初中整式的概念
什么是整式
什么是整式
代数表达式中不含除法或分数的有理式，以及有除法和分数但在除法或分母中不含变量的有理式，称为代数表达式。
单调和多项式统称为代数表达式。
单个数字或字母也是代数表达式，但代数表达式中的分母不能包含字母。
整式的概念：单项式和多项式统称为整式。
单项式是由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，分数和字母的积的形式也是单项式。
如：0、1、x、a、2xy均是单项式。
多项式是由若干个单项式相加减组成的代数式。
多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。
如：x+2xy、a+b、-2m+2n均是多项式。
分式的概念：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的等式叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式的分母中必须含有未知数；分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
初中数学整式的应用教案
初中数学整式的应用教案教学目标：1. 理解整式的概念，掌握整式的基本运算方法。
2. 能够运用整式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的解决问题的能力。
教学内容：1. 整式的概念及基本运算方法。
2. 整式在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾整数、分数、有理数的概念，为学生引入整式的概念做好铺垫。
2. 提问：整数和分数可以用来表示数量关系，那么有理数呢？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解整式的概念：整式是由整数、分数、变量和运算符组成的代数表达式。
2. 讲解整式的基本运算方法：加法、减法、乘法、除法。
3. 举例说明整式的应用：解决实际问题。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
四、拓展与应用（15分钟）1. 让学生分组讨论，找出生活中常见的整式应用问题。
2. 每组选取一个问题，进行解答和分享。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结整式的概念和应用。
2. 提问：通过本节课的学习，你有什么收获和感悟？教学评价：1. 课后收集学生的课堂练习作业，评估学生对整式的掌握程度。
2. 观察学生在课堂上的参与度和表现，评估学生的学习兴趣和积极性。
教学反思：本节课通过讲解整式的概念和基本运算方法，让学生掌握了整式的基本知识。
在实际问题中的应用环节，学生能够积极思考和讨论，找到了生活中的整式应用问题，并能够进行解答和分享。
整体来看，学生对整式的学习兴趣较高，课堂氛围良好。
但在教学过程中，也发现部分学生对整式的概念和运算方法理解不够深入，需要在今后的教学中加强巩固。
同时，可以尝试引入更多的实际问题，让学生更好地理解和应用整式。
初中数学 什么是整式的因式分解
初中数学什么是整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式表示为若干个因式相乘的形式。
在初中数学学习中，因式分解是一个非常重要的知识点，它能够帮助我们简化复杂的代数式，提高计算的效率。
本文将详细介绍整式的因式分解的概念、方法和步骤，并给出一些例题进行说明。
一、整式的定义首先，我们回顾一下整式的定义。
整式是由若干个单项式相加（减）而成的代数式。
例如，3x^2-2x+1就是一个整式。
其中，3x^2、-2x和1都是单项式，它们相加得到整式3x^2-2x+1。
二、整式的因式分解的概念整式的因式分解是将一个整式表示为若干个因式相乘的形式。
通过因式分解，我们可以找到整式的因子，进而简化整式的表达形式，便于计算和研究。
三、整式的因式分解的方法和步骤整式的因式分解可以采用不同的方法和步骤，具体取决于整式的形式和特点。
下面介绍两种常见的因式分解方法：公因式法和分组分解法。
1. 公因式法公因式法是一种常用的因式分解方法，它适用于整式中存在公因子的情况。
下面是公因式法的步骤：步骤1：观察整式中是否存在公因子。
步骤2：如果整式中存在公因子，将公因子提取出来。
步骤3：将整式除以公因子，得到一个简化的整式。
步骤4：将公因子和简化的整式相乘，得到原始整式的因式分解形式。
例如，对于整式6x^2+9x，我们可以观察到整式中存在公因子3x，因此可以进行因式分解。
6x^2+9x = 3x(2x+3)通过公因式法，我们将整式6x^2+9x分解为3x和2x+3两个因子相乘的形式。
2. 分组分解法分组分解法适用于整式中存在特定的形式或模式的情况。
下面是分组分解法的步骤：步骤1：根据整式的形式和特点，将整式进行分组。
步骤2：在每个分组中，找出一个公因子，将其提取出来。
步骤3：将每个分组的公因子和剩余部分相乘，得到一个简化的整式。
步骤4：将简化的整式进行合并，得到原始整式的因式分解形式。
例如，对于整式x^2+4x+4，我们可以观察到整式中存在平方项x^2和平方项系数为1的情况，因此可以进行因式分解。
七年级整式的概念
七年级整式的概念
整式是单项式和多项式的统称，是有理式的一部分。
在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。
单项式由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项
式（monomial）。
单独一个数或一个字母也是单项式，如Q，-1，a，π等。
所有的整式的分母中都不含字母；所有的整式都是代数式，但并不是所有的代数式都是整式。
在代数表达式中，如果只包含常数、变量和它们之间的四则运算（加、减、乘、除）及它们的幂运算，且不包含分式、根式、绝对值等运算，那么这个代数表达式就是一个整式。
换句话说，整式是由常数、变量及其乘积和幂运算按照数学规则组成的代数表达式。
如需了解更多关于七年级整式的概念，建议查阅教辅或咨询数学老师。
初中数学整式运算与方程的应用知识点梳理
初中数学整式运算与方程的应用知识点梳理整式运算是初中数学中的重要内容之一，它是数学中最基本的运算方式之一。
在整式运算的基础上，我们进一步学习了方程的知识。
方程是数学中研究未知数与已知数之间关系的一种数学工具，它在实际生活中的应用非常广泛。
下面我将详细梳理初中数学中整式运算与方程的应用知识点。
一、整式运算的基本概念1. 代数表达式：代数表达式是由数、未知数和运算符号通过运算法则连接而成的数学式子。
代数表达式可以进行加法、减法、乘法和除法的运算。
2. 单项式和多项式：一个只存在一个项的代数表达式被称为单项式，例如3x、-2y、4ab等。
一个存在多个项的代数表达式被称为多项式，例如 3x+4y、-2a+5b-7c 等。
3. 同类项和合并：一个多项式中具有相同未知数的项被称为同类项，可以相互合并。
合并同类项就是将同类项进行加法或减法运算。
4. 开花公式：开花公式是指两个一次式相乘得到一个二次式的计算方法，它展示了多项式相乘的结果。
二、整式运算的性质1. 交换律和结合律：加法和乘法都满足交换律和结合律，即加法满足数与数的相加顺序可以交换，乘法满足数与数的相乘顺序可以交换。
2. 分配律：乘法对于加法的分配律，即 a(b+c)=ab+ac。
这个性质在整式运算中经常使用。
三、整式运算的应用1. 模型与设方：将实际生活中的问题转化为数学问题，并设定一个或多个未知数，根据题目条件建立方程，这个过程称为模型与设方。
整式运算在模型与设方的过程中起到重要作用。
2. 整式运算与几何：整式运算与几何密切相关，比如计算多边形的周长和面积、体积等几何问题，往往需要用到整式运算。
四、方程的基本概念1. 方程：方程是一个含有未知数的等式，它表达了未知数与已知数之间的关系。
方程由等号将两个代数表达式连接而成。
2. 方程的解：方程的解是使得方程成立的未知数的值。
比如方程2x-5=7，解为x=6。
五、方程的应用1. 检验方程的解：我们可以通过将方程的解代入方程，验证是否成立。
整式基本概念(含答案)
一、【本章基本概念】★☆▲1、单项式和多项式统称整式。
①单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式称为单项式。
单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5。
·单项式的系数：单式项里的数字因数叫做单项式的系数。
·单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
②多项式:几个单项式的和叫做多项式。
其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
·多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做多项式的次数。
·多项式的命名：一个多项式含有几项，就叫几项式。
所以我们就根据多项式的项数和次数来命名一个多项式。
如：3n4－2n2＋1是一个四次三项式。
2、同类项——必须同时具备的两个条件（缺一不可）：①所含的字母相同；②相同字母的指数也相同。
·合并同类项，就是把多项式中的同类项合并成一项。
方法：把同类项的系数相加，而字母和字母的指数不变。
法则1.括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变符号；法则2.括号前面是“－”号,把括号和它前面的“－”号去掉,括号里各项都变符号。
▲去括号法则的依据实际是乘法分配律。
〖注意1〗要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据.〖注意2〗去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.〖注意3〗括号前面是“－”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号. 若括号前是数字因数时,可运用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号,以免发生错误.〖注意4〗遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数“－”的个数.4、整式的加减整式的加减的过程就是去括号和合并同类项。
如遇到括号，则先去括号，再合并同类项，合并到最简式为止。
5、本单元需要注意的几个问题①整式（既单项式和多项式）中，分母一律不能含有字母。
②π不是字母，而是一个数字，③多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
七年级同步第2讲：整式的基本概念教师-教师版
（1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和．例如：单项式- ab 2c ，它的指数项式 xy 2整式的基本概念内容分析整式的基本概念及合并同类项是在学生学习了有理数、用字母表示数和代数式等知识的基础上安排的．该章属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”部分，其主要内容包括整式、单项式、多项式；合并同类项；等．这些内容既是 对有理数的概括与抽象，又是后继学习整式加减运算的基础，还是学习物理、化 学等学科及其他科学技术不可缺少的工具．知识结构模块一：整式的基本概念知识精讲1、 单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．12为 1 + 2 + 1 = 4 ，是四次单项式．单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单2 32、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．例如： x 2 - 3x + 1 是多项式．x 2 y ，- b 2 ， ， 5x 2 - y 2 ， (m + n) ，【解析】 和 (m + n) 分母中含有字母，是分式的形式，不属于整式，单项式和多项式都xy 2 ， -a ， ， + 3 ， 25 t 7 ， -3a 2b 3c ， 2 ， - ．【答案】以上代数式是单项式的有： xy 2 ， -a ， 25 t 7 ， -3a 2b 3c ， 2 ， - ．- ，系数 - ，次数为 1．（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数．79（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面的符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列．3、整式：单项式和多项式统称整式．例题解析【例1】 在代数式整式共有（A 、51 1 x 1 1 x + 32 5 3x 6 a 3）个B 、6C 、7D 、8，0， y 2 + 6 y + 9 中，【难度】★【答案】Bx 13x a是整式，故本题中的整式共 6 个．【总结】本题主要考查整式的概念．【例2】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．2 3 a mn xbc 2 π【难度】★2 x3 π2 2xy 2 的系数为 ，次数为 3； 3 325 t 7 ，系数为 25，次数为 7；2，系数为 2，次数为 0；-a 的系数为-1，次数为 1；-3a 2b 3c ，系数为-3，次数为 6； x 1π π【解析】此题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目．（1）；（2）x+y--1．【答案】（1）此多项式的次数是3次，最高次项的系数为；（2）此多项式的次数是2次，最高次项的系数是-π．【例5】多项式5y4-x4+3x2y-xy2-5x2y3是几次几项式？2【例3】写出下列多项式的次数及最高次项的系数．3x3-6x2+94πxy43【难度】★3443【解析】这是一道基础题目，考查的是多项式的系数和次数的概念．【例4】解答题：（1）把多项式3a-5a3+6a2-2按a的降幂排列；（2）把多项式4x2y-5x3-3xy2+y3按y的升幂排列；（3）求多项式3x2-2x y-5y2+2的各项系数之和．【难度】★【答案】（1）-5a3+6a2+3a-2；（2）-5x3+4x2y-3xy2+y3；（3）-2．【解析】（1）（2）升降幂的概念的考查，（3）多项式3x2-2x y-5y2+2的各项系数分别为3，-2，-5，，这四个数字之和为-2．【总结】本题一方面考查多项式的排列，另一方面考查多项式中每一项的系数．12【难度】★★【答案】五次五项式【解析】多项式中所包含的单项式的次数最高的项是-5x2y3，是五次单项式，故此多项式的次数为五次，共五项，所以是五次五项式．【总结】本题主要考查几次几项式的概念．【例7】 多项式 - x 2 y m +1 + xy 2 - 3x 3 - 6 是六次四项式，单项式 2 x 3n y 5-m z 的次数与这【例6】 多项式 6x n +2 - x 2-n + 2 是三次三项式，求代数式 n 2 - 2n + 1 的值．【难度】★★【答案】0 或 4．【解析】多项式 6x n +2 - x 2-n + 2 是二次三项式，则分两种情况：（1）当 n + 2 = 3 时， n = 1 ，所以 n 2 - 2n + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 ；（2）当 2 - n = 3 时， n = -1 ，所以 n 2 - 2n + 1 = (-1 - 1)2 = 4 ．【总结】本题一方面考查了几次几项式的概念，另外由于没有说最高次项是哪一项，因此要分类讨论．15个多项式次数相同，求 m ，n 的值．【难度】★★【答案】 m = 3 ，n = 1 ．【解析】由题意知多项式是六次四项式，则可得：2 + m + 1 = 6 ，m = 3 ；又单项式的次数与多项式的次数相同，所以可得 3n + 5 - m + 1 = 6 ， 所以 n = 1 ．【总结】本题主要考查多项式的次数与单项式的次数，注意两个概念的不同之处．【例8】 设自然数 m 、n 满足1 ≤ m < n ，求多项式 2n x m + 2m y n - 2m +n xy 的次数？【难度】★★【答案】2 或者是 n ．【解析】（1）当 n ≤2 时，次数为 2；（2）当 n >2 时，次数为 n ．【总结】本题主要考查多项式的次数，注意多项式的次数与系数的指数无关．【例9】 请各写出一个符合条件的整式： （1）系数是 -1 ，次数是 3 的单项式； （2）系数是 3，次数是 1 的单项式； （3）常数项为 -2 的二次三项式．【难度】★★ 【答案】（1） - x 3 ；（2） 3x ； （3） x 2 + x - 2 ．【解析】这是一道开放性的题目，主要考查的是整式、单项式和多项式的基础概念，答案不唯一．【答案】 a 21（-1）n +1a n( )【例10】 下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个：8x 2 - 9x 4 + 2x - x 4 - 2x + x 2如果按此规律继续写下去，排在第 21 个的是什么样的单项式？【难度】★★★122【解析】根据观察，可以发现规律为 ，根据规律可得答案．n + 1【总结】这是一道找规律的题目，做题时要注意每一项的特征，另外这类型的题目也是近阶段的热点问题．【例11】 现有两个多项式，它们同时满足下列条件：（1）多项式中均只含有字母 x ；（2）每个多项式中各项系数的绝对值均为 2；（3）这两个多项式的和是一个 5 次多项式，这两个多项式的差是一个一次单项式．问：这两个多项式分别是多少？【难度】★★★【答案】 2 x 5 - 2 x ，2 x 5 + 2 x 或 -2 x 5 - 2 x ，- 2 x 5 + 2 x ．【解析】由于每个多项式的系数的绝对值为 2，则系数为 2 或者是-2．【总结】本题主要考查多项式的概念，另外还要注意对题意的准确理解．【例12】 已知有一组多项式，如下所示：1 1 37x 3 z 2 - 8x 3 y + x 2 yz - 3xy 2 z + 9x 4 zy - zy 2 - xyz + 9 y 3 z - -xz 2 y + z 32 5 10我们用下面的方法给这个多项式的每一项排序：（1）对于多项式的任意两项，先看 x 的次数，规定 x 的次数高的项排在 x 的次数低的项的前面;（2）再看 y 的次数，规定 y 的次数高的项排在 y 的次数低的项的前面；（3）再看 z 的次数，规定 z 的次数高的项排在 z 的次数低的项的前面．请问：（1）将这个多项式按上述法则排序，那么9 y 3 z 应排在第_______（几）位．（2）请问 9 x 4 zy 排在________位．（3）请按照上述排序写出这个多项式．（3） 9x 4 zy - 8x 3 y + 7x 3 z 2 + x 2 yz - 3xy 2 z + xyz 2 - xyz + 9 y 3 z - zy 2 + z 3 ．【难度】★★★【答案】（1）8；（2）1；1 1 32 5 10【解析】首先按照 x 的降幂排列，在 x 的次数相同的情况下按 y 的降幂排列，在 y 的次数相同的情况下按照 z 的降幂排列．【总结】本题主要考查多项式的排列，注意对概念的准确理解．师生总结1、单项式学习中主要注意哪几个方面？2、多项式学习中主要注意哪几个方面？模块二：合并同类项知识精讲1、同类项的概念：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2、合并同类项：合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．① 2m 2n 和 2a 2b ； ② - x 3y 和 yx 3 ；⑥ - 和 2 ．；（2） -2m 3 + n 3 ；（3） 3a 2 - a - m ． 【解析】（1）原式 = ( x 2 - 3x 2 ) + (- x - 2x) + (5 + ) = -2x 2 - 3x +； （3）原式 = 3a 2+ (-2a + a - a) + (-7m - m ) = 3a 2 - a - m ．⎧4m = 2 【解析】由题意，可得： ⎨ ，解得： ⎨ 2 ，所以 2m + 3n = 2 ⨯ + 3 ⨯ 2 = 7 ．⎪⎩n = 2 + =例题解析【例13】 下列各组单项式中属于同类项的是：1 2③ 6xyz 和 6xy ；④ 0.2 x 2y 和 0.2xy 2；⑤ xy 和 - yx ；12【难度】★【答案】②⑤⑥【解析】①③两个单项式所含字母不相同；④相同字母的次数不相同．【总结】本题主要考查同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式，注意同类项与字母的顺序无关．【例14】 合并下列同类项：1（1） x 2 - x + 5 - 2x + - 3x 2 ；2（2） m 3 - n 3 - 3m 3 + 2n 3 ；1 4 1（3） -7m - m + 3a 2 - 2a + a - a ．7 3 3【难度】★【答案】（1） -2x 2 - 3x +11 502 711122（2）原式 = (m 3 - 3m 3 ) （ - n 3 + 2n 3） -2m 3 + n 3 ；4 1 1 503 3 7 7【总结】本题主要考查合并同类项的概念，合并时只需要将同类项的系数相加减即可．【例15】 单项式 -9 x 4m y 4 与 3x 2 y 2n 是同类项，求 2m + 3n 的值．【难度】★【答案】7⎧1 ⎪m = 1 ⎩4 = 2n2【总结】本题主要考查同类项的概念．2 yx 2 ；2 yx 2 ) + 0.15x 2 y 2 - 0.1y 2 x = 0.62x 2 y + 0.15x 2 y 2 - 0.1xy 2 ；【例17】 单项式 - x a +b y a -3b 与 3x 2y 是同类项，求 a - b 的值．⎪⎪ a = ⎪b = 1【例18】 如果 - x m -3 y 2 + x 2 y 2 是五次多项式，求 m 的值．【例16】 合并下列同类项（1） 0.12x 2y + 0.15x 2 y 2- 0.1y 2x + 1（2） 3x n +1 y 2 - 4 x n y n - 2 y 2 x n +1 - y 2 x n +1 ；（3） 0.8a 2b - 6ab - 3.2a 2b + 5ab + a 2b ．【难度】★★【答案】（1） 0.62 x 2 y + 0.15 x 2 y 2 - 0.1y 2 x ； （2） -4 x n y n ； （3） -1.4a 2b - ab ．【解析】（1）原式 = (0.12x 2 y +1（2）原式 = (3x n +1 y 2 - 2x n +1 y 2 - x n +1 y 2 ) - 4x n y n = -4x n y n ；（3）原式 = (0.8a 2b - 3.2a 2b +) + (-6ab + 5ab) = -1.4a 2b - ab ．【总结】本题主要考查的是合并同类项，若是同类项只需将相应的系数相加减即可．13【难度】★★【答案】 32⎧a + b = 2【解析】由题意，可得： ⎨⎩a - 3b = 1【总结】本题主要考查同类项的概念．79 【难度】★★【答案】6【解析】由题意得 m - 3 + 2 = 5 ，m = 6 ．【总结】本题主要考查几次几项式的概念．【例20】 已知： x = 3 ， y = 1 ．求 3x 2 - ⎡2xy 2 - 2(3x 2y + xy 2)⎤ 的值．【解析】 3x 2 - ⎡2xy 2 - 2(3x 2y + xy 2)⎤ = 3x 2- 2xy 2+ 6x 2y + 2xy 2= 3x 2+ 6x 2y ．【例19】 已知 x < -4 ，化简： 2 - x + 3 x + 4 - x - 4 ．【难度】★★【答案】 -4x - 16 ．【解析】因为 x < -4 ，所以 -x > 0 ， x + 4 < 0 ， x - 4 < 0 ．所以 2 - x + 3 x + 4 - x - 4 = -2x - 3x - 12 + x - 4 = -4x -16 ．【总结】本题一方面考查绝对值的化简，另一方面考查合并同类项．⎣⎦【难度】★★【答案】81 或-27．⎣⎦因为 x = 3 ， y = 1 ，所以可得 x 2 = 9 ，y = ±1 ．当 x 2 = 9 ，y = 1 时， 3x 2 + 6x 2 y =81；当 x 2 = 9 ，y = -1 时， 3x 2 + 6 x 2 y = -27 ．【总结】本题主要考查合并同类项及多项式求值的问题．【例21】 多项式 5x 2 - 2mxy - 3 y 2 + 4xy - 3x + 1 中不含 xy 项，求 -m 3 + 2m 2 - m + 1 - m 3 - 2m 2 + m - 4 的值．【难度】★★★【答案】 -19 ．【解析】因为多项式 5x 2 - 2mxy - 3 y 2 + 4xy - 3x + 1 中不含 xy 项，所以 -2m + 4 = 0 ，解得 m = 2 ．所以 -m 3 + 2m 2 - m + 1 - m 3 - 2m 2 + m - 4 = -2m 3 - 3 = -2 ⨯ 23 - 3 = -19 ．【总结】本题一方面考查合并同类项的概念，另一方面考查对多项式中不含某一项的理解．取值无关，所以可得：⎨，解得：⎨．a+3=0b=1（（3【例22】已知代数式(2x2+ax-y+6)-(2bx2-3x-y-1)，（1）当a=________，b=___________时，此代数式的值与字母x，y的取值无关．（2）在（1）的条件下，多项式3(a2-2ab-b2)-(4a2+ab+b2)的值为_______．【难度】★★★【答案】（1）-3，1；（2）8．【解析】1）原多项式可以化简为：2-2b)x2+(a+3)x+7，因为代数式的值与字母x，y的⎧2-2b=0⎧a=-3⎩⎩（2）∵3(a2-2ab-b2)-(4a2+ab+b2)=3a2-6ab-3b2-4a2-ab-b2=-a2-7ab-4b2，⎧a=-3∴当⎨时，-a2-7ab-4b2=-(-3)2-7⨯(-3)⨯1-4⨯12=8．⎩b=1【总结】本题主要是理解代数式的值与某一项无关时，则说明相关项的系数为零．【例23】一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（）那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子被剪为9段，若用剪刀在虚线a、b之间把绳子再剪（n－2）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是多少？（用n表示）图（1）图（2）图（3）【难度】★★★【答案】4n+1．【解析】当n=1时，绳子的段数由原来的1根变成5根，即多出4根；当n=2时，绳子为1+8段，多出8段．即每剪一次，就能多出4段绳子；所以当剪n次时，多出4n条绳子，即绳子的段数为4n+1．【总结】本题是一道规律题，主要考查学生的理解能力和观察能力．2ab2，b，3，x+x2，m2n-mn+3n-2，3，x+y，x2+【答案】单项式：ab2，；多项式：x+x2，m2n-mn+3n-2，3；3，x2+x；二次多项式：x2+x；整式：ab2，11x-23，x+x2，m2n-mn+3n-2，3，x+y．3，22a3b4，x，-3，3x+1，abc3，abc；22a3b4的系数是4，次数是7；-xy3的系数是-，次数是2；随堂检测【习题1】讲下列代数式分别填入相应的括号内：1a113x-211x2-3单项式（）；多项式（）；二项式（）；二次多项式（）；整式（）．【难度】★11 231x-2 2二项式：x-21231【解析】本题主要考查的是单项式、多项式以及整式的相关概念．【习题2】下列代数式中那些是单项式？并指出这些单项式的系数和次数：x-15xy【难度】★【答案】单项式有：22a3b4，-xy13abc的系数是1，次数是3．【解析】本题主要考查的是单项式的次数和系数的概念，比较基础．a （1） x 4 + 2x 2 - 1； （2） 2ab + ； （3） a 3 + 2ab 3 + b 3 - a 3b ； （4） ．【答案】 x 4 + 2x 2 - 1和 a 3 + 2ab 3 + b 3 - a 3b 是多项式，其中 x 4+ 2x 2 - 1是四次三项式，【习题5】若 -9a 3m +2b 5 m - 5 n 与 a 2b 是同类项，求 m ， n 的值． 【答案】 m = 0 ， n = - ．⎧m = 0⎪⎪ 3 m + 2 = 2【解析】由同类项的概念，可得 ⎨ ，解得： ⎨ 5 ． ⎪ m - n = 1 ⎪⎩23 3 3 b ⎩ b c【习题3】 写出下面式子的同类项（写出一个即可）：5x 2 y πc 11a（1） ； （2） - ； （3） xy 7 z 2 ；（4） π ．6 2【难度】★【答案】（1） 3x 2 y ；（2） -3c 11 ；（3） -3xy 7 z 2 ；（4）0．【解析】本题主要考查同类项的概念．【习题4】 下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式．4 a x + y5 b x【难度】★ 4 4 5 5a 3 + 2 ab + b - a 是四次四项式．【解析】（2）和（3）分母中都含有字母，不是整式．【总结】本题主要考查多项式的概念以及几次几项式的概念．1 2 2【难度】★★52⎧ 1 ⎪ 2 2 n =- ⎪ 55【总结】本题主要考查同类项的概念．【习题6】同时都含有 a ，， ，且系数为1 的 7 次单项式共有（A ．4B ．12C ．15D ．25【难度】★★【答案】C）个【解析】a 、b 、c 的系数分别是 1、1、5； 1、2、4；1、3、3； 1、4、2；1、5、1；2、1、4； 2、2、3； 2、3、2； 2、4、1；3、1、3；3、2、2；3、3、1；4、1、2；4、2、1；5、1、1，共有 15 个．【总结】本题主要考查单项式的次数的概念．【解析】由题意可得： ⎨ ，解得： n = 0 ．y【解析】由题意得： ⎨，解得： ⎨ ，所以 a + b = 1 - 3 = -2 ． -b - 3 = 0 b = -3【解析】由题意得： ⎨ ，解得： ⎨ 或 ⎨ ．当 ⎨ 时， m 2 - 2mn + n 2 = 1 ； 当 ⎨ 时， m 2 - 2mn + n 2 = 25 ． y【习题7】填空：若单项式 (n - 2)x 2 y 1-n 是关于 x ， 的三次单项式，则 n = 【难度】★★【答案】0⎧⎪ 1 - n = 1 ⎪⎩n - 2 ≠ 0【总结】本题主要考查与单项式有关的概念，解题时注意对题意的准确理解．【习题8】将多项式 x 2 y - 4 x y 2 + 2 x 3 y - 1 按 x 的降幂排列，并指出是几次几项式，并指出系数最小的项．【难度】★★【答案】按 x 的降幂排列为：2x 3 y + x 2 y - 4xy 2 - 1 ；是四次四项式；系数最小的项是 -4 x y 2 ．【解析】本题考查的是与多项式有关的概念，注意对概念的理解．【习题9】若多项式 x 4 - ax 3 + x 3 - 5x 2 - b x - 3x - 1 不含 x 的奇次项，求 a + b 的值．【难度】★★【答案】 -2 ．⎧-a + 1 = 0 ⎧a = 1 ⎩ ⎩【总结】本题主要考查多项式的合并，另外要准确理解多项式中不含某一项的含义．【习题10】 多项式 5x 2 y m + (n - 3) y 2 - 2 是关于 x ， 的四次二项式，求 m 2 - 2mn + n 2 的值． 【难度】★★【答案】1 或者 25⎧ |m | = 2 ⎧m = 2 ⎧m = -2 ⎩n - 3 = 0 ⎩n = 3 ⎩n = 3⎧m = 2 ⎧m = -2 ⎩n = 3 ⎩n = 3【总结】本题一方面考查四次二项式的概念，另一方面要注意m 的值有两种情况注意讨论．【习题12】化简： a 3b 2 - a 2b - 2ab + 5a 3b 2 - + + 3ab + ba 2．【答案】 a 3b 2 + a 2b + ab +【解析】原式=（ + 5）a 3b 2 + ( - )a 2b + (3 - 2)ab - + = a 3b 2 + a 2b + ab + ．n【习题11】 去括号，再合并同类项： 2 (x3 - x 2 + 2x - 4)- (x 2 + 3x - 10)．【难度】★★【答案】 2x 3 - 3x 2 + x + 2 ．【解析】原式= 2x 3 - 2x 2 + 4x - 8 - x 2 - 3x + 10 = 2x 3 - 3x 2 + x + 2 ． 【总结】本题主要考查合并同类项的方法．5 1 1 5 26 3 3 6 3【难度】★★35 1 16 3 25 2 1 1 5 35 1 16 3 3 3 6 6 3 2【总结】本题主要考查合并同类项，在计算的过程中注意符号．【习题13】 设 m ， 表示正整数，多项式 x m + y n - 4m +n 是几次几项式？ 【难度】★★★【答案】m 或 n 次三项式（m 、n 中较大的数）．【解析】由于 4m +n 是常数项 ，所以（1）当 m >n 时，是 m 次三项式；（2）当 m <n 时，是 n 次三项式．【总结】本题主要考查多项式的次数，注意多项式的次数与系数的指数无关．【习题14】 一个多项式按 x 的降幂排列，前几项如下： x 10 - 2 x 9 y + 3x 8 y 2 - 4 x 7 y 3 + ... 试写出它的第七项及最后一项，这个多项式是几次几项式？【难度】★★★【答案】第七项是： 7 x 4 y 6 ，最后一项是：11y 10 ，这个多项式是七次十一项式．【解析】由于每项的系数的符号按正负交替变换的，系数的绝对值依次加1，字母 x 的次数依次减 1，字母 y 的次数依次加 1，可知第七项和最后一项分别为 7 x 4 y 6 ，11y 10 ．【总结】本题是一道规律题，注意对题意的准确理解．【答案】（1）1；（2）．】2．，-5，3mn-m，3y，多项式：x+3y，4a2-a+7，a-b整式：-ab，πR2，-5，3y，x+3y，4a2-a+7，a-b【习题15】已知(2x-1)7=a+a x+a x2+...+a x7对任意x的值都成立，求下列各式的值：0127（1）a+a+a+...+a；（2）a+a+a+a．01271357【难度】★★★1+372【解析（1）由于(2x-1)7=a+a x+a x2+...+a x7对于任意x的值都成立，所以可令x=1，0127从而可求出代数式a+a+a+...+a=1；0127（2）令x=-1，可得a-a+a-...-a=-37，再与a+a+a+...+a=1相减除以2，01270127即可得出a+a+a+a=13571+37【总结】在本题中要注意x=1和x=-1的特殊含义．课后作业【作业1】下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？-ab，πR2，x+3y，4a2-a+7，b1a-ba3．【难度】★【答案】单项式：-ab，πR2，-5，3y；3；3．【解析】本题主要考查了单项式和多项式的概念．【作业2】指出下列多项式是几次几项式，并指出系数最小的项：（1）13y-2xy-18x3y-7x2y2；（2）-3xy2-5x2y-x3y+2y-1．【难度】★【答案】（1）是四次四项式，系数最小的项是-18x3y；（2）是四次五项式，系数最小的项是-5x2y．【解析】多项式的次数是根据每一个单项式的最高次数定的．【作业3】合并同类项：（1）3x3-2x3-x3；（2）4a2+a-5-6a3+1-4a2+3a3；（3）4x2-8x+5-3x2+6x-2．【难度】★【答案】（1）0；（2）-3a3+a-4；（3）x2-2x+3【解析】（1）原式=(3-2-1)x3=0；（2）原式=(-6+3)a3+(4-4)a2+a-(5-1)=-3a3+a-4；（3）原式=(4-3)x2-(8-6)x+(5-2)=x2-2x+3．【总结】合并同类项的关键是将同类项的系数相加减．【作业4】将多项式a5-3a4b-11a2b3-b5+7a3b2+6ab4（1）按a的降幂排列；（2）按b的降幂排列．【难度】★★【答案】（1）a5-3a4b+7a3b2-11a2b3+6ab4-b5；（2）-b5+6ab4-11a2b3+7a3b2-3a3b+a5．【解析】注意审题，看清楚题目的要求．【作业5】若 -0.11x a +b y a -b 与x a -1 y 3是同类项，求 a ， b 的值． ⎩ a - b = 3 ，解得： ⎨⎩b = -1【作业6】若 x 4a y 4 z b 和 7 x 8 y a -2c 是同类项，求 a + b + c 的值．【解析】由题意可得： ⎨4 = a - 2c ，解得： ⎨b = 0 ，所以 a + b + c = 2 + 0 - 1 = 1 ． ⎪b = 0 ⎪c = -1 （1） x 2 y - x 2y ；（3） 3x 2 y - xy 2 - 3 3 xy 2 + 2x 2 y -y 2 x ．【答案】（1） x 2 y ；（2） -2ab ；（3） x 2y - 2 3 xy 2 ．【解析】（1）原式 = (1- ) =5 x 2y ；（3）原式 = (3 - 32 x 2 y - xy 2 ．5 9【难度】★★【答案】 a = 2 ， b = -1 ．⎧a + b = a - 1 ⎧a = 2 【解析】由题意可得： ⎨．【总结】本题主要考查同类项的概念．13【难度】★★【答案】1．⎧4a = 8 ⎧a = 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩【总结】本题主要考查同类项的概念．【作业7】合并同类项： 1 5（2） 4a 2 + 3b 2 + 2ab - 4a 2 - 3b 2 - 4ab ；1 32 yx 2 + 2【难度】★★4 7 521 4 5（2）原式 = (4 - 4)a 2 + (3 - 3)b 2 + (2 - 4)ab = -2ab ；1 2 7 22 + 2)x 2 y + (-3 + 3 - 1)xy 2 = 3【总结】合并同类项的关键是合并同类项的系数．5m 3 + 3m 2n - 6mn 2 + 9n 3 =_______________． 5m 3 + 3m 2 ⨯ (-2m ) - 6m ⨯ (-2m )2 + 9 ⨯ (-2m )3 = 97 ．【作业10】 如果 -a m -3 b 与 ab 4n 是同类项，且 m 与 n 互为负倒数，求⎝ 4 - 4 ⎪- m - 11 值．n - mn - 3⎧⎪ m - 3 = 1 1 4 ，又因为 m 、n 互为负倒数，所以 m = 4 ，n = - ．所以 n - mn - 34 ． ⎝ 4 - 4 ⎪- m - 11 = n - mn - m + 1 = - + 1 - 4 + 1 = -⎩【作业8】边长分别为 a 和 2a 的两个正方形按如图的样式摆放，求左图中阴影部分的面积．【难度】★★【答案】 2a 2．2a1【解析】 S 阴 = S 正1 + S 正2 - S 三角形 = 4a 2 + a 2 - 2 ⨯ 2a ⨯ 3a = 2a 2 ．【总结】本题主要考查整式的运算在几何图形求面积中的运用．2a aa【作业9】设 m 和 n 均不为零， 3x 2 y 3 和 -5x 2+2m +n y 3 是同类项，则3m 3 - m 2n + 3mn 2 + 9n 3【难度】★★★【答案】 5597【解析】由题意可得： 2 + 2m + n = 2 ，解得 n = -2m ．所以原式= 3m 3 - m 2 ⨯ (-2m ) + 3m ⨯ (-2m )2 + 9 ⨯ (-2m )3 -55m 3 55 -97m 3 =【总结】本题主要考查同类项的概念和整体代入思想的运用．13⎛ m ⎫ 1⎭ 4 【难度】★★★【答案】【解析】由题意可得： ⎨ ，解得： m = 2 或者 m = 4 ， n = ± ⎪ 4n = 114⎛ m ⎫ 1 1 9 ⎭ 4 4 【总结】本题综合性较强，解题时注意对每一个条件的准确理解和运用．。
初中整式教案
初中整式教案教学目标：1. 理解整式的概念，掌握整式的基本性质和运算规律；2. 能够正确列出和简化整式；3. 能够运用整式解决实际问题。
教学内容：1. 整式的概念与分类；2. 整式的基本性质；3. 整式的运算规律；4. 整式在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的有理数、代数式等知识；2. 提问：同学们，你们认为什么样的式子可以称为整式呢？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解整式的概念：整式是由数字、变量和运算符组成的代数式，其中变量或变量的指数为非负整数；2. 讲解整式的分类：单项式、多项式；3. 举例说明整式的基本性质：整式的系数、次数等；4. 讲解整式的运算规律：加法、减法、乘法、除法等；5. 练习题：让学生动手计算一些整式的运算。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题；2. 引导学生互相讨论，解决疑难问题；3. 教师讲解答案，解析解题思路。
四、应用拓展（10分钟）1. 让学生思考：整式在实际生活中有哪些应用？2. 举例说明：速度、路程、面积等问题；3. 让学生尝试解决一些实际问题，如：计算商品的折扣等。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结整式的概念、性质和运算规律；2. 强调整式在实际问题中的应用。
教学评价：1. 课后作业：布置一些有关整式的练习题，检查学生对知识的掌握程度；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；3. 实际应用：让学生解决一些实际问题，检验学生对整式的理解和运用能力。
教学反思：本节课通过讲解整式的概念、分类、性质和运算规律，使学生掌握了整式的基本知识。
在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，对整式的运算有一定的掌握。
但在实际应用环节，部分学生对整式的应用还不够熟练，需要在今后的教学中加强练习和引导。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
初中整式的认识教案
初中整式的认识教案教学目标：1. 理解整式的概念，掌握整式的基本性质。
2. 能够正确列出和识别整式，并进行简单的运算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。
教学重点与难点：1. 重点：整式的概念及其基本性质。
2. 难点：整式的运算规则。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的代数式知识，如单项式、多项式等。
2. 提问：你们认为整式是怎样的一个概念？它与代数式有什么关系？二、新课讲解（20分钟）1. 介绍整式的定义：整式是只包含有理数、变量和它们的乘积以及加减运算的代数式。
2. 讲解整式的分类：单项式和多项式。
3. 解释整式的基本性质，如：整式的系数是有理数，变量是字母表示的数等。
4. 举例说明如何识别整式，并进行简单的运算。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固对整式的认识。
2. 引导学生讨论解题过程中遇到的问题，共同解决。
四、总结与拓展（10分钟）1. 总结整式的概念及其基本性质。
2. 提问：整式在日常生活中有哪些应用？3. 引导学生思考整式与其他数学概念的联系，如函数、方程等。
教学反思：本节课通过回顾已学的代数式知识，引导学生认识整式，理解整式的概念和基本性质。
通过课堂练习，让学生能够独立识别和运算整式。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和积极性。
在拓展环节，可以结合实际生活中的例子，让学生感受整式的重要性，激发学生的学习兴趣。
整式(概念)
整式单项式和多项式统称为整式。
代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式。
(含有字母有除法运算的，那么式子叫做分式fraction.)整式可以分为定义和运算，定义又可以分为单项式和多项式，运算又可以分为加减和乘除。
加减包括合并同类项，乘除包括基本运算、法则和公式，基本运算又可以分为幂的运算性质，法则可以分为整式、除法，公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂。
整式和同类项1.单项式（1）单项式的概念：数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。
注意：数与字母之间是乘积关系。
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
如果一个单项式，只含有数字因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为—1。
（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
多项式中的符号，看作各项的性质符号。
一元N次多项式最多N+1项（2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
（3）多项式的排列：1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的位置，而保持原多项式的值不变。
为了便于多项式的计算，通常总是把一个多项式，按照一定的顺序，整理成整洁简单的形式，这就是多项式的排列。
在做多项式的排列的题时注意：(1)由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。
(2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意：a.先确认按照哪个字母的指数来排列。
初中数学 什么是整式
初中数学什么是整式整式是指由常数、字母和它们的乘积以及它们的和、差构成的代数表达式。
在初中数学中，整式是一个基础而重要的概念，它是代数运算的基本单位，也是解决各种数学问题的重要工具。
下面将详细介绍整式的定义、性质和应用。
一、整式的定义整式是由常数、字母和它们的乘积以及它们的和、差构成的代数表达式。
整式可以包含一个或多个项，每个项由系数、字母和指数构成，且同一字母的指数必须是非负整数。
二、整式的性质1. 项的性质：整式中的每一项都是由常数、字母和它们的乘积构成，其中常数称为该项的系数，字母称为该项的字母部分，字母的指数表示该字母的幂次。
2. 同类项的性质：整式中的同类项是指具有相同字母部分和相同指数的项。
同类项可以进行合并，合并时保留它们的共同字母部分和指数，系数相加。
3. 整式的加减性质：整式的加法和减法运算遵循交换律和结合律，可以通过合并同类项来简化整式。
4. 常数项的性质：只含有常数项的整式称为常数整式，常数整式的运算结果仍为常数。
三、整式的应用整式在数学中有着广泛的应用，特别是在代数运算、方程求解和数学建模等方面。
1. 代数运算：整式的加减法运算是代数运算的基础，通过整式的加减法运算，可以简化复杂的代数表达式，从而进行进一步的运算和求解。
2. 方程求解：在方程求解中，整式被广泛应用。
将一个方程转化为整式的形式，可以利用整式的性质和运算规则，解决方程的求解问题。
3. 函数的表示：在函数的表示中，整式可以用来表示函数的表达式。
通过整式表示函数，可以进行函数的运算、分析和研究，从而深入理解函数的性质和特点。
4. 数学建模：在数学建模中，整式可以用来描述和分析实际问题，将问题转化为数学模型。
通过将问题中的信息转化为整式，可以进行整式的加减法运算，最终得到问题的解答。
总之，整式是由常数、字母和它们的乘积以及它们的和、差构成的代数表达式。
整式具有一系列的性质和运算规则，并在代数运算、方程求解和数学建模等方面有着广泛的应用。
初一上 第一讲 整式的概念(一)
第一讲整式的概念【知识要点】1．字母表示数:字母表示数具有简明、普遍的优越性。
从具体的数过渡到用字母表示数，渗透了从特殊到一般的抽象概括的思维方式。
2．列代数式:即用字母把数字和数量关系简明地表示出来。
3．代数式的值:列代数式解决问题时，往往要根据代数式里的字母的取值来确定代数式的值，因此求代数式的值是运用列代数式解决问题的一个重要方面。
4．整式: 最简单、最基本的代数式（1）单项式:由数与字母的积或字母与字母的积组成的代数式叫单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
（2）多项式：几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列，反之按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列。
如：多项式34322--+-按y的降幂排列为x y y xy x y532743223x y x y xy y7523-++--。
--++-，按y的升幂排列为32234 3257y xy x y x y【学习目标】1．正确理解单项式、单项式系数、单项式的次数、多项式、多项式系数、多项式的次数、整式等含义；2．会用抽象的数学语言描述实际问题；【典型例题】1．用字母表示数【例1】黑板的长为2.5米，宽为b米，则他的面积和周长分别是多少？【分析】本题是根据长方形的性质求解的，要熟记长方形的面积公式，周长公式。
【解答】面积22.5 2.5()b b =⨯=米 周长()()2.522 2.5()b b =+⨯=+米【点评】数字与字母或数字与括号相乘时，通常省略乘号，但要把数字写在字母或括号前面。
【例2】 请用字母表示已学过的四则运算律，如加法结合律等。
【解答】加法交换律：a b b a +=+加法结合律：)()(c b a c b a ++=++乘法交换律：a b b a ⨯=⨯乘法结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯乘法分配律：bc ac c b a +=⨯+)(【点评】这里的“×”号，只是为了使表达清晰，实际做题时要注意书写规范。
【全】初中数学整式知识点总结精选全文
可编辑修改精选全文完整版整式一．知识框架二.知识概念1．单项式：数字或字母的乘积叫单项式.2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的系数；单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3．多项式：几个单项式的和叫多项式.4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。
5.常数项：不含字母的项叫做常数项。
6.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类型。
7.合并同类项（1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
（2）法则：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变（一变、两不变；一变是指同类项的系数变；两不变是指相同字母和相同字母的指数不变。
）（3）步骤：•找：准确的找出同类项‚搬：把同类项搬到一起（逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变）ƒ合：合并它们的系数口诀：同类项，需判断，两相同，是条件。
合并时，需计算，系数加，两不变。
注意：•系数相加时，一定要带上各项前面的符号。
‚合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项。
ƒ只有是同类项才能合并；合并同类项的结果可能是单项式也可能是多项式。
顺口溜：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。
8.整式的加减（1）整式：单项式和多项式统称为整式。
（2）去括号:如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；‚如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；（3）一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
注：(补充）升幂排列：把一个多项式按某个字母的指数按从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
降幂排列：把一个多项式按某个字母的指数按从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
整式的乘法与因式分解第一节：整式的乘法1．同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a与任意正整数m，有(m、n 都是正整数)。
整式的概念
整式的概念整式是数学中非常重要的概念，它在代数运算和方程求解中发挥着重要作用。
在本文中，我们将详细介绍整式的概念、特点以及相关运算。
1. 整式的定义整式是由常数和变量以及它们的乘积、幂次和加减运算构成的代数表达式。
简单来说，整式是一个由各种代数元素以及它们之间的运算符构成的数学式子。
整式的一般形式可以表示为:f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x^1 + a_0其中，a_n到a_0表示系数，n表示幂次，x表示变量。
2. 整式的特点整式具有以下几个特点：2.1. 多项式形式整式可以表示为多项式的形式，多项式是整式的一种特殊形式。
多项式是指只包含加减运算的整式，不包含乘除运算。
例如，f(x) = 3x^2 - 2x + 1就是一个多项式。
整式的运算次数是有限的。
整式没有包含无穷次幂次和无穷次乘积的运算。
这是因为整式作为代数表达式，需要具有可计算性。
2.3. 可分解整式可以通过分解成较简单的整式来进行简化。
例如，f(x) = x^2 + 2x + 1可以被分解为(x + 1)^2，这样就可以更方便地进行运算和求解。
2.4. 可合并整式相同幂次的项可以通过合并成一个项来简化整式。
例如，f(x) = 2x^2 +3x^2 - 5x可以合并为f(x) = 5x^2 - 5x。
2.5. 可交换整式的加法和乘法具有交换律。
即整式的相加和相乘的结果与运算的顺序无关。
例如，f(x) = 2x^2 + 3x - 1和g(x) = 4x - 2x^2 + 1，无论是先计算f(x)+g(x)还是先计算g(x)+f(x)，得到的结果都是一样的。
3. 整式的运算整式具有以下几种常见的运算：3.1. 加减运算整式的加减运算是将相同幂次的项合并，保留系数进行加减运算。
例如，f(x) = 2x^2 + 3x - 1和g(x) = 4x - 2x^2 + 1相加可以得到h(x) = 4x^2 + 7x。
整式的基本定义
整式的基本定义整式是代数式的一种形式，由常数和变量的乘积及其和构成。
其中，常数称为系数，变量称为未知数。
整式是代数学中非常重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
整式的形式可以是单项式、多项式或者零项式。
单项式是只有一个项的整式，例如3x、-5y^2、2等都是单项式。
多项式是由多个单项式相加（或相减）得到的整式，例如3x+2y、-5y^2+2x^3、2-3x^2等都是多项式。
零项式是只包含常数项0的整式。
整式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法和减法的运算规则与普通的数的加减法类似，即同类项相加（或相减）。
乘法的运算规则是将每个单项式相乘，并将结果进行合并和整理，去除同类项的重复。
除法的运算规则是将整式按照某个单项式进行因式分解，求得商式和余式。
整式在代数学中具有重要的性质和应用。
首先，整式的次数是指整式中所有单项式的次数的最大值。
次数可以帮助我们确定整式在特定条件下的性质，如奇偶性、零点等。
其次，整式的因式分解可以帮助我们简化和解决复杂的代数问题。
因式分解可以将多项式拆解为较简单的因子，从而更好地理解和处理问题。
此外，整式还可以用于解决方程和不等式，如代数方程、线性规划等。
整式的基本定义对于代数学的学习和应用具有重要意义。
通过理解和掌握整式的概念和运算规则，我们可以更好地理解和解决各类代数问题。
整式的基本定义是代数学的基础，熟练掌握整式的相关知识可以帮助我们在数学学习和实际应用中取得更好的成绩和效果。
整式是由常数和变量的乘积及其和构成的代数式。
整式的形式可以是单项式、多项式或者零项式。
整式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
整式具有重要的性质和应用，如次数、因式分解、解方程等。
整式的基本定义是代数学学习和应用的基础，对于提高数学能力和解决实际问题具有重要意义。
初中数学整式教案
初中数学整式教案教学目标：1. 理解整式的概念，掌握整式的基本性质；2. 学会整式的加减运算，能够熟练运用整式解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 整式的概念及分类；2. 整式的加减运算；3. 整式在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的有理数、代数式的知识，为新课的学习做好铺垫；2. 提问：同学们，你们知道代数式中的基本元素有哪些吗？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解整式的概念：整式是由数字、变量和运算符号组成的代数式，其中变量或变量项的指数必须是非负整数；2. 讲解整式的分类：单项式、多项式；3. 举例说明整式的加减运算规则，并进行示范性讲解；4. 引导学生进行小组讨论，互相交流整式的加减运算心得。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 选几位同学上台板书，讲解自己的解题过程；3. 教师点评，纠正错误，解答学生的疑问。
四、实际问题应用（10分钟）1. 讲解一个实际问题，引导学生运用整式进行解决；2. 让学生分组讨论，尝试解决其他实际问题；3. 选取几组学生代表进行成果展示，教师点评并指导。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生巩固整式的概念和加减运算规则；2. 强调整式在实际问题中的应用价值。
六、课后作业（课后自主完成）1. 复习整式的概念和加减运算规则；2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
教学反思：本节课通过讲解整式的概念、分类和加减运算，使学生掌握了整式的基本知识，能够运用整式解决实际问题。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和自信心。
同时，通过课堂练习和实际问题应用，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
整式的概念及其分类
第二节 整式的概念及其分类【知识点总结】 一、整式的概念1、整式：单项式和多项式合称为整式，或者分母中不含有字母的代数式叫做整式。
二、整式的分类1、单项式：由数和字母的积组成的代数式称为单项式。
①单独的一个数或者一个字母也称为单项式。
①单独的一个数或者一个字母也称为单项式。
②单项式中不温岭的数字因数，叫做单项式的系数。
②单项式中不温岭的数字因数，叫做单项式的系数。
③单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。
③单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。
2、同类项：同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。
3、多项式：几个单项式的和称为多项式①多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；①多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项； ②多项式里，次数最高享的次数叫多项式的次数。
②多项式里，次数最高享的次数叫多项式的次数。
【典型例题】考点一：整式的认识1、（、（201620162016·编写）把下列各式分别填在相应的大括号里：·编写）把下列各式分别填在相应的大括号里：4，21+x ，b a +2，()22r R -p ，231x ，32-x ，yz x +-221，212++aa 。
单项式：{} 多项式：{}整式：þýüîíì 2、（、（201620162016·编写）当·编写）当4=a ，2-=b ，1-=c 时，求下列整式的值。
（1）bc ac ab c b a 222222+++++（2）()2c b a ++3、（、（201520152015··绥化）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律求c b a ++的值为的值为 。
4、（、（201620162016·编写）某市区自今年·编写）某市区自今年1月起，居民生活用水开始实行阶梯式计量水价，该阶梯式计量水价分为三级（如下表所示）（1）如果甲用户的月用水量为12吨，则甲用户需交的水费为吨，则甲用户需交的水费为 元；元； （2）如果乙用户交的水费为2.39元，则乙用户月用水量为元，则乙用户月用水量为 吨；吨；（3）如果丙用户的月用水量为a 吨，则丙用户该月应交水费多少元？（用含a 的代数式表示，并化简）考点二：单项式和多项式1、下列说法：①a 和0都是单项式；②多项式1273222+-+-ab b a b a 的次数是3；③单项式292xy -的系数为2-；④222y xy x -+可以读作2x ，xy 2和2y -的和。
整式的有关概念
整式的有关概念
整式是单项式与多项式的统称，它是表达代数式中的一种简单形式，在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。
整式分为单项式和多项式。
单项式是指单独的一个数字或字母，而多项式则是若干个单项式的和。
例如，2是单项式，2+3则是多项式。
此外，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。
分解因式与整式乘法互逆。
例如，(a+b)(a-b)=a^2-b^2是整式乘法，而a^2-b^2=(a+b)(a-b)则是因式分解。
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整式的概念学习要求：会把一个多项式按某一个字母的升降幂排列。
本节命题主要考查整式、单项式、单项式的系数与次数、多项式的次数与项数等概念及多项式按某个字母的升（或降）幂排列，多以填空的形式出现.核心知识1．单项式的概念代数式3a,-mn,x2,-abx,4x3它们都是用数字与字母的积，这样的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做单项式的系数.一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.例如：3a 是3与字母a的积，字母a的指数是1，所以单项式3a的系数是3，次数是1.-mn可以看作是-1·mn，是-1与mn的积，所以单项式-mn的系数是-1，次数是2.单项式x2的系数是1，次数是2，这里的系数1通常是省略不写的.单项式-2abx的系数是-2，次数等于三个字母指数的和，即1+1+1=3.注意此单项式的系数是负数，要注意单项式的系数，包括它前面的符号，不要漏掉.根据单项式的定义知道，在单项式中只含有乘法（包括乘方）和数字作除数的除法运算.所以像m2n、- 这样的代数式都是单项式.其中单项式- 可以看成是数- 与ab的积，它的系数是- ，次数是2.分母中含有字母的代数式，一般情况都不是单项式.如，它们不能看成是数字因数与字母的积.2．多项式的概念几个单项式的和叫做多项式.如代数式：2a+b,x2-3x+2,m3-3n3-2m+2n都是多项式.其中x2-3x+2可以看成单项式x2,-3x,2的和，m3-3n3-2m+2n可以看成是m3,-3n3,-2m,2n的和.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.其中不含字母的项叫做常数项.在确定多项式的项时，要特别注意项的符号.如多项式x2-3x+2共有三项，分别是x2,-3x,2.其中第二项是“-3x”,而不能说成是“3x”，2是常数项.多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.例如：2a+b是一次二项式；x2-3x+2是二次三项式；m3-3n3-2m+2n是三次四项式.单项式和多项式统称整式.其中单项式只允许含有乘法以及以数字为除数的除法运算；多项式中必须含有加法或减法运算，但不能有以字母为除式的除法运算.由此可见，单项式中不含加或减法运算，而多项式必须含有加或减法运算，这是二者的最明显区别.3．多项式的排列由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法交换律与结合律交换多项式中各项的位置.为了计算方便，一般是把一个多项式按照其中某一个字母的指数大小顺序排列.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列.重点难点1．本节的重点是整式的有关概念；难点是正确识别多项式的项和项的系数. 2．关于单项式的系数，学习中要注意：①系数要包括前面的符号；②系数是1或-1时，通常省略不写.3．关于单项式的次数：①当字母的指数是1时，“1”通常省略不写；②对于不含字母的非0数，如-2，0.5, 等,这些单项式叫“零次单项式”，对于数0则说它是“任意次单项式”.4．关于多项式的项，每项必须包括它前面的符号.5．多项式的次数的概念要正确理解，是指最高次项的次数，而不是指多项式中所有字母指数的和，要与求单项式的次数区分开.单项式和多项式统称为整式。
代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式。
(含有字母有除法运算的，那么式子叫做分式fraction.)整式可以分为定义和运算，定义又可以分为单项式和多项式，运算又可以分为加减和乘除。
加减包括合并同类项，乘除包括基本运算、法则和公式，基本运算又可以分为幂的运算性质，法则可以分为整式、除法，公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂。
整式和同类项1.单项式（1）单项式的表示形式：1、数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式2、单个字母也是单项式。
3、单个的数是单项式4、字母与字母相乘成为单项式5、数与数相乘称为单项式（2）单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
如果一个单项式，只含有数字因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为—1。
（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
多项式中的符号，看作各项的性质符号。
一元N次多项式最多N+1项（2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
（3）多项式的排列：1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的位置，而保持原多项式的值不变。
为了便于多项式的计算，通常总是把一个多项式，按照一定的顺序，整理成整洁简单的形式，这就是多项式的排列。
在做多项式的排列的题时注意：(1)由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。
(2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意：a.先确认按照哪个字母的指数来排列。
b.确定按这个字母向里排列，还是生里排列。
(3)整式：单项式和多项式统称为整式。
(4)同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。
掌握同类项的概念时注意：1.判断几个单项式或项，是否是同类项，就要掌握两个条件：①所含字母相同。
②相同字母的次数也相同。
2.同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关。
3.几个常数项也是同类项。
（5）合并同类项：1.合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
2.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
3.合并同类项步骤：⑴．准确的找出同类项。
⑵．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。
⑶．写出合并后的结果。
在掌握合并同类项时注意：1.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.2.不要漏掉不能合并的项。
3.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。
合并同类项的关键：正确判断同类项。
整式和整式的乘法整式可以分为定义和运算，定义又可以分为单项式和多项式，运算又可以分为加减和乘除。
加减包括合并同类项，乘除包括基本运算、法则和公式，基本运算又可以分为幂的运算性质，法则可以分为整式、除法，公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂。
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加。
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
单项式与单项式相乘有以下法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
单项式与多项式相乘有以下法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘有下面的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两积的2倍。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
谈整式学习的要点屠新民整式是代数式中最基本的式子，引进整式是实际的需要，也是学习后续内容（例如分式、一元二次方程等）的需要。
整式是在以前学习了有理数运算、列简单的代数式、一元一次方程及不等式的基础上引进的。
事实上，整式的有关内容在六年级已经学习过，但现在的整式内容比过去更加强了应用，增加了实际应用的背景。
本章知识结构框图：本章有较多的知识点属于重点或难点，既是重点又是难点的内容为如下三个方面。
一、整式的四则运算1. 整式的加减合并同类项是重点，也是难点。
合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准��字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变。
2. 整式的乘除重点是整式的乘除，尤其是其中的乘法公式。
乘法公式的结构特征以及公式中的字母的广泛含义，学生不易掌握。
因此，乘法公式的灵活运用是难点，添括号（或去括号）时，括号中符号的处理是另一个难点。
添括号（或去括号）是对多项式的变形，要根据添括号（或去括号）的法则进行。
在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为，一般多项式的乘除都要“转化”为单项式的乘除。
整式四则运算的主要题型有：（1）单项式的四则运算此类题目多以选择题和应用题的形式出现，其特点是考查单项式的四则运算。
（2）单项式与多项式的运算此类题目多以解答题的形式出现，技巧性强，其特点为考查单项式与多项式的四则运算。
二、因式分解难点是因式分解的四种基本方法(提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法）。
因式分解是整式乘法的逆向变形，因式分解的方法的引入要紧紧抓住这一点。