D1.1实数与区间

2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集, 或称 B 包含A , 记作 A B . 若 例如 , 且 , 则称 A与B相等, 记作 A B . ,
显然有下列关系 :

定义3. 给定两个集合 A, B, 定义下列运算: 并集 A B x 交集 A B x 差集 余集 直积
b
x
{ x a x b} { x a x b}
称为半开闭区间, 记作 [a , b ) 称为半开闭区间, 记作 (a , b] 有限区间
[a ,) { x a x }
o a
( , b) { x x b}
无限区间
x
o
b
x
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
第一章
函数
★§1.1 实数和区间 ●§1.2 映射与函数 ●§1.3 函数的简单性质 ●§1.4 初等函数与双曲函数
一、集合
1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a ) { x a x a }.

a

a
a
x
点a的去心的 邻域, 记作U 0 (a ). U 0 (a) {x 0 x a }. 右 邻域 : 左 邻域 :
性或完备性．(有理数或无理数是不完备的).
三、实数的绝对值
a a0 a a a 0 运算性质: ab a b ;
a a ; b b
绝对值不等式:Βιβλιοθήκη Baidu
( a 0)
a b a b a b.
x a ( a 0) x a ( a 0)
a x a;
x a 或 x a;
四、区间与邻域
区间是指介于某两个实数之间的全体实数.这两 个实数叫做区间的端点.
a , b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a , b)
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o a
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集
*表示 M 中排除 0 的集合 M

M 表示 M 中排除 0 与负数的集合.
表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： M x x 所具有的特征
A \ B x
且 且 x B
或
A B
B A
A\ B
A B
c BA A \ B ( 其中B A )
A B ( x , y) x A , y B
B
Ac BA
B
特例: R R 记 R 2 为平面上的全体点集
A B A
集合运算规律
(1) 交换律 A B B A A B B A (2) 结合律 ( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) (3) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C )
( A B) C ( A C ) ( B C )
(4) 对偶律 A B A B
A B A B
二、 实数
高等数学中讨论的数一般都实数，讨论的集是实数 集，全体实数所成的集合称为实数系，用Ｒ表示．
在实数系中任何两数之间，有且只有大于、小于和
等于三者之一的关系成立，称为实数系的有序性． 全体实数与数轴上的点一 一对应，称为实数的连续
ai
n i 1
自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , n

例: 整数集合 Z x x N 或 x N
p p 与 q 互质 p Z , q N , 有理数集 Q q
实数集合 R x x 为有理数或无理数