高中数学最全必修一函数性质详细讲解与知识点总结与题型详细讲解

(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分

析

一、函数的概念与表示

1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象.

3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11

-x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.

2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

二、函数的解析式与定义域

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f

配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221

)1(x

x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式

三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过

解方程组求得函数解析式。例5 设,)1

(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f

例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1

1

)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设)(x f 是+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求

)(x f

1、求函数定义域的主要依据：

（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

2求函数定义域的两个难点问题

（1） ()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

（2） (21)x x 已知f －

的定义域是[-1,3],求f()的定义域

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x∈R的分式；

④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；

⑦利用对号函数

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

四．函数的奇偶性

1．定义:2.性质：

①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]

3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。

一：函数单调性的证明1.取值 2，作差 3，定号 4，结论

二：函数单调性的判定，求单调区间

322--=x x y 322--=x x y 452-+-=x x y 3

212

+--=

x x y

)23(log 2

2+-=x x y x

x y 422

1

-=

x x y 212+= 51212

+⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y

x a x y +

= （0>a ） x

a

x y -= （0>a ）

三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有

)2()2(-=+t f t f ，那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <

2.解不等式例：定义在（－1，1）上的函数()f x 是减函数，且满足：(1)()f a f a -<，求实数a 的取值范围。 例：设 是定义在 上的增函数， ，且 ，

求满足不等式 的x 的取值范围.

3.取值范围例: 函数 在 上是减函数,则 的取值范围是_______．

例：若(31)41()log 1a a x a

x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）

A.(0,1)

B.1(0,)3

C.11

[,)73

D.1

[,1)7

4. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值。

例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值。

5.抽象函数单调性判断

例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞，当1>x 时，0)(>x f ，且)()()(y f x f xy f +=

⑴求)1(f ，⑵证明)(x f 在定义域上是增函数

⑶如果1)31(-=f ，求满足不等式)2

1

()(--x f x f ≥2的x 的取值范围

例：已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2

3

.

(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．

例：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1

x 2

)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.

(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.

六．函数的周期性：

1．（定义）若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期。说明：nT 也是)(x f 的周期

（推广）若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期