自动控制_03c高阶系统的过渡过程

即影a响i 暂态分量衰减的初始值，不影响暂态分量中 的 e nt sin d t，及 e n cos d和t eP部t 分。★
类型取决于闭环极点，具体形状由闭环极点和闭环零点共
同决定。
（2）由负实数极点
初始值（对应 t 0
s）3 就是P系决数定a的'3 暂态a，'分3 量的a大'3e小与Pt 闭的
环极点s3 P 及闭环零点s3 Z 的相对位置有关。
二、闭环主导极点
1）闭环主导极点的概念：假若距虚轴较远的闭环极点的 实部与 距虚轴最近的闭环极点的实部的比值大于或等于5， 且在距虚轴最近的闭环极点附近不存在闭环零点。这个距 虚轴最近的闭环极点将在系统的过渡过程中起主导作用， 称之为闭环主导极点。它的一般出现形式：一对共轭复数 极点。
3-4 高阶系统的过渡过程
★ 研究内容
讲述闭环主导极点的概念以及怎样将高阶系统转换为二阶系统。
一、三阶系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程
设三阶系统的闭环传递函数具有如下形式：
C(s)
2 n
P
R(s)
(s
P)(s 2
2n s
2 n
)
在单位阶跃函数作用下：
C(s)
2 n
P
1
(s
P)(s 2
2 n s
s1
1 2
arctg
1 2
tr n 1 2
arctg
0.216
t s1
4
4
1 2
n
tp n 1 2
t s1
4
4
n
0.34
1 2
所以 ts3 0.2ts1 tr 0.216ts1 t p 0.34ts1
● 当取 0.4 时，非主导极点 s3对应的过渡过 程早在主导极点s1, s2 对应的过渡过程分量的上升
图3.4-3 三阶系统阶跃响应实验曲线
2、闭环零点对过渡过程的影响
为了说明闭环零点对系统过渡过程的影响，在三阶系统中 加进一个闭环零点，即：
C(s)
2 n
P
(s
Z
)
Z
R(s)
(s
P)(s 2
2 n s
2 n
)
在单位阶跃函数作用下：
C(s)
2 n
P
(s
Z
)
Z
s(s
P)(s 2
2 n s
2 n
)
在欠阻尼（0 1 ）状况下：
1 2
1
a3 2 ( 2) 1 ，
对上式取拉氏反变换得：
P n
c(t)
1 a1e n
cosd t
a e nt 2
sin d t
a3 e Pt
t0
与二阶系统在单位阶跃函数作用下的欠阻尼状态相比：
c(t) 1 ent (cosd t
1
2
sin d t)
1
1 e nt (
2 n
)
s
在欠阻尼（ 0 1 ）状况下：
C(s) 1
a1 (s n )
a2n 1 2
a3
s (s n )2 (n 1 2 ) (s n )2 (n 1 2 )2 s P
式中：
a1
2 ( 2) 2 ( 2) 1
，
[ 2 ( 2) 1]
a2
[ 2 ( 2) 1]
1 2
1 2 cosdt sindt)
t0
多一项指数项 a3ePt ，由于
1
a3 2 ( 2) 1
2
(
1 1)2
(1
2
)
0
所以指数项的系数总是负数，它对过渡过程的影响是：使最大超调
量减小，使过渡过程时间增加。c(t) 和 ,n , 有关。当 =0.5 不变时，绘出 为不同值时 c(t)的过渡曲线，如图3.4-1。
图3.4-1 三阶系统的单位阶跃响应
1、闭环极点对过渡过程的影响
三阶系统有三个闭环极点，即 s1,2 n j n 1 ；2
s P。三个极点的实部之比 P n 反映了它们距[ s ]
平面上虚轴的远近程度。见图3.4-2。
图3.4-2 三阶系统闭环极点分布图
分三种情况：1） 1 ；2） 1 ，3） 5
下列一般形式
m
C(s)
k
(s
i1
zi
)
1
q
r
(s
i 1
si
) (s2 k 1
2 k
s
2 k
)
s
式中
q 2r n
C(s)
A s
a'3 sP
s2
Bs D
2
n
s
பைடு நூலகம்
2 n
式中：A=1
a'3
2 n
P
(P
Z
)
(P)(P2 2n P
Z
2 n
)
对上式取拉氏反变换得：
c(t)
1
a e' 1
n
cosd t
a e' 2
nt
sin
dt
a '3ePt
a1
a
' 1
,
a2
a'2 , a3
a'3
t0
分析得出：
(1)闭环零点只影响过渡过程 c(t) 中暂态分量的系数 ，
N(s) D(s)
k (s i 1 n
zi )
(
i 1
s
si
)
zi 为 N(s) 0 之根，称为系统的闭环零点； si 为 D(s) 0 之根，称为系统的闭环极点。
闭环极点与零点可以是实数也可以是共轭复数。
如果系统的所有闭环极点各不相同，且都分布在s平 面的左半部，则系统单位阶跃响应的拉氏变换具有
1）一阶系统由极点 s3 P 单独引起的过渡过程暂态分量的衰
减时间为：
4
ts3 5n
2）对于二阶系统，由s1 , s2引起的过渡过程暂态分量的衰减时间为：
4
t s1
n
由此我们可以看出：ts3 0.2ts1
另我们通过计算（ 0.4 ）得上升时间 t r、峰值时间 t p与
过渡过程时间
t
之比分别为：
★ 将高阶系统化为具有一对闭环主导极点的二阶系统， 是忽略非主导极点引起的过渡过程暂态分量，而不是忽略 非主导极点本身。
2）忽略由非主导极点决定的响应分量对高阶系统响应 特性的影响的条件
图3.4-4 三阶系统闭环极点分布
假设 Re s3 5 Re s1 5n
取 2%，在单位阶跃函数作用下
(bm pm bm1 pm1 b1 p b0 )r(t)
对上式取拉氏变换，设初始条件为零，得：
(an s n an1s n1 an2 s n2 a1s a0 )C(s) (bmsm bm1sm1 b1s b0 )R(s)
由上式求得系统的闭环传递函数为：
m
C(s) R(s)
bm s m bm1s m1 b1s b0 an s n an1s n1 a1s a0
时间 t r 之前，已衰减完毕。推而广之，若满足条
件，高阶系统可近似为二阶系统，因此，非主导
极点只影响0∽
t
一段的过渡过程形状。若不满足
r
假设条件，高阶系统便不能近似为二阶系统。
三、高阶系统性能指标的近似计算公式
高阶系统的运动方程式的一般形式为：
(an p n an1 p n1 an2 p n2 a1 p a0 )c(t)