零点的存在性定理

在区间-2, 2上有f 2 f 2 > 0,但在-2，2内
有两个零点-1,1.
探究二 正确使用零点存在性定理
若函数f x x2 2ax 2在区间0, 4上
至少有一个零点，求a的取值范围
错解：因函数f x x2 2ax 2在区间
0, 4上至少有一个零点，所以f 0gf 4
< 0,即2 18-8a < 0, 解得a > 9
y f x在区间a,b内有_零_点__，即存在c a,b
,使得_f__c__0_,这个c就是方程f x 0的根
四、引导探究 探究一 深刻理解存在性定理
若函数y f x满足在区间a b上到图像是
连续不断的一条曲线，并且有f agf b < 0, 那么，函数y f x在a,b内的零点唯一吗？
不一定，如f x =x3 x在区间-2, 2上有
f 2gf 2 < 0, 但f x在-2, 2上有三个
零点-1,0,1.
若函数y f x满足在区间a,b上的图象是
连续不断的一条曲线，并且有f agf b > 0 是不是说函数y f x在a,b内没有零点？
y f x在a,b内也可能有零点，如f x x2 1
七 布置作业
红对勾课时作业23
2若a 0，则函数f x 为二次函数，则该方程
有两个相等的实数根，即D =1+4a 0, 得a 1 4
综上，当a 0或- 1 时，函数仅有一个零点。 4
选做题答案
1因为f a a ba c, f b b cb a f c c ac b,又a < b < c,所以f a > 0, f b < 0, f c > 0,即函数的两个零点分别在 a, b 和b, c 内。
综上所述，a的取值范围是 a½a 2 .
五 课堂小结
判断函数y f x零点的存在性的两个条件
1函数的图像在区间 a, b上一条连续不断的
曲线。
2由f agf b < 0,就可判断函数y f x在区间 a, b 内至少有一个零点。
©利用上述结论只能判断函数y f x在 区间 a, b 上零点的存在性，但不能确定其零点
的个数。
六 当堂清学
一 基础题
1函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是
A.2, 1 B. 1, 0
C
C.0,1
D.1, 2
二 能力提升题
1函数f x x 1 的零点个数是
x A.0 B.1 C.2 D.3
2若函数f x =ax2 x 1仅有一个零点，求实数
a的取值范围
一、课题导入 上节课学习了函数零点的概念及其判定 ， 那么针对一般函数的零点问题又如何判
零点的断存？在性定理习题课
二、学习目标
1 能够叙述零点的存在性定理
2 能够正确运用存在性定理判断函数零点问 题
三、预习指导
如果函数y f x在区间a,b上的图像是连__续_不__断
的一条曲线，并且有_f__a_g_f _b__< _0，那么，函数
D =4a2 8 0
即218-8a < 0或a2 2解得a > 9 或a 2
4
当函数在该区间内有两个不同零点时，
必须满足D > 0,0 < - -2a < 4, f 0 0,
2
f 4 0.即4a2 4 2 > 0, 0 < a < 4, 2 0
18 8a 0.解得 2 < a 9 . 4
三 选做题
1若a < b < c,则函数f x x a x b x b x c x c x a的两个零点
分别位于哪两个区间?
能力提升题答案
1因为该函数的图像不是连续不断的， 不能使用零点存在性定理，所以选A
21 若a=0，则函数f x x 1为一次函数，
易知函数只有一个零点
4
所以a的取值范围是 a?a
9
4
错因分析：对函数零点存在定理理解不够
错误认为定理反向也成立。
连续函数f x 在闭区间a, b上，若满足
f a gf b < 0, 则在区间 a, b内至少有一个
Βιβλιοθήκη Baidu零点，反之不一定成立。
正解：对至少有一个零点分类讨论，当函数在
该区间只有一个零点时，可得f 0gf 4 < 0或