高中数学人教A版必修2 第四章 圆与方程辅导教案

教案
学生姓名性别年级学科
授课教师上课时间年月日
第（）次课
共（）次课
课时：2课时教学课题人教版必修2第四章圆与方程
教学目标
知识目标：明确圆的基本要素，能用定义推导圆的标准方程；正确理解圆的一般方程及其特点．
理解直线与圆三种位置关系、掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解
的个数判断直线与圆位置关系的方法，能说出空间直角坐标系的构成，会自己画出空间直角坐标
系、能够在空间直角坐标系下表示点。

教学重点
与难点
教学重点：
1、圆的标准方程及一般方程的求法及其应用.
2、会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程及一般方程.
3、比较直线到圆心距离与圆半径的大小关系，判定直线与圆的位置关系。

4、通过解直线与圆方程组成的方程，根据解的个数，判定直线与圆的位置关系。

5、空间直角坐标系的建立过程
教学难点:
1、学生体会和理解解析法解决几何问题的数学思想。

2、位置关系《=》大小关系式《=》解的个数
3、根据弦长求直线方程
4、空间任意点的坐标如何表示
（一）圆的方程
知识梳理
1、圆的标准方程
基本要素:当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是_____和______标准方程: 圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是___________________
图示:
说明: 若点M(x，y)在圆C上，则点M的_______适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点M在_____ 上
[拓展] 特殊位置圆的标准方程
如下表所示.
条件方程形式
圆过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)
圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在原点x2＋y2＝r2(r≠0)
2.点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝(x0－a)2＋(y0－b)2.
位置关系
d与r
的大小
图示点P的坐标的特点
点在圆外d____r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2点在圆上d____r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内d____r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2
2、圆的一般方程
(1)方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，
其中圆心为______________，半径为r＝________________.
(2)说明：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圆．
当且仅当______________时，表示圆：
当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点____________；
当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤：
①根据题意，选择__________或__________；
②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的__________；
③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
[疑点]若一个二元方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，应满足的条件是：
①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4F>0
[拓展]
1.圆的标准方程和一般方程的对比
(1)由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显．
(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆
的代数特征明显．
(3)相互转化，如图所示．
2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
剖析：已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：
位置关系代数关系
点M在圆外x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F<0
3.轨迹方程
点M的坐标(x，y)满足的_________称为点M的轨迹方程．
[拓展]当动点M的变化是由点P的变化引起的，并且点P在某一曲线C上运动时，常用中间量法
(又称为相关点法)来求动点M的轨迹方程，其步骤是：
(1)设动点M(x，y)；
(2)用点M的坐标来表示点P的坐标；
(3)将所得点P的坐标代入曲线C的方程，即得动点M的轨迹方程．
例题精讲
【题型一、求圆的标准方程】
【例1】写出下列各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3；
(2)圆心在点C(3,4)处，半径是5；
(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)处．
【方法技巧】对于圆的标准方程的几点认识：
【例6】等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
【方法技巧】求轨迹方程的常用方法：
(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：
说明：因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以证明时步骤可以不写，如果有特殊情况，可适当予以说明．
(2)代入法(也称相关点代入法)：找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点的所在的方程．具体步骤如下：
①设所求轨迹上任意一点Q(x，y)，与点Q相关的动点P(x0，y0)；
②根据条件列出x，y与x0，y0的关系式，求得x0，y0(即用x，y表示出来)；
③将x0，y0代入已知曲线的方程，从而得到点Q(x，y)满足的关系式即为所求的轨迹方程．
巩固训练
1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的图形是( )
A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b) D．点(－a，－b)
2．下面各点在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上的是( )
A．(1,1) B．(2,1)
C．(0,0) D．(2，2)
【方法技巧】
1、直线与圆有两个公共点⇔直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点⇔直线与圆相切；直线与圆没有公共点⇔直线与圆相离．
2、解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径长的大小，而不用联立方程．
【题型二、弦长问题】
【例2】求直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2
＋y 2
－2y －4＝0截得的弦长．
【方法技巧】 1、思路1：
联立直线与圆的方程→求出交点坐标→利用两点间的
距离公式求解
思路2：
利用“半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形”列式→直接
求解
2、设直线l 的方程为ax ＋by ＋c ＝0，圆O 的方程为(x －x 0)2
＋(y －y 0)2
＝r 2
，求弦长的方法有以下三种： ①几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点．
如图所示，在Rt △OCB 中，|BC |2
＝r 2
－d 2
，则弦长|AB |＝2|BC |，即|AB |＝2r 2
－d 2
.
②代数法：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
ax ＋by ＋c ＝0，(x －x 0)2＋(y －y 0
)2＝r 2，消元后可得关于x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2的关系式， 则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝
(1＋1
k
2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].
注：上述公式通常称为弦长公式．
③联立直线与圆方程，求出两交点坐标，再由两点间的距离公式求弦长．
三种方法各有特点，解题时可以根据题目特点选用不同的方法，但前两种方法比较常用． 3、已知弦长，求其他问题时，也需利用以上思想方法
【方法技巧】1、思路1：
求圆C1，圆C2的半径r1，r2→求|C1C2|→
比较|C1C2|与|r1－
r2|，r1＋r2的大小
→
得出
结论
思路2：
联立圆C1，圆C2的方程→
整理成关于x或y
的一元二次方程
→
判断判别
式的符号
→得出结论
2、利用几何法判断两圆的位置关系，直观，容易理解，但不能求出交点坐标；利用代数法判断两圆的位置关系，不能准确地判断位置关系(如Δ＝0仅能说明两圆只有一个公共点，但确定不了是内切还是外切；Δ<0仅能说明两圆没有公共点，但确定不了是外离还是内含，所以必须借助于图形)．
【题型五、圆与圆的公共弦问题】
【例5】已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
【方法总结】
1、(1)将两圆的化成标准形式．
(2)
(3)思路1：求交点．
思路2：利用弦长公式求解．
2、(1)两圆的公共弦所在直线方程及长度求解步骤
①两圆的方程作差，求出公共弦所在直线方程；
②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；
③利用勾股定理求出半弦长，即得公共弦长．
(2)两圆圆心的连线垂直平分两圆的公共弦．
(3)两圆的公共弦长的求解转化为其中一个圆的弦长的求解．
（三）空间直角坐标系
知识梳理
1．空间直角坐标系
定义:以空间中两两_______且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标_______，x轴、y轴、z轴叫做__________．通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy平面、yOz平面、________平面
画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝__________，∠yOz＝90°
图示:
说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向____轴的正方向，食指指向____轴的正方向，如果中指指向_____轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
[疑点] 将空间直角坐标系画在纸上时，
①x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)；
②y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单
位长的
1
2
.
2．坐标
如图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、
y轴和z轴的_______，依次交x轴、y轴和z轴于点P，Q和R.设点P，Q和R在
x
轴，y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就和有序实数组(x，y，z)是
__________的关系，有序实数组__________ 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐
标，记作___________，其中x叫做点M的________，y叫做点M的________，z
叫做点M的________．
[拓展]
(1)．空间中两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的中点为P0(x0，y0，z0)，则
⎩⎪
⎨
⎪⎧x0＝
x1＋x2
2
，
y0＝
y1＋y2
2
，
z0＝
z1＋z2
2
.
这个公式称为空间直角坐标系中的中点坐标公式，是平面直角坐标系中中点坐标公式的拓展．
(2)．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标
【方法技巧】空间中点M坐标的确定方法：
(1)由点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交三个坐标轴于点P，Q和R，设这三个点在三个轴
上的坐标分别是x、y、z，则点M的坐标即为(x，y，z)；
(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标；
(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴
的垂线即可确定点M的坐标．
【题型二、空间两点间距离公式】
【例2】如右图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，作OD ⊥AC于点D，求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离．
【方法技巧】
1.建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
②充分利用几何图形的对称性．
2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．
【题型三、空间点的坐标的求法】
【例3】如右图所示，在底面是菱形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面的边长为a，且有一个角为120°，侧棱长为2a，在空间直角坐标系中确定点A1，D，C的坐标．
【方法技巧】点的坐标是用点在各个坐标平面xOy，yOz，zOx的射影来确定．
巩固训练
1．下列点在x轴上的是( )
A ．(0.1,0.2,0.3)
B ．(0,0,0.001)
C ．(5,0,0)
D ．(0,0.01,0)
2．在空间直角坐标系中，点M (－1,2，－4)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－1，－2,4) B ．(－1，－2，－4) C ．(1,2，－4) D ．(1，－2,4)
3．如下图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点B 1的坐标是( ) A ．(1,0,0) B ．(1,0,1) C ．(1,1,1) D ．(1,1,0)
4．坐标原点到下列各点的距离最小的是( ) A ．E (1,1,1) B ．F (1,2,2) C ．G (2，－3,5) D ．H (3,0,4)
5．在△ABC 中，已知A (－1,2,3)，B (2，－2,3)，C (12，5
2，3)，则AB 边上的中线CD 的长是________．
6．如下图所示，V －ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E ，F 分别为BC ，CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．。