人教版八年级数学上册《角的平分线的性质》

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角的平分线的性质 教学课件(共27张PPT)初中数学人教版八年级上册

角的平分线的性质 教学课件(共27张PPT)初中数学人教版八年级上册
第三步:分析找出由已知推出要证的结论的途 径,写出证明过程.
如图,已知∠AOC = ∠BOC,点 P在OC上,PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为D,E.求证:PD =PE.
证明:∵ PD⊥OA,PE⊥OB,
A
由 18此0°”,的你思又路能∴在吗受△?到∠P什DPDO么O和启=△发∠P?EPEO你O中能=,发90现°.证明“三角形内D角和P 等于C
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E
P
∴PD = PE
O
E
B
例题练习
如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路距离相等, 离公路 与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建在何处(比例尺为1︰20000)?
O
S 实际问题
A
B
几何问题
在∠AOB 内是否存在点 P ,过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、 OB 于点 D、E,使得 DP = EP ?
例题练习
如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路距离相等, 离公路
与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建在何处(比例尺为1︰20000)?
解:作∠AOB的角平分线OC, 截取OP=2.5cm ,P即为所求.
O
D
E
A
P
B
【猜想】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D、E,PD = PE.
12.3角的平分线的性质
第十二章——全等三角形
学习目标 01 会用尺规作一个角的平分线;
02 探索并证明角的平分线的性质,掌握角的 平分线的判定;
03 会用角的平分线的性质和判定解决相关问题.
回顾旧知
我们之前学习了三角形的角平分线,什么是三角形的角平分线?

人教版八年级上册数学课件:角平分线的性质优秀课件

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求证:(1)∠ECD=∠EDC; (2)OC=OD.
人 教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课:件12:.3角角平平分分线线的的性性质质优(秀共pp1t6课张件PPT)
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证明 (1)∵ 点E在∠BOA的平分线上, EC⊥AO,ED⊥OB ,
条互相交叉的公路, 现要建一个货物中 转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
l3
l2
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角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言: ∵ OC平分∠AOB, 且PD⊥OA, PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来,到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢?
已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB, 点D、E为垂足,PD=PE. 求证:点P在∠AOB的平分线上
如图,△ABC的角平分线
BM,CN相交于点P。求证:点P到三边
AB、BC、CA的距离相等
A
证明:过点P作PD⊥PE⊥论B:C于三E,角PF形⊥A的C于三F,条角平分线交于
一∵B点M是,△并ABC且的这角平点分到线,三B点边P在的BM距上,离E 相等C.

人教版数学八年级上册教学设计12.3《角的平分线的性质》

人教版数学八年级上册教学设计12.3《角的平分线的性质》

人教版数学八年级上册教学设计12.3《角的平分线的性质》一. 教材分析《角的平分线的性质》是人教版数学八年级上册的教学内容。

本节课主要让学生掌握角的平分线的性质,即角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

这一性质是几何中的基本概念,对于学生理解和掌握几何知识体系具有重要意义。

教材通过引入角的平分线,引导学生探究角的平分线的性质,从而培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了角的概念、线段的概念以及一些基本的几何性质。

但是,对于角的平分线的性质,学生可能较为陌生。

因此,在教学过程中,教师需要从学生的实际出发,通过引导、探究、实践等方式,帮助学生理解和掌握角的平分线的性质。

三. 教学目标1.知识与技能:使学生理解和掌握角的平分线的性质,能够运用角的平分线的性质解决一些简单的问题。

2.过程与方法:通过观察、操作、探究等方法,培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观:激发学生学习几何的兴趣,培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点:角的平分线的性质。

2.难点:如何运用角的平分线的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法:教师通过提问、设疑等方式,引导学生思考和探究角的平分线的性质。

2.实践操作法:学生通过实际操作,观察和总结角的平分线的性质。

3.合作交流法:学生分组讨论,共同解决问题,培养团队合作意识。

六. 教学准备1.教师准备:教材、PPT、几何模型等教学资源。

2.学生准备:笔记本、尺子、圆规等学习工具。

七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过一个实际问题引入本的课题,如:“在平面上有两个点A和B,如何找到一点C,使得AC=BC?”引导学生思考和探讨。

2.呈现(10分钟)教师通过PPT展示角的平分线的性质,引导学生观察和总结。

同时,教师可以通过实际操作,让学生直观地感受角的平分线的性质。

3.操练(10分钟)学生分组讨论,运用角的平分线的性质解决实际问题。

人教版八年级上册数学课件12.3角平分线的性质3

人教版八年级上册数学课件12.3角平分线的性质3

OC,在OC 上任取一点P,过点P 画出OA,OB 的垂
线,分别记垂足为D,E,测量 PD,PE 并
作比较,你得到什么结论?
A
在OC 上再取几个点试一试. 通过以上测量,你发现了角
D
的平分线的什么性质?
C
P
O
E
B
求证经; 历实验过程,发现并证明角的平分线的性质
求证:PD =PE.
追问2 由角的平分线的性质的证明过程,你能概
经历实验过程,发现并证明角的平分线的性质
追问1 通过动手实验、观察比较,我们发现“角 经历实验过程,发现并证明角的平分线的性质
∴∠DOP=∠BOP(角平分线定义)
线.你能说明它的道理吗?
的平分线上的点到角的两边的距离相等”,你能通过严 求证:PD =PE.
受到哪些启发?如何利用直尺和圆规作一个角的平分线?
在△OPD和△OPE 中
格的逻辑推理证明这个结论吗? 边放下,沿AC 画一条射线AE,AE 就是∠DAB 的平分
CA=CA(公共边)
追问2 由角的平分线的性质的证明过程,你能概
受到哪些启发?如何利用直尺和圆规作一个角的平分线?
追问3 角的平分线的性质的作用是什么?
已知:如图,OC平分∠AOB, 追问3 角的平分线的性质的作用是什么?
追问4 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗?
如图,任意作一个角∠AOB,作出∠A的平分线
(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证 在△ACD和△ACB中
D
B
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线,那
格的逻辑推理证明这个结论吗?
证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点(已知)
E

人教版数学八年级上册 第十二章 12.3 角的平分线的性质 第一课时 课件(共33张PPT)

人教版数学八年级上册 第十二章 12.3 角的平分线的性质 第一课时 课件(共33张PPT)

PD⊥OA,PE⊥OB,且
O
P
PD=PE
E B ∴OP是∠AOB的平分线
动脑想一想
• 我们之间就学习了三角形的角分线,之前 谈到过,三条角分线一定交于一点,不过 当时我们没有给出证明,而只是通过画图 的方法给出了印证。
• 现在我们学习了角分线的性质和判定定理, 怎样证明这个结论呢?我们先看下面的例 题。
DC=BC(已知) ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC(对应角相等) 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发,你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗?
A
仅用尺规作图,
已知∠AOB,
求作∠AOB的
平分线
O
B
尺规法画角平分线
A M
O
NB
以点O为圆心,任意适当长度为半径画弧,
• 对折之后的折痕和 这个角有什么关系?
• 如果是木板不能对 折,该怎么平分?
动脑想一想
• 如图是一个平分角的仪器, 其中AB=AD,BC=DC,将 点A放在角的顶点,AB和 AD沿着角的两边放下,则 AC所在直线就是这个角的 平分线。
• 你能说明这是为什么吗?
动脑想一想
证明: 在△ADC和△ABC 中 AB=AD(已知) AC=AC(公共边相等)
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB,
O
P C PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图,要在S区建一个 集贸中心,使它到铁路、 公路的距离相等,并且 离公路与铁路的交叉处 500m,这个集贸中心应 建在哪里?
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的

人教版八年级上册数学1角平分线的性质课件(共18张)

人教版八年级上册数学1角平分线的性质课件(共18张)

∴ DB = DC ,
(在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。)
A
(√ )
不必再证全等
B
D C
练习
4、如图,
A
∵ OC是∠AOB的平分线,
D
又 _P_D__⊥__O_A_,__P_E_⊥__O__B_,___
C
P
O
∴PD=PE
E
( 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ) B
THANK YOU
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
用符号语言表示为:
∵ ∠DOP= ∠EOP, PD⊥OA , PE⊥OB,
∴PD=PE(角的平分线上的点 到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个, 必须写全,不能少
了任何一个。
A D
P
O
B E
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件:
结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
探究求证
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,
PE⊥OB,垂足分别是D,E。
求证:PD=PE
证明:∵ PD⊥OA,PE⊥OB,(已知)
∴∠PDO=∠PEO=90,(垂直的定义)
A D
在△PDO和△PEO中,
∠ PDO= ∠ PEO, ∠ AOC= ∠ BOC, OP=OP,
练习
1、如图, ∵ AD平分∠BAC(已知)
∴ BD = CD ,
(在角的平分线上的点到这
A
个角的两边的距离相等。)
(×)
B
D C
练习
2、如图, ∵ DC⊥AC,DB⊥AB (已知)

人教版八年级数学上册12.3.1角的平分线的性质(第1课时)

人教版八年级数学上册12.3.1角的平分线的性质(第1课时)

E
B
C
D
A
E
B
C
D
4.如图,OC平分∠AOB, PM⊥OB于点M, PN⊥OA于点N, △POM的面积为6,OM=6, 则PN=_______ 。 2
N 0 M P
A
C B
*5.如图,△ABC中,AB=8厘米,∠C=90°, AC=BC,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于 点E。求:△DBE的周长= 8厘米。
证明:连结MC,NC由作法知:
在△OMC和△ONC中 OM=ON MC=NC OC=OC ∵△OMC≌△ONC (SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠AOB的角平分线. M
A C
O
N
B
经历实验过程,发现并证明角的平分线的性质
P48 思考 利用尺规我们可以作一个角的平分线,那 么角的平分线有什么性质呢? 如图,任意作一个角∠AOB,作出∠A的平分线 OC,在OC 上任取一点P,过点 A P 画出OA,OB 的垂线,分别记 D 垂足为D,E,测量 PD,PE 并 C 作比较,你得到什么结论? P O
B
即点P到三边AB,BC,CA的距离相等
E
C
A
2. 如 图 , 在 △ ABC 中 , AC⊥BC , AD 为 ∠ BAC 的平分线,DE⊥AB,AB = 7 ㎝ , AC = 3 ㎝ , 求 BE= 4 CM. 3.如图,在△ABC中, ∠C=900,AD平分 ∠BAC交BC于点D,若 BC=8,BD=5,则点D 3 到AB的距离为_____
证明:∵ AD平分∠CAB, D是AD上一点(已知)
∵DE⊥AB,DC⊥AC(已知) ∴DC=DE(角平分线的性质) 在Rt△CDF和Rt△EDB 中 BD=FD (已知) DC=DE(已证) ∴Rt △CDF≌Rt△EDB (HL) ∴CF=EB(全等三角形对应边相等)

人教版数学八年级上册12.3角平分线的性质教案

人教版数学八年级上册12.3角平分线的性质教案
-通过列举具体例子,如等腰三角形、等边三角形等,让学生学会将角平分线性质应用于实际图形。
2.教学难点
a.角平分线性质的证明过程,尤其是辅助线的添加和全等三角形的运用;
b.理解角平分线性质中“点到角两边距离相等”的含义,并能将其应用于解决问题;
c.解决与角平分线相关的高难度问题,如构造角平分线、解决综合几何问题等。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了角平分线的定义、性质和它在实际中的应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对角平分线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在解决几何问题时灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
a.证明角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等;
b.应用角平分线的性质解决实际问题;
c.掌握角平分线在实际图形中的应用,如等腰三角形、等边三角形等。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力:通过角平分线性质的探究与证明,使学生能够运用几何语言进行逻辑推理,提高论证能力。
2.增强空间观念:通过观察、操作和想象,使学生能够理解角平分线在二维空间中的位置关系,培养空间观念。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解角平分线的基本概念。角平分线是通过一个角的顶点,将角分为两个相等角的直线。(解释概念)它是解决几何问题中关于角的重要工具,有着广泛的应用。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。这个案例展示了角平分线在实际中的应用,以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在今天的课堂中,我们探讨了人教版数学八年级上册第十二章第三节“角平分线的性质”。通过这节课的教学,我发现以下几点值得反思:

《角的平分线的性质》示范公开课教学PPT课件【部编新人教版八年级数学上册】

《角的平分线的性质》示范公开课教学PPT课件【部编新人教版八年级数学上册】
三角形的三条角平分线交于一点.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2:如图,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相 等,并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处( 在图上标出它的位置,比例尺为1:20000)?
A
C
D
B
M
S
N
AB:500=1: 20 000 AB=2.5cm
情景导入
(2)下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在 角的定点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是 这个角的平分线.你能说明它的道理吗?
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB,DC=BC AC=AC
△ACD≌△ACB
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
做一做:你能用三角形全等证明这个结论吗?
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,做 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.
分析: 要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPE, 而△OPD≌△OPE的条件由已知容易得到它满足公理 (AAS).故结论可证.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
情景导入 (1)画一画:在纸上任意画一个角,用剪刀剪下,用折纸的方法, 如何确定角的平分线?
(1)在准备好的角上标好字母A,O,B;
(2)把∠ AOB对折,使得这个角得两边重合;
A
(3)折痕就是∠AOB的角平分线.
O
B
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业

人教版八年级数学上册123角的平分线的性质第2课时角平分线的判定课件

人教版八年级数学上册123角的平分线的性质第2课时角平分线的判定课件

解:∵
图上距离 500m
=
1 20000
∴图上距离 = 0.025m = 2.5cm.
P
如下图:P点即为所求 ; 理由:P点在这个交叉口的角平分线上,所 以P点到公路与铁路的距离相等.
练习2 要在三角形的内部找到一点,使这 一点到三角形的三边的距离都相等,这个点应 如何确定?
作其中任意两角的平分线,交点即为所要 找的点.
M
∵P点在∠CBE和∠BCF的平分
线上,∴PM = PQ,PN = PQ,
∴PM = PN.
又PM⊥AE,PN⊥AF, ∴ AP平分∠BAC.
N
拓展延伸 3.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E、F.连接EF,EF与AD 交于G,AD 垂直平分EF吗?证明你的结论. 解:AD垂直平分EF .证明如下: ∵AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠1=∠2,∠AED =∠AFD =90°,
思考
推进新课
如图,要在S 区建一个集贸场,使它到公路、
铁路的距离相等,并且离公路和铁路的交叉处
500 m. 这个集贸场应建于何处〔在图上标出它的
位置,比例尺为1:20 000〕?
知识点1 角平分线的性质定理的逆定理的证明
交换角的平分线的性质中的和结论, 你能得到什么结论,这个新结论正确吗?
角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上.
学习目标
【知识与技能】1.掌握角的平分线的判定.2.会利用三角形角平分线的性质. 【过程与方法】通过学习角的平分线的判定,开展学生的推理能力,培养学 生分析、归纳问题的能力.【情感态度】锻炼数学应用意识和用数学解决实际 问题的能力,体验数学的应用价值.【教学重点】角平分线的判定.【教学难 点】三角形的内角平分线的应用.

八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)

八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)
条件是:_______________,并给予证明.
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一:添加条件:AE=AF, 在△AED与△AFD中,
∵AE=AF,∠EAD=∠FAD,AD=AD, ∴△AED≌△AFD(SAS). 解法二:添加条件:∠EDA=∠FDA,
在△AED与△AFD中, ∵∠EAD=∠FAD,AD=AD,∠EDA=∠FDA, ∴△AED≌△AFD(ASA).
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习,需要我们掌握: 1.角平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2.角平分线的判定: 到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.
3.作射线OC.
M
C
射线OC即为所求.
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠AOB的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠AOB的角平分线.
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC
画一条射线AE,AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗?
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】 在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB(已知)
DC=BC(已知)
A D
CA=CA(公共边)
∴ △ACD≌ △ACB(SSS)
∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应角相等)

人教版八年级数学上册第十二章 1 第1课时 角的平分线的性质

人教版八年级数学上册第十二章 1 第1课时 角的平分线的性质

123456
1.如果要作已知∠AOB的平分线OC,合理的顺序是 ( ).
①作射线OC;②在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE;③分别以
D,E为圆心,大于
1 2
DE长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
A.①②③
B.②①③ C.②③① D.③②①
关闭
C
答案
-6-
知识梳理 预习自测
1234
关闭
因为∠ACB=90E=CE.
所以AE+DE=AE+CE=AC=3 cm.
关闭
B
解析 答案
角的平分线的性质拓展应用 【例题】 如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=36 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,求DE的长.
分析:由题目条件及图形知S△ABC=S△ABD+S△BCD.因为点D是 ∠ABC的平分线上的点,且DE⊥AB,所以易想到过点D作出BC边上 的高DF,利用角的平分线的性质有DE=DF.由△ABD和△BCD的面 积,可列出等式求出DE的长.
知识梳理 预习自测
1.角的平分线上的点到角的两边的距离 相等 . 2.一般情况下,要证明一个几何命题时,可以按照以下步骤进行: (1)明确命题中的 已知 和 求证 ; (2)根据题意,画出 图形 ,并用 符号 表示已知和求证; (3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
-5-
知识梳理 预习自测
解:过点D作DF⊥BC,垂足为F. ∵DE⊥AB,BD平分∠ABC,∴DE=DF. ∵S△ABC=S△ABD+S△BCD, ∴36=12·AB·DE+12·BC·DF=12DE·(AB+BC)=12DE·(18+12)=15DE. 解得DE=2.4(cm).

人教版八年级数学上册《12-3 角的平分线的性质(第1课时)》课堂教学课件PPT初中公开课

人教版八年级数学上册《12-3 角的平分线的性质(第1课时)》课堂教学课件PPT初中公开课

人教版 数学 八年级 上册ABDCE下图是一个平分角的仪器,其中AB = AD ,BC =DC .将点A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE ,AE 就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗?导入新知3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.1. 学会角平分线的画法.2. 探究并认知角平分线的性质.素养目标在纸上画一个角,你能得到这个角的平分线吗? 用量角器度量,也可用折纸的方法. 如果把前面的纸片换成木板、钢板等,还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗?探究新知知识点 1角平分线的画法问题1:问题2:提炼图形如图,是一个角平分仪,其中AB=AD ,BC=DC .将点A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE ,AE 就是角平分线,你能说明它的道理吗?AB C(E )D其依据是SSS ,两全等三角形的对应角相等.问题3:【思考】如果没有此仪器,我们用数学作图工具,能实现该仪器的功能吗?ABO请大家找到用尺规作角的平分线的方法,并说明作图方法与仪器的关系.提示(1)已知什么?求作什么?(2)把平分角的仪器放在角的两边,仪器的顶点与角的顶点重合,且仪器的两边相等,怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中,BC=DC ,怎样在作图中体现这个过程呢?(4)你能说明为什么OC 是∠AOB 的平分线吗?做一做ABMNCO 已知: ∠AOB.求作:∠AOB 的平分线.仔细观察步骤作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!作法:(1)以点O 为圆心,适当长为半径画弧,交OA 于点M ,交OB 于点N .(2)分别以点M ,N 为圆心,大于 MN 的长为半径画弧,两弧在∠AOB 的内部相交于点C .(3)画射线OC .射线OC 即为所求.12半径小于MN 或等于MN ,可以吗?1212已知:平角∠AOB.求作:平角∠AOB 的角平分线.结论:作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOC1. 操作测量:取点P 的三个不同的位置,分别过点P 作PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,点D,E 为垂足,测量PD,PE 的长.将三次数据填入下表:2. 观察测量结果,猜想线段PD 与PE 的大小关系,写出结果:__________PD PE第一次第二次 第三次COBAPD=PE pDEOC 是∠AOB 的平分线,点P 是射线OC 上的任意一点.猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质知识点 2已知:如图, ∠AOC= ∠BOC ,点P 在OC 上,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,E .求证:PD=PE .PA OB CDE证明:∵ PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.在△PDO 和△PEO 中,∠PDO= ∠PEO ,∠AOC = ∠BOC ,OP= OP ,∴ △PDO ≌△PEO (AAS).∴PD=PE .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.验证猜想一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可以按照类似的步骤进行,即1.明确命题中的已知和求证;2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.归纳总结u性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. u应用所具备的条件:(1)角的平分线;(2)点在该平分线上;(3)垂直距离.u定理的作用:证明线段相等.u应用格式:∵OP 是∠AOB的平分线,∴PD = PE 推理的理由有三个,必须写完全,不能少了任何一个.PD⊥OA,PE⊥OB,BADO PEC判一判:(1)∵ 如下左图,AD 平分∠BAC (已知),∴ =,( )在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD ×B ADC(2)∵ 如上右图, DC ⊥AC ,DB ⊥AB (已知). ∴ = ,( )在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD ×B ADC缺少“垂直距离”这一条件缺少“角平分线”这一条件如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,OD⊥AB 于点D,OE⊥AC于点E,则OD与OE的大小关系是( ) A. OD>OE B.OD=OEC. OD<OE D.不能确定B 巩固练习例1已知:如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且BD=CD ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC .垂足分别为E ,F .求证:EB=FC.ABCDEF 证明: ∵AD 是∠BAC 的角平分线, DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴ DE=DF , ∠DEB=∠DFC =90 °.在Rt △BDE 和 Rt △CDF 中,DE=DF ,BD=CD ,∴ Rt △BDE ≌ Rt △CDF (HL).∴ EB=FC .探究新知角平分线的性质的应用素养考点 1如图,已知:OD 平分∠AOB ,在OA ,OB 边上取OA =OB ,PM ⊥BD ,PN ⊥AD ,垂足分别为M ,N.求证:PM =PN.证明:∵OD 平分∠AOB ,∠1=∠2,又∵OA =OB ,OD =OD ,∴△AOD ≌△BOD ,∴∠3=∠4,又∵PM ⊥DB ,PN ⊥DA ,∴PM =PN.(角平分线上的点到角两边的距离相等)巩固练习例2 如图,A M 是∠B A C 的平分线,点P 在A M 上,P D ⊥A B ,PE ⊥AC ,垂足分别是D,E ,PD=4cm ,则PE =______cm.BACP MDE4提示:存在两条垂线段——直接 应用.探究新知利用角平分线的性质求线段的长度素养考点 2AB CP 如图,在Rt △ABC 中,AC=BC ,∠C =90°,AP 平分∠BAC 交BC 于点P ,若PC =4, AB =14.(1)则点P 到AB 的距离为_______.D4提示:存在一条垂线段——构造应用.巩固练习1.应用角平分线性质:存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质:面积周长条件利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解探究新知归纳总结如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB=( )A.30°B.35°C.45°D.60°B解析:作MN⊥AD于N,∵∠B=∠C=90°,∴AB∥CD,∴∠DAB=180°–∠ADC=70°.∵DM平分∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD,∴MN=MC,∵M是BC的中点,∴MC=MB,∴MN=MB,又MN⊥AD,MB⊥AB,∴∠MAB=12∠DAB=35°.N连接中考2.△ABC 中, ∠C=90°,AD 平分∠CAB ,且BC =8,BD =5,则点D 到AB 的距离是 .ABC D3E1. 如图,DE ⊥AB ,DF ⊥BG ,垂足分别是E ,F , DE =DF , ∠EDB= 60°,则 ∠EBF =度,BE = .60BF EBDFACG 基础巩固题3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC 的依据是()A.SSS B.ASA C.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等AB MCOA4.如图,OP 平分∠AOB ,PC ⊥OA ,PD ⊥OB ,垂足分别是C ,D ,下列结论中错误的是( )A.PC =PD B. OC =OD C. ∠CPO =∠DPO D. OC =PCD 5. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,垂足为E ,S △ABC =7,DE =2,AB =4,则AC 的长是( )A .6 B .5 C .4 D .3D BC EADFEA68101. 在Rt △ABC 中,BD 平分∠ABC ,DE ⊥AB 于E ,则:(1)哪条线段与DE 相等?为什么?(2)若AB =10,BC =8,AC =6,求BE ,AE 的长和△AED 的周长.解:(1)DC=DE .理由如下:角平分线上的点到角两边的距离相等.(2)在Rt △CDB 和Rt △EDB 中,DC=DE ,DB=DB ,∴Rt △CDB ≌Rt △EDB (HL),∴BE =BC =8.∴ AE =AB–BE =2.∴△AED 的周长=AE+ED+DA=2+6=8.能力提升题CD2.如图所示,D 是∠ACG 的平分线上的一点.DE ⊥AC ,DF ⊥CG ,垂足分别为E ,F . 求证:CE =CF .证明:∵CD 是∠ACG 的平分线,DE ⊥AC ,DF ⊥CG ,∴DE =DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中,∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL),∴CE =CF .,,=⎧⎨=⎩CD CD DE DF如图,已知AD ∥BC ,P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点,PE ⊥AB 于E ,且PE=3,求AD 与BC之间的距离.解:过点P 作MN ⊥AD 于点M ,交BC 于点N.∵ AD ∥BC ,∴ MN ⊥BC ,MN 的长即为AD 与BC 之间的距离.∵ AP 平分∠BAD , PM ⊥AD , PE ⊥AB ,∴ PM= PE .同理, PN= PE .∴ PM= PN= PE=3.∴ MN=6.即AD 与BC 之间的距离为6.拓广探索题角平分线尺规作图属于基本作图,必须熟练掌握性质定理一个点:角平分线上的点;二距离:点到角两边的距离;两相等:两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段课堂小结为证明线段相等提供了又一途径课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看 Thank You。

八年级数学上人教版《 角的平分线的性质》教案

八年级数学上人教版《 角的平分线的性质》教案

《角的平分线的性质》教案
一、教学目标
1.掌握角的平分线的性质及其简单的应用。

2.培养学生观察、实验、归纳和推理的能力,以及动手操作能力。

3.初步了解“经过证明,得到确定的结论”的方法。

4.体验数学活动充满着探索性和创造性。

二、教学重点
掌握角的平分线的性质及其简单的应用。

三、教学难点
正确画出角的平分线,理解角的平分线的性质。

四、教学方法
1.通过观察、实验、归纳和推理,探究角的平分线的性质。

2.通过实例,介绍经过证明得到确定的结论的方法。

3.通过角平分器的使用,以及用圆规和直尺等工具画角的平分线,使学生能够正
确地画出角的平分线。

4.通过实例,让学生掌握角的平分线的性质的简单应用。

5.通过实例,让学生了解“经过证明,得到确定的结论”的方法。

6.通过实例,让学生体验数学活动充满着探索性和创造性。

7.通过实例,让学生了解数学与现实生活的密切联系。

8.通过实例,让学生理解数学来源于生活并服务于生活。

角的平分线的性质人教版数学八年级上册教案

角的平分线的性质人教版数学八年级上册教案

角的平分线的性质人教版数学八年级上册教案角平分线是指从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全一样的角,这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。

以下是我整理的角的平分线的心质人教版数学八年级上册教案,欢送大家借鉴与参考!12.3角的平分线的性质教案一、创设情景,明确目标1.不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么方法?2.假如前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,又该怎么办呢?二、自主学习,指向目标学习至此:请完成《学生用书》相应局部.用尺规作确定角的平分线的方法活动一:教材P48思索展示点评:相等的边有哪些?图形中隐含的条件是什么?作确定角的平分线的方法?为什么要用“大于MN的一半为半径画弧”?小组探讨:平分角的仪器的原理依据是什么?反思小结:理论依据是三角形全等的判定“SSS”.针对训练:见《学生用书》相应局部角平分线的性质与证明活动二:同学们结合折纸活动,猜测一下角平分线有怎样的性质呢?猜测:角平分线上的点到角的两边的距离相等.展示点评:请同学们证明上述猜测(写出确定、求证):通过证明我们得出角平分线性质:________.用数学语言翻译描述上述性质:小组探讨:第一次对折可以得到什么结论?其次次为什么要折出一个直角?角平分线的性质内容?确定和求证分别是什么?如何证明?如何用几何语言表达?根本图形是什么?反思小结:角平分线上的点到角两边的距离相等.针对训练:见《学生用书》相应局部角平分线的运用活动三:如图,OC平分∠AOB,点P为OC上随意一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,猜测PD与PE 的数量关系,并证明.展示点评:由角平分线可以得到哪些角相等?由垂直可以得到哪些角相等?由图形可挖掘什么条件?由三角形全等可以得到什么结论?如何写证明过程?小组探讨:此题有哪些不同的证明方法,哪种方法更简便?反思小结:用角平分线的性质证明线段相等比用全等三角形证明线段相等更便利.针对训练:见《学生用书》相应局部四、总结梳理,内化目标本节课学习了那些学问?有哪些运用?1.角平分线的性质定理:在角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.五、达标检测,反思目标1.三角形中,到三边距离相等的点是( C )A.三条高线交点B.三条中线交点C.三条角平分线交点D.三边垂直平分线交点12.3角平分线的性质:测试一、填空题(每题3分,共30分)1.到一个角的两边距离相等的点都在_________.2.∠AOB的平分线上一点M,M到OA的距离为1.5 cm,那么M到OB的距离为_________.3.如图,∠AOB=60°,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,且CD=CE,那么∠DOC=_________.12.3角的平分线的性质:精选练习7.确定Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,假设BC=32,且BD:CD=9:7,那么D到AB边的距离为( )A.18B.16C.14D. 128.如图6,AE⊥BC于E,CA为∠BAE的角平分线,AD=AE,连结CD,那么以下结论不正确的选项是( )A.CD=CEB.∠AC D= ∠ACEC.∠CDA =90°D.∠BCD=∠ACD9.在△ABC中,∠B=∠ACB,CD是∠ACB的角平分线,确定∠ADC=105°,那么∠A的度数为( )A.40°B.36°C.70°D.60°10.在以下结论中,不正确的选项是( )A.平面内到角的两边的距离相等的点必须在角平分线上B.角平分线上任一点到角的两边的距离必须相等C.一个角只有一条角平分线D.角的平分线有时是直线,有时是线段角的平分线的性质人教版数学八年级上册教案。

人教版八年级数学上册12.3 角的平分线的性质

人教版八年级数学上册12.3 角的平分线的性质
解:过点P作PE⊥OA,PF⊥OD,垂足分别为E,F, ∵S△PAB=S△PCD,即12AB·PE=21CD·PF, ∵AB=CD,∴PE=PF,∴点P在∠AOD的平分线上, ∴OP平分∠AOD
18.如图,已知在四边形ABCD中,AB⊥CB于点B,DC⊥BC于点C, DE平分∠ADC,且点E为BC的中点.
14.如图所示,已知AB∥CD,点O为∠BAC,∠DCA的平分线的交点, OE⊥AC交AC于点E,且OE=2,则两平行线AB,CD之间的距离等于 ____4.
15.如图,△ABC中,AD为角平分线,且DB=DC,DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F.
求证:∠B=∠C. 解:由角平分线的性质得DE=DF,又BD=CD,∴可证得
12.如图,l1,l2,l3是三条两两相交的笔直公路,现欲修建一个加油站, 使它到三条公路的距离相等,这个加油站的位置共有( ) D
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 13.如图,点C为∠DAB内一点,CD⊥AD于点D,CB⊥AB于点B,且 CD=CB,∠DCB=150°,则∠DAC=___1_5. °
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
知识点1:角的平分线上的点到角的两边的距离相等 1.(2014·广州)已知OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为点D,E,PD=10,则PE的长为_1_0__.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=∠BAD=30°,DE⊥AB,若CD =2,则DE=____. 2
3.如图,点P是∠BAC内点,且到AB,AC的距离PE,PF相等,则 △PEA≌△PFA的依据是( A)
A.HL B.ASA C.SSS D.SAS
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD为∠BAC的角平分线,BC= 64,BD∶DC=9∶7,求点D到AB的距离.

人教版八年级上册数学123角的平分线的性质优秀课件

人教版八年级上册数学123角的平分线的性质优秀课件

OP=OP(公共边),
O
P
PD= PE(已知 ),
∴Rt△PDO≌Rt△PEO( HL).
E B
∴∠AOP=∠BOP (全等三角形的对应角相等).
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件:
(1)位置关系:点在角的内部; (2)数量关系:该点到角两边的距离相等.
BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边
放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能
说明它的道理吗?
A
其依据是SSS,两全等三角形的 对应角相等.
D
B
(E)C
探究新知
【思考】如果没有此仪器,我们用数学作图做 请大家找到用尺规作角的平分线的方法,并说明
第一课时
角的平分线的性质
导入新知
下图是一个平分角的仪器,其中AB= AD,BC=DC. 将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下,沿 AC画一条射线AE,AE 就是这个角的平分线,你能说
A
明它的道理吗?
D
B
C E
素养目标
3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际 问题. 2. 探究并认知角平分线的性质.
P在∠AOB的平分线上.
3
2.如图,AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离相等,则
点P是 ∠ABC的平分线与 ∠BCD 的平分线的交点.
探究新知
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线,你发现 了什么?
发现:三角形的三条角平分线相交于一点.
探究新知 分别过交点作三角形三边的垂线,用刻度尺量一

角平分线的性质(课件)人教版数学八年级上册

角平分线的性质(课件)人教版数学八年级上册

拓展训练 2.如图,△ABC 中,∠C = 90°,AD 是△ABC 的角
平分线,DE⊥AB 于 E,F 在 AC 上 BD=DF.求证:CF=EB.
证明:∵AD 平分∠CAB,DE⊥AB,∠C= 90°(已知), ∴CD=DE (角的平分线的性质). 在Rt △CDF 和 Rt△EDB 中, CD=DE (已证),DF=DB(已知), ∴ Rt△CDF ≌ Rt△EDB(HL). ∴ CF=EB (全等三角形对应边相等).
互动新授 思考
如图,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距 离相等,并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建 于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:20000)?
S
互动新授
解:在Rt△ABC与Rt△ABD中:
AB=AB
BC=BD
∴ Rt△ABC ≌ Rt△ABD(HL).
∴∠CAB=∠DAB
M
即点B在∠CAD的角平分线上
你能得出什 A么结论呢?
C
D
B S
N
角的平分线的判定: 角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上.
典例精析
例:如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P.求证:点P 到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明:过点P作PD⊥AB交于点D,PE⊥BC交于点E,
PF⊥AC交于点F.
AD=AD,
DC=DE,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE.
∵AC=BC,
∴AE=BC,
∴△DEB的周长为8cm.
课堂小结
三角形的角 平分线
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上.

人教版八年级数学上册1角平分线的性质

人教版八年级数学上册1角平分线的性质
(3)、角平分线的性质是全等三角形知识的延续,为 后面学习角平分线的判定定理、圆这一章中内心的学 习奠定了基础.
因此,本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的 作用.同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结 构合理,符合学生的心理特点和认知规律
2、教材目标
知识与技能: (1)掌握角平分线的作法 (2)理解角平分线的性质 (3)会运角平分线的性质解决问题 过程与方法: (1)经历角平分线的探究过程,增强学生的实验、猜 想、推理意识 (2)依据性质进行简单说理,培养学生动手操作能力、 逻辑推理能力 (3)初步了解角平分线的性质在生活、生产中的应用。 情感目标:激发学生学习兴趣,增强学生学好数学的信心.
A
N
D P
F
M

点P在BM上,
B
∴ PD=PE. 同理 PE=PF.
C E
∴ PD=PE=PF. 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
三.说教学过程












































自主探究 巩固提高
1.如图,E是∠AOB的角平分线OC上的一点,EM⊥OB垂足为M,
( 2) 其次学生们的实际水平有所不 同,全面深入探究问题能力有所差异,他 们对问题的理性推理有待于提高。
二.说 教 学 法
采用“先学后教·当堂训练“ 教 学 法
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角的平分线的性质
教学目标 知识与技能:
1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法;
2、理解角的平分线的性质并能初步运用。

过程与方法:
通过让学生经历观察演示,动手操作,合作交流,自主探究等过程,培养学生用数学知识解决问题的能力。

情感态度与价值观:
培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,激发学生应用数学的热情。

教学重点:
掌握角平分线的尺规作图,理解角的平分线的性质并能初步运用。

教学难点:
1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解;
2、对于性质定理的运用。

教学过程: 一、创设情景
生活中有很多数学问题:
小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼,刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点,要从P 点建两条管道,分别与暖气管道和天然气管道相连。

问题1:怎样修建管道最短?
问题2:新修的两条管道长度有什么关系,画来看一看。

二、探究体验
要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线,工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。

出示仪器模型,介绍仪器特点(有两对边相等),将A 点放在角的顶点处,AB 和AD 沿角的两边放下,过AC
画一条射线
A
F C
B
E AE ,AE 即为∠BAD 的平分线。

学生口述,用三角形全等的方法证明AE 是∠BAD 的平分线。

多媒体展示实验过程。

把简易平分角的仪器放在角的两边时,平分角的仪器两边相等,从几何作图角度怎么画?BC =DC ,从几何作图角度怎么画?
让学生用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把对折后的纸片继续折一次,折出一个直三角形(使第一次的折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕。

问题1:第一次的折痕和角有什么关系?为什么?
问题2:第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系,它们的长度有何关系?
如图:按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕.让学生分组讨论、交流,再利用几何画板软件验证结论,并用文字语言阐述得到的性质.(角的平分线上的点到角两边的距离相等)
结合图形写出已知,求证,分析后写出证明过程.教师归纳,强调定理的条件和作用.
三、合作交流
判断正误,并说明理由:
(1)如图1,P 在射线OC 上,PE ⊥OA ,PF ⊥OB ,则PE =PF .
(2)如图2,P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点,E 、F 分别在OA 、OB 上,则
PE =PF .
(3)如图3,在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ,若P 到OA 的距离为3cm ,则P 到OB 的距离边为3cm .
让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题:
问题:引例中两条管道的长度有什么关系?理由是什么? 四、例题讲解
例1 如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且BD =CD ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别是E ,F .求证:EB =FC

E
O
B
A
O
B
P E
F
图2 图3
A
O
B
P E
A
O
B
P E
F
图1。

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