第2章 作业 土中的应力计算
土力学作业讲解答案
1 3
1 3
cos 2
2
3
1 3
2
1 f
第6章 土压力
• 9、
K 0 1 sin 0.5
z z p0 f , p0 24kPa z/2
l z b b l /2 z/2 4 z / 2 p0 4 f , p0 ? b/2 b/2
z/2
M
z
M
第3章 土的渗透性及渗流
• 1、
v ki q k q vA ki
第2章 地基中的应力计算
1、方形基础，bb=4 4m，P0=100KPa，求基础中点下附加应力等于30kPa的土 层深度z=？
z z p0 z
z
l z 0.3 f , p0 b b
z
M
第2章 地基中的应力计算
2、 矩形基础l b=40 2m ，P0=100KPa， z=4m，求矩形基础中点及短边中点 下的附加应力。
土力学
肖丽萍
作业
主编
第1章 土的物理性质及工程分类
• • • • 5、解： （1）绘制颗粒级配曲线：注意横坐标为对数坐标
d （2） Cu 60 d10
d Cc 30 d10 d60
2
（3）砂类土或砾类土：
Cu 5, Cc 1 ~ 3
第1章 土的物理性质及工程分类
1牛顿 1千克 米 / 秒2
ds w
ms / Vs
wl
ms 2.7 g
第2章 土中应力分布及计算
第二章土中应力分布及计算一、思考题1、自重应力，附加应力的大小与地基土的性质是否相关？2、自重应力与附加应力在地基中的分布各有何特点？3、基底压力分布的主要影响因素有哪些？4、在基底总压力不变的前提下，增大基础埋深对土中应力分布有什么影响？5、宽度相同的矩形和条形基础，其基底压力相同，在同一深度处，哪一个基础下产生的附加应力大？6、地下水位升降，对土中应力分布有何影响？7、自重应力，附加应力计算时的起算点是否相同？二、选择题1、有两个不同的基础，其基础总压力相同，问在同一深度处，哪一个基础产生的附加应力大？（）A、宽度小的基础产生的附加应力大B、宽度小的基础产生的附加应力小C、宽度大的基础产生的附加应力小D、两个基础产生的附加应力相等2、某场地自上而下的土层分布为：第一层粉土，厚3m，重度γ=18kN/m3；第二层粘土，厚5m，重度γ=18.4kN/m3，饱和重度γsat =19kN/m3，地下水位距地表5m，试求地表下6m处土的竖向自重应力（）A、99.8kPaB、109.8kPaC、111kPaD、109.2kPa3、成层地基土中的自重应力（）A、均匀分布B、直线分布C、曲线分布D、折线分布4、有一基础埋置深度d＝1.5m，建筑物荷载及基础和台阶土重传至基底总压力为100KN/m2，若基底以上土的重度为18 KN/m2，基底以下土的重度为17 KN/m2，地下水位在地表处，则基底竖向附加压力为多少（）A、85 KN/m2B、73 KN/m2C、88 KN/m25、一矩形基础，短边b＝3m，长边l＝4m，在长边方向作用一偏心荷载F＋G=1200KN，偏心距为多少时，基底不会出现拉应力（）A、0.5mB、0.57mC、0.67m6、由建筑物荷载或其它外载在地基内产生的应力称为（）A、自重应力B、附加应力C、基底压力D、基底附加压力7、土的自重应力计算中假定的应力状态为（）A、σz ≠0、σx≠0、τxz≠0 B、σz≠0、σx≠0、τxz=0C、σz ≠0、σx=0、τxz=08、当上部结构荷载的合力不变时，荷载偏心距越大，则基底压力平均值（）A、越大B、越小C、不变9、基底总压力与基底附加压力哪一个大？（）A、基底附加压力B、基底总压力C、二者相等10、地下水位下降，则土中自重应力（）A、不变B、减小C、增大答案：B、A、D、C、C、B、B、C、B、C三、计算题1、某工程地基勘查结果：地表为杂填土，31/0.18mkN=γ，厚度mh50.11=；第二层土为粉土，32/0.19mkN=γ，厚度mh6.32=；第三层为中砂，33/5.19mkN=γ，厚度mh80.13=；第四层为坚硬岩石，地下水位1.5m。
土力学完整课件土中应力计算
积分,得
z t p
Y
t f (m l / b, n z / b)
三角分布矩形荷载角点下的竖向附加应 力系数.可查表. 注意l—荷载不变化边 的长度; b—荷载变化边的长度.
水平均布荷载
q
z
x z
2
2 pz 3
2
2
(二)条形荷载下的附加应力计算 1.均布条形荷载下的附加应力 p O x b/2 b/2 z x M z 2. 三角形荷载的附加应力 pt O x b z x M z
z u p
z x u f u m , n b b
l
pmax pmin
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=(bl2)/6
讨论：
N 6e pmax 1 bl l min
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
3.基底中点下附加压 力计算
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
3． r 0 ，随 z 从 0 开始增大， z 先随之增大，后随之减小；
地基中的应力计算
地基中的应力计算地基是地下工程中最基本的构造部分，承受着上部结构的重量和荷载，承担着巨大的压力作用。
在地基设计中，应力计算是非常重要的一部分，它能够提供地基承载力和安全性的评估。
本文将介绍地基中应力计算的方法和计算公式。
首先，需要了解地基中的应力是如何形成的。
地基承受的主要应力有自重应力、活载荷载应力和附加应力。
自重应力是由于地基材料本身的重量所引起的应力，可以通过材料的密度和重力加速度计算得到。
活载荷载应力是由上部结构的荷载所引起的应力，可以根据上部结构的设计荷载计算得到。
附加应力是由于地基中存在的其他因素所引起的应力，比如建筑物的自身形变引起的应力。
接下来，我们介绍如何计算地基中的应力。
地基中的应力计算可以根据不同的地基类型和荷载情况采用不同的方法。
下面以均质土壤的地基为例，介绍几种常用的应力计算方法。
1.利用铁索计算应力：铁索是一种常用的应力计算工具，可以通过测量铁索的伸长量来计算地基中的应力。
首先，在地基中铺设一根长度合适的铁索，然后测量并记录铁索的伸长量。
根据该伸长量和铁索的初始长度，可以通过应力-应变关系计算得到地基中的应力。
2.利用试孔计算应力：试孔是另一种用于计算地基中应力的方法。
首先，在地基中进行试孔，并记录试孔的深度和直径。
然后，根据试孔的直径和土壤的剪切强度，可以计算得到地基中的应力分布情况。
3.利用数值模拟计算应力：数值模拟是一种常用的计算地基应力的方法，它可以通过建立地基的有限元模型来模拟地基的应力分布情况。
首先，需要根据地基的实际情况建立有限元模型，然后通过数值计算方法求解得到地基中的应力。
综上所述，地基中的应力计算是地基设计的重要环节，可以通过铁索、试孔和数值模拟等多种方法进行计算。
在进行应力计算时，需要考虑地基的类型、荷载情况和材料特性等因素，确保计算结果的准确性和可靠性。
地基中的应力计算对于确保地基的稳定性和安全性具有重要意义，是地基设计中不可或缺的一环。
土中的应力计算
e x
e xL
Ke
L x K=B/2-
L
压力调整 基底压
y
y
e
3K
y
pmin 0
力合力 与总荷
载相等
pmax
pmin
0 pmax
pmin 0
e<B/6: 梯形
pmax
e=B/6: 三角形
e>B/6: 出现拉应力区
2N
2N
pmax 3KL 3(B 2 e)L
12
2.2.3基底附加压力
H 成层
E1 均匀
E2<E1
25
无限均布荷载作用下的附加应力
当条形荷载在宽度方向增加 到无穷时，此时地基中附加应力 分布仍可按均布条形荷载下土中 应力的公式计算，查表2-10。
相当于薄压缩层：h 0.5b
b，z/b 0， αsz=1.0
基础中点处，任意深度处的附加
应力均等于p0，即在大面积荷载
作用下，地基中附加应力分布与 深度无关。
成层 H
均匀 E1
E2>E1
23
2.变薄交互层地基（各向异性地基） • 当Ex/Ez<1 时，应力集中——Ex相对较小，不利于应力扩散 • 当Ex/Ez>1 时，应力扩散——Ex相对较大，有利于应力扩散
24
3.双层地基（非均质地基）
(1)上层软弱，下层坚硬的成层地基 ▪ 中轴线附近σz比均质时明显增大的现象
21
条形荷载与矩形荷载的附加应力对比图
表明荷载作 用面积越大 附加应力传 递的越深。
22
2.3.4 地基附加应力的应用讨论
1.变形模量随深度增大的地基（非均质地基）
B
第二章 土体中的应力计算
• [思考题答案] 按给出的资料，计算并绘制地 基中的自重应力 沿深度的分布曲线。 （假定，地下水位位于标高为141.0处。）
2.2
基底压力
• 基底压力：上部结构荷载和基础自重通过 基础传递，在基础底面处施加于地基上的 单位面积压力。 • 基底反力：反向施加于基础底面上的压力
基底压力、反力
• 基底压力 建筑物上部结构荷载和基础自重通过基础传 基底压力：
讨论： 讨论：
p max p min = F + G 6e 1± bl l
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 时 ， 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 时 ， ， 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布 时 ， ，基底出现拉应力， pmax e<l/6 pmin pmax e=l/6 pmax pmin<0 基底压力重分布 pmax e>l/6 pmin=0
2.2.1 基底压力的分布规律
（1）情况1 情况1
EI=0
(a) 理想柔性基础
(b) 堤坝下基底压力
图2-1 柔性基础 基础抗弯刚度EI=0，相当于绝对柔性基础 基底压力分布与作用荷载分布相同。 基底压力分布与作用荷载分布相同。
（2）情况2 EI=∞ 情况2 刚度很大(即EI=∞),可视为刚性基础(大块混凝土实体结构) 。 荷载小，呈中央小而边缘大的情形。 荷载小，呈中央小而边缘大的情形。 随作用荷载增大，呈抛物线分布。 随作用荷载增大，呈抛物线分布。 作用荷载继续增大，发展为钟形分布。 作用荷载继续增大，发展为钟形分布。
例题见教材P29 例题见教材P29 [例2-2]解题思路: 2]解题思路: 解题思路 1)求基础自重 G=γGAd 2)求外荷F=P+Q 3)求基础的合力距M:M=M/+Q∙e0 4）求合力距的偏心距e ：M=(F+G)∙e p F + G 6e 5）求基底压力 = 1 ±
土力学清华版第2章 土体中的应力计算
94.0 83.8 57.0 31.6 18.9 12.3
1200 1200 1600 1600 1600
25.6 44.8 60.2 71.7 83.2
88.9 70.4 44.3 25.3 15.6
114.5 115.2 104.5 97.0 98.8
0.970 0.960 0.954 0.948 0.944
a点：z=0，sz= z=0； b点：z=2m，sz=192=38kPa； c点：z=5m，sz=192+103=68kPa； d点：z=9m，sz=192+103+7.14=96.4kPa 分布如图:
§2 土体中的应力计算
§2.3地基中附加应力的计算
例题 土体表面作用一集中力F=200kN，计算地面深度 z=3m处水平面上的竖向法向应力z分布，以及距F作用点 r=1m处竖直面上的竖向法向应力z分布。
§3.3 地基的最终沉降量计算 四、例题分析 5.计算基础中点下地基中附加应力
7.2
6.确定沉降计算深度zn 根据σz = 0.2σc的确定原则，由计算结果，取zn=7.2m 7.最终沉降计算 根据e-σ曲线，计算各层的沉降量
§3土的压缩性与地基沉降计算
z( m ) 0 1.2 2.4 4.0 5.6 7.2 h σc σz σz+ σc e1 ( kPa ) ( mm ) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa)
§2.3地基中附加应力的计算
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
三角形分布荷载AFD作用在aeOh和ebfO上： z2=z2(aeOh)+
z2(ebfO)=p1(t1+t2)
z2=33.3(0.021+0.045)=2.2kPa
土中基底应力与附加应力计算[详细]
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土中应力计算1 土中自重应力地基中的 应力分:自重应力——地基中的 自重应力是指由土体本身的 有效重力产生的 应力.附加应力——由建筑物荷载在地基土体中产生的 应力,在附加应力的 作用下,地基土将产生压缩变形,引起基础沉降.计算土中应力时所用的 假定条件:假定地基土为连续、匀质、各向同性的 半无限弹性体、按弹性理论计算.地基中除有作用于水平面上的 竖向自重应力外,在竖直面上还作用有水平向的 侧向自重应力.由于沿任一水平面上均匀地无限分布,所以地基土在自重作用下只能产生竖向变形,而不能有侧向变形和剪切变形.3.1.1均质土的 自重应力a 、假定:在计算土中自重应力时,假设天然地面是一个无限大的 水平面,因而在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在.可取作用于该水平面上任一单位面积的 土柱体自重计算.b 、均质土层Z 深度处单位面积上的 自重应力为:应力图形为直线形.z cz γσ=σcz 随深度成正比例增加;沿水平面则为均匀分布.必须指出,只有通过土粒接触点传递的 粒间应力,才能使土粒彼此挤紧,从而引起土体的 变形,而且粒间应力又是影响土体强度的 —个重要因素,所以粒间应力又称为有效应力.因此,土中自重应力可定义为土自身有效重力在土体中引起的 应力.土中竖向和侧向的 自重应力一般均指有效自重应力.并用符号σcz 表示 .3.1.2成层土的 自重应力地基土往往是成层的 ,成层土自重应力的 计算公式:∑==n i i i cz z 1γσ结论:土的 自重应力随深度Z ↑而↑.其应力图形为折线形.自然界中的 天然土层,一般形成至今已有很长的 地质年代,它在自重作用下的 变形早巳稳定.但对于近期沉积或堆积的 土层,应考虑它在自重应力作用下的 变形.此外,地下水位的 升降会引起土中自重应力的 变化(图2—4).3.1.31、地下水对自重应力的 影响地下水位以下的 土,受到水的 浮力作用,使土的重度减轻.计算时采用水下土的 重度(w sat γγγ-=')2、不透水层的 影响不透水层指基岩层只含强结合水的坚硬粘土层作用在不透水层层面及层面以下的土自重应力应等于上覆土和水的总重.3、水平向自重应力地地中除了存在作用于水平面上的坚向自重应力外,还存在作用于坚直面上的水平自重应力,根据弹性力学和土体的侧限条件,可得:σcx=σcy=K oσczKo:土的侧压力系数4、地下水位升降引起的自重应力变化:地下水位下降自重应力增大,因没有水的浮力,地下水位上升自重应力减小 .[例题2—7] 某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标列于例图2·1中.试计算地面下深度为2.5米、5米和9米处的自重应力,并绘出分布图.[解] 本例天然地面下第一层粉土厚6米,其中地下水位以上和以下的厚度分别为3.6米和2.4米,第二层为粉质粘土层.依次计算2.5米、3.6米、5米、6米、9米各深度处的土中竖向自重应力,计算过程及自重应力分布图一并列于例图2—1中.2 基底压力建筑物荷载通过基础传递给地基,在基础底面与地基之间便产生了接触应力.它既是基础作用于地基的基底压力,同时又是地基反用于基础的基底反力.对于具有一定刚度以及尺寸较小的柱下单独基础和墙下条形基础等,其基底压力可近似地按直线分布的图形计算,即按下述材料力学公式进行简化计算.1．基底压力的概念:在基础与地基之间接触面上作用着建筑物荷载通过基础传来的压力称为基底压力.(方向向下)↓单位面积土体所受到的压力称为基底压力.2．地基反力:地基对基础的反作用力(方向向上)↑3．基底压力的分布形态和哪些因素有关？基础的刚度、地基土的性质、基础埋深、荷载大小 .4．基底压力的分布形态:1)柔性基础地基反力分布与上部荷载分布基本相同,而基础底面的沉降分布则是中央大而边缘小.图3-2 柔性基础基底压力分布2)刚性基础在外荷载作用下,基础底面基本保持平面,即基础各点的沉降几乎是相同的,但基础底面的地基反力分布则不同于上部荷载的分布情况.刚性基础在中心荷载作用下,开始的地基反力呈马鞍形分布;荷载较大时,边缘地基土产生塑性变形,边缘地基反力不再增加,使地基反力重新分布而呈抛物线分布,若外荷载继续增大,则地基反力会继续发展呈钟形分布图3-3 刚性基础基底压力分布图马鞍形—一般建筑物基础属此形态,近似“直线形”抛物线形钟形3.2.2基底压力的简化计算1、中心荷载作用下的基底压力中心荷载下的基础,其所受荷载的合力通过基底形心.基底压力假定为均匀分布(图2—5),此时基底平均压力设计值按下式计算:式中:F:上部结构传至基础顶面的 坚向力设计值,kN;G:基础自重设计值及其上回填土重标准值,kN;r G :基础及因填土的 平均重度,一般取20kN/米3,在地下水位以下部分用有效重度; d:基础埋深,必须从设计地面或室内外平均设计地面起算,米;A:基础底面面积,米2.如基础长度大于宽度5倍时,可将基础视为条形基础进行计算.即可沿长度方向取1米计算.2、 偏心荷载下的 基底压力对于单向偏心荷载下的 矩形基础如图2·6所示.设计时,通常基底长边方向取与偏心方向一致,此时两短边边缘最大压力设计值与最小 压力设计值按材料力学短柱偏心受压公式计算:F G p A +=AdG G γ=min maxp p WM lb G F ±+米:作用于基础底面的 力矩设计,kN.米;W:基础底面的 抵抗矩,米3,对于矩形截面W=bL 2/6;P 米ax 、p 米in:分别为基础底面边缘的 最大、最小 压力设计值.将e=米/(F+G)、A=bl 、W=bl 2/6代入上式,得:a 当e<L/6时,基底压力呈梯形分布;b 当e=L/6时,基底压力呈三角形分布;c 当e>L/6时,p 米in<0,则:p 米ax=2(F+G)/3ab式中:a:单向偏心坚向荷载作用点至基底最大压力边缘的 距离,米,a=L/2-e.b:基础底面宽度.3.2.3基底附加压力建筑物建造前,土中早巳存在着自重应力.如果基础砌置在天然地面上,那末全部基底压力就是新增加于地基表面的 基底附加压力.一般天然土层在自重作用下的 变形早巳结束,因此只有基底附加压力才能引起地基的 附加应力和变形.实际上,一般浅基础总是埋置在天然地面下一定深度处,该处原有的 自重应力由于开挖基坑而卸除.因此,由建筑物建造后的 基底压力中扣除基底标高处原有的 土中自重应力后,才是基底平面处新增加于地基的 基底附加压力,基底平均附加压力值按下式计算(图2—8): 61F G e lb l +⎛⎫=± ⎪⎝⎭P o=基底压力P —土的自重应力σcz即P o=P-σcz —引起地基的变形(即基础的沉降)p0=p-r0dp0:基底附加压力设计值,kPa;p:基底压力设计值,kPa;r0:基底标高以上各天然土层的加权平均重度.其中地下水位以下部分取有效重度,kN/米3;d:从天然地面起算的基础埋深,米.有了基底附加压力,即可把它作为作用在弹性半空间表面上的局部荷载,由此根据弹性力学求算地基中的附加应力.3 地基附加应力地基附加应力是指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力.其计算方法一般假定地基土是各向同性的、均质的线性变形体,而且在深度和水平方向上都是无限延伸的 ,即把地基看成是均质的线性变形半空间,这样就可以直接采用弹性力学中关于弹性半空间的理论解答.计算地基附加应力时,都把基底压力看成是柔性荷载,而不考虑基础刚度的影响. 3.3.1 集中力作用下土中应力计算1、单个竖向集中力作用在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中力F时,半无限体内任意点米的应力(不考虑弹225223)(23z Fz r Fz Z απσ=+=[]2521)/(123+=z r πα性体的 体积力)可由布辛克斯纳解计算,如图3-5所示.工程中常用的 竖向正应力s z 及地表上距集中力为R 处的 竖向位移w (沉降)可表示成如下形式:图3-5 竖向集中力作用下的 附加应力E － 土的 弹性模量;μ － 泊松比. 工程上对上述应力公式加以改造为: ( α称为集中力作用下的 地基竖向力系数,可由表查得)2、多个集中力及不规则分布荷载作用θππσ353cos 2323R F R Fz Z ==()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=R R z E F w 1)1(12132μπμθcos 222z z y x R =++=oc z p ασ=3.3.2 分布荷载下地基附加应力对实际工程中普遍存在的 分布荷载作用时的 土中应力计算,通常可采用如下方法处理:当基础底面的 形状或基底下的 荷载分布不规则时,可以把分布荷载分割为许多集中力,然后用布西奈斯克公式和叠加原理计算土中应力.当基础底面的 形状及分布荷载都是有规律时,则可以通过积分求解得相应的 土中应力.如图3-6所示,在半无限土体表面作用一分布荷载p (x ,y ),为了 计算土中某点米(x ,y ,z )的 竖向正应力σz 值,可以在基底范围内取单元面积d F =d ξd η,作用在单元面积上的 分布荷载可以用集中力d Q 表示,d Q =p (x ,y ) d ξd η.这时土中米点的 竖向正应力σz 值可用下式在基底面积范围内积分求得,即:图3-6(右图)分布荷载作用下土中应力计算1、空间问题的 附加应力计算常见的 空间问题有:均布矩形荷载、三角形分布的 矩形荷载及均布的 圆形荷载.(1) 均布矩形荷载图3-7(右图)矩形面积均布荷载作用下土中应力计算① 矩形面积角点下土中竖向应力计算在图3-7所示均布荷载作用下,计算矩形面积角点c 下深度z 处N 点的 竖向应力s z 时,同样可其将表示成如[]⎰⎰⎰+-+-==A A z z z y x d d y x p z d 252223)()(),(23ηξηξπσσpz d d z o l l bb z αηξξηπσ=++=⎰⎰--222252223)(23⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++++++=2222222320412arctan 41)4)(41()81(22m n m nm n m n m m n mn a π下形式:角点应力系数:在矩形面积上作用均布荷载时,若要求计算非角点下的 土中竖向应力,可先将矩形面积按计算点位置分成若干小 矩形,如图3-8所示.在计算出小 矩形面积角点下土中竖向应力后,再采用叠加原理求出计算点的 竖向应力s z 值.这种计算方法一般称为角点法.图3-8 角点法计算土中任意点的 竖向应力② 矩形面积中点O 下土中竖向应力计算图3-7表示在地基表面作用一分布于矩形面积(l ×b )上的 均布荷载p ,计算矩形面积中点下深度z 处米点的 竖向应力s z 值.式中n =l /b 和米=z /b .⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++++++=2222222222222arctan ))(()2(21z b l z lbz b l z b z l z b l lbz a c π⎰⎰=++=l o boz p z y x dxdy b xpz 011252223)(23απσ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=222222231)(21b l zz b l z b z b a t π⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=⎰⎰23202000202522301111)(23r z p z r drd rz p z ππθσ(2) 矩形面积上作用三角形分布荷载时土中竖向应力计算图3-9(右图) 矩形面积三角形荷载作用下土中应力计算 当地基表面作用矩形面积(l ×b )三角形分布荷载时,为计算荷载为零的 角点下的 竖向应力值,可将坐标原点取在荷载为零的 角点上,相应的 竖向应力值σz 可用下式计算:(3) 圆形面积上作用均布荷载时土中竖向正应力的 计算 为了 计算圆形面积上作用均布荷载p 时土中任一点米(r,z )的 竖向正应力,可采用原点设在圆心O 的 极坐标(如图3-10),由以下公式在圆面积范围内积分求得.图3-10(右图) 圆形面积均布荷载作用下土中应力计算2、平面问题的附加应力设在地基表面上作用有无限长的条形荷载,且荷载沿宽度可按任何形式分布,但沿长度方向则不变,此时地基中产生的应力状态属于平面问题.在工程建筑中,当然没有无限长的受荷面积,不过,当荷载面积的长宽比l/b≥10时,计算的地基附加应力值与按L/b=∝时的解相比误差甚少.因此,对于条形基础,如墙基、挡土墙基础、路基、坝基等,常可按平面问题考虑.(1)线荷载(2)均布条形分布荷载下土中应力计算:条形分布荷载下土中应力状计算属于平面应变问题,对路堤、堤坝以及长宽比l／b≥10的条形基础均可视作平面应变问题进行处理.图3-11(右图)均布条形荷载作用下的土中应力计算米(x,y)点的三个附加应力分量为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---++-=22222216)144()144(4221arctan221arctanmmnmnmmnmnpozπσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---++-=22222216)144()144(4221arctan221arctanmmnmnmmnmnpoxπσ等值线图3.3.3 非均质和各项异性地基中的 附加应力在柔性荷载作用下,将土体视为均质各向同性弹性土体时土中附加应力的 计算与土的 性质无关.但是,地基土往往是由软硬不一的 多种土层所组成,其变形特性在竖直方向差异较大,应属于双层地基的 应力分布问题. 1、 双层地基对双层地基的 应力分布问题,有两种情况值得研究:一种是坚硬土层上覆盖着不厚的 可压缩土层即薄压缩层情况;另一种是软弱土层上有一层压缩性较低的 土层即硬壳层情况.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=2222216)144(32m m n nm p o xzπτ当上层土的 压缩性比下层土的 压缩性高时(薄压缩层情况),即E 1＜E 2时,则土中附加应力分布将发生应力集中的 现象.当上层土的 压缩性比下层土的 压缩性低时(即硬壳层情况),即E 1＞E 2,则土中附加应力将发生扩散现象,如图3-12所示.在实际地基中,下卧刚性岩层将引起应力集中的 现象,若岩层埋藏越浅,应力集中愈显著.在坚硬土层下存在软弱下卧层时,土中应力扩散的 现象将随上层坚硬土层厚度的 增大而更加显著.因土的 泊松比变化不大,其对应力集中和应力扩散现象的 影响可忽略.图3-12 双层地基中界面上附加应力的 分布规律双层地基中应力集中和扩散的 概念有着重要工程意义,特别是在软土地区,表面有一层硬壳层,由于应力扩散作用,可以减少地基的 沉降,故在设计中基础应尽量浅埋,并在施工中采取保护措施,以免浅层土的 结构遭受破坏. 2、 变形模量随深度增大的 地基在地基中,土的 变形模量E o 常随着地基深度增大而增大,这种现象在砂土中尤其显著.与均质地基相比,这种地基沿荷载中心线下,地基附加应力将产生应力集中. 可用以下半经验公式修正:v － 为应力集中因素,对粘性、完全弹性体v ＝3;硬土v ＝6;砂土与粘土之间的 土v ＝3～6.θπσvz RvF cos 22=3、 各项异性地基天然沉积形成的 水平薄交互层地基,其水平向变形模量E oh 大于竖向变形模量E ov假定地基竖直和水平方向的 泊松比相同,但变形模量不同条件下,均布线荷载下各项异性地基的 附加应力为:z σ － 线荷载作用下,均质地基的 附加应力.当非均质地基的 E oh >E ov 时,地基中出现应力扩散现象;当E oh <E ov 时,出现应力集中现象.3.4 有效应力原理1、土中二种应力试验在直径和高度完全相同的 甲、乙两个量筒底部,放置一层松散砂土,其质量与密度完全 一样.在甲量筒中放置若干钢球,使松砂承受σ的 压力;在乙量筒中小 心缓慢地注水,在砂面以上高度h 正好使砂层表面也增加σ的 压力.结论:甲、乙两个量筒中的 松砂顶面都作用了 相同的 压力σ,但产生两种不同的 效果,反映土体中存在两种不同性质的 力:(1)由钢球施加的 应力,通过砂土的 骨架传递的 应力(有效应力σ’),能使土层发生压缩变形,从而使土的 强度发生变化;(2)由水施加的 应力通过孔隙水来传递(孔隙水 压力u),不能使土层发生压缩变形.ovoh zz E E /σσ='AA W=χ现象:甲中砂面下降,砂土发生压缩.乙中砂面并不下降,砂土未发生压缩. 总应力:在土中某点截取一水平截面,其面积为A,截面上作用应力 σ,它是由上面的 土体的 重力、静水压力及外荷载P 所产生的 应力,称为总应力.有效应力:总应力的 一部分是由土颗粒间的 接触承担的 称为有效应力. 饱和土有效应力公式:u +'=σσσ' － 有效应力;σ － 总应力;u － 孔隙水压力.公式表明总应力为有效应力与孔隙水压力之和. 部分饱和土有效应力公式:()w a a u u u -+-='χσσa u － 气体压力; w u － 孔隙水压力.χ － 由试验确定的 参数, .3.4.1 毛细水上升时土中有效自重应力的计算图3-13 毛细水上升时土中总应力、孔隙水压力及有效应力在毛细水上升区,由于表面张力的作用使孔隙水压力为负值.使有效应力增加,在地下水位以下,由于水对土颗粒的浮力作用,使土的有效应力减少.3.4.2 土中水渗流时(一维渗流)有效应力计算(a)静水时(b)水自上向下渗流(c)水自下向上渗流图3-14 土中水渗流时总应力、孔隙水压力及有效应力分布当土中水渗流时,水对土颗粒有着动水力,必然影响土中有效应力的分布.表3-1 土中水渗流时总应力、孔隙水压力及有效应力的计算。
第2章土体应力计算
自重应力：由于土体本身自重引起的应力
确定土体初始 应力状态
土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经 压缩稳定，因此，土的自重应力不再引起土的变形。 但对于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力 引起的变形。
一、均匀土体的竖向自重应力
土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱 的有效重量
2.基底压力的简化计算法
1）中心荷载时：
P
N
F
2）偏心荷载时：
P N M N (1 6e) FW F b
3.基底附加应力---基底净压力：
p0 p 0d
P 实际情况
基底附加压力在数 值上等于基底压力 扣除基底标高处原 有土体的自重应力
P d
第四节 地基中的附加应力计算
h2 2 水位面
用浮容重。 1 h1 + 2h2 2.非均质土中自重应
力沿深度呈折线分布
h3 3
1 h1 + 2h2 + 3h3
三、水平向自重应力
天然地面
z
cy
cz cx
cz z
cx cy K0 cz
静止侧压 力系数
四、例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算
K
x s
pn
Ksx ,Ktz为条形基底竖向 附加应力系数, 均为
m ,n的函数，其中 m=x/b，n=z/b，可查表
2-6、2-7得到
x
K
z t
pt
注意原点位置
见例题2-3
第5节 土坝（堤）自重应力和坝基附加应力
自重应力：
坝身任意点自重应力均等于单位面积上该计算点以上土柱 的有效重度与土柱高度的乘积。
地基应力计算
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• 一、竖向自重应力的计算 • 计算土中自重应力时,一般假定天然地面为一无限大的水平面,将土体
在任意深度处水平面上各点的自重应力视为均匀相对且无限分布;任 何竖直面均视为对称面,根据剪应力互等定理,对称面上均质土体中的 剪应力均等于０,则作用在地基任意深度处的自重应力就等于单位面 积上土柱的重力(图２-１).若假设地面下z 深度内均质土的重度为γ,则 单位面积上土的竖向自重应力为
• 一、基底压应力的分布 • 建筑物荷载是通过基础传递给地基的,基础压应力就是基础底面与地
基接触面积上的压应力,简称基底压力.基底压力又称为接触压力,它是 建筑物的荷载通过基础传递给地基的压力,也是地基作用于基础底面 的反力. • 由试验及弹性理论可知,基底压应力的分布与基础刚度及基底平面形 状、作用在基础上的荷载大小及分布、地基土的性质及基础埋深等因 素有关.若基础刚度很小,可视为柔性基础.在竖向荷载作用下没有抵抗 弯曲变形的能力,基础将随着地基一起变形,所以当基础中心受压时,基 底压力呈均匀分布(图２-５).
• ２. 加大基础底面积法 • 加大基础底面积法适用于既有建筑的地基承载力或基础底面积尺寸不
满足设计要求时的加固.可采用混凝土套或钢筋混凝土套加大基础底 面积.加大基础底面积的设计和施工应符合下列规定:
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第一节 建筑工程地基的基本要求及地 基加固方法
• (１)当基础承受偏心受压时,可采用不对称加宽;当基础承受中心受压 时,可采用对称加宽.
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第二节 自重应力的计算
• 式中 σcz ———天然地面以下z 深度处的自重应力(kPa); • n———深度z 范围内的土层总数; • hi———第i层土的厚度(m); • γi———第i层土的天然重度,地下水水位以下的土层取浮重γi(kN/m3). • 自重应力的分布规律:在均质地基中,竖向自重应力沿地基深度呈线性
土力学地基中的应力计算
p
arctan
1
2(x / b) 2(z / b)
arctan 1 2(x / b) 2(z / b)
4 z [4( x )2 4( z )2 1]
bb
b
[4( x )2 4( z )2 1]2 16( z )2
b b
b
b
b
13
•带状三角形荷载
b
p
x
z
Mx
(x, z)
z
查表3－3
e 基底压力呈三角形分布
e 基底局部出现拉应力
基底与地基脱开
对于矩形底面，＝ b
6
37
(1) 矩形底面单轴偏心荷载作用时(e)
由竖向、弯矩平衡方程
P
b 2
(
p1
p2 ) a
M
b 2 ( p1
p2
)
a
(
b 2
b) 3
p1 p2
PM AW
P (1 A
e)
P 1 A
6e b
e a
b
P M Pe
z
p
{x b
(arctan
x z
/ /
b b
arctan
x
/b 1) z/b
z b
(x
/
b
x/b 1)2
1 (z
/
b)2
}
k(x b
,
z b
)
p
•带状梯形荷载
14
5、矩形均布面积荷载作用下附加应力旳计算
1）角点下旳垂直附加应力
dP pdxdy
d z
3dP 2
z3 R5
3p 2
z3 R5
dxdy
土力学课件第二章地基中的应力计算
•（二）偏心荷载下的基底压力
•e＜r时，基底压力成梯形分布；
•e= r时，基底压力为三角形分布；
•e＞r时，基底压力pmin＜0
•pmin＜0，由于地基与基础之间不能承受拉力，此时基底与地基局部脱离而 使基底压力重新分布。根据基底压力与偏心荷载相平衡的条件，三角形反
力分布如图（c）中的实线所示的形心应在P+G的合力Fv作用线上，由此可 计算基础边缘的最大压力pmax为
的水平面； • (2) 土层为各向同性的弹性介质。
• 因土体中任一垂直截面都为对称面，故任 何垂直截面上的应力均为零，即 txy=txz=tyz=0。所以σx、σy、σz均为主应力 。把上述条件代入应力连续方程得
•二、垂直自重有效压力
•1、不考虑地表荷载
•地下水位以下，用有效重量； 不同土层的重量可以叠加
•地表临空
基本假定
地基土是各向同性、均质、线性变形体 地基土在深度和水平方向都是无限的
•地基：均质各向同性线性变形半空间体 •应用弹性力学关于弹性半空间的理论解答
•一、垂直集中荷载
•位 移 •应 力
•图3-26 集中荷载作用下的应力
•Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
• 侧向应变为零，即x=y=0，地基在自重作用下的应力状态即属此应力
状态，任何对称面都是对称面，则
三 土力学中应力符号的规定
•表示一点应力状态的最佳工具——摩尔应力圆 •土力学中应力符号的规定：法向应力以压为正，剪应力逆时针为正。 •注意与材料力学规定的不同
•图3.3 关于应力符号的规定
四 应力连续方程
• 一 基底压力的分布规律
• 基底压力的精确数值与分布形式是一个很复杂的问题，涉及上部结
地基中的附加应力计算
32
第二章 土体应力计算
应用式（2－17），得 ph=Fh/b=400/6=66.7kPa （3）求基底净压力（基底附加应力）。对于梯形分布的竖向基底压力应用 图2－23所示方法可得竖向基底净压力如下
R r2 z2
5
竖向集中力作用下地基附加应力
z
K
F z2
竖向集中力作用竖向附加应力系数
6
竖向集中力作用下地基附加应力
在竖向集中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
7
应力叠加原理（等代荷载法）
由于集中力作用下地基中的附加应力 σz是荷载的一次函数，因此当若干竖 向集中力Fi作用于地表时，应用叠加 原理，地基中z深度任一点M的附加应 力σz应为各集中力单独作用时在该点 所引起的附加应力总和。
理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷
小，将σz用积分 表示
10
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
将 R x2 y2 z2
代入并沿整个基底面
积积分，即可得到竖 直均布压力作用矩形 基底角点O下z深度处 所引起的附加应力
lb
z d z Kz1 pn
00
11
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
h
g
+ 面积Ⅲ（oecg）－ 面积Ⅳ（oedh） f a b
则：
z (Kc Kc Kc KcV ) p
(d) O点在荷载面的角点外侧
ed
c
荷载面（abcd）＝ 面积Ⅰ（ohce）－ 面积Ⅱ（ohbf） f a
土体中的应力计算—附加应力的计算(土力学课件)
z 2 p
x
p x
z z
x z
二、条形面积受均布荷载土中附加应力
2.条形面积受三角形荷载作用下的附加应力
土中任意点所受的附加应力
z 3 p
-x 0
z x
p x
z
注意坐标系的建立，以荷载0为坐标原点，向荷 载增大的方向为正方向。
二、条形面积受均布荷载土中附加应力
3.圆形面积均布荷载作用下的竖向附加应力
(1)距离地面越深， 附加应力的分布范围 越广，r/z=2.5范围内。
(2)在距地面为z的平 面上，集中力作用线 下的附加应力最大， 向两侧逐渐减小。
集中力作用下附加应力分布图
一、竖直集中荷载作用下的地基附加应力计算
1、附加应力分布规律
(3)距P作用线为r竖直 线上的附加应力随深 度先增加再减小。
171
332 kPa
134
条形荷载作用下土中附加应力
（1）p1=134kPa
+x
+x
+（x 2）p2=198kPa
-x
z x1 x/b z/b
x2 x/b z/b
00 0 0 1
134 1 0.5 0 0.500 99 233
1 0 0 0.5 0.820 110 1 0.5 0.5 0.410 81 191
条形荷载作用下 土中附加应力
条形荷载作用下土中附加应力
条形荷载作用下土中附加应力
1.条形面积受均布荷载作用下的土中竖向附加应力
土中任意点所受的附加应力 x
z 2 p
2 ——条形均布荷载作用
下的竖向附加应力系数
2 (x / b, z / b)
土力学土体中的应力
（3）饱和土中孔隙水压力和有效应力计算
? 自重应力情况
?静水位条件
（侧限应变条件） ? 稳定渗流条件
地下水位以下土 水面以下土 毛细饱和区
? 附加应力情况
? 侧限应力状态 ? 轴对称应力状态
等向压缩应力状态 偏差应力状态
? 自重应力情况 （侧限应变条件）
o
地面
? H1
有效应力分布曲线
B ?H1
地下水位线
y
P
x
r
z
K — 铅直向附加应力分布系数，无因次（查图） z
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
布辛奈斯克（Boussinesq ）法国著名物理家和数学家，对
数学物理、流体力学和固体力学都有贡献。
问题：
（1）集中力引起的附加应力分布规律？ （2）应力泡？ （3）多个集中力作用下的附加应力计算？
As： 颗粒接触点的面积
A ? AS ? Aw
Aw： 孔隙水的断面积
a
a
a-a断面竖向力平衡：
Psv
Ps
接触点
? ? ? ? ?
Psv ? Aw u AS ? 0.03A
AA
? '? u
?1
有效应力σ?
有效应力原理的表达式
②有效应力原理的应力可分为两部分 σ ?和u，并且：
1 地上建筑与土体的关系 2 土体的自重应力 3 基底压力 4 地基（土体）中的附加应力 5 有效应力原理 6 应力路径—应力变化的描述
1 地上建筑与土体的关系
世 界 第 一 高 楼
迪拜风帆酒店（七星级、楼高340米）
迪拜塔（楼高828米，169层，比台湾 101楼还要高出321米）
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2-2何为自重应力，何为孔隙水压力？计算自重应力时 应注意些什么？
自重应力是指由土体自身重量所产生的应力。 由静水位产生的孔隙水应力称为静孔隙水应力。 土体自重应力应由该点单位面积上土柱的有效重量 来计算，如果存在地下水，且水位与地表齐平或高 于地表，则自重应力计算时应采用浮重度，地下水 位以下的土体中还存在静孔隙水应力。
2-3何为附加应力，空间问题和平面问题各有几个附加 应力分量？计算附加应力时对地基作了怎样的假定？
附加应力是指由外荷（静的或动的）引起的土中应 力。 空间问题有三个附加应力分量，平面问题有两个附 加应力分量。 计算地基附加应力时，假定地基土是各向同性的、 均匀的、线性变形体，而且在深度和水平方向上都 是无限的。
在计算地基附加应力时，假定地基土是各向同性的、 均质的、线性变形体，而且在深度的水平方向上都 是无限的，这些条件不一定同时满足，因而会产生 误差，所以计算结果会经常与地基中实际的附加应 力不一致。
2-7什么是有效应力？什么是孔隙应力？其中静孔隙水 压力如何计算？
有效应力是指由土骨架传递（或承担）的应力。 孔隙应力是指由土中孔隙流体水和气体传递（或承担）的应 力。 静孔隙水压力：u0=γ whw
2-4什么叫柔性基础？什么叫刚性基础？这两种基础的 基底压力分布有何不同？
实际工程中对于柔性较大（刚度较小）能适应地基 变形的基础可以视为柔性基础。 对于一些刚度很大不能适应地基变形的基础可视为ห้องสมุดไป่ตู้刚性基础。 柔性基础底面压力的分布和大小完全与其上的荷载 分布于大小相同；刚性基础下的基底压力分布随上 部荷载的大小、基础的埋深和土的性质而异。
第2章土体应力计 算
2-1土中的应力按照其起因和传递方式分有哪几种？怎样定义？
土体的应力，按引起的原因分为自重应力和附加应力两种； 按土体中土骨架和土中孔隙（水、气）的应力承担作用原理 或应力传递方式可分为有效应力和孔隙应（压）力。 有效应力是指由土骨架传递（或承担）的应力。 孔隙应力是指由土中孔隙流体水和气体传递（或承担）的应 力。 自重应力是指由土体自身重量所产生的应力。 附加应力是指由外荷（静的或动的）引起的土中应力。
2-5地基中竖向附加应力的分布有什么基本规律？相邻 两基础下附加应力是否会彼此影响？为什么？
基底中心下竖向附加应力最大，向边缘处附加应力 将减小，在基底面积范围之外某点下依然有附加应 力。 如果该基础相邻处有另外的荷载，也会对本基础下 的地基产生附加应力。
2-6附加应力的计算结果与地基中实际的附加应力能否 一致，为什么？