D1.1实数与区间
1.1实数的分类及其基本性质(高中数学衔接课程01)
顺德一中实验学校校本课程——高中数学衔接课程(编号01)班级______姓名____________第一章 数与式的运算1.1 实数的分类及其基本性质【知识梳理】 有理数都可以写成有限小数(包括整数)或无限循环小数的形式；都可以表示成分数qp(p 、q 是互质的整数，q ≠0)．反之，能表示成qp(p 、q 是互质的整数，q ≠0)形式的数都是有理数． 无理数是无限不循环小数，不能写成qp(p 、q 是互质的整数，q ≠0)的形式． 有理数与无理数统称为实数，具体分类如下：实数的基本性质：1．无界性：没有最大的实数，也没有最小的实数． 2．稠密性：任何两个实数之间有无数多个实数． 3．连续性：全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．4．有序性：任何两个实数都可以比较大小．给定两个实数a 、b ，则a >b 、a=b 、a <b 三者之中有且仅有一个成立．在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．5．运算的封闭性：任何两个实数的和、差、积、商(除数不为零)一定是实数；任何一个实数都可以开奇次方，其结果是实数；只有当被开方数是非负实数时，才能开偶次方，其结果是实数．任何两个有理数的和、差、积、商(除数不为零)一定是有理数；但无理数不具有上述性质． 设m 为有理数，n 为无理数，则m+n 、m –n 是无理数；若m ≠0，则mn 、n m 、mn都是无理数；若m =0，则mn 、nm是有理数． 6．实数的运算满足交换律、结合律、分配律．⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧}{}{无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数【例题讲解】【例1】 下列各数：1、5、–3、π+1、311、0.12113111411115…、64、2+3、38中，哪些是整数？哪些是有理数？哪些是无理数？【解】以上各数中为整数的是：1、–3、64、38；为有理数的是：1、–3、64、38、311；为无理数的是：5、π+1、0.12113111411115…、2+3．【例2】 若x 是实数，下列说法对吗？若不对，请给出成立的条件．(1) –x <0； (2)2x 是偶数； (3)–|x |<0； (4)x +3>x ； (5)(–x )2= –x 2 ； (6)3x >2x ． 【解】(1) 不对，当x >0时才成立； (2) 不对，当x 是整数时才成立；(3) 不对，当x ≠0时才成立； (4) 对；(5) 不对，当x =0时才成立； (6) 不对，当x >0时才成立．【例3】 比较下列各组数的大小．(1)23与32；(2)2+5与3+2． 【解】 (1) 因为23=12，32=18， 因为12<18，所以23<32．(2) 因为(2+5)2=7+210，(3+2)2=7+43=7+212， 因为7+210<7+212，所以2+5<3+2．【说明】 在实数集中，对于任意实数a 与b ，必存在a >b ，a=b ，a <b 三种关系中的一种．比较两个实数的大小方法有很多，可以通过变形(如本题(1)、(2))后进行判断；也可以利用数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大来进行判断；还可以把实数化成小数后进行判断．另外还有“比差法”与“比商法”等．【例4】 若3+a 3=2b –523，求有理数a 和b 的值． 【解】 因为3=2b ，a = –52，所以a = –52，b = 23．【说明】 设p 为无理数，a 、b 、c 、d 为有理数，且b ≠0，d ≠0，，若a+bp =c+dp ，则必有a=c ，b=d ． 【例5】 求无理数π的纯小数部分．【解】 因为3<π<4，所以π是整数3与一个小于1的正小数(即纯小数)的和，所以π的纯小数部分为π–3． 【说明】 无理数是无限不循环小数，每一个无理数都能写成一个整数与一个小于1的正的纯小数之和的形式．【练习1.1】 1．下列各数：–2、710、0.35、327、16、π、0.12112111211112…、13、2–3中，哪些是整数？哪些是有理数？哪些是无理数？2．若a 是实数，下列说法对吗？若不对，请给出成立的条件． (1) –a 2<0；(2) 2a+1是奇数；(3) |a |>0；(4) a –2<a ；(5)(–a )3 = –a 3；(6) a <2a3．比较下列各组数的大小． (1) 52与7；(2)2+6与3+5．4．(1)若a <b <0，比较|a |与|b |的大小；(2)若a <b <0，比较–a 、|b |、a –b 的大小． 5．求无理数5的纯小数部分． 6．已知(2a –1)2=9，求a 的值． 7．写出绝对值小于8的所有整数．8．设a 、b 是正有理数且(3a+2)a +(3b –2)b =253+2，求a 、b 的值．1.2 绝对值及其几何意义【知识梳理】数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值．其代数意义就是：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是0．即：,00,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．|a |的几何意义是数轴上表示数a 的点与原点间的距离．|a –b |的几何意义是数轴上表示数a 的点与表示数b 的点间的距离． 绝对值有如下运算性质： (1) |ab |=|a ||b |； (2)||||b a b a =(b ≠0)； (3) ||a |–|b ||≤|a+b |≤|a |+|b |；左边的等号当且仅当ab ≤0时取到，右边的等号当且仅当ab ≥0时取到； (4) ||a |–|b ||≤|a –b |≤|a |+|b |；左边的等号当且仅当ab ≥0时取到，右边的等号当且仅当ab ≤0时取到． 【例题讲解】【例1】 化简：(1) |2x –1|；(2) |x –1|+|x –3|．【解】 (1)本题分2x –1≥0、2x –1<0两种情况讨论：1o 当x ≥21时，2x –1≥0，原式=2x –1，2o 当x <21时，2x –1<0，原式=1–2x ， 即：|2x –1|=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥-21212112x x x x ．(2)本题分x <1、1≤x <3、x ≥3三种情况讨论：1o 当x <1时，x –1<0，x –3<0，原式= 4–2x ； 2o 当1≤x <3时，x –1≥0，x –3<0，原式=2； 3o 当x ≥3时，x –1>0，x –3>0，原式= 2x –4，即：|x –1|+|x –3|=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<-342312124x x x x x ． 【例3】 解不等式： (1) |x –1|≤1 (2) |x +1|>2．【解】 (1)根据绝对值的几何意义知不等式|x –1|≤1的解为到点1距离小于或等于1的所有点所对应的实数，由图可知为：0≤x ≤2；(2)根据绝对值的几何意义知不等式|x +1|>2的解为到点–1距离大于2的所有点对应的实数，由图可知为：x <–3或x >1．【说明】 本题也可以从整体换元的角度直接做，如第(1)题，我们把x –1看成a ，则有|a |≤1，有–1≤a ≤1，即–1≤x –1≤1．【练习1.2】1．下列命题中哪些是真命题？(1)|ab |=|a ||b |；(2)|a –b |=|b –a|；(3)若|a|=b ，则a=b ； (4)若|a|>|b|，则a >b ；(5)|a+b|=|a|+|b|． 2．若|a –2|=2–a ，求实数a 的取值范围．3．化简：(1)2x x ； (2)|1)23(2--|；(3)|1+2a | (a >0)； (4)962+-m m –|1–m | (1<m <3)4．解方程：(1)x 2=|x|；(2)|x –3|=2．(3) |x +1|+|x |=1； 5．解不等式：(1)|x|>2；(2)|x –3|<5；(3)|x+2|≥1． 6．若|x |=1，2y =3，求x+y 的值．7．若a 、b 是实数，且(a+3)2+|b –1|=0，求ab的值． 8.若a 、b 、c 是非零实数，求M=abcabc c c b b a a ||||||||+++的值．图1.2–2。
数学分析习题课1.1
第一章 实数集与函数习题课 实数集、确界原理与函数一、基本要求：1、掌握有关实数的性质与运算。
2、正确理解确界概念与确界原理，并运用于有关命题的运算与证明。
3、在中学已掌握函数概念的基础上，以两个数集之间映射的观点来加深对函数概念的理解。
4、进一步掌握函数的运算性质（四则运算、复合运算、和反函数等）及其表示方法。
5、加深对某些特性函数（有界函数、单调函数、奇（偶）函数和周期函数）的认识。
并能依次对所给函数是否具有上述性质做出判断。
二、内容复习：1、实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。
有理数可用分数形式qp（q p ,为整数，0≠q ）表示也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数。
2、实数的性质：(1) 封闭性：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为０）四则运算是封闭的.(2) 有序性：任意两实数b a ,必满足下述三个关系之一：b a <，b a =，b a >.(3) 传递性：若b a >，c b >，则c a >.(4) 阿基米德性：对任何R b a ∈,，若0>>a b ，则存在正整数n ，使得b na >.(5) 稠密性：任何两个实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数.(6) 实数集与数轴上的点有着一一对应关系.3、绝对值的定义：⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,||a a a a a 从数轴上看，数a 的绝对值||a 就是a 到原点的绝对值.4、绝对值的性质：(1) 0||||≥-=a a ;当且仅当时0=a 有0||=a .第一章 实数集与函数(2) ||||a a a ≤≤-.(3) )0(||;||>≤≤-⇔≤<<-⇔<h h a h h a h a h h a .(4)对任何R b a ∈,有如下的三角不等式：||||||||||b a b a b a +≤±≤-.(5) ||||||b a ab =. (6) )0(||||≠=b b a b a . 5、区间与邻域的概念：有限区间：设a 、R b ∈，且b a <开区间：}|{),(b x a x b a <<=.闭区间：}|{],[b x a x b a ≤≤=.半开半闭区间：}|{),[b x a x b a <≤=或}|{],(b x a x b a ≤<=.无限区间：}|{],(a x x a ≤=-∞，}|{),(a x x a <=-∞}|{],(a x x a ≥=+∞，}|{),(a x x a >=+∞R =+∞-∞),(邻域：设0,>∈δR a点a 的δ邻域：),(}|||{);(δδδδ+-=<-=a a a x x a U .点a 的空心δ邻域：}||0|{);(δδ<-<=a x x a U .点a 的左δ邻域：],();(a a a U δδ-=-.点a 的右δ邻域：),[);(δδ+=+a a a U .∞邻域：}|||{)(M x x U >=∞，其中为充分大的正数（下同）.∞+邻域：}|{)(M x x U >=+∞；∞-邻域：}|{)(M x x U -<=-∞.6、确界的定义：确界是上确界与下确界的统称。
一章节实数集与函数
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a < b.
{x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a,b)
若a0 > b0或存在非负整数 l, 使得 ak bk (k 1,2Ll)而al+1 > bl+1
则称x大于y或y小于x，分别记为 x > y或y < x.
说明:
对于负实数x,y,若有-x = -y与-x > -y, 则 分别称x = y与x <y (y >x)
说明:
自然规定任何非负实数大于任何 负实数.
xn
a0 .a1a2 an
1 10n
和
xn a0 .a1a2 an
注意：对任何实数x, 有
x0 x1 x2 L ,
x0 x1 x2 L
•命题1 设 x a0.a1a2 , y b0.b1b2
为两个实数，则
x > y 存在非负整数 n , 使得 xn > yn
❖实数的性质
1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是 封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0) 仍然是实数. 2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下 述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a < b + e ,则a b.
证明 用反证法 .假若结论不成立 , 则根据实数的有序性
1.1实数的有关概念及运算2
——实数的相关概念及运算
1.1实数 (2) ——实数的相关概念及运算
复习目标：
1、理解平方根、算术平方根、立方根的概念； 2、会求一个数的平方根、算术平方根、立方根。 3、会比较实数的大小，并能进行实数的运算。
剖析关键词 （1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念 （2）会用实数的运算法则进行实数的简单运算 （一）“了解”： “关键词”：概念
2 8 的立方根是___________;
3、填空并举例计算： (1) a ____; ( a ) _____( a 0);
2 2
(2) a ____; ( a ) _____;
3 3 3 3
反思： 1、求一个数的平方根、算数平方根、立方根的方法及 应该注意的问题； 2、练习3的化简公式中对字母a的取值范围有什么要 求？
（ 4 ） 3 ， ,10 ；
复习指导三: 看试题研究第3页考点4、5，完成填空。 计算下列各题。
1 1 (1) 9 (2) (1) ( ) 3
0
(2)(1)
2011
1 3 0 ( ) (sin 58 - ) 3 - 4 cos60 2 2
反思：上述计算中容易出错的地方是什么？
算术平方根记作____ ____; 2 、立方根记作3 2
2 9 ___; 2 3 27 ___; 3 (3)3 8 ___; 3 (2) 4 ___;
巩固练习：2、填空： 3 (1) 9 的平方根是_______; (2) (3)
3
2 的算术平方根是 ________; 16
巩固练习：计算下列各题。 1 3 (1) 32 3 2 12
6 3
1.1实数,1.2数集.确界原理
例2
证明数集
S
n2 1 2n3
n
N
+
有界.
证
n N+ ,
n2 1 2n3
n2 2n3
1 2n3
1 1 1, 22
因此 S 有界.
二、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其 中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为 上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下 确界.
2. 有限小数 x a0 .a1a2 ak (其中ak 0), 又可表示为 x a0 .a1a2 ak1(ak 1)99 a0 .a1a2 ak1(ak 1)9 .
若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.
即: 若 x a0 .a1a2 an ,
y b0 .b1b2 bn ,
反之, 任何一实数也对应数轴上一点.
2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的
完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论.
八、实数的绝对值与三角形不等式
1. 实数 a 的绝对值 | a | 定义为:
|
a
|
a, a,
a0 a0
.
2. 实数的绝对值性质: (1) | a || a | 0; 当且仅当 a 0 时 | a | 0.
例1 证明数集 S {2n | n N } 无上界, 有下界. 证 取 L = 1, 则 x 2n S, x L, 故 S 有下界.
M R, 若 M 1, 取 x0 21 M;若 M 1,
取 x0 2[M ]1 [M ] 1 M , 因此 S 无上界.
数学分析1.1实数
第一章实数集与函数1 实数一、实数及其性质定义1：(两个实数的大小关系) 给定两个非负实数x=a0.a1a2…a n…，y=b0.b1b2…b n…，其中a0，b0为非负整数，a k，b k（k=1,2,…）为整数，0≤a k≤9，0≤b k≤9。
若有a k=b k，k=1,2,…，则称x与y相等，记为x=y；若a0>b0或存在非负整数j，使得a k=b k（k=1,2,…j）而a j+1>b j+1，则称x大于y或y小于x，分别记为x>y或y<x.定义2：设x=a0.a1a2…a n…为非负实数。
称有理数x n=a0.a1a2…a n为实数x的n位不足近似，而有理数= x n称为实数x的n位过剩近似，n=1,2,….对于负实数x= -a0.a1a2…a n…，其n位不足近似与过剩近似分别规定为x n= -a0.a1a2…a n与= -a0.a1a2…a n.命题：设x=a0.a1a2…，y=b0.b1b2…为两个实数，则x>y等价条件是：存在非负整数n，使得x n>.例1：设x、y为实数，x<y. 证明：存在有理数r满足x<r<y.证：由于x<y，故存在非负整数n，使得<y n. 令r=(+y n)，则r为有理数，且有：x≤<r<y n<y，即得x<r<y.实数的一些主要性质：1. 实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数；2. 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必满足下述三个关系之一：a<b，a=b，a>b.3. 实数的大小关系具有传递性，即a>b，b>c，则有a>c.4. 实数具有阿基米德性，即对任何a、b∈R，若b>a>0，则存在正整数n，使得na>b.5. 实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有其它实数，且既有有理数，也有无理数；6. 如果在一条直线(通常画成水平直线)上确定一点O作为原点，指定一个方向为正向(通常把指向右边的方向规定为正向)，并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。
高等数学d类教材目录
高等数学d类教材目录第一章：函数与极限1.1 实数与数集1.2 函数的概念1.3 函数的性质与运算1.4 映射与反函数1.5 极限的概念1.6 极限的运算法则1.7 无穷小与无穷大1.8 无穷大的比较与等价1.9 极限存在准则第二章：导数与微分2.1 切线与割线2.2 导数的定义与性质2.3 基本导数公式2.4 高阶导数与函数的近似2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 微分的概念与计算2.7 导数在几何与物理中的应用2.8 铺垫篇：练习与思考第三章：微分中值定理3.1 极值与最值3.2 高阶导数与函数的凹凸性3.3 Rolle定理3.4 中值定理与拉格朗日中值定理3.5 洛必达法则与高阶导数的应用3.6 弧长与曲率3.7 泰勒公式与展开式3.8 微分中值定理的证明与扩展3.9 铺垫篇：练习与思考第四章：不定积分4.1 原函数与不定积分4.2 不定积分的基本性质4.3 简单的不定积分法4.4 第一类换元法4.5 第二类换元法4.6 分部积分法4.7 有理函数的积分4.8 特殊函数的积分4.9 定积分与无穷积分第五章：定积分与其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 可积性与测度零函数5.3 函数的求积与积分区间5.4 牛顿-莱布尼兹公式5.5 定积分中值定理与平均值定理5.6 积分的应用：几何与物理5.7 主体思想解决问题5.8 微积分的历史渊源与思考第六章：多元函数微分学6.1 二元函数的概念与性质6.2 偏导数与全微分6.3 多元函数的链式法则6.4 隐函数与方程组的求导6.5 方向导数与梯度6.6 多元函数的极值与条件极值6.7 多元函数的二阶导数与Taylor公式第七章：重积分与曲线积分7.1 二重积分的概念与计算7.2 二重积分的性质7.3 二重积分的应用7.4 三重积分的概念与计算7.5 三重积分的性质7.6 三重积分的应用7.7 曲线积分的概念与计算7.8 曲线积分的应用7.9 广义积分的问题与思考第八章：曲面积分与散度定理8.1 曲面积分的概念与计算8.2 曲面积分的性质8.3 曲面积分的应用8.4 散度的概念与计算8.5 散度定理的推导与应用8.6 高斯定理的特殊情况8.7 广义积分的问题与思考第九章：曲线积分与环量定理9.1 曲线积分的概念与计算9.2 曲线积分的性质9.3 Green公式的推导与应用9.4 环量的概念与计算9.5 环量定理与Green公式的关系9.6 有向曲线积分的计算与应用9.7 广义积分的问题与思考第十章：无穷级数与幂级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 正项级数的审敛法10.3 一般级数的审敛法10.4 绝对收敛与条件收敛10.5 幂级数的概念与性质10.6 幂级数的收敛半径10.7 幂级数的求和与展开10.8 项项可求和级数的特点10.9 广义积分的问题与思考结束语：本教材力求将高等数学的知识条理清晰地呈现给读者。
1.1实数及其运算知识点演练(讲练)-2023届中考数学一轮大单元复习(解析版)
专题1.1实数及其运算知识点演练考点1：实数的分类例1．（2022·浙江·温州市南浦实验中学七年级期中）把下列各数的序号填入相应的集合里．，④7，⑤36，⑥3.1313313331⋯(两个“1”之间依次多一个“3”)．①0，②―4，③23整数∶______；分数∶______；无理数∶________；1．（2022·陕西宝鸡·八年级期中）下列说法中正确的是（ ）A．有理数都是有限小数B．无限小数都是无理数C．无理数都是无限小数D．π是分数2【答案】C【分析】根据有理数的定义及无理数的定义即可得到答案．【详解】解：A选项无限循环小数也是有理数，故A不正确；B选项无限循环小数也是有理数，故B不正确；2．（2022·江苏·沭阳县怀文中学七年级期中）下列各数中，是无理数的是（）A．13B．1.732C．―πD．2273．（2022·四川·成都嘉祥外国语学校八年级期中）以下四个数：―2，3.14，227，0.101，无理数的个数是（ ）A．1B．2C．3D．44．（2022·广东河·八年级期中）在5，―0.333⋯，0，0.10010001⋯，38，(―2)0，3.1415，2.10101⋯(相邻两个1之间有1个0)中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2022·吉林·农安县新农乡初级中学八年级期中）下列各数3.1415926，9，1.212212221……（相邻两，2―π，―2020，4中，有理数有___________个．个l之间2的个数逐次加1），176．（2022··七年级期中）把下列各数填入相应的横线内：，0，5．－6，π，―23整数：__________________；负数：__________________；实数：__________________．7．（2022·浙江·余姚市子陵中学教育集团七年级期中）把下列各数的序号分别填入相应的大括号内：①0，②-π，③1.5，④―25，⑤―6，⑥1.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”）7负数：{___________…}；整数：{___________…}；无理数：{___________…}．8．（2022·浙江宁波·七年级期中）把下列各数对应的序号填在相应的括号里．①0；②3；③-2.5；④π2；⑤-57；⑥|―3|；⑦1.202002…… （每两个“2”之间依次多一个“0”）．正整数：（）负分数：（）无理数：（）【答案】⑥；③⑤；②④⑦【分析】根据正整数，负分数和无理数的概念，即可求解．【详解】解：|―3|=3，正整数：（⑥）负分数：（③⑤）无理数：（②④⑦）【点睛】本题主要考查实数的分类，掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．9．（2022·福建省大田县教师进修学校八年级期中）把下列各数填入相应的括号内：2 3，3―5，0.·7，―3.14，36，(―2)2，1.010010001⋯(1)无理数：{…}；(2)负实数：{…}；(3)整数：{…}；(4)分数：{…}；10．（2022·浙江金华·七年级期中）把下列各数对应的编号填在相应的大括号里：（1）―49，（2）18，（3）57，（4）π2，（5）—3.141，（6）0，（7）7，（8）80%，（9）―|―5|，（10）0.101001．．．（自左而右每两个1之间依次多一个0）．整 数：____________________________________分 数：____________________________________无理数：___________________________________例2.（1）（2022·山东·宁津县育新中学九年级阶段练习）下列选项中，对2的说法错误的是（）．A．2的相反数是―2B．2的倒数是22C．2的绝对值是2D．2是有理数（2）（2022·河北唐山·八年级期中）3―5的绝对值是___________．个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并把（3）（2022·河北邢台·八年级期中）如图，有一个半径为12圆沿数轴逆时针方向滚动一周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数______；若点B表示的数是―10，则点B在点A′的______（填“左边”、“右边”）.1．（2022·山西实验中学八年级期中）实数―3的相反数是（ ）A．3B．3C．―3D．―332．（2022·陕西·西安市铁一中学七年级期中）―5的绝对值是（ ）A．5B．―5C．5D．―53．（2022·安徽省马鞍山市第七中学七年级期中）已知a为实数，则―a+|a|的值为（）A．0B．不可能是负数C．可以是负数D．可以是正数也可以是负数【答案】B【分析】通过分类讨论去绝对值，即可判断结果．【详解】当a>0时，―a+|a|=―a+a=0；当a=0时，―a+|a|=―a+a=0；当a<0时，―a+|a|=―a―a=―2a>0．综上所述，―a+|a|的值不可能是负数．故选：B．【点睛】本题主要考查了实数的绝对值，a是实数时，正数、0、负数三种情况都要考虑到，用到了分类讨论的方法．4．（2022·江苏无锡·八年级期中）5―2的相反数是（）A．―0.236B．5+2C．2―5D．―2+5【点睛】本题考查了相反数的定义，解决本题的关键是掌握其定义：只有符号不同的两个数互为相反数．5．（2022·河北石家庄·八年级期中）在以下说法中：①无理数和有理数统称为实数；②实数和数轴上的点是一一对应的；③0的算术平方根是0；④无限小数都是无理数．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据实数的相关概念、实数与数轴的对应关系、算术平方根的概念对各小题分析判断即可得解【详解】①无理数和有理数统称为实数，说法正确②实数和数轴上的点是一一对应的，说法正确③0的算术平方根是0，说法正确④无限小数都是无理数，说法错误，因为无限循环小数是有理数故选C【点睛】本题主要考查实数的相关概念、实数与数轴的对应关系、算术平方根的概念，算数平方根的概念是解题的关键6．（2022·湖北黄石·中考真题）1―2的绝对值是（）A．1―2B．2―1C．1+2D．±(2―1)7．（2022·浙江·七年级专题练习）数轴上表示1，2的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）A．2―1B．1―2C．2―2D．2―2【答案】C8．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期中）5―1的相反数是____，绝对值是__________．9．（2022·四川·成都外国语学校八年级期中）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简a2―|a+b|+ (c―a)2+|b+c|―3b3=___________．10．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）计算：|―3|+(π+3)0―12．11．（2022·福建省永春第三中学七年级期中）已知实数a，b满足|a|=b, |ab|+ab=0，化简|a|+|―2b| +3a．【答案】2a+2b【分析】根据实数的性质，绝对值的性质，相反数的意义，判断出a,b的符号，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行化简即可求解．【详解】解：∵|a|=b, |ab|+ab=0∴b≥0，ab≤0∴a≤0∴|a|+|―2b|+3a=―a+2b+3a=2a+2b．【点睛】本题考查了实数的性质，整式的加减，化简绝对值，判断出a,b的符号是解题的关键．12．（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示―2，设点B所表示的数为m．(1)实数m的值是______；(2)求|m―1|―|1―m|的值；(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与d―4互为相反数，求2c+3d的平方根．13．（2022·福建三明·八年级期中）实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来，体现了数形结合思想．(1)由数到形：在数轴上用尺规作图作出―5对应的点P（不要写作法，保留作图痕迹）．(2)由形到数：如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，作BC⊥AB于点B，截取BC=1；连接AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧交AC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，则点E表示的实数是________________．作法：作线段AB的垂直平分线MN；以点为半径作弧交数轴负半轴于点P．（2）解：由作法知CD=CB=1，AD考点3：平方根、算术平方根、与立方根例3.（2022·山东·德州市第九中学九年级期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：平方根立方根定义一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．【类比探索】（1）探索定义：填写下表x411681x类比平方根和立方根，给四次方根下定义：______．（2）探究性质：①1的四次方根是______；②16的四次方根是______；③0的四次方根是______；④-625 ______（填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：______；1．（2022·四川·绵阳中学英才学校二模）若―3x m y和5x3y n的和是单项式，则(m+n)3的平方根是（）A．8B．―8C．±4D．±8【答案】D【分析】根据题意可得―3x m y和5x3y n是同类项，从而得到m=3,n=1，再代入，即可求解．【详解】解：∵―3x m y和5x3y n的和是单项式，∴―3x m y和5x3y n是同类项，∴m=3,n=1，∴(m+n)3=(3+1)3=64，∴(m+n)3的平方根是±8．故选：D．【点睛】本题主要考查了合并同类项，求一个数的平方根，熟练掌握根据题意得到―3x m y和5x3y n是同类项是解题的关键．2．（2022·广东北江实验学校三模）下列说法不正确的是（）A．125的平方根是±15B．(-0.1)2的平方根是±0.1C．-9是81的算术平方根D．3-27=-33．（2022·江苏·连云港市新海初级中学三模）9的值为_______．4．（2022·上海嘉定·九年级期中）长为3、4的线段的比例中项长是___________．5．（2022·山西临汾·九年级期中）已知y=x―2+2―x―3，则(x+y)2022(x―y)2023的值为_____．【答案】2+3##3+26．（2022·山东·测试·编辑教研五二模）如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8，若阴影部分为正方形ABCD，则此正方形的边长是______．7．（2022·四川攀枝花·中考真题）3―8―(―1)0=__________．【答案】―3【分析】根据立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，进行计算即可．【详解】解：原式=―2―1=―3．故答案为：―3．【点睛】本题考查了立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，正确进行计算是解题的关键．8．（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）计算下列各题：（1）4的平方根是______；（2）25的算术平方根是______；（3）―8的立方根是______；9．（2022·全国·九年级专题练习）已知c<b<0<a，且|b|<|a|，求(a―b)2+c2―|b+c|―|―b|―3(b―a)3的值．【答案】2a【分析】根据绝对值的意义可得a―b>0,b+c<0,―b>0,b―a<0，然后通过计算可得．【详解】解：∵c<b<0<a,|b|<|a|，10．（2022·全国·九年级专题练习）已知正数a的两个不同平方根分别是2x―2和6―3x，a―4b的算术平方根是4．(1)求这个正数a以及b的值；(2)求b3+3a―17的立方根．【答案】(1)a=36，b=5(2)6【分析】（1）首先利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，再利用互为相反数的两个数相加为0，即可得出两个平方根，进而得出正数a的值，然后再利用题意“a―4b的算术平方根是4”，把a的值代入a―4b，即可得出b的值．（2）根据（1）得出a=36，b=5，然后把a=36，b=5代入b3+3a―17，求出值，然后再开立方，即可得出结果．【详解】（1）解：∵正数a的两个不同平方根分别是2x―2和6―3x，∴2x―2+6―3x=0，解得：x=4，∴2x―2=2×4―2=6，6―3x=6―3×4=―6，∵(±6)2=36，∴a=36，又∵a―4b的算术平方根是4，又∵42=16，∴a―4b=16，∴把a=36代入a―4b=16，可得：36―4b=16，解得：b=5．例4.（1）（2022·山东济南·模拟预测）最新统计，中国注册志愿者总数已超30000000人，30000000用科学记数法表示为（）A．3×107B．3×106C．30×106D．3×105：30000000=3×107．故选：A．（2）（2022·四川德阳·二模）已知某种细胞的直径约为2.13×10―4cm，请问2.13×10―4这个数原来的数是（）A．21300B．2130000C．0.0213D．0.000213解：2.13×10-4=0.000213，故选：D．知识点训练1．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心一模）2021年5月15日，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆火星，为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将470000000用科学记数法表示为（ ）A．47×107B．4.7×107C．4.7×108D．0.47×109【答案】C【分析】根据科学记数法的表示方法确定a，n的值即可．【详解】解：470000000=4.7×108，故选：C．【点睛】题目主要考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键．2．（2022·河南洛阳·二模）今年的“两会”上，李克强总理在谈到今年需要就业的新增劳动力时，指出今年高校毕业生1076万，是历年最高．数据“1076万”用科学记数法表示为（ ）A．1.076×107B．1.076×108C．10.76×106D．0.1076×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值⩾10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数，由此即可得到答案．【详解】解：1076万=10760000=1.076×107．故选：A．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的定义．3．（2022·福建·九年级专题练习）某种细胞的直径是5×10―4毫米，这个数用小数表示是（）A．0.00005B．0.0005C．―50000D．50000【答案】B【分析】根据科学记数法a×10n得到n=―4，所以小数点向前移动4位来求解．【详解】解：∵5×10―4∴n=―4，∴5×10―4=0.0005．故选：B．【点睛】本题主要考查了把科学记数法还原原数，还原原数时，关键是看n，n＜0时，|n|是几，小数点就向前移几位．4．（2022·全国·七年级专题练习）据科学家估计，地球的年龄大约是4.6×109年，4.6×109是一个（）A．7位数B．8位数C．9位数D．10位数【答案】D【分析】把科学记数转化为原数即可求得答案．【详解】解：4.6×109=4600000000，故选D．【点睛】本题考查了把科学记数法转化为原数，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式．5．（2022·全国·七年级专题练习）一个整数x用科学记数法表示为1.381×1028，则x的位数为（）A．27B．28C．29D．30【答案】C【分析】将科学记数法表示的数的指数加上1得到原来的数的整数位，由此解答即可．【详解】x的整数数位少1位为28，则x的位数为29．【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数整数位与指数的关系．6．（2022·河南·九年级专题练习）数据0.0000037用科学记数法表示成3.7×10―n，则3.7×10n表示的原数为（）．A．3700000B．370000C．37000000D．―3700000【答案】A【分析】根据用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，可确定n的值．即得出3.7×10n表示的数为3.7×106，再将其转化为数字即可．【详解】∵数据0.0000037用科学记数法表示成3.7×10―n，∴n=6，∴3.7×10n即为3.7×106，∴3.7×10n表示的原数为3700000．故选A．【点睛】本题主要考查数科学记数法之间的转换．掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同是解题关键．7．（2022·四川广安·九年级专题练习）近似数3.48×103精确到（）A．百分位B．个位C．十位D．百位【答案】C【分析】先把科学记数法表示的数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．【详解】近似数3.48×103=3480，8在十位上，故精确到十位故选C【点睛】本题考查了求近似数，将科学记数法还原是解题的关键．8．（2022·山东师范大学第二附属中学模拟预测）数据0.0000314用科学记数法表示为（ ）A．3.14×10―5B．31.44×10―4C．3.14×10―6D．0.314×10―6【答案】A【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10―n，其中n为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.0000314=3.14×10―5故选：A．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10―n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．（2022·河北邯郸·七年级期末）0.000985用科学记数法表示为9.85×10―n，则9.85×10n还原为原数为（）A．9850000B．985000C．98500D．9850【答案】C【分析】用科学记数法表示的数还原成原数时，n> 0时，n是几，小数点就向右移几位．【详解】∵0.000985= 9.85×10-4∴n=4，∴9.85×104= 98500．故选: C．【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数，将科学记数法a× 10n”表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数科学记数法a×10n表示的数，还原成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数；把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．10．（2022·吉林长春·一模）“天文单位”是天文学中用来计量距离的一种单位．1天文单位用科学记数法表示为1.496×108千米，这个数也可以写成______亿千米．【答案】1.496【分析】根据1亿=108，对这个数进行换算即可作答．【详解】解：∵1亿=108，∴1.496×108千米=1.496亿千米，故答案为：1.496．【点睛】本题考查了科学记数法−−−原数，解题的关键是掌握科学记数法表示的数与原数的关系．考点5：实数的大小比较例5.（1）（2022·四川乐山·九年级专题练习）在实数|―3.14|，－3，―3，―π中，最小的数是（）A．|―3.14|B．－3C．―3D．―π【答案】D【分析】根据实数的比较大小的规则比较即可．（2）（2022·山东济南·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．ab>0B．a+b>0C．|a|<|b|D．a+1<b+1【答案】D【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【详解】解：根据图形可以得到：―3<a<―2<0，0<b<1，∴ab<0，故A项错误，a+b<0，故B项错误，|a|>|b|，故C项错误，a+1<b+1，故D项错误．故选：D．知识点训练1．（2022·山东·测试·编辑教研五二模）下列实数中，最大的数是（）A．―4B．―5C．0D．3【答案】D【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：∵―5<―4<0<3，∴最大的数是3，故选：D．【点睛】此题考查实数的大小比较的方法，熟练掌握：负实数<0<正实数，两个负数绝对值大的反而小，是解答此题的关键．2．（2022·湖南·长沙市南雅中学一模）下列实数中，最大的数是（）A．0B．2C．πD．―33．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）在四个数―2，―0.6，1，3中，绝对值2最小的数是（ ）D．3A．―2B．―0.6C．124．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）1，―2，0，3中最小的数是（）A．1B．―2C．0D．35．（2022·四川·峨眉山市教育局二模）在2，-1，0，π这四个实数中，最小的一个实数是（）2A．2B．-1C．0D．π26．（2022·河南·郑州市树人外国语中学九年级期末）下列四个实数中，绝对值最小的数是（）A．﹣4B．―3C．2D．37．（2022·四川乐山·九年级专题练习）比较23和32的大小，下面结论正确的是( )A．23<32B．23=32C．23>32D．无法比较8．（2022·河北承德·九年级期中）对于实数p，q，我们用符号min{p,q}表示p，q两数中较小的数，如min{1,2} =1，因此，min{―2,―3}=__________；min(x2+2x+3),0=__________；若min(x―1)2,x2=1，则x=_____________．【答案】―3 0 2或―1##―1或29．（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{﹣2，﹣4}＝﹣2．（1）max{26，5}＝_____；（2）若max{﹣12，（一1）2}＝2x，则x＝_____．2―x考点6与实数的相关的计算例6．（2022·山东烟台·九年级期中）计算(1)sin230°+2sin60°+tan45°―tan60°+cos230°(2)8―2sin45°+2cos60°+|1―2|+1．1．（2022·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）计算：|―3|+2―1=______．2．（2022·山东济南·模拟预测）计算：12―(2022―π)0―2×cos30°+(―12)―1．3．（2022·山东济南·模拟预测）计算：1―|3―1|+3tan30°+(2022―π)0．4．（2022·吉林长春·一模）计算：12―3tan30°+(2022―π)0―1．5．（2022·四川·峨眉山市教育局二模）计算：38+|3―23|―tan60°+(3)2+(π―2022)06．（2022·江苏·盐城市初级中学三模）计算：364+|sin45°―tan45°|+1．7．（2022·广西·南宁市第四十七中学九年级期中）计算：―(―1)2022+10÷2×12―1―3tan30°。
高等数学_清华大学出版社
1 1 x 故 f ( x) . ( x 0) x
2
习题 1.1
7（3）、8（2）、10、13、18、19
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
D : [1,1] 例如， y 1 x 2 1 例如， y D : ( 1,1) 2 1 x 1 例如， y 1 x 2 D : [1,0) (0,1] x
注意：函数表达式形式 相同，但定义域不同， 则表示不 同的函数.
o
I
x
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 f ( x1 ) f ( x 2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
例：y - x 2 , x (0， ( x ) f ( x )
称 f ( x )为奇函数;
奇函数的图像关于原点 对称.
y
y f ( x)
f ( x)
-x
f ( x )
例：y sin x , x ( ,)
o
x
x
奇函数
4．函数的周期性:
正 设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l , 使得对任意x D, x l D, 且 f ( x l ) f ( x ) 恒成立. 则称 f ( x ) 是以 l 为周期的周期函数.
通常所说的周期是指满足上式的最小正数 .
3l 2
l 2
l 2
3l 2
1 例1 设 D ( x ) 0
xQ xQ
,
7 求D( ), D(1 2 ).并讨论D( x )的性质. 5
《高等数学(上册)》 第一章
作U (a ， ) ，即
o
U (a ， ) {x | 0 | x a | } ． 点 a 将整个邻域分为两部分，左边的称为左邻域，用区间 (a ，a) 表示，右边的称为 右邻域，用区间 (a ，a ) 表示．
1.1.2 函数的概念
在研究各种实际问题时，经常会遇到两种不同类型的量：一种 在所研究问题的过程中可取不同的数值；另一种在所研究问题的过 程中保持不变，只取一个固定值．前者为变量，后者为常量．在同 一个过程中，往往有几个变量同时变化，但是它们的变化不是孤立 的，而是按照一定的规律互相联系着．变量之间互相依赖的关系， 就是下面我们要介绍的函数关系．
1.1.3 函数的几种特性
2．单调性 一般地，设函数 y f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义，如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内单调增加；如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内 单调减少． 单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数，若函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是单 调函数，则称 (a ，b) 是该函数的单调区间．
一般地，设 y 是 u 的函数 y f (u) ，u 是 x 的函数 u (x) ．如果 u (x) 的值
域或其部分包含在 y f (u) 的定义域中，则 y 通过 u 构成 x 的函数，称为 x 的复合
函数，记作 y f [ (x)] ．其中，x 是自变量，u 称为中间变量．
1.1.4 反函数与复合函数
y f 1(x) 在各自的定义域内具有相同的单调性，在同一直角 坐标系中，它们的图像关于直线 y x 对称，如图所示．
实数集与函数
6）实数集具有完备性（连续性），即任一实数都对应数轴上唯 一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数.于 是，实数集 R 与数轴上的点有着一一对应关系. 以后的叙述中，常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看 作具有相同的含义. 例1 设a、b∈R，证明：若对任何正数 有a＜b+ , 则a ≤b . 证：（反证法）. 若结论不成立，有实数集的有序性，必有
19
又 S A, S 的下界就是A 的下界,
inf S 是S 的下界, inf S 是A 的下界,
inf S inf A;
同理有 inf S inf B 于是有
inf S min inf A, inf B.
综上, 有
inf S min inf A, inf B.
界, B 有下确界.
由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意
yB; sup A y. 这样, sup A 又是 B 的一个下界,
而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A inf B.
18
例9 (ii) A 和 B 为非空有界数集, S A B.
. 试证明: inf S min inf A , inf B
21
(i) 若 a R, 定义 S a { x a | x S }, 则
sup { S a } sup S a;
证 (i ) x a S a , 其中 x S , 必有 x sup S ,
于是
x a sup S a .
对于 0, x0 S , 使 x0 sup S , 从而 x0 a S a ,
证 先证 sup S=1.
1[1].1.实数的有关概念
![1[1].1.实数的有关概念](https://img.taocdn.com/s3/m/be81e30302020740be1e9ba3.png)
楚州实验中学九年级数学学科导学案NO. 20班级姓名课题：1.1．实数的有关概念第 1 课时编写人：彩虹梦【学情分析】学生对实数的相关概念已经有一定的了解，需进一步熟悉和强化。
【学习目标】1了解实数的概念及分类，掌握实数的有关概念及会实数大小比较。
2．会进行开平方和开立方运算，会求一个非负数的算术平方根3．会用科学记数法表示数、了解近似数与有效数字的概念4．能够运用实数的有关性质解决问题【重点】了解实数的概念及分类；会用科学记数法表示数、了解近似数与有效数字的概念。
【难点】掌握实数的有关概念及会进行实数大小比较；会进行开平方和开立方运算，会求一个非负数的算术平方根；能够运用实数的有关性质解决问题。
【学习过程】一、课前学习：考点管理1．实数的概念及分类按定义分类：按正负分类：无理数：叫做无理数．有理数：或无限循环小数称为有理数．2．数轴：定义：规定了、和的直线叫做数轴．大小比较：(1)在数轴上表示两个数，的数大．(2)正数0；负数0；正数一切负数；两个负数比较绝对值大的反而．注意：数轴上的点与实数一一对应．3．相反数定义：只有的两个数叫做互为相反数，0的相反数是．表示：实数a的相反数是．性质：a，b互为相反数，则a+b= ．几何意义：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．4．倒数定义：乘积为的两个数互为倒数．5．绝对值定义：数轴上表示a 的点与原点的 ，记作|a|． ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0a a 0a 00a a a 几何意义：一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离．6．科学记数法定义：把一个数写成 的形式(其中1≤a<10，n 为整数)，这个记数方法叫做科学记数法．规律：(1)当原数大于或等于1时，n 等于原数的整数位减1．(2)当原数小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前面零的个数(含小数点前的0)．7．近似数与有效数字精确度：一个近似数， 到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起到 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．8．非负数定义：正数和零叫做非负数(记为a ≥0)．常见非负数：|a|，a 2，a (a ≥0)．二、课堂导学： 1.成果展示 课前热身：复习提问1. (2009年梅州市)12-的倒数为（ ） 2. （2009年绵阳市）如果向东走80 m 记为80 m ，那么向西走60 m 记为（ ） A ．－60 m B ．︱－60︱m C ．－（－60）m D ．601m 3.（08的相反数是 ．3-的绝对值是5．（2009襄樊市）通过世界各国卫生组织的协作和努力，甲型H1N1流感疫情得到了有效的控制，到目前为止，全球感染人数约为20000人左右，占全球人口的百分比约为0.0000031，将数字0.0000031用科学记数法表示为（ ）A ．53.110-⨯B ．63.110-⨯C ．73.110-⨯D ．83.110-⨯ 2. 自主学习 交流点拨： 二、归类探究类型之一 实数的概念例1 [2008·桂林]在下列实数中，无理数是 ( )A ．0.15B ．πC ．－4D ．722 【感悟】(1)“π”虽然是一个常数，但它是无限不循环小数，属无理数．(2)实数可分为有理数(整数、分数)和无理数，只要是整数、分数就一定不是无理数． 类型之二 倒数、相反数、绝对值与数轴例2 [2008·常州]-3的相反数是 ，21-的绝对值是 ，2-1= ． 【感悟】(1)只有符号不同的两个数互为相反数，即a 的相反数为一a ；(2)一个负数的绝对值等于它的相反数，结果为正； (3))0a (a1a ),0a (a 1a p p 1≠=≠=-- 类型之三 实数的大小比较 例3 【2008·温州]下列各数中，最小的数是 ( )A ．-1B ．０C ．1D ．2【感悟】两个实数的大小比较方法有：①正数>零>负数；②利用数轴；③差值比较法；④商值比较法；⑤倒数法；⑥取特殊值法等，本题可直接运用方法①来比较．类型之四 平方根、立方根与算术平方根例4 [2008·连云港]如果2a-18=0，那么a 的算术平方根是 ．【感悟】一个数的算术平方根是这个数的正平方根．类型之五 科学记数法例5 [2008·东营]在2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.58l 亿帕的钢材．4.581亿帕用科学记数法表示为 帕(保留两位有效数字)．【感悟】(1)用科学记数法可以把一个大于10的数表示成a ×10n ，其中1≤a<10，n 是比原数整数数位少l 的数； (2)确定有效数字时，要用四舍五入法． 类型之六 非负数的性质的应用例6 [2007·济宁]已知．01b 2a =-++，那么(a+b)2007的值为 ( ) A ．-1 B ．1 C ．32007 D ．－32007【感悟】(1)若几个非负数(式)的和为零，则每一个非负数(式)均为0； (2)-1的偶次幂为1，-1的奇次幂为-1．３.知识运用课堂提升1、 下列各数中：－3，0.31，227，2π，2.161 161 161…， （－2 005）0是无理数的是___________________________． 2、（08芜湖）若23(2)0m n -++=，则2m n +的值为（ ）A ．4-B ．1-C ．0D ．43、（2009年烟台市）如图，数轴上A B ，两点表示的数分别为1-点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（ ）A ．2-B ．- C ．2- D ．14、 下列说法正确的是（）A ．近似数3．9×103精确到十分位B ．按科学计数法表示的数8．04×105其原数是80400C ．把数50430保留2个有效数字得5．0×104.D ．用四舍五入得到的近似数8．1780精确到0．001三、学（教）后反思：请你说说本节课有哪些收获？四、课堂检测：【中考演练】1.（08常州）-3的相反数是______,-12的绝对值是_____,2-1=______,2008(1)-= ． 2. 某种零件，标明要求是φ20±0.02 mm （φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9 mm ，该零件 .（填“合格” 或“不合格”）３．(08湘潭)全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款，到6月3日止各地共捐款约423.64亿元，用科学记数法表示捐款数约为__________元．（保留两个有效数字）４. 2.40万精确到__________位，有效数字有__________个.５、（2009年济宁市）已知a）A. aB. a -C. － 1D. 0６、（2009，台州）如图所示，数轴上表示2C 、B ，点C 是 AB 的中点，则点A 表示的数是（ ）A． B．2 C．4 D2７．（08梅州）下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．2和21 B ．-2和－21 C ．-2和|-2| D ．2和21 ８．（08无锡）16的算术平方根是（ ）A.4B.－4C.±4D.16９．若x 的相反数是3，│y│＝5，则x ＋y 的值为（ ）A ．－8B ．2C ．8或－2D ．－8或21０．（2009年湖南长沙）已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -果为（ ）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -1１、（2009，江西省）写出一个大于1且小于4的无理数 ．1２、（2009年邵阳市）3最接近的整数是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．5。
数学分析讲义全
数学分析讲义全第一章：实数本章主要介绍实数的定义及其性质。
1.1 实数的定义实数包括有理数和无理数两部分。
有理数是可以表示为两个整数之间的比，无理数则不能用有理数表示。
1.2 实数的性质实数满足一些基本性质，如实数的加法、乘法满足交换律、结合律和分配律等。
第二章：极限与连续本章主要介绍数列极限、函数极限和连续函数的定义及其相关概念。
2.1 数列极限数列极限是数列逐渐逼近某个确定值的概念。
包括数列迫敛、数列发散等。
2.2 函数极限函数极限是函数在某点逐渐接近某个确定值的概念。
包括左极限、右极限等。
2.3 连续函数连续函数是函数在某点处无间断、无跳跃的性质。
第三章：导数与微分本章主要介绍导数、微分的定义及其相关性质。
3.1 导数的定义导数描述了函数在某一点的变化率。
包括函数的导数定义、导数的性质等。
3.2 微分的定义微分是函数在某点处的线性近似。
包括函数的微分定义、微分的性质等。
第四章：积分与定积分本章主要介绍积分、定积分的定义及其应用。
4.1 积分的定义积分是函数的反导数。
包括不定积分、定积分等。
4.2 定积分的性质定积分具有线性性质、加法性质、区间可加性等。
第五章：级数本章主要介绍级数的概念及其计算方法。
5.1 级数的定义级数是无穷数列之和的概念。
包括级数收敛、级数发散等。
5.2 级数的计算方法级数的计算方法具有求和、判定级数收敛性等。
这份讲义全面介绍了数学分析的基础知识，希望能帮助到您。
大学微积分1.1区间与邻域
02
邻域的基本概念
定义及表示方法
定义
邻域是指一个点集，其中包含一个中心点和一个围绕该点的 区域。
表示方法
邻域通常用圆括号或方括号表示，例如，点x的邻域可以表示为 (x-δ, x+δ)或[x-δ, x+δ]，其中δ是邻域的半径。
左邻域和右邻域的定义
大学微积分1.1 区间与邻 域
• 区间的基本概念 • 邻域的基本概念 • 区间与邻域的关系 • 区间与邻域的应用
01
区间的基本概念
区间在数轴上的表示
区间是数轴上的一组有序数，通 常用方括号或圆括号表示。
开区间不包括端点，而闭区间包 括端点。例如，开区间(a, b)表示 所有大于a且小于b的实数，闭区 间[a, b]表示所有大于等于a且小
于等于b的实数。
半开半闭区间如(a, b]或[a, b)表 示的是开区间和闭区间的组合。
区间的运算
并集
两个或多个区间的并集是包含 所有这些区间中所有元素的集
合。
交集
两个或多个区间的交集是包含 同时属于这些区间的所有元素 的集合。
补集
对于一个集合A，A的补集是所 有不属于A的元素组成的集合。
区间运算的义
半开半闭邻域是一个区间去掉一个端点或两个端点后得到的半开或半闭区间。
半开半闭邻域的性质
半开半闭邻域具有非空性和稠密性，即任意两个不相等的半开半闭邻域内的点都可以用一条连续的曲 线连接，且半开半闭邻域内任意两点之间存在无数个点。同时，半开半闭邻域也是其所在区间的子集 。
开邻域的性质
开邻域具有连续性和稠密性，即任意两个不相等的开邻域内的点都可以用一条 连续的曲线连接，且开邻域内任意两点之间存在无数个点。
1.1实数及其运算
第一单元 数与式1.1 实数及其运算一、实数概念1、有理数：和统称为有理数。
2、无理数：小数叫做无理数。
3、实数：和统称为实数。
4、数轴：规定了、和的直线叫做数轴。
实数和的点一一对应。
5、实数的分类实数二、实数的倒数、相反数和绝对值7、相反数：只有不同的两个数互为相反数。
若a 、b 互为相反数， 则。
8、倒数：乘积的两个数互为倒数。
若a(a ≠0)的倒数为。
9、绝对值： 代数意义： （a ＞0） 几何意义：= （a =0） （a ＜0） =OA =OB三、平方根、算数平方根和立方根10、平方根：一个数a （a ＞0）有两个平方根。
0的平方根是它本身。
11、算数平方根：一个数a （a ≥0）的算术平方根是。
算术平方根具有性。
12、立方根：正数的立方根是；负数的立方根是；0的立方根是它本身。
a{{m n{四、科学计数法、近似数14、科学计数法：把一个数记成“±a × 10 n ”的形式。
（1≤a ＜10，n 是 整数。
）15、近似数：近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。
取近似数的原则是 。
16、有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字 都叫做这个数的有效数字。
五、实数的运算17、加法法则：①加法交换律：a+b=b+a②加法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c18、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
即a-b=a+(-b)19、乘法法则：①乘法交换律：a ×b=b ×a②乘法结合律 ：a ×(b ×c)=(a ×b)×c③分配律：a ×(b+c)= a ×b + a ×c20、除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
即a ÷b=a × 21、乘方：a n 所表示的意义是n 个a 相乘。
a 0 =1（a≠0）；a- n = 。
乘方与开方互为逆运算。
1.1实数的概念及运算
(8)、下列说法中，错误的个数是
（C ）
①无理数都是无限小数；②无理数都是开方开不尽的数； ③带根号的都是无理数；④无限小数都是无理数。 A.1个； B.2个； C.3个； D.4个。
9观察下列等式
，
1 1 1 1 2 2
1 1 1 23 2 3
1 1 1 3 4 3 4
．
1 n(n， 1)
．
1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 ． n( n 1)
（3）探究并计算：
1 1 1 1 2 4 4 6 68 2006 2008
• 搞清实数的分类标准，尤其要弄懂无理数的 三种常见形式：① ；②无限不循环小数， 如0.1010010001……；③开方开不尽的数， 如 等。 2 ; tg 60 0 • 绝对值的性质——要注意正确区分数的三种 情况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反 数。 • 实数的大小比较应重点掌握作差法和作商法， 才能更好地有的放矢。
将以上三个等式两边分别相加得：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 4 4
，
（1）猜想并写出：
1 1 1 1 （2）直接写出下列各式的计算结果： 1 2 2 3 3 4 2006 2007
无理数集合：{
8
;-π；0.100110001…
1
3.2
}。
中考时刻
（10上海）1.下列实数中，是无理数的为（ C ）
A. 3.14
1 B. 3
C.
3
D. 9
数轴、相反数、绝对值、倒数 例2 1.如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上， CD = 6，点 A对应的数为-1，则点B所对应的数为 5 ．
实数连续性的八个等价定理证明
开区间所复盖，在此基础上再加σ β ，便知[ a ,c]也被∑中有限个开区所复盖，所
以 c∈E
(3) c＝ b ，事实上，若 c＜ b ，取 x ∈ (c,b) ∩ (c,bβ ) ，易知[ a, x ]被∑中有
递减的实数列 {an }发散于-∞的充分必要条件是 {an }无下界。
证明：仅证的推论的前半部分，后半部分可完全类似地得到。 必要性由极限的定义可得。
充分性：由条件，对任意 M＞0，M 不是 {an }的上界， 因此存在 n0 ∈ N ，使
an0 ＞M，从而 n ≥ n0 时，有 an ≥ an0 ＞M, 此即
无限开复盖，若∑中开区间的个数是有限的，则称∑是 E 的有限开复盖。
例 如 开 区 间 集 {(n −1, n + 1) : n ∈ Z} 是 整 个 实 数 的 一 个 开 复 盖 ，
5
{(2n −1,2n + 3) : n ∈ Z} 也 是 整 个 实 数 的 一 个 开 复 盖 。 又 如 开 区 间 集
第一章 实数系与不等式
§1.1 实数系连续性的基本定理
实数系连续性的八大基本定理： (1) Cauchy 准则
(2) Weierstrass 单调有界定理
(3) Cauchy－Cantor 闭区间套定理 (4) Dedekind 分割定理 (5) 确界存在定理 (6) Heine－Borel 有限复盖定理 (7) Weierstrass 聚点定理 (8) Bolzano－Weierstrass 致密性定理 是数学分析的基础，本节我们证明这八大基本定理的等价性，其顺序是:
n, m > N 时，恒有 an − am ＜ε.
若不然，即存在 ε 0 ＞0，对任意自然数 N ，存在 n > m > N ，使
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第一章
函数
★§1.1 实数和区间 ●§1.2 映射与函数 ●§1.3 函数的简单性质 ●§1.4 初等函数与双曲函数
一、集合
1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
b
x
{ x a x b} { x a x b}
称为半开闭区间, 记作 [a , b ) 称为半开闭区间, 记作 (a , b] 有限区间
[a ,) { x a x }
o a
( , b) { x x b}
无限区间
x
o
b
x
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集, 或称 B 包含A , 记作 A B . 若 例如 , 且 , 则称 A与B相等, 记作 A B . ,
显然有下列关系 :
定义3. 给定两个集合 A, B, 定义下列运算: 并集 A B x 交பைடு நூலகம் A B x 差集 余集 直积
A \ B x
且 且 x B
或
A B
B A
A\ B
A B
c BA A \ B ( 其中B A )
A B ( x , y) x A , y B
B
Ac BA
B
特例: R R 记 R 2 为平面上的全体点集
A B A
集合运算规律
(1) 交换律 A B B A A B B A (2) 结合律 ( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) (3) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C )
ai
n i 1
自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , n
例: 整数集合 Z x x N 或 x N
p p 与 q 互质 p Z , q N , 有理数集 Q q
实数集合 R x x 为有理数或无理数
性或完备性．(有理数或无理数是不完备的).
三、实数的绝对值
a a0 a a a 0 运算性质: ab a b ;
a a ; b b
绝对值不等式:
( a 0)
a b a b a b.
x a ( a 0) x a ( a 0)
a x a;
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集
*表示 M 中排除 0 的集合 M
M 表示 M 中排除 0 与负数的集合.
表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： M x x 所具有的特征
x a 或 x a;
四、区间与邻域
区间是指介于某两个实数之间的全体实数.这两 个实数叫做区间的端点.
a , b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a , b)
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o a
邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a ) { x a x a }.
a
a
a
x
点a的去心的 邻域, 记作U 0 (a ). U 0 (a) {x 0 x a }. 右 邻域 : 左 邻域 :
( A B) C ( A C ) ( B C )
(4) 对偶律 A B A B
A B A B
二、 实数
高等数学中讨论的数一般都实数，讨论的集是实数 集，全体实数所成的集合称为实数系，用Ｒ表示．
在实数系中任何两数之间，有且只有大于、小于和
等于三者之一的关系成立，称为实数系的有序性． 全体实数与数轴上的点一 一对应，称为实数的连续