江西省宜春市2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年江西省宜春市七年级第二学期期末
数学试卷
一、选择题（共6小题）.
1．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣5）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（3分）下列调查活动中，适合全面调查的是（）
A．对某班同学“防疫知识”掌握度的调查
B．对某品牌口罩合格率的调查
C．对“十三届全国人大一次会议开幕式”在线收视率的调查
D．对秀江水质情况的调查
3．（3分）下列实数中：、、2.15、、π、0.3030030003…（往后每两个3之间依次多一个0），无理数有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．（3分）将一直角三角板与等宽的纸条如图放置，顶点C在纸条边FG上，且DE∥FG，当∠1＝32°时，∠2的度数是（）
A．48°B．32°C．58°D．64°
5．（3分）若关于x的不等式仅有四个整数解，则a的取值范围是（）A．1≤a≤2B．1≤a＜2C．1＜a＜2D．a＜2
6．（3分）如图，动点P在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点（1，1），第2秒运动到点（2，0），第3秒运动到点（3，﹣1），第4秒运动到点（4，0）……按这样的规律，第2020秒运动到点（）
A．（2020，1）B．（2020，﹣1）C．（2020，0）D．（2019，0）
二、填空题（共6小题）.
7．（3分）9的算术平方根是．
8．（3分）若+|y﹣2x+1|＝0，则x+y＝．
9．（3分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为．
10．（3分）如图，直线EF与CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，若∠AOE ＝40°，则∠BOD的度数为．
11．（3分）关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式2x﹣y＜1，则m的取值范围是．
12．（3分）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOB＝70°，在∠AOB内画一条射线OP 得到的图中有m对互余的角，其中∠AOP＝x°，且满足0＜x＜50，则m＝．
三、解答题（本大题共8小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
14．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
15．（6分）（1）解不等式：；
（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程3x+ax＝5的解，求a的值．
16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（2，﹣1），B （4，3），C（1，2）．将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1．
（1）请在图中画出△A1B1C1；
（2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标；
A1（，）
B1（，）
C1（，）
（3）求△ABC的面积．
17．（6分）某校为了解疫情期间学生在家上网课的学习情况，随机抽取了该校部分学生对其学习效果进行调查，根据相关数据，绘制成如图不完整的统计图．
（1）此次调查该校学生人数为名，学习效果“较差”的部分对应的圆心角度数为；
（2）补全条形图；
（3）请估计该校3000名学生疫情期间网课学习效果“一般”的学生人数．18．（8分）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连结BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．
（1）求证：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
19．（8分）对于两个数a、b，我们定义：
①M（a，b）表示这两个数的平均数，例如：M（﹣1，3）＝＝1；
②max（a，b）表示这两个数中更大的数，当a≥b时，max（a，b）＝a；当a＜b时，
max（a，b）＝b；例如：max（﹣1，3）＝3．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）M（2020，0）＝，max（2020，0）＝；
（2）若M（6﹣2x，2）＝max（6﹣2x，2），求x的值．
20．（8分）某小区为激励更多居民积极参与“分类适宜，垃圾逢春”活动，决定购买拖把和扫帚作为奖品，奖励给垃圾分类表现优异的居民．若购买3把拖把和2把扫帚共需80元，购买2把拖把和1把扫帚共需50元．
（1）请问拖把和扫帚每把各多少元？
（2）现准备购买拖把和扫帚共200把，且要求购买拖把的费用不低于购买扫帚的费用，所有购买的资金不超过2690元，问有几种购买方案，哪种方案最省钱？
五、解答题（本大题共1小题，共10分）
21．（10分）【阅读材料】：
（1）在△ABC中，若∠C＝90°，由“三角形内角和为180°”得∠A+∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣90°＝90°．
（2）在△ABC中，若∠A+∠B＝90°，由“三角形内角和为180°”得∠C＝180°﹣
（∠A+∠B）＝180°﹣90°＝90°．
【解决问题】：
如图①，在平面直角坐标系中，点C是x轴负半轴上的一个动点．已知AB∥x轴，交y轴于点E，连接CE，CF是∠ECO的角平分线，交AB于点F，交y轴于点D．过E点作EM平分∠CEB，交CF于点M．
（1）试判断EM与CF的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，过E点作PE⊥CE，交CF于点P，求证：∠EPC＝∠EDP；
（3）在（2）的基础上，作EN平分∠AEP，交OC于点N，如图③．请问随着C点的运动，∠NEM的度数是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）．
1．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣5）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：点P（3，﹣5）在第四象限．
故选：D．
2．（3分）下列调查活动中，适合全面调查的是（）
A．对某班同学“防疫知识”掌握度的调查
B．对某品牌口罩合格率的调查
C．对“十三届全国人大一次会议开幕式”在线收视率的调查
D．对秀江水质情况的调查
解：A．对某班同学“防疫知识”掌握度的调查适合使用全面调查，故本选项符合题意；
B．对某品牌口罩合格率的调查，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
C．对“十三届全国人大一次会议开幕式”在线收视率的调查，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
D．对秀江水质情况的调查，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
故选：A．
3．（3分）下列实数中：、、2.15、、π、0.3030030003…（往后每两个3之间依次多一个0），无理数有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
解：，是整数，属于有理数；
2.15是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有、π、0.3030030003…（往后每两个3之间依次多一个0）共3个．
故选：B．
4．（3分）将一直角三角板与等宽的纸条如图放置，顶点C在纸条边FG上，且DE∥
FG，当∠1＝32°时，∠2的度数是（）
A．48°B．32°C．58°D．64°
解：∵DE∥FG，∠1＝32°，
∴∠3＝32°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣32°＝58°．
故选：C．
5．（3分）若关于x的不等式仅有四个整数解，则a的取值范围是（）A．1≤a≤2B．1≤a＜2C．1＜a＜2D．a＜2
解：，
解①得：x＞a﹣1，
解②得：x≤4，
则不等式组的解集是：a﹣1＜x≤4．
不等式组有四个整数解，则是1，2，3，4．
则0≤a﹣1＜1．
解得：1≤a＜2．
故选：B．
6．（3分）如图，动点P在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点（1，1），第2秒运动到点（2，0），第3秒运动到点（3，﹣1），第4秒运动到点（4，0）……按这样的规律，第2020秒运动到点（）
A．（2020，1）B．（2020，﹣1）C．（2020，0）D．（2019，0）
解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．
∴2020＝4×505，
当第505循环结束时，点P位置在（2020，0），
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）．
7．（3分）9的算术平方根是3．
解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为：3．
8．（3分）若+|y﹣2x+1|＝0，则x+y＝5．
解：∵+|y﹣2x+1|＝0，
∴3x﹣6＝0，y﹣2x+1＝0，
解得x＝2，y＝3，
∴x+y＝2+3＝5．
故答案为：5．
9．（3分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为．
解：由题意可得，
，
故答案为：．
10．（3分）如图，直线EF与CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，若∠AOE ＝40°，则∠BOD的度数为20°．
解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
又∵∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣40°＝140°，
又∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC＝×140°＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
故答案为：20°．
11．（3分）关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式2x﹣y＜1，则m的取值范围是m＜1．
解：，
①﹣②，得
2x﹣y＝3m﹣2，
∵2x﹣y＜1，
∴3m﹣2＜1，
解得，m＜1，
故答案为：m＜1．
12．（3分）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOB＝70°，在∠AOB内画一条射线OP 得到的图中有m对互余的角，其中∠AOP＝x°，且满足0＜x＜50，则m＝3或4或6．
解：①∠AOP＝35°，互余的角有∠AOP与∠COP，∠BOP与∠COP，∠AOB与∠COB，∠COD与∠COB，一共4对；
②∠AOP＝20°，互余的角有∠AOP与∠COP，∠AOP与∠AOB，∠AOP与∠COD，
∠COD与∠COB，∠AOB与∠COB，∠COP与∠COB，一共6对；
③0＜x＜50中35°与20°的其余角，互余的角有∠AOP与∠COP，∠AOB与∠COB，
∠COD与∠COB，一共3对．
则m＝3或4或6．
故答案为：3或4或6．
三、解答题（本大题共8小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
解：（1）原式＝﹣1﹣2×+2
＝﹣1﹣1+2
＝；
（2），
①+②×3得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：y＝1，
则方程组的解为．
14．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．解：，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x＜3，
∴不等式的解集为﹣1＜x＜3，
在数轴上表示为：
15．（6分）（1）解不等式：；
（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程3x+ax＝5的解，求a的值．
解：（1），
3（3x+1）﹣8x＞6，
9x+3﹣8x＞6，
x＞3；
（2）∵x＞3，
∴最小整数解为x＝4，
将x＝4代入方程3x+ax＝5中，得：3×4+4a＝5，解得．
16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（2，﹣1），B （4，3），C（1，2）．将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1．
（1）请在图中画出△A1B1C1；
（2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标；
A1（﹣2，﹣3）
B1（0，1）
C1（﹣3，0）
（3）求△ABC的面积．
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）A1（﹣2，﹣3），B1（0，1），C1（﹣3，0）；故答案为：﹣2，﹣3；0，1；﹣3，0．
（3）如图可得：
S△ABC＝S长方形EFGB﹣S△BEC﹣S△CFA﹣S△AGB
＝BE•EF﹣EB•CE﹣CF•FA﹣AG•BG
＝3×4﹣×3×1﹣×3×1﹣×2×4
＝5．
17．（6分）某校为了解疫情期间学生在家上网课的学习情况，随机抽取了该校部分学生对其学习效果进行调查，根据相关数据，绘制成如图不完整的统计图．
（1）此次调查该校学生人数为100名，学习效果“较差”的部分对应的圆心角度数为18；
（2）补全条形图；
（3）请估计该校3000名学生疫情期间网课学习效果“一般”的学生人数．
解：（1）此次调查的学生人数为15÷15%＝100（名），
学习效果“较差”的部分对应的圆心角度数为360°×＝18°，
故答案为：100，18．
（2）学习效果“一般”的人数为100﹣（15+50+5）＝30（名），
补全图形如下：
（3）听课效果一般的学生所占百分比为，
由样本估计总体得：该校听课效果一般的学生人数为3000×30%＝900（名）
答：该校听课效果一般的学生人数为900名．
18．（8分）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连结BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．
（1）求证：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
【解答】证明：（1）∵EB⊥EF，
∴∠FEB＝90°，
又∵∠DEF+∠BEG＝180°﹣90°＝90°，∠EBG+∠BEG＝90°，
∴∠DEF＝∠EBG，
（2）AB∥EF，理由如下：
∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF＝∠AED，
∵∠EBG＝∠A，∠DEF＝∠EBG，
∴∠A＝∠DEF，
又∵∠DEF＝∠AEF
∴∠A＝∠AEF，
∴AB∥EF．
19．（8分）对于两个数a、b，我们定义：
①M（a，b）表示这两个数的平均数，例如：M（﹣1，3）＝＝1；
②max（a，b）表示这两个数中更大的数，当a≥b时，max（a，b）＝a；当a＜b时，
max（a，b）＝b；例如：max（﹣1，3）＝3．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）M（2020，0）＝1010，max（2020，0）＝2020；
（2）若M（6﹣2x，2）＝max（6﹣2x，2），求x的值．
解：（1）由题意可得，
M（2020，0）＝＝1010，max（2020，0）＝2020，
故答案为：1010，2020；
（2）M（6﹣2x，2）＝＝4﹣x，
当6﹣2x＞2时，得x＜2，此时max（6﹣2x，2）＝6﹣2x，
当6﹣2x≤2时，得x≥2，此时max（6﹣2x，2）＝2，
∵M（6﹣2x，2）＝max（6﹣2x，2），
∴当x＜2时，4﹣x＝6﹣2x，得x＝2（舍去），
当x≥2时，4﹣x＝2，得x＝2，
由上可得，x的值是2．
20．（8分）某小区为激励更多居民积极参与“分类适宜，垃圾逢春”活动，决定购买拖把和扫帚作为奖品，奖励给垃圾分类表现优异的居民．若购买3把拖把和2把扫帚共需80元，购买2把拖把和1把扫帚共需50元．
（1）请问拖把和扫帚每把各多少元？
（2）现准备购买拖把和扫帚共200把，且要求购买拖把的费用不低于购买扫帚的费用，所有购买的资金不超过2690元，问有几种购买方案，哪种方案最省钱？
解：（1）设扫帚每把x元，拖把每把y元，依题意有
，
解得：．
答：扫帚每把20元，拖把每把10元．
（2）设购买拖把a把，则扫帚（200﹣a）把，依题意有
，
解得≤a≤69，
∵a为整数，
∴a＝67，68，69，
∴有3种购买方案，①买拖把67把，扫帚133把；②买拖把68把，扫帚132把；
③买拖把69把，扫帚131把．
当a＝67时，共花费67×20+133×10＝2670元；
当a＝68时，共花费68×20+132×10＝2680元；
当a＝69时，共花费69×20+131×10＝2690元；
∵2670＜2680＜2690，
∴选择方案买拖把67把，扫帚133把最省钱．
五、解答题（本大题共1小题，共10分）
21．（10分）【阅读材料】：
（1）在△ABC中，若∠C＝90°，由“三角形内角和为180°”得∠A+∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣90°＝90°．
（2）在△ABC中，若∠A+∠B＝90°，由“三角形内角和为180°”得∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣90°＝90°．
【解决问题】：
如图①，在平面直角坐标系中，点C是x轴负半轴上的一个动点．已知AB∥x轴，交y轴于点E，连接CE，CF是∠ECO的角平分线，交AB于点F，交y轴于点D．过E点作EM平分∠CEB，交CF于点M．
（1）试判断EM与CF的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，过E点作PE⊥CE，交CF于点P，求证：∠EPC＝∠EDP；
（3）在（2）的基础上，作EN平分∠AEP，交OC于点N，如图③．请问随着C点的运动，∠NEM的度数是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
解：（1）EM⊥CF，理由如下：
∵CF平分∠ECO，EM平分∠FEC，
∴∠ECF＝∠FCO＝，∠FEM＝∠CEM＝，
∵AB∥x轴
∴∠ECO+∠CEF＝180°，
∴＝，∴∠EMC＝180°﹣（∠CEM+∠ECF）＝180°﹣90°＝90°，
∴EM⊥CF；
（2）由题得，∠EOC＝90°，
∴∠DCO+∠CDO＝180°﹣∠EOC＝180°﹣90°＝90°，
∵PE⊥CE，
∴∠CEP＝90°，
∴∠ECP+∠EPC＝180°﹣∠CEP＝180°﹣90°＝90°，
∵∠DCO＝∠ECP，
∴∠CDO＝∠EPC，
又∵∠CDO＝∠EDP，
∴∠EPC＝∠EDP；
（3）不变，且∠NEM＝45°．
理由如下：
∵AB∥x轴，
∴∠AEC＝∠ECO＝2∠ECP，
∴∠AEP＝∠CEP+∠AEC＝90°+2∠ECP，
∵EN平分∠AEP，
∴∠NEP＝∠AEN ═，∵∠CEP＝90°，
∴∠ECP+∠EPC＝90°，
又∵∠EMC＝90°，
∴∠MEP+∠EPC＝90°，
∴∠ECP＝∠MEP，
∴∠NEP＝∠NEM+∠MEP＝∠NEM+∠ECP，
又∵∠NEP＝45°+∠ECP，
∴∠NEM＝45°．
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