压力容器过程设备设计

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则： Nφ dφ+Nθdθ=pdA，将前式代入：
σφtR2dφdθ+σθtR1dφdθ=pR1R2dφdθ，
σφtR2+σθrR1=pR1R2，各项除以R1R2t：
p ——微元平衡方程，即拉普拉斯方程
R1 R2 t
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压力容器应力分析
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区域平衡方程
压力容器应力分析
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图2-6中：mom′——由纬经锥面mdm′截取的部分壳体，称 为区域壳体。
力相同，α=90°时，与平板应力相同
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压力容器应力分析
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压力容器应力分析
d. 椭球形壳体
工程上的椭球壳主要是用它的一半作封头， 故认为是由1/4椭圆曲线作为母线绕短轴 回转而成（绕长轴会得到深碗状封头，不 易制造）。
已知椭圆曲线方程为 x2 y2 1 ，可分别求出一阶、二阶
a2 b2
导数y′、y″，经数学推导得椭球曲面的第一、第二曲率半径 R1、R2：
2t
则
pR t
c. 锥形壳体
这与前边
pD 4t
及
pD 是一样的 2t
母线为直线，R1=∞，R2=
xtgx r
cos
将R1、R2代入混合方程得：σθ=2σφ
代入区域方程得：
pr ， 2t cos
则
pr
t cos
可见：① 平行圆半径 r 越小，应力σφ、σθ也越小，锥顶处应力
为零
② 倾角α越小，应力σφ、σθ也越小，α=0时，与圆筒应
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R1
[1 ( y2 )]3/ 2 1y1
[a4
x 2 (a 2 b2 )]3/ 2 a4b
R2
l 2 x 2 [a 4 x 2 (a 2 b2 )]1/ 2 b
式中 l x ;tg y bx
tg
a a2 x2
将R1、R2代入区域方程和混合方程得：
薄壁：Di≈D
图a：
4
Di
2p
Dt
pD 4t2t
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2.1.2 回转薄壳的无力矩理论
压力容器应力分析
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压力容器应力分析
OA、OA′——母线、经线； OO′——回转轴； O（中面与回转轴交点）——极点； 纬线——正交圆锥面（母线k2B）与回转曲面截交所得圆； 平行圆——垂直于回转轴的平面（横截面）与中面的交线，过同一点的纬
压力容器应力分析
承受气体内压的回转薄壳 将区域平衡方程代入微元平衡方程：
a. 球形壳体
壳体上各点的第一曲率半径与第二曲率半径相等， 即R1=R2=R，代入混合方程得：σθ=σφ
代入区域方程得：
综合得：
pR 2t
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b. 薄壁圆筒 R1=∞，R2=R，代入混合方程得：σθ=2σφ
代入区域方程得：
pR ，
《过程设备设计》
第二章
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2、压力容器应力分析
2.1 回转薄壳应力分析
回转曲面
以任何直线或平面曲线作为母线，绕其同平 面内的轴线旋转一周所形成的曲面。
回转壳体
以回转曲面作为中间面的壳体。中间 面就是与壳体内外表面等距离的曲面。 内外表面的法向距离即为壳体壁厚。
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薄壳 厚壳
t/R≤1/10 t/R>1/10
线与平行圆走同一个圆； r——平行圆半径； R1（经线在B点的曲率半径）——第一曲率半径； R2（与经线在B点处的切线相垂直的平面截交回转曲面得一平面曲线，该
平面曲线在B点的曲率半径）——第二曲率半径，R2=r/sinφ 考虑 壁厚，含纬线的正交圆锥面能截出真实壁厚，含 平行圆的横截面不能截出真实壁厚。
abcd——壳体微元体。由三对截面截取：壳体内外表面、两个 相邻的夹角为dθ的经线平面、两个相邻的夹角为dφ的 纬线锥面。
ab = d l1 = R1dφ bd = d l2 = R2dθ 微元面积dA=dl1dl2=R1R2dφdθ
σφ——径向应力，σφ=Nφ/(dl2·t)，或Nφ=σφtR2dθ σθ——环向应力，σθ=Nθ/(dl1·t)或Nθ=σθt·R1dφ 根据无力矩理论，微元体上仅有环向内力Nθ及径向内 力Nφ因壳体是轴对称，故Nθ不随θ角变化，即截面ab 与cd的Nθ相等
rm——纬线mm′的平行圆半径 σφ——意义同前 α——σφ方向线与回转轴oo′的夹角，α=90°－φ，
sinφ=r/R2 nn——由两个正交锥面切割得到的、经向宽度为
dl的环带
r 、dr ——nn 环带的平行圆半径及其增量
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在微元环带nn′的内表面，作用着介质压力p，在oo′轴方 向的分量为
dv=2πrpdlcosφ=2πrpdr
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在图b中：因壳体沿经线的曲率常有变化，故Nφ随φ变化，因 abcd是微元体，故Nφ随φ的变化量很小，可忽略， 则σφ+dσφ≈σφ；Nφ+dNφ≈Nφ
微元平衡方程：微元体所受薄膜应力在法线方向的分量等于微
元面积所受的介质压力：
2N
sin
d
2
2N
sin
d
2
pdA
因d、d 均很小， 故sin d d 、sin d d
无力矩理论 或薄膜理论
无矩应力状态
同时考虑薄膜内力和弯曲内力，适用 于抗弯刚度大、曲率变化大
只考虑薄膜内力、不考虑弯曲内力， 适用于抗弯刚度小、曲率变化小
承受轴对称载荷的回转薄壳，仅有径向力 Nφ与环向力Nθ、无弯曲内力的应力状态
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2.1.3 无力矩理论的基本方程
压力容器应力分析
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在图a、b中：
将dv在整个区域壳体上积分得区域壳体的介质压力的轴向分量：
V
2
rm prdr
o
rm2p
区域壳体在mm′截面（壁厚为t）上的内力在oo′轴方向的分量
为
v′=2πr m t σφcosα
此即区域平衡方程
平衡条件下V=V ′：πrm2p=2πrmtσφcosα
prm 2t cos
pR 2 2t
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2.1.4 无力矩理论的应用
薄壁圆筒 厚壁圆筒
Do/Di≤1.1 Do/Di>1.1
压力容器应力分析 t——壳体厚度 R——中间面曲率半径
Do——圆筒外径 Di——圆筒内径
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2.1.1 薄壁圆筒的应力
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σφ ——经向应力（轴向应力）；σθ——环向应力（周向应力）σr— —径向应力，很小、忽略
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压力容器应力分析
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无力矩理论（薄膜理论）与有力矩理论（弯曲理论）
图a：Nφ——径向力，Nθ——环向力、 Nφ、Nθ 统称为法向力，NφθNθφ——
剪切力，法向力、剪切力统称为薄膜内力；
图b：QφQθ——横向剪力 图c：Mφ、Mθ——弯矩，MφθMθφ——扭矩
横向剪力、弯、扭矩 统称为弯曲内力
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有力矩理论 或弯曲理论