第2章 内力篇-弯曲杆件-2013级
第2章 杆件的内力分析
第2章构件的内力分析思考题2-1 判断题(1) 梁在集中力偶的作用处，剪力F S图连续，弯矩M图有突变。
(对)(2) 思2-1(1)图示的两种情况下，左半部的内力相同。
思2-1(1)图(3) 按静力学等效原则，将梁上的集中力平移不会改变梁的内力分布。
(4) 梁端铰支座处无集中力偶作用，该端的铰支座处的弯矩必为零。
(5) 若连续梁的联接铰处无载荷作用，则该铰的剪力和弯矩为零。
(6) 分布载荷q(x)向上为负，向下为正。
(7) 最大弯矩或最小弯矩必定发生在集中力偶处。
(8) 简支梁的支座上作用集中力偶M，当跨长l改变时，梁内最大剪力发生改变，而最大弯矩不改变。
(9) 剪力图上斜直线部分可以肯定有分布载荷作用。
(10) 若集中力作用处，剪力有突变，则说明该处的弯矩值也有突变。
2-2 填空题(1) 用一个假想截面把杆件切为左右两部分，则左右两部分截面上内力的关系是，左右两面内力大小相等，( )。
A. 方向相反，符号相反B. 方向相反，符号相同C. 方向相同，符号相反D. 方向相同，符号相同(2) 如思2-1(2)图所示矩形截面悬臂梁和简支梁，上下表面都作用切向均布载荷q，则( )的任意截面上剪力都为零。
A. 梁(a)B. 梁(b)C. 梁(a)和(b)D. 没有梁第2章 构件的内力分析思2-1(2)图(3) 如思2-1(3)图所示，组合梁的(a)，(b)两种受载情形的唯一区别是梁(a)上的集中力F 作用在铰链左侧梁上，梁(b)上的集中力作用在铰链右侧梁上，铰链尺寸不计，则两梁的( )。
A. 剪力F S 图相同B. 剪力F S 图不相同C. 弯矩M 图相同D. 弯矩M 图不相同思2-1(3)图(4) 如思2-1(4)图所示，组合梁的(a)，(b)两种受载情形的唯一区别是集中力偶M 分别作用在铰链左右侧，且铰链尺寸可忽略不计，则两梁的( )。
A. 剪力F S 图相同B. 剪力F S 图不相同C. 弯矩M 图相同D. 弯矩M 图不相同思2-1(4)图(5) 如思2-1(5)图所示，梁ABCD 在C 点作用铅垂力F ，若如思2-1(5)图(b)所示，在B 点焊接一刚架后再在C 点正上方作用铅垂力F ，则两种情形( )。
第二章 杆件的内力·截面法讲解
F
FN （＋）FN
F
F
FN （－）FN
F
轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F
F
FN
轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系； ② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆 的轴力图。
应变
一、正应变（线应变）定义
av
Du Ds
棱边 ka 的平均正应变
lim
Du k点沿棱边 ka 方向的正应变
Ds0 Ds
正应变特点
1、 正应变是无量纲量 2、 过同一点不同方位的正应变一般不同
二、切应变定义 微体相邻棱边所夹直角的
改变量 g ，称为切应变
切应变量纲与单位
切应变为无量纲量 切应变单位为 弧度（rad）
BC
D
FN 2 FB FC FD 0
FB
FC
FD
FN2= –3F，
求BC段内力：
FN3
C
D
Fx 0 FN3 FC FD 0 FN3= 5F，
FC
FD
FN4
D
求CD段内力：
Fx 0 FN 4 FD 0
FN4= F
FD
FN1 2F, FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
M
M
取左段为研究对象：
M 0, T M 0 M x
Tx
T M
取右段为研究对象：
材料力学--第2章杆件的内力与内力图
轴力图的画法
画轴力图的步骤：求约束反力、求控制截面上的轴 力、画轴力图。 求任一横截面轴力的简便方法：任一横截面上的轴 力等于该截面一侧杆件上所有外力（包括反力）的代数和； 外力背离截面产生拉力，外力指向截面产生压力。 在分布轴向外力作用下，轴力图为斜直线或曲线。 没有分布轴向外力作用时，整个杆件轴力图为平行于杆件
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上 的内力──扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截 面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心 的合力矩，称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
Me Me
Me
Mx
n
－ 右手螺旋定则
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线 方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在 轴上的外力偶矩。 当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴
D
E
2
FA
40kN
FN2
F
x
0， FN2 FA 40 0， FN2 50kN(拉)
第2章 杆件的内力和内力图
求CD段内的轴力
◎ 轴力与轴力图
FA
A
40kN B
55kN
25kN
20kN
C
3
D
E
FN3
25kN
20kN
F
x
0， FN3 25 20 0， FN3 5kN(压)
第2章 杆件的内力和内力图
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为： FN2 B FB FN3 C FC C FC FN4 FN 2F 5F
◎ 轴力与轴力图
第2章 杆件的内力
16
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1）工程中的受弯杆—— 在工程实际中，受荷载作用而产生弯曲变形的 杆是常见的，通常把它们叫做受弯杆或称之为梁。
17
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图2.20简支梁图
2.21悬臂梁图
2.22外伸梁
18
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2 图2.23（a）所示的梁是立体杆，设沿杆长为x 轴，在横截面上设y轴铅垂向下，z轴水平向右。当 外力（荷载与支座反力）都作用在纵向对称平面之 内时，梁弯曲之后，其轴线将变成挠曲线，它仍在
24
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图2.28 剪力图与弯矩图的坐标轴之假设
25
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2 既然剪力和弯矩都将随着x（横截面位置）的 变化而变化，那么两者均可以表示为坐标x的函数 ，即
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第2章
第一节 内力的概念
杆件的内力
内力”是指构件的内部之力,它与作用在构件的 外力（如荷载、约束反力）是相对应的。在研究外 力之后，需要由表及里地探索构件的内力。如果你 想了解内力究竟是怎么回事，那就请看下面的内容 吧。
1
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一、内力的概念 从结构的外部看，结构在荷载（属于外在的主 动力）作用下处于平衡，并产生约束反力,这都属 于力的外效应。在荷载作用下结构还会发生变形， 这是力的内效应。从结构的内部看，结构变形时, 各质点之间的相对位置都会发生改变，其内因是存 在各质点之间的相互作用力，这就是内力。其外因 当然是荷载（即外力）作用而引起的，故又把它称 之为“附加内力”。
材料力学M2
内力图
q(x) q(x) q(x)
q(x) q(x) q(x)
FQ FQ FQ QQ F
qa/2 qa/2
x x x
例 题 一
M
内力图
q(x) q(x) q(x) q(x) q(x) q(x)
FQ FQ FQ FQ
qa
qa2/2
qa2 x x
例 题 二
x x
M M
内力图
q(x)
q(x)
q(x)
q(x)
FQ
q(x) q(x)
比较三种情形下梁的 受力、剪力和弯矩图的 相同 之处和不同之处
q(x)
FQ
q(x)
FQ
从中能得到什么 重要结论？
结论与讨论
q(x)
确定控 制面上剪力 和弯矩有几 种方法？怎 样确定弯矩 图上极值点 处的弯矩数 值？
q(x)
FQ
结论与讨论
确定控制面上剪力和弯矩有几种 方法？怎样确定弯矩图上极值点处的 弯矩数值？
结论与讨论
力系简化方法应用于确定控制面上剪力和弯矩 FP
a FP FP
a FQ= FP
FP a
FQ= FP
M= FP a M= FP a
结论与讨论
通过平衡微分方程的积分确定弯矩图上 极值点处的弯矩数值。
q(x) q(x)
dM FQ dM FQ dx dx
a e a
dM
FP2
FQ
FQ y
M
x
FQ
z
FN
Mx
z
平衡微分方程
总体平衡与局部平衡的概 念
平衡微分方程
总体平衡与局部平衡的概念
材料力学课件：弯曲内力
例：试建立图示简支梁的剪
力、弯矩方程，画剪力、弯 A
B
矩图。
l
解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴
o FAy
q
x
FBy
M
3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x
FS
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2
21
例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
A
FS
FS:
M
M:
q
qa2
B
C
a
a
x
_
qa qa2/2 +
_
qa2/2
x
_x qa2/2
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
FS=-qa M=qa2-qa(x-a/2)
(a x < 2a) (a < x < 2a)
16
剪力与弯矩一般与坐标x有关
剪力方程： FS=FS (x) 弯矩方程： M=M(x) 剪力图：剪力沿梁轴的变化曲线 弯矩图：弯矩沿梁轴的变化曲线
剪力图与弯矩图是解决梁弯曲问题的基础， 也是材料力学课程最重要的内容。(考试主体)
17
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
•剪力、弯矩方程：剪力、 弯矩沿梁轴（x轴）变化的 解析表达式。
0< x<l 0 xl
19
FS=q(l-2x)/2 M= qx(l-x)/2
0< x<l 0 xl
4、根据剪力、弯矩方程画 剪力、弯矩图
工程力学(静力学与材料力学)第二篇第十章弯曲内力PPT优秀课件
FAy
bF l
FBy
aF l
解：1. 支反力计算
2. 建立剪力与弯矩方程
AC 段
CB 段
F S1 F A y bl F , (0 x1a) 单辉M 祖1 ,材 料F 力A 学x y 1 教 程b l x F 1, ( 0x 1a )
F S 2 F B ya l ,F (0 x 2b ) M 2F Bx y 2a l x F 2, ( 0x 2 1b 8)
单辉祖,材料力学教程
16
剪力与弯矩图
表示 FS 与 M 沿杆轴（x轴）变化情况 的图线，分别称为剪力图与弯矩图
画剪力图
FS
qlqx 2
－直线
F S(0)q 2,l F S(l)q 2l
画弯矩图
Mqlxqx2 22
－二次抛物线
土建等类技术部门画法
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17
例题
例 4-1 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图 Nhomakorabea2
§1 引 言
弯曲实例 弯曲及其特征
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3
弯曲实例
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4
弯曲及其特征
外力特征： 外力或外力偶的矢量垂直于杆轴 变形特征：杆轴由直线变为曲线
弯曲与梁：以轴线变弯为主要特征的变形形式－弯曲 以弯曲为主要变形的杆件－梁
计算简图：画计算简图时，通常以轴线代表梁
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5
§2 梁的外力与计算简图
约束形式与反力 梁的类型
单辉祖,材料力学教程
6
约束形式与反力
主要约束形式与反力
可动铰支座，垂直于支承平面的支反力 FR 固定铰支座，支反力 FRx 与 FRy 固定端，支反力 FRx , FRy与矩为 M 的支反力偶
工程力学_静力学与材料力学高等教育出版社PPT_弯曲内力演示课件.ppt
sfsf
30
材料力学
例10-4外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩
方程，作出梁的剪力图和弯矩图。 y
F=qa
q
解：
Cx
A
x
a FAy
2a
Bx
FBy
1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力
3 qa
2
(+)
(-) -qa
FQ 图
(-)
由此式知：剪力图曲
线上一点处的斜率等于
E
1 qa2
(-)
1 qa 2
梁上相应点处的载荷集
8
度q。
(+)
sfsfqa2
38
材料力学
M (x)
FQ (x) dFQ
FQ (x)
M (x) dM
Mo 0
M
(
x)
FQ
(
x)dx
q(
x)dx
FQ (x) dFQ
FQ (x)
M (x) dM
Fy 0
FQ (x) q(x)dx [FQ (x) dFQ ] 0
dFQ (x) q(x) dx
（4-4）
由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相
应点处的载荷集度q。
sfsf
37
材料力学
F=qa
q
C
A
B
a
2a
dFQ (x) q(x) dx
B D
1m FBy
CA
AD
DB
载荷
二、 内力及内力图解析
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m M B MC M x2 0 M x2 700N.m M D M x3 0 M x3 446N.m 3)根据内力值作轴的扭矩图d)
M x1
M x2
M x3
Mx(Nm)
B
C
446Байду номын сангаас
A
Dx
-350 -700
d)
2、扭矩图（扭转变形）
常见梁的形式：
a、简支梁:一端为活动铰链支座， 另一端为固定铰链支座。
b、外伸梁:一端或两端伸出支座 之外的梁。
c、悬臂梁:一端为固定端，另一 端为自由端的梁。
a)截面法求AC段轴力。沿截面1-1处截 开，取左段如图(b)
(a)
Fx 0 FN1 F1 0
FN1 F1 2.5kN
(b)
b)求BC段轴力。沿2-2截面处截开，取
右段如图(C)
Fx 0 FN 2 F3 0
(c)
FN 2 F3 1.5kN A
3)根据各段外力规律，作图AB杆的轴力
功率、转速和扭矩的关系：
Me
9549
P n
其中：M 为外力矩(N.m) P 为功率(kW) n 为转速(r/min)
扭矩图：扭矩图描述扭矩沿轴线的变化。
2、扭矩图（扭转变形）
例2-5 如图主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、 D输出功率分别为PB = PC = 11kW，PD = 14kW，轴的转速
例2-1：如左图，求n-n面的内力。 解：由截面法如图，取左半部分
Fx 0 FN FP
2、外力与内力之间的相依关系
3、杆件内力变化的一般规律
*内力（沿杆的轴线）是位置（x）的函数；杆上集中 力、集中力偶将杆分成若干段，内力是分段函数。 *当杆件外力沿轴线发生突变（有集中力或集中力偶） 时，内力也将发生突变； *当杆件外力沿轴线发生渐变（有分布力或分布力偶） 时，内力也将发生渐变。
第章弯曲内力资料.
FS
qa
(+)
M
qa2/2
(+)
(-)
(-)
x
x qa2/2
qa2/2
剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x轴下侧
弯矩图为正值画在x轴上侧，负值画在x 轴下侧
杆件力学
三、剪力图和弯矩图的绘制
传统的方法一般都是根据剪力、弯矩方程来绘制 剪力和弯矩图，下面我们通过具体例题来分析剪 力和弯矩图的具体绘制方法。
剪力图和弯矩图
一、概念：
在一般情况下，梁截面上的剪力和弯矩随截面位
置不同而变化。若以横坐标Ｘ表示横截面在梁轴线上 的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为Ｘ的
函数，即：
1、剪力方程
FS= FS(x)
2、弯矩方程
M= M(x)
杆件力学
二、剪力图和弯矩图
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相 应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图
M
二、基本概念
1、弯曲变形
(1) 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.
(2) 变形特征
变形前为直线的轴线,变形后成为曲线,杆的任意两横截面绕
垂直于杆轴线的横向轴作相对转动.
F
qБайду номын сангаас
2、梁
以弯曲变形为主的杆件
A
C
B
3、平面弯曲
作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线 是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
(2）求1-1截面的内力
RA
10kN.m
2 A
1C
RB
B
FS1 FSC左 RA 4kN
第二章 杆件的内力与内力图
第二章 杆件的内力与内力图§2-1 杆件内力的概念与杆件变形的基本形式一、杆件的内力与内力分量内力是工程力学中一个非常重要的概念。
内力从广义上讲，是指杆件内部各粒子之间的相互作用力。
显然，无荷载作用时，这种相互作用力也是存在的。
在荷载作用下，杆件内部粒子的排列发生了改变，这时粒子间相互的作用力也发生了改变。
这种由于荷载作用而产生的粒子间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
需要指出的是：受力杆件某横截面上的内力实际上是分布在截面上的各点的分布力系，而工程力学分析杆件某截面上的内力时，一般将分布内力先表示成分布内力向截面的形心简化所得的主矢分量和主矩分量进行求解，而内力的具体分布规律放在下一步（属于本书第二篇中的内容）考虑。
受力杆件横截面上可能存在的内力分量最多有四类六个：轴力N F 、剪力y Q F )(和z Q F )(、扭矩x M 、弯矩y M 和z M 。
轴力N F 是沿杆件轴线方向（与横截面垂直）的内力分量。
剪力y Q F )(和z Q F )(是垂直于杆件轴线方向（与横截面相切）的内力分量。
扭矩xM 是力矩矢量沿杆件轴线方向的内力矩分量。
弯矩y M 和z M 是力矩矢量与杆件轴线方向垂直的内力矩分量。
二、杆件变形的基本形式实际的构件受力后将发生形状、尺寸的改变，构件这种形状、尺寸的改变称为变形。
杆件受力变形的基本形式有四种：轴向拉伸和压缩、扭转、剪切、弯曲。
1、轴向拉伸和压缩变形轴向拉伸和压缩简称为轴向拉压。
其受力特点是：外力沿杆件的轴线方向。
其变形特点是：拉伸——沿轴线方向伸长而横向尺寸缩小，压缩——沿轴线方向缩短而横向尺寸增大，如图4-1所示。
轴向受拉的杆件称为拉杆，轴向受压的杆件压杆。
图2-1 图2-2 土木工程结构中的桁架，由大量的拉压杆组成，如图2-2所示。
内燃机中的连杆、压缩机中的活塞杆等均属此类。
它们都可以简化成图2-1所示的计算简图。
2、剪切变形工程中的拉压杆件有时是由几部分联接而成的。
材料力学第二章内力计算(3课时合并)
物
理
FR
关 系
静
M
力
关
系
观察变形 提出假设
变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
Mechanics of Material
Chapter02 Calculation of internal force
教学要求 了解杆件内力的普遍情况 掌握拉压、扭转、弯曲的内力计算方法，熟悉截 面法的应用，绘制内力图
x
Mb /l
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
y
q
A xC
FAy
l
FS q l / 2
B 例5 简支梁受均布载荷作用
x
FBy 解： FAy＝ FBy＝ ql/2
F S x ＝ q l / 2 q x 0 x l
x M x ＝ q lx / 2 q x 2 / 2
变形后的轴线
变形后轴线为对称面内的平面曲线
用梁轴线代替梁
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
梁的力学模型的简化 梁的简化 取梁的轴线代替梁 载荷类型 支座的类型
静定梁的基本形式 简支梁(simply supported beam) 外伸梁(overhanging beam) 悬臂梁(cantilever beam)
Mechanics of Material
Chapter02 Calculation of internal force
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算 关于对称弯曲
纵向对称面
具有纵向对称面
材料力学 第2章
第二章杆件的内力分析第一节杆件拉伸或压缩的内力一、轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩：由一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的外力作用下引起的，沿杆件长度发生的伸长或缩短。
二、工程实例三、轴力轴力图1、轴力与杆轴线重合的内力合力。
轴力符号：拉伸为正，压缩为负。
∑=0X0122=-+F F N kNF F N 242212-=-=-= ∑=0X34=-N FkNF N143==任一截面上的轴力等于该截面一侧轴向载荷的代数和，轴向载荷矢量离开该截面者取正，指向该截面者取负。
2、轴力图正对杆的下方，以杆的左端为坐标原点，取平行于杆轴线的直线为x 轴，并称为基线，垂直于x 轴的N 轴为纵坐标。
正值绘在基线的上方，负值绘在基线的下方，最后在图上标上各截面轴力的大小。
注意：轴力图与基线形成一闭合曲线。
轴力图必须与杆件对齐。
在轴向集中力作用的截面上，轴力图将发生突变，其突变的绝对值等于轴向集中力的大小，而突变方向：集中力箭头向左时向上突变，集中力箭头向右时向下突变（图是从左向右画）。
例2-10第二节剪切的内力一、剪切的概念剪切：由一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力引起的横截面沿外力作用方向发生的相对错动。
剪切面或受剪面 m-m二、工程实例三、剪力第三节杆件扭转的内力一、扭转的概念扭转：由一对大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的力偶引起的杆的任意两个横截面绕杆轴线的相对转动。
ϕ：扭转角；γ：剪切角二、工程实例三、扭矩某一截面上的扭矩等于其一侧各外力偶矩的代数和。
外力偶矩矢量指向该截面的取负，离开该截面的取正。
四、 扭矩图在外力偶作用的截面上，扭矩图将发生突变，其突变的的绝对值等于该外力偶矩的大小，而突变方向：外力偶矩矢量方向向左的向上突变，向右则向下突变。
外力偶矩的计算公式：)(9550m N nP Mk ⋅=注意：kP 单位为kw ；n 单位为min r ；M 单位为m N ⋅第四节 梁弯曲时的内力一、 弯曲 变形的基本概念弯曲变形：由一对大小相等、方向相反，位于杆的纵向平面内的力偶引起的，杆件的轴线由直线变为曲线。
第二章 杆件的内力分析
第二章杆件的内力分析要想对杆件进行强度、刚度和稳定性方面的分析计算，首先必须知道杆件横截面上的内力，因此，本章主要对此作分析讨论。
首先引入了内力的基本概念和求内力的基本方法——截面法，然后讨论了各种变形情况下截面上的内力及求解和内力图的绘制，这是材料力学最基本的知识。
第一节内力与截面法杆件因受到外力的作用而变形，其内部各部分之间的相互作用力也发生改变。
这种由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
内力的大小随外力的改变而变化，它的大小及其在杆件内部的分布方式与杆件的强度、刚度和稳定性密切相关。
为了研究杆件在外力作用下任一截面m-m上的内力，可用一平面假想地把杆件分成两部分，如图2-1a。
取其中任一部分为研究对象，弃去另一部分。
由于杆件原来处于平衡状态，截开后各部分仍应保持平衡，弃去部分必然有力作用于研究对象的m-m截面上。
由连续性假设，在m-m截面上各处都有内力，所以内力实际上是分布于截面上的一个分布力系（图2-1b）。
把该分布内力系向截面上某一点简化后得到内力的主矢和主矩，以后就称之为该截面上的内力。
但在工程实际中更有意义的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量，如图2-1c，这六个内力分量分别对应着四种基本变形形式，依其所对应的基本变形，把这六个内力分量分别称为轴力、剪力、扭矩和弯矩。
（1）轴力。
沿杆件轴线方向（x轴方向）的内力分量FN，它垂直于杆件的横截面，使杆件产生轴向变形（伸长或缩短）。
（2）剪力。
与截面相切（沿y轴和z轴方向）的内力分量FQy、FQz ，使杆件产生剪切变形。
（3）扭矩。
绕x轴的主矩分量Mx，它是一个力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形。
（4）弯矩。
绕y轴和z轴的主矩分量My、Mz，它们也是力偶，使杆件产生弯曲变形。
为了求出这些内力分量，只需对所研究部分列出平衡方程就可。
这种计算截面上内力的方法通常称为截面法。
其步骤可归纳为：(1) 沿需要计算内力的截面假想地把构件分成两部分，取其中的任一部分作为研究对象, 弃去另一部分。
2章 杆件的内力和内力图-弯曲
弯矩：
使杆段下侧受拉为正 （对水平杆段左顺、右逆为正）， 反之为负
例题
一端固定另一端自由的梁，称为悬臂梁 。梁 承受集中力FP及集中力偶MO作用。
试确定 : 截面 C 及截面 D 上的剪力和弯矩。 C、D 截面与加力点无限接近。
MO=2FPl
D A C
F
P
B
l
l
解：1) 应用静力学平衡方程确定固定端的约束力。
MO=2FPl
D C l l
FP
B
F ＝0，
y
FQD－FP＝0
M
FP
M D M O FP 2l Δ＝0
D
＝0
MA＝0 A
MO=2FPl
D
因为D截面无限接近B截面 ，所以式中
FQD
Δ0
FQD＝FP
FP
l
l
MD
M D＝0
4) 讨论
本例中所选择的研究对象都是C、 D截面以左部分梁， 因而需要首先确定左端的约束力。如果以C、 D截面以右 部分梁作为平衡对象，则无需确定约束力。计算过程会更 简单些。
a
m
F
A
m
B
x (a)
FAy
FBy
y
FA R yA
m
FQ
C
x
(b)
A
x
m
a
由平衡方程得
yi
F
m
F
0
F
Ay
- FQ 0
A
m
x
B
可得
FQ = FAy
FAy
(a) y
m
FBy
R A FA y
FQ 称为 剪力
A
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弯矩（bending moment）
Fy 0 FA qx FSy (x) 0
Mc0
Fsy (x) qx FA
（对过截面形心 C 的 z轴
取矩，今后写为 M C ）
x
FAx qx 2 M Z (x) 0
M
z(x)
FAx
q 2
x2
剪力、弯矩的正负号
弯曲杆件的内力
2-1-3 梁的内力 剪力与弯矩
对称平面内的平面曲线。
发生弯曲变形的杆件称为梁 （beam）。
弯曲杆件的内力
2-1-3 梁的内力 剪力与弯矩
弯曲杆件的内力
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到 轴线上。
载荷的简化： 集中荷载，集中力偶，分布荷载
2-1-3 梁的内力 剪力与弯矩 梁的支承的简化
弯曲杆件的内力
一端是固定铰支约束，另一 端可动铰支约束，为简支梁
M
z(x)
FAx
q 2
x2
建议：求截面FS和Mz时，均按规定正向假设。
弯曲杆件的内力
2-1-3 梁的内力 剪力与弯矩
例1 外伸梁受力与支承情况如下图所示，求1-1、2-2两截
面的剪力与弯矩。
解： 1）求约束反力
MB0 M A0
2 5 F A 4 1 .5 4 2 0 F A 5 .5 k N
肋梁楼板
弯曲（bending ) 平面弯曲（plane bending )
弯曲杆件的内力
弯曲（bending ) 平面弯曲（plane bending )
受力特点： （集中力、分布力、集中力偶、
分布力偶）作用在杆过轴线的对称
平面内，并垂直于轴线。
变形特点： 轴线由直线变成了在过轴线
对称平面内的平面曲线。
和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。
解： 1） 求约束反力并验算 2） 分段列剪力与弯矩方程
M z M z ( x ) 弯矩方程 弯矩图
例7-2 下图所示简支梁，受集中力F作用，试列出梁的剪力方
程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。
2
1
解： 1） 求支座约束力
FA 3 F
FB 3 F
2） 分段列剪力与弯矩方程
分AC段和BC段建立内力方程。
根据力平衡方程得 ，BC段：
1 Fsy (x2 ) 3 F
(l 3
x2
l)
M
z (x2)
F 3
(l
x2 )
(l 3
x2
l)
弯曲杆件的内力
2-1-4 剪力图与弯矩图
注意：内力方程的分段！
F s y F s y ( x ) 剪力方程 M z M z ( x ) 弯矩方程
分段点设在外力有突变
剪力图 的截面处。 弯矩图
例2 下图所示简支梁，受集中力F作用，试列出梁的剪力方程
弯曲杆件的内力
2-1-4 剪力图与弯矩图
1)内力方程：梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变 化的，描述这种变化的数学表达式
Fs
y
Fsy ( x)
M z M z ( x)
FSy 、Mz为纵坐标; x轴为 横坐标，与梁的轴线一致
分别称为剪力方程和弯矩方程。
2）剪力图和弯矩图：
剪力图——剪力方程 Fsy（x）的图线表示； 弯矩图——弯矩方程 Mz（x）的图线表示； 注意：内力方程的分段！分段点设在外力有突变的截面处。
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时， 梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种 弯曲称为平面弯曲。
弯曲杆件的内力
弯曲（bending ) 平面弯曲（plane bending )
受力特点：
（集中力、分布力、集中力偶、 分布力偶）作用在杆过轴线的对称 平面内，并垂直于轴线。
变形特点： 轴线由直线变成了在过轴线
弯曲杆件的内力
2-1-4 剪力图与弯矩图
注意：内力方程的分段！
F s y F s y ( x ) 剪力方程 M z M z ( x ) 弯矩方程
分段点设在外力有突变
剪力图 的截面处。 弯矩图
例2 下图所示简支梁，受集中力F作用，试列出梁的剪力方程
和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。 解： 1） 求支座约束反力并验算
剪力FSy：作用线平行于横截面；
大小等于该截面左侧或右侧（保 留部分）梁上所有横向外力的合 力值；正负号：使杆件发生逆时 针转动的趋势为正，反之为负。
Fsy (x) qx FA
弯矩Mz：矩失沿z轴；其值等于
该截面左侧或右侧（保留部分）
梁上所有外力向截面形心取矩的
代数和；正负号：使杆件下部受
拉为正，反之为负。
简支梁的计算简图
2-1-3 梁的内力 剪力与弯矩 梁的支承的简化
弯曲杆件的内力
一端为固定约束，另一端自 由，即没有约束，为悬臂梁
悬臂梁计算简图
弯曲杆件的内力
2-1-3
梁的内力 剪力与弯矩 简支梁如图所示，若约束反
力 FA、 FB已求出，用截面法可
求梁任意横截面 I—I 上的内力 剪力（shearing force）
F B 4 1 .5 4 2 2 1 0 F B 2 .5 k N
2）求1-1截面上的剪力、弯矩
F y 0 Fsy1 2 k N M c 0 M z1 2 k N m
3）求2-2截面上的剪力、弯矩
弯曲杆件的内力
2-1-3 梁的内力 剪力与弯矩
例1 外伸梁受力与支承情况如下图所示，求1-1、2-2两截
第 2 章 应力状态分析-内力篇
2.1.1 轴向拉压杆的内力 2.1.2 扭转杆件的内力 2.1.3 梁的内力 剪力与弯矩 2.1.4 剪力图与弯矩图 2.1.5 载荷、剪力与弯矩间的关系
弯曲（bending ) 工程中有许多发生弯曲的构件
弯曲（bending ) 工程中有许多发生弯曲的构件
弯曲杆件的内力
面的剪力与弯矩。.5kN 2）求1-1截面上的剪力、弯矩
F y 0 Fsy1 2 k N
M c 0 M z1 2 k N m 3）求2-2截面上的剪力、弯矩
Fy 0 Fsy2 2.5 1.5 2 0.5kN
Mc 0 M z2 2.5 2 1.5 2 1 2kN m
FA
2 3
F
FB
1 3
F
2） 分段列剪力与弯矩方程
分AC段和BC段建立内力方程。
根据力平衡方程得 ，AC段：
2 Fsy ( x1 ) 3 F
M
z ( x1 )
2 3
Fx
(0
x1
l) 3
(0
x1
l) 3
弯曲杆件的内力
2-1-4 剪力图与弯矩图
注意：内力方程的分段！
分段点设在外力有突变
F s y F s y ( x ) 剪力方程 剪力图 的截面处。