第3章 机器人导论操作臂运动学
机器人学-第3章_机器人运动学
o
X
由(3-1)式可得运动学约束条件,x&sinq y&cosq 0 平面轮式移动机器人
是所谓的“非完整约束”。物理含义是,机器人不能沿轮轴线方向横移。
设轮距为D,轮半径为r,两轮独立驱动时轮子转速wL,wR 则
v
r 2
wR
wL
,
w
r D
wR
wL
(3-2)
1
v
r 2
wR
wL
,
w
r D
wR
wL
q2 L1
定义参考坐标系{0},它固定在基座上,当第一
个关节变量(q1)为0时坐标系{1}与坐标系{0}重合
,因此建立参考坐标系{0}如图所示,Z0轴与关节1 的轴线重合且垂直于机械臂所在平面。
q1
平面3R机械臂
由于机械臂位于一个平面上,因此所有Z轴相互平
X3
行,且连杆偏距d和连杆转角均为0。该机械臂的DH
动距离分别为lR = rR和lL = rL,
机器人移动距离
l=(lR+lL)/2
方位角变化
q =(lR-lL)/D。
第n步机器人位姿可以按下面公式更新:
qn qn1 q
xn
xn1
l
cos qn1
q
/
2
yn
yn1
l
sin qn1
q
/
2
若已知机器人的初始位姿,根据该递推公式可以确定任意时刻机器
人位姿,比较简单,但因积累误差大,所以长时间不可靠。
相邻连杆间坐标变换公式
建立 {P}、{Q}和{R}3个中间坐标系, 其中{i}和{i-1}是固定在连杆 i 和 i-1 上的固 连坐标系,如图3-13所示。
机器人及其控制第三章
H T T (q ) T (q2 )...
0 N 0 1 1 1 2
N 1 N
T (q N )
i 旋转关节 qi d i 移动关节
45
基本指导思想是这样的,只要求出坐标系{i-1}到坐标系{i} 的齐次变换矩阵,然后标号从1到N相乘即可。 连杆变换的推导 对每个连杆逐一建立坐标系,把运动学问题分解成N个子问 题,而每个子问题又分为四个次子问题。每个变换对应着 一个连杆参数。通过观察很容易写出它们的形式。 在坐标系{i-1}和坐标系{i}之间定义三个坐标系{P},{Q}, {R} 。
5
6
7
8
9
10
在操作臂结构设计时,优先考虑具有一个自由度的关节作 为连杆的连接方式, 一般包括移动关节和转动关节。
11
在操作臂结构设计时,优先考虑具有一个自由度的关节作 为连杆的连接方式, 一般包括移动关节和转动关节。 这是因为:如果一个关节具有n个自由度,这种关节可以 看作具有1个自由度的关节和n-1个长度为0的连杆连接而 成,因此不失一般性,仅对含有单自由度的关节的操作臂 进行研究。 连杆标号:基坐标系为0,第一个连杆为1,……,依次类推, 操作臂最末端的连杆为n。
i 1 i2
j 1 j
T
if i j
T I
j i
if i j
1
T ( T )
i
if i j
i j 1 j 1
i
o j o j 1 R
oj
54
3.6 驱动器空间、关节空间和笛卡尔 空间
对于一个具有N自由度的操作臂来说,它的所有连杆位置可由一 组N个关节变量加以确定。这样的一组变量称为 N 1 的关节变 量。 T
(3)操作臂运动学
No.13
4.机器人运动学方程
确定了变换矩阵
i 1 i
T (i 1,2,3n) 顺序相乘得到
0 n
T
若用广义坐标 qi (i 1,2,3n) 表示可写成
0 n
T T q
0 1
1 1 2
Tq Tq3
2 2 3
n 1 n
T q n
0 n
T
------ 称为机械手的变换矩阵
0 1 1 2 2 3
c 2 s 1 T A2 2 2 0 0
s 2 c 2 0 0
0 l 2 c 2 0 l 2 s 2 1 0 0 1
c 3 s 2 T A3 3 3 0 0
s 3 c 3 0 0
s123 c123 0 0
0 0 1 0
l1c1 l2 c12 l1 s1 l2 s12 0 1
No.20
1. 运动学方程的正解
上关节设置
y2 x 3 x2 杆 件 号i 关 节 变 量
i
ai
di
cosi
sini
y0 y1
y3 l2
1 x1 2
1 2 3
No.11
3.确定两杆件齐次变换矩阵的方法
*第一种A矩阵
两相邻杆坐标 系的齐次变换 矩阵---A矩阵 –后置模式
i 1 i
c i c s i 1 i s i 1s i 0
T Rotxi 1 , i 1 Transxi 1 , ai 1 Transzi , di Rotzi ,i
No.7
2)位姿方程的逆解 根据已给定的满足工作要求的末端执行器相对参考坐标系的 位置和姿态,求各关节的运动参数。 这是对机器进行控制的关键,因此只有使各关节按逆解中求 得的运动,才能使末端执行器获得所需的位置和姿态。 例1 RRPR型操作机的正解 例2 RRPR型操作机的逆解
第3章工业机器人运动学和动力学概要
第3章工业机器人运动学和动力学机器人操作臂可看成一个开式运动链,它是由一系列连杆通过转动或移动关节串联而成。
开链的一端固定在基座上,另一端是自由的,安装着工具,用以操作物体,完成各种作业。
关节由驱动器驱动,关节的相对运动导致连杆的运动,使手爪到达所需的位姿。
在轨迹规划时,最感兴趣的是末端执行器相对于固定参考系的空间描述。
为了研究机器人各连杆之间的位移关系,可在每个连杆上固接一个坐标系,然后描述这些坐标系之间的关系。
Denavit和Hartenberg提出一种通用方法,用一个4*4的齐次变换矩阵描述相邻两连杆的空间关系,从而推导出“手爪坐标系”相对于“参考系”的等价齐次变换矩阵,建立出操作臂的运动方程。
称之为D-H矩阵法。
3.1 工业机器人的运动学教学时数:4学时教学目标:理解工业机器人的位姿描述和齐次变换;掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算;理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解;教学重点:掌握齐次变换及运动学方程的求解教学难点:齐次变换及运算教学方法:讲授教学步骤:齐次变换有较直观的几何意义,而且可描述各杆件之间的关系,所以常用于解决运动学问题。
已知关节运动学参数,求出末端执行器运动学参数是工业机器人正向运动学问题的求解;反之,是工业机器人逆向运动学问题的求解。
3.1.1 工业机器人位姿描述1.点的位置描述在选定的指教坐标系{A}中,空间任一点P的位置可用3*1的位置矢量表示,其左上标代表选定的参考坐标系。
2.点的齐次坐标如果用四个数组成4*1列阵表示三维空间直角坐标系{A}中点P,则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标,如下:必须注意,齐次坐标的表示不是惟一的。
我们将其各元素同乘一个非零因子后,仍然代表同一点P,即其中:,,。
该列阵也表示P点,齐次坐标的表示不是惟一的。
3.坐标轴方向的描述用i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量,用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向,则有,,从上可知,我们规定:4*1列阵中第四个元素为零,且,则表示某轴(某矢量)的方向。
操作臂运动学解读
首末连杆连接的描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若关节1是转转动关节 , 1是可变可变的,称为 变节变量,规定1 0为为杆1的零位。 习惯约定 d1 0, 若关节1是移动关节 ,则d1是可变可变的,称为 变节变量,规定1 0为为杆1的零位。 习惯约定
1 0,
a0 a 6 0 0 6 0
3种最常见的欧拉角类型
步1 类型1 绕OZ轴转φ角 步2 绕当前OU' 轴转θ角 步3 绕当前OW″轴转ψ角
类型2
类型3
绕OZ轴转φ角
绕OX轴转φ角
绕当前OV '轴转θ角
绕OY轴转θ角
绕当前OW″轴转ψ角
绕OZ轴转ψ角
类型1:表示法通常用于陀螺运动
0
TN R( Z , ) R( , ) R( w, )
O1
x6
o3 , o4 , o5重合 d4 d5 0
Y1 X1
Y2
d2
ai -1—沿 xi -1轴, zi与 xi -1轴交点到 0i -1的距离 αi -1— 绕 xi -1轴,由 zi -1转向zi di — 沿 zi 轴,zi 轴和 xi -1交点至∑0i 坐标系原
点的距离 θi — 绕 zi 轴,由 xi-1转向 xi
PM560运动学分析
c i s c i 1 i 1 i iT s i s i 1 0
s i c i c i 1 c i s i 1 0
0 s i 1 c i 1 0
ai 1 d i s i 1 d i c i 1 1
O5 OT
A5
为右手坐标系
原点Oi: i与i+1关节轴 线的交点
操作臂运动学课件
机器人姿态控制
总结词
姿态控制是操作臂运动学的另一个重要应用,它涉及到如何精确控制机器人的姿 态,使其能够完成各种复杂的动作和任务。
详细描述
姿态控制是操作臂运动学的另一个重要应用。它涉及到如何精确控制机器人的姿 态,使其能够完成各种复杂的动作和任务。姿态控制算法通常基于逆向运动学和 动力学原理,通过调整关节角度或力矩来控制机器人的姿态。
针对所选实例,详细分析 其逆运动学特性,如解的 个数、解的范围、最优解 等。
实例求解
通过编程或仿真软件,对 所选实例进行逆运动学求 解,并展示求解过程和结 果。
05
操作臂运动学优化
Chapter
运动学优化目标
减少操作臂运动时间
通过优化运动路径,减少操作臂 完成工作任务所需的时间,提高 工作效率。
运动学优化实例
工业机器人运动学优化
针对工业机器人进行运动学优化,提高其在生产线上的工作效率 和精度。
医疗机器人运动学优化
对医疗机器人进行运动学优化,使其在手术操作中更加精准、稳定 。
服务机器人运动学优化
通过对服务机器人的运动学进行优化,提高其在服务行业中的工作 效率和用户体验。
06
操作臂运动学在机器人中的应 用
正运动学模型
定义操作臂连杆参数:长度、角度等。 建立操作臂坐标系:基座、连杆等坐标系。 描述操作臂运动:关节角度与末端执行器位姿的关系。
正运动学求解
01
02
03
解析法求解
通过代数方程求解关节角 度。
数值法求解
通过迭代或插值方法求解 关节角度。
优化法求解
通过优化算法求解最优关 节角度。
正运动学实例
基于遗传算法的运动学优化来自01利用遗传算法的全局搜索能力,对操作臂的运动学参数进行优
机器人手臂的运动学与控制研究
机器人手臂的运动学与控制研究第一章:引言随着制造业、汽车工业、军事、医疗等领域的不断发展,机器人技术逐渐成为了人工智能领域的热门话题。
其中,机器人手臂是机器人中最常见的机械臂,其运动学和控制研究对于机器人技术的发展至关重要。
本文旨在深入探究机器人手臂的运动学与控制研究,为读者了解机器人手臂的基本结构、运动学、控制方式以及相关发展提供帮助。
第二章:机器人手臂的基本结构机器人手臂一般由底座、臂段、关节、末端执行器等主要组成部分构成。
其中,底座固定在地面或平台上,从而支撑机器人手臂的其他部分。
臂段是机器人手臂的主体,根据实际需要可以设置多个臂段。
每个臂段之间通过关节相互连接,在关节处用驱动器驱动,实现机械臂的运动。
末端执行器通常包括夹爪、工具、传感器等,用于完成特定的任务。
第三章:机器人手臂的运动学机器人手臂的运动学是指机器人手臂在三维空间中的运动方式。
机器人手臂的运动可以分为直线运动和旋转运动两种类型。
而机器人手臂的运动则是由机器人各个关节的运动所组成的。
对于机器人手臂的运动学研究,则主要包括正运动学与逆运动学两个方面。
正运动学是指已知机器人关节的转动角度,如何确定机器人末端执行器在三维空间中的位置和方向。
反之,逆运动学是指已知机器人末端执行器在三维空间中的位置和方向,如何确定机器人各关节的转动角度。
在机器人手臂运动学模型中,通常采用DH方法来建立解析式。
第四章:机器人手臂的控制机器人手臂的控制是机器人手臂的关键技术之一。
基于运动学模型的控制方法有点动控制、反馈线性化控制、自适应控制和非线性控制四种类型。
实际中,机器人手臂通常采用PID控制,通过控制机器人手臂的关节旋转角度,实现机器人手臂的精确定位、准确抓取等任务。
同时,近些年来机器学习技术的发展,也日趋应用于机器人手臂的控制之中。
第五章:机器人手臂的发展机器人手臂的发展正向着更加灵活、高效的方向不断发展。
近年来,增材制造、双臂机器人、软体机器人等技术的出现,为机器人手臂的发展提供了新的思路。
机器人学导论,第三章第四章
0 l3 0 l4 1 0 0 1
0 1 1 0 3 HT 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
四、写出运动方程(求出
0 H
0 H
T
)
T T T T T
0 1 1 2 2 3 3 H
0 1 0 0 1 0 0 0
中间连杆 分两种情况: 首、末连杆
3.4、连杆参数和连杆坐标系(续)
首、末连杆
与基座0固接的坐标系为 {0};
基座固定不动 {0}作为机器人操作的绝对 坐标系。 原则上坐标系 {0}可以任意规定(不受连 杆参数、关节变量影响 )。
为方便起见,对 {0}规定如下: 当第一个关节变量为零 时, {0}、 {1}重合({0}为{1}的原位状态)。
3.4、连杆参数和连杆坐标系(续)
三、连杆坐标系
连杆的描述 连杆连接的描述 连杆之间位姿的描述
采用方法: 在每个连杆固接一个坐 标系,用坐标系之间的 描述表示。 例如:
与基座固接的坐标系为 {0}; 与连杆1固接的坐标系为 {1}; 与连杆i固接的坐标系为 {i};
下一步讨论:坐标系 {i}的原点、轴的方向的确 定方法。
因此,有:
i 1 i
相对于动 坐标系而 言,遵循 “从左到 右”的原 则。
T RX ( i 1 ) DX ( ai 1 ) RZ ( i ) DZ ( di )
3.5 连杆变换和运动学方程(续) i 1 iT RX ( i 1 ) DX ( ai 1 ) RZ ( i ) DZ ( di )
求
0 H
T
一、建立D-H坐标系
Z3
Z2 X3 Z1 X2
机器人学导论第三章参考答案
。
i
αi-1
ai-1
di
θi
1
0
0
0
θ1
2
-90
0
d2
0
3
90
0
0
θ3
题3.17[15]建立图3-37中的三连杆机器人的连杆坐标系。
题3.18[15]建立图3-38中的三连杆机器人的连杆坐标系。
题3.19[15]建立图3-39中的三连杆机器人的连杆坐标系。
题3.11[17]图3-33所示为某一机器人腕部的示意图,它有三个相交但不正交的轴。给出腕部的连杆坐标系(类似于3自由度操作臂),并求连杆参数。
i
αi-1
ai-1
di
θi
1
0
0
0θ42β00θ5
3
-β
0
0
θ6
题3.13[15]建立图3-34所示的5自由度操作臂的连杆坐标系。
题3.15[15]建立图3-35中的3自由度操作臂的连杆坐标系。
题3.20[15]建立图3-40中的三连杆机器人的连杆坐标系。
题3.21[15]建立图3-41中的三连杆机器人的连杆坐标系。
题3.22[18]建立图3-42中P3R机器人的连杆坐标系。在确定坐标系的布局后,确定d2、d3和a2的符号。
d2为负,d3为正,a2为正
操作臂运动学
上述描述连杆运动的规则,称为DenavitHartenberg参数(简称D-H参数)。
机器人原理及控制技术
3.3 关于连杆连接的描述
例3.2一个机器人由连杆1和连杆2两个连杆相互连接组成,如图3-3所示。 关节2由连杆1的支承“B”和连杆2的支承“A”组成,支承“A”和支承“B”的 装配面为平面,两者的装配面直接接触。求连杆偏距������������ 。
机器人原理及控制技术
3.4 对连杆附加坐标系的规定
机器人原理及控制技术
3.4 对连杆附加坐标系的规定
返回
连杆链上中间连杆坐标系确定:
坐标系{i}原点的确定:位于关节轴i与公垂线������������ 的交点处。
Z轴的确定:坐标系{i}的Z轴称为������������ ,它与关节轴线重合, ������������ 轴的正方向没有明确规定,应尽可能一致。
机器人原理及控制技术
3.3 关于连杆连接的描述
对首尾连杆的处理:
前述4个参数的规定,对连杆1~n-1(i=2~n)均适用。
首连杆0(i=1): 设������0 = 0, ������0 = 0 若关节1(连杆0与连杆1之间)是转动关节,则������1 的零 位任意选取,并规定������1 = 0 尾连杆n(i=n+1): 参照连杆0设置,实际上由于没有连杆n+1,所以参数 ������������ 与������������ 是没有意义的。
3.4 对连杆附加坐标系的规定
例3.4:图3-9(a)所示为一个三自由度机器人,其中包括一个移动关节。 该操作臂称为“RPR型机构”(一种定义关节类型和顺序的表示方法)。它 是一种“柱坐标机器人”,俯视时前俩个关节可看做是极坐标形式,最后一 个关节(关节3)可提供机械手的转动。图3-9(b)位该操作臂的简图。 注意表示移动关节的符号,还要注意“点”表示俩个相邻关节轴的交点。实 际上关节轴1与关节轴2是互相垂直的。
第3章操作臂的运动学
X1
0 0
l3 0
0 0
-90˚ 0
三、写出连杆变换矩阵
c i s c i 1 i i 1 iT s i s i 1 0 s i c i c i 1 c i s i 1 0 0 s i 1 c i 1 0 ai 1 d i s i 1 d i c i 1 1
由图易得 A tan2( y, x)
cos
2 x 2 y 2 l12 l 2
பைடு நூலகம்
2' 2
2l1 x 2 y 2
(0 0 180 0 )
1
其中当 2 0 时取“+”号
当 2 0 时取“-”号
可由
1 2 3
1.求θ1
o
T11 (1 ) oT6 1T2 2T35 T6 1T6 s1 c1 0 0 0 0 1 0 0 n x 0 n y 0 n z 1 0 ox oy oz 0 ax ay az 0 px py 1 T6 pz 1
c1 s 1 0 0
i
1 2 3 4
0 1 0 0
ai-1 αi-1
0 0 l3 0
0 l3 0 l4 1 0 0 1
di
l1 l2 l4 0
θi
θ1 0 0 90˚
0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 -90˚ 0
c1 s1 s c 1 0 T 1 1 0 0 0 0
解出关节角3
3.8 关节空间和操作空间 n个自由度的操作臂的末端位姿由n个关节变量所 决定,这n个关节变量统称为n维关节矢量,记为q所 有的关节矢量构成的空间称为关节空间。 末端操作手的位姿x是在直角坐标空间中描述的, 因此,称该空间为操作空间或作业定向空间。 机器人各关节驱动器的位置统称为驱动矢量s, 由这些矢量组成的空间称为驱动空间。
机器人操作臂运动学
0nT
n0R 0
n01p 0 1 T (q 1 )2 1 T (q 2 ) n n 1 T (q n )
CHENLI
26
Y2
Z0
Z1
X0
X1
Y0
Y1
a0
a1
表的用途: 1) 描述机器人的变量和参数
X2
d2
Denavit-Hartenberg Link Parameter Table
i
(i-1) a(i-1)
CHENLI
2
CHENLI
3
连杆的描述
n自由度机械臂-->n个单自由度关节与 n-1个零长度连杆组成的模型。
只考虑具有单自由度关节的操作器。
连杆编号由固定基座开始:
固定基座-连杆0 第一个运动体-连杆1
通常为了能在三维空间定位末端执行器,最少要求有6个关节。
CHENLI
4
连杆坐标系
关节 1 是垂直于肩, 关节 2 经过肩水平线, 关 节 3 是在肘部。关节 4, 5 & 6 是在手腕上,初始位 置关节4 和关节6 共同沿 着前臂,关节5 垂直于关 节4 和关节6。
Zi - 1
Yi -1
Yi Zi
Xi -1
ai - 1
di
Xi ai
i
i-1
CHENLI
10
连杆参数a(i-1) 的 识别方法:
Z(i - 1)
Y(i -1)
X(i -1) ( i - 1)
a(i - 1 )
Yi Zi
di
Xi ai
i
可视化方法:想象一个圆柱面围绕轴Z(i-1) 扩展 – 当圆 柱面刚刚触及轴 i 时,圆柱的半径等于a(i-1)。
机器人技术基础课件第三章 机器人运动学
如此类推,对于六连杆机器人,有下列矩阵:
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T23T34T 45T56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
0
0
0
0
1
其中, c12 cos(1 2)
s 12
sin(1
2)
c 1
cos 1
s1 sin 1
、
可根据各关节角θi的值,求出03T
。如当θi分别为θ1=θ2=θ3=0°时,则 可根据3自由度机器人运动学方程求解
1
03T
01T
12T
23T
0 0
0
0 0 1 0
0 1 0 0
30
0
1
3.1.4 T-Matrix and A-Matrix 连杆变换矩阵及其乘积
一、连杆坐标系之间的变换矩阵
建立了各连杆坐标系后,i-1系与i系间的变换关系可以用坐 标系的平移、旋转来实现。
用一个变换矩阵来综合表示上述四次变换时应注意到坐标系在每 次旋转或平移后发生了变动,后一次变换都是相对于动系进行的, 因此在运算中变换算子应该右乘。
3.1 机器人运动方程的表示 23
3.1.4 T-Matrix and A-Matrix 连杆变换矩阵及其乘积
I、{i-1}→{i}变换过程 Zi
a、Trans(li-1,0,0);
d Oi
Xi
b、Rot(x,αi-1);
c、Trans(0,0,di);
工业机器人课件第三章 机器人运动学
T3= A1 A2 A3
称这些A矩阵的乘积为T矩阵,其前置上标若为0,则可省略。对于六 连杆机械手,有下列T矩阵
T6= A1 A2 A3 A4 A5 A6
手爪坐标系
机械手的运动方向 原点由矢量p表示。 接近矢量a:z轴设在手指接近物体的方向,称为接近矢量 方向矢量o:y轴设在两手指的连线方向,称为方位矢量 法线矢量n:x轴由右手系确定, 即 n = o a ,称为法向矢量。
0 sin i cos i 0
0 0 0 1
对于在第i坐标系中的点ri在第i—1坐标系中表示为:
ri 1 i 1Ai ri
确定第i坐标系相对于机座坐标系的位置的齐次变换矩阵i-1Ti是 各齐次变换矩阵Ai的连乘积,可表示成
0
Ti A1 A2 A3 A4 A5 A6 A j
பைடு நூலகம்
cos i sin cos i i 1 sin i sin i 1 0
例 建立右图所示机器人相邻坐标 系间的转换矩阵 解:建立的坐标系如右图,这是二维坐 标系(在三维空间中,各坐标系的z轴垂 直于纸面),其相邻坐标系的变换矩阵 为
A1 Rz ,Tx ,l1
第三章 机器人运动学
§ 3.1 机器人运动方程的表示
机器人的机械手看作是一系列由关节连接起来的连杆构成的。为机 械手的每一连杆建立一个坐标系,并用齐次变换来描述这些坐标系间 的相对位置和姿态。通常把描述一个连杆与下一个连杆间相对关系的 齐次变换叫做A矩阵。一个A矩阵就是一个描述连杆坐标系间相对平移 和旋转的齐次变换。如果A1表示第一个连杆对于基系的位置和姿态, A2表示第二个连杆相对于第一个连杆的位置和姿态,则第二个连杆在 基系中的位置和姿态可由下列矩阵的乘积给出 T2= A1 A2 同理,若A3表示第三个连杆相对于第二个连杆的位置和姿态,则有
第三章机器人运动学PPT课件
由这些矢量描述的空间称为关节空间。
• 正向运动学:关节空间末端笛卡儿空间,单射 • 逆向运动学:末端笛卡儿空间关节空间,复射
不同的关节空间,相同的 末端笛卡儿空间
关节空间与末端笛卡儿空 间映射关系
第三章 机器人的运动学
3.1 工业机器人运动学
,它的齐
次坐标就是
,即满足Px=ωPx/ω,Py=ωPy/ω,
Pz=ωPz/ω(ω是非零整数)。可以看出,在三维直角坐标系中,
由于ω取值的不同,一个点的齐次坐标的表达不唯一。
齐次坐标不仅可以规定点的位置(ω为非零整数),还可以
用来规定矢量的方向(第四个元素为零时)。列向量
(
)表示空间的无穷远点,a,b和c称为它的方向
单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成:
xB
yB
zB
xA
yA
zA
其中:co scoxB s ,xA ()
既表示了刚体F在{A}系中的方位,也描述了{B}系在{A}系中的 姿态。
3.1.2.2 坐标变换
一、坐标平移
如图3-5,坐标系{B}与{A} 方向相同,但原点不重合。
图3-5 坐标平移
此式称为平移方程。其中 是B系中的原点在A系中的表示。
0
0
0
1
1
1
给定坐标系{A},{B}和{C},已知{B}相对{A}的描述为 ,
{C}相对{B}的描述为
AP A BTBP BPC BTCP APC ATCP
,则有
APA BTC BTCP
CATABTCBT
从而定义复合变换
。
同理得出:
操作臂运动学
5.1 连杆坐标系
中间连杆i的坐标系{i}-1:
Z轴:关节轴线i共线,指向任意。
X轴:与连杆公法线ai重合,指向 由关节i到关节i +1;当ai =0时,取 xi =±zi+1×zi
轴i-1 zi 1
Y轴:取yi=zi×xi(按右手法则)
特殊情况:两轴线平行: αi-1 =0。 两轴线相交: ai-1=0。
轴i的公法线长度(恒为正)。
扭角αi-1:从轴线i-1绕公垂线转至
轴线i的夹角(可正可负)。
5.1 连杆连接的描述
两相邻连杆的公共关节轴线规定了两连杆之间的几何关系: ➢ 偏置di:两条公法线的距离(带正负号); ➢ 关节角θi:两条公法线之间的夹角(带正负号) 首末连杆的规定:a0=a6=0;α0=α6=0º;若关节1是转动关节,θ1的
5.2 SCARA机器人运动学方程
有3个旋转关节,其轴线相互平行,用于平面定位和定向;有1个移 动关节,用于垂直于平面运动;结构紧凑、动作灵活、顺应性
SCARA各连杆变换矩阵:
c1 s1 0 0
c2 s2 0 0
c3 s3 0 0
1 0 0 0
01T
s1
0
c1 0
0 1
0 , 0
12T
s2
0
c2 0
0 1
l1
,
0
23T
s3
0
c3 0
0 1
l2
,
0
34T
0 0
1 0
0 1
0
l0 4
0
0
0 1
0
0 0 1
0
0
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3.4 对连杆附加坐标系的规定
为了描述每个连杆与相邻连杆之间的相对位置关系,需要在每个连杆上定义一个固连 坐标系。根据固连坐标系所在连杆的编号对固连坐标系命名,因此,固连在连杆i上的 固连坐标系称为坐标系{i}。
连杆链中的中间连杆
ˆ 轴称为 Z ˆ , 坐标系{i}的 Z i 并与关节轴 i 重合,坐标系 {i}的原点位于公垂线 ai 与 ˆ沿 关节轴i的交点处。 X i ai 方向由关节 i 指向关节 i+1。
• 正运动学 • 知道操作臂的关节转角,去确定操作臂末端 执行器的位姿。
3.2 连杆描述
• 操作臂可以看成由一系列刚体通过关节连接而成的 一个运动链,我们将这些刚体称为连杆。通过关节 将两个相邻的连杆连接起来。
• 当两个刚体之间的相对运动是两个平面之间的相对滑动时,连 接相邻两个刚体的运动副称为低副。图3-1所示为六种常用的 低副关节。
例3.2 一个机器人由连杆1和连杆2两个连杆相互连接组成,如图3-3所示。关节2由连 杆1的支承“B”和连杆2的支承“A”组成,支承“A”和支承“B”的装配面为平面, 两者的装配面直接接触。求连杆偏距d2。
连杆偏距d2是关节2上的偏距,它是连杆1 和连杆 2 之间公垂线沿关节轴 2 方向的距 离。由图3-3可知, d2=2.5英寸。
当ai=0时,Xi垂直于Zi和Zi+1所在的平面。按右手定则绕Xi轴的转 角定义为αi ,由于Xi轴的方向可以有两种选择,因此αi的符号也 有两种选择。 Yi 轴由右手定则确定,从而完成了对坐标系 {i} 的 定义。图3-5所示为一般操作臂上坐标系{i-1}和{i}的位置。
中间连杆
与中间连杆i 1固接 的坐标系为 {i 1};
② ( 对首、末连杆连接的描 述 ): a) b) 1 0为原位。 d1 0为原位。
若关节1为转动关节,则 1可变;约定d1 0,1为关节变量,
Hale Waihona Puke 若关节1为移动关节,则 d1可变;约定1 0,d1为关节变量,
连杆参数
因此,机器人的每个连杆都可以用四个运动学参数来描述,其中两个参数用于描述连杆 本身,另外两个参数用于描述连杆之间的连接关系。通常,对于转到关节,θi为关节变 量,其他三个连杆参数是固定不变的;对于移动关节,di为关节变量,其他三个连杆参 数是固定不变的。这种用连杆参数描述机构运动关系的规则称为Denavit-Hartenberg参数。
图 3-10 ( a )所示是操作臂的移动关节处于最小伸展状态时的情况。图 3-10 (b)表示连杆坐标系的布局。 注意到在该图中机器人所处的位置θ1 =0 ,所以坐标系{0}和坐标系{1} 在图中完全重合。注意,坐标系{0}虽然没有建在机器人法兰基座的最底 部,但仍然刚性地固连于连杆0上,即机器人固定不动的部分。正如同我们 在进行运动学分析时并不需要将连杆坐标系一直向上描述到机械手的外部一 样,反过来也不必将连杆坐标系固连于机器人基座的最底端。只要把坐标系 {0}建立在固定连杆0的任意位置,把坐标系{N}(即最后一个坐标系) 建立在操作臂的末端连杆的任意位置就行了。之后,其他连杆偏距可用一般 方法进行处理。
第3章 操作臂运动学
3.1 概述 3.2 连杆描述 3.3 关于连杆连接的描述 3.4 对连杆附加坐标系的规定 3.5 操作臂运动学 3.6 驱动器空间、关节空间和笛卡尔空间 3.7 举例:两种典型机器人的运动学问题 3.8 坐标系的标准命名 3.9 工具的定位 3.10 计算问题
操作臂运动学研究的是手臂各连杆间的位移关系,速 度关系和加速度关系。 本章只讨论位移关系。
关节类型(低副) 1.转动副
2.移动副
3.圆柱副 4.平面副 5.螺旋副 6.球面副
• 在进行操作臂的结构设计时,通常优先选择仅具有一 个自由度的关节作为连杆的连接方式。大部分操作臂 中包括转动关节或移动关节。在极少数情况下,采用 具有n个自由度的关节,这种关节可以看成是用n个单 自由度的关节与n-1个长度为0的连杆连接而成的。 • 关节的行为能够用单一参数来描述:对于转到关节是 关节转角,对于移动关节是位移
对于转动关节n,设定θn =0 ,此时XN轴与XN-1轴的方向相同,选取坐标系{N} 的原点位置使之满足dn=0 。对于移动关节n,设定XN轴的方向使之满足θn =0 。 当dn=0时,选取坐标系{N}的原点位于XN-1轴与关节轴n的交点位置。
首、末连杆
与基座0固接的坐标系为 {0};
基座固定不动 {0}作为机器人操作的绝对 坐标系。 原则上坐标系 {0}可以任意规定(不受连 杆参数、关节变量影响 )。
• 从操作臂的固定基座开始为连杆进行编号,可以称 固定基座为连杆0。第一个可动连杆为连杆1,以此类 推,操作臂最末端的连杆为连杆n。
设计人员在进行机器人设计时,需要考虑典型机器人中单个连杆的许多特性:材料特 性、连杆的强度和刚度、关节轴承的类型和安装位置、外形、重量和转到惯量以及其 他一些因素。然而在建立机构运动学方程时,为了确定操作臂两个相邻关节轴的位置 关系,可把连杆看作是一个刚体。 用空间的直线来表示关节轴。关节轴i可用空间的一条直线,即用一个矢量来表示,连 杆i绕关节轴i相对于连杆i-1转到。由此可知,在描述连杆的运动时,一个连杆的运动 可用两个参数描述,这两个参数定义了空间两个关节轴之间的相对位置。
一个连杆的运 动参数是由连 杆两端关节轴 的相对关系决 定的,可以用 两个参数描述 这种关系:连杆 的长度a连杆转 角α
• 在上页图中,关节轴 i-1 和关节轴 i 之间公垂线的长度 为ai-1,即为连杆长度。
连杆转角 : 假设作一个平面,并使该平面与两关节轴之间的公垂 线垂直,然后把关节轴 i-1和关节轴i投影到该平面上,在平面内 轴i-1按照右手法则绕ai-1转向轴i,测量两轴线之间的夹角。用转 角ai-1定义连杆i-1的扭转角。
建立连杆坐标系的步骤 对于一个新机构,可以按照下面的步骤正确地建立连杆坐标系: 1.找出各关节轴,并标出(或画出)这些轴线的延长线。在下面 的步骤2至步骤5中,仅考虑两个相邻的轴线(关节轴i和i+1)。 2. 找出关节轴i和i+1之间的公垂线或关节轴i和i+1的交点,以关节 轴i和i+1的交点或公垂线与关节轴i的交点作为连杆坐标系{i}的原 点。 3.规定Zi轴沿关节轴i的指向。 4. 规定Xi轴沿公垂线的指向,如果关节轴i和i+1相交,则规定Xi 轴垂直于关节轴i和i+1所在的平面。 5. 按照右手定则确定Yi轴。 6. 当第一个关节变量为 0时,规定坐标系 {0}和 {1}重合。对于坐 标系{N},其原点和XN的方向可以任意选取。但是在选取时,通 常尽量使连杆参数为0.
例3.4 图3-9(a)所示为一个三自由度机器人,其中包括一个移动 关节。该操作臂称为“RPR型机构”(一种定义关节类型和顺序 的表示方法)。它是一种“柱坐标”机器人,俯视时前两个关节 可看作是极坐标形式,最后一个关节(关节 3)可提供机械手的 转动。图3-9(b)为该操作臂的简图。注意表示移动关节的符号, 还要注意“点”表示两个相邻关节轴的交点。实际上关节轴 1 和 关节轴2是相互垂直的。
连杆偏距di:从公垂线 ai-1与关节轴i的交点到公垂线ai与关节轴i的 交点的有向距离。当关节i为移动关节时,连杆偏距di是一个变量。
关节角θi: ai-1的延长线和ai之间绕关节轴i旋转所形成的夹角。当 关节i为转到关节时,连杆偏距θi 是一个变量。
连杆链中的首尾连杆
连杆的长度ai和转角αi取决于关节轴线i和i+1,因此在本节中讨论 从a1到an-1以及从α1到αn-1的规定。 对于运动链中的末端连杆,其参数习惯设定为 0 ,即 a0=an=0 , α0=αn=0。
PUMA560机器人
3.1 概述
• 什么是操作臂运动学? • 操作臂运动学研究操作臂的运动特性,而不考虑使操 作臂产生运动时施加的力。 • 例如: • 知道操作臂的连杆长度和关节转角,怎么求它的位姿? • 方法在操作臂运动学中,将要研究操作臂的位置、速 度、加速度以及位置变量的所有高阶导数 ( 对于时间 或其他变量 ) 。因此,操作臂运动学涉及所有与运动 有关的几何参数和时间参数。
例3.1 图3-3所示为一个机器人连杆的示意图。如果把该连杆安装在机器人上时,支承 “A”是低序号关节,求该连杆的长度和转角。假设支承孔居中。 连杆长度为7英寸 连杆转角的测量按照右手定则绕公垂线从轴线i-1转向轴线i,因此在本例中,连杆转角显 然为+45度。
3.3 关于连杆连接的描述
连杆链中的中间连杆: 相邻两个连杆之间有一个公共的关节轴。沿两个相邻连杆公共轴 线方向的距离可以用一个参数描述,该参数称为连杆偏距。在关 节轴i上的连杆偏距记为di。用另一个参数描述两相邻连杆绕公共 轴线旋转的夹角,该参数称为关节角,记为θi。
原点oi 1 : x i 1与yi 1的交点上; 若z i 1与z i 平行,原点取在使 d i 0的地方; 若z 与z 相交,原点取在两轴交 点的地方; i 1 i
连杆链中的首尾连杆
固连于机器人基座(即连杆0)上的坐标系为坐标系{0}。这个坐标系是一个固 定不动的坐标系,因此在研究操作臂运动学问题时,可以把该坐标系作为参考 坐标系。可以在这个参考坐标系中描述操作臂所有其他连杆坐标系的位置。 参考坐标系{0}可以任意设定,但是为了使问题简化,通常设定Z0轴沿关节轴 1的方向,并且当关节变量1为0时,设定参考坐标系{0}与坐标系{1}重合。按 照这个规定,总有a0=0和an=0。另外,当关节1为转动关节时,d1=0;当关节 1为移动关节时,θ1 =0 。
我们首先定义参考坐标系,即坐标系 {0} ,它固定在基座上。当 第一个关节变量值为 0 时,坐标系 {0} 与坐标系 {1} 重合,因此我 们建立的坐标系{0},且Z0轴与关节1轴线重合。这个操作臂所有 的关节轴线都与操作臂所在的平面垂直。由于该操作臂位于一个 平面上,因此所有的Z轴相互平行,没有连杆偏距——所有的di都 为0.所有关节都是旋转关节,因此当转角为0时,所有的X轴一定 在一条直线上。