初二数学勾股定理全章复习与巩固

勾股定理全章复习与巩固

学习目标

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

知识网络

要点梳理

要点一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为的线段

要点二、勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；

（2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.

3.勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.

（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）

要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

典型例题

类型一、勾股定理及逆定理的简单应用

1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．

【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长．

2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：

．

【变式】已知，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：.

类型二、勾股定理及逆定理的综合应用

3、已知如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上的一点，且AD⊥AC，求BD的长．

【变式】如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝，AE⊥BC于E，求AE的长.

4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用

表示，则不难证明．

(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用

表示，那么之间有什么关系?(不必证明)

(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用

表示，请你确定之间的关系并加以证明．

5、如果ΔABC的三边分别为，且满足，判断ΔABC 的形状.

类型三、勾股定理的实际应用

6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B 处的最短路线长为多少?

【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π取3)

巩固练习

一.选择题

1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3处折断，树顶端落在离树底部4处，则树折断之前高( )

A.5

B.7

C.8

D.10

2．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )

A. B.

C. D.

3. 下列命题中是假命题的是（）

A.三个内角的度数之比为：3：4的三角形是直角三角形；

B.三个内角的度数之比为：：2的三角形是直角三角形；

C.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；

D.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；

4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．

A．6 B．12 C．24 D．30

5．下列三角形中，是直角三角形的是( )

A.三角形的三边满足关系

B.三角形的三边比为1∶2∶3

C.三角形的一边等于另一边的一半

D.三角形的三边为9，40，41

6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要( )

A.450元

B.225元

C.150元

D.300元

7. 如图所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.以上答案都不对

8. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）

A.3

B.4

C.6

D.12

二.填空题

9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．

11．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．

12. 下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．

13. 长为4 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______．