算法设计与分析a卷及答案

算法设计与分析试题A及答案
一．填空题：（每题4分，共20分）
1.算法是指（解决问题的）一种方法或一个过程，是（若干指令的）有穷序列。

2
质。

3. 贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择来达到。

4．递归函数的两大基本要素是_递归方程和边界条件_ .
5．在回溯法中，一个问题的解空间是指一个大的解决方案可以看作是由若干个小的决策组成。

很多时候它们构成一个决策序列。

解决一个问题的所有可能的决策序列构成该问题的解空间.
二．简答题：（每题5分，共20分）
1.简述分治法所能解决的问题一般应具有的特征。

1.)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
2.)该问题具有最优子结构性质；
3.)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4.)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的。

2．设有待安排的8个活动的开始时间和结束时间如下表。

请采用贪心算法给出活动安排序
解：将待安排的8个活动的开始时间和结束时间按结束时间的非减序排列如下：
用贪心算法给出活动安排序列：1，3，6，8。

贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。

3．请描述分治法的具体过程。

将原问题划分成k 个子问题。

对这k 个子问题分别求解。

如果子问题的规模仍然不够
小，则再划分为k 个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。

将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。

4. Fibonacci 数列如下定义：
10()11(1)(2)1
n F n n F n F n n =⎧
⎪
==⎨
⎪-+->⎩
1、 请设计一个递归算法，计算F(n)。

2、 分析算法的时间复杂性。

解 1、int fibonacci(int n) { if (n <= 1) return 1;
return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }
2、T(n)=T(n-1)+T(n-2)。

三．算法分析解答题：（每小题20分,共60分）
1．考虑金钱兑换问题：有一个货币系统，它有n 种硬币，它们的面值为
v 1,v 2,…,v n ，其中 v 1=1. 我们想这样来兑换价值为y 的钱，要让硬币的数目最少。

更形式地，我们要让下面的量
∑=n
1i i
x
在约束条件
∑==n
1
i i
i y v
x
下达到最小. 其中x 1, x 2, …, x n 是非负整数. 1) 用贪心算法求解该问题；
2) 如果硬币的面值有1分，5分，7分和11分，给出反例说明用贪心算法并不总是有效的。

1) 贪心伪代码为：
Greedy_exchange ( int v[], int y, int num[], int n){ int i=0；
for( i=0;i<= n;i++) num[i]=0; Sort(v); // 从大到小排序 while (y>0){
num[i]=y/v[i]; y=y % num[i++]； }
return num; }
2) 反例：假如要给顾客找15分钱，按照上述贪心策略，则应将15分分解为：11分+1分+1分+1分+1分。

而事实上15分可分解为：5分+5分+5分。

显然后者的张数更少。

2. 假设有n(n ∈N 且n>1)个硬币，已知其中有一个是假币且假币较真币轻. 请设计分治算法求解该问题.并给出其复杂度分析.
Feit_money(low, high) // 假定伪币较真币轻{ float mid;
if ( high-low==1 )
if (A[low]<A[high]) return A[low];
else if (A[low]>A[high]) return A[high]; else {
mid=(low+high)/2;
if ((high-low+1)%2)==0 {
sum1=sum(low, mid); sum2=sum(mid+1, high); } else{
sum1=sum(low, mid-1); sum2=sum(mid+1, high); }
if sum1==sum2 return A[mid]; else if (sum1<sum2)
(high-low+1)%2==0? Feit_money(low, mid) : Feit_money(low, mid-1); else
Feit_money(mid+1, high); }
return 0;
} //其时间复杂度为：O(log n).
3. 设序列12{,,,}k Z z z z =L 是序列12{,,,}m X x x x =L 和12{,,,}n Y y y y =L 的最长公共子序列。

a) 请说明最长公共子序列具有最优子结构性质。

b) c [i][j]记录序列12{,,,}i i X x x x =L i
和12{,,,}j j Y y y y =L 的最长公共子序列的长
度。

由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题最优值c[i][j]的递归关系。

c) 写出寻找最长公共子序列的算法。

解 a 、设X m
={x 1
,x 2
,…,x m
}和Y n
={y 1
,y 2
,…,y n
}的最长公共子序列为Z k
={z 1
,z 2
,…,z k
} ，则
(1)若x m
=y n
，那么z k
=x m
=y n
，且Z
k-1
是X
m-1
和Y
n-1
的最长公共子序列。

(2)若x m
≠y n
且z k
≠x m
，那么Z k
是X
m-1
和Y n
的最长公共子序列。

(3)若x m
≠y n
且z k
≠y n
，那么Z k
是X m
和Y
n-1
的最长公共子序列。

由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀的最长公共子序列。

因此，最长公共子序列问题具有最优子结构性质。

b 、当i=0或j=0时，空序列是X i
和Y j
的最长公共子序列。

故此时C[i][j]=0。

其它情况下，由最优子结构性质可建立递归关系如下：
c 、voi
d LCSLength (int m ，int n ，char *x ，char *y ，int **c ，int **b) { int i ，j;
for (i = 1; i <= m; i++) c[i][0] = 0; for (i = 1; i <= n; i++) c[0][i] = 0; for (i = 1; i <= m; i++) for (j = 1; j <= n; j++) { if (x[i]==y[j]) {
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; b[i][j]=1;} else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1]) { c[i][j]=c[i-1][j]; b[i][j]=2;} else { c[i][j]=c[i][j-1]; b[i][j]=3; } } }
构造最长公共子序列
void LCS (int i ，int j ，char *x ，int **b){ if (i ==0 || j==0) return;
if (b[i][j]== 1){ LCS(i-1，j-1，x ，b); cout<<x[i]; } else if (b[i][j]== 2) LCS(i-1，j ，x ，b); else LCS(i ，j-1，x ，b); }
00,0[][][1][1]1,0;max{[][1],[1][]},0;i j i j i j c i j c i j i j x y c i j c i j i j x y ⎧==⎪
=--+>=⎨⎪-->≠⎩。