答】解：∵设=p（P为非负整数），则n2+9n+30=p2，∴4n2+36n+120=4p2，∴（2n+9）2+39=4p2，∴（2p+2n+9）（2p﹣2n﹣9）=39，∴或或或，解得或或或，∴n=﹣14或﹣7或﹣2或5．故答案为：﹣14或﹣7或﹣2或5．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意把原式化为两个因式积的形式是解答此题的关键．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为2012.5．【分析】根据新定理得f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1；f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1，由此得到f（）+f（）=1（n≥2的整数），所以原式=+．【解答】解：f（）=，∵f（）==，f（）=，则f（）+f（）=1，f（）==，f（）==，则f（）+f（）=1，∴f（）+f（）=1，∴=+=2012.5．故答案为2012.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了阅读理解能力．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．【分析】根号里面的式子大于等于0，从而可得≥0，﹣≥0，从而能得出u和v的值，继而可得出答案．【解答】解：由题意得：≥0，﹣≥0，从而=0，2u﹣v=0，u=v，又v=，∴u=，∴u2﹣uv+v2=．故答案为．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，注意掌握根号里面的式子大于等于0这个知识点比较关键．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是或．【分析】由是正整数可得，a是含﹣2的代数式；再由是整数，可得化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，据此确定a的值．【解答】解：∵是正整数，∴a是含﹣2的代数式；∵是整数，∴化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，∴a=或．故答案为：或．【点评】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：答案不唯一；如（288，8，8），（48，24，8）．【分析】由于三个复合二次根式的和为1，则它们的被开方数为完全平方数，设任意一个复合二次根式的被开方数为（）2（x，y为正整数，x＞y），然后通过正整数的含义，得到x，y为两个相邻正整数，即每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后是﹣1，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，第三个复合二次根式化简后必为，最后求的a，b，c的值．【解答】解：因为几个复合二次根式的和为1，则每个复合二次根式的被开方数一定为完全平方数．设==x+y﹣2，（x，y为正整数，x＞y），所以有=x+y，﹣=﹣2．∴a+1=（x+y）2，a=4xy，∴（x﹣y）2=1，即x﹣y=1．则每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后为﹣1，而要消掉，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，要消掉，则第三个复合二次根式化简后必为．最后正好为﹣=1．所以=（﹣1）2=3﹣=3﹣，则a=8，同理得b=24，c=48．故得到一组正整数（a，b，c）为：8，24，48．故答案为8，24，48．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：．20．计算﹣20062的结果是2005．【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=（20052+3×2005+1）2”化为完全平方的形式，再开平方，然后再来求值．【解答】解：∵2005×2006×2007×2008+1=2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1=（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1=（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1=（20052+3×2005+1）2∴=20052+3×2005+1；∴﹣20062=20052+3×2005+1﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）+3×2005+1=2005；故答案为：2005．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值．解答此题的难点是化“2005×2006×2007×2008+1”为完全平方的形式，并开平方，然后再利用平方差公式求出20052﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）的值．21．设=．【分析】把已知条件的左边相乘得，这样出现了所求代数式，设=z，代入变形所得的等式，逐步变形，消去x、y，即可求得z．【解答】解：据条件式令=z，则（1）式化为：z+xy+=9，即有9﹣z=xy+，平方得，81﹣18z+z2=x2y2+（x2+1）（y2+4）+2xy（2），又由z2==x2（y2+4）+y2（x2+1）+2xy，代入（2）得，81﹣18z=4，所以．即=，故答案为：．【点评】此题考查二次根式的化简求值，难度较大，多次利用已知条件求解．22．若，，则x6+y6的值是40．【分析】根据题意可求出x2+y2，x2﹣y2，利用平方差公式可求得x4﹣y4，（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，由此可得答案．【解答】解：由题意得：x2+y2=2++2﹣=4，x2﹣y2=2+﹣（2﹣）=2，x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）=8，又（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6+x2y4+y2x4，∴可得：x6+y6=32﹣x2y2（x2+y2）=32+2×4=40．故答案为：40．【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，有一定难度，关键是熟练运用平方差及完全平方公式．23．当时，的值为．【分析】利用完全平方公式对代数式化简再把代入化简的结果计算即可．【解答】解：原式=﹣，∵，∴=2005，∴x＜，∴原式=﹣+x，=x，当时，原式=．故答案为．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值和二次根式的性质=a（a≥0）的应用．24．已知，，则k=﹣1．【分析】先从等式右边进行分母有理化，即原式=﹣2，然后依次循环即可求k的值．【解答】解：由原式可知=+2﹣4=﹣2，∴4+=+2，依此类推得：=+2，∴k=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了分母有理化的知识，解题时可从等式右边进行分母有理化，那样会简便些．25．当1≤x≤2时，经化简等于2．【分析】先配成完全平方式，再根据二次根式的性质化简计算即可．【解答】解：∵1≤x≤2，∴=+=+1+1﹣=2．故答案为：2．【点评】考查了二次根式的性质，解题的关键是将根号内的式子配成完全平方式．26．计算=2010．【分析】因为=，=，=，…，可发现=1+=1+1﹣，=1+=1+﹣…，依此类推再把1+1﹣，1+﹣…相加可得问题答案．【解答】解：原式=++++…+，=1+1﹣+1+﹣+1+﹣+1+﹣…+1+﹣，=2010+（1﹣+﹣+﹣…+﹣），=2010+（1﹣），=2010．【点评】本题考查了二次根式的化简，在化简中注意有关数列的规律．27．已知x=，那么+1的值是2．【分析】先根据分母有理化得到x=﹣1，所以x+1=，然后将代数式化为含有（x+1）2的形式，把x+1的值代入求出代数式的值．【解答】解：∵x==﹣1，∴x+1=．原式=（3x3+10x2+5x+4）=[（3x3+6x2+3x）+3x2+（x2+2x+1）+3]=[3x（x+1）2+3x2+（x+1）2+3]=[3x•2+3x2+2+3]=[（3x2+6x+3）+2]=[3（x+1）2+2]=（3×2+2）=2．故答案是：2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，先根据分母有理化把x的值化简，得到x+1=，再把代数式化成含有x+1的形式，然后代入代数式可以求出代数式的值．28．化简：，得到1．【分析】将被开方数的分子、分母提公因式，约分，再开平方，约分即可．【解答】解：原式=（）1004=（）1004（）1004=1．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，关键是将被开方数的分子、分母提公因式，约分．29．=﹣3．【分析】因为=，代入并通分计算即可．【解答】解：原式===﹣1﹣1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查二次根式的混合运算，关键是求=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）设n=1999，从而可将根号里面的数化为完全平方的形式，继而可得出答案．（2）分别将各二次根式配方可得出答案．（3）将分子及分母分别化简，然后运用提公因式的知识将分子及分母简化，继而得出答案．（4）设=a，=b，=c，从而可将原式化简，继而可得出答案．【解答】解：（1）设n=1999，则原式===n2+3n+1，故原式=20002+1999；（2）原式=+++++++=﹣1+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣，=﹣1，=3﹣1，=2；（3）原式=，=，=+，=﹣；（4）设=a，=b，=c，则原式=++，=，=0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，难度较大，注意换元法及完全平方知识的运用．。
部编数学八年级下册二次根式的应用及探究材料大题专练(培优强化30题)2023复习备考【人教版】含答案
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.2二次根式的应用及探究材料大题专练（培优强化30题）A卷基础过关卷（限时30分钟，每题10分，满分100分）1．（2022秋•西安月考）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg 的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）【分析】（1）把60m代入公式t＝即可；（2）先根据公式t＝求出h，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断．【解答】解：（1）由题意知h＝60m，∴t＝＝＝2（s），故从60m高空抛物到落地的时间为2s；（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由：当t＝3s时，3＝，∴h＝45，经检验，h＝45是原方程的根，∴这个玩具产生的动能＝10×0.2×45＝90（J）＞65J，∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．【点评】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．2．（2022春•赣州期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 3dm ， 4dm ；（2）求剩余木料的面积；（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 2 块这样的木条．【分析】（1）由正方形的面积可得边长分别为dm和dm，再对二次根式进行化简即可；（2）矩形的长为7dm，宽为4dm，再求面积即可；（3）剩余木条的长为3dm，宽为dm，再由题意进行截取即可．【解答】解：（1）＝3dm，＝4dm，故答案为：3dm，4dm；（2）矩形的长为3+4＝7（dm），宽为4dm，∴剩余木料的面积＝（7×4）﹣18﹣32＝56﹣18﹣32＝6（dm2）；（3）剩余木条的长为3dm，宽为4﹣3＝（dm），∵3＜3×1.5，＞1，∴能截出2×1＝2个木条，故答案为：2．【点评】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简和运算，矩形的面积公式是解题的关键．3．（2019春•沂水县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；（2）t2是t1的多少倍？（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？【分析】（1）将h＝50代入t1＝进行计算即可；将h＝100代入t2＝进行计算即可；（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；（3）将t＝1.5代入公式t＝进行计算即可．【解答】解：（1）当h＝50时，t1＝＝（秒）；当h＝100时，t2＝＝＝2（秒）；（2）∵＝＝，∴t2是t1的倍．（3）当t＝1.5时，1.5＝，解得h＝11.25，∴下落的高度是11.25米．【点评】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．4．（2019秋•二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）求剩余木料的面积．（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 2 块这样的木条．【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出3和范围，根据题意解答．【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，∴这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，∴剩余木料的面积为（4﹣3）×3＝6（dm2）；（2）4＜3＜4.5，1＜＜2，∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2．【点评】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．5．（2018秋•太仓市期末）若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝（a+b+c）．记：Q＝．（1）当a＝4，b＝5，c＝6时，求Q的值；（2）当a＝b时，设三角形面积为S，求证：S＝Q．【分析】（1）先根据△ABC的三边长求出p的值，然后再代入三角形面积公式中计算；（2）设底边c上的高为h，根据三角形的面积公式得到S＝c•h＝c，代入Q＝得到Q＝c，于是得到结论．【解答】解：（1）∵a＝4，b＝5，c＝6，∴p＝（a+b+c）＝，∴Q＝＝＝；（2）∵a＝b，∴设底边c上的高为h，∴h＝，∴S＝c•h＝c，∵a＝b，∴p＝（a+b+c）＝a+c，∴Q＝＝＝c，∴S＝Q．【点评】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积公式，正确的化简二次根式是解题的关键．6．（2019秋•会同县期末）已知长方形的长a＝，宽b＝．（1）求长方形的周长；（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．【分析】首先化简a＝＝2，b＝＝．（1）代入周长计算公式解决问题；（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．【解答】解：a＝＝2，b＝＝．（1）长方形的周长＝（2+）×2＝6；（2）正方形的周长＝4＝8，∵6＝.8＝，∵＞∴6＞8．【点评】此题考查二次根式的实际运用，掌握二次根式的化简方法以及长方形、正方形的周长与面积计算方法是解决问题的关键．7．（2021春•广陵区校级月考）一个三角形的三边长分别为10、x和．（1）求它的周长（要求结果化简）（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．【分析】（1）利用二次根式的性质进行化简，进而求值计算即可；（2）如果一个二次根式化简后为整数，则被开方数就是一个能开得尽方的数，适当取值即可．【解答】解：（1）因为x＞0，所以三角形的周长为：10+x+＝10×++2＝2++2＝5；（2）当x＝5时，＝5，为整数，此时，三角形的周长为5＝5×5＝25．【点评】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．8．（2021秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），答：长方形ABCD的周长是16+14（米），（2）通道的面积＝＝56﹣（13﹣1）＝56（平方米），购买地砖需要花费＝6×（56）＝336﹣72（元）．答：购买地砖需要花费336﹣72元；【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．9．（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．（1）求原矩形木板的面积；（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出2和的范围，根据题意解答．【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为12dm2和27dm2，∴这两个正方形的边长分别为2dm和3dm，∴原矩形木板的面积为3（2+3）＝45（dm2）；（2）最多能裁出3块这样的木条．理由如下：∵2≈3.464，≈1.732，3.46÷1≈3（块），1.73÷1.5≈1（块），3×1＝3（块）．∴从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能裁出3块这样的木条．【点评】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．10．（2022春•沂水县期中）座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中r表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），g为重力加速度且g＝9.8m/s2，假如一台座钟的钟摆长为0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1min内，该座钟发出多少次滴答声？（≈3.16，π取3.14，结果保留整数）【分析】由给出的公式先计算出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到滴答次数．【解答】解：当l＝0.5m，g＝9.8m/s2时，r＝2π＝2π＝2π＝，≈（s），∴在1min 内，该座钟发出滴答声的次数为：60÷1.42≈42，答：在1min 内，该座钟发出约42次滴答声．【点评】本题主要考查了二次根式的应用，计算出钟摆的周期是解决本题的关键．B 卷 能力提升卷（限时50分钟，每题10分，满分100分）11．（2022春•伊宁市校级期末）已知矩形的长为a ，宽为b 且，．（1）求矩形的周长；（2）当S 矩形＝S 正方形时，求正方形的边长m 的值．（注：S 表示面积）【分析】（1）根据矩形的周长＝2×（长+宽），列式计算即可；（2）设正方形的边长为m ，根据S 矩形＝S 正方形，列出方程6×4＝72，解方程求出m 的值．【解答】解：（1）∵矩形的长为a ，宽为b 且＝6，＝4．∴矩形的周长＝2（a +b ）＝2（6+4）＝20；（2）设正方形的边长为x ，则m ＞0．∵S 矩形＝S 正方形，∴m 2＝ab ＝6×4＝72，∴m ＝6（负值舍去），∴正方形的边长m 为6．【点评】本题考查了二次根式的应用，掌握矩形、正方形的周长与面积公式是解题的关键．12．（2022秋•攸县期末）已知长方形长a ＝，宽b ＝．①求长方形的周长；②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．【分析】①根据周长公式列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；②先求出正方形的边长，再由周长公式求解可得．【解答】解：①长方形的周长为2×（+）＝2×（2+）＝6；②长方形的面积为×＝2×＝6，则正方形的边长为，∴此正方形的周长为4，∵6＝，4＝，且＜，∴6＞4，则长方形的周长大于正方形的周长．【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．13．（2022秋•南昌期末）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；（2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积．【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；（2）根据（1）所列出的式子，再把a＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入即可求出答案．【解答】解：（1）剩余部分的面积为：ab﹣4x2；（2）把a＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入ab﹣4x2得：（20+2）（20﹣2）﹣4×（）2＝400﹣8﹣4×2＝400﹣8﹣8＝384．【点评】此题主要考查二次根式的应用，用代数式表示正方形、矩形的面积，需熟记公式，且认真观察图形，得出等量关系．14．（2023•源城区开学）如图，B地在A地的正东方向，两地相距km．A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，且A，B两地到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处，至上午8：20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速为110km/h．问：该车是否超速行驶？【分析】根据题意得到AB＝28，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，则∠ACP＝45°，∠BCQ ＝45°，作AH⊥PQ于H，根据题意有AH＝BQ，再证明△ACH≌△BCQ，得到AC＝BC＝AB＝14，根据等腰直角三角形的性质得PC＝AC＝28，CQ＝＝14，所以PQ ＝PC+CQ＝42，然后根据速度公式计算出该车的速度＝126（km/h），再与110km/h比较即可判断该车超速行驶了．【解答】解：如图，AB＝28，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，∴∠ACP＝45°，∴∠BCQ＝45°，作AH⊥PQ于H，则AH＝BQ，在△ACH和△BCQ中，∴△ACH≌△BCQ（AAS），∴AC＝BC，∴AC＝BC＝AB＝14，∴PC＝AC＝28，CQ＝＝14，∴PQ＝PC+CQ＝42，∴该车的速度＝＝126（km/h）∵126km/h＞110km/h，∴该车超速行驶了．【点评】本题考查了二次根式的应用：二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．15．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小明的做法是：根据得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．仿照上述方法解决问题：（1）已知，求代数式x2+6x﹣8的值；（2）已知，求代数式x3+2x2的值．【分析】（1）根据x＝﹣3求出x+3＝，两边平方后求出x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入求出答案即可；（2）根据x＝求出2x+1＝，两边平方求出4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再变形后代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x＝﹣3，∴x+3＝，两边平方得：（x+3）2＝10，即x2+6x+9＝10，∴x2+6x＝1，∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；（2）∵x＝，∴2x＝﹣1，∴2x+1＝，两边平方，得（2x+1）2＝5，即4x 2+4x +1＝5，∴4x 2+4x ＝4，即x 2+x ＝1，∴x 3+2x 2＝x 3+x 2+x 2＝x （x 2+x ）+x 2＝x ×1+x 2＝x +x 2＝1．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减等知识点，能够整体代入是解此题的关键．16．（2016春•泰州校级期末）（1）阅读：若一个三角形的三边长分别为a 、b 、c ，设，则这个三角形的面积为．（2）应用：如图1，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC ＝4，求△ABC 面积．（3）引申：如图2，在（2）的条件下，AD 、BE 分别为△ABC 的角平分线，它们的交点为I ，求：I 到AB 的距离．【分析】（2）先根据三边长度求出p 的值，再代入公式计算可得；（3）过点I 作IF ⊥AB 、IG ⊥AC 、IH ⊥BC ，由角平分线性质可得IF ＝IH ＝IG ，再根据S △ABC ＝S △ABI +S △ACI +S △BCI 即可求得IF 的长．【解答】解：（1）如图：在△ABC中，过A作高AD交BC于D，设BD＝x，那么DC＝a﹣x，由于AD是△ABD、△ACD的公共边h2＝c2﹣x2＝b2﹣（a﹣x）2，解出x得x＝，于是h＝，△ABC的面积S＝ah＝a即S＝，令p＝（a+b+c），对被开方数分解因式，并整理得到；（2）由题意，得：a＝4，b＝5，c＝6；∴p＝＝；∴S＝＝＝，故△ABC的面积是；（3）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，∵AD 、BE 分别为△ABC 的角平分线，∴IF ＝IH ＝IG ，∵S △ABC ＝S △ABI +S △ACI +S △BCI ，即＝×6•IF +×5•IG +×4•IH ，∴3•IF +•IF +2•IF ＝，解得IF ＝，故I 到AB 的距离为．【点评】本题主要考查三角形面积的计算和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．17．（2022春•武江区校级期末）请阅读下列材料：问题：已知x ＝+2，求代数式x 2﹣4x ﹣7的值．小敏的做法是：根据x ＝+2得（x ﹣2）2＝5，∴x 2﹣4x +4＝5，得：x 2﹣4x ＝1．把x 2﹣4x 作为整体代入：得x 2﹣4x ﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x ＝﹣2，求代数式x 2+4x ﹣10的值；（2）已知x ＝，求代数式x 3+x 2+1的值．【分析】（1）根据完全平方公式求出x 2+4x ＝1，代入计算即可；（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．【解答】解：（1）∵x ＝﹣2，∴（x +2）2＝5，∴x 2+4x +4＝5，∴x 2+4x ＝1，∴x 2+4x ﹣10＝1﹣10＝﹣9；（2）∵x ＝，∴x2＝（）2＝，则x3＝x•x2＝×＝﹣2，∴x3+x2+1＝﹣2++1＝．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．18．（2021春•石城县期末）在二次根式中如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是 4+ ，分母有理化得 ．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．【解答】解：（1）4﹣的有理化因式可以是4+，＝＝．故答案为：4+，；（2）①当x＝＝＝＝2+，y＝＝＝＝2﹣时，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（2++2﹣）2﹣2×（2+）×（2﹣）＝14．②原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．19．（2021秋•洪江市期末）阅读并解答问题：＝＝；＝＝；＝＝2﹣；……上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：（1）将的分母有理化；（2）已知a＝，b＝，求a+b的值；（3）计算+…++．【分析】（1）利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算；（2）先利用平方差公式进行分母有理化计算，从而化简a和b的值，然后代入求值；（3）利用平方差公式进行分母有理化计算，然后通过观察数字变化的规律进行分析计算．【解答】解：（1）原式＝＝﹣2；（2）a＝＝﹣，b＝＝，∴a+b＝＝2；（3）原式＝++...++＝﹣1+﹣+...+﹣+﹣＝10﹣1＝9．【点评】本题考查二次根式的分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．20．（2022秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．（1）下列式子中①，②，③， ③ 是根分式（填写序号即可）；（2）写出根分式中x的取值范围 x≥1且x≠2 ；（3）已知两个根分式，．①若M2﹣N2＝1，求x的值；②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值： 1 ．【分析】（1）根据根分式的定义进行判断即可；（2）根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；（3）①对式子进行化简，再进行求解即可；②对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．【解答】解：（1）①不是根分式，②不是根分式，③是根分式，故答案为：③；（2）由题意得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，解得：x≥1，x≠2，故x的取值范围是：x≥1且x≠2；故答案为：x≥1且x≠2；（3）当，时，①M2﹣N2＝1，（）2﹣（）2＝1，，，解得：x＝1，经检验，x＝1是原方程的解；②M2+N2＝（）2+（）2＝+＝＝＝1+，∵M2+N2是一个整数，且x为整数，∴是一个整数，∴x﹣2＝±1，解得：x＝3或1，经检验，x＝1符合题意，故答案为：1．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，分式有意义的条件，二次根式的定义，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．C卷培优压轴卷（限时80分钟，每题10分，满分100分）21．（2022•南京模拟）请阅读下面材料，并解决问题：海伦——秦九韶公式海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记那么三角形的面积．这个公式称为海伦公式．秦九韶（约1202﹣1261年），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一个公式，所以海伦公式也称海伦﹣秦九韶公式．问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，请用海伦一秦九韶公式求△ABC的面积．【分析】已知三角形ABC的三边为整数，直接将其带入海伦公式求面积即可．【解答】解：根据材料，得a＝6，b＝7，c＝8，∴，∴＝＝＝．【点评】本题考查二次根式的应用，解题的关键是通过阅读理解材料中所给的定义以及概念，再运用材料中的知识点解决对应的问题即可．22．（2021秋•叙州区期末）已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC ．的周长为C△ABC（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是（请直接写出答案）；（用含x的代数式表示，结果要求化简）；（2）请求出C△ABC（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝．其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．若x为整数，当C取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．△ABC【分析】（1）把x＝2代入三角形的三边中，分别计算，比较后即可求解；（2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简即可求解；（3）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，代入公式求出三角形的面积．【解答】解：（1）当x＝2时，＝，，，∴△ABC的最长边的长度是3；（2）由题知：，解得﹣1≤x≤4．∴，，＝++＝+5−x+x＝+5；∴C△ABC（3）∵C＝+5，﹣1≤x≤4，且x为整数，△ABC越大，∴x越大C△ABC∴当x＝4时，C取得最大值，此时三边为，1，4，△ABC∵+1＜4，∴不合题意舍去．当x＝3时，三边为2，2，3，∴S＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键．23．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：＝＝＝＝1+．解决问题：（1）在括号内填上适当的数：＝＝③①： 5 ，②： ，③ 3+ ．（2）根据上述思路，化简并求出+的值．【分析】（1）模仿样例进行解答便可；（2）把28看成，7看成，借助完全平方公式将每个根号内化成完全平方数的形式，便可开方计算得结果．【解答】解：（1）由题意得，＝＝3+，则①＝5，②＝，③＝3+，故答案为：①5；②；③3+；（2）+＝＝＝5﹣＝7．【点评】本题考查了二次根式的性质，完全平方式的应用，关键是把被开方数化成完全平方数．24．（2022秋•临汾期中）阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务：法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数F（n）可以表示为+，其中n≥1．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）任务：（1）卢卡斯数列中的第1个数F（1）＝ 2 ，第2个数F（2）＝ 1 ；（2）卢卡斯数列有一个重要特征：当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣﹣1）+F（n﹣2）．请根据这一规律写出卢卡斯数列中的第6个数F（6）．【分析】（1）根据F（n）＝+，将n＝1，2分别代入计算即可求解；（2）根据当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），先求出F（4），F（5），再进一步求出F（6）．【解答】解：（1）F（1）＝1+1＝2，第2个数F（2）＝+＝1．故答案为：2；1；（2）∵F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），∴F（3）＝F（2）+F（1）＝1+2＝3；F （4）＝F（3）+F（2）＝3+1＝4，F （5）＝F（4）+F（3）＝4+3＝7，∴F（6）＝F（5）+F（4）＝7+4＝11．【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是掌握“卢卡斯数列”．25．（2022春•南城县校级月考）观察下列等式：；；…你根据观察得到的结论，解答下列各题：（1）猜想：＝ ；（2）解方程：．【分析】（1）根据阅读部分提供的方法直接可得答案；（2）根据阅读部分的方法把方程化为x＝3，再解方程即可．【解答】解：（1）由题意可得：．故答案为：；（2）∵，∴，∴x＝3，解得：x＝＝＝．【点评】本题属于阅读题，考查分母有理化，二次根式的化简，理解题意，根据阅读部分提供的信息解题是关键．26．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a＝．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵a＝＝＝2﹣∴a﹣2＝﹣∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简+++…+；（2）比较﹣ ＞ ﹣；（填“＞”或“＜”）（3）A题：若a＝+1，则a2﹣2a+3＝ 4 ．B题：若a＝，则4a2﹣4a+7＝ 5 ．【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；（2）先将和化简，比较大小，从而可比较﹣和﹣；（3）A题：由a＝+1，可得a﹣1＝，（a﹣1）2＝2，从而可得a2﹣2a＝1，进一步求解即可；B题：由a＝，可得a＝，从而可得2a﹣＝1，两边同时作平方，可得，进一步求解即可．【解答】解：（1）+++…+＝…+＝＝；（2）＝，＝，∵＜，∴﹣＞﹣，故答案为：＞；（3）A题：∵a＝+1，∴a﹣1＝，∴（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴a2﹣2a+3＝4，故答案为：4；B题：∵a＝，∴a＝，∴2a﹣＝1，∴＝1，即，∴，∴4a2﹣4a+7＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，规律型，完全平方公式和平方差公式等，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．27．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，+1与﹣1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，＝＝＝＝．（1）请你写出3+的有理化因式： 3﹣ ；（2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）；（3）已知a＝，b＝，求的值．【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据＝，将a+b，ab的值代入即可求解．【解答】解：（1）∵（3+）（3﹣）＝9﹣11＝﹣2，∴3﹣是3+的有理化因式，故答案为：3﹣；（2）＝＝＝1+；（3）∵a＝＝﹣﹣2，b＝＝2﹣，∴a+b＝﹣2，ab＝﹣1，∴＝＝＝＝4．【点评】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．28．（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x＝+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x＝+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x＝﹣2，求代数式x2+4x﹣5的值；（2）已知x＝，求代数式x3+x2+1的值．【分析】（1）仿照阅读材料解答即可；（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵x＝﹣2，∴x+2＝，∴（x+2）2＝（）2，∴x2+4x＝﹣1，∴x2+4x﹣5＝﹣6；（2）∵x＝，∴2x+1＝，∴（2x+1）2＝（）2，变形整理得：x2+x＝1，∴x3+x2+1＝x（x2+x）+1＝x+1＝+1＝．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能将已知式子适当变形．29．（2022春•南部县校级月考）在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（1208年﹣1261年）提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式．在海伦（公元62年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）得出的，故我国称这个公式为海伦﹣秦九韶公式．它的表述为：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的面积．（公式里的p为半周长即周长的一半）请利用海伦﹣秦九韶公式解决以下问题：（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为 ．（2）四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，四边形ABCD的面积为 ．（3）五边形ABCDE中，AB＝BC＝，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，求出五边形ABCDE的面积．【分析】（1）根据题意应用二次根式的计算解答即可；（2）根据二次根式的计算解答即可；（3）根据二次根式的混合计算解答即可．【解答】解：（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为；故答案为：；（2）∵四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝5，∴△ABC的面积＝，∴△ACD的面积＝，∴四边形ABCD的面积为：，故答案为：；（3）∵五边形ABCDE中，AB＝BC＝，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，∴AC＝6，∴△ABC的面积＝，∴CE＝10，∴△CDE的面积为：，∴AC＝6，AE＝12，CE＝10，∴△ACE的面积＝，∴五边形ABCDE的面积为．【点评】此题考查二次根式的应用，关键是根据三角形的面积公式解答．。
八年级初二数学数学二次根式的专项培优易错试卷练习题附解析
八年级初二数学数学二次根式的专项培优易错试卷练习题附解析一、选择题1．下列运算正确的是（ ） A ．732-= B ．()255-=-C ．1232÷=D ．03812+=2．下列各式中，无意义的是（ ） A ．23-B ．()333-C ．()23-D ．310-3．下列运算正确的是 （ ） A ．3223÷= B ．235+= C ．233363⨯= D ．18126-=4．下列算式：（1）257+=；（2）5x 2x 3x -=；（3）8+50=4257+=；（4）33a 27a 63a +=，其中正确的是（ ） A ．（1）和（3） B ．（2）和（4）C ．（3）和（4）D ．（1）和（4）5．下列各式计算正确的是（ ）A ．532-=B ．1236⨯=C ．3232+=D ．222()-=-6．若a ＝3235++，b ＝2+610-，则a b 的值为（ ）A ．12 B ．14C ．321+D ．610+7．若化简1682+-x x -1x -的结果为5-2x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数B ．1≤x≤4C ．x≥1D ．x≤48．已知2225152x x ---=，则222515x x -+-的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．69．若a 、b 、c 为有理数，且等式成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定 10．12的下列说法中错误的是（ ） A 1212的算术平方根 B ．3124<< C 12不能化简D 12是无理数11．给出下列化简①（2-2=222-=（）2221214+=3④11142-=，其中正确的是（ ） A ．①②③④B ．①②③C ．①②D ．③④12．已知，5x y +=-，3xy =则y x x y x y+的结果是（ ） A ．23B ．23-C ．32D ．32-二、填空题13．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则2b c +=________．14．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()22b a b +-﹣|a +b |的结果是_____．15．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行7223 10 11 233第行13 154 1732 19254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）． 16．若2x ﹣3x 2﹣x=_____． 17．已知整数x ，y 满足20172019y x x =+--，则y =__________．18．11122323-=11113-23438⎛⎫= ⎪⎝⎭11114-345415⎛⎫=⎪⎝⎭据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________．19．若a 、b 为实数，且b 2211a a -+-+4，则a+b ＝_____． 20．函数y 4x-中，自变量x 的取值范围是____________． 三、解答题21．先观察下列等式，再回答问题：=1+1=2；12=2 12；=3+13=313；… （1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．【答案】（1=144+=144；（2=211n n n n++=，证明见解析． 【分析】（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，=414+=414；（2=n 211n n n++=”，再利用222112n n n n++=+（）（）开方即可证出结论成立．【详解】（1=1+1=2=212+=212；=313+=313；里面的数字分别为1、2、3，= 144+= 144．（2=1+1=2，=212+=212=313+=313=414+=414= 211n n n n++=．证明：等式左边==n 211n n n++==右边．=n 211n n n++=成立． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律=n 211n n n++=”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．22．阅读下面的解答过程，然后作答：m 和n ，使m 2+n 2=a 且，则a 可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）2例如：∵=）2+）2=）2∴请你仿照上例将下列各式化简（12【答案】（1）2-【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解：（1）∵22241(1+=+=，1=（2）∵2227-=-=，∴==23．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.比如：2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究：当a b m n 、、、为正整数时，若2a n +=+)，则有22(2a m n =+，所以222a m n =+，2b mn =.请模仿小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a b m n 、、、为正整数时，若2a n =+)，请用含有mn 、的式子分别表示a b 、，得：a = ，b = ；（2）填空：13-( - 2；（3）若2a m +=()，且a m n 、、为正整数，求a 的值.【答案】（1）223a m n =+，2b mn =；（2）213--；（3）14a =或46. 【解析】 试题分析：（1）把等式)2a n +=+右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；（2）由（1）中结论可得：2231324a m nb mn ⎧=+=⎨==⎩ ，结合a b m n 、、、都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到：213(1-=-；（3）将()2a m +=+右边展开，整理可得：225a m n =+，62mn =结合a m n 、、为正整数，即可先求得m n 、的值，再求a 的值即可.试题解析：（1）∵2a n =+)，∴223a m n +=++， ∴2232a m n b mn =+=，；（2）由（1）中结论可得：2231324a m n b mn ⎧=+=⎨==⎩，∵a b m n 、、、都为正整数， ∴12m n =⎧⎨=⎩或21m n =⎧⎨=⎩ ，∵当m=1，n=2时，223713a m n =+=≠，而当m=2，n=1时，22313a m n =+=， ∴m=2，n=1，∴(2131--；（3）∵222()52a m m n +=+=++ ∴225a m n =+，62mn = ， 又∵a m n 、、为正整数， ∴=1=3m n ，， 或者=3=1m n ，，∴当=1=3m n ，时，46a =；当=3=1m n ，，14a =， 即a 的值为：46或14.24．阅读下列材料，然后回答问题：其进一步化简：535==33333⨯⨯；22(31)2(31)=313+1(3+1)(31)(3)1⨯-⨯-==---.以上这种化简过程叫做分母有理化.3+1还可以用以下方法化简：22(3)1(3+1)(31)=313+13+13+13+1--===-.（1）请用其中一种方法化简1511-；（2）化简：++++3+15+37+599+97.【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1.【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511－；（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案.【详解】（1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.25．计算（1）（4﹣3）+2（2）（3）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：甲010*******乙2311021101请计算两组数据的方差．【答案】（1）6﹣3；（2）-6（3）甲的方差1.65；乙的方差0.76【解析】试题分析：（1）先去括号，再合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值合并；（3）先分别计算出甲乙的平均数，然后根据方差公式分别进行甲乙的方差． 试题解析：（1）原式=4﹣3+2=6﹣3； （2）原式=﹣3﹣2+﹣3 =-6；（3）甲的平均数=（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5，乙的平均数=（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，甲的方差=×[3×（0﹣1.5）2+2×（1﹣1.5）2+3×（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]=1.65； 乙的方差=×[2×（0﹣1.2）2+5×（1﹣1.2）2+2×（2﹣1.2）2+（3﹣1.2）2]=0.76．考点： 二次根式的混合运算；方差．26．先化简，再求值：(()69x x x x --+，其中1x =.【答案】化简得6x+6，代入得【分析】根据整式的运算公式进行化简即可求解. 【详解】(()69x x x x +--+=22369x x x --++ =6x+6把1x =代入原式=61）【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键熟知整式的运算法则.27．先化简，再求值：2222212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y，其中x y ==． 【答案】原式x yx-=-，把x y ==代入得，原式1=-. 【详解】试题分析：先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可． 试题解析：2222212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y ()()()222=x y x y x x xx x x y x y -⎛⎫---⋅ ⎪+-⎝⎭=y x x y x x y ---⋅+ x yx-=-把x y ==代入得：原式1==-+考点：分式的化简求值．28．计算：（1（2|a ﹣1|，其中1＜a【答案】（1）1；（2）1 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算；（2）由二次根式的非负性，a 的取值范围进行化简． 【详解】解：（1－1＝2－1＝1 （2）∵1＜a，a ﹣1＝2﹣a ＋a ﹣1＝1． 【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力．29．计算：（1；（2+2）2+2）． 【答案】（1-2）【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案； （2）直接利用乘法公式计算得出答案．【详解】解：（1）原式＝-（2）原式＝3434++-＝6+． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，在进行二次根式运算时，可以运用乘法公式，运算率简化运算．30．计算：（1 ；（2）))213【答案】（1）2）1-. 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案． （2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算． 【详解】（1）原式==（2）原式=212---=1-. 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由二次根式的性质，二次根式的混合运算，分别进行计算，即可得到答案． 【详解】解：A A 错误；B 5=，故B 错误；C 2==，故C 正确；D 01213=+=，故D 错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，立方根，零指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．2．A解析：A 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质分析得出答案． 【详解】AB ，有意义，不合题意；CD 、33110=10-，有意义，不合题意； 故选A. 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质，正确把握二次根式的定义是解题关键．3．A解析：A 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】A 、3=，故选项A 正确；B B 错误；C 、18=，故选项C 错误；D =D 错误； 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．4．B解析：B 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】（1（2），正确；（3）2＝22=，错误；（4）==故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．5．B解析：B【分析】根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据a=对D进行判断．【详解】解：A不能合并，所以A选项错误；B6=，正确，所以B选项正确；C、3不能合并，所以C选项错误；D22=--=()，所以D选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减计算法则．6．B解析：B【解析】【分析】将a可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出ab的值．【详解】a=b44=．∴14ab=．故选：B．【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．7．B解析：B【解析】【分析】根据完全平方公式和2a=|a|,先把多项式化简为|x-4|-|1-x|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．【详解】-=|x-4|-|1-x|，解：原式=2（）-1xx4-当x≤1时，此时1-x≥0，x-4＜0，∴（4-x）-（1-x）=3，不符合题意，当1≤x≤4时，此时1-x≤0，x-4≤0，∴（4-x）-（x-1）=5-2x，符合题意，当x≥4时，此时x-4≥0，1-x＜0，∴（x-4）-（x-1）=-3，不符合题意，∴x的取值范围为：1≤x≤4故选B．【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．8．C解析：C【解析】∵22---=，25152x x2222222222 ----+-=---=--+= (2515)(2515)(25)(15)251510 x x x x x x x x，∴22-+-=.x x25155故选C.9．B解析：B【解析】因=，所以a=0，b=1，c=1，即可得2a＋999b＋1001c=999+1001=2000，故选B.点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．10．C【分析】根据算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简依次判断.【详解】A12的算术平方根，故该项正确；B、34<<，故该项正确；C=D=是无理数，故该项正确；故选：C.【点睛】此题考查算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.11．C解析：C【分析】根据二次根式的性质逐一进行计算即可求出答案．【详解】①原式=2，故①正确；②原式=2，故②正确；③原式====，故④错误，④原式2故选C．【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.12．B解析：B【分析】由x+y=-5，xy=3可得到x＜0，y＜0，再利用二次根式的性质化简得到原式==-，然后把xy=3代入计算即可．【详解】∵x+y=−5，xy=3，∴x<0，y<0，∴原式===-（x＜0，y＜0），当xy=3时,原式=-【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于先化简.二、填空题13．21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．【详解】∵∴∴∴∴∴∴∴．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的解析：21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案．【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123=== ∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．14．3b【分析】先判断a ，b 的取值范围，并分别判断a-b ，a+b 的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．【详解】解：由数轴可知：b ＞0，a ﹣b ＜0，a+b ＜0，∴原式＝|解析：3b【分析】先判断a ，b 的取值范围，并分别判断a-b ，a+b 的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．【详解】解：由数轴可知：b ＞0，a ﹣b ＜0，a +b ＜0，∴原式＝|b |+|a ﹣b |﹣|a +b |＝b ﹣（a ﹣b ）+（a +b ）＝b ﹣a +b +a +b＝3b ，故答案为：3b【点睛】a =和绝对值的性质是解题的关键．15．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．16．【解析】【分析】根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案．【详解】解：∵2x﹣1= ，∴（2x﹣1）2=3∴4x2﹣4x+1=3∴4（x2﹣x）=2∴x2﹣x=故答案为【点解析：1 2【解析】【分析】根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案．【详解】解：∵2x﹣，∴（2x﹣1）2=3∴4x2﹣4x+1=3∴4（x2﹣x）=2∴x2﹣x=12故答案为12【点睛】 本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 17．2018【解析】试题解析：，令，，显然，∴，∴，∵与奇偶数相同，∴，∴，∴．故答案为：2018.解析：2018【解析】 试题解析：y ===令a =b = 显然0a b >≥，∴224036a b -=，∴()()4036a b a b +-=，∵()a b +与()-a b 奇偶数相同，∴20182a b a b +=⎧⎨-=⎩， ∴10101008a b =⎧⎨=⎩， ∴2018y a b =+=．故答案为：2018.18．【解析】上述各式反映的规律是(n ⩾1的整数),得到第5个等式为： (n ⩾1的整数).故答案是： (n ⩾1的整数).点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;=【解析】上述各式反映的规律是=n ⩾1的整数),得到第5==n ⩾1的整数).=n ⩾1的整数). 点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;第二步,找规律,分别比较等式中各部分与序号之间的关系,把其蕴含的规律用含序数的代数式表示出来;第三步,根据找出的规律得出第n 个等式.19．5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得，解得a ＝1，或a ＝﹣解析：5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得221010a a ⎧-≥⎨-≥⎩， 解得a ＝1，或a ＝﹣1，b ＝4，当a ＝1时，a +b ＝1+4＝5，当a＝﹣1时，a+b＝﹣1+4＝3，故答案为5或3．【点睛】本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．20．x≤4且x≠2【分析】根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．【详解】解：由y=，得4-x≥0且x-2≠0．解得x≤4且x≠2．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方解析：x≤4且x≠2【分析】根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．【详解】解：由，得4-x≥0且x-2≠0．解得x≤4且x≠2．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数、分母不能为零得出4-x≥0且x-2≠0是解题关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。
八年级数学二次根式提高题常考题与培优题含解析
二次根式提高题与常考题型压轴题(含解析)一．选择题（共13小题）1．二次根式中x的取值范围是（）A．x＞3 B．x≤3且x≠0 C．x≤3 D．x＜3且x ≠02．计算：﹣，正确的是（）A．4 B．C．2 D．3．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣12+8 C．8﹣4D．4﹣24．若1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．25．下列计算正确的是（）A．=2B．=C．=x D．=x6．下列各式变形中，正确的是（）A．x2•x3=x6 B．=|x|C．（x2﹣）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣）2+7．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．8．化简+﹣的结果为（）A．0 B．2 C．﹣2D．29．已知，ab＞0，化简二次根式a的正确结果是（）A．B．C．﹣D．﹣10．设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++1 11．把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）A．B．C． D．12．如果=2a﹣1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥13．已知：a=，b=，则a与b的关系是（）A．ab=1 B．a+b=0 C．a﹣b=0 D．a2=b2二．填空题（共17小题）14．如果代数式有意义，那么x的取值范围为．15．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为．16．计算：=．17．观察下列等式：第1个等式：a1==﹣1，第2个等式：a2==﹣，第3个等式：a3==2﹣，第4个等式：a4==﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：a n=；（2）a1+a2+a3+…+a n=．18．计算2﹣的结果是．19．计算（+）（﹣）的结果等于．20．化简：（0＜a＜1）=．21．如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是．22．已知a，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有对．23．对正实数a，b作定义a*b=﹣a，若2*x=6，则x=．24．已知x+y=，x﹣y=，则x4﹣y4=．25．已知=﹣（x，y为有理数），则x﹣y=．26．已知是正整数，则实数n的最大值为．27．三角形的三边长分别为3、m、5，化简﹣=．28．若实数m满足=m+1，且0＜m＜，则m的值为．29．计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=．30．观察下列各式：=11+3×1+1，=22+3×2+1，=32+3×3+1，猜测：=．三．解答题（共10小题）31．计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．32．若1＜a＜2，求+的值．33．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．34．先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．35．（1）已知|2012﹣x|+=x，求x﹣20132的值；（2）已知a＞0，b＞0且（+）=3（+5）．求的值．36．观察下列各式及其验证过程：（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反应的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并说明它成立．37．先化简，再求值：（+）÷，其中a=+1．38．求不等式组的整数解．39．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，则三角形的面积S=．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．40．已知：y=++，求﹣的值．二次根式提高题与常考题型压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2017春•启东市月考）二次根式中x的取值范围是（）A．x＞3 B．x≤3且x≠0 C．x≤3 D．x＜3且x≠0【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出3﹣x≥0且x≠0，求出即可．【解答】解：要使有意义，必须3﹣x≥0且x≠0，解得：x≤3且x≠0，故选B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识点，能根据题意得出3﹣x≥0且x≠0是解此题的关键．2．（2017春•萧山区校级月考）计算：﹣，正确的是（）A．4 B．C．2 D．【分析】直接化简二次根式进而合并求出答案．【解答】解：﹣=2﹣=．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．3．（2017春•嵊州市月考）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣2【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为=4cm，=2cm，∴AB=4cm，BC=（2+4）cm，∴空白部分的面积=（2+4）×4﹣12﹣16，=8+16﹣12﹣16，=（﹣12+8）cm2．故选B．【点评】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．4．（2016•呼伦贝尔）若1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2【分析】已知1＜x＜2，可判断x﹣3＜0，x﹣1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，原式=|x﹣3|+=|x﹣3|+|x﹣1|=3﹣x+x﹣1=2．故选D．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时，=0；当a小于0时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．2、性质：=|a|．5．（2016•南充）下列计算正确的是（）A．=2B．= C．=x D．=x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解：A、=2，正确；B、=，故此选项错误；C、=﹣x，故此选项错误；D、=|x|，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．6．（2016•杭州）下列各式变形中，正确的是（）A．x2•x3=x6B．=|x|C．（x2﹣）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣）2+【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简求出答案．【解答】解：A、x2•x3=x5，故此选项错误；B、=|x|，正确；C、（x2﹣）÷x=x﹣，故此选项错误；D、x2﹣x+1=（x﹣）2+，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混合运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．（2016•巴中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B．C． D．【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【解答】解：A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．8．（2016•营口）化简+﹣的结果为（）A．0 B．2 C．﹣2D．2【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：+﹣=3+﹣2=2，故选：D．【点评】本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算．9．（2016•安徽校级自主招生）已知，ab＞0，化简二次根式a的正确结果是（）A．B． C．﹣D．﹣【分析】直接利用二次根式的性质进而化简得出答案．【解答】解：∵ab＞0，∴a=a×=﹣．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题关键．10．（2016•邯郸校级自主招生）设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++1【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后代、化简、运算、求值，即可解决问题．【解答】解：∵﹣=﹣===，∴a的小数部分=﹣1；∵﹣===，∴b的小数部分=﹣2，∴﹣====．故选B．【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．11．（2016•柘城县校级一模）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）A． B．C．D．【分析】先根据被开方数大于等于0判断出a是负数，然后平方后移到根号内约分即可得解．【解答】解：根据被开方数非负数得，﹣＞0，解得a＜0，﹣a==．故选A．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，先根据被开方数大于等于0求出a 的取值范围是解题的关键，也是本题最容易出错的地方．12．（2016•杨浦区三模）如果=2a﹣1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥【分析】由二次根式的化简公式得到1﹣2a为非正数，即可求出a的范围．【解答】解：∵=|1﹣2a|=2a﹣1，∴1﹣2a≤0，解得：a≥．故选D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．13．（2016•临朐县一模）已知：a=，b=，则a与b的关系是（）A．ab=1 B．a+b=0 C．a﹣b=0 D．a2=b2【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．【解答】解：a===2+，b===2﹣，A、ab=（2+）×（2﹣）=4﹣3=1，故本选项正确；B、a+b=（2+）+（2﹣）=4，故本选项错误；C、a﹣b=（2+）﹣（2﹣）=2，故本选项错误；D、∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2﹣）2=4﹣4+3=7﹣4，∴a2≠b2，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．二．填空题（共17小题）14．（2017•静安区一模）如果代数式有意义，那么x的取值范围为x＞﹣2．【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x+2＞0，解得，x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．15．（2016•乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为3．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，则+|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．16．（2016•聊城）计算：=12．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．17．（2016•黄石）观察下列等式：第1个等式：a1==﹣1，第2个等式：a2==﹣，第3个等式：a3==2﹣，第4个等式：a4==﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：a n==﹣；；（2）a1+a2+a3+…+a n=﹣1．【分析】（1）根据题意可知，a1==﹣1，a2==﹣，a3==2﹣，a4==﹣2，…由此得出第n个等式：a n==﹣；（2）将每一个等式化简即可求得答案．【解答】解：（1）∵第1个等式：a1==﹣1，第2个等式：a2==﹣，第3个等式：a3==2﹣，第4个等式：a4==﹣2，∴第n个等式：a n==﹣；（2）a1+a2+a3+…+a n=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）=﹣1．故答案为=﹣；﹣1．【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．18．（2016•哈尔滨）计算2﹣的结果是﹣2．【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并求解即可．【解答】解：原式=2×﹣3=﹣3=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于掌握二次根式的化简与同类二次根式合并．19．（2016•天津）计算（+）（﹣）的结果等于2．【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．【解答】解：原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．20．（2016•博野县校级自主招生）化简：（0＜a＜1）=﹣a．【分析】结合二次根式的性质进行化简求解即可．【解答】解：==|a﹣|．∵0＜a＜1，∴a2﹣1＜0，∴a﹣=＜0，∴原式=|a﹣|=﹣（a﹣）=﹣a．故答案为：﹣a．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的性质及二次根式的化简．21．（2016•绵阳校级自主招生）如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是x≤10．【分析】根据二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得a 的值，根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由最简二次根式与可以合并，得3a﹣8=17﹣2a．解得a=5．由有意义，得20﹣2x≥0，解得x≤10，故答案为：x≤10．【点评】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出关于a的方程是解题关键．22．（2016•温州校级自主招生）已知a，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有7对．【分析】A，B只能是15n2，然后分别讨论及的取值，最终可确定有序数对的个数．【解答】解：15只能约分成3，5那么A，B只能是15n2先考虑A这边：①，那么B可以这边可以是1或者，此时有：（15，60），（15，15），（60，15），②，只能B这边也是，此时有：（60，60），③，那么B这边也只能是，∴2×（+）=1，此时有：（240，240）④的话，那么B这边只能是，那么2（+）=1，此时有：（135，540），（540，135）．综上可得共有7对．故答案为：7．【点评】本题考查二次根式的化简求值，难度较大，关键是根据题意分别讨论及的取值．23．（2016•福州自主招生）对正实数a，b作定义a*b=﹣a，若2*x=6，则x= 32．【分析】根据定义把2*x=6化为普通方程，求解即可．【解答】解：∵a*b=﹣a，∴2*x=﹣2，∴方程2*x=6可化为﹣2=6，解得x=32，故答案为：32【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用新定义把方程化为普通方程是解题的关键．24．（2016•黄冈校级自主招生）已知x+y=，x﹣y=，则x4﹣y4=．【分析】把所给式子两边平方再相加可先求得x2+y2，再求得x2﹣y2，可求得答案．【解答】解：∵x+y=，x﹣y=，∴（x+y）2=x2+2xy+y2=（）2=+，（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2=（）2=﹣，∴x2+y2=，又x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=（）（）==1，∴x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）=，故答案为：．【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用乘法公式分别求得x2+y2和x2﹣y2的值是解题的关键．25．（2016•黄冈校级自主招生）已知=﹣（x，y为有理数），则x﹣y=1．【分析】把已知条件两边平方，整理可得到x+y﹣2，结合x、y均为有理数，可求得x、y的值，可求得答案．【解答】解：∵=﹣，∴（）2=（﹣）2，即2﹣3=x+y﹣2，∴x+y﹣2=2﹣=+﹣2，∵x，y为有理数，∴x+y=+，xy=×，由条件可知x＞y，∴x=，y=，∴x﹣y=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查二次根式的化简，由条件求得x、y的值是解题的关键．26．（2016春•固始县期末）已知是正整数，则实数n的最大值为11．【分析】根据二次根式的意义可知12﹣n≥0，解得n≤12，且12﹣n开方后是正整数，符合条件的12﹣n的值有1、4、9…，其中1最小，此时n的值最大．【解答】解：由题意可知12﹣n是一个完全平方数，且不为0，最小为1，所以n的最大值为12﹣1=11．【点评】主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．27．（2016•山西模拟）三角形的三边长分别为3、m、5，化简﹣= 2m﹣10．【分析】先利用三角形的三边关系求出m的取值范围，再化简求解即可．【解答】解：∵三角形的三边长分别为3、m、5，∴2＜m＜8，∴﹣=m﹣2﹣（8﹣m）=2m﹣10．故答案为：2m﹣10．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简及三角形三边关系，解题的关键是熟记三角形的三边关系．28．（2016•武侯区模拟）若实数m满足=m+1，且0＜m＜，则m的值为．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出关于m的等式即可得出答案．【解答】解：∵=m+1，且0＜m＜，∴2﹣m=m+1，解得：m=．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题关键．29．（2016•龙岩模拟）计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=102016．【分析】直接利用已知数据计算得出结果的变化规律进而得出答案．【解答】解：=10；=100=102；=1000=103；=10000=104，可得=102016．故答案为：102016．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出结果变化规律是解题关键．30．（2016•丹东模拟）观察下列各式：=11+3×1+1，=22+3×2+1，=32+3×3+1，猜测：=20112+3×2011+1．【分析】根据题意得出数字变换规律进而得出答案．【解答】解：由题意可得：=20112+3×2011+1．故答案为：20112+3×2011+1．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确得出数字变化规律是解题关键．三．解答题（共10小题）31．（2017春•临沭县校级月考）计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式=3﹣2+=3﹣2+2=3；（2）原式=1﹣5+1+2+5=2+2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．32．（2017春•沂源县校级月考）若1＜a＜2，求+的值．【分析】根据a的范围即可确定a﹣2和a﹣1的符号，然后根据算术平根的意义进行化简求值．【解答】解：∵1＜a＜2，∴a﹣2＜0，a﹣1＞0．则原式=+=+=﹣1+1=0．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解算术平方根的意义，理解=|a|是关键．33．（2017春•启东市月考）已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形：，x，y都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【解答】解：∵，∴．∵x，y都是有理数，∴x2+2y﹣17与y+4也是有理数，∴解得∵有意义的条件是x≥y，∴取x=5，y=﹣4，∴．【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．34．（2016•锦州）先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x的值代入进行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣（π﹣3）0，=×4﹣﹣1，=2﹣﹣1，=﹣1．把x=﹣1代入得到：==．即=．【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．35．（2016•湖北校级自主招生）（1）已知|2012﹣x|+=x，求x﹣20132的值；（2）已知a＞0，b＞0且（+）=3（+5）．求的值．【分析】（1）由二次根式有意义的条件可知x≥2013，然后化简得=2012，由算术平方根的定义可知：x﹣2013=20122，最后结合平方差公式可求得答案．（2）根据单项式乘多项式的法则把（+）=3（+5）进行整理，得出a﹣2﹣15b=0，再进行因式分解得出（﹣5）（+3）=0，然后根据a＞0，b＞0，得出﹣5=0，求出a=25b，最后代入要求的式子约分即可得出答案．【解答】解：（1）∵x﹣2013≥0，∴x≥2013．∴x﹣2012+=x．∴=2012．∴x﹣2013=20122．∴x=20122+2013．∴x﹣20132=20122﹣20132+2013=﹣（2012+2013）+2013=﹣2012．（2）∵（+）=3（+5），∴a+=3+15b，∴a﹣2﹣15b=0，∴（﹣5）（+3）=0，∵a＞0，b＞0，∴﹣5=0，∴a=25b，∴原式===2．【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，用到的知识点是二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根的性质、平方差公式的应用，第（1）题求得x﹣2013=20122，第（2）求出a=25b是解题的关键．36．（2016•山西模拟）观察下列各式及其验证过程：（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反应的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并说明它成立．【分析】根据观察，可得规律，根据规律，可得答案．【解答】解：（1）5=验证：5====；（2）n=，证明：n====．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，运用n=的规律是解题关键．37．（2016•仙游县校级模拟）先化简，再求值：（+）÷，其中a=+1．【分析】利用通分、平方差公式等将原式化简为，代入a的值即可得出结论．【解答】解：原式=（+）÷，=•，=•，=．当a=+1时，原式==．【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将原式化简成．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原代数式进行化简，再代入数据求值是关键．38．（2016•高邮市一模）求不等式组的整数解．【分析】首先解不等式组，注意系数化“1”时，这两个不等式的系数为负数，不等号的方向要改变．还要注意题目的要求，按要求解题．【解答】解：整理不等式组，得∴∴∴；∴不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0．【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法．要注意系数化“1”时，系数是正还是负，正不等号的方向不变，负不等号的方向改变．还要注意审题，根据题意解题．39．（2016•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，则三角形的面积S=．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于6．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【分析】（1）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解；（2）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解．【解答】解：（1）p===9，S===6．答：这个三角形的面积等于6．（2）S=====．答：这个三角形的面积是．故答案为：6．【点评】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．40．（2016春•饶平县期末）已知：y=++，求﹣的值．【分析】首先根据二次根式中的被开方数必须是非负数，求出x的值是多少，进而求出y的值是多少；然后把求出的x、y的值代入化简后的算式即可．【解答】解：∵+有意义，∴，解得x=8，∴y=++=++=0+0+=∴﹣=﹣=﹣=﹣=﹣=【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
八年级初二数学数学二次根式的专项培优易错试卷练习题及解析
一、选择题1．（ ）A ．1B ．﹣1C ．D -2．下列各式中，运算正确的是（ ）A ＝﹣2B ＋C 4D ．＝23．下列运算中，正确的是( )A =B 1=C =D 2=4．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2；（32；（4；（5） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．已知：，，则a 与b 的关系是（ ） A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．平方相等 6．以下运算错误的是（ ）A =B ．2= CD 2=a ＞0）7．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．98．设0a >，0b >=的值是（ ） A ．2 B ．14 C ．12D ．3158 9．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）A B CD 10．下列运算错误的是（ ）A BC ．D 1=二、填空题11．已知x =()21142221x x x x -⎛⎫+⋅= ⎪-+-⎝⎭_________12．将(0)a a -<化简的结果是___________________.13．2==________．14．观察下列等式：第1个等式：a 11=，第2个等式：a 2=，第3个等式：a 3，第4个等式：a 42=， …按上述规律,回答以下问题：(1)请写出第n 个等式：a n =__________.(2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________15．已知函数1x f x x ，那么1f _____．16．已知：可用含x =_____．17．已知，n=1的值________．18_____．19．已知x ，y ，则x 2＋xy ＋y 2的值为______．20．已知2x =243x x --的值为_______．三、解答题21．（1）计算：（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中14a =．【答案】（1）2）82-a ，【分析】（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】（1）==；（2）(()8a a a a +--2228a a a =--+82a =-,当14a =时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭． 【点睛】本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．22．计算：（1)11（233÷【答案】（12+；（2）【分析】（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同．【详解】解：)1131-＝233÷3＝＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．23．已知x y ==求下列各式的值： (1)22x xy y -+； (2).y x x y+ 【答案】(1)72;(2)8. 【分析】计算出xy=12， （1）把x 2-xy+y 2变形为（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算；（2）把原式变形为2()2x y xy xy+-，然后利用整体代入的方法计算. 【详解】∵x =，y ==32∴xy=12, (1)22x xy y -+=（x+y ）2-3xy,=2132-⨯=72; (2)y x x y +=2212()22812x y xy xy -⨯+-==.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．24．（1|5-+；（2）已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=，求2(b a +的值．【答案】（1）5；（2）4【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可；（2）先根据二次根式有意义的条件确定b 的值，再根据非负数的和的意义确定a ，c 的值，然后再计算代数式的值即可．【详解】解：（15-+5)=+5=+5=（2）由题意可知：5050b b -≥⎧⎨-≥⎩, 解得5b =由此可化简原式得，30a +=30a ∴+=，20c -=3a ∴=-，2c =22((534b a ∴+=--=【点睛】可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．25．先化简，再求值：221()a b a b a b b a -÷-+-，其中a =2b =- 【答案】1a b -+，12-． 【分析】先把分式进行化简，得到最简分式，然后把a 、b 的值代入计算，即可得到答案．【详解】 解：原式1()()a b a b a a b a b b a b b --=⨯-⨯+-+ ()()a b a b a b b a b -=--++ ()b b b a =-+1a b=-+，当a =2b = 原式12==-． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．26．已知x²+2xy+y²的值.【答案】16【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算．本题解析：∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.27．（1）计算)(2201113-⎛⎫--•- ⎪⎝⎭（2）已知,,a b c 为实数且2c =2c ab -的值【答案】（1）13；（2）12-【分析】（1）利用完全平方公式、负整数指数幂、零指数幂分别计算再合并即可；（2）先依据二次根式有意义的条件，求得a 、b 、c 的值，然后再代入计算即可．【详解】（1）)(2201113-⎛⎫--•- ⎪⎝⎭31=+⨯=4+9=13；（2）根据二次根式有意义的条件可得：∵()2303010a a b ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪-+≥⎪⎩，∴3a =，1b =-，∴2c =∴(()2223112c ab -=-⨯-=-【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件以及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．28．计算：（1；（2）))213 【答案】（1）2）1-.【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案．（2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算．【详解】（1）原式==（2）原式=212---=1-.【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】解：原式=故选C ．2．C【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．【详解】A、原式＝2，故该选项错误；B＝，故该选项错误；C4，故该选项正确；D故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则是解题关键．3．C解析：C【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则对各项进行计算即可得到结果．【详解】不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；==，故此选项错误；D2故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答此题的关键．4．B解析：B【解析】根据立方根的意义，可知27的立方根是3，故（1a=正确，故（2）正=8，可知其平方根为±，故（3）不正确；根据算术平方根的意义，可知=，故=，故（48（5）正确.故选B.5．C【解析】 因为1a b ⨯==,故选C. 6．C解析：C【分析】利用二次根式的乘法法则对A 、B 进行判断；利用二次根式的化简对C 、D 进行判断．【详解】A ．原式=所以A 选项的运算正确；B ．原式＝所以，B 选项的运算正确；C ．原式==5，所以C 选项的运算错误；D ．原式＝2，所以D 选项的运算正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7．A解析：A【解析】根据题意得:|x 2–4x ，所以|x 2–4x +4|=0，即（x –2）2=0，2x –y –3=0，所以x =2，y =1，所以x +y =3．故选A ．8．C解析：C【分析】= 变形后可分解为：）＝0，从而根据a ＞0，b ＞0可得出a 和b 的关系，代入即可得出答案．【详解】由题意得：a ＝＋15b ，∴＋）＝0，＝，a ＝25b ，12． 故选C ．本题考查二次根式的化简求值，有一定难度，根据题意得出a和b的关系是关键．9．A解析：A【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】A是最简二次公式，故本选项正确；BCD=故选A．【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．10．D解析：D【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据分母有理化对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．【详解】AB计算正确，不符合题意；C、计算正确，不符合题意；D11=≠符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．二、填空题11．【分析】利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可.【详解】将代入得：故答案为：【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在解析：1-【分析】利用完全平方公式化简x =1x =；化简分式，最后将1x =代入化简后的分式，计算即可.【详解】1x =====()211422(2)(2)2221(2)(2)2(1)x x x x x x x x x x x -++-+-⎛⎫+⋅= ⎪-+--+-⎝⎭ 1x x =-将1x =1=-故答案为：1-【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简x =熟练掌握相关知识点是解题关键. 12．．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a ＜0．∴a －3＜0，∴==．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．解析：【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴(a-=-=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．13．【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m＝，n＝，那么m−n＝2①，m2＋n2＝()2＋()2＝34②．由①得，m＝2解析：13【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m n那么m−n＝2①，m2＋n2＝2＋2＝34②．由①得，m＝2＋n③，将③代入②得：n2＋2n−15＝0，解得：n＝−5（舍去）或n＝3，因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．n＋2m＝13．【点睛】此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．14．【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a1=，第2个等式：a2=，第3个等式：=1-【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a 11=，第2个等式：a 2=，第3个等式：a 3，第4个等式：a 42=， ……∴第n==（2）123(21)(32)(23)(1)n a a a a n n +++=-+-+-+++-=121n +++=1-；1-．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题15．【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.【详解】因为函数，所以当时， ．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.解析：2+【分析】根据题意可知1x =，代入原函数即可解答. 【详解】 因为函数1x f xx ，所以当1x =时， 211()2221f x ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 16．【解析】 ∵=，∴=== -==﹣x3+x ，故答案为：﹣x3+x.解析：211166x x -+ 【解析】∵x =-3==123=146+= -21116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=311166-+=﹣16x 3+116x ， 故答案为：﹣16x 3+116x. 17．【解析】根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得====． 故答案是：．【解析】根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得．18．6【分析】利用二次根式乘除法法则进行计算即可．【详解】＝＝＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．解析：6【分析】==进行计算即可． 【详解】＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键． 19．4【详解】根据完全平方公式可得：原式=－xy==5－1=4．解析：4【详解】根据完全平方公式可得：原式=2()x y +－xy=251515151)222=5－1=4． 20．-4【分析】把代入计算即可求解．【详解】解：当时，=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题解析：-4【分析】把2x =243x x --计算即可求解．【详解】解：当2x =243x x --((22423=---4383=--+=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
八年级初二数学 数学二次根式的专项培优易错试卷练习题及解析
三、解答题
21．计算及解方程组：
（1）
Hale Waihona Puke （2）（3）解方程组：【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可；
（2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可；
（3）根据abc＝1先将所求代数式转化： ， ，然后再进行分式的加减计算即可.
【详解】
解：（1）原式=
=
=
=
= ；
（2）∵ ，
∴2a+6=0，b－ =0，
∴a=－3，b= ；
（3）∵abc＝1，
∴ ， ，
∴原式=
=
=1.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.
24．已知m，n满足 ，求 的值.
【答案】
【解析】
【分析】
由 得出（ +2 ）2﹣2（ +2 ）﹣3＝0，将 看做整体可得 =-1（舍）或 =3，代入计算即可．
【详解】
解：∵ ＝3，
∴( )2+4 +(2 ）2﹣2（ +2 ）﹣3＝0，
即（ +2 ）2﹣2（ +2 ）﹣3＝0，
则（ +2 +1）（ +2 ﹣3）＝0，
(1)化简： ；
(2)计算： ；
(3)比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】（1） （2）2+2 + （3）＜
(完整版)《二次根式》培优试题及答案
《二次根式》提高测试〔一〕判断题：〔每题1分，共5分〕1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………〔〕【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．〔 〕【提示】231-＝4323-+＝－〔3＋2〕．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…〔〕【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1〔x ≥1〕．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…〔 〕【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．〔 〕29x +是最简二次根式．【答案】×．〔二〕填空题：〔每题2分，共20分〕6．当x __________时，式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法那么和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】〔a －12-a 〕〔________〕＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝〔 〕2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2〔x －1〕＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab 〔ab ＞0〕，∴ ab －c 2d 2＝〔cd ab +〕〔cd ab -〕．12．比拟大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比拟28，48的大小，再比拟281，481的大小，最后比拟－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·〔_________〕[－7－52．] 〔7－52〕·〔－7－52〕＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法那么和平方差公式． 14．假设1+x ＋3-y ＝0，那么(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数局部和小数局部，那么2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4，∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，那么其整数局部x ＝？小数局部y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数局部和小数局部时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数局部和小数局部就不难确定了． 〔三〕选择题：〔每题3分，共15分〕16．233x x +＝－x 3+x ，那么………………〔 〕〔A 〕x ≤0 〔B 〕x ≤－3 〔C 〕x ≥－3 〔D 〕－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】此题考查积的算术平方根性质成立的条件，〔A 〕、〔C 〕不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17．假设x ＜y ＜0，那么222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………〔 〕〔A 〕2x 〔B 〕2y 〔C 〕－2x 〔D 〕－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】此题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．假设0＜x ＜1，那么4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………〔〕〔A 〕x 2 〔B 〕－x 2〔C 〕－2x 〔D 〕2x【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】此题考查完全平方公式和二次根式的性质．〔A 〕不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0．19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………〔 〕〔A 〕a - 〔B 〕－a 〔C 〕－a - 〔D 〕a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………〔 〕〔A 〕2)(b a + 〔 B 〕－2)(b a -〔C 〕2)(b a -+-〔D 〕2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】此题考查逆向运用公式2)(a ＝a 〔a ≥0〕和完全平方公式．注意〔A 〕、〔B 〕不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义．〔四〕在实数范围内因式分解：〔每题3分，共6分〕21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】〔3x ＋5y 〕〔3x －5y 〕． 22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2．〔五〕计算题：〔每题6分，共24分〕23．〔235+-〕〔235--〕； 【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．〔a 2m n －m ab mn ＋m n n m 〕÷a 2b 2mn； 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝〔a 2m n－mab mn ＋mn n m 〕·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m m n ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221ba ab a +-． 26．〔a ＋ba abb +-〕÷〔b ab a +＋a ab b -－ab b a +〕〔a ≠b 〕． 【提示】此题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】此题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． 〔六〕求值：〔每题7分，共14分〕27．x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 【提示】先将条件化简，再将分式化简最后将条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】此题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y 〞、“x －y 〞、“xy 〞．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +〔22a x +－x 〕，x 2－x22a x +＝－x 〔22a x +－x 〕．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】此题如果将前两个“分式〞分拆成两个“分式〞之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1． 七、解答题：〔每题8分，共16分〕29．计算〔25＋1〕〔211+＋321+＋431+＋…＋100991+〕．【提示】先将每个局部分母有理化后，再计算． 【解】原式＝〔25＋1〕〔1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--〕＝〔25＋1〕[〔12-〕＋〔23-〕＋〔34-〕＋…＋〔99100-〕] ＝〔25＋1〕〔1100-〕 ＝9〔25＋1〕．【点评】此题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．假设x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x -＝|xy y x +|－|xy y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ y x ＜x y ．∴ 原式＝x y y x+－y x xy+＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解此题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
部编数学八年级下册二次根式的应用大题提升训练(重难点培优30题)【拔尖特训】2023年培优(含答案
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题16.6二次根式的应用大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022秋•桥西区期中）交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是v＝v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮划过的距离（单位：m），f表示摩擦系数，在某次交通事故调查中测得d＝20m，f＝1.2．（1）求肇事汽车的速度；（2）若此路段限速70km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？【分析】（1）直接用题目中速度公式和计算即可求出；（2）比较两个速度的大小即可．【解答】解：（1）当d＝20m，f＝1.2时，v＝=km/h），答：肇事汽车的速度是/h；（2）v＝78＞70，∴肇事汽车已经超速．2．（2022秋•社旗县期中）（1）计算：（﹣2x）3•（3x2﹣xy﹣1）（2）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t g≈9.8t/s2）．已知一幢大楼高78.4m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．【分析】直接将h＝78.4，g＝9.8代入公式计算即可．【解答】解：将h＝78.4，g＝9.8代入公式t得：t==4，答：落到地面所用时间为4s．3．（2022秋•南岸区校级期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的1）m1）m．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？【分析】（1）长方形ABCD的周长是2（m）；（2）先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖列式计算即可．【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2+2（+m），答：长方形ABCD的周长是m）；（2）购买地砖需要花费＝50××1）1）]＝50×（144﹣12）＝50×132＝6600（元）；答：购买地砖需要花费6600元．4．（2021秋•长安区期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC宽AB，长方形花坛的长为+11）米．（1）长方形ABCD的周长是（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式）【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×2（+，答：长方形ABCD的周长是（2）通道的面积=+1）1）＝100（平方米），购买地砖需要花费＝6×（100）＝600（元）．答：购买地砖需要花费600元；5．（2021秋•叙州区期末）已知△ABC2，记△ABC的周长为C△ABC．（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是（请直接写出答案）；（2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）；（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S=a、b、c，三角形的面积为S．若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．【分析】（1）把x＝2代入三角形的三边中，分别计算，比较后即可求解；（2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简即可求解；（3）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，代入公式求出三角形的面积．【解答】解：（1）当x＝23，2=4−2=2，∴△ABC的最长边的长度是3；（2）由题知：x+1≥04−x≥0，解得﹣1≤x≤4．=5−x，2=x，=2=5−x+x+5；∴C△ABC=5，﹣1≤x≤4，且x为整数，（3）∵C△ABC越大，∴x越大C△ABC1，4，∴当x＝4时，C△ABC+1＜4，∴不合题意舍去．当x＝3时，三边为2，2，3，∴S==6．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．==1+解决问题：（1=③③ 3+①： 5 ，②（2【分析】（1）模仿样例进行解答便可；（2）把28看成522，7看成222，借助完全平方公式将每个根号内化成完全平方数的形式，便可开方计算得结果．【解答】解：（13则①＝5，②=③＝3+故答案为：①5；③3（2==＝5+2+＝7．7．（2022秋•临汾期中）阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务：法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数F（n）可以表示为n−1n−1，其中n≥1．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）任务：（1）卢卡斯数列中的第1个数F（1）＝ 2 ，第2个数F（2）＝ 1 ；（2）卢卡斯数列有一个重要特征：当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣﹣1）+F（n﹣2）．请根据这一规律写出卢卡斯数列中的第6个数F（6）．【分析】（1）根据F（n）=n−1n−1，将n＝1，2分别代入计算即可求解；（2）根据当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），先求出F（4），F（5），再进一步求出F（6）．【解答】解：（1）F（1）＝1+1＝2，第2个数F（2）=221．故答案为：2；1；（2）∵F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），∴F（3）＝F（2）+F（1）＝1+2＝3；F （4）＝F（3）+F（2）＝3+1＝4，F （5）＝F（4）+F（3）＝4+3＝7，∴F（6）＝F（5）+F（4）＝7+4＝11．8．（2022秋•商水县校级月考）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=g≈10m/s2）．（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg 的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）【分析】（1）把60m代入公式t（2）先根据公式t=h，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断．【解答】解：（1）由题意知h＝60m，∴t==s），故从60m高空抛物到落地的时间为；（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由：当t＝3s时，3=∴h＝45，经检验，h＝45是原方程的根，∴这个玩具产生的动能＝10×0.2×45＝90（J）＞65J，∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．9．（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作．（1）求长方体盒子的容积；（2）求这个长方体盒子的侧面积．【分析】（1）结合题意可知该长方体盒子的长、宽都为，而长方体的容积为长×宽×高，即可得答案；（2）该长方体盒子的侧面为长方形，长为，共4个面，即可得答案．【解答】解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：2=cm3），答：长方体盒子的容积为3；（2）长方体盒子的侧面积为：×4=24（cm 2），答：这个长方体盒子的侧面积为24cm 2．10．（2022秋•中原区校级月考）小明同学在学习的过程中，看到北师大版八年级上册数学课本43页有这样小明想了想做出如下解答过程：“如图，大正方形的面积为82，2=2”=的图形并借助图形帮助小明解答这个问题．【分析】根据正方形的面积公式得到2个正方形的边长，利用图形得出边长的关系，进而得出答案．【解答】解：如图，大正方形的面积为2小正方形的面积为12，则小正方形的边长为观察图形可以得到大正方形边长是小正方形边长的2倍，11．（2022秋•洛宁县月考）如图，有一张长为，宽为的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．（1，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？（2）求这个长方体盒子的侧面积．【分析】（1）利用长方体的体积公式计算即可；（2）大长方形的面积减去4个小正方形的面积，再减去底面面积就是盒子的侧面积．（两个小长方形面积和两个大长方形面积和）【解答】解：（1）无盖长方体盒子的体积为：（×（×＝××＝cm3）；答：制作成的无盖长方体盒子的体积是3．（2）方法一，长方体盒子的侧面积为：×4××（（＝256﹣8﹣168＝80（cm2）；答：这个长方体盒子的侧面积为80cm2．方法二，长方体盒子的侧面积为：（×2+（×2＝×××2＝24+56＝80cm2．答：这个长方体盒子的侧面积为80cm2．12．（2021秋•钱塘区期末）（1）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是10，求这个长方形的周长．（2）如图，已知长方形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据长方形面积公式为长×宽，代入计算即可；（23【解答】解：（1）设长方形的宽为x，则长方形的长为2x，则x•2x＝10，解得x=，∴长方形的长为×2＝（2）由题意可知，大正方形的边长为3∴阴影部分的面积为（3×．13．（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．（1）求原矩形木板的面积；（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为12dm2和27dm2，∴这两个正方形的边长分别为和，∴原矩形木板的面积为45（dm2）；（2）最多能裁出3块这样的木条．理由如下：∵≈3.464≈1.732，3.46÷1≈3（块），1.73÷1.5≈1（块），3×1＝3（块）．∴从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能裁出3块这样的木条．14．（2022春•合阳县期末）海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式v=v表示海啸的速度（m/s），d表示海水的深度，g表示重力加速度9.8m/s2．若在海洋深度20m处发生海啸，求其行进的速度．【分析】把g与d的值代入公式计算即可求出v．【解答】解：∵d＝20m，g＝9.8m/s2，v∴v==14（m/s），则海啸行进的速度是14m/s．15．（2022春•周至县期末）在一个长为求剩余部分的面积．【分析】根据矩形的面积﹣正方形的面积即可得到剩余部分的面积．【解答】解：×（2＝60﹣（60﹣5）＝60﹣5＝（5）平方米，答：剩余部分的面积为（5）平方米．16．（2022春•济源期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a b c2，那么三角形的面积为S=【解决问题】：已知在△ABC中，AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5．（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积．（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．【分析】（1）直接代入海伦﹣秦九韶公式求解；（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，再用两直角边的积除以2求出面积即可．【解答】解：（l）∵AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5，∴p=47.58.52=10，∴S△ABC==15．即△ABC的面积为15；（2）∵AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5，∴A C2=42=16=644，B C2=(152)2=2254，A B2=(172)2=2894，∴A C2+B C2=644+2254=2894=A B2，∴∠C＝90°，∴S△ABC=12AC⋅BC=12×4×7.5=15．17．（2022春•石泉县期末）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h（单位：km），观测者能看到的最远距离为d（单位：km），则d≈R是地球半径，通常取6400km．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为5m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时观测者能看到的最远距离d约是多少千米？【分析】根据d≈R＝6400km，h＝0.005km代入计算即可．【解答】解：由R＝6400km，h＝5m＝0.005km，得d≈=8（km），答：此时观测者能看到的最远距离d约是8km．18．（2022春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC AB在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为+1)米，宽为米．（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？【分析】（1）根据矩形的周长＝（长+宽）×2计算即可；（2）先求出通道的面积，再算钱数即可．【解答】解：（1）+×2＝（+×2＝×2＝，答：矩形ABCD的周长为（22×+1）×1）＝×2×（13﹣1）＝80﹣24＝56（平方米），6×56＝336（元），答：购买地砖需要花费336元．19．（2022春•赣州期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）截出的两块正方形木料的边长分别为（2）求剩余木料的面积；（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 2 块这样的木条．【分析】（1，再对二次根式进行化简即可；（2）矩形的长为，宽为，再求面积即可；（3）剩余木条的长为，再由题意进行截取即可．【解答】解：（1=，故答案为：，；（2）矩形的长为=dm），宽为，∴剩余木料的面积＝（×18﹣32＝56﹣18﹣32＝6（dm2）；（3）剩余木条的长为，宽为=dm），∵3×1.51，∴能截出2×1＝2个木条，故答案为：2．20．（2022春•宁乡市期末）如图所示，将一个长宽分别为a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=12+b=x=【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；（2）把相应的值代入（1）进行运算即可．【解答】解：（1）剩余部分的面积为：ab﹣4x2；（2）当a=12+a=xab﹣4x2＝（（12﹣4×2＝144﹣12﹣8＝124．21．（2022春•梁平区期末）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt，已知导线的电阻为6Ω，1s时间导线产生30J的热量，求电流I的值．（结果用根式表示）【分析】将已知量代入物理公式Q＝I2Rt，即可求得电流I的值．【解答】解：通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt，所以电流I=故电流I．22．（2022春•雁塔区校级期末）请阅读下面材料，并解决问题：海伦——秦九韶公式海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p=a b c2，那么三角形的面积S=秦九韶（约1202﹣1261年），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式S=高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一个公式，所以海伦公式也称海伦﹣秦九韶公式．问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，请用海伦一秦九韶公式求△ABC的面积．【分析】代入公式，进行二次根式的化简．【解答】解：∵AB＝6，AC＝7，BC＝8，∴a＝8，b＝7，c＝6，∴S=23．（2021秋•龙岗区校级期中）平面几何图形的许多问题，如长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P=12（a+b+c），则有下列面积公式：S=；S=．（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积是（2）学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．①作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝ 14﹣x ；②请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；③利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．【分析】（1）利用两个公式分别代入即可；（2）①根据CD＝BC﹣BD可得答案；②在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得x的值；③根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：（1）P=12（a+b+c）=12×（5+6+7）＝9，由海伦公式可得S==由秦九昭公式可得S=故答案为：（2）①∵BC＝14，BD＝x，∴DC＝14﹣x，故答案为：14﹣x；②∵AD⊥BC，∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2，∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，解得x＝9；③由（2）得：AD=12，∴S△ABC =12⋅BC•AD=12×14×12＝84．24．（2022春•章贡区期末）小明家装修，电视背景墙长BC，宽AB，中间要镶一个长为m的大理石图案（图中阴影部分）．除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式）【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：由题意可得：××＝×＝＝m2），答：壁布的面积为2．25．（2021秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为米，宽AB，长方形花坛的长为+11米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（+2（++，答：长方形ABCD的周长是+，（2）通道的面积=＝（13﹣1）＝（平方米），购买地砖需要花费＝6×（）＝72（元）．答：购买地砖需要花费72元；26．（2020春•玄武区期中）数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a 、b 、c ，则这个三角形的面积为S p =12（a +b +c ），这个公式称为“海伦公式”．数学应用：如图，在△ABC 中，已知AB ＝9，AC ＝8，BC ＝7．（1）请运用海伦公式求△ABC 的面积；（2）设AC 边上的高为h 1，BC 边上的高h 2，求h 1+h 2的值．【分析】（1）根据海伦公式，代入解答即可；（2）根据三角形面积公式解答即可．【解答】解：（1）AB ＝c ＝9，AC ＝b ＝8，BC ＝a ＝7，p =12(a +b +c)=12，∴S =（2）∵S △ABC =12AC ⋅ℎ1=12BC ⋅ℎ2=∴ℎ1==ℎ2=∴ℎ1+ℎ2=27．（2022春•磁县期中）如图，正方形ABCD 的面积为8，正方形ECFG 的面积为32．（1）求正方形ABCD 和正方形ECFG 的边长；（2）求阴影部分的面积．【分析】（1）根据正方形的面积公式求得边长；（2）先求出直角三角形BFG 、ABD 的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，这就是阴影部分的面积．【解答】解：（1）正方形ABCD 的边长为：BC =正方形ECFG 的边长为：CF ==（2）∵BF ＝BC +CF ，BC ＝CF ＝∴BF ＝∴S △BFG =12GF •BF ＝24；又S △ABD =12AB •AD ＝4，∴S 阴影＝S 正方形ABCD +S 正方形ECFG ﹣S △BFG ﹣S △ABD＝8+32﹣24﹣4，＝12．28．（2022春•丰台区期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：对于两个数a ，b ，M =a b 2称为a ，b 这两个数的算术平均数，N =a ，b 这两个数的几何平均数，P =a ，b 这两个数的平方平均数．小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：（1）若a ＝﹣1，b ＝﹣2，则M ＝ −32 ，N P ＝ ；（2）小聪发现当a ，b 两数异号时，在实数范围内N 没有意义，所以决定只研究当a ，b 都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为a +b 的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N 2．①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M 2，P 2的图形；②借助图形可知当a ，b 都是正数时，M ，N ，P 的大小关系是 N ≤M ≤P ．（把M ，N ，P 从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．【分析】（1）将a ＝﹣1，b ＝﹣2分别代入M ，N ，P 求值即可得；（2）①分别求出M 2，P 2，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得N 2≤M 2≤P 2，由此即可得出结论．【解答】解：（1）当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，M =a b 2=−1−22=−32，N ==P ===故答案为：−32，（2）①M 2=(a b 2)2=(a b)24=(a−b)24ab 4=(a−b)24+ab ，则用阴影标出一个面积为M 2的图形如下所示：P 2=(a−b)22+ab ，则用阴影标出一个面积为P 2的图形如下所示：②由（2）①可知，N2≤M2≤P2，当且仅当a﹣b＝0，即a＝b时，等号成立，∵a，b都是正数，∴M，N，P都是正数，∴N≤M≤P，故答案为：N≤M≤P．29．（2022春•南部县校级月考）在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（1208年﹣1261年）提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式．在海伦（公元62年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）得出的，故我国称这个公式为海伦﹣秦九韶公式．它的表述为：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=（公式里的p为半周长即周长的一半）请利用海伦﹣秦九韶公式解决以下问题：（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为 4（2）四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，四边形ABCD的面积为 6+6（3）五边形ABCDE中，AB＝BC=CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，求出五边形ABCDE的面积．【分析】（1）根据题意应用二次根式的计算解答即可；（2）根据二次根式的计算解答即可；（3）根据二次根式的混合计算解答即可．【解答】解：（1）三边长分别为3、6、7故答案为：（2）∵四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，∴AC ＝5，∴△ABC 的面积=12×3×4=6，∴△ACD 的面积=∴四边形ABCD 的面积为：6+故答案为：6+（3）∵五边形ABCDE 中，AB ＝BC =CD ＝6，DE ＝8，AE ＝12，∠B ＝120°，∠D ＝90°，∴AC ＝6，∴△ABC 的面积=12×6=∴CE ＝10，∴△CDE 的面积为：12×6×8=24，∴AC ＝6，AE ＝12，CE ＝10，∴△ACE 的面积==∴五边形ABCDE 的面积为24+30．（2022春•岳麓区校级期中）已知a ，b 均为正整数．我们把满足x =2a +3b y =3a +2b 的点P （x ，y ）称为幸福点．（1）下列四个点中为幸福点的是 P 1（5，5） ；P 1（5，5）；P 2（6，6）；P 3（7，7）；P 4（8，8）（2）若点P （20，t ）是一个幸福点，求t 的值；（3）已知点P 11）是一个幸福点，则存在正整数a ，b 1=2a +3b =3a +2b，试问是否存在实数k 的值使得点P 和点Q （12a +k ，12b ﹣k ）到x 轴的距离相等，且到y 轴的距离也相等？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据a ，b 均为正整数，对a ，b 分类讨论，分别求出幸福点即可；（2）将P 点坐标分别代入x =2a +3b y =3a +2b 求出t 的值即可；（3）先表示出点P （2a +3b ，3a +2b ），再根据点P 和点Q 到x 轴的距离相等，到y 轴的距离也相等列出关系式求解即可．【解答】解：（1）∵a ，b 均为正整数，满足x =2a +3b y =3a +2b 的点P （x ，y ）称为幸福点，∴当a＝1，b＝1时，x＝5，y＝5，故P1（5，5）是幸福点，当a＝1，b＝2时，x＝8，y＝7，故（8，7）是幸福点，当a＝2，b＝1时，x＝7，y＝8，故（7，8）是幸福点，..．∴P1（5，5），P2（6，6），P3（7，7），P4（8，8）中只有P1（5，5）是幸福点，故答案为：P1（5，5）；（2）∵点P（20，t）是一个幸福点，∴2a+3b＝20，3a+2b＝t，∵a，b均为正整数，∴a＝1，b＝6或a＝b＝4或a＝7，b＝2，当a＝1，b＝6时，t＝15，当a＝b＝4时，t＝20，当a＝7，b＝2时，t＝25，∴t的值为15或20或25；（3）∵点P+11）是一个幸福点，则存在正整数a，b 1=2a+3b =3a+2b，∴消去m得，b＝a+2，∵P（2a+3b，3a+2b），Q（12a+k，12b﹣k），∴P（5a+6，5a+4），Q（12a+k，12a+1﹣k），∵点P和点Q到x轴的距离相等，∴有4种情况，①5a+6=12a+k5a+4=12a+1−k，解得，a＝﹣1（舍），k=3 2；②5a+6=12a+k5a+4=−12a−1+k，解得，a＝1，k＝10.5，∴b＝3，符合题意；③5a+6=−12a−k5a+4=12a+1−k，解得，a＝﹣3（舍），k=21 2；④5a+6=−12a−k5a+4=−12a−1+k，解得，a＝﹣1（舍），k=−1 2；∴当a＝1，b＝3，k＝10.5时，点P和点Q到x轴的距离相等，且到y轴的距离也相等．。
部编数学八年级下册二次根式的求值问题大题提升训练(重难点培优30题)【拔尖特训】2023年培优含答案
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题16.5二次根式的求值问题大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•灵宝市月考）若a=，b=，求下列代数式的值．（1）a2b+ab2；（2）a2﹣ab+b2．【分析】（1）根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出ab，a+b，再根据平方差公式计算；（2）根据完全平方公式计算．【解答】解：∵a=，b=，∴ab））＝4，a+b）+）＝（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×＝（2）a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝（2﹣12＝20﹣12＝8．2．（2022秋•龙岗区期中）已知a＝2b＝2（1）填空：a+b＝ 4 ，ab＝ ﹣2 ；（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．【分析】（1）根据二次根式的加法法则、乘法法则计算即可；（2）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算，得到答案．【解答】解：（1）∵a＝2+b＝2∴a+b＝（2+（24，ab＝（2（24﹣6＝﹣2，故答案为：4；﹣2；（2）a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）＝a2﹣3ab+b2+ab+a+b+1＝a2+2ab+b2﹣4ab+a+b+1＝（a+b）2﹣4ab+a+b+1＝42﹣4×（﹣2）+4+1＝16+8+4+1＝29．3．（2022秋•宁德期中）已知：x=y=（1）填空：|x﹣y|＝ （2）求代数式x2+y2﹣2xy的值．【分析】（1）根据二次根式的减法运算法则计算即可．（2）将代数式转化为（x﹣y）2，再分别求出x﹣y和xy的值，进而可得答案．【解答】解：（1）|x﹣y|＝||＝+=故答案为：（2）x2+y2﹣5xy＝（x﹣y）2，∵x﹣y=∴（x﹣y）2﹣3xy=(2=8．即代数式x2+y2﹣2xy的值为8．4．（2022秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）：(3+2=2=（2）把4+a+b）2的形式为 （1+（3）已知a，求代数式a2+2a+3的值．【分析】（1）用完全平方公式展开，再合并即可；（2）用完全平方公式可得答案；（3）将已知变形，可得a2+2a+1＝7，从而可得答案．【解答】解：（1）（32＝+2＝（12＝1﹣+5＝6﹣故答案为：6﹣（2）+2＝（1+2，故答案为：（1+2；（3）∵a=1，∴a+1=∴a2+2a+1＝7，∴a2+2a+3＝9．5．（2022秋•重庆期中）（1+⋯+（2）已知：a=a2+5a−1a的值．【分析】（1）先分母有理化，再相加合并同类二次根式；（2）将a的值分母有理化后代入计算即可．【解答】解：（1）原式=++...+（2）∵a2，∴a2+5a−1 a2）2+52）−1＝5﹣10+2）＝5﹣102＝﹣3．6．（2022秋•济南期中）已知x 2，y=2．（1）对x，y进行化简；（2）求x2+xy+y2的值．【分析】（1）利用分母有理化即可；（2）先计算出x +y ＝xy ＝2，再根据完全平方公式得到x 2+xy +y 2＝（x +y ）2﹣xy ，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）x =2=1，y =2=+1；（2）∵x =1，y =1，∴x +y ＝xy ＝3﹣1＝2，∴x 2+xy +y 2＝（x +y ）2﹣xy ＝（2﹣2＝10．7．（2022秋•x ＝5，y =15．【分析】利用二次根式的相应的法则进行化简，再代入相应的值运算即可．【解答】解：x−y=＝当x ＝5，y =15时，原式＝＝8．（2022秋•锦江区校级月考）已知x ＝2y ＝2+（1）求xy 2﹣x 2y 的值；（2）若x 的小数部分是a ，y 的整数部分是b ，求ax +by 的值．【分析】（1）利用提公因式法，进行计算即可解答；（2）先估算出22+a ，b 的值，然后代入式子中进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵x ＝2y ＝2+∴xy ＝（2（2+4﹣3＝1，y ﹣x ＝2+（222+=∴xy 2﹣x 2y＝xy（y﹣x）＝1×＝（2）∵1＜3＜4，∴12，∴3＜2+4，∴23，∴b＝3，∵12，∴﹣2＜−1，∴0＜21，∴20，小数部分＝20＝2∴a＝2∴ax+by＝（2（2+3（2＝7﹣＝13∴ax+by的值为139．（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x2，求代数式x2+4x﹣5的值；（2）已知x x3+x2+1的值．【分析】（1）仿照阅读材料解答即可；（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2，∴x+2=∴（x+2）22，∴x 2+4x ＝﹣1，∴x 2+4x ﹣5＝﹣6；（2）∵x =2，∴2x +1=∴（2x +1）22，变形整理得：x 2+x ＝1，∴x 3+x 2+1＝x （x 2+x ）+1＝x +1110．（2022秋•嘉定区月考）已知m =1，n =1，求m 2﹣mn +n 2的值．【分析】先根据分母有理化化简m 与n 的值，然后利用配方法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：m ==2n ==2，∴m +n ＝﹣mn ＝（2（2）＝﹣1，∴原式＝（m +n ）2﹣3mn＝12﹣3×（﹣1）＝15．11．（2022秋•虹口区校级期中）已知a +b ＝﹣4，ab ＝1，求：【分析】根据题意确定a 、b 的符号，根据二次根式的性质、完全平方公式把原式变形，代入计算即可．【解答】解：∵a +b ＝﹣4，ab ＝1，∴a ＜0，b ＜0，则原式＝﹣a b =（a b +b a）==•(a b)2−2abab＝﹣1×(−4)2−21＝﹣14．12．（2022春•彭州市校级月考）已知x=y （1）xy；（2）x2+3xy+y2．【分析】（1）利用平方差公式进行运算即可；（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．【解答】解：（1）xy=11=1 7−5=1 2；（2）x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝（11）2+122+1 22+12＝7+12＝712．13．（2022秋•海淀区校级期末）已知x=y x2+3xy+y2的值．【分析】把所求的式子变形成（x+y）2+xy的形式，然后代入数值计算即可．【解答】解：原式＝（x+y）2+xy，当x=y=原式＝（2+＝12+3﹣2＝14．14．（2022秋•嘉定区校级月考）已知x =1，求代数式1x −x 2−5x 4的值．【分析】利用分母有理化把x 的值化简，根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．【解答】解：x =1=2+4，∴原式=1x −=1x+x−4(x−4)(x−1) =1x +1x−1＝2+＝2+15．（2022秋•武侯区校级月考）已知a =b （1）a 2﹣ab +b 2；（2）b a+a b ．【分析】利用分母有理化把a 、b 化简，根据二次根式的加法法则求出a +b ，根据二次根式的乘法法则求出ab ；（1）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；（2）根据分式的加法法则、完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．【解答】解：a ===3﹣b ==则a +b ＝3﹣+6，ab ＝（3﹣（1，（1）a 2﹣ab +b 2＝（a +b ）2﹣3ab＝36﹣3＝33；（2）b a +a b =a 2b 2ab =(a b )2−2ab ab=34．16．（2022秋•安溪县校级月考）已知x =1，y =1．①化简x 和y ．②求代数式x 2y +xy 2的值．【分析】①利用分母有理化化简x 和y ；②先计算出x +y 与xy 的值，再利用因式分解法得到x 2y +xy 2＝xy （x +y ），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：①x ==2y =12②∵x +y ＝4，xy ＝4﹣3＝1，∴x 2y +xy 2＝xy （x +y ）＝1×4＝4．17．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a =1．求2a 2﹣8a +1的值，他是这样分析与解的：∵a =12a ﹣2=∴（a ﹣2）2＝3，a 2﹣4a +4＝3∴a 2﹣4a ＝﹣1∴2a 2﹣8a +1＝2（a 2﹣4a ）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简111⋯（2（填“＞”或“＜”）（3）A 题：若a =+1，则a 2﹣2a +3＝ 4 ．B 题：若a 1，则4a 2﹣+7＝ 5 ．【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；（2（3）A 题：由a =+1，可得a ﹣1=（a ﹣1）2＝2，从而可得a 2﹣2a ＝1，进一步求解即可；B 题：由a =1，可得a 2a 1，两边同时作平方，可得4a 2=−2，进一步求解即可．【解答】解：（1⋯=+⋯==；（2）1=故答案为：＞；（3）A 题：∵a =1，∴a ﹣1=∴（a ﹣1）2＝2，即a 2﹣2a +1＝2，∴a 2﹣2a ＝1，∴a 2﹣2a +3＝4，故答案为：4；B 题：∵a 1，∴a∴2a 1，∴2=1，即4a 2+3=1，∴4a 2=−2，∴4a 2﹣+7＝5，故答案为：5．18．（2022秋•榆树市月考）已知a ＝4﹣b ＝（1）求ab ，a ﹣b 的值；（2）求2a 2+2b 2﹣a 2b +ab 2的值．【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和二次根式的减法法则求出即可；（2）先分解因式得出原式＝2[（a ﹣b ）2+2ab ]﹣ab （a ﹣b ），代入后根据二次根式的运算法则进行计算即可．【解答】解：（1）∵a＝4﹣b＝∴ab＝（4﹣×（＝42﹣（2＝16﹣12＝4；a﹣b＝（4﹣＝4﹣4﹣＝﹣（2）由（1）知：ab＝4，a﹣b＝﹣所以2a2+2b2﹣a2b+ab2＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）＝2×[（﹣2+2×4]﹣4×（﹣＝2×（48+8）＝2×＝19．（2022秋•沈阳月考）已知：x=y=（1）填空：|x﹣y|＝ 2（2）求代数式x2+y2﹣5xy的值．【分析】（1）根据二次根式的减法运算法则计算即可．（2）将代数式转化为（x﹣y）2﹣3xy，再分别求出x﹣y和xy的值，进而可得答案．【解答】解：（1）|x﹣y|＝||＝+=故答案为：（2）x2+y2﹣5xy＝（x﹣y）2﹣3xy，∵x﹣y=xy×3﹣2＝1，∴（x﹣y）2﹣3xy=(2−3×1＝8﹣3＝5．即代数式x2+y2﹣5xy的值为5．20．（2021秋•苏州期中）已知x=y（1）x2﹣y2；（2）x2﹣2xy+y2．【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可；（2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可．【解答】解：（1）当x y=原式＝（x+y）（x﹣y）×＝2×（1＝2﹣（2）当x=y原式＝（x﹣y）22＝（12＝1﹣2＝3﹣21．（2022春•阳新县期末）计算：（1）（2+22﹣；（2）化简求值：已知a=1，求a2−a−a28a16a4的值．【分析】（1）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则运算；（2）先利用完全平方公式和二次根式的性质化简得到原式=a(a−1)|a−1|−（a+4），再利用a的值去绝对值，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝2﹣12＝18；（2）原式a=a(a−1)|a−1|−（a+4），∵a1，∴a﹣1=2＞0，∴原式=a(a−1)(a−1)−a﹣4＝a﹣a﹣4＝﹣4．22．（2021秋•洛宁县月考）学习了二次根式的乘除后，李老师给同学们出了这样一道题：已知a，解：原式=a−1(a1)(a−1)=1a1．当a时，原式11=李老师看了之后说：小明错误地运用了二次根式的性质，请你指出小明错误地运用了二次根式的哪条性质，并写出正确的解题过程．|a|这条性质；利用a=1得到a﹣1＜0，则原式=−(a−1)(a1)(a−1)，约分得到原式=−1a1，然后把a的值代入计算即可．|a|这条性质；正确解法为：原式=|a−1|(a1)(a−1)，∵a1，∴a﹣1＜0，∴原式=−(a−1) (a1)(a−1)=−1 a1=−11=23．（2019春•番禺区月考）已知x=+1，y=1，求下列各式的值：（1）x2+2xy+y2，（2）yx−xy【分析】（1）将所求式子因式分解得到x 2+2xy +y 2＝（x +y ）2，再将已知代入即可；（2）化简所求式子得到y x −x y =(y x)(y−x)xy，再将已知代入．【解答】解：（1）∵x +1，y 1，∴x 2+2xy +y 2＝（x +y ）211）2＝（2＝12；（2）y x −x y =y 2−x 2xy =(y x)(y−x)xy ==−24．（2021春•江汉区期中）（1）已知x =2，y =2，求下列各式的值：①1x+1y ；②x 2﹣xy +y 2；（2+=8【分析】（1）①根据x =+2，y =2，可以得到xy 、x +y 的值，然后即可求得所求式子的值；②将所求式子变形，然后根据x =2，y 2，可以得到xy 、x +y 的值，从而可以求得所求式子的值；（2）根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）①1x+1y =y x xy ，∵x +2，y 2，∴x +y ＝xy ＝3，当x +y ＝xy ＝3时，原式=②x 2﹣xy +y 2＝（x +y ）2﹣3xy ，∵x +2，y 2，∴x +y ＝xy ＝3，当x +y ＝xy ＝3时，原式＝（2﹣3×3＝19；（2=x y ，则39﹣a 2＝x 2，5+a 2＝y 2，∴x 2+y 2＝44，8，∴（x +y ）2＝64，∴x 2+2xy +y 2＝64，∴2xy ＝64﹣（x 2+y 2）＝64﹣44＝20，∴（x ﹣y ）2＝x 2﹣2xy +y 2＝44﹣20＝24，∴x ﹣y ＝±4＜−故答案为：﹣25．（2020春•海陵区校级期中）当a +1a a 的值．【分析】根据二次根式的性质、分式的混合运算法则计算即可．【解答】解：∵a =∴a ﹣1＜0，∴原式=1a a =1−a a(a−1)+1a a=−1a +1a a ＝1．26．（2019秋•|b−3|=0（1）求1（2）设x =y =，求1x+1y 的值．【分析】（1）先利用非负数的性质得到a ＝2，b ＝3+和二次根式的除法法则运算；（2）由于x y =，则1x +1y =11，然后分母有理化后合并即可．【解答】解：（1+|b−3|=0，∴a ﹣2＝0，b ﹣3＝0，∴a ＝2，b ＝3，∴1=1（2）∵x ==y +∴1x +1y =11+=27．（2018秋•东营区校级期中）求值：（1）已知a ＝b ＝3﹣a 2+ab +b 2的值；（2）已知：y 25﹣3x 的值．【分析】（1）根据a ＝b ＝3﹣a +b ）2﹣ab 进行计算即可；（2）依据被开方数为非负数，即可得到x =23，进而得出y ＞2+5﹣3x 的值．【解答】解：（1）∵a ＝b ＝3﹣∴a 2+ab +b 2＝a 2+2ab +b 2﹣ab＝（a +b ）2﹣ab＝36﹣1＝35；（2）∵3x−2≥02−3x ≥0，∴x ≥23x ≤23，∴x =23，∴y ＞2，5﹣3x5﹣3x =|y−2|−(y−2)+5﹣3x＝﹣1+5﹣3x＝4﹣3x ＝4﹣3×23＝2．28．（2022秋•灞桥区校级月考）已知a =1，b 1，求代数式【分析】先将a ，b 分母有理化，再计算出a ﹣b 与ab 而可得出答案．【解答】解：∵a ==b =1=∴a ﹣b =ab ＝1，=29．（2022春•藁城区校级期中）求代数式a a ＝1011，如图所示的是小亮和小芳的解答过程．（1） 小亮 的解法是错误的；（2）求代数式a a ＝﹣2022．【分析】（1）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断；（2）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，最后代入求值．【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，理由如下：原式＝a +∵a ＝1011，∴1﹣a ＜0，∴原式＝a +a ﹣1＝2a ﹣1＝2×1011﹣1＝2021，故答案为：小亮；（2）原式＝a ∵a ＝﹣2022，∴a ﹣3＜0，∴原式＝a +2（3﹣a ）＝a +6﹣2a＝6﹣a＝6﹣（﹣2022）＝6+2022＝2028．30．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因11．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘，2（1）请你写出3+的有理化因式： 3−（2b ≥0且b ≠1）；（3）已知a 1，b =1，求【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；（3）通过分母有理化可化简a 、b ，从而求出a +b 、ab =a +b ，ab 的值代入即可求解．【解答】解：（1）∵（3+（39﹣11＝﹣2，∴33故答案为：3（2）1−b＝1（3）∵a =1=2，b 1=2∴a +b ＝﹣ab ＝﹣1，===＝4．。
八年级初二数学 数学二次根式的专项培优练习题(含答案
一、选择题1．下列运算中，正确的是 ( ) A ．3 B ．×=6 C ．3D ．2．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） ABCD3．若01x <<=( ). A ．2xB ．2x-C ．2x -D ．2x4．下列计算结果正确的是（ ） AB．3= C=D=5．下列等式正确的是（ ） A7=-B3=C．5D．=6．下列各式中，运算正确的是（ ） A＝﹣2B＋C4D ．＝27．下列运算中，正确的是( )A=3 B ．=-1 CD ．38．当4x =-的值为（ ）A ．1BC ．2D ．39．设0a >，0b >=的值是（ ） A ．2B ．14C ．12D ．315810．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞0B ．x ＞3C ．x ≥3D ．x ≤3二、填空题11．计算（π-3）02-211(223)-4--22--（）的结果为_____． 12．实数a 、b 满足22a -4a 436-12a a 10-b 4-b-2+++=+，则22a b +的最大值为_________．13．若()()22223310x y x y +++-+=，则222516x y +=______.14．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行7223 10 11 233第行13 154 1732 19254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）．15．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.16．计算：652015·652016＝________． 17．11122323-=11113-23438⎛⎫= ⎪⎝⎭11114-345415⎛⎫=⎪⎝⎭据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________． 18．化简(32)(322)+-的结果为_________.19．如果0xy >，化简2xy -__________．20．代数式4x -有意义，则x 的取值范围是_____．三、解答题21．计算：1123124231372831+--+÷⨯-．【答案】533121- 【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法. 【详解】1123124231372831+--+÷⨯-=481323(31)32(32)37228++--+⨯⨯⨯ =46233132337++--+ =533121-. 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.22．先化简，再求值：a+212a a -+，其中a ＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮（2（a ＜0）（3）原式＝a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.23．-10 【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可 【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．24．计算：（1）+（2(33+-【答案】（1）2） -10 【分析】（1）原式二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案；（1）原式第一项运用二次根式的性质进行化简，第二项运用平方差公式进行化简即可． 【详解】解：（1）+===（2(33 +-=5+9-24=14-24=-10．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．25．计算：（1）12⎛⎫⎪⎝⎭（2）(4【答案】（1）-5;（2）9【分析】（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果；（2）利用平方差公式计算即可．【详解】（1）12⎛⎫⎪⎝⎭41=--，5=-；（2）(4167=-9=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．26．一样的式子，其实我3====，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：221111===-=（12）化简：2n +++【答案】（1-2. 【解析】试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．试题解析：（1）=====（2）原式=122n ++++=12. 考点：分母有理化．27．(1)已知a 2+b 2=6，ab =1，求a ﹣b 的值； (2)已知b =，求a 2+b 2的值． 【答案】（1）±2；（2）2． 【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解． 【详解】（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4， （a-b ）2=4， a-b=±2．（2）a ===12b ===，2222()22312a b a b ab +=+-=-=-=⎝⎭【点睛】本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．28．（1）计算：21)-（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =【答案】（1）5-2 【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数， ∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．【详解】A、A选项错误；B、×=12，所以B选项错误；C、3，所以C选项正确；D、，不能合并，所以D选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．2．D解析：D【分析】根据直角二次根式满足的两个条件进行判断即可．【详解】被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项A错误；=被开方数中含分母，不是最简二次根式，故选项B错误；=被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项C错误；是最简二次根式，故选项D正确.故选D．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式是最简二次根式．3．D解析：D【分析】根据二次根式的意义先化简各项，再进行分式的加减运算可得出解.【详解】解：∵0＜x＜1，∴0＜x ＜1＜1x， ∴10x x +>，10x x-<．原式=11x x x x+-- =11x x x x ++- =2x ． 故选D ．点睛：本题考查了二次根式的性质和绝对值化简，也考查了分式的加减.4．C解析：C 【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、分母有理化逐一进行计算判断即可． 【详解】A 不能合并，故A 选项错误；B ．-=B 选项错误；C =D==D 选项错误， 故选C ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，熟练掌握各运算法则是解题的关键．5．B解析：B 【分析】根据二次根式的性质求出每个式子的值，再得出选项即可． 【详解】解：AB 3=，故本选项符合题意；C 、5=-，故本选项不符合题意；D 、=-，故本选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．6．C解析：C【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．【详解】A、原式＝2，故该选项错误；B＝，故该选项错误；C4，故该选项正确；D故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则是解题关键．7．D解析：D【分析】根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得．【详解】=+=，此项错误A314==，此项错误B、2===⨯=，此项错误C2428=，此项正确D、3故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟记二次根式的运算法则是解题关键．8．A解析：A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式2223232323x x x x112323x x 将4x =代入得， 原式11423423 221113133113 133131131=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．9．C解析：C【分析】=变形后可分解为：）＝0，从而根据a ＞0，b ＞0可得出a 和b的关系，代入即可得出答案．【详解】由题意得：a＝＋15b ，∴＋）＝0，＝，a ＝25b ， 12． 故选C ．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，有一定难度，根据题意得出a 和b 的关系是关键．10．C解析：C【详解】解：根据题意得：x-3≥0解得：x≥3故选C.二、填空题11．﹣6【解析】根据零指数幂的性质，二次根式的性质，负整指数幂的性质，可知（π-3）0=1﹣（3﹣2）﹣4×﹣4=1﹣3+2﹣2﹣4=﹣6.故答案为﹣6．解析：﹣6【解析】根据零指数幂的性质01(0)a a =≠，二次根式的性质，负整指数幂的性质1(0)p p a a a -=≠，可知（π-3）0-21-2（）=1﹣（3﹣）﹣4×2﹣4=1﹣﹣﹣4=﹣6. 故答案为﹣6．12．【分析】首先化简，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出的最大值．【详解】解析：【分析】10-b 4-b-2=+，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出22a b +的最大值．【详解】10-b 4-b-2=+，1042b b =-+--， ∴261042a a b b -+-=-+--， ∴264210a a b b -+-+++-=，∵264a a -+-≥，426b b ++-≥，∴ 264a a -+-=，42=6b b ++-，∴2≤a≤6，-4≤b≤2，∴22a b +的最大值为()226452+-=，故答案为52．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 13．【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】移项得，两边平方得，整理得，两边平方得，所以，两边除以400得，1.故答案为1.【点睛】解析：【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】10=-两边平方得，()()22223=1003x y x y ++--+整理得，253x =- 两边平方得，22225150225256251509x x y x x -++=-+ 所以，221625400x y +=两边除以400得，222516x y +=1. 故答案为1.【点睛】本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.14．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．15．【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第解析：【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，∴(5，4)与(9，4)故答案为16．【解析】原式=.故答案为.【解析】原式=20152015=17．【解析】上述各式反映的规律是(n ⩾1的整数),得到第5个等式为： (n ⩾1的整数).故答案是： (n ⩾1的整数).点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;=【解析】上述各式反映的规律是=n ⩾1的整数),得到第5==n ⩾1的整数).=n ⩾1的整数). 点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;第二步,找规律,分别比较等式中各部分与序号之间的关系,把其蕴含的规律用含序数的代数式表示出来;第三步,根据找出的规律得出第n 个等式.18．1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.解析：1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=(223981-=-=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键. 19．【分析】由，且，即知，，据此根据二次根式的性质化简可得．【详解】∵，且，即，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．解析：-【分析】由0xy >，且20xy -≥，即•0y xy -≥知0x <，0y <，据此根据二次根式的性质化简可得．【详解】∵0xy >，且20xy -≥，即•0y xy -≥，∴0x <，0y <，==-故答案为：-【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．20．x ＞4【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x ﹣4＞0，解得，x ＞4，故答案为：x＞4．【点睛】本题主要考查的是二次根解析：x＞4【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
部编数学八年级下册专题二次根式的乘除专项提升训练【拔尖特训】2023年培优(解析版)【人教版】含答案
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题16.2二次根式的乘除专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•平阴县期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）A．1B C D．1【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答．【解答】解：A、1不是二次根式，故A不符合题意；B B符合题意；C C不符合题意；DD不符合题意；故选：B．2．（2022秋•北碚区校级期中）下列计算中，正确的是（ ）A．2=−2B=−2C D×4【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可．【解答】解：（2＝2≠﹣2，故A错误；=2≠﹣2，故B错误；C错误；=4，故D正确．故选D．3．（2022秋•辉县市校级月考）计算：3÷1的值为（ ）A B．3C D．9【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案．【解答】解：3÷=×1故选：A ．4．（2022秋•渝中区校级月考）下列计算正确的是（ ）A =−3B =2C 213D ．2=10【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别计算，进而判断得出答案．【解答】解：A =3，故此选项不合题意；B 2，故此选项符合题意；C ==D ．（﹣2＝20，故此选项不合题意；故选：B ．5．（2022秋•小店区校级月考）下列各式的化简正确的是（ ）A ⋅=（﹣2）×（﹣7）＝14B =C==D 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：A 、原式=×=2×7＝14，故A 不符合题意．B 、原式==B 不符合题意．C 、原式C 符合题意．D 、原式D 不符合题意．故选：C．6．（2022•吴中区模拟）实数a，b|a+b|结果为（ ）A．2a﹣b B．﹣2a﹣b C．﹣b D．3b【分析】利用二次根式的性质，绝对值的意义化简即可．【解答】解：由题意：b＜a＜0，∴a＜0，a+b＜0．|a+b|＝﹣a﹣a﹣b＝﹣2a﹣b，故选：B．7．（2022春•遵义期中）当x＝﹣3时，m等于（ ）A B C D【分析】把x＝﹣3代入解答即可．【解答】解：当x＝﹣3时，原式＝＝∵∴m=故选：B．8．（2022春•x的取值范围是（ ）【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：x−2≥0x＞0，解得：x≥2，故选：D．9．（2022春•云阳县期中）若2＜a＜3A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5D．2a﹣1【分析】先根据2＜a＜3把二次根式开方，得到a﹣2﹣（3﹣a），再计算结果即可．【解答】解：∵2＜a＜3，＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5．故选：C．10．（2022春•长兴县月考）已知a＝2020×2022﹣2020×2021，b=c=则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】分别将a、b、c分别平方，再利用完全平方公式化简后对平方进行比较即可．【解答】解：∵a＝2020×2022﹣2020×2021＝2020×（2022﹣2021）＝2020，∴a2＝20202，∵b∴b2＝20232﹣4×2022＝（2022+1）2﹣4×2022＝（2022﹣1）2＝20212，∵c∴c2＝20212﹣1，∵20202＜20212﹣1＜20212，即a2＜c2＜b2，∵a、b、c都是大于0的数，∴a＜c＜b．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•朝阳区期中）计算：2= 13 ．【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案．【解答】解：2=13．故答案为：13．12．（2022秋• ．【分析】根据二次根式的性质计算即可．13．（2022秋•3﹣x 成立，则x 满足的条件是 x ≤3 ．3﹣x ，得到x ﹣3≤0，然后解不等式即可．3﹣x ，∴x ﹣3≤0，解得x ≤3．故答案为：x ≤3．14．（2022秋•嘉定区校级月考）计算： −【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式==−13×=故答案为：15．（2022秋•= 2a ．【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．【解答】解：∵b ＜a ＜0＜﹣a ＜2＜﹣b ，∴a +2＞0，b ﹣2＜0，a ﹣b ＞0，∴原式＝|a +2|﹣|b ﹣2|+|a ﹣b |＝a +2+（b ﹣2）+a ﹣b＝a +2+b ﹣2+a ﹣b＝2a ，故答案为：2a ．16．（2022•南京模拟）若a ＜b 可化简为 b ﹣a ．−a（a＜0）化简即可．【解答】解：∵a＜b，∴a﹣b＜0，=b﹣a，故答案为b﹣a．17．（2022春•x的取值范围为 −12≤x＜1 ．【分析】根据商的算术平方根的性质即可得到结果．∴2x+1≥0 1−x＞0，解得：−12≤x＜1，故答案为：−12≤x＜1．18．（2022春•==…=a，b为正整数），则a+b＝ 73 ．n≥1的正整数），令n＝8求出a与b的值，即可确定出a+b的值．【解答】解：根据题中的规律得：a＝8，b＝82+1＝65，则a+b＝8+65＝73．故答案为：73．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022秋•清水县校级月考）把下列二次根式化成最简二次根式：（1（2（3（4【分析】依据二次根式的性质以及分母有理化进行化简，即可得到最简二次根式．【解答】解：（1（2=（3=（4）1．20．（2022春•宁武县期末）计算：（1×；（2×．【分析】（1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．（2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式=23（﹣=23×2（﹣×（﹣＝﹣（2）原式=×（=（×（=−23．21．（2022春•赵县月考）化简：（1（2（3（4【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则即可求出答案．（2）根据二次根式的性质即可求出答案．（3）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．（4）根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：（1）原式=12×2（2）原式=＝（3）原式（4）原式=22．（2022春•江阴市校级月考）计算或化简：（1）2（2）如图，实数a、b【分析】（1）根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则计算即可；（2）根据数轴求出a、b的范围，根据二次根式的性质、绝对值的性质计算即可．【解答】解：（1）原式＝4＝（2）由数轴可知：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，则原式＝﹣a﹣b﹣（b﹣a）＝﹣a﹣b﹣b+a＝﹣2b．23．（2022秋•新蔡县校级月考）发现①2＝ 2 ，2＝ 23 ；② 2 ；= 23 ；总结通过①②2（a≥0）与a a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；应用2的值．【分析】发现：①利用有理数的乘方的计算方法进行计算即可；②利用算术平方根的定义进行计算即可；总结：根据有理数的乘方的计算方法以及算术平方根的定义进行总结即可；应用：根据数m在数轴上的位置，确定m+2，m﹣1的符号，再根据上述结论进行解答即可．【解答】解：发现：①2＝2，2=2 3，故答案为：2，2 3；|2|＝2=|−23|=23，故答案为：2，2 3；总结：2＝a（a≥0）=|a|=a(a≥0)−a(a＜0)；应用：由数m在数轴上的位可知，﹣2＜m＜﹣1，∴m+2＞0，m﹣1＜0，3﹣m＞0，∴原式＝2（m+2）+1﹣m+3﹣m＝8，2＝8．24．（2022秋•=x，y为正整数）．材料二：观察、思考、解答：)2=2−2×1×12=+1=3﹣==)2．∴3﹣)2；1．（1（2a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示a和b；（3）由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2+n2的值．【分析】（1）把6写成5+1，利用上面的材料可得结论；（2）观察上面的两个材料得结论；（3）根据（2）先得到m、n与a、b的关系，再利用完全平方公式的变形得结论．【解答】解：（1====1．（2a，b，m，n均为正整数），则m+n＝a，mn＝b．（3）由于m、n、a、b=a，b，m，n均为正整数），∴m+n＝4，mn＝3．∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝16﹣2×3＝10．。
八年级初二数学 数学二次根式的专项培优练习题(附解析
一、选择题1．下列各式中，运算正确的是（ ）A 2=-B 4=C =D ．2=2．,a ==b a 、b 可以表示为 （ ） A ．10a b+ B ．10-b aC ．10ab D ．b a3．a 的值可能是（ ） A ．2-B ．2C ．32D ．84．若 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x >B ．3x ≥C ．3x ≤D ．x 是非负数5．下列二次根式是最简二次根式的是( )A BCD 6．下列方程中，有实数根的方程是（ ）A 0=B 10=C 2=D 1=．7．x 的取值范围是（ ） A ．13x ≥B ．13x >C ．13x ≤D ．13x <8．1在3和4中x 的取值范围是1x ≥-；③3；④5=-；⑤1528->．其中正确的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．是同类二次根式，那么a 的值是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．210．下列运算一定正确的是( )A a =B =C ．222()a b a b ⋅=⋅D ()0na m=≥ 二、填空题11．已知实数,x y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--的值为______.12．实数a 、b 满足22a -4a 436-12aa 10-b 4-b-2+++=+，则22a b +的最大值为_________．13．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()22b a b +-﹣|a +b |的结果是_____．14．已知a 73+a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 15．14(1)(1)(2)(8)(9)x x x x x x +⋅⋅⋅=+++++的解是______．16．已知|a ﹣20072008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____． 17．已知整数x ，y 满足20172019y x x =+--，则y =__________．18．20n n 的最小值为___ 19．化简(32)(322)+-的结果为_________. 20．4x -x 的取值范围是_____三、解答题21．若x ，y 为实数，且y 14x -41x -12．求x y y x ++2－xy y x +-2的值． 2 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x ≥0且4x ﹣1≥0，解得x =14，此时y =12．即可代入求解． 【详解】解：要使y 有意义，必须140410x x -≥⎧⎨-≤⎩，即1414x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩∴ x ＝14．当x ＝14时，y ＝12．又∵x y y x ++2－x yy x +-22x y y x ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭2x y yx ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝xy y x －x y y x|∵x＝14，y＝12，∴xy＜yx．∴+当x＝14，y＝12时，原式＝．【点睛】（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．22．已知x=2，求代数式（7+x2+（2）x【答案】2【解析】试题分析：先求出x2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.试题解析：x2=（2）2=7﹣则原式=（7﹣+（2=49﹣23．-10【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=() 212 --10+．10．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．+24．计算：（1）+-（2(33【答案】（1）2） -10【分析】（1）原式二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案；（1）原式第一项运用二次根式的性质进行化简，第二项运用平方差公式进行化简即可．【详解】+解：（1）===+-（2(33=5+9-24=14-24=-10．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．25．【分析】先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【详解】．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，在进行此类运算时，先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．26．计算：（1) 11（233÷【答案】（12+；（2）【分析】（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同．【详解】解：) 1131-＝23＝＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．27．先化简，再求值：2222212⎛⎫----÷⎪-+⎝⎭x y x yxx x xy y，其中x y==．【答案】原式x yx-=-，把x y==代入得，原式1=-.【详解】试题分析：先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可．试题解析：2222212⎛⎫----÷⎪-+⎝⎭x y x yxx x xy y()()()222=x y x y x x x x x x y x y -⎛⎫---⋅ ⎪+-⎝⎭=y x x y x x y ---⋅+ x yx-=-把x y ==代入得：原式1==-+考点：分式的化简求值．28．先阅读下面的解题过程，然后再解答.a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==±>.这里7m =，12n =， 由于437+=，4312⨯=，所以22+==，2===.. 【答案】见解析 【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法． 【详解】根据题意，可知13m =，42n =， 由于7613+=，7642⨯=，所以2213+=，====【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】=（a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可． 【详解】A 2=，故原题计算错误；B =，故原题计算正确；C =D 、2不能合并，故原题计算错误； 故选B ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则．2．C解析：C 【分析】化简即可． 【详解】10ab． 故选C ． 【点睛】的形式． 3．B解析：B【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【详解】∴a≥0，且a故选项中-2，32，8都不合题意，∴a的值可能是2．故选：B．【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．4．B解析：B【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【详解】有意义的x的取值范围是：x≥3．故选：B．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是正确掌握定义和二次根式有意义的条件．5．B解析：B【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【详解】解：ABC0.1，故此选项错误；D故选：A．【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．6．C解析：C【分析】k =的形式，再根据二次根式成立的条件逐个进行判断即可． 【详解】 解：A 、x 2+4=0，此时方程无解，故本选项错误；B 10=，1-， ∵算术平方根是非负数， ∴此时方程无解，故本选项错误；C 2=， ∴x+1=4， ∴x=3， 故本选项正确；D 1=， ∴x-3≥0且3-x ≥0， 解得：x=3，代入得：0+0=1，此时不成立，故本选项错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，能根据二次根式成立的条件进行判断是解此题的关键．7．C解析：C 【分析】根据二次根式的性质：被开方数大于或等于0，列不等式求解． 【详解】 解：依题意有当130x -≥时，原二次根式有意义； 解得：13x ≤； 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的基本性质（被开方数大于或等于0）；解一元一次不等式，在解一元一次不等式的过程中要用到不等式的基本性质（1．不等式两边同时加上或同时减去一个数，不等号的方向不变；2．不等式两边同时乘以或同时除以一个正数，不等号的方向不变；3．不等式两边同时乘以或同时除以一个负数，不等号的方向改变．）熟记并灵活运用不等式的基本性质是解本题的关键．8．A解析：A 【分析】答．【详解】解：①3104<<，415∴<<，故①错误；x的取值范围是1x≥-，故②正确；9=，9的平方根是3±，故③错误；④5=，故④错误；58=，(229<，58-<58<，故⑤错误；综上所述：正确的有②，共1个，故选：A．【点睛】本题考查了故算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算平方法比较无理数大小．9．D解析：D【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解．【详解】由题意，得7-2a=3，解得a=2，故选D．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．10．C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．【详解】A|a|，故此选项错误；B．，则a，b均为非负数，故此选项错误；C．a2•b2=（a•b）2，正确；D m n a（a≥0），故此选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．二、填空题11．1【分析】设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析：1【分析】设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b，x−a=y+b∴x=y，a+b=0，∴，∴x2=y2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系. 12．【分析】首先化简，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a，b的取值范围，即可求出的最大值．【详解】解析：【分析】10-b 4-b-2=+，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出22a b +的最大值．【详解】10-b 4-b-2=+，1042b b =-+--， ∴261042a a b b -+-=-+--， ∴264210a a b b -+-+++-=，∵264a a -+-≥，426b b ++-≥，∴ 264a a -+-=，42=6b b ++-，∴2≤a≤6，-4≤b≤2，∴22a b +的最大值为()226452+-=，故答案为52．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 13．3b【分析】先判断a ，b 的取值范围，并分别判断a-b ，a+b 的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．【详解】解：由数轴可知：b ＞0，a ﹣b ＜0，a+b ＜0，∴原式＝|解析：3b【分析】先判断a ，b 的取值范围，并分别判断a-b ，a+b 的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．【详解】解：由数轴可知：b ＞0，a ﹣b ＜0，a +b ＜0，∴原式＝|b |+|a ﹣b |﹣|a +b |＝b ﹣（a ﹣b ）+（a +b ）＝b ﹣a +b +a +b＝3b，故答案为：3b【点睛】=和绝对值的性质是解题的关a键．14．-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可. 【详解】解：当a＝－＝－＝－3时，原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(解析：-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】－3时，解：当a原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3＝7a－7－7a+3＝－4．故答案为：－4．【点睛】本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.15．9【解析】【分析】设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.【详解】设y=，则原方程变形为，∴，即，∴4y+36-4y=y(y+9)，即y2+9y-36=0，∴解析：9【解析】【分析】设()11111y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】设则原方程变形为 ()()()()()1111112894y y y y y y ++=+++++， ∴1111111112894y y y y y y -+-++-=+++++， 即11194y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，即y 2+9y-36=0，∴y=-12或y=3， ∵， ∴，∴x=9，故答案为：9.【点睛】本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111y y y y =-++的应用. 16．2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形． 详解：∵|a ﹣2007|+=a ，∴a≥2008，解析：2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：∵|a ﹣2007=a ，∴a ≥2008，∴a ﹣2007=a ，=2007，两边同平方，得：a ﹣2008=20072，∴a ﹣20072=2008．故答案为：2008．点睛：解决此题的关键是能够得到a 的取值范围，从而化简绝对值并变形．17．2018【解析】试题解析：，令，，显然，∴，∴，∵与奇偶数相同，∴，∴，∴．故答案为：2018.解析：2018【解析】 试题解析：y ===令a =b = 显然0a b >≥，∴224036a b -=，∴()()4036a b a b +-=，∵()a b +与()-a b 奇偶数相同，∴20182a b a b +=⎧⎨-=⎩， ∴10101008a b =⎧⎨=⎩， ∴2018y a b =+=．故答案为：2018.18．5【分析】因为是整数，且，则5n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为5．【详解】∵，且是整数，∴是整数，即5n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为5．故答案为5．【点睛】主要考查了解析：5【分析】，则5n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为5．【详解】∴是整数，即5n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为5．故答案为5．【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．19．1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.解析：1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=(223981-=-=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键. 20．x≥4【解析】试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.故答案为x≥4.点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然解析：x≥4【解析】试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.故答案为x≥4.点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然后列不等式求解即可，是一个中考常考的简单题.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
八年级初二数学 数学二次根式的专项培优练习题(及答案
一、选择题1．已知x 1x 2，则x₁²＋x₂²等于( ) A ．8B ．9C ．10D ．112．下列方程中，有实数根的方程是（ ） A0= B10= C2=D1=．3．下列各式计算正确的是（ ）A ．6232126()b a b a b a---⋅=B ．（3xy ）2÷（xy ）=3xy C=D ．2x •3x 5=6x 64．） A ．－3 B ．3或－3C ．9D ．35．当4x =-的值为（ ）A ．1 BC ．2D ．36．有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．下列各式计算正确的是（ ）AB． C．D8．的下列说法中错误的是（ ） A12的算术平方根 B．34<< C不能化简D是无理数9．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） ABCD10．与根式- ） A．B．x -C．D二、填空题11．若mm 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．12．已知x=3+1，y=3-1，则x 2+xy +y 2=_____． 13．已知()2117932x x x y ---+-=-，则2x ﹣18y 2＝_____．14．已知()230m m --≤，若整数a 满足52m a +=，则a =__________． 15．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．16．已知函数1x f xx，那么21f _____．17．化简二次根式2a 1a+-_____. 18．(623÷=________________ .19．若a 、b 为实数，且b 2211a a -+-+4，则a+b ＝_____． 20．若a 、b 都是有理数，且2222480a ab b a -+++=ab ．三、解答题21．阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式a a a =，)21211=a a 2121互为有理化因式．（1）231的有理化因式是 ；（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：3233333==⨯， ()()25353521538215415535353++++====--+323+进行分母有理化． （3）利用所需知识判断：若25a =+，25b =a b ，的关系是 ． （4）直接写结果：)20201213220202019=+++ ．【答案】（1）1；（2）7-；（3）互为相反数；（4）2019【分析】（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；（2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式(2，化简即可；（3）将a=（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．【详解】解：（1）∵()()1111=，∴1的有理化因式是1；（2227 -==-（3）∵2a===，2b=-，∴a和b互为相反数；（4）)1 ++⨯=)11⨯=)11=20201-=2019，故原式的值为2019.【点睛】本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．22．计算：【答案】【分析】先将括号内的二次根式进行化简并合并，再进行二次根式的乘法运算即可．【详解】解：=== 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．23．先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）． 【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数） 【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．试题解析：(1)=1+14−141+=1120，1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.24．计算(2)2；(4)【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）【分析】（1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．【详解】解：==2(2)-=22=63-=9-=1；(4)===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．一样的式子，其实我25．====，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：221111===-=（12）化简：2n+++【答案】（1-2.【解析】试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．试题解析：（1）=====（2）原式=122n++++=12.考点：分母有理化．26．2020(1)-【答案】1【分析】先计算乘方，再化简二次根式求解即可．【详解】2020(1)-=1=1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．27．计算（1（2）21)-【答案】（1）4；（2）3+ 【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）解：原式=4=+4=-（2）解：原式()22161=---63=-+3=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．28．计算：（1）()22131)()2---+（2【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可； （2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2） 【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【详解】12x x +==12321x x ==-=，所以()2221212122x x x x x x +=+-=(22112210-⨯=-=，故选：C ． 【点睛】对于形如2212x x +的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有这个特点的代数式称为轮换对称式，如1211+x x ，1221x x x x +，12x x -等，轮换对称式都可以用12x x +，12x x 来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用12x x +，12x x 来表示，然后再整体代入计算．2．C解析：C 【分析】k =的形式，再根据二次根式成立的条件逐个进行判断即可． 【详解】 解：A 、x 2+4=0，此时方程无解，故本选项错误； B10=，1-， ∵算术平方根是非负数， ∴此时方程无解，故本选项错误； C2=， ∴x+1=4， ∴x=3， 故本选项正确；D1=， ∴x-3≥0且3-x≥0， 解得：x=3，代入得：0+0=1，此时不成立，故本选项错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，能根据二次根式成立的条件进行判断是解此题的关键．3．D解析：D 【分析】依据单项式乘以单项式、单项式除以单项式以及二次根式的加法法则对各项分别计算出结果，再进行判断即可得到结果． 【详解】A. 2321526()b a b a b a---⋅=，故选项A 错误；B. （3xy ）2÷（xy ）=9xy ，故选项B 错误；C 错误； D. 2x •3x 5=6x 6，正确． 故选：D ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．D解析：D 【分析】根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】|3|3=． 故选：D ． 【点睛】(0)0(0)(0)a a a a a a ＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩．5．A解析：A 【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】 解：原式2223232323x x x x112323x x将4x =代入得，原式1142342322 11 131331133331131=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．6．A解析：A【解析】试题分析：根据二次根式的概念，可知a≥0，ab＞0，解得a＞0，b＞0，因此可知A（a，b）在第一象限.故选A7．D解析：D【解析】不是同类二次根式，因此不能计算，故不正确.根据同类二次根式，可知，故不正确；根据二次根式的性质，可知，故不正确；3==，故正确.故选D.8．C解析：C【分析】根据算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简依次判断.【详解】A12的算术平方根，故该项正确；B、34<<，故该项正确；C、1223=，故该项不正确；D、∵1223=，∴12是无理数，故该项正确；故选：C.【点睛】此题考查算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.9．A解析：A【解析】试题分析：最简二次根式是指不能继续化简的二次根式，A、原式=；B、是最简二次根式，不能化简；C、原式=；D、原式=.考点：最简二次根式10．D解析：D【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可.【详解】由题意可得x是负数，所以1x--xx x--=-故选：D.【点睛】此题考查二次根式的化简，二次根式的乘法计算法则，正确化简二次根式是解题的关键，注意题目中x的符号是负号，这是解题的难点.二、填空题11．4030【分析】利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可. 【详解】m== m==+1，∴m3-m2-2017m+2015=m2（m﹣1）﹣2017m+2015解析：4030【分析】利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可.m，m∴m3-m2-2017m+2015=m2（m﹣1）﹣2017m+2015= ）22017）+2015=（2017+2015﹣2=4030.故答案为4030.【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.12．10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）= 12﹣2=10．故答案为10．解析：10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10．故答案为10．13．【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣解析：22【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】一定有意义，|7﹣x ＝3y ﹣2，﹣x +7+x ﹣9＝3y ﹣2，＝3y ，∴x ﹣11＝9y 2，则2x ﹣18y 2＝2x ﹣2（x ﹣11）＝22．故答案为：22．【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．14．【分析】先根据确定m 的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a 的取值范围．【详解】解：为整数为故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用解析：5【分析】)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．【详解】 解：()230m m --≤23m ∴≤≤m a +=a m ∴=32a ∴≤≤7528<<46a ∴<<a 为整数a ∴为5故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．15．-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，∴∴﹣|a ﹣c|+﹣|﹣b|＝解析：-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，0c a b ＜＜＜∴00.a c c b ＞，＜|a ﹣c ﹣|﹣b |＝||()||a ac c b b =()a a c b c b =a a c b c b =-2a .【点睛】本题考查二次根式的性质与化简和化简绝对值.在解决本题时需注意①对于任意实数a ,都有||a =；②在化简绝对值时，绝对值内如果是一个多项式,要给化简后的结果带上括号.16．【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.【详解】因为函数，所以当时， ．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.解析：2+【分析】根据题意可知1x =，代入原函数即可解答. 【详解】 因为函数1x f xx ， 所以当1x =时， 211()2221f x ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 17．【解析】根据二次根式的性质，可知a≠0，-（a+1）≥0，因此可知a≤-1，因此可知a==. 故答案为.解析：【解析】根据二次根式的性质，可知a ≠0，-（a+1）≥0，因此可知a≤-1，因此可知= 故答案为18．【解析】=，故答案为.解析：【解析】÷====-， 故答案为19．5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得，解得a ＝1，或a ＝﹣解析：5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得221010a a ⎧-≥⎨-≥⎩， 解得a ＝1，或a ＝﹣1，b ＝4，当a ＝1时，a +b ＝1+4＝5，当a ＝﹣1时，a +b ＝﹣1+4＝3，故答案为5或3．【点睛】本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．20．【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵∴∴∴∵∴解得：a=-4，b=-2∴=故答案为：．【点睛解析：【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵2222480a ab b a -+++=∴222448160a ab b a -+++=∴()()222448160a ab ba a -+++=+ ∴()()22240ab a +-+=∵()()2220,40a b a +-≥≥∴20,40a b a +-==解得：a=-4，b=-2=故答案为：【点睛】此题考查的是配方法、非负性的应用和化简二次根式，掌握完全平方公式、平方的非负性和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
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一、选择题1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．9B．13C．20D．72．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．（8﹣3cm2B．（4﹣3cm2C．（16﹣3cm2D．（﹣3）cm232的倒数是（）A2B．22C．2-D．22-4．下列各式是二次根式的是（）A3B1-C35D4π-5．已知：x3，y31，求x2﹣y2的值（）A．1 B．2 C3D．36．设a3535+-b633633+-21b a-的值为（）A621+B621+C621D621 7．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.013323)＝5；④如果点P（3－2n，1）到两坐标轴的距离相等，那么n＝1，其中假命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．以下运算错误的是（）A3535⨯=B．2222⨯=C169+169D2342a b ab b=a＞0）9．使式子212 4xx+-x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠210．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A ．3x +B ．13x - C ．13x + D ．3x -二、填空题11．已知2216422x x ---=，则22164x x -+-=________．12．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；⑵根据以上规律写出n a 的表达式．13．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则2b c +=________．14．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=2[2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 15．已知72x =-，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 16．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.17．=_______．18．mn ＝________．19．n 为________．20．能合并成一项，则a =______．三、解答题21．计算(1)2213113a a a a a a +--+-+-;(2)已知a 、b +b ＝0.求a 、b 的值 (3)已知abc ＝1，求111a b cab a bc b ac c ++++++++的值【答案】（1）22223a a a ----；（2）a =－3，b ；（3）1. 【分析】（1）先将式子进行变形得到()()113113a a a a a a +--+-+-，此时可以将其化简为1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b =0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：11b ab abbc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可.【详解】解：（1）原式=()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=1113a a --+- =()()()()3113a a a a -++-+-=22223a a a ----；（20b =，∴2a +6=0，b =0，∴a =－3，b ； （3）∵abc ＝1， ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，∴原式=1111a ab ab a ab a ab a ++++++++=11a ab ab a ++++=1.【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.22．（112=3=4=；……写出④ ；⑤ ；（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想．【答案】（12=5==；（2=3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】解：（1）由例子可得，④5=25，（2）如果n 为正整数，用含nn， （3）证明：∵n 是正整数，故答案为5=256；(3)证明见解析. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.23．已知m ，n 满足m 4n=3+.【答案】12015【解析】 【分析】由43m n +=2﹣2）﹣3＝0，将，代入计算即可．【详解】解：∵4m n +＝3，)22﹣2）﹣3＝0，）2﹣23＝0，+13）＝0，＝﹣13，∴原式＝3-23+2012＝12015．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．24．计算：（1﹣（2） （3）244x -﹣12x -．【答案】（1）2（3）-12x + 【解析】分析：（1）根据二次根式的运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据乘法的分配律以及二次根式的性质进行计算即可；（3）根据异分母的分式的加减，先因式分解，再通分，然后按同分母的分式进行加减计算，再约分即可.详解：（1（2）（3）24142x x --- =41(2)(2)2x x x -+--= 42(2)(2)(2)(2)x x x x x +-+-+-=2(2)(2)xx x -+-=12x -+ 点睛：此题主要考查了二次根式的运算和分式的加减运算，熟练应用运算法则和运算律以及二次根式的性质进行计算是解题关键.25．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．【答案】(2x - 【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．26．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，1=，1=，1=⋯⋯（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： (n 为正整数）． （2（3【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小. 【详解】解：（1）根据题意得：第n 个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019==-=；（3-==，<∴>．【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.27．计算下列各题（1）⎛÷ ⎝（2）2-【答案】(1)1;(2)． 【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可； (2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可. 【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.28．先阅读下面的解题过程，然后再解答.a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==±>.这里7m =，12n =， 由于437+=，4312⨯=，所以22+==，2===.. 【答案】见解析 【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法． 【详解】根据题意，可知13m =，42n =，由于7613+=，7642⨯=，所以2213+=，====【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据直角二次根式满足的两个条件进行判断即可． 【详解】被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项A 错误；3=被开方数中含分母，不是最简二次根式，故选项B 错误；=被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项C 错误；是最简二次根式，故选项D 正确. 故选D ． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式是最简二次根式．2．D解析：D 【分析】根据正方形的面积求出边长AB ＝4cm ，BC ＝（）cm ，利用四边形ABCD 的面积减去两个阴影的面积即可列式求出答案. 【详解】∵两张正方形纸片的面积分别为16cm 2和12cm 2，4cm＝cm，∴AB＝4cm，BC＝（+4）cm，∴空白部分的面积＝（）×4﹣12﹣16，＝﹣12﹣16，＝（﹣）cm2，故选：D.【点睛】此题考查正方形的性质，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解图形中空白面积的计算方法是解题的关键.3．B解析：B【分析】根据倒数的定义，即可得到答案.【详解】，；2故选：B.【点睛】本题考查了倒数的定义和化为最简二次根式，解题的关键是熟记倒数的定义进行解题. 4．A解析：A【分析】根据二次根式定义和有意义的条件：被开方数是非负数，即可判断．【详解】解：A、符合二次根式有意义条件，符合题意；B、-1＜0B选项不符合题意；C、是三次根式，所以C选项不符合题意；D、π-4＜0D选项不符合题意．故选：A．【点睛】a≥0．5．D解析：D【分析】先根据x 、y 的值计算x y +、x y -的值，再将所求式子利用平方差公式进行化简，然后代入求值即可．【详解】∵1,1x y ==，∴11112x y x y +==-=-=，则22()()2x y x y y x -=+-==故选：D ．【点睛】本题考查了代数式的化简求值、二次根式的加减法与乘法，利用平方差公式对代数式进行化简是解题关键．6．B解析：B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a 、b 对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【详解】∴a ，∴b ，∴21b a -， 故选：B ．【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．7．D解析：D【分析】利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；②0.01的算术平方根是0.1，故错误；)＝17322+=，故错误；④如果点P（3-2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n=1或n=2，故错误，故选D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质，难度一般．8．C解析：C【分析】利用二次根式的乘法法则对A、B进行判断；利用二次根式的化简对C、D进行判断．【详解】A．原式=所以A选项的运算正确；B．原式＝所以，B选项的运算正确；C．原式==5，所以C选项的运算错误；D．原式＝2，所以D选项的运算正确．故选C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．9．C解析：C【分析】根据分式和二次根式有意义的条件（分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数）即可得到结果.【详解】解：由题意得：2x-40≠,2x∴≠±,又∵20x +≥,∴x ≥-2.∴x 的取值范围是：x>-2且2x ≠.故选C.【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，解不等式，是基础题.10．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.【详解】A 、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；B 、x-3＞0，解得：x ＞3，故此选项错误；C 、x+3＞0，解得：x ＞-3，故此选项错误；D 、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，故选D ．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．二、填空题11．3【解析】设，则 可化为：，∴，两边同时平方得：，即：，∴，解得：，∴.故答案为：.点睛：本题的解题要点是：设原式中的，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形解析：【解析】设24x a -====两边同时平方得：128a a +=++4=，∴3216a =，解得：12a =，===故答案为： 点睛：本题的解题要点是：设原式中的24x a -=，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得a 的值，使问题得到解决.12．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an ＝（n 为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，AC ＝＝＝．同理：AE ＝2，EH ＝2，解析：（1）a 2，a 3＝2，a 4＝；（2）a n n 为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，ACAE ＝2，EH ＝，…，即a 2a 3＝2，a 4＝（2）an n 为正整数）．13．21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．【详解】∵∴∴∴∴∴∴∴．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的解析：21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案．【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123===∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．14．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和 解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．15．【分析】先把x 分母有理化求出x= ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．【详解】∵∴∴∴【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．解析：6【分析】先把x 分母有理化求出2 ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．【详解】2x === ∵23<<∴425<< ∴4,242a b ==-=∴42)6a b -=-=【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．16．【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第解析：【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，∴(5，4)与(9，4)故答案为17．【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，则．故答案为：．【点睛】此题考查的是二【分析】t=，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】t=，由算术平方根的非负性可得t≥0，则244t=+=+8=+8=+81)=+62=1)∴=．1t．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．18．21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴ ，∴故答案为21.解析：21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴7321.mn=⨯=故答案为21.19．7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，∴若是整数，则n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式解析：7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．20．4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．解：=2，由最简二次根式与能合并成一项，得a-1=3．解解析：4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】能合并成一项，得a-1=3．解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。